江西省赣县三中2018_2019学年高二数学9月月考试题理

江西省赣县三中2018-2019学年高二数学9月月考试题 理一、选择题1．若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A.a c >b dB.a c <b dC.a d >b cD.a d <b c2.过两点A (-2,m ),B (m ,4)的直线倾斜角是45°,则m 的值是( )A.-1B.3C.1D.-3 3．下列说法中正确的是( )A ．两两相交的三条直线确定一个平面B ．两条直线确定一个平面C ．四边形确定一个平面D ．不共面的四点可以确定4个平面 4.若(-1,0)是(k ,0),(b ,0)的中点,则直线y=kx+b 必经过定点( )A.(1,-2)B.(1,2)C.(-1,2)D.(-1,-2)5.若圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:x 2+y 2-6x-8y+m=0外切,则m=( )A .21B .19C .9D .-116．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 7．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A ．4 B.235 C ．6 D.3158．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋3B ．1＋22C ．2＋3D ．2 29．如图，在三棱锥C －ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是( )．A ．30B ．45C ．60D ．9010．若直线y ＝kx －1与曲线y =-k 的取值范围是 ( )A ．(0，43]B ．[13，43]C ．[0，12] D ．[0,1] 11．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n a n＝( ) A ．4n －1 B ．4n －1 C ．2n －1 D ．2n－112．在平面上，AB →1⊥AB →2，|OB 1→|＝|OB →2|＝1，AP →＝AB →1＋AB →2.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤52，72 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，2 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2 二、填空题13．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．14．若直线mx ＋2ny －4＝0(m 、n ∈R ，n ≠m )始终平分圆x2＋y 2－4x －2y －4＝0的周长，则mn 的取值范围是________．15．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°，如图，点C 在以O 为圆心的圆弧AB →上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．16. 把函数y ＝sin 2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6； ②该函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称； ③该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数； ④函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为3，则a ＝2 3. 其中，正确判断的序号是________．三、解答题17. (本小题满分10分)如图所示，已知P 是▱ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，平面PBC ∩平面PAD ＝l .(1)求证：l ∥BC ；(2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论．18．(本小题满分12分)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：该商品明年的销售量a 至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos 2x ＋23sin x cos x －sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期和值域；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝2且a 2＝bc ，试判断△ABC 的形状．20.(本小题满分12分)如图所示,已知以点A (-1,2)为圆心的圆与直线l 1:x+2y+7=0相切.过点B (-2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ,N 两点.(1)求圆A 的方程;(2)当|MN|=2时,求直线l 的方程.21．(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，对于任意的正整数n 都有a n >0，4S n ＝(a n＋1)2.(1)求证：数列{a n }是等差数列，并求通项公式；(2)设b n ＝a n3n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .22．(本小题满分12分) 已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)．(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；(2)若a＝2，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|＋|BD|的最大值．赣县三中高二数学九月考理科试卷答案一、选择题1．依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A ，B ，C 均错，只有D 正确． 2解析:由k AB ==tan 45°=1,得m=1.答案:C3．解析：两两相交的三条直线不一定共面，故A 不正确，两条相交直线、平行直线确定一个平面，但两条异面直线不能确定一个平面，故B 不正确，C 中四边形若是空间四边形可确定4个平面，D 是正确的．答案：D4解析:由题意知,k+b=-2,则b=-2-k ,代入直线方程得y=kx-2-k ,即y+2=k (x-1),故直线经过定点(1,-2).答案:A5．解析:易知圆C 1的圆心坐标为(0,0),半径r 1=1.将圆C 2化为标准方程(x-3)2+(y-4)2=25-m (m<25),得圆C 2的圆心坐标为(3,4),半径r 2=(m<25).由两圆相外切得|C 1C 2|=r 1+r 2=1+=5,解方程得m=9.故选C .答案:C6．不等式x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0⇔－12＜x ≤1， ∴不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.故选A. 7．【答案】 B 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，作出直线l ：3x ＋2y ＝0，对该直线进行平移，得当l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，45时，z 取得最小值235，故选B. 8. 【答案】 C 根据三视图可以得到如图所示几何体．即侧面ABD ⊥底面BCD ，且AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝ 2.故四面体的表面积为S ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×sin 60°＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝2＋ 3. 9．30°【解析】取CB 的中点G ，连接EG ，FG ，∵EG ∥AB ，FG ∥CD ，∴EF 与CD 所成的角为∠EFG ，又∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥EG .在Rt △EFG ，EG ＝12AB ＝1，FG ＝12CD ＝2，∴sin ∠EFG ＝12，∴∠EFG ＝30°，∴EF 与CD 所成的角为30°.【答案】 A10.解析：曲线y ＝－1－x －2可化为(x －2)2＋y 2＝1它表示以(2,0) 为 圆心，1为半径的x 轴下方的半圆，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，要使 直线与曲线有公共点(如图)，易知0≤k ≤1.答案：D11．【答案】 D ∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，∴q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，∴S n a n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n ＝2n －1，故选D.12．【解析】 ∵AB 1→⊥AB 2→，∴AB 1→·AB 2→＝(OB 1→－OA →)·(OB 2→－OA →)＝OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＋OA →2＝0，∴OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＝－OA 2→.∵AP →＝AB 1→＋AB 2→∴OP →－OA →＝OB 1→－OA →＋OB 2→－OA →， ∴OP →＝OB 1→＋OB 2→－OA →.∵|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，∴OP 2→＝1＋1＋OA 2→＋2(OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OB 2→·OA →)＝2＋OA 2→＋2(－OA 2→)＝2－OA 2→.∵|OP →|<12，∴0|OP →|2<14，∴0≤2－OA 2→<14， ∴74<OA 2→≤2，即|OA →|∈⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2.【答案】 D 二、填空题13．2；解析：由线面平行性质可得．EF ∥AC ，又∵E 为AD 的中点，∴F 为CD 的中点． ∴EF ＝12AC ＝12×2 2＝ 2. 14．(－∞，1)15． 2；解析:建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B (cos 120°，sin 120°)，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设∠AOC ＝α，则OC →＝(cos α，sin α)．∵OC →＝xOA →＋yOB →＝(x,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2，32y ＝(cos α，n α)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －y 2＝cos α，32y ＝sin α，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3，∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)．∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°.∴当α＝60°时，x ＋y 有最大值2. 16. ②④；解析：将函数向左平移π6得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即y ＝f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以①不正确；y ＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin (2×π3＋π3＝2sin π＝0，所以函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，所以②正确；由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，即函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，所以③不正确；y ＝f (x )＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋a ，当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，所以当2x ＋π3＝4π3时，函数值最小为y ＝2sin 4π3＋a ＝－3＋a ＝3，所以a ＝23，所以④正确．所以正确的命题为②④.三、解答题17.解 法一 (1)因为BC ∥AD ，BC ⊄平面PAD ，AD ⊆平面PAD ，所以BC ∥平面PAD .又因为平面PBC ∩平面PAD ＝l ，所以BC ∥l . ………………………5分(2)平行．如图(1)，取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，可以证得NE ∥AM 且NE ＝AM .所以MN ∥AE .所以MN ∥平面PAD . ………………………10分法二 (1)因为AD ∥BC ，AD ⊄平面PBC ，BC ⊆平面PBC ，所以AD ∥平面PBC .又因为平面PBC ∩平面PAD ＝l ，所以l ∥AD .因为AD ∥BC ，所以l ∥BC .(2)平行．如图(2)，设Q 是CD 的中点，连接NQ ，MQ ，则MQ ∥AD ，NQ ∥PD ，而MQ ∩NQ ＝Q ，所以平面MNQ ∥平面PAD .又因为MN 平面MNQ ，所以MN ∥平面PAD .18．解：(1)设每件定价为x 元，依题意，有[8－(x －25)×0.2]x ≥25×8，整理得x 2－65x ＋1 000≤0，解得25≤x ≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．………………………6分(2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解． ∵150x ＋16x ≥2150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)， ∴a ≥10.2.∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每件商品的定价为30元．………………………12分19．解：(1)f (x )＝cos 2x ＋23sin x cos x －sin 2x ＝3sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以T ＝π，f (x )∈[－2，2]．………………………6分(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1. 因为0<A <π，所以A ＋π6＝π2，所以A ＝π3. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 及a 2＝bc ，得(b －c )2＝0，所以b ＝c ，所以B ＝C ＝π3. 所以△ABC 为等边三角形．………………………12分20．解:(1)设圆A 的半径为R ,由于圆A 与直线l 1:x+2y+7=0相切,∴R==2.∴圆A 的方程为(x+1)2+(y-2)2=20. ………………………6分(2)①当直线l 与x 轴垂直时,易知x=-2符合题意;②当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为y=k (x+2),即kx-y+2k=0.如图所示,连接AQ ,则AQ ⊥MN.∵|MN|=2, ∴|AQ|==1.则由|AQ|==1,得k=,∴直线l 为3x-4y+6=0.故直线l 的方程为x=-2或3x-4y+6=0. ………………………12分21．解：(1)令n ＝1，4S 1＝4a 1＝(a 1＋1)2，解得a 1＝1，由4S n ＝(a n ＋1)2，得4S n ＋1＝(a n ＋1＋1)2，两式相减得4a n ＋1＝(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)2，整理得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0，因为a n >0，所以a n ＋1－a n ＝2，则数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. ………………………6分(2)由(1)得b n ＝2n －13n ，T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －13n ，① 13T n ＝132＋333＋534＋…＋2n －13n ＋1，② ① －②得23T n ＝13＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋133＋…＋13n －2n －13n ＋1＝13＋2×19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －11－13－2n －13n ＋1＝23－2n ＋23n ＋1， 所以T n ＝1－n ＋13n .………………………12分 22．解：(1)由条件知点M 在圆O 上，所以1＋a 2＝4，则a ＝± 3.当a ＝3时，点M 为(1，3)，k O M ＝3，k 切＝－33， 此时切线方程为y －3＝－33(x －1)， 即x ＋3y －4＝0；当a ＝－3时，点M 为(1，－3)， k OM ＝－3，k 切＝33， 此时切线方程为y ＋3＝33(x －1)， 即x －3y －4＝0.所以所求的切线方程为x ＋3y －4＝0或x －3y －4＝0. ………………………6分(2)设O 到直线AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2(d 1，d 2≥0)，则d 21＋d 22＝OM 2＝3.又有|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22，所以|AC |＋|BD |＝24－d 21＋24－d 22.则(|AC |＋|BD |)2＝4×(4－d 21＋4－d 22＋24－d 21·4－d 22)＝4×[5＋216－4（d 21＋d 22）＋d 21d 22]＝4×(5＋24＋d 21d 22)．因为2d 1d 2≤d 21＋d 22＝3，所以d 21d 22≤94，当且仅当d 1＝d 2＝62时取等号，所以4＋d 21d 22≤52，所以(|AC |＋|BD |)2≤4×⎝⎛⎭⎪⎫5＋2×52＝40.所以|AC |＋|BD |≤210，即|AC |＋|BD |的最大值为210.……………12分。