第二章 函数、导数及其应用第四节 二次函数与幂函数
二次函数与幂函数的关系
二次函数与幂函数的关系二次函数和幂函数是数学中常见的两种函数，它们之间存在一定关系。
这篇文章将介绍二次函数和幂函数的定义、图像、特点以及它们之间的关系。
首先，我们来回顾一下二次函数和幂函数的定义。
二次函数是指函数的最高次项为二次的多项式函数。
它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是实数且a不等于0。
在这个函数中，x是自变量，f(x)是因变量。
幂函数是指函数的自变量和因变量之间的关系式为 y = x^a，其中a 是实数。
幂函数的图像通常是一个曲线，并且根据a的不同取值，可以得到不同的曲线形状。
接下来，我们来分析二次函数和幂函数的图像。
对于二次函数，它的图像通常是一个抛物线。
根据二次函数的系数a 的正负和大小，可以得到不同类型的抛物线。
当 a 大于0时，抛物线开口向上；当 a 小于0时，抛物线开口向下。
我们可以根据开口方向和顶点的位置来确定抛物线的图像。
例如，当 a 大于0且顶点位于y轴上方时，抛物线开口向上且顶点为最低点；当 a 小于0且顶点位于y轴下方时，抛物线开口向下且顶点为最高点。
而幂函数的图像则由指数 a 的大小来决定。
当 a 大于1时，函数的图像呈现出上升的斜线；当 a 等于1时，函数的图像是一条直线；当 0 小于 a 小于 1 时，函数的图像呈现出下降的斜线。
与二次函数不同的是，幂函数的图像没有顶点或拐点。
然而，二次函数和幂函数并不是完全独立的。
实际上，我们可以将二次函数视为一种特殊的幂函数。
具体来说，二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 可以写成 f(x) = a(x - h)^2 + k 的形式，其中 h 和 k 是实数，代表了二次函数图像的平移。
这种表达方式可以让我们更好地理解二次函数和幂函数之间的关系。
当平移的值 h 和 k 分别等于0时，即 h = 0 且 k = 0 时，二次函数变为f(x) = ax^2，这就是一个幂函数。
幂函数的导数与应用
幂函数的导数与应用幂函数是一类常见的数学函数，在数学和科学领域应用广泛。
本文将讨论幂函数的导数计算方法以及在实际问题中的应用。
一、幂函数的导数计算方法幂函数的一般形式为：f(x) = ax^b，其中a和b为常数，x为自变量。
下面介绍几种常见的幂函数及其导数计算方法。
1. 二次函数：f(x) = ax^2二次函数是最简单的幂函数形式，其导数计算方法如下：f'(x) = 2ax2. 一般幂函数：f(x) = ax^b对于一般的幂函数，利用求导法则，可以得到导数计算公式：f'(x) = abx^(b-1)特别地，对于指数函数，即当b为实数1时，幂函数的导数为：f'(x) = a3. 自然指数函数：f(x) = e^x自然指数函数e^x也可以看作是幂函数的一种特殊形式，其导数为：f'(x) = e^x二、幂函数在实际问题中的应用幂函数在实际问题中具有广泛的应用，下面将介绍几个具体的例子。
1. 人口增长模型人口增长模型可以用幂函数来描述。
假设某个城市的人口数量随时间呈幂函数增长，即人口数量P与时间t的关系可以表示为P = at^b。
其中，a和b为常数，代表人口增长的速率和模型中的指数。
利用幂函数的导数计算方法，可以得到人口增长率的表达式：dP/dt = abt^(b-1)通过求解人口增长率为零的点，可以得到人口增长的拐点，即人口增长达到最大值的时刻。
2. 货物成本与需求关系在经济学领域，幂函数也经常用于描述货物成本与需求之间的关系。
假设某种商品的需求量D与价格P之间满足幂函数关系，即D = aP^b。
其中，a和b为常数，代表需求的弹性系数。
利用幂函数的导数计算方法，可以得到需求弹性的表达式：ε = (dD/dP) * (P/D) = b需求弹性代表了需求量对价格变化的敏感程度，当需求弹性小于1时，商品属于弹性需求；当需求弹性大于1时，商品属于非弹性需求。
3. 物质的扩散过程物质的扩散过程也可以用幂函数来描述。
幂函数与指数函数的导数与应用
幂函数与指数函数的导数与应用幂函数和指数函数是高中数学中常见的两类函数。
它们在数学和实际生活中具有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨幂函数和指数函数的导数以及它们在各种应用领域中的具体运用。
一、幂函数的导数1. 幂函数的定义幂函数是形如 y = x^n 的函数，其中 n 是常数，x 是自变量，y 是因变量。
当 n 为正整数时，幂函数是多项式函数的一种特殊情况。
2. 幂函数的导数对于幂函数 y = x^n，其中 n 为正整数，根据导数的定义，可以得到其导数为 dy/dx = n*x^(n-1)。
这意味着幂函数的导数是一个多项式函数。
3. 幂函数的应用幂函数在物理学、经济学和工程学等领域中有广泛的应用。
例如，在物理学中，速度和加速度的关系就可以通过幂函数来描述。
二、指数函数的导数1. 指数函数的定义指数函数是形如 y = a^x 的函数，其中 a 是常数，x 是自变量，y 是因变量。
指数函数以常数 a 为底数，自变量 x 为指数。
2. 指数函数的导数对于指数函数 y = a^x，其中 a 是常数，根据导数的定义，可以得到其导数为 dy/dx = (ln a) * a^x。
这意味着指数函数的导数与函数自身呈正比例关系。
3. 指数函数的应用指数函数在金融学、生物学和计算机科学等领域中具有重要的应用。
例如，在金融学中，复利的计算就可以通过指数函数来完成。
三、幂函数和指数函数的应用1. 复利计算复利是指在一定期间内，利息按照一定频率（如年、半年、季度等）计算并累加到本金中，再计算下一期的利息。
复利的计算可以用指数函数来描述，例如在年利率为 r 的情况下，年复利计算公式为 A = P *(1 + r)^n，其中 P 是本金，n 是年数，A 是最终金额。
2. 无线电衰减在无线通信中，信号的衰减可以用幂函数来描述。
设初始信号强度为 I0，经过一定距离 x 后，信号强度变为 I(x)，则 I(x) = I0 * (k^x)，其中 k 是衰减系数。
高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数名师课件 文 北师大版
_奇__函__数____
__非__奇__非__偶_ __函__数_____
__奇__函__数___
函数
单调 性
y＝x
y＝x2
y＝x3
在__(_－__∞__，__0_) _
_在__R_上__单___ 上__单__调__递__减__，_ _在__R__上__单__ 调__递__增___ 在__(_0_，__＋__∞__)上_ _调__递__增____
2
D.
52－1，2
【解析】 因为函数 y＝x21的定义域为[0，＋∞)， 且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于 2mm2＋＋m1≥－01，≥0， 2m＋1>m2＋m－1。
解 2m＋1≥0，得 m≥－12；
－ 解 m2＋m－1≥0，得 m≤
25－1或 m≥
52－1。
解 2m＋1>m2＋m－1，得－1<m<2，
1
(2)幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x2，y＝x－1 的图像与性质
函数
y＝x
定义域
R
值域
R
奇偶性 _奇__函__数____
y＝x2 R
_{_y_|y_≥__0_}_
_偶__函__数Biblioteka __y＝x3y＝x－1
R
__{x_|_x_≥__0_}_ _{_x_|x_≠__0_}__
R
__{_y|_y_≥__0_} __{_y_|y_≠__0_}_
解析 正确。由幂函数的图像可知。
(6)关于
x
的不等式
ax2＋bx＋c>0
a>0， 恒成立的充要条件是b2－4ac<0。
( × )解析 错误。当 a＝0，b＝0，c>0 时也恒成立。ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒
二次函数和幂函数知识点
二次函数和幂函数知识点二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。
它的图像是一个抛物线，称为二次曲线。
而幂函数是形如y=axⁿ的函数，其中a是常数，n是实数且n≠0。
它的图像可以是一条直线、开口向上或向下的抛物线、以及其他形状，取决于指数n的值。
首先，我们来看二次函数。
二次函数的图像可以分为三种情况：开口向上的抛物线、开口向下的抛物线和一条直线。
当a>0时，二次函数的图像是开口向上的抛物线，对称轴是x=-b/2a，最低点坐标为：(-b/2a, -△/(4a))，其中△=b²-4ac是二次函数的判别式。
图像在对称轴上方递增，在对称轴下方递减。
当a<0时，二次函数的图像是开口向下的抛物线，对称轴、最高点坐标和递增递减性质与开口向上的情况相反。
当a=0时，二次函数变为一条直线y=bx+c。
这个直线与x轴平行，斜率为b。
接下来，我们来看幂函数。
幂函数的图像可以根据指数n的值分为几种情况。
当n>0时，幂函数的图像在原点右侧递增且没有上下界，图像随着x的增大而增大。
当n<0时，幂函数的图像在原点左侧递增且也没有上下界，图像随着x的增大而减小。
当n=1时，幂函数就变成了y=ax，它的图像是一条过原点的直线。
斜率a的正负决定了直线的倾斜方向。
当n=0时，幂函数就变成了y=a，它的图像是一条水平直线，与x轴平行。
根据常数a的值，直线的位置可以在y轴的任意位置。
当n是偶数且n≠0时，幂函数的图像在最高点或最低点有一个上下界，其余部分无上下界。
当n为偶数时，函数的值随着x的增大和减小而逐渐增大，形状类似于开口向上的抛物线。
当n为负偶数时，函数的值随着x的增大和减小而逐渐减小，形状类似于开口向下的抛物线。
当n是奇数时，幂函数图像没有上下界，且随着x的增大和减小而在原点两侧单调。
根据实数n的正负，函数的图像可能在原点两侧分别开口向上或向下。
总结起来，二次函数和幂函数都是常见的数学函数类型。
二次函数与幂函数
二次函数与幂函数[考纲传真] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．【知识通关】1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )； 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象与性质 函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)图象定义域 R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上减， 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上增 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上增， 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上减 对称性 函数的图象关于直线x ＝－b2a对称 (1)定义：形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)五种常见幂函数的图象与性质函数 特征 性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1图象定义域 R RR {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶奇 单调性 增(－∞，0)减， (0，＋∞)增增增(－∞，0)和 (0，＋∞)减公共点 (1,1)1．幂函数y ＝x α在第一象限的两个重要结论 (1)恒过点(1,1)；(2)当x ∈(0,1)时，α越大，函数值越小；当x ∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大．2．研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在区间[m ，n ](m ＜n )上的单调性与值域时，分类讨论－b2a与m 或n 的大小． 3．二次函数图象对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．【基础自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( ) (3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( )(4)当α＞0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A .12B ．1C.32 D ．2C3.如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．a ＜c ＜bD 4．已知函数y ＝x 2＋ax ＋6在⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞内是增函数，则a 的取值范围为( ) A ．a ≤－5 B ．a ≤5 C ．a ≥－5 D ．a ≥5 C5．函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0,3])的值域是________． [－1,3]【题型突破】幂函数的图象及性质1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D2.幂函数y ＝x m 2－4m (m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3C3．若(a ＋1) 12＜(3－2a ) 12，则实数a 的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23[方法总结] (1)求解与幂函数图象有关的问题，应根据幂函数在第一象限内的函数图象特征，结合其奇偶性、单调性等性质研究.(2)利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.求二次函数的解析式【例1】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________．(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. (1)f (x )＝x 2－2x ＋3 (2)－2x 2＋4 [方法总结] 求二次函数解析式的方法试确定该二次函数的解析式． [解] 法一(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴函数图象的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12. ∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数的最大值是8，即4a (－2a －1)－(－a )24a ＝8，解得a ＝－4，∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.二次函数的图象与性质►考法1 二次函数的单调性【例2】 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0] D ．[－3,0]D[母题探究] 若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. －3►考法2 二次函数的最值【例3】 求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． [解] f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a . (1)当－a ＜12，即a ＞－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5； (2)当－a ≥12，即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a .综上，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5，a ＞－12，2－2a ，a ≤－12.►考法3 二次函数中的恒成立问题 【例4】 (1)已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，若对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )＞0都成立，则实数a 的取值范围为( ) A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B .⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[－4，＋∞)D ．(－4，＋∞)(2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________． (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0[方法总结] 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围． [解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．(2)由题意知，x2＋2x＋1＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k＜x2＋x＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]．g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k＜1，故k的取值范围是(－∞，1)．。
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4节二次函数与幂函数课件
)
(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( )
(4)当 n＞0 时，幂函数 y＝xn 在(0，＋∞)上是增函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)已知幂函数 f(x)＝xα 的图象过点(4,2)，若 f(m)＝3，则实数 m
的值为( )
A. 3
图象
定义域
_R _
_R _
R__ _{x_|x_≥_0_}___
_{x_|_x≠_0_}___
值域
_R _
_{y_|y_≥_0_}___
R__ _{y_|y_≥_0_}___
_{y_|_y≠_0_}___
奇偶性 奇__
偶__
奇__ _非_奇__非_偶___
奇__
单调性
增__
(_－_∞__，_0_)减__，__ (_0_，_＋__∞_)增____
5．若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于 A(－2,0)，B(4,0)且函数的 最大值为 9，则这个二次函数的表达式是________. 【导学号：51062031】
y＝－x2＋2x＋8 [设 y＝a(x＋2)(x－4)，对称轴为 x＝1， 当 x＝1 时，ymax＝－9a＝9，∴a＝－1， ∴y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋2x＋8.]
[规律方法] 用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数 解析式的形式，选法如下
[变式训练 1] 已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，它在 x 轴上截得的线段 长为 2，并且对任意 x∈R，都有 f(2－x)＝f(2＋x)，求 f(x)的解析式．
[解] ∵f(2－x)＝f(2＋x)对 x∈R 恒成立， ∴f(x)的对称轴为 x＝2.2 分 又∵f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2， ∴f(x)＝0 的两根为 1 和 3.8 分 设 f(x)的解析式为 f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又∵f(x)的图象过点(4,3)， ∴3a＝3，a＝1.12 分 ∴所求 f(x)的解析式为 f(x)＝(x－1)(x－3)， 即 f(x)＝x2－4x＋3.15 分
幂函数的导数和导数规律深入了解幂函数的导数及其计算方法
幂函数的导数和导数规律深入了解幂函数的导数及其计算方法在数学中，幂函数是指形如 y = ax^n 的函数，其中 a 是常数，n 是自然数。
幂函数是一种重要的数学函数，它在许多实际问题的建模与解决中起着重要的作用。
本文将深入探讨幂函数的导数及其计算方法，并介绍导数的规律。
一、幂函数的导数计算方法我们首先来看如何计算幂函数的导数。
1. 如果 n 不等于 0，导数公式为：dy/dx = n * ax^(n-1)2. 如果 n = 0，也就是 y = a，幂函数退化成常数函数，其导数为 0。
举例来说，我们来计算函数 f(x) = 2x^3 的导数：f'(x) = 3 * 2x^(3-1) = 6x^2同样地，我们可以计算其他幂函数的导数。
二、幂函数导数的规律幂函数的导数有一些重要的规律，值得我们深入了解。
1. 幂函数的常数倍法则如果 f(x) 是一个幂函数，则 kf(x) 的导数为 kf'(x)，其中 k 是常数。
例如，对于函数 f(x) = 2x^3，我们可以得到：(3 * 2) * x^(3-1) = 6x^2这符合幂函数的常数倍法则。
2. 幂函数的加法法则如果 f(x) 和 g(x) 是两个幂函数，则 f(x) + g(x) 的导数为 f'(x) +g'(x)。
举例来说，我们有函数 f(x) = 2x^3 和 g(x) = 5x^2，它们的和函数为 h(x) = f(x) + g(x)。
按照加法法则，我们可以得到：h'(x) = 6x^2 + 10x3. 幂函数的乘法法则如果 f(x) 和 g(x) 是两个幂函数，则 f(x) * g(x) 的导数为 f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
举例来说，我们有函数 f(x) = 2x^3 和 g(x) = 5x^2，它们的乘积函数为 h(x) = f(x) * g(x)。
按照乘法法则，我们可以得到：h'(x) = (6x^2) * (5x^2) + (2x^3) * (10x) = 30x^4 + 20x^4 = 50x^4三、应用举例幂函数的导数计算及其规律在实际问题中具有广泛的应用。
高考数学一轮总复习 第2章 函数、导数及其应用 2.4 幂
∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解得 a＝－4， ∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7. 解法三(利用零点式)： 由已知 f(x)＋1＝0 两根为 x1＝2，x2＝－1， 故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即 f(x)＝ax2－ax－2a－1.
2．[课本改编]设 α∈－1，1，21，3，则使函数 y＝xα
的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 值为(
)
A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3
解析 α＝－1,1,3 时幂函数为奇函数，当 α＝－1 时定 义域不是 R，所以 α＝1,3，故选 A.
3．已知函数 f(x)＝ax2＋x＋5 的图象在 x 轴上方，则 a
(2)在 比较幂值的 大 小时，必须结 合幂值的特点 ，选择 适当的函数，借助其单调性进行比较．
幂值的大小比较方法还有： (1)转化为同底：①当底数>1 时，指大值大；②当 0<底 数<1 时，指大值小． (2)转化为同指：①指数>0 时，底大值大；②指数<0 时， 底大值小． (3)引入中间量 0 或 1 或由一个幂的底数和另一个幂的指 数组成的幂．
2．二次函数表达式的三种形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中 a≠0，顶点坐标为(－h， k))． (3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中 a≠0，x1、x2 是二 次函数的图象与 x 轴的两个交点的横坐标)．
[双基夯实] 一、疑难辨析 判断 下 列结 论 的 正误 ． (正 确 的 打“√”， 错 误的 打 “×”) 1．幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( × ) 2 ． 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(x ∈ R)， 不 可 能 是 偶 函 数．( × ) 3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈ [a，b]的最值一定是 4ac－b2 4a .( × )
2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第四节二次函数与幂函数学案含解析新人教版 (1)
第四节二次函数与幂函数热点命题分析学科核心素养本节在高考中很少单独命题，常与其他函数、不等式、方程等知识综合考查，是高考中的一个热点，主要考查二次函数的图象和性质，而对幂函数要求较低，常与指数函数、对数函数综合，比拟幂值的大小，题型以选择题和填空题为主，难度中等偏下.本节通过二次函数和幂函数的图象和性质考查分类讨论思想的运用和考生的逻辑推理、数学运算核心素养.授课提示：对应学生用书第20页知识点一幂函数1．幂函数的概念一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．2．5个简单的幂函数的图象与性质函数y＝x y＝x2y＝x3y＝y＝x－1定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0} 值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减递增图象过定点(0,0)，(1,1) (1,1) •温馨提醒•由幂函数的函数值大小求参数的X围问题，一般是借助幂函数的单调性进展求解，一定要具体问题具体分析，做到考虑问题全面周到．1．(多项选择题)(2021·某某某某某某中学月考)假如幂函数y＝f(x)的图象经过点(3,27)，如此幂函数f(x)是( )A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数解析：设幂函数为f(x)＝x a(a为常数)，因为其图象经过点(3,27)，所以27＝3a，解得a＝3，所以幂函数f(x)＝x3.因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，又a＝3＞0，所以f(x)在R上是增函数．答案：AC2．如下列图是①y＝x a；②y＝x b；③y＝x c在第一象限内的图象，如此a，b，c的大小关系为________．答案：a＜c＜b3．(易错题)幂函数f(x)＝，假如f(a＋1)＜f(10－2a)，如此a的取值X围为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，10－2a ＞0，a ＋1＞10－2a .解得3＜a ＜5. 答案：(3,5) 知识点二 二次函数 二次函数的图象和性质f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) a ＞0 a ＜0图象定义域 R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a上递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ 上递增在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ 上递减f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)a ＞0 a ＜0奇偶性 b ＝0时为偶函数，b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数图象特点①对称轴：x ＝－b2a；②顶点：⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a •温馨提醒•1.注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小于零两种情况讨论． 2．一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立〞的充要条件是“a ＞0且Δ＜0〞． (2)“ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立〞的充要条件是“a ＜0且Δ＜0〞．1．(易错题)假如不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，如此a 的取值X 围是( )A ．(－∞，2]B ．[－2,2]C ．(－2,2]D ．(－∞，－2) 答案：C2．函数f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)时为增函数，如此实数m 的值是( ) A ．－2B ．4 C ．3D ．－2或3 答案：C3．函数f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 在区间[2,5]上单调，如此a 的取值X 围为________． 答案：(－∞，－9]∪[－3，＋∞)4．如下列图，假如a ＜0，b ＞0，如此函数y ＝ax 2＋bx 的大致图象是________(填序号)．解析：由函数的解析式可知，图象过点(0,0)，故①、④不正确．又a ＜0，b ＞0，所以二次函数图象的对称轴为x＝－b2a＞0，故③正确．答案：③授课提示：对应学生用书第21页题型一幂函数的图象与性质自主探究1．幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，如此y＝f(x)的图象大致是( )答案：C2．假如，如此a，b，c的大小关系是( ) A．a＜b＜c B．c＜a＜bC．b＜c＜a D．b＜a＜c答案：D3．假如(a＋1)－2＞(3－2a)－2，如此a的取值X围是________．解析：因为(a＋1)－2＞(3－2a)－2，又f(x)＝x－2为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋1|＜|3－2a |，a ＋1≠0，3－2a ≠0，解得a ＜23且a ≠－1或a ＞4.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，23∪(4，＋∞)4．幂函数(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，如此f (2)的值为________． 答案：161.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限局部由奇偶性决定．2.在比拟幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进展比拟. 题型二 二次函数的图象与性质 多维探究 考法(一) 二次函数的图象[例1] 如下列图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一局部，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2＞4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b . 其中正确的答案是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③ [答案]B考法(二) 二次函数的单调性[例2](多项选择题)假如函数f (x )＝(x －1)|x ＋a |在区间(1,2)上单调递增，如此满足条件的实数a 的值可能是( )A ．0B ．2C ．－2D ．－3[解析]根据题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋a －1x －a ，x ≥－a ，－x 2－a －1x ＋a ，x ＜－a .对于y ＝x 2＋(a －1)x －a 与y ＝－x 2－(a －1)x ＋a ，其图象的对称轴均为直线x ＝1－a 2.当1－a2≥－a ，即a ≥－1时，作出f (x )的大致图象(为方便说明，略去y 轴以与坐标原点)如图1所示，由图可知，此时要满足题意，只需－a ≥2或1－a 2≤1，解得a ≤－2或a ≥－1，故a ≥－1；当1－a2＜－a ，即a ＜－1时，作出f (x )的大致图象(为方便说明，略去y 轴以与坐标原点)如图2所示，由图可知，此时要满足题意，只需－a ≤1或1－a2≥2，解得a ≥－1或a ≤－3，故a ≤－3.综上所述，a ≥－1或a ≤－3. [答案]ABD考法(三) 二次函数中的恒成立问题[例3] 函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上不等式f (x )＞2x ＋m 恒成立，某某数m 的取值X 围．[解析] 由题意可知，f (x )＞2x ＋m 等价于x 2－x ＋1＞2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m ＞0，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＞0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1， 由－m －1＞0得m ＜－1.因此，满足条件的实数m 的取值X 围是(－∞，－1)．解决二次函数图象与性质问题时应注意的三点(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性〞(作草图)，再“定量〞(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值X 围的关键解题思路：一是别离参数；二是不别离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．[题组突破]1．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在同一直角坐标系中的图象大致是( )答案：C2．二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，假如f (a )≥f (0)，如此实数a 的取值X 围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞) 答案：C3．a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，如此实数a 的取值X 围为________．解析：2ax 2＋2x －3＜0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，－3＜0，成立； 当x ≠0时， a ＜32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16，易知1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值12，所以a ＜12.综上，实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12二次函数应用中的核心素养(一)逻辑推理——分类讨论思想在二次函数最值问题中的应用[例1] 函数f (x )＝x 2＋2x 在区间[t ，t ＋1]上的最小值为8，某某数t 的值．[解析] 二次函数f (x )＝x 2＋2x 图象的对称轴方程为x ＝－1.当t ＋1＜－1，即t ＜－2时，f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，故f (x )min ＝f (t ＋1)＝(t ＋1)2＋2(t ＋1)＝8，解得t ＝－5或t ＝1(舍去)；当t ≤－1≤t ＋1，即－2≤t ≤－1时，f (x )min ＝f (－1)＝－1≠8；当t ＞－1时，f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递增，故f (x )min ＝f (t )＝t 2＋2t ＝8，解得t ＝2或t ＝－4(舍去)．综上可知，t 的值为－5或2.二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到：区间的两个端点处，或对称轴处．也可以作出二次函数在该区间上的图象，由图象来判断最值．解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位置关系.(二)创新应用——与高数接轨的创新问题[例2] 定义：如果函数f (x )在[a ，b ]上存在x 1，x 2(a ＜x 1＜x 2＜b )满足f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f b －f ab －a ，如此称函数f (x )是[a ，b ]上的“中值函数〞．函数f (x )＝13x 3－12x 2＋m 是[0，m ]上的“中值函数〞，如此实数m 的取值X 围是________．[解析] 由题意，知f ′(x )＝x 2－x 在[0，m ]上存在x 1，x 2(0＜x 1＜x 2＜m )，满足f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f m －f 0m＝13m 2－12m ，所以方程x 2－x ＝13m 2－12m 在(0，m )上有两个不相等的解．令g (x )＝x 2－x －13m 2＋12m (0＜x ＜m )，如此⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝1＋43m 2－2m ＞0，g0＝－13m 2＋12m ＞0，g m ＝23m 2－12m ＞0，解得34＜m ＜32. [答案]⎝ ⎛⎭⎪⎫34，32此题关键是利用“中值函数〞的定义转化为二次方程根的分布问题，从而利用函数与方程的思想、数形结合思想求出．[题组突破]1．(2021·某某模拟)假如函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，如此实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2答案：B2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，假如函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，如此称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数〞．假如f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数〞，如此m 的取值X 围为________．解析：由题意得，函数y ＝f (x )－g (x )＝x 2－3x ＋4－2x －m ＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．令h (x )＝x 2－5x ＋4－m ，如此⎩⎪⎨⎪⎧ h 0≥0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜0，h 3≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 4－m ≥0，－94－m ＜0，⇒－94＜m ≤－2.－2－m ≥0 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2。
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＝2.
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第二章 函数、导数及其应用
5．当 0<x<1
1 时，f(x)＝x2，g(x)＝x2
，h(x)＝x 2，则 f(x)，
－
g(x)，h(x)的大小关系是________．
解析： h(x)>g(x)>f(x) 在同一坐标系中分别作出 f(x)， g(x)， h(x)的图象，如图所示．
由图象可知当 0＜x＜1 时，h(x)>g(x)>f(x)．
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第二章 函数、导数及其应用
幂函数的图象及性 2 81 －3a＋18＝－a＋2 ＋ ， 故当 4
3 a＝－ 时， f(a) 2
81 9 有最大值 ，故所求最大值为 . 4 2
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第二章 函数、导数及其应用
(二)定轴动区间求最值 [ 典例 5] 已知函数 y ＝ x2 － 2x ＋3 在闭区间[0， m] 上有最大值 3，最小值2，则m的取值范围为________． 解析：[1,2] y＝x2－2x＋3的对称轴为x＝1. 当m＜1时，y＝f(x)在[0，m]上为减函数．
函数 特征 性质 y＝x y＝x
2
y＝x
3
1 y＝x2
y＝x－1
图象
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第二章 函数、导数及其应用
定义域
R __ R __ 奇 __
__ R {y|y≥0} ________ 偶 __
__ R
{x|x≥0} ______ {y|y ≥0} ______ 非奇非偶 ________
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第二章 函数、导数及其应用
2．幂函数 y＝f(x)的图象过点(4,2)，则数 y＝f(x)的图象是 ( )
解析：选 C 故
1 f(x)＝x2
1 设 f(x)＝x ，由条件知 4 ＝2，所以 α＝2.
α α
(x≥0)．故选 C.
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a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ，其中x1 、x2 是抛物 (3) 零点式： y ＝ ___________________
线与x轴交点的横坐标．
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第二章 函数、导数及其应用
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象及性质
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第二章 函数、导数及其应用
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) 二 次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c ， x ∈ [ a， b] 的最值 一定是 4ac－b2 .( 4a ) )
(2)二次函数 y＝ax2＋bc＋c， x∈R， 不可能是偶函数． ( (3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．( ) )
1．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( A．－3 C．2 B．1 D．1或2 )
解析：选B 由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意．故选B.
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α α (2)当底数不同，指数相同时(xα 1 与 x2)，利用幂函数 y＝x 的
单调性； (3)当底数、 指数都不同时(ax1 与 bx2)， 寻求中间量 0,1 或 bx1 或 ax2 比较．
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第二章 函数、导数及其应用
二次函数的图象与性质(☆☆☆)
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第二章 函数、导数及其应用
题型三 求二次函数在闭区间上的最值 (一)定轴定区间求最值 [ 典例 4] (2013· 重庆高考改编) 3－aa＋6(－6≤a≤3)的 最大值为________． 9 解析： 令 f(a)＝(3－a)(a＋6)(－6≤a≤3) 2
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第二章 函数、导数及其应用
最值
b 当 x＝－ 时， 2a 4ac－b2 ymin＝ 4a
b 当 x＝－ 时， 2a 4ac－b2 ymax＝ 4a
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第二章 函数、导数及其应用
二、幂函数
1．定义 y＝xα (α∈R) 的函数叫幂函数，其中 x 是自变量， α 形如 _______ 是常数． 2．五种常用幂函数的图象与性质
2． (课本习题改编)设
1 1 －1，1，－ ， ，3， α∈ 则使 2 2
y＝xα
的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 的值为( A．1,3 C．－1,3 B．－1,1 D．－1,1,3
)
解析：选A 由α的取值知α＝1,3时，x∈R，且为奇函 数．故选A.
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二次函数的图象和性质是高考的重要考点之一，从近几年 的试题看，本考点的常见题型有：
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第二章 函数、导数及其应用
题型一 二次函数图象的识别
[ 典例 1] 两个二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 与 g(x)＝bx2＋ax ＋c 的图象可能是( )
第二章
函数、导数及其应用
第四节 二次函数与幂函数
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第二章 函数、导数及其应用
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一、二次函数
1．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：y＝________________ ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：y＝________________ a(x－h)2＋k(a≠0) ，其中_______ (h，k) 为抛物线 的顶点坐标．
a<0
b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数
b 在－∞，－2a上是减函数 b 在－2a，＋∞上是增函数 b 在－∞，－2a上是增函数 b 在－2a，＋∞上是减函数
单调性
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∴ymax＝f(0)＝3，ymin＝f(m)＝m2－2m＋3＝2. ∴m＝1，无解． 当1≤m≤2时，ymin＝f(1)＝12－2×1＋3＝2， ymax＝f(0)＝3. 当m＞2时，ymax＝f(m)＝m2－2m＋3＝3， ∴m＝0或m＝2，无解． ∴1≤m≤2.
图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降． (2) 曲线在第一象限的凹凸性： α>1 时，曲线下凸； 0<α<1 时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．
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2．比较幂值大小的方法 (1)当底数相同、指数不同时(ax1 与 ax2)，利用指数函数 y＝ ax 的单调性；
(3)×
确． (4)× (5)√
当α<0时，幂函数y＝xα的图象不过点(0,0)，故不正
如y＝x2，在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上 由于正数的任何次方都是正数，因此图象不过第四
为增函数，故不正确．
象限，正确．
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第二章 函数、导数及其应用
4 ．已知幂函数 ________.
1 y ＝ f(x) 的图象经过点 4，2 ，则
1 f 4 ＝
1 1 1 1n n 解析：2 设 f(x)＝x ，∵f(4)＝ ，∴4 ＝ ，f4＝4 ＝4－n 2 2
a>0 a<0
图象
定义域 值域
R
4ac－b2 ，＋∞ 4 a
R
4ac－b2 －∞， 4 a
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a>0 对称轴 顶点坐标 奇偶性 b x＝－ 2a
2 b 4ac－b － ， 4a 2a
－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 )
D．既不充分又不必要条件
解析：选 B 函数 f(x)＝x2－4ax＋3 在区间[2，＋∞)上为 －4a 增函数， 则满足对称轴－ ＝2a≤2， 即 a≤1， 所以“a＝1” 2 是“函数 f(x)＝x2－4ax＋3 在区间[2，＋∞)上为增函数”的充 分不必要条件．故选 B.