概论题

一、甲袋装有3只白球和5只黑球，乙袋装有4只白球和6只黑球.先从甲袋中取出一球放入乙袋后搅匀，再从乙袋中取出一球放回甲袋.求:（1）甲袋白球数增加的概率；（2）甲袋白球数不变的概率.二、已知随机变量X的概率密度为已知求：（1）常数的值；（2）的分布函数；（3）的概率密度函数.三、已知二维随机变量的联合密度为求:（1）的值；（2）的边缘密度，并判断与是否独立；（3）求的密度函数.四、将两封信随机投入三个空邮筒.设分别表示第一、第二号邮筒中的信的个数.求：（1）的联合分布律；（2）和的边缘分布律，并判断与是否独立；（3）的分布律；（4）.五、设随机变量与的相关系数为服从正态分布服从上的均匀分布，求:六、设总体的概率密度函数为其中为未知参数，是来自总体的样本.求:未知参数的最大似然估计，并问它们是否为的无偏估计.七、设独立同分布，均服从，求使一、单项选择题1.设随机变量，服从二项分布，其中1,2,…，那么，对于任一实数，有【】（A） (B)(C) (D)2.设离散型随机变量的分布律为则常数应为：【】（A） . （B） . （C）. （D）.3.打靶3发，事件表示“击中发”，=0，1，2，3.那么事件表示：(A)全部击中. （B）至少有一发击中.（C）必然击中. （D）击中3发【】二、填空题1.设为两个随机事件，且，则由乘法公式知= .2.设（0.5，0.52）,且有3,则= .3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为： .4.从1，2，…，10共10个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于 .三、（本题12分）在所有的两位数中任取一个数，求这个数能被2或3或5整除的概率.四、（本题10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回.直到查到次品时为止，用表示检查次数，求：的分布函数五、（本题10分）设某地区成年居民中肥胖者占10%，不胖不瘦者占82%，瘦者占8%，又知肥胖者患高血压的概率为20%，不胖不瘦者患高血压病的概率为10%，瘦者患高血压病的概率为5%，试求：（1）该地区居民患高血压病的概率；（2）若知某人患高血压，则他属于肥胖者的概率有多大？六、（本题10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是；其中.如果与相互独立，写出（，）的联合概率密度，并求下列事件的概率；（1）到时刻两家的元件都失效（记为）；（2）到时刻两家的元件都未失效（记为）；（3）在时刻至少有一家的元件还在工作（记为）.七、（本题7分）证明：事件在一次试验中发生次数的方差一定不超过.八、（本题10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为：又知随机变量试求:的分布律及其分布函数.九、（本题10分）将一枚硬币连掷100次，试用棣莫弗——拉普拉斯定理计算出现正面的次数大于60的概率. 已知：十、（本题10分）在一张打上方格的纸上随机地投一枚硬币，若方格的边长为，硬币的直径为且硬币落在每一处是等可能的，记事件为硬币与方格线不相交，试求:事件的概率.综合练习三一、填空题（本题50分，1～10题每小题3分，11～15题第小题4分） 1.把四个球随机地投入四个盒子中去，则有三个空盒的概率为： .2.设为两个随机事件， =0.5，= 0.4,则 .3.100件产品中，有10件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一件产品，则第二次取到正品的概率为： .4.设的分布函数为，且,则＝ . 5.设二维随机向量（）的分布函数,分布密度为:则:= .6.设二维随机向量（）的分布函数为,分布律如下, 则.7.设（5），（16，0.5）， 则.8.设二维随机向量（）的概率密度为:而Y 的边缘密度为 ，则（2）= .9.设（）（0，0；1，1；0），则的概率密度.10.设（）的概率密度为则.11..12.设连续型随机变量的概率密度为，则的概率密度. (用表示). 13.设相互独立，，令Z 的概率密度函数.14.设是个相互独立同分布的随机变量，它们共同的分布函数为,则的分布函数 .（用表示）.二、（本题10分）设独立同分布，证明两两独立，但不相互独立.综合练习四一、（本题８分）盒中有３个新晶体管和2个旧晶体管.某仪器需要安装上３个晶体管，若装上的都是新管，则仪器合格的概率为0.9；若装上的恰有１个旧管，则仪器合格的概率为0.5；若装上的恰有２个旧管，则仪器合格的概率为0.1 .现从盒中任取３个安装在仪器上，并已知仪器合格，问所安装的３个都是新管的概率多大？二、(本题１０分) 设所生产的某种零件的长度与规定长度的偏差(单位：mm)服从正态分布（0,22）.若偏差的绝对值不超过2.4（mm）则属于合格品，现独立生产５个零件，问至少有４个合格品的概率是多少？附表：三、（本题８分）设随机变量Ｘ的概率密度为求:的分布函数.四、（本题１０分）设随机变量与相互独立，在区间（１，３）上服从均匀分布，的概率密度为求:的概率密度.五、（本题１２分）设的联合概率密度为（１）求：边缘概率密度（２）求：，并问Ｘ与Ｙ是否不相关.六、填空题（本题１８分，每个空２分）（１）箱中有６个红球和２个白球，任意抽取四次，每次取一球，取后不放回.则在第四次抽取时取得红球的概率为：.（２）把3个球随机地放入５个盒子中去，每个盒能容纳的球数不限，则恰有３个盒子无球的概率为：.（3）设随机变量服从指数分布，，则，.（4）设随机变量的相关系数为0.2，，则.七、（本题12分）设总体的概率密度为其中＞0是未知参数，是总体的样本.试求：（1）的矩估计量；（2）的极大似然估计量.综合练习五一、单项选择题（本题24分）1.设、是任意两个随机事件，则以下等式正确的是：【】(A). (B).(C). (D).2.加工一种零件需经过三道独立工序.各道工序的废品率分别为，则加工该种零件的成品率为：(A). (B).(C). (D). 【】3.在下列函数中，可以作为某个随机变量的分布函数的是: 【】(A)() (B)()(C)＝ (D)4.设随机变量X与Y相互独立，服从相同0-1分布: 【】则下列结论正确的是: (A) (B)(C) (D)5.设随机变量有概率密度已知的分布函数值(1)=，则有:(A) (B)【】(C) (D)6. 已知的联合概率如右表，则在的下列关系中正确的是：【】 (A)独立，不相关. (B)独立，相关.(C)不独立，不相关. (D)不独立，相关.7.设某人练习射击，每次命中率为，重复射击次的命中次数记为,如果的数学期望和方差分别为，则射击次数与命中率为: 【】(A) (B)(C) (D)二、填空题（本题24分）1.设事件互不相容，且=，=,则条件概率 .2.盒内装有10只晶体管，其中7只正品，3只次品.每次随机测试1只，区分正品或次品，不放回，直至把3只次品都找出为止.则需测试7次的概率（列式）为； .3.灯泡寿命服从数学期望为1000小时的正态分布，随机抽取100只灯泡中至少有90只灯泡的寿命超过1000小时的概率（列式） .4. 设已知标准正态分布函数值(0.4)＝0.6554, (1)＝0.8413(1)当＝０时，概率，(2)当=-时，方差= .三、（本题10分）有三个盒子.第一盒内装有3个红球和2个白球，第二盒内装有2个红球和3个白球，第三盒内装有4个红球和1个白球.随机取一盒，再从此盒内随机取出2个球，这2个球中的白球数记为，求的概率分布律及分布函数.四、设二维随机变量（）具有概率密度(1)求：概率;(2)求：的数学期望；(3)求：的概率密度.五、（本题16分）设总体有概率密度>０，是总体的容量为的样本,（1）求未知数参数的极大似然估计量；（2）求常数，使成为的无偏估计量.综合练习十一、填空题1．设A，B是两个随机事件，已知A+B=A，则A与B应满足的关系是。

2．设A，B是两个随机事件，且AB=A，则A与B应满足的关系是。

3．设A、B是两个随机事件，且AB=，P（B）=[P（A）]2，则P（A）= 。

4．三个箱子，第一个箱子中有4个黑球与1个白球，第二个箱中有3个黑球与3个白球，第三个箱中有3个黑球与5个白球。

现随机地选取一个箱子，再从该箱中取出1个球，则这个球为白球的概率是；若已发现取出的这个球是白球，则它不是取自第二个箱子的概率是。

5．设离散型随机变量X的概率函数为P{X=i}=p i+1,i=0,1，则p= 。

6．已知随机变量X服从二项分布B（n,p），且EX=3.2，DX=0.64，则P{X≠0}= 。

7．已知X~B（3，p），Y~B（4，p），且P{X≥1}=，则EY2= 。

8．设随机变量X服从正态分布N（μ,1），已知P{X≤3}=0.975，则P{X≤-0.92}= 。

9．设随机变量X与Y相互独立，其方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y的方差是。

10．设一次试验的成功率为p，进行100次独立重复试验，当p= 时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为。

11．设随机变量X在区间[-1，2] 上服从均匀分布，随机变量则Y 的方差DY= 。

12．设随机变量Y服从[1，6]上的均匀分布，则关于x的一元二次方程x2+Yx+1=0有实根的概率是。

二、选择题1. 在全概率公式中，除了要求条件B是任意随机事件及P（A i）>0 (i=1,2,…,n) 之外，我们可以将其它条件改为（）。

（A）A1，…，A n两两独立，但不相互独立（B）A1，…，A n相互独立（C）A1，…，A n两两互不相容（D）A1，…，A n两两互不相容，其和包含事件B，即2．设随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则随σ的增大，概率P{|X-μ|<σ}应该（）。

(A) 单调增大（B）单调减少（C）保持不变（D）增减不定．3．设随机变量X,Y分别服从正态分布X~N (μ，42) ，Y ~ N (μ，52)；记p1= P{X≤μ-4} ，p2= P{Y≥μ+5}，则（）。

（A）p1= p2（B）p1> p2（C）p1< p2（D）因μ未知，无法比较p1与p2的大小4．设二维随机变量（X，Y）满足E(XY)= EXEY，则X与Y（）。

（A）相关（B）不相关（C）独立（D）不独立5．重复进行一项试验，事件A表示“第一次失败且第二次成功”，则事件为（）。

（A）两次均失败（B）第一次成功（C）第一次成功且第二次失败（D）第一次成功或第二次失败6．随机事件A与B独立的充分必要条件是（）。

(A) P(A+B)=P(A)+P(B) (B) P(A-B)=P(A)-P(B)(C) P(B-A)=P(B)-P(A) (D) P(AB)=P(A)P(B)7．设X是一随机变量，EX=μ，DX=σ2（μ，σ>0为常数），则对任意常数c，必有（）。