高考数学核按钮 11.8 离散型随机变量及其分布列课件 理
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离散型随机变量的分布列 课件
m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*， 称分布列
X
0
1
…
m
P
C0MCnN－－0M CnN
C1MCnN－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CnN
为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则
称离散型随机变量 X 服从超几何分布．
求离散型随机变量的分布列 [典例] 一袋中装有 5 只球，编号为 1,2,3,4,5，在袋中同时 取 3 只，以 ξ 表示取出的 3 只球中的最大号码，写出随机变量 ξ 的分布列． [解] 随机变量 ξ 的可能取值为 3,4,5． 当 ξ＝3 时，即取出的三只球中最大号码为 3，则其他 两只球的编号只能是 1,2，故有 P(ξ＝3)＝CC5322＝110；
知 a13＋312＋…＋31n＝1． 则 a·1311－－1331n＝1． ∴a＝23×n－31n．
离散型随机变量的分布列的性质的应用 (1)通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求 出概率，得出分布列． (2)求对立事件的概率或判断某概率是否成立．
两点分布
[典例] 袋中有 5 个白球，6 个红球，从中摸出两球，记 X
当 ξ＝4 时，即取出的三只球中最大号码为 4，则其他两只球只
能在编号为 1,2,3 的 3 只球中取 2 只， 故有 P(ξ＝4)＝CC2335＝130； 当 ξ＝5 时，即取出的三只球中最大号码为 5，则其他两只球只
能在编号为 1,2,3,4 的 4 只球中取 2 只，故有 P(ξ＝5)＝CC2435＝160＝35． 因此，ξ 的分布列为
＝01，，[解两两] 球球由全非题红全意，红知，，X求服随从机两变点量分X布的，分P布(X列＝．0)＝CC21261＝131，所 以 P(X＝1)＝1－131＝181．
离散型随机变量及其分布列 课件
X0
1 …m
P
C0MCNn－－0M CnN
C1MCNn－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CNn
• 辨析感悟
• 1．离散型随机变量
• (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是 随机变量．(√)
• (2)离散型随机变量的分布列中，随机变量 取各个值的概率之和可以小于1. (×)
• (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事 件是彼此互斥的． (√)
• (2)求X的数学期望E(X)．
解 (1)由题意得 X 取 3,4,5,6，
且 P(X＝3)＝CC3539＝452，P(X＝4)＝CC14·C93 25＝1201， P(X＝5)＝CC24·C93 15＝154，P(X＝6)＝CC3439＝211.
所以 X 的分布列为
X3 4 5 6
P
5 42
10 21
0
1
P 1－p p
• ，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
(2)超几何分布：在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其
CkMCnN－－kM 中恰有 X 件次品，则 P(X＝k)＝ CnN ，k＝0,1,2，…，m，
其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机
变量 X 服从超几何分布.
• 从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5 监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本， 监测值频数如下表所示：
PM2.5 日均值( [25,3 (35,4 (45,5 (55,6 (65,7 (75,8 微克/立 5] 5] 5] 5] 5] 5]
方米)
频数 3 1 1 1 1 3
•(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天， 求恰有一天空气质量达到一级的概率；
离散型随机变量的分布列 课件
ξ＝－1 有以下 6 种情况：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，
4)，(3，4)，故 P(ξ＝－1)＝166＝38；
ξ＝1 有以下 2 种情况：(3，2)，(4，3)，故 P(ξ＝1)＝126＝18，
所以随机变量 ξ 的分布列为
ξ －1 0 1
P
3 8
11 28
探究点 2 离散型随机变量的分布列的性质 设随机变量 X 的分布列 P(X＝k5)＝ak(k＝1，2，3，4，
5)． (1)求常数 a 的值； (2)求 P(X≥35)； (3)求 P(110＜X＜170)．
【解】 (1)由 P(X＝k5)＝ak，k＝1，2，3，4，5 可知，
k＝5 1P(X＝k5)＝k＝5 1ak＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
解得 a＝115. (2)由(1)可知 P(X＝k5)＝1k5(k＝1，2，3，4，5)， 所以 P(X≥35)＝P(X＝35)＋P(X＝45)＋P(X＝1) ＝135＋145＋155＝45.
探究点 3 两点分布与超几何分布 一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球，其中红
球有 3 个，编号为 1，2，3；黑球有 2 个，编号为 1，2；白球 有 1 个，编号为 1.现从袋中一次随机抽取 3 个球． (1)求取出的 3 个球的颜色都不相同的概率． (2)记取得 1 号球的个数为随机变量 X，求随机变量 X 的分布列．
随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝k（k＋c 1），
k＝1，2，3，4，c 为常数，则 P 23＜X＜52 的值为(
)
A.4
B.5
5
6
C.2
D.3
3
4
解析：选 B.由题意1×c 2＋2×c 3＋3×c 4＋4×c 5＝1， 即45c＝1，c＝54， 所以 P23＜X＜52 ＝P(X＝1)＋P(X＝2) ＝54×1×1 2＋2×1 3 ＝56.故选 B.
离散型随机变量的分布列 课件
一个箱子里装有 5 个大小相同的球，有 3 个白球，2 个红球，从中摸出 2 个球．
(1)求摸出的 2 个球中有 1 个白球和 1 个红球的概率； (2)用 X 表示摸出的 2 个球中的白球个数，求 X 的分布列． [思路导引] (1)从 5 个球中摸出两个球的结果为 C25＝10 种．(2)中 X 可取 0,1,2.
题型二 离散型随机变量分布列的性质 思考 1：离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小 于 1 吗？ 提示：不可以．由离散型随机变量的含义与分布列的性质可 知不可以． 思考 2：离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互 斥的吗？ 提示：是．离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同 时发生，是彼此互斥的．
[解] (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故 X 的取
值只有 0 和 1 两种情况． P(X＝1)＝CC11140＝140＝25， 则 P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－25＝35.
因此 X 的分布列为
X
0
1
P
3 5
2 5
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的 2 张奖券 中有 1 张中奖或 2 张都中奖．
(1)顾客甲从 10 张奖券中任意抽取 1 张，求中奖次数 X 的分 布列；
(2)顾客乙从 10 张奖券中任意抽取 2 张， ①求顾客乙中奖的概率； ②设顾客乙获得的奖品总价值为 Y 元，求 Y 的分布列．
[思路导引] (1)从 10 张奖券中任意抽取 1 张，只有中奖与不 中奖两种情况，X 的取值只有 1 和 0，故属于两点分布．(2)从 10 张奖券中任意抽取 2 张，属于超几何分布．
Y 0 10 20 50 60
P
1 3
2 5
1 15
离散型随机变量的分布列 课件
3.关键是搞清离散型随机变量X取每一个值时对应的随机事
件，然后利用排列组合知识求出X取每个值的概率，最后列出
分布列.
【解析】1.选C.A中0.3+0.4+0.5>1；B中－0.1<0，
D中
1 7
2 7
3 7
1.
2.设P(ξ＝i)＝pi，
则
p1＋p2＋p3＝13aຫໍສະໝຸດ 1 9a＋1 27
a＝1，
所以
a＝27 13
称分布列
X
0
1
P
C C C C 0 n－0 M N－M
1 n－1 M N－M
CnN
CnN
…
m
…
C C m n－m M N－M
___C_nN___
为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列， 则称离散型随机变量X服从超几何分布.
思考:两点分布是特殊的超几何分布吗？ 提示：不是，因为其不具备超几何分布的特征.
X
1
0
P
p
q
其中0<p<1，q=1－p，则称离散型随机变量X服从参数p的 _两__点__分__布__. 称p=P(X=1)为_成__功__概__率__.
2.超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X 件次品，则事件{X=k}发生的概率 P(X=k)=_C_kM_CC_nN_nN_kM__, k___0_,1_,_2_,__, m__,其中m=min{M,n}，且n≤N， M≤N,n,M,N∈N*,
布列.
2.表示：离散型随机变量可以用_表__格__、_图__象__、解析式表示.
3.性质： (1)_p_i≥__0_,_i_=_1_,_2_,_3_,_…__,_n_;
件，然后利用排列组合知识求出X取每个值的概率，最后列出
分布列.
【解析】1.选C.A中0.3+0.4+0.5>1；B中－0.1<0，
D中
1 7
2 7
3 7
1.
2.设P(ξ＝i)＝pi，
则
p1＋p2＋p3＝13aຫໍສະໝຸດ 1 9a＋1 27
a＝1，
所以
a＝27 13
称分布列
X
0
1
P
C C C C 0 n－0 M N－M
1 n－1 M N－M
CnN
CnN
…
m
…
C C m n－m M N－M
___C_nN___
为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列， 则称离散型随机变量X服从超几何分布.
思考:两点分布是特殊的超几何分布吗？ 提示：不是，因为其不具备超几何分布的特征.
X
1
0
P
p
q
其中0<p<1，q=1－p，则称离散型随机变量X服从参数p的 _两__点__分__布__. 称p=P(X=1)为_成__功__概__率__.
2.超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X 件次品，则事件{X=k}发生的概率 P(X=k)=_C_kM_CC_nN_nN_kM__, k___0_,1_,_2_,__, m__,其中m=min{M,n}，且n≤N， M≤N,n,M,N∈N*,
布列.
2.表示：离散型随机变量可以用_表__格__、_图__象__、解析式表示.
3.性质： (1)_p_i≥__0_,_i_=_1_,_2_,_3_,_…__,_n_;
离散型随机变量及其分布列课件 理ppt课件
怎么考
从高考内容上来看，分布列的求法单独命题较少，多 与期望与方差的求法相结合，常在解答题中考查，难度中 低档.
一、随机变量 将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对
应于一个数，这种对应称为一个随机变量．常用大写字 母 X、Y 表示．
所有取值可以 一一列出 的随机变量称为离散型随机 变量．
[自主解答] X的所有可能取值为：0,1,2,3,4， P(X＝i)＝Ci4CC4844－i(i＝0,1,2,3,4)， 即
X01 2 3 4
P
1 70
16 70
36 70
16 70
1 70
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2012·日照质检)在学校组织的足球比赛中，某班要与其他 4 个班 级各赛一场，在这 4 场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、 平的概率相等．已知当这 4 场比赛结束后，该班胜场多于负场． (1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和； (2)若胜场次数为 X，求 X 的分布列．
4．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)
＝0.3，那么n＝________. 解析：n1×3＝0.3，∴n＝10. 答案：10
5．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设 其中有X个红球，则随机变量X的概率分布为
X
0
1
2
P
解析：P(X＝0)＝C125＝110
P(X＝1)＝CC13C25 12＝35
X1 2 34
则p为
P
1 6
1 3
1 6
p
()
1
1
A.6
B.3
2
1
C.3
D.2
离散型随机变量及其分布列ppt课件
i 1
14
例2、在掷一枚图钉的随机试验中，令
X
1，针尖向上 0，针尖向下
如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量X的分布列。
解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是(1-p),于是， 随机变量X的分布列是
X
0
1
P
1-p
p
像上面这样的分布列称为两点分布列。
如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称 X服从两点分布，而称p=P(X=1)为成功概率。15
1)
C42 C53
3 5
当X=2时，其他两球的编号在3，4，5中选，
故其概率为
P(X
2)
C32 C53
3 10
当X=3时，只可能是3，4，5这种情况，
概率为 P( X 3) 1
10
20
思考：一个口袋有5只同样大小的球，编号分别为1，2， 3，4，5，从中同时取出3只，以X表示取出的球最小的 号码，求X的分布列。
因此，我们也把随机变量的取值范围称为随机变量的值域。
6
例1、一个袋中装有5个白球和5个黑球，若从中任取3个， 则其中所含白球的个数X就是一个随机变量，求X的取值 范围，并说明X的不同取值所表示的事件。
解：X的取值范围是{0，1，2，3} ，其中 {X=0}表示的事件是“取出0个白球，3个黑球”； {X=1}表示的事件是“取出1个白球，2个黑球”； {X=2}表示的事件是“取出2个白球，1个黑球”； {X=3}表示的事件是“取出3个白球，0个黑球”；
6
63
P( X 1) 3 1 62
∴从袋子中随机取出一球所得分数X的分布列为：
X1
0
-1
离散型随机变量的分布列 课件
离散型随机变量的分布列
1．两点分布，如果随机变量 X 的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
则称离散型随机变量 X 服从 两点分布 ．
2．一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其 中恰有 X 件次品，则 P(X＝k)＝CkMCCnNnN－－kM，k＝0,1,2，…， m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，
随机的，可能是一红一白，两红，两白三种情况，为此我们定 ∴ 义则P随X(X机显＝变然0)量服＝如从1－下两37：点＝X分47＝，布，01， ，且两 两P球 球(X非 全＝全 红1)＝红CC2121，05＝37， ∴X 的分布列为
X0
1
43
P7
7
小结 两点分布中只有两个对应的结果，因此在解答此类问题 时，应先分析变量是否满足两点分布的条件，然后借助概率的 知识，给予解决．
问题 2 只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？
答 不一定．如随机变量 X 的分布列由下表给出
X
2
5
P 0.3 0.7
X 不服从两点分布，因为 X 的取值不是 0 或 1.
例 1 袋中有红球 10 个，白球 5 个，从中摸出 2 个球，如果只
关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量 X，才能使 X 满足两点分布，并求分布列． 解 从含有 10 个红球，5 个白球的袋中摸出 2 个球，其结果是
故 X 的分布列为
小结
X 0 10 20 50 60 1 2 121
P 3 5 15 15 15
此类题目中涉及的背景多数是生活、生产实践中的问
题，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男
1．两点分布，如果随机变量 X 的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
则称离散型随机变量 X 服从 两点分布 ．
2．一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其 中恰有 X 件次品，则 P(X＝k)＝CkMCCnNnN－－kM，k＝0,1,2，…， m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，
随机的，可能是一红一白，两红，两白三种情况，为此我们定 ∴ 义则P随X(X机显＝变然0)量服＝如从1－下两37：点＝X分47＝，布，01， ，且两 两P球 球(X非 全＝全 红1)＝红CC2121，05＝37， ∴X 的分布列为
X0
1
43
P7
7
小结 两点分布中只有两个对应的结果，因此在解答此类问题 时，应先分析变量是否满足两点分布的条件，然后借助概率的 知识，给予解决．
问题 2 只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？
答 不一定．如随机变量 X 的分布列由下表给出
X
2
5
P 0.3 0.7
X 不服从两点分布，因为 X 的取值不是 0 或 1.
例 1 袋中有红球 10 个，白球 5 个，从中摸出 2 个球，如果只
关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量 X，才能使 X 满足两点分布，并求分布列． 解 从含有 10 个红球，5 个白球的袋中摸出 2 个球，其结果是
故 X 的分布列为
小结
X 0 10 20 50 60 1 2 121
P 3 5 15 15 15
此类题目中涉及的背景多数是生活、生产实践中的问
题，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男