数学建模简明教程(第一章.ppt
数学建模 第一篇第一章
第一篇 线性规划模型及应用第一章 线性规划问题的数学模型及其解的性质§1-1-1线性规划问题的数学模型引例：某工厂生产某种型号的机床，每台机床上需要2.9米、2.1米和1.5米长的三种轴各一根，这些轴需要用同一种圆钢制作，圆钢的长度为7.4米。
如果要生产100台机床，应如何下料，才能使得用料最省？分析：对于每一根长为7.4米的圆钢，截成2.9米、2.1米和1.5米长的毛坯，可以有若干种下料方式，把它截成我们需要的长度，有以下8种下料方式(表1-1-1)：表1-1-1 下料方式及每种方式毛坯的数目下料方式是从大到小、从长到短的顺序考虑的。
1.假若考虑只用3B 方式下料，需要用料100根；2.若采用木工师傅的下料方法：先下最长的、再下次长的、最后下短的(见表1-1-2)：表1-1-2 木工师傅的下料情况的用料表动一下脑筋，就可以节约用料4根，降低成本。
但这仍然不是最好的下料方法。
3.如果要我们安排下料，暂不排除8种下料方式中的任何一种，通过建立数学模型（线性规划数学模型）进行求解，寻找最好的下料方案。
设用1B ,2B ,3B ,4B ,5B ,6B ,7B ,8B 方式下料的根数分别为87654321,,,,,,,x x x x x x x x ，则可以建立线性规划数学模型:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+++++≥++++≥++++++++++=0,,,,,,,10043231002321002..m in 8765432187643176532432187654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x S 用LINGO 10.0软件求解，程序如下： Min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;2*x1+x2+x3+x4>=100;2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7>=100;x1+x3+3*x4+2*x6+3*x7+4*x8>=100;根据输出结果，得：,20,4021==x x 90m in ,0,0,30,0,0,0876543=======S x x x x x x (最优解不唯一)；或90m in ,0,0,0,0,30,0,50,1087654321=========S x x x x x x x x 。
第1讲 数学建模简介 PPT课件
一. 数学科学的重要性 * 科学技术是第一生产力； * 信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争； * “高技术”本质上是一种数学技术； * 数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行 的技术； * 计算机的飞速发展促使数学得以广泛应用； * 在经济竞争中数学科学是必不可少的;
现代数学： 在理论上更抽象； 在方法上更加综合； 在应用上更为广泛。
帮助展开思路的方法：
提问题法 关键词联想法
常用的问题如下： （l） 这个问题和什么问题相类似？ （2）假如变动问题的某些条件将会怎样？ （3）将问题分解成若干部分再考虑会怎样？ （4）重新组合又会怎样？ 为进一步打开思路还可提以下问题：
（5）我们还可以做什么工作？
（6）有无需要进一步完善的内容？
（7）可否换一种数学工具来解决此问题？
数学建模的意义：
所谓数学模型， 从广义上理解，数学中的概念，如数、向量、 集合、点、线、面、群、环、域、线性空间等 都是现实原型的数学模型．但这些是前人已经 建立起来的、成熟的数学模型， 从狭义上理解，是对现实存在的具体问题， 建立新的数学模型，这后一种理解，对学习数学 建模者来说更有意义。
例1.生物医学专家有了药物浓度在人体内随 时间和空间变化的数学模型后，可以用来分析药 物的疗效，从而有效地指导临床用药.
模型假设 （1）该车的重心沿一个半径为r的园做 圆周运动（根据交通学原理，现有公路 的弯道通常是按圆弧段设计的,需要检 验）。 （2）汽车速度v是常数（因刹车失灵， 所以刹车不起作用）。 （3）设摩擦力f作用在汽车速度的法线上， 摩擦系数为常数k，汽车质量为m。
模型建立
根据牛顿运动学定律： f=kmg=mv2/r （1.1） 模型求解 由（1.1）式得 v= kgr （1.2） 关于园半径的估计:假设已知园的弦长为c,弓形高度为h, 由勾股定理得, 由表1.1得 c≈33.27m, h≈3.55m, r≈40.75m.
第1讲 数学建模简介 PPT课件
什么是数学建模 数学建模步骤及分类 建模竞赛及其意义 建模实例讲解
什么是数学建模
什么是数学模型 一般意义上的“模型”
为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提 炼出来的原型的替代物。
水箱中的舰艇； 风洞中的飞机等；
实物模型
符号模型
物理模型
什么是数学建模
数学模型（mathematical model)
引例
第二块钢板的故事，来自一位将军。 诺曼底登陆时，美军101空降师副师长唐·普拉特准将
乘坐的是滑翔机。起飞前，有人自作聪明，在副师长的座 位下，装上厚厚的钢板，用来防弹。由于滑翔机自身没有 动力，与牵引的运输机脱钩后，必须保持平衡滑翔降落， 沉重的钢板却让滑翔机头重脚轻，一头扎向地面，普拉特 准将成为美军在当天阵亡的唯一将领。
什么是数学建模
数学建模（mathematical modeling)
“新”名词 你是什么时候开始知道有这个名词的？
历史悠久 •《九章算术》— 最早的数学建模专著、 收集了246个应用题 • 以问题集形式出现： 一“问” —提出问题 二“答” —给出问题的数值答案 三“术” —讨论同类问题的普遍方法或算法 四“注” —说明“术”的理由，实质指证明或佐证
飞行员们一看就明白了，如果座舱中弹，飞行 员就完了；尾翼中弹，飞机失去平衡，就会坠落— ——这两处中弹，轰炸机多半回不来，难怪统计数 据是一片空白。
因此，结论很简单：只给这两个部位焊上钢板。
引例
• 第一块钢板是机智的飞行员用它挽救了自己 的生命。 • 第二块钢板则是教训，它是用宝贵的生命换 来的。 • 第三块钢板是升华，用科学的方法，从实战 经验中提炼出规律，这块讲科学的钢板，挽救 了众多飞行员的生命。
《数学建模》课件
第一章课程概述§1.1 数学模型与数学建模一．基本概念数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。
其产生以及许多重大发展都是和现实世界的生产活动和其他相应学科的需要密切相关的；同时，作为认识和改造世界的强有力的工具，又促进了科学技术和生产建设的发展。
特别在当今时代，由于计算机软硬件的迅速发展和普及，数学方法被广泛应用于生产实践、社会管理的各个领域和层面。
对具体的应用问题或问题类进行合理的简化假设以及适当的抽象并最终表述为某种数学结构，即我们在这里讨论的数学模型，是现代生产实践与社会生活实现优化决策和科学管理的必要环节。
而数学建模则是指根据实际需要或最终管理目标，对现实问题构建数学模型，对模型进行分析求解，并最终将模型解翻译为决策方案应用于实际的一个由诸多环节组成的一个完整过程。
为理解现实对象与数学模型的关系，以下给出数学建模的一个流程图：二．（引例1）椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。
这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？三．（引例2）商人过河设有三名商人，各带一个随从，欲乘一小船渡河，小船只能容纳两人，须由他们自己划行。
随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
而如何乘船渡河的大权掌握在商人们的手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。
这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？以下的模型给出了肯定的回答。
一．模型假设：1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一点，四脚的连线呈正方形；2．地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没台阶）。
即地面可视为数学上的连续曲面；3．对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置上至少有三只脚同时着地。
建模辅导 第一讲.ppt
（2）可将本问题提法更一般化些，从而更具一般性。
在 在
设个个星星头nx期期12牛n中中在aa吃就a个完能xx2n1x星吃1n亩n期n完21地中 上亩mmm就m的1地(2能(h(hmh0草上吃002？的完nnn草v12)vv亩，))地m那1上么的多草少，头牛头才牛x能2
第一讲 数学建模的初步认识
实例2（方桌问题）四条腿的方桌能在地面上放稳吗？ 试建立数学模型来回答这个问题？
（2）草在牛吃草之前，其高度未必一致； （3）草是随吃随长的，且各处的生长速度也不尽相同；
2、模型假设：
第一讲 数学建模的初步认识
（1）牛吃不到草的草高为吃完高度，假设此时草高为零；
（2）在牛吃草之前，各处草的高度是一致的，设为 h0； （3）每头牛吃草量相同，均为 a单位/星期；
（4）草的生长速度各处相同且是均匀生长的，即生长速度为
不合理的，更为合理的是：整个身体的重量集中在脚上，于是动能
项中的 M，=由m此模型又被改写成
P= Mgv x Mv3
8l
2x
从而 x2 4lv2 n2 g
g
4l
再将刚才的数据代入后，得到n 1.6
第一讲 数学建模的初步认识
巩固”五步建模法”： 实例4（土地承包问题） 设某村一户农民承包了100亩中低产田，土地租用费每 亩50元/年，农业税每亩10元/年；根据当地气候条件可 以种植小麦、玉米和花生，其种植周期是：10月份（秋 天）收玉米后可种冬小麦，第二年6月（夏天）收割小麦， 后可种玉米，10月份收割玉米；4月份种花生，10月份 收割花生后可种冬小麦，有关数据列入下表：
经过细想，做法值得推敲：
（1）市场情况你了解吗？即市场能否容纳所有鱼的出售； （2）涉及到你是否还想继续做养鱼专业户的问题？
数学建模ppt第一章.ppt
问题分析
多步决策过程
3名商人 3名随从
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员
要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有 限步使全体人员过河.
模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数 yk~第k次渡河前此岸的随从数 sk=(xk , yk)~过程的状态
《数精学品课建程模》
描述、优化、预报、决策 … …
了解程度 白箱
灰箱
黑箱
《数精学品课建程模》
1.6 怎样学习数学建模
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术
技术大致有章可循 艺术无法归纳成普遍适用的准则
想像力
洞察力
判断力
• 学习、分析、评价、改进别人作过的模型
• 亲自动手，认真作几个实际题目
《数精学品课建程模》
第1章 作业
研究人口变化规律 控制人口过快增长
《数精学品课建程模》
常用的计算公式 今年人口 x0, 年增长率 r
k年后人口
x x (1 r)k
k
0
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数
x(t) ~时刻t的人口
dx dt rx, x(0) x0
x(t t) x(t) rt x(t)
一、教材 P 22-23 ex 3(5); 9(3)
二、补充题：巧分蛋糕问题
专家估计
r=0.2557, xm=392.1
《数精学品课建程模》
阻滞增长模型(Logistic模型) 模型检验
用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较
x(2000 ) x(1990 ) x x(1990 ) rx(1990 )[1 x(1990 ) / xm ]
数学建模简明教程课件-第1-2章
第1章数学建模概论随着电子计算机的出现和科学技术的迅猛发展，数学的应用已不再局限于传统的物理领域，而正以空前的广度和深度逐步渗透到人类活动的各个领域。
生物、医学、军事、社会、经济、管理等各学科、各行业都涌现出大量的实际课题，亟待人们去研究、去解决。
利用数学知识研究和解决实际问题，遇到的第一项工作就是要建立恰当的数学模型，简称数学建模，数学建模正在越来越广泛地受到人们的重视。
从这一意义上讲，数学建模被看成是科学研究和技术开发的基础。
没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果，所以，从这一意义上讲，建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键步骤之一。
1.1 数学模型与数学建模1.1.1 模型的概念在日常生活和工作中，人们经常会遇到或用到各种模型，如飞机模型、水坝模型、火箭模型、人造卫星模型、大型水电站模型等实物模型；也有文字、符号、图表、公式、框图等描述客观事物的某些特征和内在联系的模型，如模拟模型、数学模型等抽象模型。
模型是客观事物的一种简化的表示和体现，它应具有如下的特点：1.它是客观事物的一种模仿或抽象；它的一个重要作用就是加深人们对客观事物如何运行的理解，为了使模型成为帮助人们合理进行思考的一种工具，因此要用一种简化的方式来表现一个复杂的系统或现象。
2.为了能协助人们解决问题，模型必须具备所研究系统的基本特征和要素。
此外，还应包括决定其原因和效果的各个要素之间的相互关系。
有了这样的一个模型，人们就可以在模型内实际处理一个系统的所有要素，并观察它们的效果。
模型可以分为实物（形象）模型和抽象模型，抽象模型又可以分为模拟模型和数学模型。
对我们来说，最感兴趣的是数学模型。
与上述的各种各样的模型相对应的是它们在现实世界中的原型（原始参照物）。
所谓原型，是指人们研究或从事生产、管理的实际对象，也就是系统科学中所说的实际系统，如电力系统、生态系统、社会经济系统等。
而模型则是指为了某个特定目的，将原型进行适当地简化、提炼而构造的一种原型替代物。
数学建模简明教程
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规划模型的应用极其广泛，其作用已为越来 越多的人所重视. 随着计算机的逐渐普及，它越 来越急速地渗透于工农业生产、商业活动、军事 行为核科学研究的各个方面，为社会节省的财富、 创造的价值无法估量.
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解 首先根据食物数量及价格可写出食谱费用为
c1x1 c2 x2 cn xn , 其次食谱中第 i 种营养素的含量为
ai1x1 ai2 x2 ain xn . 因此上述问题可表述为：
min c1x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2
m
n
已知 ai bj ，从 Ai 运一个单位的产品到 Bj
i 1
i 1
的运价为 cij . 现在需要确定一个调运方案，即确
定由 Ai 到 Bj 的运输量 xij ,i 1,2, ,m ; j 1,2, , n,
在满足供需要求的条件下，使总运输费用最省.
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min f 21x11 25x12 7 x13 15x14 51x21 51x22 37 x23 15x24
x11
x12
x13
x14
2000
x21 x22 x23 x24 1100
s.t.
x11 x21 1700 x12 x22 1100
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运
销
地A B C D 费 产地
初中数学建模(第一课) PPT课件 图文
二、解答数学模型问题的一般步骤
（1）明确实际问题，并熟悉问题的背景； （2）构建数学模型（例如：方程模型、不等式模型、函数模
型、几何模型、概率模型、统计模型等）; （3）求解数学问题，获得数学模型的解答； （4）回到实际问题，检验模型，解释结果。
三、初中数学建模的几种题型
1、建立“方程(组)”模型 2、建立“不等式(组)”模型 3、建立“函数”模型 4、建立“几何”模型 5、建立“概率”与“统计”模型
数学建模（第一课）
一、数学模型思想在初中数学中的意义
所谓数学模型，是指通过抽象和模拟，利用数学语言和方 法对所要解决的实际问题进行的一种刻画 。一般地，通过建立 数学模型来解决实际问题的过程称为数学建模。
数学教学要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并 进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时， 在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
现实生活中同样也广泛存在着数量之间的 不等关系。如市场营销、生产决策、统筹 安排、核定价格范围等问题,可以通过给出 的一些数据进行分析，将实际问题转化成 相应的不等式问题，利用不等式的有关性 质加以解决。
例9、小明准备用50元钱买甲、乙两种饮料 共10瓶。已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶 4元，则小明最多能买多少瓶甲饮料？
所以，放入一个小球水面升高2cm，放入一个大球水面升 高3cm；
（2）设应放入大球m个，小球n个．由题意，
得：
解得： m 4
n
6
答：如果要使水面上升到50cm，应放入大球4个，小球6
个．
方法归纳：本题考查了列一元一次方程和列二元 一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组
第章 建立数学模型ppt课件
评奖标准 假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的 清晰程度。
竞赛宗旨： 创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争
数学建模
第一章 建立数学模型
全国大学生数学建模竞赛网站
地(变量θ的函数)。 正方形的对称性
四个距离
C
两个距离
C'
O
Ax
A、C两脚与地面距离之和为f (θ) B、D两脚与地面距离之和为g (θ)
(f (θ)，g(θ)≥0)
D
D'
示例一 椅子能在不平的地面放稳吗
数学建模
第一章 建立数学模型
模型构成 由地面高度是连续变化的，f和g都是连续函数。
由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的θ， f (θ)和g (θ)中至少有一个为零。 当θ＝0时不妨设g (θ) =0， f (θ) >0。
➢ 地面是相对平坦的，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
实例一 椅子能在不平的地面放稳吗
数学建模
第一章 建立数学模型
模型构成 中心问题 用数学语言把椅子四只脚同时着地的条件和结论表示出来。
❖ 椅子的位置
B
对角线AC与x轴的夹角θ表示了椅子的位置。 B '
❖椅脚着地
A'
椅脚与地面的竖直距离为零时就是椅脚着
数学建模具有涉及面广、复杂多样、对学生思维要求高等特点，是 一种实践性较强、综合运用多种数学思想方法与计算机技术手段解 决实际问题的数学实践活动。
数学建模
第一章 建立数学模型
本课程的重要意义
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三种形式的LP问题全都是等价的，即一种 形式的LP可以简单的变换为另一种形式的LP，
且它们有相同的解.
以下我们仅将一般形式化成规范形式和标准 形式.
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目标函数的转化
max z min ( z )
z
o
-z
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x
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约束条件和变量的转化
①．为了把一般形式的LP问题变换为规范形式，
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运输问题 例2 设要从甲地调出物资2000吨，从乙地调出物
资1100吨，分别供给A地1700吨、B地1100吨、C 地200吨、D地100吨. 已知每吨运费如表1.1所示.
假定运费与运量成正比. 在这种情况下，采用不 同的调拨计划，运费就可能不一样. 现在问：怎 样才能找出一个运费最省的调拨计划？
n
ri 0
这样就把一般形式的LP变换为标准形式.
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2.2 线性规划模型的求解 针对标准形式的线性规划问题，其解的理论 分析已经很完备，在此基础上也提出了很好的算 法——单纯形方法及其相应的变化形式（两阶段 法，对偶单纯形法等）. 单纯形方法是线性规划问题的最为基础、也 是最核心的算法. 它是一个迭代算法，先从一个 特殊的可行解（极点）出发，通过判别条件去判
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目标函数 c (c1 ,, cn )T 价值向量 c j , j 1,2,, n 价值系数 x j , j 1,2,, n 决策变量
⑵
规范形式
min cT x
⑶
标准形式
min cT x
Ax b s .t . x 0
Ax b s .t . x 0
素，第 j 种食物中第 i 中营养素的含量为 aij , n 种
食物价格分别为c1, c2, …, cn，请确定食谱中n 种食 物的数量x1, x2, …, xn，要求在食谱中 m 种营养素 的含量分别不低于b1, b2, …, bm 的情况下，使得总 的费用最低.
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解 首先根据食物数量及价格可写出食谱费用为 c1 x1 c2 x2 cn xn ,
创造的价值无法估量.
特别是在数模竞赛过程中，规划模型是最常 见的一类数学模型. 从92-06年全国大学生数模竞 赛试题的解题方法统计结果来看，规划模型共出 现了15次，占到了50%，也就是说每两道竞赛题 中就有一道涉及到利用规划理论来分析、求解.
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二、线性规划模型
线性规划模型是所有规划模型中最基本、最 简单的一种. 2.1 线性规划模型的标准形式 例1 （食谱问题）设有 n 种食物，各含 m 种营养
其次食谱中第 i 种营养素的含量为
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn .
因此上述问题可表述为：
min c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 s .t . a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 0, x2 0, xn 0
其中第二个问题是一个如何来分配有限资源， 从而达到人们期望目标的优化分配数学模型. 它 在运筹学中处于中心的地位. 这类问题一般可以 归结为 数学规划模型.
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规划模型的应用极其广泛，其作用已为越来 越多的人所重视. 随着计算机的逐渐普及，它越 来越急速地渗透于工农业生产、商业活动、军事 行为核科学研究的各个方面，为社会节省的财富、
j 1
4
甲
x21 x 22
xi 1 1700 i 1 xi 2 1100 i 1 xi 3 200 i 1 xi 4 100 i 1
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2
B
x13
2
2
乙
x2 i 1100 j 1
4
x23 x14 x 24
C D2Biblioteka xij 0 ( i 1,2; j 1,2,3,4)
xij , i 1,2,, m ; j 1,2,, n,
在满足供需要求的条件下，使总运输费用最省.
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数学模型：
min
z cij xij
i 1 j 1
m
n
n xij ai , i 1,2, , m j 1 m s.t. xij b j , j 1,2, , n i 1 xij 0, i 1,2, , m; j 1,2, , n
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min f 21 x11 25 x12 7 x13 15 x14 51 x21 51 x22 37 x23 15 x24
x11 x12 x13 x14 2000 x21 x22 x23 x24 1100 x11 x21 1700 s.t. x12 x22 1100 x13 x23 200 x14 x24 100 xij 0, i 1, 2; j 1, 2, 3,4
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以1988年美国大学生数学建模竞赛B题为例， 说明整数线性规划模型的建立及用LINGO软件包 如何求解整数线性规划模型. 例3 有七种规格的包装箱要装到两节铁路平板车 上去. 包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以 cm 计）及重量（w，以kg计）是不同的. 表1给出 了每种包装箱的厚度、重量以及数量. 每节平板 车有10.2 m 长的地方可用来装包装箱（像面包片 那样），载重为40t. 由于当地货运的限制，对于
我们必须消除等式约束和符号无限制变量. 在一
般形式的LP中，一个等式约束
n
aij x j bi j 1
可用下述两个不等式约束去替代
aij x j bi j 1
n
( aij ) x j ( bi ) j 1
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n
对于一个无符号限制变量 x j ，引进两个非负
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上述食谱问题就是一个典型的线性规划问题，
它是指在一组线性的等式或不等式的约束条件下，
寻求以线性函数的最大（小）值为目标的数学模型 .
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线性规划模型的三种形式
⑴ 一般形式
T min(max) z c1 x1 cn xn Ai b1 a11 a ai 1 x1 ai 2 x2a12 a xn bi , i 1,, p s .t . 系 1in n b a21 a 数 ai 1 x1 ai 2 x2a22 a xn bi , i p 2in n 1, , s A b 矩 a m a x a x x b , i s 1 , ,m i1 1 i2 2 in n i 阵 右端向量 am 1 am 2 amn x j 0, j 1,, q 非负约束 A j x j 0, j q 1, n 自由变量
变量 x 和 ，并设 0 x j j 0
x j x x j j
这样就把一般形式的LP变换为规范形式.
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②．为了把一般形式的LP问题变换为标准形式， 必须消除其不等式约束和符号无限制变量.
对符号无限制变量的处理可按上述方法进行.
对于一个不等式约束
aij x j bi j 1
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运 费 产 地 甲
销 地 A B C D
21
25
7
15
乙
51
51
表 1.1
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37
15
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解 min f 21 x11 25 x12 7 x13 15 x14
51 x21 51 x22 37 x23 15 x24
x11
A
x12
x1i 2000
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显然，运输问题是一个标准的线性规划问题，
因而当然可以运用单纯形方法求解.但由于平衡
的运输问题的特殊性质，它还可以用其它的一些 特殊方法求解，其中最常用的就是表上作业法， 该方法将单纯形法与平衡的运输问题的特殊性质
结合起来，很方便地实行了运输问题的求解.关于
运输问题及其解法的进一步介绍参加文献[2].
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C5, C6, C7 类包装箱的总数有一个特别的限制：这 类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm. 试 把包装箱装到平板车上，使得浪费的空间最小. 种类 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7
t/cm
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数学建模简明教程
国家精品课程
第一章 规划理论及模型
一、引言 二、线性规划模型 三、整数线性规划模型 四、0-1整数规划模型
五、非线性规划模型
六、多目标规划模型 七、动态规划模型
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一、引言
我们从2005年“高教社杯”全国大学生数模
竞 赛的B题“DVD在线租赁”问题的第二问和第三问 谈起.
可引入一个剩余变量 si ，
n
aij x j si bi , j 1
代替上述的不等式约束.