初中数学三角形专题
初中数学专题复习等腰三角形与直角三角形
初中数学专题复习等腰三角形与直角三角形在初中数学的学习中，等腰三角形和直角三角形是两个非常重要的几何图形。
它们具有独特的性质和定理，在解决数学问题时经常会用到。
下面我们就来对这两个图形进行一次系统的复习。
一、等腰三角形1、定义有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两条边称为腰，另一边称为底边。
两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
2、性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
3、判定（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
（2）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
4、等腰三角形中的常见计算（1）已知等腰三角形的顶角，求底角：底角＝（180°顶角）÷ 2 。
（2）已知等腰三角形的底角，求顶角：顶角＝ 180° 2×底角。
5、等腰三角形的周长和面积（1）周长：等腰三角形的周长＝腰长× 2 ＋底边。
（2）面积：通常可以通过作底边的高，将等腰三角形分成两个直角三角形，然后利用三角形面积公式 S ＝ 1/2×底×高来计算。
二、直角三角形1、定义有一个角为 90°的三角形叫做直角三角形。
2、性质（1）直角三角形的两个锐角互余。
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（4）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
3、判定（1）如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形是直角三角形。
（2）如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
4、直角三角形中的常见计算（1）已知直角三角形的两条直角边 a、b，求斜边 c：c ＝√（a²＋b²) 。
初中数学三角形专题训练50题含答案
初中数学三角形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．如图，已知AO=OB ，OC=OD ，AD 和BC 相交于点E ，则图中全等三角形有（ ）对．A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 2．两个同心圆的半径分别是 5 和 4，则长为 6 的大圆的弦一定和小圆（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定 3．在△ABC 中，AB =8，BC =15，AC =17，则下列结论正确的是( ) A ．△ABC 是直角三角形，且△A =900B ．△ABC 是直角三角形，且△B =900 C ．△ABC 是直角三角形，且△C =900D ．△ABC 不是直角三角形 4．若菱形ABCD 的对角线8AC =，60ABC ∠=，则菱形ABCD 的面积为（ ） A ．16 B ．C ．D ．5．用10根等长的火柴棒拼成一个三角形（火柴棒不允许剩余，重叠和折断），这个三角形一定是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形 6．下列命题：△任何实数的0次幂都等于1；△有两个角相等的等腰三角形是等边三角形；△三角形三条边垂直平分线的交点到三角形三条边的距离相等；△若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形．正确的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 7．菱形的两条对角线分别是12和16，则该菱形的边长是( )A ．10B ．8C ．6D ．5 8．如图，下列条件中，不能证明△ABC △△DCB 的是（ ）A ．AB ＝DC ，AC ＝DBB ．AB ＝DC ，△ABC ＝△DCB C ．△ACB ＝△DBC ，△A ＝△D D ．AB ＝DC ，△DBC ＝△ACB 9．如图，把ABC 纸片沿EG 折叠，当点A 落在ABC 外部的点F 处，此时测得2104∠=︒，30A ∠=︒，则1∠的度数为（ ）A ．40︒B ．44︒C ．46︒D ．48︒ 10．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 、AF 交于点G ，AF 的中点为H ，连接BG 、DH ．给出下列结论：△AF DE ⊥；△85DG =；△HD BG ∥；△ABG 与DFH 相似．其中正确的结论有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．411．下列条件中，能判定△ABC△△DEF 的是( )A ．AB=DE ，BC=EF ，△A=△EB ．△A=△E ，AB=EF ，△B=△DC ．△A=△D ，△B=△E ，△C=△F D ．△A=△D ，△B=△E ，AC=DF 12．在Rt ABC △中，90A ∠=︒，6AB =，8AC =，点P 是ABC 所在平面内一点，则222PA PB PC ++取得最小值时，下列结论正确的是（ ）A ．点P 是ABC 三边垂直平分线的交点B ．点P 是ABC 三条内角平分线的交点 C ．点P 是ABC 三条高的交点D ．点P 是ABC 三条中线的交点13．下列命题中，真命题是（ ） A ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等B ．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D ．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等14．已知直角三角形两边的长分别为6和8，则此三角形的周长为（ ）A ．24B ．14C ．14+24D ．14+15．如图，点A 的坐标为（﹣3，2），△A 的半径为1，P 为坐标轴上一动点，PQ 切△A 于点Q ，在所有P 点中，使得PQ 长最小时，点P 的坐标为（ ）A ．（0，2）B ．（0，3）C ．（﹣2，0）D ．（﹣3，0） 16．如图1，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；如图2，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图3，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依次规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是（ ）．A ．nB ．21n -C ．(1)2n n +D ．3(1)n + 17．如图，若 AC 、BD 、EF 两两互相平分于点O ，那么图中的全等三角形共有（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对 18．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为( )A ．27cmB ．228cmC ．242cmD ．249 cm 19．如图，在□ABCD 中，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，作CE △AB ，垂足E 在线段AB上，连接EF 、CF ，则下列结论中：△△DCF ＝12△BCD ；△EF ＝CF ；△S △BEC ＜2S △CEF ；△△DFE ＝4△AEF ．一定成立的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．420．如图，等边ABC 内部有一点D ，3DB =，4DC =，150BDC =∠︒，在AB 、AC 上分别有一动点E 、F ，且AE AF =，则DE DF +的最小值是( )A ．5B ．C ．D ．7二、填空题21．等腰三角形的两边长为2和3，则等腰三角形的周长为________．22．若3，m ，5=______． 23．如图，点P 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，且BP ＝BC ，则△DPC ＝______°．24．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，70B ∠=︒，D ，E 分别是边AB 、AC 上的点，将A ∠沿DE 折叠，使点F 落在AB 的下方，当FDE 的边EF 与BC 平行时，ADE ∠的度数是_________．25．《九章算术）是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺，门对角线距离恰好为1丈，问门高、宽各是多少？（1丈=10尺）如图，设门高AB 为x 尺，根据题意，可列方程为___________（将方程化简并写成一般形式）．26．如图，ABC ∆和ABE 关于直线AB 对称，ABC ∆和ADC ∆关于直线AC 对称，CD 与AE 交于点F ，若32ABC ∠=︒，18ACB ∠=︒，则CFE ∠的度数为______．27．如图，有6个条形方格图，在由实线围成的图形中，全等图形有：（1）与__；（2）与__．28．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△A ＝40°，CD ∥AB ，则△BCD 的度数是______．29．如图△ABC 中，△A =96°，延长BC 到D ，△ABC 的平分线与△ACD 的平分线交于点A 1，△A 1BC 的平分线与△A 1CD 的平分线交于点A 2，以此类推，△A 4BC 的平分线与△A 4CD 的平分线交于点A 5，则△A 5的大小是___30．ABC 中，AB 15=，BC 12=，AC 9=，圆O 是ABC 的内切圆，则图中阴影部分的面积为________．（结果不取近似值）31．如图所示，一水库迎水坡AB 的坡度1:2i =，则求坡角α的正弦值sin α______．32．一根旗杆在离地面4.5 m 的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6 m 外，则旗杆折断前的高度是________．33．如图，O 的弦AB 长为2，CD 是O 的直径，30,15ADB ADC ∠=︒∠=︒．△O 的半径长为_________．△P 是CD 上的动点，则PA PB +的最小值是_________．34．直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为___________．35．如图，国旗上的五角星的五个角的度数是相同的，每一个角的度数都是____.36．在等边ABC 中，点D 在BC 边上，若4AB =，AD =BD 的长为______．37．如图，已知△MON =30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，…均为等边三角形，若OA 1=2，则△A 5B 5A 6的边长为________．38．已知点G是面积为227cm的ABC的重心，那么AGC的面积等于____39．图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方形7的边长为1cm，则正方形1的边长为__________cm.40．如图，平行四边形ABCD中，点P为边AD上一个动点，连接BP，将线段PB绕点B逆时针旋转60°得到BQ，连接AQ，若△ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，则线段AQ 的取值范围是______．三、解答题41．如图，已知ACB DBC AC BD，，求证：A D∠=∠=∠=∠．∠交AC于点D，E为AB中点，过点A作42．已知：如图ABC中，BD平分ABCAF BD，交DE延长线于点F.∥(1)求证：AF BD=(2)当ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形?请证明你的结论.43．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(图中的四边形ABCD)，经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，△B＝90°，连接AC．(1)△ACD是直角三角形吗？为什么？(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？44．尺规作图=．（保留作图痕迹，不如图，ABC中，2B C∠=∠，在AC边上找一点P，使PB PC写作法）45．如图，在直角△ABC中，△ACB=90°，CD是高，△1=35°，求△2、△B与△A的度数.46．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．（1）求证：△AED△△CFB；（2）试判断四边形EBFD 的形状，并说明理由．47．如图，在△ABC 中，△ABC ＝△ACB ，E 为BC 边上一点，以E 为顶点作△AEF ，△AEF 的一边交AC 于点F ，使△AEF ＝△B ．(1)如果△ABC ＝40°，则△BAC ＝ ；(2)判断△BAE 与△CEF 的大小关系，并说明理由；(3)当△AEF 为直角三角形时，求△AEF 与△BAE 的数量关系．48．如图，在平面直角坐标系内有一正方形OABC ，点C 坐标为(0,4)，点D 为AB 的中点，直线142y x =-+经过点C ，D 并交x 轴于点E ，BCD △沿着CD 折叠，顶点B 恰好落在OA 边上方F 处，连接BE ，点P 为直线CD 上的一动点，点Q 是线段BE 的中点．连接BP ，PQ ．（1）求点F 的坐标；（2）求出点P 运动过程中，PO PA +的最小值；（3）是否存在点P ，使其在运动过程中满足EQP EBC △∽△，若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．49．在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为AB 上一点，连结CD ，将CD 绕C 点逆时针旋转90°至CE ，连结DE ，过C 作CF DE ⊥交AB 于F ，连结BE ．（1）求证：AD BE=．（2）试探索线段AD，BF，DF之间满足的等量关系，并证明你的结论．（3）若15CD=，求BF．ACD=︒∠，1（注：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）50．如图1，在ABC中，△A＝90°，AB＝AC+1，点D，E分别在边AB，AC 上，且AD＝AE＝1，连接DE．现将ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α(0°＜α＜180°)，如图2，连接CE，BD，CD．(1)当0°＜α＜90°时，求证：CE＝BD；(2)如图3，当α＝90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；(3)在旋转过程中，求BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．参考答案：1．D【分析】由条件可证△AOD △△BOC ，可得△A ＝△B ，则可证明△ACE △△BDE ，可得AE ＝BE ，则可证明△AOE △△BOE ，可得△COE ＝△DOE ，可证△COE △△DOE ，可求得答案．【详解】解：在△AOD 和△BOC 中OA OBAOD BOC OD OC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ △△AOD △△BOC （SAS ），△△A ＝△B ，△OC ＝OD ，OA ＝OB ，△AC ＝BD ，在△ACE 和△BDE 中A BAEC BEDAC BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ACE △△BDE （AAS ），△AE ＝BE ，在△AOE 和△BOE 中OA OBA BAE BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AOE △△BOE （SAS ），△△COE ＝△DOE ，在△COE 和△DOE 中OE OECOE DOEOD OC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△COE △△DOE （SAS ），故全等的三角形有4对，故选：D ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．2．B【分析】连接OB，作OC AB⊥，根据垂径定理求出132BC AB==，根据勾股定理求出OC，即可得到判断．【详解】解：连接OB，作OC AB⊥，△6AB=，△132BC AB==，在Rt OBC中，4OC=，△点C在小圆上，△OC AB⊥，△长为6的大圆的弦和小圆相切，故选：B．【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，直线与圆的位置关系，正确理解垂径定理是解题的关键．3．B【详解】22281517+=, △△ABC是直角三角形，△AC是斜边,△△B=900,故B正确;故选B.4．C【分析】过A作AE△BC于E，由菱形性质和△ABC=60°，可得△ABC是等边三角形，解Rt△ABE求得AE即可解答；【详解】解：由题意作图如下，过A作AE△BC于E，由菱形的性质可得：AB=BC，△△ABC=60°，△△ABC是等边三角形，△AB=BC=AC=8，Rt△ABE中，AE=AB sin△B=△菱形ABCD面积=BC•AE=故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角函数等知识；掌握菱形的性质是解题关键．5．B【分析】根据题意可知三角形的周长为10，再根据三角形的三边关系找到符合条件的三边，看符合哪类三角形即可．【详解】根据题意可知三角形的周长为10，又因为三角形任意两边之和大于第三边，△最大边要小于5，△三角形的三边可以为4，2，4或4，3，3．△这个三角形一定是等腰三角形．故选B．【点睛】此题考查了三角形的三边关系及等腰三角形的判定．三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．6．B【分析】根据0指数幂的定义，等腰三角形三线合一，等边三角形的判定，线段垂直平分线性质逐个进行判断即可．【详解】解：△0的0次幂不存在，△△错误；△有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，故△错误；△三角形三条边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故△错误；△若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形，故△正确△正确的个数为：1个．故选：B ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，0指数幂的定义，等腰三角形性质，等边三角形的判定的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，任何不等于0的0次幂等于1，能理解性质和法则是解此题的关键．7．A【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线的长分别为12和16，求得OA 与OB ，再由勾股定理即可求得菱形的边长．【详解】如图，△菱形ABCD 中，A C=12，BD =16，△OA =12AC =6，OB =12BD =8，AC △BD ，△AB ．即菱形的边长是10.故选：A.【点睛】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．掌握菱形的对角线互相平分且垂直是解题的关键．8．D【详解】解：根据题意知，BC =BC ．A 、由“SSS”可以判定△ABC △△DCB ，故本选项不符合题意；B 、由“SAS”可以判定△ABC △△DCB ，故本选项不符合题意；C 、由“AAS”可以判定△ABC △△DCB ，故本选项不符合题意；D 、由“SSA”不能判定△ABC △△DCB ，故本选项符合题意．故选：D ．9．B【分析】设EF 与AB 交于D ，由折叠可得30F A ∠=∠=︒，根据三角形的外角性质得到21043074ADE A ∠=∠-∠=︒-︒=︒，1ADE F ∠=∠-∠，则由1ADE F ∠=∠-∠，即可求解．【详解】解：设EF 与AB 交于D ，如图，△21043074ADE A ∠=∠-∠=︒-︒=︒，又1ADE F ∠=∠-∠，1743044ADE F ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴，故选：B ．【点睛】本题考查三角形外角的性质，折叠的性质，熟练掌握三角形外角的性质与折叠的性质是解题的关键．10．B【分析】利用正方形的性质和线段中点性质，证明()SAS ADF DCE ≌，得到DAF CDE ∠=∠，即可判断△；利用勾股定理求AF =DG 的长，即可判断△；利用直角三角形的斜边中线等于斜边一半，得到DH HF =，进而得到HDF HFD ∠=∠，然后根据平行线的性质，得到HDF HFD BAG ==∠∠∠，由勾股定理求出AG =△；根据ABG DFH ∽，得到ABG DHF =∠∠，又因为AB AG ≠，得到ABG AGB ∠≠∠，进而得到AGB DHF ≠∠∠，即可判断△． 【详解】解：四边形ABCD 为正方形，90ADC BCD ，AD CD BC ==， E 、F 分别是BC 、CD 的中点，11222DF CD BC EC ∴====， 在ADF △和DCE 中，AD CD ADC BCD DF EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ADF DCE ∴≌，DAF CDE ∴∠=∠，90ADG CDE ADC ∠+∠=∠=︒，90ADG DAF ∴∠+∠=︒，90AGD ∴∠=︒，AF DE ∴⊥，△结论正确；4AD =，122DF CD ==，AF ∴=，1122ADF S AD DF AG DG =⋅=⋅，AD DF DG AF ⋅∴==△结论错误； H 为AF 的中点，90ADC ∠=︒，12DH HF AF ∴=== HDF HFD ∴∠=∠，AB CD ∥，HFD BAG ∠=∠∴，HDF HFD BAG ∠=∠=∠∴，AG AD ==4AB =，52AG DF ∴==AB AB DH HF ==， AB AG DH DF∴=， ABG DFH ∴∽，△结论正确；ABG DHF ∴∠=∠，4AB =，AG = AB AG ∴≠，ABG AGB ∠≠∠∴，AGB DHF ∴∠≠∠，HD ∴与BG 不平行，△结论错误，综上可知，正确的结论为：△△，故选B ．【点睛】本题考查了三角形全等的证明与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的斜边中线等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题关键．11．D【详解】解：A ．AB=DE ，BC=EF ，△A=△E ，SSA 不能确定全等；B ．△A=△E ，AB=EF ，△B=△D ，AB 和EF 不是对应边，不能确定全等；C ．△A=△D ，△B=△E ，△C=△F ，AAA 不能确定全等；D ．△A=△D ，△B=△E ，AC=DF ，根据AAS ，能判断△ABC△△DEF ．故选D ．12．D【分析】以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则222PA PB PC ++=()22820032333x y ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭，可得P (2，83)时，222PA PB PC ++最小，进而即可得到答案．【详解】以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图，则A (0，0)，B (6，0)，C (0，8)，设P (x ，y )，则222PA PB PC ++=()()22222268x y x y x y ++-+++-=22331216100x y x y +--+=()22820032333x y ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭， △当x =2，y =83时，即：P (2，83)时，222PA PB PC ++最小， △由待定系数法可知：AB 边上中线所在直线表达式为：883y x =-+， AC 边上中线所在直线表达式为：243y x =-+， 又△P (2，83)满足AB 边上中线所在直线表达式和AC 边上中线所在直线表达式，△点P是ABC三条中线的交点，故选D．【点睛】本题主要考查三角形中线的交点，两点间的距离公式，建立合适的坐标系，把几何问题化为代数问题，是解题的关键．13．D【分析】根据三角形全等的判定方法对A、D进行判断；利用三角形高的位置不同可对B、C进行判断．【详解】A、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以A选项错误；B、有两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以B选项错误；C、有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以C选错误；D、有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，所以D选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了判断命题真假，以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，仔细分类讨论是解题关键．14．C【分析】先设Rt△ABC的第三边长为x，由于8是直角边还是斜边不能确定，故应分8是斜边或x为斜边两种情况讨论．【详解】解：设Rt△ABC的第三边长为x，△当8为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，10x=，此时这个三角形的周长=6+8+10=24；△当8为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，22x8627,此时这个三角形的周长=△此三角形的周长为：24．故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理，二次根式的化简，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．15．D【分析】连接AQ、P A，如图，利用切线的性质得到△AQP=90°，再根据勾股定理得到PQ=AP△x轴时，AP的长度最小，利用垂线段最短可确定P点坐标．【详解】解：连接AQ、P A，如图，△PQ切△A于点Q，△AQ△PQ，△△AQP＝90°，△PQ当AP的长度最小时，PQ的长度最小，△AP△x轴时，AP的长度最小，△AP△x轴时，PQ的长度最小，△A（﹣3，2），△此时P点坐标为（﹣3，0）．故选：D．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理，垂线段最短．16．C【分析】根据条件可得图1中△ABD△△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD△△ACD，△BDE△△CDE，△ABE△△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．【详解】解：△AD是△BAC的平分线，△△BAD=△CAD．在△ABD与△ACD中，AB=AC，△BAD=△CAD，AD=AD，△△ABD△△ACD．△图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE△△ACE，△BE=EC，△△ABD△△ACD．△BD=CD，又DE=DE，△△BDE△△CDE，△图2中有3对三角形全等；同理：图3中有6对三角形全等；由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是()12n n+．故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．17．D【分析】根据AC、BD、EF两两互相平分于点O，则有OE＝OF，OA＝OC，OB＝OD；图中的对顶角有△AOB与△DOC，△AOE与△COF，△BOF与△DOE，△AOD与△BOC；根据两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS）可得△AOB△△DOC；△AOE△△COF；再利用前面所证全等三角形，易证四边形ABCD是平行四边形，故△BOF△△DOE；△AOD△△BOC．【详解】解：△AC、BD、EF两两互相平分于点O△OE＝OF，OA＝OC，OB＝OD；△△AOB=△DOC，△AOE=△COF，△BOF=△DOE，△AOD=△BOC；△△AOB△△DOC（SAS）△AOE△△COF（SAS）△OA＝OC，OB＝OD；△四边形ABCD是平行四边形，△ AD△BC，AD=BC△△EDO=△FBO，△AOD△△BOC△△BOF△△DOE故图中所有的全等三角形有6对，分别是△AOB△△DOC；△AOE△△COF；△BOF△△DOE；△AOD△△BOC；△ABD△△CDB；△ABC△△CDA．故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的判定；找寻全等三角形时要从最明显的开始，由易到难，不重不漏．18．D【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，从而可解决问题．【详解】解：△所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，△正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，又△a2+b2=x2，c2+d2=y2，△正方形A、B、C、D的面积和=（a2+b2）+（c2+d2）=x2+y2=72=49（cm2）．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．19．C【分析】△先证出AF =FD =CD ，得到△DFC =△DCF ，再根据平行线性质得到△DFC =△FCB ，即可得到△DCF =△BCF ，可得△DCF =12 △BCD ，故△正确；△做辅助线延长EF ，交CD 延长线于M ，先证△AEF △△DMF （ASA ），得到FE =MF 即12FE EM =，再通过在Rt ECM 中斜边上的中线等于斜边的一半得到12FC EM =，即可得到CF =EF ，故△正确；△根据EF =FM ，可得EFC CFM S S =，那么2ECM CFE S S =△△，再通过MC ＞BE ，得到BEC ECM S S △△＜，即2BEC CEF S S △△＜，故△的正确；△先证FC =FE ，设△FCE =x ，那么90DCF x ∠=︒-，再通过证△DCF =△DFC ，那么90DCF DFC x ∠=∠=︒-，则1802EFC x ∠=︒-，进一步证得9018022703EFD x x x ∠=︒-+︒-=︒-，即可证得3DFE AEF ∠=∠，故△错误．【详解】解：△△F 是AD 的中点，△AF =FD ，△在ABCD 中，AD =2AB ，△AF =FD =CD ，△△DFC =△DCF ，△//AD BC ，△△DFC =△FCB ，△△DCF =△BCF ，△△DCF =12△BCD ，故△正确；△延长EF ，交CD 延长线于M ，△四边形ABCD 是平行四边形，△//AB CD ，△△A =△MDF ，△F 为AD 中点，△AF =FD ，在△AEF 和△DFM 中，A FDM AF DFAFE DFM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， △△AEF △△DMF （ASA ），△FE =MF ，即12FE EM =，△AEF =△M ， △CE △AB ，△△AEC=90°，△△AEC =△ECD =90°， △12FC EM =△12FE EM =， △CF =EF ，故△正确；△△EF =FM ，△EFC CFM S S =，△2ECM CFE S S =△△，△MC ＞BE ，△BEC ECM S S △△＜△2BEC CEF S S △△＜故△正确；△设△FEC =x ，△CE △AB ，//AB CD ，△90ECD BEC ∠=∠=︒，△F 是EM 的中点，△FC =FE ，△△FCE =x ，△90DCF x ∠=︒-，△//AD BC△△FCB =△DFC△△DCF ＝△FCB ；△△DCF =△DFC△90DCF DFC x ∠=∠=︒-△1802EFC x ∠=︒-，△9018022703EFD x x x ∠=︒-+︒-=︒-，△90AEF x ∠=︒-，△△DFE =3△AEF ，故△错误．综上所述正确的是：△△△．故选：C ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形性质等知识，能准确找到边与边之间、角与角之间的关系是解答此题的关键．20．A【分析】过C 作HC CD ⊥于C ，使CH BD =，连接DH ，FH ，根据SAS 证明BED CFH ≅△△，得出FH DE =，则DE DF FH DF +=+，当FH DF +的最小时，DE DF +最小，当D 、F 、H 在同一条直线时，FH DF +最小，根据勾股定理算出结果即可．【详解】解：如图，过C 作HC CD ⊥于C ，使CH BD =，连接DH ，FH ，90HCA ACD ∴∠+∠=︒，150BDC ∠=︒，18015030DBC DCB ∴∠+∠=︒-︒=︒，()ABD ACD ABC ACB DBC DCB ∴∠+∠=∠+∠-∠+∠，△ABC 为等边三角形，60ABC ACB ∴∠=∠=︒，AB AC =，1203090ABD ACD ∴∠+∠=︒-︒=︒，HCA ABD ∴∠=∠， =AE AF ，BE CF ∴=，△在BED 和FCH 中BE CF HCA ABD CH BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BED CFH ∴≅△△，FH DE ∴=，DE DF FH DF ∴+=+，∴当FH DF +的最小时，DE DF +最小，∴当D 、F 、H 在同一条直线时，FH DF +最小，在Rt DCH △中，3CH =，4DC =，5DH ∴，△DE DF +的最小值是5，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，证明BED CFH ≅△△．21．7或8【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：△当腰长为2时，△当腰长为3时，解答出即可．【详解】解：根据题意，△当腰长为2时，周长=2+2+3=7；△当腰长为3时，周长=3+3+2=8，故答案为：7或8．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意本题要分两种情况解答．22．3m ﹣18．【分析】先根据三角形三边关系确定m 的取值范围，然后利用二次根式的性质化简即可．【详解】△三角形的三边长分别为3、m 、5，△2＜m ＜8，=|2﹣m |﹣2|m ﹣8|=m ﹣2﹣2(8﹣m )=3m ﹣18．故答案为：3m ﹣18．【点睛】本题主要考查三角形三边关系和二次根式的性质，掌握三角形三边关系和二次根式的性质是解题的关键．23．112.5【分析】根据正方形的性质，可以得到△PBC 的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和，求得△BPC 的度数，即可求得△DPC 的度数．【详解】解：△点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，△△PBC =45°，△BP =BC ，△△BPC =△BCP =180452︒-︒=67.5°， △△DPC =180°-△BPC =112.5°，故答案为：112.5．【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．24．25︒或25度【分析】根据三角形内角和，得A ∠的角度，根据折叠得，A F ∠=∠，ADE EDF ∠=∠；又根据EF BC ∥，得90FEC C ∠=∠=︒，再根据三角形内角和，求出EGF ∠，最后根据三角形的外角和，即可求出ADE ∠．【详解】△ABC 中，90C ∠=︒，70B ∠=︒△18020A C B ∠=︒-∠-∠=︒△DEF 是DEA △折叠得到的△20A F ∠=∠=︒，ADE EDF ∠=∠△EF BC ∥△90FEC C ∠=∠=︒△18070EGF FEC F ∠=︒-∠-∠=︒△70EGF DGC ∠=∠=︒△70A ADG ∠+∠=︒△270A ADE ∠+∠=︒△25ADE ∠=︒．故答案为：25︒或25度．【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形内角和、外角和定理． 25．26320x x --=【分析】先表示出BC 的长，再利用勾股定理建立方程即可．【详解】解：由题可知 1丈=10尺，门的对角线距离恰好为1丈，∴门的对角线距离恰好为10尺，△高比宽多6尺，设门高 AB 为x 尺，△()6BC x =-尺，△可列方程为：()222610x x +-=，整理得：26320x x --=故答案为：26320x x --=．【点睛】本题属于数学文化题，考查了勾股定理及其应用，解决本题的关键是读懂题意，能将文字语言转化为几何语言，能用含同一个未知数的式子表示出直角三角形的两条直角边，再利用勾股定理建立方程即可．26．118【分析】根据轴对称的性质得出角的度数，进而利用三角形外角的性质解答即可．【详解】解：∵△ABC和△ABE关于直线AB对称，△ABC和△ADC关于直线AC对称，∴∠DCA＝∠ACB＝18°，∠BAC＝∠BAE，∵∠ABC＝32°，∴∠BAC＝180°-18°-32°＝130°＝∠BAE，∴∠EAC＝360°﹣∠BAC﹣∠BAE＝360°﹣130°﹣130°＝100°，∴∠CFE＝∠ACD+∠EAC＝18°+100°＝118°，故答案为：118°．【点睛】此题考查轴对称的性质，关键是根据轴对称的性质求出相关角的度数．27．（6）（3）（5）【分析】利用全等图形的概念可得答案．【详解】解：（1）与（6）是全等图形，（2）与（3）（5）是全等图形，故答案为：（6），（3）（5）．【点睛】本题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．28．110°##110度【分析】根据等腰三角形性质，可得△B＝△ACB＝70°，再根据平行线的性质，即可求出△BCD的度数．【详解】解：△AB＝AC，△A＝40°，△△B＝△ACB＝12（180°－40°）＝70°，△CD AB∥，△△B＋△BCD＝180°，△△BCD＝110°．故答案为：110°【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和平行线的性质，解题关键是熟练运用已知条件，进行正确的推理计算．29．3°##3度【分析】先利用外角等于不相邻的两个内角之和，以及角平分线的性质求△A1=12△A，再依此类推得，△A 2=212△A ；…△A 5=512 △A ；找出规律，从而求△A 5的值． 【详解】△BA 1C +△A 1BC =△A 1CD ，2△A 1CD =△ACD =△BAC +△ABC ，△2(△BA 1C +△A 1BC )=△BAC +△ABC ，2△BA 1C +2△A 1BC =△BAC +△ABC ，而2△A 1BC =△ABC ，△2△BA 1C =△BAC ，同理，可得2△BA 2C =△BA 1C ，2△BA 3C =△BA 2C ，2△BA 4C =△BA 3C ，2△BA 5C =△BA 4 C ，△△BA 5C =12 △BA 4C =14△BA 3C =18 △BA 2C =116 △BA 1C =132 △BAC =96°÷32=3°， 故△A 5=3°．故答案为：3°．【点睛】此题考查三角形的外角性质，解题关键在于找到规律30．549π-【分析】由15AB =，12BC =，9AC =，得到222AB BC AC =+，根据勾股定理的逆定理得到ABC 为直角三角形，于是得到ABC 的内切圆半径1291532+-==，图中阴影部分的面积等于直角三角形的面积减去圆的面积，分别利用它们的计算公式即可得到图中阴影部分的面积【详解】△ 15AB =，12BC =，9AC =，△ 222AB BC AC =+，△ ABC 为直角三角形，△ ABC 的内切圆半径1291532+-==， △ 图中阴影部分的面积2112935492ππ=⨯⨯-⋅=-． 故答案为549π-【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、勾股定理的逆定理，对于不规则图形的面积要灵活转化为规则图形的求法是解题的关键31 【分析】过点A 作AC BC ⊥于C ，根据坡度与坡角的概念得1tan 2AC BC α==，设AC x =，2BC x =，根据勾股定理求出AB 的长，再根据锐角三角函数的概念即可求出答案．【详解】过点A 作AC BC ⊥于C ，△AB 的坡度1:2i =， △1tan 2AC BC α==， 设AC x =，2BC x =，△AC BC ⊥，△AB ，△sinAC AB α==【点睛】本题考查了坡度坡角的知识与解直角三角形的知识，熟练掌握坡度坡角的概念与勾股定理的应用是解本题的关键．32．12米【详解】解：如图所示，AC=6米，BC=4.5米，由勾股定理得，AB= =7.5（米）． 故旗杆折断前高为：4.5+7.5=12（米）．故答案为：12米．33． 2 【分析】△连接,OA OB ，易证AOB 是等边三角形，弦AB 长为2，2OA OB ==，即可得到答案；△先证90BOC AOB AOC ∠=∠+∠=︒，延长BO 交O 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，连接BP ,则此时PA PB PA PE AE +=+=，即PA PB +的最小值是AE 的长，再用勾股定理求出AE 即可．【详解】解：△连接,OA OB ，△30,ADB ∠=︒△60AOB ∠=︒,△OA OB =，△AOB 是等边三角形，△弦AB 长为2，△2OA OB ==，即O 的半径长为2，故答案为：2△△15ADC ∠=︒，△230AOC ADC ︒∠=∠=,△90BOC AOB AOC ∠=∠+∠=︒，延长BO 交O 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，连接BP ,则此时PA PB PA PE AE +=+=，即PA PB +的最小值是AE 的长，△60BAO ∠=︒，△2OA OE ==，△30OAE AEB ︒∠=∠=，△90BAE BAO OAE ∠=∠+∠=︒，△AE ==即PA PB+的最小值是故答案为：【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质、轴对称最短路径等知识，熟练掌握相关定理并灵活应用是解题的关键．34．6【分析】利用勾股定理求解出另一条直角边，即可求解．【详解】解：△直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，△．×3×4=6．该直角三角形的面积S=12故答案为6．【点睛】本题考查了了勾股定理，解题的关键是掌握利用勾股定理求直角边．35．36°【分析】如图所示，△ABF中，根据内角和外角的关系，△2=△A+△B；△EDG中，△1=△D+△E；根据三角形内角和等于180°，得到△1+△2+△C=180度．于是△A+△B+△C+△D+△E=180°，由于五个角的度数是相同，即可求得每一个角的度数．【详解】△△2=△A+△B；△1=△D+△E，△1+△2+△C=180°，△△A+△B+△C+△D+△E=180°，△五个角的度数是相同，则每一个角的度数都是180°÷5=36°，故答案为36°【点睛】本题考查三角形的外角性质及三角形内角和定理，结合三角形内角和外角的关系，将所有角转化到一个三角形内，体现了数形结合思想和转化思想在解决数学问题时的魅力．36．1或3。
初中数学三角形专题练习
初中数学三角形专题练习三角形中的边角关系一、单选题1．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．4、5、6B．1、2、3C．3、3、6D．10、4、4 2．（3分）在△ABC中，∠C=100°，∠B=40°，则∠A的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°3．（3分）若一条长为31cm细线能围成一边长等于7cm的等腰三角形，该等腰三角形的腰长为（）A．7cm B．9cm C．12cm D．7cm或12cm 4．（3分）如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A＝34°，则∠ACB的度数是（）A．28°B．30°C．31°D．32°5．（3分）等腰三角形的一边长等于3，一边长等于7，则它的周长是（）A．13B．17C．13或17D．126．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，腰AB的垂直平分线DE交AB于点E，交AC 于点D，且∠DBC＝15°，则∠A的度数是（）A．50°B．36°C．40°D．45°7．（3分）如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（）A ．3B ．4C ．5D ．68．（3分）如图，在△ABC 中，点D 是线段AB 的中点，DC ⊥BC ，作∠EAB ＝∠B ，DE ∥BC ，连接CE ．若25BC AE =，设△BCD 的面积为S ，则用S 表示△ACE 的面积正确的是（ ）A ．52SB ．3SC ．4SD ．92S 9．（3分）如下图，已知∠AOB=α，在射线OA 、OB 上分别取点OA 1=OB 1，连结A 1B 1，在B 1A 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1B 2= B 1A 2，连结A 2 B 2按此规律下去，记∠A 2B 1 B 2=θ1，∠A 3B 2B 3=θ2，，∠A n+1B n B n+1=θn ，则θ2016－θ2015的值为（ ）A ．20161802α+B ．20161802α-C ．20151802α+D ．20151802α- 10．（3分）设△ABC 的面积为1，如图①将边BC 、AC 分别2等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 1；如图②将边BC 、AC 分别3等份，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 2；……， 依此类推，则S 5的值为（ ）A ．18B ．19C ．110D ．111二、填空题11．（3分）一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是______． 12．（3分）等腰三角形的周长为16cm ，底边长为xcm ，腰长为ycm ，则x 与y 之间的关系式为 ____________13．（3分）将一张等边三角形纸片沿着一边上的高剪开，可以拼成不同形状的四边形．试写出其中一种四边形的名称____________．14．（3分）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，边AB 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，AD 平分BAC ∠，则B ∠=_______︒．15．（3分）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，若3cm CD =，10cm AB =，则ABD △的面积为________．16．（3分）如图，D ，E 分别为ABC 两边AB ，AC 的中点，将ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在BC 上点F 处，若55B ∠=︒，则BDF ∠=________．17．（3分）如图，ABC 是钢架的一部分，为使钢架更加坚固，在其内部添加了一些钢管DE ，EF ，FG ，…，添加的这些钢管的长度与BD 的长度相等，如果10B ∠=︒，那么添加的这样钢管的根数最多是______．18．（3分）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如：三个内角分别为120︒，40︒，20︒的三角形是“灵动三角形”．如图，60MON ∠=︒，在射线OM 上找一点A ，过点A 作AB OM ⊥交ON 于点B ，以A 为端点作射线AD ，交线段OB 于点C （规定090OAC ︒<∠<︒）当OAC ∠=________时，ABC 为“灵动三角形”．19．（3分）我们定义三边长均为整数的三角形叫做整三角形.已知△ABC 是整三角形，其周长为偶数，若AC - BC = 3.则边长AB 的最小值是__________20．（3分）在□ABCD 中AC =6cm ，BD =8cm ，则AB 的取值范围是__________．21．（3分）如图，在∠ABC 中，∠A=m°，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2012BC 和∠A 2012CD 的平分线交于点A 2013，则∠A 2013=____度．22．（3分）在等腰△ABC 中，AB=AC ，AC 腰上的中线BD 将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为______．23．（3分）如图，在Rt ABC △中，90︒∠=C ，2BC =，30A ︒∠=，点D 是AB 的中点，P 是AC 边上一动点，连接DP ，将DPA 沿着DP 折叠，A 点落到F 处，DF 与AC 交于点E ，当DPF 的一边与BC 平行时，线段DE 的长为_____.24．（3分）如图，在正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上一点，且满足BE ＝BC ．连接CE 并延长交AD 于点F ，连接AE ，过B 点作BG ⊥AE 于点G ，延长BG 交AD 于点H ．在下列结论中：∠AH ＝DF ； ∠∠AEF ＝45°； ∠AH ＝DE ；∠S 四边形EFHG ＝S △DEF +S △AGH ，其中正确的结论有_____．（填正确的序号）25．（3分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 在线段AC 上，现将ABC ∆沿着BD 翻折后得到A BD '∆，A B '交AC 于点E ，//A D BC '且A D BC '=，若BD =ABC ∆的面积为__________．三、解答题26．（4分）如图，在77⨯的网格中，A 、B 均在格点上，请只用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹，不写做法）（1）在图1中画格点C ．使得ABC 为等腰三角形（请画出两个不同的C 点）； （2）在图2中作出BAD ∠的角平分线．27．（5分）在ABC 中，,20A B C A B ∠+∠=∠∠-∠=︒，（1）求A ∠，B ，C ∠的度数；（2）ABC 按角分类，属于什么三角形ABC 按边分类，属于什么三角形？28．（4分）如图，在△ABC 中，∠B∠40°∠△ABC 的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，求∠AEC 的度数．29．（6分）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题：∠1∠已知，如图1∠△ABC 中，P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，求证：∠P=12∠A+90°∠ ∠2∠如图2，若P 点是∠ABC 和∠ACB 外角的角平分线的交点，∠A=80°，那么∠P=____°∠∠3∠如图3∠△ABC 中，若P 点是∠ABC 外角和∠ACB 外角的角平分线的交点，∠A=α，那么∠P=________（请用含α的代数式表示）30．（6分）如图，ABC ∆中，90BAC ︒∠=，40B ︒∠=，点D 在BC 边上，E 在BC 的延长上，且AB BD =，AC CE =．求DAE ∠的度数．参考答案1．A【分析】直接利用三角形的三边关系逐项判断即可．【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得A 、4+5＞6，能组成三角形；B 、1+2=3，不能组成三角形；C 、3+3=6，不能组成三角形；D 、4+4=8<10，不能组成三角形．故选：A ．【点睛】本题主要考查了组成三角形三边的条件，掌握两较短边长的和大于最长边的长就能够组成三角形是解答本题的关键．2．B【分析】直接根据三角形内角和定理解答即可．【详解】解：ABC ∆中，40B ∠=︒，100C ，1801804010040A B C ．故选：B ．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180︒是解答此题的关键． 3．C【分析】根据题意可分当腰长为7cm 时和当底边长为7cm 时，然后利用三角形三边关系进行判断求解即可．【详解】解：由题意易得：①当腰长为7cm 时，则底边为17cm ，17＞7+7，根据三角形三边关系可知不符合题意；②当底边长为7cm时，则腰长为：317122cm-=，由三角形三边关系可知符合题意；∴该等腰三角形的腰长为12cm；故选C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形的三边关系是解题的关键．4．A【分析】连接OB，根据切线的性质，得∠OBA＝90°，又∠A＝34°，所以∠AOB＝56°，再用三角形的外角性质可以求出∠ACB的度数．【详解】解：如图：连接OB，∵AB切⊙O于点B，∴∠OBA＝90°，∵∠A＝34°，∴∠AOB＝90°﹣34°＝56°，∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC，∵∠AOB＝∠C+∠OBC＝2∠C，∴∠C＝28°．故选：A．【点睛】本题考查的是切线的性质和三角形的外角和定理，能够连接OB是解题的关键.5．B【分析】本题已知了等腰三角形的两边的长，但没有明确这两边哪边是腰，哪边是底，因此要分类讨论．【详解】解：当三边是3，3，7时，3+3＝6＜7，不符合三角形的三边关系；当三边是7，7，3时，符合三角形的三边关系，此时周长是7+7+3＝17．因此等腰三角形的周长为17．故选：B．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．6．A【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角可得∠A=∠ABD，∠ABC=∠C，然后根据三角形的内角和等于180°方程求解即可．【详解】解：∵AB的垂直平分线DE交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠C=∠A+15°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，解得∠A=50°．故选：A．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，熟记性质与定理并列出方程是解题的关键．7．B【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍.【详解】∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，∴S△CGE=S△AGE=13S△ACF，S△BGF=S△BGD=13S△BCF，∵S△ACF=S△BCF=12S△ABC=12×12=6，∴S△CGE=13S△ACF=13×6=2，S△BGF=13S△BCF=13×6=2，∴S阴影=S△CGE+S△BGF=4．故选：B.【点睛】此题主要考查根据三角形中线性质求解面积，熟练掌握，即可解题.8．C【分析】延长AE，BC交于点F，易得AE=DE，由DE∥BC，D为AB的中点，可知DE为中位线，所以BF=2DE，设BC=2x，AE=DE=5x，则BF=10x，CF=BF-BC=8x，在△ABF和△ACF中，分别利用同高的两个三角形面积之比等于底边之比，可推出面积关系.【详解】如图所示，延长AE，BC交于点F∵DE ∠BC ，∴∠ADE=∠B ，又∵∠EAB ＝∠B ，∴∠ADE=∠EAB ，∴AE=DE∵D 为AB 的中点，DE ∥BF ，∴DE 为△ABF 的中位线， ∴BF=2DE ，设BC=2x ，AE=DE=5x ，则BF=10x ，CF=BF -BC=8x ， 在△ABC 中，∵D 是AB 的中点，∴S △ACD =S △BCD =S ∴S △ABC =2S ， 在∠ABF 中，2184===ACFABC BC x CF x S S∠=8ACFSS在∠ACF 中，E 为AF 的中点， ∴1=42==ACECEFACFSSS S故选C. 【点睛】本题考查三角形的面积关系，根据同高的三角形面积比等于底边比，推出面积关系是关键. 9．B 【解析】∵OA 1=OB 1，∠AOB=α，∴∠A 1B 1O=12 （180°-α）， ∴12（180°-α）+θ1=180， 整理得，θ1=1802α︒+ ， ∵B 1B 2=B 1A 2，∠A 2B 1B 2=θ1，∴∠A 2B 2B 1=12（180°-θ1）， ∴12（180°-θ1）+θ2=180°， 整理得，θ2=11802θ︒+=31804α⨯︒+， ∴θ2-θ1=31804α⨯︒+-1802α︒+=21802α︒-，同理可求θ3=21802θ︒+=71808α⨯︒+， ∴θ3-θ2=71808α⨯︒+-31804α⨯︒+=31802α︒-， …，依此类推，θ2016－θ2015 =20161802α︒-； 故选B . 10．D 【解析】如图1，连接OC,由1BE 、1AD 分别将边BC 、AC2等份，111122AD C BCE ABC S S S ∆∆∆===,所以111111AD C BCE CE OD CE OD S S S S ∆∆-=-四边形四边形,即11AOE BOD S S ∆∆=,根据等底同高的两个三角形的面积相等可得1111,,AOE COE BOD COD S S S S ∆∆∆∆== 所以11111122AOE COE COD AD C ABC S S S S S ∆∆∆∆∆++===，即可求得11116AOE COE COD S S S ∆∆∆===，所以111111114=63211ABC AOE COE COD BOD S S S S S S ∆∆∆∆∆=----=-⨯=⨯+；如图2，连接OC,OD 1，OE 2,由图（1）的方法可得 11222211215BOD D OD COD COE E OE AOE S S S S S S ∆∆∆∆∆∆======, 所以11222211221116=155221ABC BOD D OD COD COE E OE AOE S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆=------=-⨯=⨯+, 同样的方法可求得311=7231S =⨯+,以此类推可得511=25111S =⨯+.故选D.点睛：本题是规律探究题，主要考查等底同高的两个三角形的面积相等；能从图中观察，并能适当添加辅助线是解题的关键.. 11．钝角三角形 【分析】由一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，利用三角形的内角和定理，可求得这个三角形的最大角的度数，继而求得答案．【详解】解：∠一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，∠这个三角形的最大角为：180°×7237++＝105°，∠这个三角形一定是钝角三角形．故答案为：钝角三角形．【点睛】此题考查了三角形的内角和定理．此题比较简单，注意求得三角形的最大角是关键．12．y=8-12x （0＜x＜8）【分析】根据等腰三角形周长公式可写出y与x的关系式.【详解】∵等腰三角形的周长为16cm，底边长为xcm，一腰长为ycm，∴x+2y=16，∴y=8-12 x，∵y-y＜x＜2y，x+2y=16，∴0＜x＜8，则y=8-12x （0＜x＜8）.【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用．13．平行四边形（或矩形或筝形）【解析】解：将一张等边三角形纸片沿着一边上的高剪开，按位置摆放的不同，可以拼成平行四边形、矩形．故答案为平行四边形或矩形．14．30【分析】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义得出EAD B CAD∠=∠=∠，然后利用直角三角形两锐角互余即可求出答案． 【详解】DE 垂直平分AB ，∴AD BD = ，EAD B ∴∠=∠．∵AD 平分BAC ∠，EAD CAD ∴∠=∠，EAD B CAD ∴∠=∠=∠．90C ∠=︒，90BAC B ∴∠+∠=︒， 390B ∴∠=︒ ，30B ∴∠=︒．故答案为：30． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，角平分线的定义和直角三角形两锐角互余，掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 15．215cm 【分析】先根据角平分线的性质求得3DE cm =，再利用三角形面积公式即可求得答案． 【详解】解：∵BD 是ABC ∠的平分线，90ACB ∠=︒，DE AB ⊥ ∴3DE DC cm == ∵10AB cm = ∴21031522ABDAB DE Scm ⋅⨯===． 故答案是：215cm 【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积公式，难度不大，能根据角平分线的性质求得3DE cm =是解决问题的关键． 16．70°利用折叠的性质求解． 【详解】解：由折叠的性质知，AD =DF ， ∵点D 是AB 的中点，∴AD =BD ，由折叠可知AD =DF ， ∴BD =DF ，∴∠DFB =∠B =55°，∠BDF =180°-2∠B =70°． 故答案为：70°． 【点睛】本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②中点的性质，等边对等角，三角形内角和定理求解． 17．8 【分析】根据已知利用等腰三角形的性质、三角形外角的性质找到图中存在的规律，根据规律和三角形内角和定理不难求解． 【详解】解：∵添加的钢管的长度与BD 的长度相等，10B ∠=︒ ∴10DEB B ∠=∠=︒ ∴20EDF DEB B ∠=∠+∠=︒ ∵ED EF =∴20EFD EDF ∠=∠=︒ ∴30FEG EFD B ∠=∠+∠=︒ ⋯⋯∴由此思路可知：第一个等腰三角形的底角是10︒，第二个底角是20︒，第三个底角是30，第四个底角是40︒，第五个底角是50︒，第六个底角是60︒，第七个底角是70︒，第八个底角是80︒，第九个底角是90︒（这时与三角形内角和是180︒产生矛盾）就不存在了 ∴加的这样钢管的根数最多是8个． 故答案是：8本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等，发现并运用规律是正确的解答本题的关键．18．80°或52.5°或30°【分析】分点C在线段OB和线段OB的延长线上两种情况，根据“灵动三角形”的定义计算．【详解】解：设∠OAC=x则∠BAC=90°-x，∠ACB=60°+x，∠ABC=30°∵△ABC为“灵动三角形”，当∠ABC=3∠BAC时，∴30°=3（90°-x），∴x=80°；当∠ABC=3∠ACB时，∴30°=3（60°+x）∴x=-50°（舍去）∴此种情况不存在；当∠BCA=3∠BAC时，∴60°+x=3（90°-x），∴x=52.5°，当∠BCA=3∠ABC时，∴60°+x=90°，∴x=30°；当∠BAC=3∠ABC时，∴90°-x=90°，∴x=0°（舍去）；当∠BAC=3∠ACB时，∴90°-x=3（60°+x），∴x=-22.5°（舍去），∴此种情况不存在，∴综上所述：∠OAC=80°或52.5°或30°．故答案为：80°或52.5°或30°．本题考查的是三角形内角和定理、“灵动三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 19．5 【分析】根据AC - BC = 3可得AC=BC+3，故三角形的周长为2BC+AB+3，其为偶数，故AB 为奇数，又因为AB ＞3，故AB 的最小值为5. 【详解】 ∵AC - BC = 3 ∴AC=BC+3∴三角形的周长=2BC+AB+3 ∵其周长为偶数，三边长均为整数 ∴AB 为奇数又∵AB ＞AC - BC 即AB ＞3 ∴AB 的最小值为5. 故答案为：5 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，掌握“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”是关键. 20．17AB <<; 【解析】如图，∵在平行四边形ABCD 中，AC=6cm∠BD=8cm∠∴OA=12AC=3cm,OB=12BD=4cm∠∴在△AOB 中，OB −OA<AB<OA+OB ，即1cm<AB<7cm. 故答案是：1cm<AB<7cm. 21．2013m 2 【解析】试题分析：∠A 1B 、A 1C 分别平分∠ABC 和∠ACD ，∠∠ACD=2∠A 1CD ，∠ABC=2∠A 1BC ， 又∠∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，∠ACD=∠ABC+∠A ，∠∠A=2∠A 1，∠∠A 1=m2度．同理可得∠A 1=2∠A 2，即∠A=22∠A 2，∠∠A 2=2m2度． …… ∠∠A 2013=2013m2度． 22．16或8 【分析】本题由题意可知有两种情况，AB+AD=15或AB+AD=21．从而根据等腰三角形的性质及三角形三边关系可求出底边为8或16． 【详解】解：∵BD 是等腰△ABC 的中线，可设AD=CD=x ，则AB=AC=2x ， 又知BD 将三角形周长分为15和21两部分， ∴可知分为两种情况①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16；②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC 的三边分别为14，14，8． 经验证，这两种情况都是成立的． ∴这个三角形的底边长为8或16． 故答案为：16或8．【点睛】本题主要考查来了等边三角形的性质以及三角形的三边关系（两边之和大于第三边，两边只差小于第三边），注意求出的结果燕验证三角形的三边关系，掌握分类讨论思想是解题的关键．23．1或2【解析】 【分析】当DPF 的一边与BC 平行时，会有三种情况，需分别讨论，①：//DF BC ，②//DP BC ，③：//PF BC ，分别计算出每种情况时线段DE 的长即可. 【详解】当DPF 的一边与BC 平行时，有三种情况，分别讨论: ①：//DF BC 如下图所示，当//DF BC 时，90AED C ︒∠=∠=，则在Rt AED △中，30A ︒∠=，2AD =，则12ADDE ==; ②: 如下图所示，当//DP BC 时，点A 的对应点F 与点C 、E 重合，由折叠的性质可知2AD DE ==；③: 当//PF BC 时,如下图所示，90CPF APF C ︒∠=∠=∠=，因为折叠，30A F ︒∠=∠=，过点D 作AC 边上的垂线，垂足为H ，则60DEH ︒∠=，根据中位线定理可知12BC DH ==，继而可DE = 【点睛】本题考查折叠的性质，中位线定理，熟知折叠的性质和中位线定理的应用是解题关键，本题属于三角形综合题 . 24．∠∠∠． 【分析】先判断出∠DAE ＝∠ABH ，再判断△ADE ≌△CDE 得出∠DAE ＝∠DCE ＝22.5︒，∠ABH ＝∠DCF ，再判断出Rt △ABH ≌Rt △DCF 从而得到①正确；根据三角形的外角求出∠AEF ＝45︒，得出②正确；结合①②可得DF ＝DE ，根据AH ＝DF 即可得③正确；连接HE ，判断出S △EFH ≠S △EFD 得出④错误． 【详解】∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ABE ＝∠ADE ＝∠CDE ＝45︒，AB ＝BC ， ∵BE ＝BC ， ∴AB ＝BE ， ∵BG ⊥AE ，∴BH 是线段AE 的垂直平分线，∠ABH ＝∠DBH ＝22.5︒， 在Rt △ABH 中，9067.5AHB ABH ∠=︒-∠=︒， ∵∠AGH ＝90︒，∴∠DAE ＝∠ABH ＝22.5︒， 在△ADE 和△CDE 中，45DE DE ADE CDE AD CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△CDE （SAS ）， ∴∠DAE ＝∠DCE ＝22.5︒， ∴∠ABH ＝∠DCF ， 在Rt △ABH 和Rt △DCF 中，BAH CDF AB CD ABH DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴Rt △ABH ≌Rt △DCF （ASA ），∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5︒，∵∠CFD＝∠EAF+∠AEF，∴67.5︒＝22.5︒+∠AEF，∴∠AEF＝45︒，故∠∠正确；︒+︒＝67.5︒，∵∠FDE＝45︒，∠DFE＝∠F AE+∠AEF＝22.545︒-︒-︒=︒，∴∠DEF＝1804567.567.5∴DF＝DE，∵AH＝DF，∴AH＝DE，故∠正确；如图，连接HE，∵BH是AE垂直平分线，∴AG＝EG，∴S△AGH＝S△HEG，∵AH＝HE，∴∠AHG＝∠EHG＝67.5︒，∴∠DHE＝45︒，∵∠ADE＝45︒，∴∠DEH＝90︒，∠DHE＝∠HDE＝90︒，∴EH＝ED，∴△DEH是等腰直角三角形，∵EF不垂直DH，∴FH≠FD，∴S△EFH≠S△EFD，∴S四边形EFHG＝S△HEG+S△EFH＝S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故∠错误，∴正确的是∠∠∠，故答案为：∠∠∠．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和与外角和的应用，推断△ADE ≌△CDE 和作出辅助线是本题的关键，综合性较强．25．【分析】根据翻折的性质得到==ABD A BD A ED EBD S S S S ''+，由//A D BC '且A D BC '=，依据平行线的性质及ASA ，可得A DE '≌BCE ，通过等量代换得到BCD ABD S S =，从而得到CD AD =设为4a ，依据等量代换得到=4=CD a BC ，依据三角形外角的性质、翻折的性质、三角形内角和定理得到=4BE BC a =，连接B 与EC 的中点F ,依据三线合一求出两个有公共直角边的直角三角形，依据勾股定理列出关于a 的方程，解出可求得ABC 的底和高，再运用三角形面积公式即可.【详解】解：设=4AD a ,∵AB AC =,∴=C ABC ∠∠,∵将ABC 沿着BD 翻折后得到A BD '，∴==ABD A BD A ED EBD S S S S ''+，=4A D AD a '=，DBE DBA ∠=∠，∵//A D BC '，∴'=A DE C ∠∠，'=A CBE ∠∠，又∵=4A D BC a '=，∴A DE '≌BCE （ASA ）， ∴12DE EC DC ==，A DE BCE S S '=， 又∵BCD BCE EBD SS S =+，=ABD A ED EBD S S S '+ ∴BCD ABD S S =，∴=4CD AD a =, ∴122DE EC DC a ===， ∵=4=CD a BC ,∴CBD CDB ∠=∠,又∵+CBD CBE DBE ∠=∠∠，+CDB A DBA ∠=∠∠，DBE DBA ∠=∠，∴=CBE A ∠∠，又∵=180BEC C EBC ∠︒-∠-∠,=180ABC C A ∠︒-∠-∠,=C ABC ∠∠∴=BEC ABC C ∠∠=∠,∴=4BE BC a =，如下图，连接B 与EC 的中点F ,则12FC FE EC a ===,3DF DE FE a =+=,∴BF AC ⊥,∴22222BD DF BF BC FC -==-,即22222(3)(4)a BF a a -==-（0a >），解得1a =，∴BF =88AC AD DC a +==，∴2ABC AC BF S ⋅==故答案为：【点睛】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的等边对等角的性质、三线合一的性质、三角形等角对等边的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和外角性质、勾股定理，解题的关键是发现D 是AC 的中点，三角形BCD 、三角形BCE 是等腰三角形，依据勾股定理列出关于a 的方程.26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质，构造边长为5的线段即可找出点C ；（2）利用等腰三角形的三线合一的思想解决问题即可．【详解】解：（1）如图，点C 即为所作；（2）如图，AE 即为所作．【点睛】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．27．（1）∠A=55°，∠B=35°，∠C=90°；（2）ABC 按角分类属于直角三角形，按边分类属于不等边三角形【分析】（1）根据三角形内角和定理根据方程组即可解决问题．（2）根据三角形的分类解决问题即可．【详解】（1）由题意得：20180A B C A B A B C ∠+∠=∠⎧⎪∠-∠=︒⎨⎪∠+∠+∠=︒⎩，解得：553590A B C ∠=︒⎧⎪∠=︒⎨⎪∠=︒⎩，∴∠A=55°，∠B=35°，∠C=90°；（2）∵∠C=90°，∠A=55°，∠B=35°，∴按角分类，属于直角三角形，按边分类，属于不等边三角形．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．28．70°【详解】试题分析：先根据三角形内角和定理计算出∠BAC+∠BCA=180°-∠B=140°∠则利邻补角定义计算出∠DAC+∠FCA=180°-∠BAC+180°-∠BCA=220°，再根据角平分线定义得到∠EAC=12∠DAC∠∠ECA=12∠FCA ，所以∠EAC+∠ECA=12∠∠DAC+∠FCA∠=110°，然后再利用三角形内角和计算∠AEC 的度数．试题解析：在△ABC 中，∵∠B∠40°∠∴∠BAC∠∠BCA∠180°∠40°∠140°∠∵∠DAC∠∠BAC∠180°∠∠ACF∠∠ACB∠180°∠∴∠DAC∠∠ACF∠360°∠140°∠220°∠∵AE 平分∠DAC∠CE 平分∠ACF∠∴∠EAC∠∠ECA∠12(∠DAC∠∠ACF)∠110°∠∴∠AEC∠180°∠110°∠70°.29．（1）见解析（2）40°（3）90°-12α 【分析】根据角平分线的定义和三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，推理出两角的关系．【详解】(1)证明∠由三角形内角和定理得， A ABC ACB 180∠∠∠++=︒∠P PBC PCB 180∠∠∠++=︒∠点P 是ABC ∠和ACB ∠的角平分线的交点 ∠11PBC ABC PCB ACB 22∠∠∠∠==， ∠11P ABC ACB 18022∠∠∠++=︒ 又∠A ABC ACB 180∠∠∠++=︒∴ABC ACB 180A ∠∠∠+=︒- ∠()1P 180A 1802∠∠+︒-=︒ ∠1P A 902∠∠=+︒ (2)由三角形的外角性质得ACD A ABC ∠∠∠=+∵点P 是ABC ∠和ACB ∠外角的角平分线的交点∴ABC 2PBC ∠∠= ACD 2PCD ∠∠=∴2PCD A 2PBC 802PBC ∠∠∠∠=+=︒+∴PCD 40PBC ∠∠=︒+∵PCD ∠是ABC 的外角∴PCD P PBC ∠∠∠=+∠40PBC P PBC ∠∠∠︒+=+∠P 40∠=︒(3)由三角形内角和定理得ABC ACB 180A ∠∠∠+=︒-∠点P 是ABC ∠外角和ACB ∠外角的角平分线的交点∴DBC 2PBC ∠∠= ECB 2PCB ∠∠=∴DBC ECB A ABC A ACB ∠∠∠∠∠∠+=+++=180A ∠︒+∠2PBC 2PCB 180A ∠∠∠+=︒+1PBC PCB 90A 2∠∠∠+=︒+∵PBC PCB 180P ∠∠∠+=︒- ∴1180P 90A 2∠∠︒-=︒+ 1P 90A 2∠∠=︒-∠A ∠α=∠1P 902∠∠α=︒- 【点睛】本题是一道探究问题∠考查的知识点是三角形的外角的性质以及角平分线的定义．认真阅读材料中提供的方法，是解决此类问题的关键．30．45DAE ︒∠=【分析】在ABD ∆中，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出1(180)702BDA BAD B ∠=∠=︒-∠=︒，在ABC ∆中利用三角形内角和定理求出50∠=°ACB ，根据等边对等角以及三角形外角的性质得出1252CAE E ACB ∠=∠=∠=︒,根据三角形内角和，即可求出DAE ∠的度数.【详解】解：40B ︒∠=，AB BD =1(180)702BDA BAD B ∴∠=∠=︒-∠=︒ ,90,40ABC BAC B ∆∠=︒∠=︒中50ACB ∴∠=︒AC CE =1252CAE E ACB ︒∴∠=∠=∠= 180B BAD DAE E ∠+∠+∠+∠=︒180********DAE ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒【点睛】本题考点涉及等腰三角形性质、直角三角形、三角形内角和定理以及三角形外角定理等知识点，属综合题，熟练掌握相关性质定理是解题关键.。
(专题精选)初中数学三角形难题汇编及答案解析
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，
∵AB= BC，
∴AE=BE= BC，
∴AE=CE，故①正确；
∴∠EAC=∠ACE=30°
∴∠BAC=90°，
∴S△ABC= AB•AC，故②错误；
∵BE=EC，
∴E为BC中点，O为AC中点，
（专题精选）初中数学三角形难题汇编及答案解析
一、选择题
1．如图，已知 ，若 ， ， ，下列结论：① ；② ；③ ；④ 与 互补；⑤ ，其中正确的有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的判定得出AC∥DE，根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°，再根据三角形内角和定理求出即可．
∴S△ABE=S△ACE=2S△AOE，故③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=CO，
∵AE=CE，
∴EO⊥AC，
∵∠ACE=30°，
∴EO= EC，
∵EC= AB，
∴OE= BC，故④正确；
故正确的个数为3个，
故选：C．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是解题关键．
15．如图，四边形 和 都是正方形，点 在 边上，点 在对角线 上，若 ，则 的面积是()
A．6B．8C．9D．12【答Βιβλιοθήκη 】B【解析】【分析】
根据正方形的性质得到∠DAC＝∠ACD＝45°，由四边形EFGH是正方形，推出△AEF与△DFH是等腰直角三角形，于是得到DE＝ EH＝ EF，EF＝ AE，即可得到结论．
全等三角形的六种模型全梳理(学生版)--初中数学专题训练
全等三角形的六种模型全梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。
类型一、倍长中线模型目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。
将分散的条件集中到一个三角形中。
1【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：(1)如图2，由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.ASA(2)如图2，AD长的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．2(培优)已知△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD,BE，点F为BE中点．AD；(1)如图1，求证：BF=12(2)将△DCE绕C点旋转到如图2所示的位置，连接AE,BD，过C点作CM⊥AD于M点．①探究AE和BD的关系，并说明理由；②连接FC，求证：F，C，M三点共线．1.如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AB=2AE．2.(1)如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；(2)如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；(3)如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．3.(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明(往往需证2次全等)3如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD，∠CAD=12∠BAE．(1)求证：CD=BC+DE；(2)若∠B=75°，求∠E的度数．4(培优)在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．(1)求证：∠BFC=90°+12∠A；(2)已知∠A=60°．①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．1.如图，△ABC为等边三角形，若∠DBC=∠DAC=α0°<α<60°，则∠BCD=(用含α的式子表示)．2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠BAD．∠EAF=12(1)当点E、F分别在边BC、CD上时(如图1)，请说明EF=BE+FD的理由．(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时(如图2)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．3.阅读下面材料：【原题呈现】如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6，求BC的长．【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决(如图2)．【问题解答】(1)参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；(2)拓展提升：如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，BD=2.3，BC=2．求AD 的长．类型三、一线三等角模型应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。
初中数学《三角形中的经典模型》九大题型含解析
三角形中的经典模型【1A字模型 1【28字模型 3【3飞镖模型 6【4双垂直模型 9【5老鹰抓小鸡模型 15【6两内角角平分线模型 19【7两外角角平分线模型 21【8一内一外角角平分线模型 26【9三角形折叠模型 29知识点1：A字模型已知△ABC，AB至D，AC至E，∠1+∠2=∠A+180°【1A字模型1.(23-24八·全·专)如△ABC中∠A=65°，DE交AB于D，AC于E，∠BDE+∠CED=( )．A.180°B.215°C.235°D.245°【答案】D【分析】根据三角形内角和定理求出∠ADE+∠AED，根据平角的概念计算即可．【详解】解：∵∠A=65°，∴∠ADE+∠AED=180°-65°=115°，∴∠BDE+∠CED=360°-115°=245°，故选：D．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．2.(23-24八年级·全国·专题练习)如图是某建筑工地上的人字架，若∠1=120°，那么∠3-∠2的度数为．【答案】60°【分析】根据平角的定义求出∠4，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．【详解】解：如图∵∠1+∠4=180°，∠1=120°，∴∠4=60°，∵∠3=∠2+∠4，∴∠3-∠2=∠4=60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．3.(23-24八年级·河北沧州·期中)琪琪在操作课上将三角形剪掉一个角后得到四边形ABCD，则下列判断错误的是()A.变成四边形后对角线增加了两条B.变成四边形后内角和增加了360°C.外角和没有发生变化D.若剪掉的角的度数是60°，则∠1+∠2=240°【答案】B【分析】本题考查了多边形的对角线，内角和与外角和，三角形内角和定理，解题的关键是【详解】解：A、三角形没有对角线，变成四边形后对角线为两条，即增加了两条，故正确，不合题意；B、三角形内角和为180°，变成四边形后内角和为360°，增加了180°，故错误，不合题意；C、任意多边形的外角和是360°，故正确，不合题意；D、若剪掉的角的度数是60°，则∠A+∠B=120°，则∠1+∠2=360°-120°=240°，故正确，不合题意；故选：B．4.(23-24·浙江杭州·二模)将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若∠1=130°，则∠2的度数为．【答案】40°/40度【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据平行线的性质可得∠FGH=∠1=130°，然后利用三角形外角的性质进行计算即可解答．【详解】解：如图：由题意得：AD∥BC，∴∠FGH=∠1=130°，∵∠FGH是△EFG的一个外角，∴∠FGH=∠2+∠E，∵∠E=90°，∴∠2=130°-90°=40°，故答案为：40°．知识点2：8字模型①已知AD，BC相交于O，则∠A+∠B=∠C+∠D②已知线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD，则∠P=12(∠B+∠D)【题型28字模型】5.(23-24八年级·浙江金华·期末)如图，BP平分∠ABC，交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，AB与CD相交于点G，∠A=42°．(1)若∠ADC=60°，求∠AEP的度数；(2)若∠C=38°，求∠P的度数．【答案】(1)72°；(2)40°．【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠ADP=12∠ADC，然后利用三角形外角的性质即可得解；(2)根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．【详解】解：(1)∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF=12∠ADC，∵∠ADC=60°，∴∠ADP=30°，∴∠AEP=∠ADP+∠A=30°+42°=72°；(2)∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，∴∠A+∠C=2∠P，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=12(38°+42°)=40°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．6.(23-24八年级·河南漯河·期末)如图，AB和CD相交于点O，∠A=∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是()A.∠B=∠DB.∠1=∠A+∠DC.∠2>∠DD.∠C=∠D【答案】D【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．【详解】∵∠A+∠AOD+∠D=180°，∠C+∠COB+∠B=180°，∠A=∠C，∠AOD=∠BOC，∴∠B=∠D，∵∠1=∠2=∠A+∠D，∴∠2>∠D，故选项A，B，C正确，故选D．【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．7.(23-24八年级·北京怀柔·期末)如图，在由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形中，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为( )．A.262°B.152°C.208°D.236°【答案】C【分析】如图标记∠1,∠2,∠3，然后利用三角形的外角性质得∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，∠2=∠A+∠C，再利用∠2,∠3互为邻补角，即可得答案．【详解】解：如下图标记∠1,∠2,∠3，∵∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，∵∠D=28°，∴∠3=∠B+∠F-28°，又∵∠2=∠A+∠C，∴∠2+∠3=∠A+∠C+∠B+∠F-28°，∵∠2+∠3=180°∴180°=∠A+∠C+∠B+∠F-28°，∴∠A+∠C+∠B+∠F=180°+28°=208°，故选C．【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键．8.(23-24八年级·全国·专题练习)如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和．【答案】360°【分析】根据三角形内角和外角的性质可得：∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，再根据三角形内角和定理可得答案．【详解】解：∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2，∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°．【点睛】此题主要考查了三角形内角与外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．知识点3：飞镖模型①已知四边形ABCD，则∠C=∠A+∠B+∠D②已知四边形ABCD，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC，则∠O=12(∠A+∠C)【题型3飞镖模型】9.(23-24·河北秦皇岛·一模)如图，用铁丝折成一个四边形ABCD(点C在直线BD的上方)，且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD(填“增大”或“减小”)°．【答案】增大10【分析】利用三角形的外角性质先求得∠ABE+∠ADE=30°，根据角平分线的定义得到∠ABC+∠ADC= 60°，再利用三角形的外角性质求解即可．【详解】解：如图，连接AE并延长，连接AC并延长，∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠BAD+∠ADE=100°，∵∠BAD=70°，∴∠ABE+∠ADE=30°，∵BE，DE分别是∠ABC、∠ADC平分线，∴∠ABC+∠ADC=2(∠ABE+∠ADE)=60°，同上可得，∠BCD=∠BAD+∠ABC+∠ADC=130°，130°-120°=10°，∴∠BCD增大了10°．故答案为：增大，10．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，熟练运用题目中所给的结论是解题的关键．10.(23-24八年级·江苏苏州·阶段练习)在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件，如果∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，∠D=35°，∠E=72°，那么∠F=°．【答案】70【分析】延长BE、CF，交于点G，连接AG，根据三角形内角和定理和四边形的内角和为360°即可求解．【详解】解：延长BE、CF，交于点G，连接AG，如图，∴∠AGB=180°-∠B-∠BAG，∠AGC=180°-∠C-∠CAG，∴∠AGB+∠AGC=180°-∠B-∠BAG+180°-∠C-∠CAG=360°-∠B-∠C-∠BAC=253°，∴∠CGB=360°-∠AGB+∠AGC=107°．∵∠BED=72°，∴∠GED=108°，∴∠GFD=360°-∠GED-∠D-∠CGB=110°，∴∠CFD=70°．故答案为：70．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理．正确的作出辅助线是解题关键．11.(23-24八年级·全国·专题练习)如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．【答案】230°【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．【详解】解：如图∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案为：230°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．12.(23-24·河北邯郸·一模)嘉嘉在作业本上画了一个四边形，并标出部分数据(如图)，淇淇说，这四个数据中有一个是标错的；嘉嘉经过认真思考后，进行如下修改：若∠A，∠B，∠BCD保持不变，则将图中∠D(填“增大”或“减小”)度，淇淇说，“改得不错”．【答案】增大5【分析】连接BD，利用三角形的内角和计算即可．【详解】解：连接BD，∵∠CDB+∠CBD=180°-∠A-∠ABC-∠ADC∠CDB +∠CBD =180°-∠BCD∴∠A +∠ABC +∠ADC =∠BCD∵∠A =90°，∠ABC =25°，∠BCD =145°∴∠ADC =145°-25°-90°=30°∴30°-25°=5°故答案为：增大，5【点睛】本题主要考查三角形的内角和，添加辅助线利用三角形内角和计算是解决本题的关键．知识点4：双垂直模型已知∠B =∠D =∠ACE =90°.则∠BAC =∠DCE ，∠ACB =∠CED .【证明】∵∠B =∠D =∠ACE =90°；∴∠BAC +∠ACB =90°；又∠ECD +∠ACB =90°；∴∠BAC =∠DCE 同理,∠ACB +∠DCE =90°，且∠CED +∠DCE =90°；∴∠ACB =∠CED ，得证.【题型4双垂直模型】13.(23-24八年级·广东珠海·期末)如图1，AB ⊥BC 于点B ，CD ⊥BC 于点C ，点E 在线段BC 上，且AE ⊥DE ．(1)求证：∠EAB =∠CED ；(2)如图2，AF 、DF 分别平分∠BAE 和∠CDE ，则∠F 的度数是(直接写出答案即可)；(3)如图3，EH 平分∠CED ，EH 的反向延长线交∠BAE 的平分线AF 于点G ．求证：EG ⊥AF ．(提示：三角形内角和等于180°)【答案】(1)见解析；(2)45°；(3)见解析【分析】(1)利用同角的余角相等即可证明；(2)过点F 作FM ∥AB ，利用∠DFA =∠DFM +∠AFM =12∠CDE +12∠EAB =12(∠CDE +∠EAB )即可解决问题；(3)想办法证明∠EAG +∠AEG =90°即可解决问题.【详解】解：(1)∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∴∠B =∠C =90°，∴∠BAE +∠AEB =90°，∵AE ⊥DE ，∴∠AED =90°，∴∠AEB +∠CED =90°，∴∠BAE =∠CED ．(2)解：答案为45°；过点F 作FM ∥AB ，如图，∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∴∠B =∠C =90°，∴AB ∥CD ，∵∠C =90°，∴∠CED +∠CDE =90°，∵∠BAE =∠CED ，∴∠BAE +∠CDE =90°，∵AF 、DF 分别平分∠BAE 和∠CDE ，∴∠CDF =12∠CDE ，∠BAF =12∠BAE ，∴∠CDF +∠BAF =12(∠BAE +∠CDE )=45°，∵FM ∥AB ∥CD ，∴∠CDF =∠DFM ，∠BAF =∠AFM ，∴∠AFD =∠CDF +∠BAF =45°．(3)∵EH 平分∠CED ，∴∠CEH =12∠CED ，∴∠BEG =12∠CED ，∵AF 平分∠BAE ，∴∠BAG =12∠BAE ，∵∠BAE =∠CED ，∴∠BAG =∠BEG ，∵∠BAE +∠BEA =90°，∴∠BAG +∠GAE +∠AEB =90°，即∠GAE +∠AEB +∠BEG =90°，∴∠AGE =90°，∴EG ⊥AF ．【点睛】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．14.(23-24八年级·陕西西安·期末)如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ．(1)求证：AD⊥CF．(2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)△ACF为等腰直角三角形；理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及等腰三角形性质和判定．(1)欲求证AD⊥CF，先证明∠CAG+∠ACG=90°，需证明∠CAG=∠BCF，利用三角形全等，易证．(2)要判断△ACF的形状，看其边有无关系．根据(1)的推导，易证CF=AF，从而判断其形状．【详解】(1)证明：在等腰直角△ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠BDE=45°，∵BF∥AC，∴∠CBF=180°-∠ACB=90°，∴∠BFD=45°=∠BDE，∴BF=DB，又∵D为BC的中点，∴CD=DB，即BF=CD，在△CBF和△ACD中，BF=CD∠CBF=∠ACD=90°CB=AC，∴△CBF≌△ACD(SAS)．∴∠BCF=∠CAD．∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD+∠GCA=90°，即AD⊥CF．(2)解：△ACF是等腰三角形，理由为：连接AF，如图所示，由(1)知：△CBF≌△ACD，∴CF=AD，∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，∴BE垂直平分DF，∴AF=AD，∵CF=AD，∴CF=AF，∴△ACF是等腰三角形．15.(23-24八年级·山西晋中·期中)请把下面的证明过程补充完整如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F，求证：CF=CE．证明：∵AE平分∠CAB(已知)，∴∠CAE=∠FAB(①)，∵∠ACE=90°(已知)，∴∠CAE+∠CEF=90°(②)，∵CD是△ABC的高(已知)，∴∠CDA=90°(三角形高的定义)，∴(③)，(直角三角形的两个锐角互余)，∴∠CEF=∠AFD(④)，∵∠CFE=∠AFD(⑤)，∴∠CFE=∠CEF(⑥)，∴CF=CE(⑦)．【答案】①角平分线的定义；②直角三角形的两锐角互余；③∠FAD+∠AFD=90°；④等角的余角相等；⑤对顶角相等；⑥等量代换；⑦等角对等边【分析】本题考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．根据角平分线的定义、直角三角形的性质、对顶角相等、等角对等边解答即可．【详解】证明：∵AE平分∠CAB(已知)，∴∠CAE=∠FAB(角平分线的定义)，∵∠ACE=90°(已知)，∴∠CAE+∠CEF=90°(直角三角形的两锐角互余)，∵CD是△ABC的高(已知)，∴∠CDA=90°(三角形高的定义)，∴∠FAD+∠AFD=90°(直角三角形的两锐角互余)，∴∠CEF=∠AFD(等角的余角相等)，∵∠CFE=∠AFD(对顶角相等)，∴∠CFE=∠CEF(等量代换)，∴CF=CE(等角对等边)．故答案为：角平分线的定义；直角三角形的两锐角互余；∠FAD+∠AFD=90°；等角的余角相等；对顶角相等；等量代换；等角对等边．16.(23-24八年级·江苏扬州·阶段练习)在Rt △ABC 中，∠CAB =90°，AB =AC ，点O 是BC 的中点，点P 是射线CB 上的一个动点(点P 不与点C 、O 、B 重合)，过点C 作CE ⊥AP 于点E ，过点B 作BF ⊥AP 于点F ，连接EO ，OF．(问题探究)如图1，当P 点在线段CO 上运动时，延长EO 交BF 于点G ．(1)求证：△AEC ≌△BFA ；(2)BG 与AF 的数量关系为：(直接写结论，不需说明理由)；(拓展延伸)(3)①如图2，当P 点在线段OB 上运动，EO 的延长线与BF 的延长线交于点G ，∠OFE 的大小是否变化？若不变，求出∠OFE 的度数；若变化，请说明理由；②当P 点在射线OB 上运动时，若AE =2，CE =6，直接写出△OEF 的面积，不需证明．【答案】(1)见解析；(2)BG =AF ；(3)①∠OFE 的大小不变，∠OFE =45°；②满足条件的△OEF 的面积为8或16【分析】(1)根据等角的余角相等得出∠CAE =∠ABF ，证明△AEC ≌△BFA AAS ；(2)证明△COE ≌△BOG AAS 得出CE =BG ，则CE =AF ，等量代换可得AF =BG ；(3)①证明△AEC ≌△BFA AAS ，进而证明∠CEO =∠BGO 证明△COE ≌△BOG AAS 得出∠EFO =12∠EFG =45°；②根据题意画出图形，分类讨论，根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】(1)证明：如图1中，∵CE ⊥AE ，BF ⊥AE ，∴∠AEC =∠BFA =∠CAB =90°，∴∠CAE +∠BAF =90°，∠BAF +∠ABF =90°，∴∠CAE =∠ABF ，在△AEC 和△BFA 中，∠AEC =∠BFA∠CAE =∠ABF AC =BA，∴△AEC ≌△BFA AAS ；(2)解：结论：BG =AF ．理由：∵CE ⊥AE ，BF ⊥AE ，∴CE ∥BG ，∴∠CEO =∠BGO ，∵O 是BC 的中点，∴OC =OB ，在△COE 和△BOG 中，∠CEO =∠BGO∠AOE =∠BOG OC =OB，∴△COE ≌△BOG AAS ，∴CE =BG ，∵△AEC ≌△BFA ，∴CE =AF ，∴AF =BG ．故答案为：BG =AF ．(3)解：①如图2中，结论：∠OFE 的大小不变，∠OFE =45°．理由：∵CE ⊥AE ，BF ⊥AE ，∴∠AEC =∠BFA =∠CAB =90°，∴∠CAE +∠BAF =90°，∠BAF +∠ABF =90°，∴∠CAE =∠ABF ，在△AEC 和△BFA 中，∠AEC =∠BFA∠CAE =∠ABF AC =BA，∴△AEC ≌△BFA AAS ；∴CE =AF ，AE =BF ，∵CE ⊥AE ，BF ⊥AE ，∴CE ∥BG ，∴∠CEO =∠BGO ，∵O 是BC 的中点，∴OC =OB ，在△COE 和△BOG 中，∠CEO =∠BGO∠AOE =∠BOG OC =OB，∴△COE ≌△BOG AAS ，∴CE =BG ，OE =OG ，∴AF =BG ，∴EF =FG ，根据△EFO ≌△GFO SSS 可得：∠EFO =∠GFO∴∠EFO =12∠EFG =45°；②如图2中，当AE =2，CE=6时，EF =FG =6-2=4，∴S △EOF =12S △EFC =12×12×4×4=4如图3中，当AE =2，CE =6时，EF =FG =6+2=8，∴S △EOF =12S △EFG =12×12×8×8=16综上所述，满足条件的△OEF 的面积为8或16．【点睛】本题考查了全等三角形的证明与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的动点问题以及三角形求面积的问题，正确掌握知识点是解题的关键．知识点5：老鹰抓小鸡模型如图，∠A+∠O=∠1+∠2；口诀：腋下两角之和等于上下两角之和【题型5老鹰抓小鸡模型】17.(23-24八年级·江苏扬州·阶段练习)如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=95°，则∠2的度数为()A.24°B.35°C.30°D.25°【答案】D【分析】根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE=120°，再根据邻补角的性质可得∠FEB+∠EFC= 360°-120°=240°，再根据由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，然后计算出∠1+∠2的度数，即可求得∠2的度数．【详解】∵∠A=60°，∴∠AEF+∠AFE=180°-60°=120°，∴∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，∴∠1+∠2=240°-120°=120°，∵∠1=95°，∴∠2=120°-95°=25°，故选D．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，熟记定理及性质并准确识图是解题的关键．18.(23-24八年级·重庆渝北·阶段练习)如图，将△ABC沿着DE翻折，使B点与B 点重合，若∠1+∠2=80°，则∠B的度数为．【答案】40°/40度【分析】由翻折的性质可知，∠B=∠B ，∠BED=∠B ED，∠BDE=∠B DE，由∠BED+∠B ED+∠1= 180°，∠BDE+∠B DE+∠2=180°，∠1+∠2=80°，可得∠BED+∠BDE=140°，根据∠B=180°-∠BED+∠BDE，计算求解即可．【详解】解：由翻折的性质可知，∠B=∠B ，∠BED=∠B ED，∠BDE=∠B DE，∵∠BED+∠B ED+∠1=180°，∠BDE+∠B DE+∠2=180°，∠1+∠2=80°，∴∠BED+∠BDE=140°，∴∠B=180°-∠BED+∠BDE=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．19.(23-24八年级·安徽铜陵·期中)如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠1+∠2=120°，则∠BA′C的度数为()A.120°B.110°C.100°D.90°【答案】A【详解】由∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角知∠BDE=∠A+∠AED、∠CED=∠A+∠ADE，据此得∠BDE+∠CED=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，推出∠1+∠2=2∠A得到∠A=60°，根据BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB=12(∠ABC+∠ACB)=90°-12∠A．利用∠BA'C=180°-(∠A'BC+∠A'CB)可得答案．解：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，∴∠BDE=∠A+∠AED，∠CED=∠A+∠ADE，∴∠BDE+∠CED=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED=2∠A+∠AED+∠ADE，即∠1+∠2=2∠A，∵∠1+∠2=120°，∴∠A=60°，∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，∴∠A'BC+∠A'CB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A )=90°-12∠A ．∴∠BA 'C =180°-(∠A 'BC +∠A 'CB )，=180°-90°-12∠A =90°+12∠A =90°+12×60°=120°．故选：A ．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型．20.(23-24八年级·山东烟台·期中)折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC 中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2(或∠1-∠2)与∠A 的数量关系．(1)如图①，若∠A =80°，沿图中虚线DE 截去∠A ，则∠1+∠2=．(2)如图②，若∠A =80°，沿图中虚线DE 将∠A 翻折，使点A 落在BC 上的点A '处，则∠1+∠2=．(3)如图③，翻折后，点A 落在点A '处，若∠1+∠2=80°，求∠B +∠C 的度数(4)如图④，△ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在点A '处，若∠1=80°，∠2=24°，求∠A 的度数．【答案】(1)260°(2)160°(3)∠B +∠C =140°(4)∠A =28°【分析】(1)根据三角形内角和定理得出∠B +∠C =180°-80°=100°，再由平角进行求解即可；(2)利用翻折的性质得出∠EDA '=∠ADE ，∠AED =∠DEA ',根据三角形内角和定理得出∠ADE +∠AED =100°，结合图形，由平角及各角之间的关系进行计算即可‘(3)连接AA ．根据三角形外角的性质得出∠1=∠DAA '+∠DA 'A ，∠2=∠EAA '+∠EA 'A ，然后利用各角之间的数量关系得出∠EAD =40°，再由三角形内角和定理即可求解；(4)设AB 与DA 交于点F ，根据三角形外角得出∠1=∠DFA +∠A ，∠DFA =∠A +∠2，再由折叠的性质得出∠A =∠A ，结合图形及各角之间的数量关系进行求解即可【详解】(1)解：∵∠A=80°，∴∠ADE+∠AED=180°-80°=100°，∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠AED=260°，故答案为：260°；(2)∵∠A=80°，∴∠ADE+∠AED=180°-80°=100°，∵翻折，∴∠EDA'=∠ADE，∠AED=∠DEA',∴∠ADA'+∠AEA'=2(∠ADE+∠AED)=200°，∴∠1+∠2=360°-(∠ADA'+∠AEA')=160°，故答案为：160°；(3)解：连接AA ．如图所示：∵∠1=∠DAA'+∠DA'A，∠2=∠EAA'+∠EA'A，∴∠1+∠2=∠DAA'+∠DA'A+∠EAA'+∠EA'A=∠EAD+∠EA'D，∵∠EAD=∠EA D，∴∠1+∠2=2∠EAD=80°，∴∠EAD=40°，∴∠B+∠C=180°-40°=140°．(4)解：如图，设AB与DA 交于点F，∵∠1=∠DFA+∠A，∠DFA=∠A +∠2，由折叠可得，∠A=∠A ，∴∠1=∠A+∠A +∠2=2∠A+∠2，又∵∠1=80°，∠2=24°，∴80°=2∠A+24°，∴∠A=28°．【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及三角形外角的性质，平角的定义等，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．知识点6：两内角角平分线模型在△ABC 中，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I .则∠I =90°+12∠A【题型6两内角角平分线模型】21.(23-24八年级·河南信阳·开学考试)如图，AD ，CE 都是△ABC 的角平分线，且交于点O ，∠DAC =30°，∠ECA =35°，则∠ABO 的度数为．【答案】25°/25度【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线，利用角平分线的定义结合三角形内角和定理找出∠ABO 的度数是解题的关键．根据角平分线的定义可得出∠BAC =60°、∠ACB =70°，结合三角形内角和可得出∠ABC =50°，由三角形的三条角平分线交于一点，可得出BO 平分∠ABC ，进而可得出∠ABO 的度数，此题得解．【详解】解：∵AD 平分∠BAC ，CE 平分∠ACB ，∠DAC =30°，∠ECA =35°，∴∠BAC =2∠DAC =60°，∠ACB =2∠ECA =70°，∴∠ABC =180°-∠BAC -∠ACB =50°．∵△ABC 的三条角平分线交于一点，∴BO 平分∠ABC ，∴∠ABO =12∠ABC =25°．故答案为：25°．22.(23-24八年级·全国·课后作业)如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线BE ，CF 相交于点G ，若∠A =66°，则∠BGC 的度数为．【答案】123°/123度【分析】本题考查角平分线和三角形内角和定理，熟练利用角平分线的性质和三角形内角和定理找出题目中角的等量关系是解答本题的关键．由角平分线的性质可知∠GBC =12∠ABC ，∠GCB =12∠ACB ，再由三角形内角和定理可知∠BGC =180°-∠GBC +∠GCB ，即可求解．【详解】∵∠A =66°，∴∠ABC +∠ACB =180°-∠A =114°，∵BE 和CF 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，∴∠GBC =12∠ABC ，∠GCB =12∠ACB ，∴∠BGC =180°-∠GBC +∠GCB =180°-12∠ABC +∠ACB =123°，故答案为：123°．23.(23-24八年级·河南信阳·开学考试)如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE ，BF 分别是∠BAC 和∠ABC 的角平分线，它们相交于点O ，∠AOB =125°．求∠CAD 的度数．【答案】∠CAD =20°．【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，以及余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确求出∠C =70°，从而求出答案．根据角平分线的性质，由∠AOB =125°，得到∠CAB +∠CBA =110°，然后得到∠C ，由余角的性质，即可求出答案．【详解】解：∵AE ，BF 分别是∠BAC 和∠ABC 的角平分线，∴∠OAB =12∠BAC ，∠OBA =12∠ABC ．∴∠CAB +∠CBA =2(∠OAB +∠OBA )=2180°-∠AOB∵∠AOB =125°，∴∠CAB +∠CBA =110°，∴∠C =70°．∵AD 是BC 边上的高∴∠ADC =90°，∴∠CAD =20°．24.(23-24八年级·山东烟台·期末)如图，在△ABC 中，∠A =90°，BE ，CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，且相交于F ，EG ∥BC ，CG ⊥EG 于点G ，则下列结论：①∠CEG =2∠DCA ；②∠DFE =130°；③∠EFC =12∠G ：④∠ADC =∠GCD ；⑤△EGC 是等腰直角三角形，其中正确的结论是()A.①③④⑤B.①②③④C.①②③D.①③④【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明∠ADC +∠ACD =90°，∠GCD +∠BCD =90°，即可判断④；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出∠BFC=135°，即可判断②③；根据现有条件无法推出⑤．【详解】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①正确；∵∠A=90°，CG⊥EG，EG∥BC，∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，∴∠GCD+∠BCD=90°，又∵∠BCD=∠ACD，∴∠ADC=∠GDC，故④正确；∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠FBC=12∠ABC,∠FCB=12∠ACB，∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=180°-12(∠ACB+∠ABC)=135°，∴∠EFC=180°-∠BFC=45°，∵CG⊥EG∴∠G=90°，∴∠EFC=12∠G，故③正确；∵∠BFC=135°，∴∠DFE=∠BFC=135°，故②错误；∵∠G=90°∴△EGC是直角三角形，根据现有条件，无法推出CG=CE，即无法得到△EGC是等腰直角三角形，故⑤错误；∴正确的有①③④，故选：D．知识点7：两外角角平分线模型在△ABC中，BI、CI分别是△ABC的外角的角平分线，且相交于点O.则∠O=90°-12∠A.【证明】∵BO是∠EBC平分线，∴∠2=12∠EBC，∵CO是∠FCB平分线，∴∠5=12∠FCB由△BCO中内角和定理可知：∠O=180°-∠2-∠5=180°-12∠EBC-12∠FCB=180°-12(180°-∠ABC)-12(180°-∠ACB)=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A)=∠O=90°-12∠A【题型7两外角角平分线模型】25.(23-24八年级·全国·专题练习)如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠AEC=．【答案】61°【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-58°=122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°-(∠BAC+∠BCA)=360°-122°=238°，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=12∠DAC，∠ECA=12∠ACF，∴∠EAC+∠ECA=12(∠DAC+∠ACF)=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-119°=61°，故答案为：61°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．26.(23-24八年级·河南郑州·阶段练习)如图，G是ΔAFE两外角平分线的交点，P是ΔABC的两外角平分线的交点，F，C在AN上，又B，E在AM上；如果∠FGE=66°，那么∠P=度．【答案】66【分析】利用角平分线的定义和三角形、四边形的内角和可求得：∠G=180°-12×[360°-(180°-∠A)]=90°-1 2∠A，∠P=180°-12×[360°-(180°-∠A)]=90°-12∠A，所以∠P=∠FGE=66°．【详解】解：因为G是△AFE两外角平分线的交点，∴∠FGE=180°-12×[360°-(180°-∠A)]=90°-12∠A，∵P是△ABC两外角平分线的交点，∴∠P=180°-12×[360°-(180°-∠A)]=90°-12∠A，∴∠P=∠FGE=66°．故答案为：66．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质和三角形外角的性质，结合图形熟练运用定理和性质进行求解是解题的关键．27.(23-24八年级·山东聊城·期末)如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC=130°，则∠D的度数为()A.25°B.30°C.40°D.50°【答案】C【分析】根据角平分线的定义和平角定义可得∠OCD=∠ACO+∠ACD=90°，根据外角的性质可得∠BOC =∠OCD+∠D，继而即可求解．【详解】解：∵CO平分∠ACB，CD平分∠ABC的外角，∴∠ACO=12∠ACB，∠ACD=12∠ACF，∵∠ACB+∠ACF=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12∠ACB+∠ACF=90°，∴∠BOC=∠OCD+∠D，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故选择C．【点睛】本题考查角平分线的定义，平角定义，三角形的外角性质，解题的关键是根据角平分线定义和平角定义可得∠OCD=90°，根据外角的性质求得∠BOC=∠OCD+∠D．28.(23-24八年级·全国·课后作业)(分类讨论思想)△ABC的两外角平分线交于点F．(1)如图1，若∠A=30°，则∠BFC的度数为．(2)如图2，过点F作直线MN∥BC，分别交射线AB，AC于点M，N，若设∠MFB=α，∠NFC=β，则∠A与α+β的数量关系是．(3)在(2)的条件下，将直线MN绕点F转动．①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由．②当直线MN 与线段BC 有交点时，试问①中∠A 与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．【答案】(1)75°(2)α+β-12∠A =90°(3)①α+β-12∠A =90°，见解析；②不成立，β-α-12∠A =90°或α-β-12∠A =90°【分析】(1)由三角形内角和定理可得∠ACB +∠ABC =180°-∠A ，从而可得∠CBD +∠BCE =180°+∠A ，再由角平分线的定义可得∠CBF +∠BCF =90°+12∠A ，最后由三角形内角和定理可得∠BFC =90°-12∠A ，进行计算即可；(2)由(1)可得由(1)可得∠BFC =90°-12∠A ，再由α+∠BFC +β=180°代入进行计算即可；(3)①根据(1)中的结论∠BFC =90°-12∠A ，以及平角的定义，即可得到答案；②分两种情况进行讨论：根据(1)中的结论∠BFC =90°-12∠A ，以及平角的定义，即可得到答案．【详解】(1)解：∵∠A +∠ACB +∠ABC =180°，∴∠ACB +∠ABC =180°-∠A ，∵∠ACB +∠BCE =180°，∠ABC +∠CBD =180°，∴∠CBD +∠BCE=180°-∠ABC +180-∠ACB=360°-∠ABC +∠ACB=360°-180°-∠A=180°+∠A ，∵BF 和CF 分别是∠DBC 和∠BCE 的平分线，∴∠CBF =12∠CBD ，∠BCF =12∠BCE ，∴∠CBF +∠BCF ，=12∠CBD +12∠BCE =12∠CBD +∠BCE =12×180°+∠A =90°+12∠A ，∵∠BFC +∠CBF +∠BCF =180°，∴∠BFC =180°-∠CBF +∠BCF =180°-90°+12∠A =90°-12∠A =75°，故答案为：75°；(2)解：α+β-12∠A =90°，由(1)可得∠BFC =90°-12∠A ，∵α+∠BFC +β=180°，∴α+β+90°-12∠A =180°，即α+β-12∠A =90°．(3)解：①当直线MN 与线段BC 没有交点时，α+β-12∠A =90°，理由如下：∵∠BFC =90°-12∠A ，∠MFB +∠NFC +∠BFC =180°，∴α+β+90°-12∠A =180°，即α+β-12∠A =90°；②当直线MN 与线段BC 有交点时，①中∠A 与α，β之间的数量关系不成立，需分两种情况讨论：a ．如图1，当M 在线段AB 上，N 在射线AC 上时，β-α-12∠A =90°，，∵∠BFC =90°-12∠A ，∠BFC -∠MFB +∠NFC =180°，∴90°-12∠A -α+β=180°，即β-α-12∠A =90°，b ．如图2，当M 在射线AB 上，N 在线段AC 上时，α-β-12∠A =90°，，∵∠BFC =90°-12∠A ，∠BFC -∠NFC +∠MFB =180°，∴90°-12∠A -β+α=180°，即α-β-12∠A =90°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平角的定义等知识，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．知识点8：一内一外角角平分线模型已知△ABC 中，BP 、CP 分别是△ABC 的内角和外角的角平分线，且相交于点P .则∠P =12∠A【证明】∵BP 是∠ABC 平分线，∴∠3=12∠ABC ∵CP 是∠ACE 平分线，∴∠1=12∠ACE 由△ABC 外角定理可知：∠ACE =∠ABC +∠A 即：2∠1=2∠3+∠A ⋯⋯①对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+12∠A⋯⋯②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P⋯⋯③比较②③式子可知：∠P=12∠A.【题型8一内一外角角平分线模型】29.(23-24八年级·江苏泰州·期末)如图，点B、C分别在AM、AN上运动(不与A重合)，CD是∠BCN的平分线，CD的反向延长线交∠ABC的平分线于点P．知道下列哪个条件①∠ABC+∠ACB；②∠A；③∠NCD -∠ABP；④∠ABC的值，不能求∠P大小的是()A.①B.②C.③D.④【答案】D【分析】本题考查三角形外角的性质与内角和定理，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得∠P=∠NCD-∠ABP，可判断③，再利用三角形外角的性质得到∠A=∠NCB-∠ABC，等量代换可判断②，根据三角形内角和定理及等量代换可判断①和④，即可求解．【详解】解：∵CD是∠BCN的平分线，CD的反向延长线交∠ABC的平分线于点P，∴∠NCD=∠BCD，∠ABP=∠CBP，∵∠P=∠DCB-∠CBP，∴∠P=∠NCD-∠ABP，∴③能求出∠P的大小；∵∠A=∠NCB-∠ABC=2∠NCD-∠ABP，∠P=∠NCD-∠ABP∴∠P=12∠A，∴②能求出∠P的大小；∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∴∠A=180°-∠ABC+∠ACB∵∠P=12∠A，∴∠P=12180°-∠ABC+∠ACB=90°-12∠ABC+∠ACB，∴①能求出∠P的大小，④不能求出∠P的大小；故选：D．30.(23-24八年级·四川遂宁·开学考试)如图，点D为△ABC边BC的延长线上一点，若∠A:∠ABC=3:4，∠ACD=140°，∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，则∠M=度．【答案】30【分析】本题考查了三角形的外角定理，与角平分线有关的计算．解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，以及角平分线的定义．先根据∠A:∠ABC=3:4，∠ACD=140°，求出∠ABC=80°，进而得出∠CBM=12∠ABC=40°,∠CDM=12∠ACD=70°，最后根据三角形的外角定理即可解答．【详解】解：∵∠ACD=140°，∴∠A+∠ABC=140°∵∠A:∠ABC=3:4，∴∠ABC=140°×43+4=80°，∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACD，∴∠CBM=12∠ABC=40°,∠CDM=12∠ACD=70°，∴∠M=∠DCM-∠CBM=30°，故答案为：30．31.(23-24八年级·四川眉山·开学考试)如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分∠EAC、∠ABC和∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③DB平分∠ADC；④∠ADC=90°-∠ABD．其中正确的结论有．(填序号)【答案】①②④【分析】证明∠EAD=∠DAC，由三角形外角得∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，得出∠EAD =∠ABC，再由平行线的判定即可判断出①是否正确；由AD∥BC，得出∠ADB=∠DBC，再由BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC，∠ABC=2∠ADB，进而可判断出②是否正确；假设DB平分∠ADC，推出与题干不符的结论，进而可判断出③是否正确，由∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，利用角的关系得∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，进而可判断出④是否正确；【详解】解：①∵AD平分△ABC的外角∠EAC，∴∠EAD=∠DAC，∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∴∠EAD=∠ABC，∴AD∥BC，故①正确；②由(1)可知AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABC=2∠ADB，∵∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=2∠ADB，故②正确；③若DB 平分∠ADC ，∴∠ADB =∠CDB ，∵∠ADB =∠DBC =∠ABD ，∴∠ADB =∠DBC =∠ABD =∠CDB ，∴∠ABC =∠ADC ，与题干条件矛盾．故③错误.④在△ADC 中，∠ADC +∠CAD +∠ACD =180°，∵CD 平分△ABC 的外角∠ACF ，∴∠ACD =∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠ADC =∠DCF ，∠ADB =∠DBC ，∠CAD =∠ACB ，∴∠ACD =∠ADC ，∠CAD =∠ACB =∠ABC =2∠ABD ，∴∠ADC +∠CAD +∠ACD =∠ADC +2∠ABD +∠ADC =2∠ADC +2∠ABD =180°，∴∠ADC +∠ABD =90°，∴∠ADC =90°-∠ABD ，故④正确；故答案为：①②④【点睛】此题考查三角形的外角性质，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，解题关键在于掌握外角性质.32.(23-24八年级·河南开封·期末)如图，在△ABC 中，∠A =48°，△ABC 的内角∠ABC 与外角∠ACD 的平分线相交于点A 1，得到∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得到∠A 2；⋯⋯按此规律继续下去，∠A n -1BC 与∠A n -1CD 的平分线相交于点A n ，要使∠A n 的度数为整数，则n 的最大值为()A.3B.4C.5D.6【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和，三角形的外角定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和是解题的关键．先根据外角和定理得出∠ACD =∠ABC +∠A ，再根据题意总结出规律，∠A n =12n ∠A 即可得到答案．【详解】解：∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，∴∠ACD =∠ABC +∠A ，∵△ABC 的内角∠ABC 与外角∠ACD 的平分线相交于点A 1，得到∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，∴∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CA =12∠ACD ，∴∠A 1=180°-∠A 1BC -∠A 1CB=180°-12∠ABC -(∠ACB +∠A 1CA )=180°-12∠ABC -∠ACB -12∠ACD =180°-12∠ABC -∠ACB -12(∠ABC +∠A )。
(专题精选)初中数学三角形难题汇编含答案
（专题精选）初中数学三角形难题汇编含答案一、选择题1．如图所示，将含有30°角的三角板(∠A=30°)的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=38°，则∠2的度数（）A．28°B．22°C．32°D．38°【答案】B【解析】【分析】延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠2=∠AEC，代入求出即可．【详解】解：如图，延长AB交CF于E，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∠ABC=60°，∵∠1=38°，∴∠AEC=∠ABC-∠1=22°，∵GH∥EF，∴∠2=∠AEC=22°，故选B．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的应用，主要考查学生的推理能力．2．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC＝10cm，则△DEC的周长为（）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm【答案】B【解析】【分析】 根据“AAS”证明 ΔABD ≌ΔEBD .得到AD ＝DE ，AB ＝BE ，根据等腰直角三角形的边的关系，求其周长.【详解】∵ BD 是∠ABC 的平分线，∴ ∠ABD ＝∠EBD .又∵ ∠A ＝∠DEB ＝90°，BD 是公共边，∴ △ABD ≌△EBD (AAS)，∴ AD ＝ED ，AB ＝BE ，∴ △DEC 的周长是DE ＋EC ＋DC＝AD ＋DC ＋EC＝AC ＋EC ＝AB ＋EC＝BE ＋EC ＝BC＝10 cm.故选B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质. 掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．3．如图，ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AD BD ⊥，30ABD ∠=︒，若23AD =．则OC 的长为（ ）A ．3B ．3C 21D ．6【答案】C【解析】【分析】 先根据勾股定理解Rt ABD △求得6BD =，再根据平行四边形的性质求得3OD =，然后根据勾股定理解Rt AOD △、平行四边形的性质即可求得OC OA ==【详解】解：∵AD BD ⊥∴90ADB ∠=︒∵在Rt ABD △中，30ABD ∠=︒，AD =∴2AB AD ==∴6BD ==∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴132OB OD BD ===，12OA OC AC ==∴在Rt AOD △中，AD =3OD =∴OA =∴OC OA ==故选：C【点睛】本题考查了含30角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A ．2, 2,5B ．C ．3,4,8D ．4,5,6【答案】D【解析】【分析】三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立．【详解】根据三角形三边关系可知，三角形两边之和大于第三边．A 、2+2=4＜5，此选项错误；B 、＜3，此选项错误；C 、3+4＜8，此选项错误；D 、4+5=9＞6，能组成三角形，此选项正确．故选：D ．【点睛】此题考查三角形三边关系，解题关键在于掌握三角形两边之和大于第三边．即：两条较短的边的和小于最长的边，只要满足这一条就是满足三边关系．5．如图，已知AB ∥CD ，直线AB ，CD 被BC 所截，E 点在BC 上，若∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝（ ）A ．65°B ．70°C ．75°D ．80°【答案】D【解析】【分析】 由平行线的性质可求得∠C ，在△CDE 中利用三角形外的性质可求得∠3．【详解】解：∵AB ∥CD ，∴∠C ＝∠1＝45°，∵∠3是△CDE 的一个外角，∴∠3＝∠C+∠2＝45°+35°＝80°，故选：D ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c ．6．将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分，其中ABE △，BCF ，CDG ，DAH 全等，AEH △，BEF ，CFG △，DGH 也全等，中间小正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，且ABE △是以AB 为底的等腰三角形，则AEH △的面积为（ ）A ．2B ．169C ．32D 2【答案】C【解析】【分析】【详解】 解：如图，连结EG 并向两端延长分别交AB 、CD 于点M 、N ，连结HF ，∵四边形EFGH 为正方形，∴EG FH =，∵ABE △是以AB 为底的等腰三角形，∴AE BE =，则点E 在AB 的垂直平分线上，∵ABE △≌CDG ，∴CDG 为等腰三角形，∴CG DG =，则点G 在CD 的垂直平分线上，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线重合，∴MN 即为AB 或CD 的垂直平分线，则,EM AB GN CD ，EM GN ，∵正方形ABCD 的边长为4，即4AB CDAD BC ， ∴4MN =， 设EM GN x ，则42EG FH x ， ∵正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等， 即2114(42)22x x ，解得：121,4x x ==，∵4x =不符合题意，故舍去，∴1x =，则S 正方形EFGH 14122==⨯⨯=ABE S ， ∵ABE △，BCF ，CDG ，DAH 全等， ∴2====ABE BCF CDG DAHS S S S ， ∵正方形ABCD 的面积4416=⨯=，AEH △，BEF ，CFG △，DGH 也全等， ∴1(4=AEH S S 正方形ABCD − S 正方形EFGH 134)(16242)42-=⨯--⨯=ABE S ， 故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得ABE △的面积．7．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】D【解析】 从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角，故选D ．8．如图，直线a b ∥，点A 、B 分别在直线a 、b 上，145∠︒＝，若点C 在直线b 上，105BAC ∠︒＝，且直线a 和b 的距离为3，则线段AC 的长度为（ ）A ．32B ．33C ．3D ．6【答案】D【解析】【分析】 过C 作CD ⊥直线a ，根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可得到结论．【详解】过C 作CD ⊥直线a ，∴∠ADC =90°．∵∠1=45°，∠BAC =105°，∴∠DAC =30°．∵CD =3，∴AC =2CD =6．故选D ．【点睛】本题考查了平行线间的距离，含30°角的直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．9．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ＝8，BD ＝6，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF 的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8，∴22，34作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，∴E′在AD上，且E′是AD的中点，∵AD=AB，∴AE=AE′，∵F是BC的中点，∴E′F=AB=5．故选C．10．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB＝12∠CGE．其中正确的结论是( )A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；②∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误；④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+12（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，∴∠DFB=45°=12∠CGE，，正确．故选B．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．11．如图，△ABC ≌△A E D ，∠C =40°，∠E AC =30°，∠B =30°，则∠E AD =（ ）；A ．30°B ．70°C ．40°D ．110°【答案】D【解析】【分析】【详解】∵△ABC ≌△AED ， ∴∠D=∠C=40°，∠C=∠B=30°，∴∠E AD=180°－∠D －∠E ＝110°，故选D.12．如图，在菱形ABCD 中，60BCD ∠=︒，BC 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接BF 、DF ，则DFC ∠的度数是（ ）A ．130︒B ．120︒C ．110︒D ．100︒【答案】A【解析】【分析】 首先求出∠CFB=130°，再根据对称性可知∠CFD=∠CFB 即可解决问题；【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACD ＝∠ACB ＝12∠BCD=25°， ∵EF 垂直平分线段BC ，∴FB=FC ，∴∠FBC=∠FCB=25°，∴∠CFB=180°-25°-25°=130°，根据对称性可知：∠CFD=∠CFB=130°，故选：A ．【点睛】此题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （﹣2，0），B （0，3），以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交x 轴的正半轴于点C ，则点C 的横坐标介于（ ）A ．0和1之间B ．1和2之间C ．2和3之间D ．3和4之间【答案】B【解析】【分析】 先根据点A ，B 的坐标求出OA ，OB 的长度，再根据勾股定理求出AB 的长，即可得出OC 的长，再比较无理数的大小确定点C 的横坐标介于哪个区间．【详解】∵点A ，B 的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），∴OA ＝2，OB ＝3，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AB 222+313=∴AC ＝AB 13，∴OC 132，∴点C 132，0）， ∵3134<< ， ∴11322<< ，即点C 的横坐标介于1和2之间，故选：B ．【点睛】本题考查了弧与x 轴的交点问题，掌握勾股定理、无理数大小比较的方法是解题的关键．14．满足下列条件的是直角三角形的是（ ）A ．4BC =，5AC =，6AB =B ．13BC =，14AC =，15AB = C ．::3:4:5BC AC AB =D ．::3:4:5A B C ∠∠∠= 【答案】C【解析】【分析】要判断一个角是不是直角，先要知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【详解】A．若BC=4，AC=5，AB=6，则BC2+AC2≠AB2，故△ABC不是直角三角形；B.若13BC=，14AC=，15AB=，则AC2+AB2≠CB2，故△ABC不是直角三角形；C．若BC：AC：AB=3：4：5，则BC2+AC2=AB2，故△ABC是直角三角形；D．若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C＜90°，故△ABC不是直角三角形；故答案为：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．15．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20度，则等腰三角形顶角的度数是（）A．140B．20或80C．44或80D．140或44或80【答案】D【解析】【分析】设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，然后分①x是顶角，2x-20°是底角，②x是底角，2x-20°是顶角，③x与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．【详解】设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，①x是顶角，2x-20°是底角时，x+2（2x-20°）=180°，解得x=44°，∴顶角是44°；②x是底角，2x-20°是顶角时，2x+（2x-20°）=180°，解得x=50°，∴顶角是2×50°-20°=80°；③x与2x-20°都是底角时，x=2x-20°，解得x=20°，∴顶角是180°-20°×2=140°；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．故答案为：D．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．16．如图，90ACB ∠=︒，AC CD =，过D 作AB 的垂线，交AB 的延长线于E ，若2AB DE =，则BAC ∠的度数为（ ）A ．45°B ．30°C ．22.5°D ．15°【答案】C【解析】【分析】 连接AD ，延长AC 、DE 交于M ，求出∠CAB=∠CDM ，根据全等三角形的判定得出△ACB ≌△DCM ，求出AB=DM ，求出AD=AM ，根据等腰三角形的性质得出即可．【详解】解：连接AD ，延长AC 、DE 交于M ，∵∠ACB=90°，AC=CD ，∴∠DAC=∠ADC=45°，∵∠ACB=90°，DE ⊥AB ，∴∠DEB=90°=∠ACB=∠DCM ，∵∠ABC=∠DBE ，∴∠CAB=∠CDM ，在△ACB 和△DCM 中CAB CDM AC CDACB DCM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACB ≌△DCM （ASA ），∴AB=DM ，∵AB=2DE ，∴DM=2DE ，∴DE=EM ，∵DE ⊥AB ，∴AD=AM ，114522.522BAC DAE DAC ︒︒∴∠=∠=∠=⨯= 故选：C ．【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，能根据全等求出AB=DM 是解此题的关键．17．如图为一个66⨯的网格，在ABC ∆，A B C '''∆和A B C ''''''∆中，直角三角形有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】 根据题中的网格，先运用勾股定理计算出各个三角形的边长，再根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形即可．【详解】设网格的小正方形的边长是1，由勾股定理（两直角边的平方等于斜边的平方）可知，ABC ∆的三边分别是：10，5，5； 由于2225510+=， 根据勾股定理的逆定理得：ABC ∆是直角三角形； '''A B C ∆的三边分别是：''A B 10， ''B C 5 ，''AC 13 由于22210513，根据勾股定理的逆定理得：'''A B C ∆不是直角三角形；A B C ''''''∆的三边分别是：A B ''''18B C ''''8 ，A C ''''26；由于22218826， 根据勾股定理的逆定理得：A B C ''''''∆是直角三角形；因此有两个直角等三角形；故选C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能灵活运用所学知识是解题的关键．18．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(12，0)，点P为斜边OB上的一个动点，则PA＋PC的最小值为( )A．132B．312C．3+192D．2 7【答案】B【解析】如图，作点A关于OB的对称点点D，连接CD交OB于点P，此时PA＋PC最小，作DN⊥x 轴交于点N，∵B（33OA=3，AB3OB3BOA=30°，∵在Rt△AMO中，∠MOA=30°，AO=3，∴AM=1.5，∠OAM=60°，∴∠ADN=30°，∵在Rt△AND中，∠ADN=30°，AD=2AM=3，∴AN=1.5，DN 33 2∴CN=3－12－1.5=1，∴CD2=CN2+DN2=12+3322=314，∴CD=312.故选B.点睛：本题关键在于先借助轴对称的性质确定出P点的位置，然后结合特殊角30°以及勾股定理计算.19．如图，Rt△ABC中，∠C =90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若AD =5cm，CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（）A ．5cmB ．4cmC ．3cmD ．2cm【答案】C【解析】 ∵点D 到AB 的距离是DE ，∴DE ⊥AB ，∵BD 平分∠ABC ，∠C =90°，∴把Rt △BDC 沿BD 翻折后，点C 在线段AB 上的点E 处，∴DE=CD ，∵CD =3cm ，∴DE=3cm.故选：C.20．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，60CAB ∠=︒，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别相交于点P 和Q ． ②作直线PQ 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．若4CE =，则AE 的值为（ ） A ．6B ．2C ．43D ．8 【答案】D【解析】【分析】根据垂直平分线的作法得出PQ 是AB 的垂直平分线，进而得出∠EAB ＝∠CAE ＝30°，即可得出AE 的长．【详解】由题意可得出：PQ 是AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，∴∠CBA＝30°，∴∠EAB＝∠CAE＝30°，∴CE＝12AE＝4，∴AE＝8．故选D．【点睛】此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出∠EAB＝∠CAE＝30°是解题关键．。
初中数学八年级三角形及三角形全等专题练习题(附含答案)
初中数学八年级三角形及三角形全等专题练习题一、选择题1.如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE 的度数为何？（）A．115B．120C．125D．1302.如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（）①∠AFB∠∠AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④3.如图，平分，于，于，与的交点为，则图中全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对4.如图，，且.、是上两点，，.若，，，则的长为（）A．B．C．D．5.用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的识别方法是（）A.SASB.ASAC.AASD.SSS6.下列判断正确的是（）A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等且有一角为30°的两个等腰三角形全等(8)C．有一角和一边相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等7.如图所示，AB∠EF∠CD，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形有（）A．4对B．3对C．2对D．1对8.如图，在Rt∠ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE∠AB，垂足为E.若AB ＝10 cm，AC＝6 cm，则BE的长度为()A．10 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm9.已知点A（a，1）与点B（5，b）关于y轴对称，则实数a，b的值分别是（）A．5，1B．﹣5，1C．5，﹣1D．﹣5，﹣1 10.在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（）A．m＝3，n＝2B．m＝﹣3，n＝2C．m＝2，n＝3D．m＝﹣2，n＝﹣311.如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为．其中，正确结论的序号为（）A．①④B．②④C．①③D．②③12.如图，已知等边三角形ABC边长为2，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC长的最小值是（）A．1B．3C．3D．13.已知实数x，y满足|x﹣4|+（y﹣8）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对14.一个正方形周长与一个等腰角形的周长相等，若等腰三形的两边长为和，则这个正方形的对角线长为（）A．B．C．D．15.如图所示，∠ABC中AC边上的高线是（）A．线段DA B．线段BA C．线段BD D．线段BC二、综合题）16.（1）如图1，∠ABC中，作∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∠BC 分别交AB、AC于E、F．① 求证：OE=BE；② 若∠ABC的周长是25，BC=9，试求出∠AEF的周长；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC与∠PAC的数量关系式.17如图-1，的边在直线上，，且；的边也在直线上，边与边重合，且．（1）在图-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与关系；（2）将沿直线向左平移到图-2的位置时，交于点，连结，．猜想并写出与的关系，请证明你的猜想；（3）将沿直线向左平移到图-3的位置时，的延长线交的延长线于点，连结，．你认为（2）中所猜想的与的关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．18、如图1，在∠ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，点D是∠ABC内一点，DB=DC，∠DCB=30°，点E是BD延长线上一点，AE=AB．（1）求∠ADE的度数；（2）求证：DE=AD+DC；参考答案一、选择题1、【答案】C∵三角形ACD为正三角形，∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，∵AB=DE，BC=AE，∴△ABC≌△DEA，∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，故选C．2、【答案】A∵∠EAF=∠BAC，∴∠BAF=∠CAE；在△AFB与△AEC中，，∴△AFB≌△AEC（SAS），∴BF=CE；∠ABF=∠ACE，∴A、F、B、C四点共圆，∴∠BFC=∠BAC=∠EAF；故①、②、③正确，④错误．故选A.．3、【答案】C∵平分∴∠BOC=∠AOC又∵，∴∠AEO=∠BDO=90°又∵OC=OC∴∴OD=OE，CD=CE又∵∠BOD=∠AOE∴∴OA=OB，∠A=∠B∴又∵∠ACD=∠BCE∴故答案为C.4、【答案】D∵AB⊥CD,CE⊥AD,∴∠1=∠2,又∵∠3=∠4,∴180°-∠1-∠4=180°-∠2-∠3,即∠A=∠C.∵BF⊥AD,∴∠CED=∠BFD=90°,∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE=a,ED=BF=b,又∵EF=c,∴AD=a+b-c.故选:D.5、【答案】D；6、【答案】D；7、【答案】B解：∵AB∥EF∥CD，∠ABC=90°，∴∠DCB=∠EFB=∠ABC=90°；在△ABC与△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴∠ECB=∠EBC，∴EB=EC，BF=CF；同理可证△EFB≌EFC、△ABE≌△DCE；∴图中的全等三角形有3对，故选B．8、【答案】C9、【答案】B∵点A（a，1）与点A′（5，b）关于y轴对称，∴a=-5，b=1，故选B．10、【答案】B解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，∴m=-3，n=2．故选：B．11、【答案】D解：①∵线段在边上运动，，∴,∴与不可能相等，则①错误；②设，∵，，∴，即，假设与相似，∵∠A=∠B=60°，∴，即，从而得到，解得或（经检验是原方程的根），又，∴解得的或符合题意，即与可能相似，则②正确；③如图，过P作PE⊥BC于E，过D作DF⊥AB于F，设，由，，得，即，∴，∵∠B=60°，∴，∵，∠A =60°，∴,则，，∴四边形面积为：,又∵，∴当时，四边形面积最大，最大值为：，即四边形面积最大值为，则③正确；④如图，作点D关于直线的对称点D1，作D1D2∥PQ，连接CD2交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′=PQ，此时四边形P′CDQ′的周长为：，其值最小，∴D1Q′=DQ′=D2P′，，且∠AD1D2=180∠D1AB=180∠DAB =120°，∴∠D1AD2=∠D2AD1==30°，∠D2AC=90°，在△D1AD2中，∠D1AD2=30°，，∴，在Rt△AD2C中，由勾股定理可得，，∴四边形P′CDQ′的周长为：，则④错误，所以可得②③正确，故选：D．12、【答案】B解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接OE，∵△ABC是等边三角形，∴CE=AC×sin60°=，AE=BE，∵∠AOB=90°，∴EO AB，∴EC-OE≥OC，∴当点C，O，E在一条直线上，此时OC最短，故OC的最小值为：OC＝CE﹣EO＝3故选B．13、【答案】B解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4＝8，∴不能组成三角形；②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长＝4+8+8＝20．所以，三角形的周长为20．故选：B．14、【答案】A解：①是腰，是底边时，两边的和小于第三边，不能构成三角形，舍去；②是底边和是腰时，等腰三角形的周长是，因而可得正方形的边长是，故这个正方形的对角线长是；故选：A．15、【答案】C由图可知，中AC边上的高线是BD.故选：C.二、综合题16、（1）∠BO平分∠ABC，∠∠EBO=∠OBC，∠EF∠BC，∠∠EDB=∠OBC，∠∠EOB=∠EBO，∠OE=BE （2）∠AEF的周长=AE+AF+EF=AE+AF+EB+FC=AB+AC=25-9=16(3)延长BA，证明P点在∠BAC外角的角平分线上，从而得到2∠PAC+∠BAC=180°17、解：（1）AB=AP；AB∠AP；（2）BQ=AP；BQ∠AP．证明：①由已知，得EF=FP，EF∠FP，∠∠EPF=45°．又∠AC∠BC，∠∠CQP=∠CPQ=45°．∠CQ=CP．在Rt∠BCQ和Rt∠ACP中，BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP，∠Rt∠BCQ∠Rt∠ACP，∠BQ=AP．②如图，延长BQ交AP于点M．∠Rt∠BCQ∠Rt∠ACP，∠∠1=∠2．在Rt∠BCQ中，∠1+∠3=90°，又∠3=∠4，∠∠2+∠4=∠1+∠3=90°．∠∠QMA=90°．∠BQ∠AP；（3）成立．证明：①如图，∠∠EPF=45°，∠∠CPQ=45°．又∠AC∠BC，∠∠CQP=∠CPQ=45°．∠CQ=CP．在Rt∠BCQ和Rt∠ACP中，BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP，∠Rt∠BCQ∠Rt∠ACP．∠BQ=AP．②如图，延长QB交AP于点N，则∠PBN=∠CBQ．∠Rt∠BCQ∠Rt∠ACP，∠∠BQC=∠APC．在Rt∠BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°，∠∠APC+∠PBN=90°．∠∠PNB=90°．∠QB∠AP．18、【答案】解：（1）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，∴∠ABC=∠ACB==75°，∵DB=DC，∠DCB=30°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=45°，∵AB=AC，DB=DC，∴AD所在直线垂直平分BC，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=15°，∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°；（2）如图1，在线段DE上截取DM=AD，连接AM，∵∠ADE=60°，DM=AD，∴△ADM是等边三角形，∴∠ADB=∠AME=120°∵AE=AB，∴∠ABD=∠E，在△ABD和△AEM中，，∴△ABD≌△AEM（AAS），∴BD=ME，∵BD=CD，∴CD=ME，∵DE=DM+ME，∴DE=AD+CD；-。
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九年级下册 第二十八章 锐角三角三角函数
三角函数 30° 45° 60°
sin a
1 2
2 2 2 2
1
3 2
1 2
cosa
tan a
3 2 3 3
求 边
3
求 角
正 弦
余 弦
正 切
计算 解直角三角形
俯仰 角角
方 位 角
坡 度
特殊值的运算
应用
定义 锐角三角函数
第28章锐角三角三角函数
九 年 级 下 册
三角形之间 的关系 三角形与其它 图形的关系
三角形
知识内容 三 角 形 专 题
五、立体整合
三角形知识内容之间的关系 等边三角形
相似三角形
拓展 和 延伸 相似比 为 1时
解直角三角形
等腰三角形
锐角三角函数 勾股定理
全等三角形
特殊三角形
三角形
领域间的
函数 联系和综合
三 角 形 专 题
八上 第11章全等三角形 第12章轴对称 等腰三角形
等 边 对 等 角
三 线 合 一
定 义
等 角 对 等 边
每 一 个 角 都 等
三 线 合 一
的三 三个 角角 形相 等
有 的一 三个 角角 形是
600
600
性质
判定
性质 等边三角形
第12章等腰三角形
判定
相关概念
等腰三角形
八 年 级 上 册
八年级下册 第十八章勾股定理
已知两边 求第三边
赵爽弦图 毕答哥拉斯 茄菲尔德
互逆命题
内容 内容
全等
证明
证明
知三边 定形状 应用
应用
勾股定理
勾股定理的逆定理
第18章勾股定理
八 年 级 下 册
九年级下册 第二十七章 相似
对应角相等 对应边成比例
对应中线的比=对应高的 比=对应角平分线的比= 相似比 周长的比=相似比 面积的比=相似比的平方
A字型 X字型
平行
两角对 应相等
相似三角形 的性质 相似三角形
A B C′ B′ C B C B′
C
F
2、让学生经历数学知识的形成过程 E △BCF≌△DAE或△ABF≌△CDE
全等证明不容易，三组元素要齐备． A′ A 要证明 BF=DE A′ 要想证明变简单，尽量找出相等边． 如等腰三角形“等边对等角”、“三线合一 A′ A A A′ 还差条件不用急，利用等角来补齐． B C ”性质的得出，可以先让学生剪出等腰三角 C′ B′ 公共边角对顶角，直接应用不用说． 3、注重分析思路，让学生学会思考问题 C 形，并进一步利用轴对称的性质思考相等的 B B B′ B ′ C A ′ 两边一角要正确，须是两边和夹角． 线段和相等的角，发现等腰三角形的性质。 利用边角证全等，反之全等证边角． 由操作过程得到启发：通过做出等腰三角形 的对称轴得到两个全等三角形，从而利用全 等证明等腰三角形的性质。 4、善于总结技术口决和基本图形
八下第18章勾股定理
论证几何开始 实验为主 出现推理
七下 第7章三角形
论证几何向 计算几何过渡 淡化证明 回归自然
九下第27章相似 第28章锐角三角函数
各年级的 侧重点不同 三 角 形 专 题
七年级下册 第七章三角形
定义
两边之和大 于第三边
中线 高
与三角形有关的角
多边形及 其内角和 镶嵌
三角形的 主要线段 角平分线
数学学习过程
评价建议
三 角 形
定性定量结合 在呈现评价结果时， 应重视定性评价的 作用，采用定性与 定量相结合的方法。
对学生数学学习过程的评价 包括参与数学活动的程度、 自信心、合作交流的意识， 以及独立思考的习惯、数学 思考的发展水平等方面。
八、课程资源开发 利用
生活材料 自身情况
学生资源
生活事件
知识与技能 课标要求
经历探索三角形基本性质的 过程；掌握三角形的基本性 质；掌握基本的识图、作图 等技能；体会证明的必要性， 能证明三角形的基本性质； 掌握基本的推理技能。
情感与态度 三 角 形
认识通过观察、实验、 归纳、类比、推断可以 获得数学猜想；体验数 学活动充满着探索性和 创造性；感受证明过程 的严谨性以及结论的确 定性。
圆
垂径定理的计算转 化为解直角三角形 问题 利用圆周角定理、切 线长定理可得到等腰 三角形和直角三角形
图三 形角 的形 关与 系其 他
六、教学建议
丰富多彩的图形世界给三角形的 以画思路图的方式说明证明题的思考方法（如： 学习提供了大量真实的素材，教 顺推、逆推、两头凑）启发学生自己说思路。 例题：已知：如图， AB=CD 学时要注意联系实际，从实际出 BC=DA E 、 F 是 AC A 发引入概念，并将所学知识应用 A′ 上两点，且 求证：A BF=DE ． AE=CF A′ 1、注重联系实际 到实际生活中。如，用全等和相 分析：由已知可用SSS证△ABC≌△ CDA B 似的知识解决测量问题。 B′ C C′ B C B′ D ∠DAC=∠BCA 或 ∠DCA=∠BAC
三角形专题
一、课标要求
二、编写意图
三、体例安排
三角形
四、内容结构 五、立体整合 六、教学建议
七、评价建议
八、资源整合
一、课标要求
在探索图形的性 质中，初步建立 空间观念，发展 几何直觉。
数学思考
解决问题
尝试从不同角度 寻求解决问题的 方法并能有效地 解决问题；体会 在解决问题的过 程中与他人合作 的重要性。
老教材偏重于逻辑推 理，纯理论题占大多数； 新教材对于推理能力的 培养，按照“说点儿 理”“说理”“简单推 理”“符号表示推理” 等不同层次分阶段地安 排，逐步达到《课标》 要求。在七年级主要采 取渗透说理的方式，从 八年级上学期的“全等 三角形”开始正式出现 “证明”。
三、体例安排
体例安排
四、内容结构
与三角形有 关的线段 三角形的 稳定性
第7章三角形
七 年 级 下 册
八年级上册 第十一章全等三角形
对应边相等
对应角相等
三角形全等的条件
HL
全等三角形的性质
全等三角形
第11章全等三角形
全等三角形的概念
角平分线的性质
八 年 级 上 册
性质
判定
八年级上册 第十二章第三节等腰三角形
顶 角 和 底 角
腰 和 底 边
相似三角形 的判定
三边对应 成比例 两边成比例 且夹角相等
图形的相似
第27章相似
位似 画法、性质 用坐标表示 位似变换
位似中心是原点 对应点的坐标比 为k或-k
相似形
相似多边形
对应角相等， 对应边成比例， 周长的比=相似比 面积的比=相似比的平方
九 年 级 下 册
两图形位似 对应顶点的连线 交于一点 对应边平行
教材
教材资源
隐含材料 置换生疏
最大限度地利 用课内资源 课 程 资 源 开 发 合理开发 课外资源
信息资源
课堂表现
请各位专家多批评指正!
C′
A
B5、关注学生的学习兴趣和参程度七、评价建议应遵循《标准》的基本 自我评价、学生互评 理念，以本学段的知识 教师评价、家长评价 与技能目标为基准，考察 社会有关人员评价结合 发现解决问题 学生对基础知识和基本 技能的理解和掌握程序。 基础知识技能 主体方法多样化
从不同角度分析和解决 问题，与他人合作， 能用文字、字母、符号 表达解题过程。
多边形
正多边形的计算转 化为解直角三角形 问题
应用三角形全等知识 证明特殊四边形性质
应用三角形内角和 求多边形的内角和 三角形的外接圆 三角形的内切圆
四边形
三角形
由平行四边形的性质证 明了三角形的中位线定 理。由三角形中位线定 理又能得到梯形中位线 定理。 由矩形的性质得到” 直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半 ”
二、编写意图
教材设置了思考、探究、 讨论等栏目引导学生自主 探索，激发学生进行思考， 促进合作交流。
通过让学生观察 实际生活中的图 形，加强对图形 的直观认识和感 受，从中“发现” 几何图形，归纳 出几何图形的基 本特征，从而更 好地“把握图 形”。
加 大 了 探 索 交 流 的 空 间
编写意图