高一数学三角函数的积化和差与和差化积同步练习
2021年高中数学3.3三角函数的积化和差与和差化积同步训练新人教B版必修
2021年高中数学3.3三角函数的积化和差与和差化积同步训练新人教B版必修知识点一：积化和差1．已知cos 2α－cos 2β＝m ，那么sin(α＋β)sin(α－β)等于A ．－mB ．mC ．－m 2 D.m 22．sin20°cos70°＋sin10°sin50°的值为A.14B.32C.12D.343．在△ABC 中，若B ＝30°，则cosAsinC 的取值范围是A ．[－1,1]B ．[－12，12] C ．[－14，34] D ．[－34，14] 4．计算sin105°cos75°的值是 A.12 B.14 C ．－14 D ．－125．函数y ＝sin(x ＋π3)sin(x ＋π2)的最小正周期T ＝__________. 知识点二：和差化积6．将cos 2x －sin 2y 化为积的形式，结果是A ．－sin(x ＋y)sin(x －y)B ．cos(x ＋y)cos(x －y)C ．sin(x ＋y)cos(x －y)D ．－cos(x ＋y)sin(x －y)7．函数y ＝cos 2(x －π12)＋sin 2(x ＋π12)－1是 A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数8．化简sin(θ＋2π3)＋sin(θ＋4π3)的结果是__________． 9．把cosx ＋cos2x ＋cos3x ＋cos4x 化成积的形式．10．把下列各式化为积的形式：(1)sin122°＋sin36°；(2)sin75°－sin15°；(3)cos75°－co s23°.能力点一：利用积化和差、和差化积公式进行求值、化简、证明11．有下列关系式：①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ；②cos3θ－cos5θ＝－2sin4θsinθ；③sin3θ－sin5θ＝－12cos4θcosθ；④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcosθ；⑤sinxsiny＝12[cos(x －y)－cos(x ＋y)]． 其中正确等式的个数是A ．0B ．1C ．2D ．312．函数f(x)＝asinx ＋acos(x －π6)(x∈R )的最大值是6，则实数a 等于 A. 2 B ．－ 2 C. 3 D ．－313．化简cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7所得结果为 A ．sin π7 B.12sin π7C ．－12D ．－12cos π714．函数y ＝sin2x ＋sin 2x ＋π3cos2x ＋cos 2x ＋π3的最小正周期是__________．15．求证：sinαsin(60°＋α)sin(60°－α)＝14sin3α.能力点二：公式的综合应用16.在△ABC 中，若sinBsinC ＝cos 2A 2，则△ABC 是 A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形17．如果向量a ＝(cosα＋sinα，2 009)，b ＝(cosα－sinα，1)，且a ∥b ，那么1cos2α＋tan2α＋1的值是__________． 18．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：(1)A ＋C ＝2B ；(2)1cosA ＋1cosC ＝－2cosB，求cos A －C 2的值．19．已知sin(π4＋2α)sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求：2sin 2α＋tanα－cotα－1的值．20．已知△ABC 的面积为3，且满足0≤AB →·AC →≤6，设〈AB →，AC →〉＝θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝2sin 2(π6＋θ)－cos2θ的最大值与最小值． 答案与解析 1．A sin(α＋β)sin(α－β)＝－12(cos2α－cos2β) ＝－12[(2cos 2α－1)－(2cos 2β－1)]＝－(cos 2α－cos 2β)＝－m. 2．A 原式＝12[sin90°＋sin(－50°)]＋12(－cos60°＋cos40°) ＝12－12sin50°＋12cos40°－14＝14. 3．C cosAsinC ＝12[sin(A ＋C)－sin(A －C)]＝14－12sin(A －C)， ∵－1≤sin(A－C )≤1，∴cosAsinC∈[－14，34]． 4．B5．π6．B7．C y ＝1＋cos2x ＋π62＋1－cos 2x ＋π62－1 ＝12[cos(2x －π6)－cos(2x ＋π6)]＝－sin2x·sin(－π6)＝12sin2x ， ∴函数是周期为π的奇函数．8．－sinθ9．解：原式 ＝(cosx ＋cos4x)＋(cos2x ＋cos3x)＝2cos 52xcos 32x ＋2cos 52xcos x 2＝2cos 52x(cos 32x ＋cos x 2) ＝4cos 52x·cosx·cos x 2. 10．解：(1)sin122°＋sin36°＝2sin122°＋36°2·co s 122°－36°2＝2sin79°·cos43°；(2)sin75°－sin15°＝2cos75°＋15°2·sin 75°－15°2＝2cos45°·sin30°＝22； (3)cos75°－cos23°＝－2sin 75°＋23°2sin 75°－23°2＝－2sin49°·sin26°. 能力提升11．B 根据和差化积公式与积化和差公式，只有⑤正确．12．A f(x)＝asinx ＋asin[π2－(x －π6)]＝a[sinx ＋sin(－x ＋2π3)]＝2asin π3cos(x －π3)＝3acos(x －π3)， ∴3a ＝6，a ＝ 2.13．C 原式＝cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7sin π7sin π7＝ 12sin 3π7－sin π7＋sin 5π7－sin 3π7＋sinπ－sin 5π7sin π7＝－12sin π7sin π7＝－12. 14.π2 sin2x ＋sin 2x ＋π3cos2x ＋cos 2x ＋π3＝sin2x ＋12sin2x ＋32cos2x cos2x ＋12cos2x －32sin2x ＝332sin2x ＋12cos2x 332cos2x －12sin2x ＝sin2x ＋π6cos 2x ＋π6＝tan(2x ＋π6)， ∴y＝tan(2x ＋π6)，T ＝π2. 15．证明：左边＝sinα·(－12)(cos120°－cos2α) ＝14sinα＋12sinαcos2α ＝14sinα＋14[sin3α＋sin(－α)] ＝14sinα＋14sin3α－14sinα ＝14sin3α.∴左边＝右边，原等式成立．16．B 在△ABC 中，∵sinBsinC＝cos 2A 2， ∴sinBsinC＝1＋cosA 2， 即2sinBsinC ＝1－cos(B ＋C)．∴cos(B－C)＝1.∴B－C ＝0，即B ＝C.17．2 010 ∵a ∥b ，∴cosα＋sinα－2 009(cosα－sinα)＝0， 即cosα＋sinαcosα－sinα＝2 009. 又1cos2α＋tan2α＋1＝1cos2α＋sin2αcos2α＋1 ＝1＋sin2αcos2α＋1 ＝sin 2α＋cos 2α＋2sinαcosαcos 2α－sin 2α＋1 ＝cosα＋sinαcosα－sinα＋1＝2 009＋1 ＝2 010.18．解：由题设条件知B ＝60°，A ＋C ＝120°， ∵－2cos60°＝－22， ∴1cosA ＋1cosC ＝－2 2.∴cosA＋cosC ＝－22cosAcosC.利用和差化积及积化和差公式得2cos A ＋C 2cos A －C 2＝－2[cos(A ＋C)＋cos(A －C)]， ∴cos A －C 2＝－2(－12＋2cos 2A －C 2－1)， 化简得42cos 2A －C 2＋2cos A －C 2－32＝0， 又(2cos A －C 2－2)(22cos A －C 2＋3)＝0， ∵22cos A －C 2＋3≠0， ∴cos A －C 2＝22. 19．解：由已知，得 －12(cos π2－cos4α)＝14， ∴cos4α＝12. ∵α∈(π4，π2)， ∴4α∈(π，2π)． ∴4α＝5π3. ∴2α＝5π6. ∴2sin 2α＋tanα－cotα－1＝2sin 2α＋sinαcosα－cosαsinα－1 ＝1－cos2α＋sin 2α－cos 2αsinαcosα－1＝－cos2α－cos2α12sin2α ＝－cos 5π6－2cos 5π6sin 5π6＝32＋2×3212＝532. 拓展探究20．解：(1)设△ABC 的角A 、B 、C 所对应的边的边长分别为a 、b 、c. 则S △ABC ＝12bcsinθ＝3. ∴bc＝6sinθ.① 由已知：0≤AB →·AC →≤6，得0≤bccosθ≤6，②将①代入②得0≤6cosθs inθ≤6， 即0≤cotθ≤1，又θ为△ABC 的内角，∴θ∈[π4，π2]． (2)f(θ)＝1－cos(π3＋2θ)－cos2θ ＝1－2cos(2θ＋π6)cos π6＝1－3cos(2θ＋π6)， 由(1)知π4≤θ≤π2，∴π2≤2θ≤π. ∴2π3≤2θ＋π6≤7π6. ∴－1≤cos(2θ＋π6)≤－12. ∴－3≤3cos(2θ＋π6)≤－32. ∴当θ＝5π12时，y max ＝1＋3，当θ＝π2时，y min ＝1＋32.。
高中数学3.3三角函数的积化和差与和差化积同步训练新人教B版必修4
3.3 三角函数的积化和差与和差化积知识点一：积化和差1．已知cos 2α－cos 2β＝m ，那么sin(α＋β)sin(α－β)等于A ．－mB ．mC ．－m 2 D.m 22．sin20°cos70°＋sin10°sin50°的值为A.14B.32C.12D.343．在△A BC 中，若B ＝30°，则cosAsinC 的取值范围是A ．[－1,1]B ．[－12，12]C ．[－14，34] D ．[－34，14]4．计算sin105°cos75°的值是 A.12 B.14 C ．－14 D ．－125．函数y ＝sin(x ＋π3)sin(x ＋π2)的最小正周期T ＝__________.知识点二：和差化积6．将cos 2x －sin 2y 化为积的形式，结果是A ．－sin(x ＋y)sin(x －y)B ．cos(x ＋y)cos(x －y)C ．sin(x ＋y)cos(x －y)D ．－cos(x ＋y)sin(x －y)7．函数y ＝cos 2(x －π12)＋sin 2(x ＋π12)－1是A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数8．化简sin(θ＋2π3)＋sin(θ＋4π3)的结果是__________．9．把cosx ＋cos2x ＋cos3x ＋cos4x 化成积的形式．10．把下列各式化为积的形式：(1)sin122°＋sin36°；(2)sin75°－sin15°；(3)cos75°－cos23°.能力点一：利用积化和差、和差化积公式进行求值、化简、证明11．有下列关系式：①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ；②cos3θ－cos5θ＝－2sin4θsin θ；③sin3θ－sin5θ＝－12cos4θcos θ；④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcos θ；⑤sinxsiny＝12[cos(x －y)－cos(x ＋y)]． 其中正确等式的个数是A ．0B ．1C ．2D ．312．函数f(x)＝asinx ＋acos(x －π6)(x∈R )的最大值是6，则实数a 等于 A. 2 B ．－ 2 C. 3 D ．－ 313．化简cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7所得结果为 A ．sin π7 B.12sin π7C ．－12D ．－12cos π714．函数y ＝sin2x ＋sin 2x＋π3 cos2x ＋cos 2x＋π3 的最小正周期是__________． 15．求证：sin αsin(60°＋α)sin(60°－α)＝14sin3α.能力点二：公式的综合应用16.在△ABC 中，若sinBsinC ＝cos 2A 2，则△ABC 是 A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形17．如果向量a ＝(cos α＋sin α，2 009)，b ＝(cos α－sin α，1)，且a ∥b ，那么1cos2α＋tan2α＋1的值是__________．18．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：(1)A ＋C ＝2B ；(2)1cosA ＋1cosC ＝－2cosB，求cos A －C 2的值．19．已知sin(π4＋2α)sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求：2sin 2α＋tan α－cot α－1的值．20．已知△ABC 的面积为3，且满足0≤AB →·AC →≤6，设〈AB →，AC →〉＝θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝2sin 2(π6＋θ)－cos2θ的最大值与最小值．答案与解析1．A sin(α＋β)sin(α－β)＝－12(cos2α－cos2β)＝－12[(2cos 2α－1)－(2cos 2β－1)]＝－(cos 2α－cos 2β)＝－m. 2．A 原式＝12[sin90°＋sin(－50°)]＋12(－cos60°＋cos40°) ＝12－12sin50°＋12cos40°－14＝14. 3．C cosAsinC ＝12[sin(A ＋C)－sin(A －C)]＝14－12sin(A －C)， ∵－1≤sin(A－C)≤1，∴cosAsinC∈[－14，34]． 4．B5．π6．B7．C y ＝1＋cos 2x ＋π6 2＋1－cos 2x ＋π6 2－1 ＝12[cos(2x －π6)－cos(2x ＋π6)]＝－sin2x·sin(－π6)＝12sin2x ， ∴函数是周期为π的奇函数．8．－sin θ9．解：原式 ＝(cosx ＋cos4x)＋(cos2x ＋cos3x)＝2cos 52xcos 32x ＋2cos 52xcos x 2＝2cos 52x(cos 32x ＋cos x 2) ＝4cos 52x·cosx·cos x 2. 10．解：(1)sin122°＋sin36°＝2sin122°＋36°2·cos 122°－36°2＝2sin79°·cos43°；(2)sin75°－sin15°＝2cos 75°＋15°2·sin 75°－15°2＝2cos45°·sin30°＝22； (3)cos75°－cos23°＝－2sin 75°＋23°2sin 75°－23°2＝－2sin49°·sin26°.能力提升11．B 根据和差化积公式与积化和差公式，只有⑤正确．12．A f(x)＝asinx ＋asin[π2－(x －π6)]＝a[sinx ＋sin(－x ＋2π3)]＝2asin π3cos(x－π3)＝3acos(x －π3)， ∴3a ＝6，a ＝ 2.13．C 原式＝cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7 sin π7sin π7＝12 sin 3π7－sin π7＋sin 5π7－sin 3π7＋sin π－sin 5π7sin π7＝－12sin π7sin π7＝－12.14.π2 sin2x ＋sin 2x＋π3cos2x ＋cos 2x＋π3＝sin2x ＋12sin2x ＋32cos2xcos2x ＋12cos2x －32sin2x＝3 32sin2x ＋12cos2x3 32cos2x －12sin2x＝sin 2x＋π6 cos 2x＋π6＝tan(2x ＋π6)，∴y＝tan(2x ＋π6)，T ＝π2.15．证明：左边＝sin α·(－12)(cos120°－cos2α)＝14sin α＋12sin αcos2α＝14sin α＋14[sin3α＋sin(－α)]＝14sin α＋14sin3α－14sin α＝14sin3α.∴左边＝右边，原等式成立．16．B 在△ABC 中，∵sinBsinC＝cos 2A 2，∴sinBsinC＝1＋cosA 2，即2sinBsinC ＝1－cos(B ＋C)．∴cos(B－C)＝1.∴B－C ＝0，即B ＝C.17．2 010 ∵a ∥b ，∴cos α＋sin α－2 009(cos α－sin α)＝0，即cos α＋sin αcos α－sin α＝2 009.又1cos2α＋tan2α＋1＝1cos2α＋sin2αcos2α＋1＝1＋sin2αcos2α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α＋1＝cos α＋sin αcos α－sin α＋1＝2 009＋1＝2 010.18．解：由题设条件知B ＝60°，A ＋C ＝120°， ∵－2cos60°＝－22，∴1cosA ＋1cosC ＝－2 2.∴cosA＋cosC ＝－22cosAcosC.利用和差化积及积化和差公式得2cos A ＋C 2cos A －C2＝－2[cos(A ＋C)＋cos(A －C)]， ∴cos A －C2＝－2(－12＋2cos 2A －C2－1)，化简得42cos 2A －C2＋2cos A －C2－32＝0， 又(2cos A －C 2－2)(22cos A －C2＋3)＝0， ∵22cos A －C2＋3≠0，∴cos A －C 2＝22. 19．解：由已知，得－12(cos π2－cos4α)＝14，∴cos4α＝12.∵α∈(π4，π2)，∴4α∈(π，2π)．∴4α＝5π3.∴2α＝5π6.∴2sin 2α＋tan α－cot α－1＝2sin 2α＋sin αcos α－cos αsin α－1＝1－cos2α＋sin 2α－cos 2αsin αcos α－1＝－cos2α－cos2α12sin2α＝－cos 5π6－2cos 5π6sin 5π6＝32＋2×3212＝532.拓展探究20．解：(1)设△ABC 的角A 、B 、C 所对应的边的边长分别为a 、b 、c. 则S △ABC ＝12bcsin θ＝3.∴bc＝6sin θ.①由已知：0≤AB →·AC →≤6，得0≤bccos θ≤6，② 将①代入②得0≤6cos θsin θ≤6，即0≤cot θ≤1，又θ为△ABC 的内角，∴θ∈[π4，π2]．(2)f(θ)＝1－cos(π3＋2θ)－cos2θ＝1－2cos(2θ＋π6)cos π6＝1－3cos(2θ＋π6)，由(1)知π4≤θ≤π2，∴π2≤2θ≤π. ∴2π3≤2θ＋π6≤7π6.∴－1≤cos(2θ＋π6)≤－12. ∴－3≤3cos(2θ＋π6)≤－32.∴当θ＝5π12时，y max ＝1＋3， 当θ＝π2时，y min ＝1＋32.。
人教新课标版数学高一B版必修4作业3.3 三角函数的积化和差与和差化积
一、选择题1．sin 37.5°cos 7.5°＝( )A.22B.24C.2＋14 D.2＋24【解析】 原式＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12×(22＋12)＝2＋14.【答案】 C2．化简：sin 15°＋cos 65°cos 15°＋sin 65°＝( ) A ．sin 10° B ．tan 10°C ．sin 20°D ．tan 20° 【解析】 原式＝sin 15°＋sin 25°cos 15°＋cos 25°＝2sin 20°cos 5°2cos 20°cos 5°＝tan 20°. 【答案】 D3．函数f (x )＝sin(2x －π3)cos(2x ＋π3)的周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π【解析】 ∵f (x )＝12[sin 4x ＋sin(－2π3)]＝12sin 4x －34，∴T ＝2π4＝π2.【答案】 A4．(2013·临沂高一检测)求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80 °＝( ) A.12 B.22 C.32 D ．1【解析】 sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°＝2sin 30°cos(－10°)＋sin 60°－sin 80°＝2×12×sin 80°＋32－sin 80°＝32.【答案】 C5．已知α－β＝2π3，且cos α＋cos β＝13，则cos(α＋β)等于( ) A.29B ．－29 C.79 D ．－79【解析】 ∵cos α＋cos β＝13，∴2cos α＋β2cos α－β2＝13，∵α－β＝23π，∴cos α－β2＝12.∴cos α＋β2＝13则cos(α＋β)＝2cos 2(α＋β2)－1＝－79. 【答案】 D二、填空题6．函数y ＝cos(π3＋2x )cos(π3－2x )的最大值是________．【解析】 y ＝cos(π3＋2x )cos(π3－2x )＝12{cos[(π3＋2x )＋(π3－2x )]＋cos[(π3＋2x )－(π3－2x )]}＝12(cos 2π3＋cos 4x )＝12cos 4x －14.∴y max ＝14.【答案】 147．直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________．【解析】 ∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )，又－π2＜A －B ＜π2，∴0＜cos(A －B )≤1，∴sin A sin B 有最大值12.【答案】 128.1sin 40°＋cos 80°sin 80°＝________.【解析】 原式＝2cos 40°＋cos 80°sin 80°＝cos 40°＋2cos 60°cos 20°sin 80°＝cos 40°＋cos 20°sin 80°＝2cos 30°cos 10°sin 80°＝2cos 30°＝ 3. 【答案】3 三、解答题9．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，y ＝tan A 2＋2cos A 2sin A 2＋cos B －C 2，若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化？并证明你的结论．【解】 ∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，∴A ＋B ＋C ＝π，A 2＝π2－B ＋C 2.∴y ＝tan A 2＋2sin B ＋C 2cos B ＋C 2＋cos B －C 2＝tan A 2＋2(sin B 2cos C 2＋cos B 2sin C 2)2cos B 2cos C 2＝tan A 2＋tan B 2＋tan C 2. 因此，任意交换两个角的位置，y 的值不变．10．求函数f (x )＝sin x [sin x －sin(x ＋π3)]的最小正周期与最值．【解】 f (x )＝sin x [sin x －sin(x ＋π3)]＝sin x ·2cos(x ＋π6)sin(－π6)＝－sin x cos(x ＋π6)＝－12[sin(2x ＋π6)＋sin(－π6)]＝－12sin(2x ＋π6)＋14.∴最小正周期为T ＝2π2＝π.∵sin(2x ＋π6)∈[－1,1]，∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝－14.11．已知3tan(α－π12)＝tan(α＋π12)，求证：sin 2α＝1.【证明】 ∵3tan(α－π12)＝tan(α＋π12)，∴3sin (α－π12)cos (α－π12)＝sin (α＋π12)cos (α＋π12).∴3sin(α－π12)cos(α＋π12)＝sin(α＋π12)cos(α－π12)．∴32(sin 2α－sin π6)＝12(sin 2α＋sin π6)．∴3sin 2α－32＝sin 2α＋12，∴sin 2α＝1.。
高一数学人教B版必修4同步单元突击卷：(10)三角函数积化和差与和差化积
同步单元突击卷（10）三角函数积化和差与和差化积1、sin 20cos 40cos 20sin 40+= ( )A. -B. 2C. 12- D. 122、函数()2cos()cos()44f x x x ππ=+⋅-的最小正周期为()A. πB. 32πC. 2πD. 3π3、201016010sin cos cos sin ︒︒-︒︒= ( )A. -B. 12-D. 124、计算sin 71cos 26sin19sin 26-的结果等于( ) A. 12B. 2C. 2D. 2-5、sin34sin 26cos34cos26︒︒-︒︒的值是( ) A. 12C. 12-D. -6、已知,35sin sin αα⎛⎫ ⎪⎝⎭π++=则76sin α⎛π+⎫⎪⎝⎭的值是()A. 5-C. 45 D. 45-7、 sin 27cos63cos27sin63︒︒+︒︒= ( ) A. 12B. 2D. 18、化简cos cos3sin 3sin αααα--得结果为( )A. tan αB. tan 2αC. cot αD. cot 2α9、已知22cos cos m αβ-=,那么sin()sin()αβαβ+⋅-等于( )A. m -B. mC. 2m -D. 2m 10、cos cos 44x x ππ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为积的形式是( )xxC. xD. x11、sin 58cos60sin 2cos 2︒+︒︒=︒__________. 12、已知3sin()45πα-=,(,)42ππα∈,则tan α=__________ 13、已知3sin()35πα-=,(,)42ππα∈,则tan α=__________ 14、cos x +和差化积的结果为 . 15、若tan 3tan (0)2παββα=≤<≤,则αβ-的最大值为__________16、若tan ,tan αβ是方程2560x x ++=的两个根,且,,22ππαβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,则αβ+=__________.答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：2答案及解析：答案：A解析：3答案及解析：答案：D解析：4答案及解析：答案：C解析：5答案及解析：答案：C解析：6答案及解析：答案：D解析：7答案及解析：答案：D解析：8答案及解析：解析：原式2sin 2sin()tan 22cos 2sin ααααα-⋅-==⋅.9答案及解析：答案：A解析：∵22cos cos m αβ-=, ∴[]1sin()sin()cos 2cos 22αβαβαβ+⋅-=-- 2212cos 12cos 12αβ⎡⎤=---+⎣⎦ 22cos cos m βα=-=-.故选A.10答案及解析：答案：A解析：原式2cos cos 4x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.故选A.11答案及解析：答案：2 解析：12答案及解析：答案：7解析：13答案及解析：答案：4811+-14答案及解析： 答案：2cos cos 212212x x ππ⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解析：15答案及解析： 答案：6π 解析：设x αβ=-,则0,2x π≤<()2tan tan 2tan 21tan tan 13tan a cot 3t n tanx tan αββαβββαββ-==+++=-=, 当且仅当3cot tan ββ=,即6πβ=时, tanx 取最大值,此时3πα=,于是x 的最大值是6π16答案及解析： 答案：34π- 解析：由tan ,tan αβ是方程2560x x ++=的两个根 得tan 5,tan ?6tan tan αβαβ+=-=,两根同号,且都为负数,故,,02παβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭则()tan 3tan 1,1tan ?4tan tan αβαβαβπαβ++==+=--由Ruize收集整理。
2021年高中数学3.3三角函数的积化和差与和差化积课后训练新人教B版必修
2021年高中数学3.3三角函数的积化和差与和差化积课后训练新人教B版必修1．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β＝( )A． B． C． D．2．直角三角形的两个锐角分别为A和B，则sin A sin B( )A．有最大值和最小值0B．有最大值，但无最小值C．既无最大值，也无最小值D．有最大值1，但无最小值3．化简的结果为( )A． B．C． D．4．已知α－β＝，且cos α－cos β＝，则cos(α＋β)等于( )A． B． C． D．5．如果，那么等于( )A． B．C． D．6．cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°的值为________．7．若cos2α－cos2β＝m，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.8．若x为锐角三角形的内角，则函数y＝＋sin x的值域为________．9．求的值．10．已知△ABC的三个内角A，B，C满足A＋C＝2B，，求的值．参考答案1．解析：cos(α＋β)cos(α－β)＝ (cos 2α＋cos 2β)＝[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)]＝cos 2α－sin 2β，∵cos(α＋β)cos(α－β)＝，∴cos 2α－sin 2β＝.答案：C2．解析：因为A ＋B ＝，sin A sin B ＝[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝cos(A －B )， 又＜A －B ＜，则0＜cos(A －B )≤1，故0＜cos(A －B )≤，即sin A sin B 有最大值，无最小值．答案：B3．解析：2π4π6ππcos cos cos sin 7777πsin 7⎛⎫++ ⎪⎝⎭=原式 ＝13ππ5π3π5πsin sin sin sin sin πsin 277777πsin 7⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭ ＝1πsin 127π2sin 7-=-. 答案：C4．解析：由cos α－cos β＝得12sin sin 223αβαβ+--=，又α－β＝， ∴，∴cos(α＋β)＝1－2 ＝1－2×＝.答案：C5．解析：tan sin cos sin cos =tan cos sin cos sin ββαβααβαβα⋅= ＝1[sin(+)sin()]21[sin(+)sin()]2m n m n αββααββα+-+=---. 答案：B6．解析：cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°＝cos 20°＋＋2cos 120°cos 20°＝cos 20°＋－cos 20°＝.答案：7．解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝(cos 2α－cos 2β)＝[(2cos 2α－1)－(2cos 2β－1)]＝cos 2β－cos 2α＝－m .答案：－m8．解析：y ＝＋sin x ＝2＝，由已知得，所以＜≤1.所以y ∈.答案：9．解：2cos10sin202cos10(1sin10)cos20cos20︒-︒︒-︒=︒︒＝2cos10(sin90sin10)4cos10cos50sin40cos20cos20︒︒-︒︒︒︒=︒︒＝8cos10cos50sin20cos20cos20︒︒︒︒︒ ＝8cos 10°sin 20°sin 40°＝4(sin 30°＋sin 10°)sin 40°＝2sin 40°＋4sin 40°sin 10°＝2sin 40°－2(cos 50°－cos 30°)＝.10．解：由题设条件知B ＝60°，A ＋C ＝120°，∴cos cos60B -=-=-︒，∴. 将上式化简为cos A ＋cos C ＝cos A cos C ，则＝[cos(A ＋C )＋cos(A －C )]．将＝cos 60°＝，cos(A ＋C )＝cos 120°＝代入上式，得＝－cos(A －C )．将cos(A －C )＝2－1代入上式并整理，得22cos 022A C A C --⎛⎫+-=⎪⎝⎭，即2cos 3022A C A C --⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∵＋3≠0，∴.∴.。
高一数学人教b版必修4习题课件3-30三角函数的积化和差与和差化积
答案：A
2．有下列关系式： ① sin5θ ＋ sin3θ ＝ 2sin8θcos2θ ； ② cos3θ － cos5θ ＝ － 1 2sin4θsinθ ；③ sin3θ － sin5θ ＝－ 2 cos4θcosθ ；④ sin5θ ＋ cos3θ ＝ 1 2sin4θcosθ；⑤sinxsiny＝2[cos(x－y)－cos(x＋y)]． 其中正确的个数是( A．0 C．2 B．1 D．3 )
1 － 2 ＋1 3 ＝ 1 1＋2×－3
10 9 10 ＝1＝3， 3 故应选择 A.
答案：A
二、填空题：每小题 5 分，共 15 分． sin10° ＋cos50° 7. ＝__________. cos10° －sin50°
解析：原式＝ cos10° －cos40° ＝ 2sin25° cos15° －2sin25° sin－15°
π π 3sin4x－3 .
2π 故 f(x)的最小正周期为 T＝ ＝8. π 4 (2)方法一：在 y＝g(x)的图像上任取一点(x，g(x))，它关于 x ＝1 的对称点(2－x，g(x))．
第三章
三角恒等变换
课时作业(30)
三角函数的积化和差与和差化积
能运用两角和与差的正弦和余弦公式导出积化和 作业 差、和差化积公式，能简单地运用积化和差与和差 目标 化积公式． 作业 设计
限时：40 分钟 满分：90 分
一、选择题：每小题 5 分，共 30 分． 1．sin20° cos70° ＋sin10° sin50° 的值是( 1 A.4 1 C.2 3 B. 2 3 D. 4 )
1 答案： 2
三、解答题：每小题 15 分，共 45 分． 10 ．已知 tanα 、tanβ 是方程 x2 ＋3x －4 ＝ 0 的两个根，求 cos2α＋cos2β 的值． sin2α＋sin2β
高中数学 3.3 三角函数的积化和差与和差化积优化训练
3.3 三角函数的积化和差与和差化积5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.下列等式错误的是（ ）A.sin （A+B ）+sin （A-B ）=2sinAcosBB.sin （A+B ）-sin （A-B ）=2cosAsinBC.cos （A+B ）+cos （A-B ）=2cosAcosBD.cos （A+B ）-cos （A-B ）=2sinAcosB 提示：由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A 、B 、C 正确. 答案:D2.sin20°cos70°+sin10°sin50°的值为( ) A.41 B.23 C.21D.43解析：sin20°cos70°+sin10°sin50°=21（sin90°-sin50°)21-（cos60°-cos40°) =2121-sin50°-41+21cos40°=41. 答案:A3.函数ｙ=sin （x+3π）-sin ｘ(x∈［0，π］)的值域是（ ） A.［-2，2］ B.［21-，23］C.［21，1］ D.［21，23］解析：由和差化积公式可得y=cos(x+6π)，再由x ∈［0，π］，可得6π≤x+6π≤32π，y ∈［21-,23］. 答案:B4.2sin55°cos35°=_________________； sin75°-sin15°=___________________.解析：2sin55°cos35°=sin（55°+35°)+sin（55°-35°)=1+sin20°, sin75°-sin15°=2cos21575sin21575︒-︒︒+︒ =2cos45°sin30°=22. 答案:1+sin20°22 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.有下列关系式：①sin5θ+sin3θ=2sin8θcos2θ；②cos3θ-cos5θ=-2sin4θsinθ；③sin3θ-sin5θ=21-cos4θcosθ； ④sin5θ+cos3θ=2sin4θcosθ；⑤sinxsiny=21［cos （x-y ）-cos （x+y ）］. 其中正确等式的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3 解析：①②③④均不正确，⑤正确. 答案:B2.若cos （α+β）cos （α-β）=31，则cos 2α-sin 2β等于( ) A.32- B.31- C.31 D.32解析：cos （α+β)cos（α-β)=21（cos2α+cos2β)=21［（2cos 2α-1)+（1-2sin 2β)］ =cos 2α-sin 2β，∴cos 2α-sin 2β=31.答案:C3.化简：)4sin()4cos()4sin()4cos(x x x x ++++-+ππππ的结果为( )A.tan2xB.tan2xC.tanxD.-tanx 解析：原式=)cos(4sin 2)sin(4cos 2)4sin()4sin()4sin()4sin(x x x x x x --=++-+--ππππππ=-tanx. 答案:D4.函数y=sin （x-6π）cosx 的最小值是_____________. 解析：y=sin （x 6π-)cosx=21［sin （2x 6π-)+sin （6π-)］ =21［sin （2x 6π-)21-］ =21sin （2x 6π-)-41， 当sin （2x 6π-)=-1时，y 取得最小值43-.答案: 43-5.化简：AA A AA A 7sin 5sin 23sin 5sin 3sin 2sin ++++.解：原式=AA A AA A A A A A A A 5sin 22cos 5sin 23sin 22cos 3sin 25sin 2)7sin 3(sin 3sin 2)5sin (sin ++=++++AAA A A A 5sin 3sin )12(cos 5sin 2)12(cos 3sin 2=++==csc5Asin3A.6.求sin 220°+cos 250°+sin20°cos50°的值.解：原式=2100cos 1240cos 1︒++︒-+sin20°cos50° =121-（cos40°-cos100°)+21［sin70°+sin（-30°)］=121-·（-2)sin70°sin（-30°)+21sin70°-41=121-sin70°+21sin70°-41=43.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.(2006山东济南统考，2)（sin75°-sin15°）（cos15°+cos75°）的值是（ ） A.21B.23C.22D.1提示：利用和差化积公式；还可利用诱导公式及二倍角余弦公式等.答案:B 2.如果n m =-+)sin()sin(βαβα，那么αβtan tan 等于（ ）A.n m n m +- B.n m n m -+ C.n m m n +- D.mn n m -+ 解析：n m n m -+=--+-++==•=)]sin()[sin(21)]sin()[sin(21sin cos cos sin sin cos cos sin tan tan αββααββααβαβααββαβ. 答案:B3.直角三角形中两锐角为A 和B ，则sinAsinB （ ） A.有最大值21和最小值0 B.有最大值21但无最小值 C.既无最大值也无最小值 D.有最大值1但无最小值 解析：因为A+B=2π，sinAsinB=21［cos （A-B)-cos （A+B)］=21cos （A-B).又2π-＜A-B ＜2π，而0＜cos （A-B)≤1， 故sinAsinB 有最大值无最小值. 答案:B4.化简cos72π+cos 74π+cos 76π所得结果为（ ） A.sin 7π B.21sin 7π C.21- D.7cos 21π-解析：原式=7sin7sin)7cos 74cos 72(cos πππππ6++ =217sin 7sin217sin )75sin sin 73sin 75sin 7sin 73(sin 21-=-=-+-+-πππππππππ. 答案:C5.已知α-β=3π且cosα-cosβ=31，则cos （α+β）等于（ ）A.31B.32C.97D.98 解析：由cosα-cosβ=31，得-2sin 2βα+·sin 2βα-=31，即sin 2βα+=31-，∴cos（α+β)=1-2sin 2 2βα+=1-2×（31-)2=97.答案:C6.cos20°+cos60°+cos100°+cos140°的值为_________________. 解析：cos20°+cos60°+cos100°+cos140°=cos20°+21+2cos120°cos20° =cos 20°+21-cos20°=21.答案: 217.若cos 2α-cos 2β=m，则sin （α+β）·sin（α-β）=________________. 解析：sin （α+β)·sin（α-β)=21-［cos2α-cos2β］ =21-［（2cos 2α-1)-（2cos 2β-1)］=cos 2β-cos 2α=-m. 答案:-m8.若x 为锐角三角形的内角，则函数y=sin(x+3π)+sinx 的值域为______________. 解析：y=2sin(x+6π)cos 6π=3sin(x+6π)，由条件知6π＜x+6π＜32π，所以21＜sin(x+6π)≤1.所以y ∈(23,3］. 答案:(23,3］ 9.已知cos α=cos β·cosA，求证：tan 22A =tan 2βα+·tan 2βα-.证法一：欲证tan 22A=tan 2βα+·tan 2βα-，只需证2cos2cos 2sin2sin 2cos 2sin 22βαβαβαβα-+-+=A A αβαββαβαcos cos cos cos cos 1cos 1)cos (cos 21)cos (cos 212cos 12cos 1+-=+-⇔+--=+-⇔A A A A ⇔cosA=βαcos cos ⇔cosAcos β=cos α.故原式成立.证法二：∵tan 2βα+·tan 2βα-=A A A A cos 1cos 1cos cos cos )cos cos (cos )cos (cos 21)cos (cos 212cos 2cos 2sin 2sin +-=+--=+--=-•+-•+βββββαβαβαβαβαβα 2tan 2cos 22sin 2222A A A ==，∴原式成立. 10.化简:cos 2α+cos 2（α+β）-2cos α cos β cos （α+β）-sin 2β.解：原式=cos 2α+cos （α+β)［cos （α+β)-2cos αcos β］-sin 2β=cos 2α+cos （α+β)（-cos αcos β-sin αsin β)-sin 2β=22cos 1α+-cos （α+β)cos （α-β)- 22cos 1β- =21（cos2α+cos2β) 21-（cos2α+cos2β)=0.。
探讨三角函数的和差化积与积化和差模拟试题
探讨三角函数的和差化积与积化和差模拟试题三角函数的和差化积与积化和差模拟试题一、和差化积考虑以下三角恒等式：1. $\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$2. $\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$我们可以利用这两个公式，将两个三角函数的和写成积的形式，从而简化计算。
下面是一些模拟试题，帮助我们理解和差化积的使用方法。
1. 将 $\sin(3x-2y)$ 写成和差的形式。
解：根据和差化积的公式，我们有：$\sin(3x-2y)=\sin(3x)\cos(-2y)+\cos(3x)\sin(-2y)$利用三角函数的奇偶性质，我们知道 $\cos(-2y)=\cos(2y)$，$\sin(-2y)=-\sin(2y)$。
因此，上述等式可以简化为：$\sin(3x-2y)=\sin(3x)\cos(2y)-\cos(3x)\sin(2y)$2. 将 $\cos\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)$ 写成和差的形式。
解：利用和差化积的公式，我们有：$\cos\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos(\t heta)-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin(\theta)$根据$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2 }}$，上述等式可以简化为：$\cos\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\theta)-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\theta)$二、积化和差考虑以下三角恒等式：1. $\sin A\cos B=\frac{1}{2}[\sin(A+B)+\sin(A-B)]$2. $\cos A\sin B=\frac{1}{2}[\sin(A+B)-\sin(A-B)]$3. $\cos A\cos B=\frac{1}{2}[\cos(A+B)+\cos(A-B)]$4. $\sin A\sin B=-\frac{1}{2}[\cos(A+B)-\cos(A-B)]$利用这些恒等式，我们可以将两个三角函数的积写成和差的形式，从而简化计算。
高一数学人教B版必修4同步训练：3.3 三角函数的积化和差与和差化积 Word版含解析
§3.3 三角函数的积化和差与和差化积一、基础过关1． 函数y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最大值是( )A ．2B. 3C.32 D.33 2． 化简1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α的结果是( ) A ．cot 2α B ．tan 2α C ．cot αD ．tan α3． 若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β等于( )A ．－23B ．－13C.13D.23 4． sin 20°cos 70°＋cos 40°cos 80°的值为( ) A.14B.32C.12D.345.sin 35°－sin 25°cos 35°－cos 25°的值是________．6． 给出下列关系式：①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ； ②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ； ③sin 3θ－sin 5θ＝－12cos 4θcos θ；④sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ； ⑤sin x sin y ＝12[cos(x －y )－cos(x ＋y )]．其中正确的序号是________． 7． 化简：sin 40°(1＋2cos 40°)2cos 240°＋cos 40°－1.8． 在△ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C＝4cos A 2cos B 2cos C2.二、能力提升9． cos 2α－cos αcos(60°＋α)＋sin 2(30°－α)的值为( )A.12B.32C.34D.1410．已知cos 2α－cos 2β＝m ，那么sin(α＋β)·sin(α－β)＝________. 11．化简：tan 20°＋4sin 20°.12．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值．三、探究与拓展13．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足：A ＋C ＝2B ，1cos A ＋1cos C ＝－2cos B ，求cosA －C 2的值．答案1．B 2.B 3.C 4.A 5.－3 6.⑤ 7． 解 方法一 原式＝sin 40°＋2sin 40°cos 40°cos 40°＋(2cos 240°－1)＝sin 40°＋sin 80°cos 40°＋cos 80° ＝2sin 60°cos 20°2cos 60°cos 20°＝tan 60°＝ 3.方法二 原式＝sin 40°＋2sin 40°cos 40°cos 40°＋(2cos 240°－1) ＝sin 40°＋sin 80°cos 40°＋cos 80°＝sin (60°－20°)＋sin (60°＋20°)cos (60°－20°)＋cos (60°＋20°)＝2sin 60°cos 20°2cos 60°cos 20°＝tan 60°＝ 3.8． 证明 sin A ＋sin B ＋sin C＝2sinA ＋B 2cos A －B2＋ 2sinA ＋B 2cos A ＋B 2＝2sin A ＋B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A －B 2＋cos A ＋B 2 ＝2cos C 2·2cos A2cos ⎝⎛⎭⎫－B 2 ＝4cos A 2cos B 2cos C2.∴sin A ＋sin B ＋sin C＝4cos A 2cos B 2cos C2成立．9． C 10.－m 11. 3 12．解 ∵cos α－cos β＝12，∴－2sin α＋β2sin α－β2＝12.①∵sin α－sin β＝－13，∴2cos α＋β2sin α－β2＝－13.②∵sin α－β2≠0，由①②得－tan α＋β2＝－32.即tan α＋β2＝32，∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2·cosα＋β2sin 2α＋β2＋cos 2α＋β2＝2tanα＋β21＋tan2α＋β2＝2×321＋94＝1213.13．解 由题设条件知，B ＝60°，A ＋C ＝120°.∵－2cos 60°＝－22，∴1cos A ＋1cos C ＝－2 2.将上式化为cos A ＋cos C ＝－22cos A cos C .利用和差化积及积化和差公式，上式可化为2cos A ＋C 2cos A －C 2＝－2[cos(A ＋C )＋cos(A －C )]．将cos A ＋C 2＝cos 60°＝12，cos(A ＋C )＝－12，代入上式得cosA －C 2＝22－2cos(A －C )． 将cos(A －C )＝2cos 2A －C2－1代入上式并整理得42cos 2A －C 2＋2cos A －C2－32＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos A －C 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos A －C 2＋3＝0，∵22cos A －C2＋3≠0.∴2cosA －C2－2＝0. 从而得cos A －C 2＝22.。
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第三章 3.3一、选择题1．sin75°－sin15°的值为( ) A ．12B ．22C ．32D ．－12[答案] B[解析] sin75°－sin15°＝2cos 75°＋15°2sin 75°－15°2＝2×22×12＝22.故选B ．2．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β的值为( )A ．－23B ．－13C ．13D ．23[答案] C[解析] 由已知得cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13，∴cos 2α(1－sin 2β)－sin 2αsin 2β＝13，即cos 2α－sin 2β＝13.3．化简cos α－cos3αsin3α－sin α的结果为( )A ．tan αB ．tan2αC ．cot αD ．cot2α [答案] B[解析] 原式＝－2sin2αsin (－α)2cos2αsin α＝2sin2αsin α2cos2αsin α＝tan2α.4．函数f (x )＝2sin x 2sin(π3－x2)的最大值是( )A ．12B ．32C ．－12D ．－23[答案] A[解析] f (x )＝2sin x 2sin(π3－x2)＝－[cos(x 2＋π3－x 2)－cos(x 2－π3＋x2)]＝－cos π3＋cos(x －π3)＝cos(x －π3)－12.f (x )max ＝1－12＝12.5．有下列关系式：①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ；②cos3θ－cos5θ＝－2sin4θsin θ；③sin3θ－sin5θ＝－12cos4θcos θ；④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcos θ.其中正确等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] A[解析] ①②③④均不正确，故选A ．6．已知cos 2α－cos 2β＝m ，那么sin(α＋β)sin(α－β)等于( ) A ．－m B ．m C ．－m 2D ．m 2[答案] A[解析] sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β) ＝cos 2β－cos 2αcos 2β－cos 2α＋cos 2αcos 2β ＝cos 2β－cos 2α＝－m . 二、填空题7．求值：sin10°＋cos70°sin80°＋cos20°＝________.[答案] 2－ 3 [解析]sin10°＋cos70°sin80°＋cos20°＝cos80°＋cos70°sin80°＋sin70°＝2cos75°cos5°2sin75°cos5°＝1tan75°＝1tan (30°＋45°) ＝1－tan30°tan45°tan30°＋tan45°＝1－33×133＋1＝2－ 3. 8．cos40°＋cos60°＋cos80°＋cos160°＝________. [答案] 12[解析] 原式＝cos40°＋cos80°＋cos60°－cos20° ＝2cos60°·cos(－20°)＋cos60°－cos20° ＝cos60°＝12.三、解答题9．求证：sin(α＋β)cos α－12[sin(2α＋β)－sin β]＝sin β.[解析] 解法一：左边＝sin(α＋β)cos α－12[sin 〔(α＋β)＋α〕－sin β]＝sin(α＋β)cos α－12[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＋12sin β＝12[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]＋12sin β＝12sin[(α＋β)－α]＋12sin β＝sin β＝右边． 解法二：左边＝sin(α＋β)cos α－12⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α＋β＋β2sin 2α＋β－β2 ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]＝sin β＝右边．一、选择题1．已知sin(α－β)·cos α－cos(α－β)·sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β等于( ) A ．1－m 2 B ．－1－m 2 C ．1＋m 2 D ．－m 2－1[答案] B[解析] sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin(－β)＝－sin β， ∴sin β＝－m .又β为第三象限角， ∴cos β＝－1－m 2.2．若sin α＋sin β＝33(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( ) A ．－2π3B ．－π3C ．π3D ．2π3[答案] D[解析] ∵α、β∈(0，π)，∴sin α＋sin β>0. ∴cos β－cos α>0，∴cos β>cos α，又在(0，π)上，y ＝cos x 是减函数． ∴β<α∴0<α－β<π，由原式可知：2sin α＋β2·cos α－β2＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫－2sin α＋β2·sin β－α2， ∴tan α－β2＝3∴α－β2＝π3∴α－β＝2π3.3．在△ABC 中，若B ＝30°，则cos A sin C 的取值范围是( ) A ．[－1,1] B ．[－12，12]C ．[－14，34]D ．[－34，14][答案] C[解析] cos A sin C ＝12[sin(A ＋C )－sin(A －C )]＝14－12sin(A －C )，∵－1≤sin(A －C )≤1， ∴cos A sin C ∈⎣⎡⎦⎤－14，34. 4．tan70°cos10°(3tan20°－1)等于( ) A ．1 B ．－1 C ．12D ．－12[答案] B[解析] 原式＝cot20°cos10°(3tan20°－1) ＝cot20°cos10°3sin20°－cos20°cos20°＝cot20°cos10°2sin (20°－30°)cos20°＝－2sin10°cos10°cot20°cos20°＝－1.二、填空题5．sin 220°＋cos 280°＋3sin20°·cos80°＝________. [答案] 14[解析] 原式＝1－cos40°2＋1＋cos160°2＋32sin100°－32sin60°＝14－12cos40°－12cos20°＋32sin100° ＝14－12×2cos30°cos10°＋32cos10° ＝14－32cos10°＋32cos10°＝14. 6．计算1tan10°－4cos10°＝________.[答案]3[解析] 1tan10°－4cos10°＝cos10°－2sin20°sin10°＝cos10°－2sin (30°－10°)sin10°＝2cos30°sin10°sin10°＝ 3.三、解答题7．求函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的递增区间．[解析] y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋3sin2x ＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 故该函数的最小正周期是π；最小值是－2. 递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3，⎣⎡⎦⎤5π6，π. 8．在△ABC 中，求证：(1)sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝2sin A sin B cos C ； (2)sin A ＋sin B －sin C ＝4sin A 2sin B 2cos C2.[解析](1)左边＝sin 2A ＋1－cos2B 2－1－cos2C2＝sin 2A ＋12(cos2C －cos2B )＝sin 2(B ＋C )＋sin(B ＋C )sin(B －C ) ＝sin(B ＋C )[sin(B ＋C )＋sin(B －C )]＝sin(B ＋C )2sin B cos C ＝2sin A sin B cos C ＝右边， ∴等式成立．(2)左边＝sin(B ＋C )＋2sin B －C 2cos B ＋C2＝2sin B ＋C 2cos B ＋C 2＋2sin B －C 2cos B ＋C2＝2cos B ＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B ＋C 2＋sin B －C 2＝4sin A 2sin B 2cos C2＝右边，∴原等式成立．9．讨论函数f (x )＝12cos(2x －2α)＋cos 2α－2cos(x －α)·cos x ·cos α的周期、最值、奇偶性及单调区间．[解析] f (x )＝12cos(2x －2α)＋1＋cos2α2－2cos(x －α)cos x ·cos α＝12＋12[cos(2x －2α)＋cos2α]－[2cos(x －α)·cos α]cos x ＝12＋cos x ·cos(x －2α)－cos x [cos x ＋cos(x －2α)] ＝12－cos 2x ＝12－1＋cos2x 2＝－12cos2x . ∴函数的最小正周期T ＝2π2＝π.f (x )max ＝12，此时cos2x ＝－1，即2x ＝2k π＋π，k ∈Z ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；f (x )min ＝－12，此时cos2x ＝1，即2x ＝2k π，k ∈Z ，x ＝k π，k ∈Z . f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．由2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ，即k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z .∴函数f (x )的增区间为[k π，k π＋π2](k ∈Z )．由2k π＋π≤2x ≤2k π＋2π，k ∈Z ，即k π＋π2≤x ≤k π＋π，k ∈Z .∴函数f (x )的单调减区间为[k π＋π2，k π＋π]，k ∈Z .。
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3.3 三角函数的积化和差与和差化积 同步练习
1．下列等式错误的是( )
A ．sin(A ＋
B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B
B ．sin(A ＋B )－sin(A －B )＝2cos A sin B
C ．cos(A ＋B )＋cos(A －B )＝2cos A cos B
D ．cos(A ＋B )－cos(A －B )＝2sin A cos B 解析：选D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A 、B 、C 正确．
2．sin15°sin75°＝( ) A.18 B.14 C.12 D ．1 解析：选B.sin15°sin75°＝
－12
[cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)] ＝－12
(cos90°－cos60°) ＝－12(0－12)＝14
. 3．sin105°＋sin15°等于( )
A.32
B.22
C.62
D.64 解析：选C.sin105°＋sin15°＝2sin 105°＋15°2cos 105°－15°2＝2sin60°cos45°＝62
. 4．sin37.5°cos7.5°＝________.
解析：sin37.5°cos7.5°＝12
[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)] ＝12
(sin45°＋sin30°) ＝12⎝⎛⎭⎫22＋12＝2＋14
. 答案：2＋14
一、选择题
1．sin70°cos20°－sin10°sin50°的值为( )
A.34
B.32
C.12
D.34
解析：选A.sin70°cos20°－sin10°sin50°
＝12(sin90°＋sin50°)＋12(cos60°－cos40°)
＝12＋12sin50°＋14－12cos40°＝34
. 2．cos72°－cos36°的值为( )
A ．3－2 3
B.12 C ．－12 D ．3＋2 3
解析：选C.原式＝－2sin 72°＋36°2sin 72°－36°2
＝－2sin54°·sin18°＝－2cos36°cos72°
＝－2·sin36°cos36°cos72°sin36°＝－sin72°cos72°sin36°
＝－sin144°2sin36°＝－12
，故选C. 3．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C 2
，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形
C ．不等边三角形
D ．直角三角形
解析：选B.由已知等式得12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12
(1＋cos C )，又A ＋B ＝π－C .所以cos(A －B )－cos(π－C )
＝1＋cos C .
所以cos(A －B )＝1，又－π<A －B <π，所以A －B ＝0，所以A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形．故选B.
4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫x －π6cos x 的最大值为( ) A.12
B.14 C ．1
D.22
解析：选B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6cos x ＝12⎣
⎡⎦⎤sin (x －π6＋x )＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π6－x ＝12⎣
⎡⎦⎤sin (2x －π6)－12 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－14. ∴y max ＝12－14＝14
. 5．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13
，则cos 2α－sin 2β等于( ) A ．－23 B ．－13
C.13
D.23
解析：选C.cos(α＋β)cos(α－β)＝12
(cos2α＋cos2β) ＝12
[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)] ＝cos 2α－sin 2β，
∴cos 2α－sin 2β＝13
. 6．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－sin x (x ∈[0，π2
])的值域是( ) A ．[－2,2] B.⎣⎡⎦
⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤12，1 D.⎣⎡⎦
⎤12，32 解析：选B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6sin π6 ＝cos(x ＋π6
)． ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴π6≤x ＋π6≤2π3
， ∴y ∈⎣⎡⎦
⎤－12，32. 二、填空题
7．cos 275°＋cos 215°＋cos75°·cos15°的值等于________．
解析：y ＝sin 215°＋cos 215°＋cos75°·cos15°
＝1＋12(cos90°＋cos60°)＝54
. 答案：54
8．已知α－β＝2π3，且cos α＋cos β＝13
，则cos(α＋β)等于________． 解析：cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2＝2cos π3cos α＋β2＝cos α＋β2＝13
， ∴cos(α＋β)＝2cos 2
α＋β2－1＝2×19－1＝－79
. 答案：－79
9．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋2π3的最大值是______． 解析：y ＝12⎣
⎡⎦⎤cos (2x ＋π)＋cos ⎝⎛⎭⎫－π3 ＝12⎝
⎛⎭⎫－cos2x ＋cos π3＝14－12cos2x ， 因为－1≤cos2x ≤1，所以y max ＝34
. 答案：34
三、解答题
10．化简下列各式：
(1)cos A ＋cos (120°＋B )＋cos (120°－B )sin B ＋sin (120°＋A )－sin (120°－A )
； (2)sin A ＋2sin3A ＋sin5A sin3A ＋2sin5A ＋sin7A . 解：(1)原式＝cos A ＋2cos120°cos B sin B ＋2cos120°sin A
＝cos A －cos B sin B －sin A
＝2sin A ＋B 2sin B －A 2
2cos A ＋B 2sin B －A 2
＝tan A ＋B 2. (2)原式＝(sin A ＋sin5A )＋2sin3A (sin3A ＋sin7A )＋2sin5A
＝
2sin3A cos2A ＋2sin3A 2sin5A cos2A ＋2sin5A ＝2sin3A (cos2A ＋1)2sin5A (cos2A ＋1)＝sin3A sin5A . 11. 在△ABC 中，若B ＝30°，求cos A sin C 的取值范围． 解：由题意得
cos A sin C ＝12
[sin(A ＋C )－sin(A －C )] ＝12
[sin(π－B )－sin(A －C )] ＝14－12
sin(A －C )． ∵－1≤sin(A －C )≤1，
∴－14≤14－12sin(A －C )≤34
， ∴cos A sin C 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，34. 12．已知f (x )＝－12＋sin 52x 2sin x 2
，x ∈(0，π)． (1)将f (x )表示成cos x 的多项式；
(2)求f (x )的最小值．
解：(1)f (x )＝sin 5x 2－sin x 22sin x 2
＝2cos 3x 2sin x 2sin x 2
＝2cos 3x 2cos x 2 ＝cos2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1.
(2)∵f (x )＝2(cos x ＋14)2－98
， 且－1＜cos x ＜1.
∴当cos x ＝－14时，f (x )取最小值－98
.。