高中数学人教B版必修二学案：2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率

2.2 直线的方程
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
[学习目标] 1.了解直线的方程、方程的直线的概念.2.理解直线的倾斜角、斜率,掌握过两点的直线的斜率公式.3.体会用斜率和倾斜角刻划直线的倾斜程度,并掌握它们之间的关系.
[预习导引]
1.直线的方程的概念
一般地,如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上,且这条直线上点的坐标都是这个方程的解,那么这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线. 2.直线的斜率
(1)通常把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率.
(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),为直线l 上任意两点,且x 1≠x 2,则直线l 的斜率为k ＝y 1－y 2
x 1－x 2.
3.直线的倾斜角
(1)x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角. (2)由斜率k 的定义可知
①当k ＝0时,直线平行于x 轴或与x 轴重合；
②当k >0时,直线的倾斜角为锐角,k 值增大,直线的倾斜角也随着增大； ③当k <0时,直线的倾斜角为钝角,k 值增大,直线的倾斜角也随着增大； ④垂直于x 轴的直线的倾斜角等于90°.
要点一 直线的倾斜角
例1 设直线l 过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l 1,那么l 1的倾斜角为( ) A.α＋45° B.α－135° C.135°－α
D.当0°≤α<135°时,倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时,倾斜角为α－135°
答案 D
解析根据题意,画出图形,如图所示：
因为0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,
不合题意.通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.
规律方法 1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.
2.求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.
跟踪演练1一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为()
A.α
B.180°－α
C.180°－α或90°－α
D.90°＋α或90°－α
答案 D
解析如图,当l向上方向的部分在y轴左侧时,倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y 轴右侧时,倾斜角为90°－α.故选D.
要点二直线的斜率
例2已知直线l过P(－2,－1),且与以A(－4,2),B(1,3)为端点的线段相交,求直线l的斜率的取值范围.
解
根据题中的条件可画出图形,如图所示, 又可得直线P A 的斜率k P A ＝－3
2,
直线PB 的斜率k PB ＝4
3
,
结合图形可知当直线l 由PB 变化到与y 轴平行的位置时,它的倾斜角逐渐增大到90°,故斜率的取值范围为⎣⎡⎭
⎫4
3，＋∞, 当直线l 由与y 轴平行的位置变化到P A 位置时,它的倾斜角由90°增大到P A 的倾斜角,故斜率的变化范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－32. 综上可知,直线l 的斜率的取值范围是
⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭
⎫43，＋∞.
规律方法 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决. (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 k ＝y 2－y 1
x 2－x 1
(x 1≠x 2)求解. (3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.
跟踪演练2 已知两点A (－3,4),B (3,2),过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点. (1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围. 解
如图所示,由题意可知k P A ＝4－0
－3－1＝－1,k PB ＝2－0
3－1
＝1.
(1)要使直线l 与线段AB 有公共点,则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1,或k ≥1. (2)由题意可知,直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间,又PB 的倾斜角是45°,P A 的倾斜角是135°,所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 要点三 斜率公式的应用
例3 已知实数x ,y 满足y ＝－2x ＋8,且2≤x ≤3,求y
x 的最大值和最小值.
解
如图所示,由于点(x ,y )满足关系式2x ＋y ＝8,且2≤x ≤3,可知点P (x ,y )在线段AB 上移动,并且A ,B 两点的坐标可分别求得为A (2,4),B (3,2). 由于y
x 的几何意义是直线OP 的斜率,
且k OA ＝2,k OB ＝2
3
,
所以可求得y x 的最大值为2,最小值为2
3
.
规律方法 若所求最值或范围的式子可化为y 2－y 1
x 2－x 1的形式,则联想其几何意义,利用图形数形
结合来求解.
跟踪演练3 已知实数x ,y 满足y ＝x 2－x ＋2(－1≤x ≤1),试求y ＋3
x ＋2的最大值和最小值.
解
由y ＋3x ＋2
的几何意义可知,它表示经过定点P (－2,－3)与曲线段AB 上任一点(x ,y )的直线的斜率k ,由图可知k P A ≤k ≤k PB ,由已知可得A (1,2),B (－1,4). 则k P A ＝2－(－3)1－(－2)＝53,k PB ＝4－(－3)
－1－(－2)＝7.
∴5
3
≤k ≤7, ∴y ＋3x ＋2
的最大值为7,最小值为53.
1.下图中标注的α表示直线l的倾斜角的是()
A.①
B.①②
C.①③
D.②④
答案 A
解析结合直线l的倾斜角的概念可知①可以,选A.
2.已知直线l的倾斜角为30°,则直线l的斜率为()
A.
3
3 B. 3
C.1
D.
2 2
答案 A
解析由题意可知,k＝tan 30°＝
3 3.
3.若过两点A(2,3),B(y,4)的直线的倾斜角为45°,则y的值为()
A.－
3
2 B.
3
2
C.－3
D.3 答案 D
解析tan 45°＝k AB＝4－3
y－2
,即
4－3
y－2
＝1,所以y＝3.
4.直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角范围是()
A.0°≤α<90°
B.90°≤α<180°
C.90°<α<180°
D.0°<α<180°
答案 C
解析 直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°,又直线l 经过第二、四象限,所以直线l 的倾斜角范围是90°<α<180°.
5.如图所示,直线l 1,l 2,l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则k 1,k 2,k 3之间的大小关系为________.
答案 k 1<k 3<k 2
解析 设l 1,l 2,l 3的倾斜角分别为α1,α2,α3,则由题图可知0<α3<α2<90°<α1<180°, 所以tan α2>tan α3>0,tan α1<0,故k 1<k 3<k 2.
1.倾斜角是一个几何概念,它直观地描述并表现了直线对于x 轴正方向的倾斜程度.
2.直线的斜率和倾斜角都反映了直线的倾斜程度,两者紧密相连,如下表：
直线情况
α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 的范围 0 k >0 不存在 k <0 k 的增 减情况
k 随α的增大 而增大
k 随α的增大 而增大
3.运用两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)求直线斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1
应注意的问题：
(1)斜率公式与P 1,P 2两点的位置无关,而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x 2－x 1,y 2－y 1中x 2与y 2对应,x 1与y 1对应).
(2)运用斜率公式的前提条件是“x 1≠x 2”,也就是直线不与x 轴垂直,而当直线与x 轴垂直时,直线的倾斜角为90°,斜率不存在.。