全等三角形的识别.doc
三角形全等的判定doc
11.2三角形全等的判定(1)
第五中学马福萍
一、教案任务分析
二、教案流程安排
三、教案过程设计
四、教案反思
本节课为第十一章第二节的第一课时，安排的教案内容为第二节三角形全等的条件中的三边对应相等两个三角形全等（边边边）条件，及运用条件判断两个三角形全等。
教材安排的上述教案内容是在学习了全等三角形的概念、全等三角形的性质后展开的，在本节课中给学生提供探索交流的时间和空间，让学生充分感受探究三角形全等条件的过程，符合学生的认知过程。
教案设计上，强调自主活动，注重合作交流，让学生的学习在合作探究过程中进行，使他们在自主探究的过程中理解和掌握三角形的条件，并获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新能力。
11.2 三角形全等的条件（1）
教案任务分析
教案流程安排计
教案过程设计
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11 / 11。
全等三角形判定经典
11.2三角形全等的判定ABC DEF（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS ”。
表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，AB DEAC DF BC EF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）。
例1. 如图所示，AB ＝CD ，AC ＝DB 。
求证：△ABC ≌△DCB 。
A BCD分析：由已知可得AB ＝CD ，AC ＝DB ，又因为BC 是两个三角形的公共边，所以根据SSS 可得出△ABC ≌△DCB 。
证明：在△ABC 和△DCB 中，∵⎩⎨⎧AB ＝CD AC ＝DB BC ＝CB，∴△ABC ≌△DCB （SSS ）评析：证明格式：①点明要证明的两个三角形；②列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括号括起来；③条件按照“SSS ”顺序排序；④得出结论，并把判断的依据注在后面。
“ASA ”。
表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，B E BC EF C F∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）。
例2. 如图所示，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF ，求证：AB ＝CD 。
ABEFCD分析：要证明AB ＝CD ，由于AB 、CD 分别是△ABF 和△DCE 的边，可尝试证明△ABF ≌△DCE ，由已知易证：∠B ＝∠C ，∠AFB ＝∠DEC ，下面只需证明有一边对应相等即可。
事实上，由BE ＝CF 可证得BF ＝CE ，由ASA 即可证明两三角形全等。
证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等） 又∵AF ∥DE ，∴∠AFC ＝∠DEB （同上） ∴∠AFB ＝∠CED （等角的补角相等）又∵BE ＝CF ，∴BE －EF ＝CF －EF ，即BF ＝CE 在△ABF 和△DCE 中，()()()B C BF CE AFB CED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩已证已证已证∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）角边”或“AAS ”。
第五讲 ASA全等三角形的判定
A B C A ’B ’C ’A BC A ’B ’C ’第四讲 全等三角形的判定（三）（一）知识要点1、三角形全等的判定三、四：ASA 及AAS两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）。
书写格式：、在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠''''B B B A AB A A ∴△ABC ≌△A ’B ’C ’（ASA ） 知识延伸：“ASA ”中的“S ”必须是两个“A ”所夹的边。
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）。
书写格式：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠''''C A AC B B A A ∴△ABC ≌△A ’B ’C ’（AAS ） 知识延伸：“AAS ”可以看成是“ASA ”的推论。
规律方法小结：由“角边角”及“角角边”可知两角及一边对应相等的两个三角形全等。
无论这个一边是“对边”还是“夹边”，只要对应相等即可。
(二)例题讲解：例1.如图所示，D 在AB 上，E 在AC 上，AB=AC, ∠B=∠C. 求证：AD=AE例2.如图，AB ⊥BC, AD ⊥DC, ∠1=∠2. 求证：AB=AD练习：如图所示,点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，AB ∥DF ，AC ∥DE ，AC =DE ，FC 与BE 相等吗？请说明理由.A B C D A ’B ’C ’D ’ 例3．已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ．例4：如图，已知△ABC ≌△A ’B ’C ’，AD ，A ’D ’分别是△ABC 和△A ’B ’C ’的边BC 和B ’C ’上的高。
求证：AD=A ’D ’例5．如图，点E 在AC 上，∠1=∠2，∠3=∠4.试证明BE= DE.（三）练习1．如图，已知AB= DC ，AD =BC ，E ，F 是DB 上的两点，且BE=DF.若∠AEB=100º，∠ADB= 30º．则∠BCF= 。
证三角形全等的判定定理
证三角形全等的判定定理
证明三角形全等可以使用以下几种判定定理：
1. SSS 判定定理：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
2. SAS 判定定理：如果两个三角形的两条边及其夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。
3. ASA 判定定理：如果两个三角形的两个角和它们之间的一条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
4. RHS 判定定理：如果两个三角形的一个角和两条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
其中，SSS、SAS 和 ASA 判定定理都需要证明相应的几何定理，而 RHS 判定定理则可以直接根据勾股定理得出。
例如，对于 SSS 判定定理来说，假设有两个三角形 ABC 和 DEF，且 AB = DE, BC = EF, AC = DF。
我们需要证明这两个三角形是全等的。
首先，将三角形 ABC 和 DEF 进行重合，使得点 A 和点 D 重合，然后通过向量平移或旋转使得线段 AC 与线段 DF 重合。
因为 AB = DE, BC = EF, AC = DF，所以三角形 ABC 和 DEF 的所有边长和角度都相等，因此这两个三角形是全等的。
这就是 SSS 判定定理的证明过程。
其他三个判定定理的证明过程也类似，需要使用到几何定理和勾股定理等数学知识。
全等三角形的判定方法五种的证明
全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等三角形（即三角形的所有对应边和角都相等）在几何学中具有重要意义，因为它们有着很多共性特征和性质。
在实际问题中，我们常常需要判定两个三角形是否全等，以便解决一些几何问题。
下面我们将介绍五种判定方法，并给出它们的证明。
一、SSS法则（边边边全等）首先我们来介绍SSS法则，即如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，AC=DF，BC=EF。
我们要证明三角形ABC全等于三角形DEF。
【证明过程】由已知条件可知，三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等。
所以可以得到以下对应关系：AB=DEAC=DFBC=EF三角形的两边之和大于第三边，所以我们有以下结论：AB+AC>BCDE+DF>EF由于AB=DE，AC=DF，BC=EF，所以根据上述两个不等式可得：AB+AC>BCAB+AC>BC所以三角形ABC与三角形DEF全等。
由于∠C=∠F，所以我们有以下结论：∠A+∠C+∠B=180°∠A+∠F+∠E=180°由于∠C=∠F，所以可以将两个等式相减，得到：∠B-∠E=0∠B=∠E四、HL法则（斜边-直角-斜边全等）由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以可以使用AA法则证明三角形ABC 与三角形DEF全等。
我们介绍了五种全等三角形的判定方法以及它们的证明。
这些方法在解决几何问题中起着至关重要的作用，希望大家能够掌握并灵活运用这些方法。
如果遇到类似的题目，可以根据不同情况灵活选择合适的方法来判定三角形的全等关系。
通过不断练习和思考，相信大家能够在几何学习中取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例：全等三角形是指具有完全相同的三边和三角形的一种特殊情况。
在几何学中，全等三角形之间具有一些特殊的性质和关系。
正确判断两个三角形是否全等是解决几何问题的关键。
全等三角形的讲义整理讲义
全等三角形专题一 全等三角形的性质【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。
）【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做 对应边；重合的角叫做对应角。
【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：(1)AB 与 是对应边，BC 与 是对应边， CA 与 是对应边；(2)∠A 与 是对应角，∠ABC 与 是对应角， ∠BAC 与 是对应角【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。
(1)有公共边的，公 共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。
【练习1】 如图，图中有两对三角形全等，填空： (1)△BOD ≌ ； (2)△ACD ≌ .【知识点3】 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相DABCOE ABCD等，对应角的角平分线相等）【例题2】 （海南省中考卷第5题） 已知图2中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A.72°B.60°C.58°D.50°【例题3】（清远）如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠= ．【练习2】 如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ）A 20° B．30° C ．35° D ．40°【练习3】如图，△ABD 绕着点B 沿顺时针方向旋转90°到△EBC ， 且∠ABD=90°。
三角形的全等性质
三角形的全等性质三角形是几何学中的基本形状之一，它有许多重要的性质和定理。
其中，全等性质是三角形的重要性质之一，指的是具有相等边长和相等内角的两个三角形是全等的。
本文将介绍三角形全等性质的定义、判定方法，以及全等性质的应用。
一、全等性质的定义对于两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应边长相等，即AB=DE，BC=EF，AC=DF，并且对应角度也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么我们可以说三角形ABC与三角形DEF是全等的。
全等性质可以用符号≌表示，即ABC≌DEF。
二、全等性质的判定为了判断两个三角形是否全等，我们可以利用下列常用的判定方法：1. SSS判定法（边-边-边）如果两个三角形的三条边分别相等，那么它们是全等的。
2. SAS判定法（边-角-边）如果两个三角形的一条边和与其相邻的两个角分别相等，那么它们是全等的。
3. ASA判定法（角-边-角）如果两个三角形的两个角和它们的夹边分别相等，那么它们是全等的。
4. RHS判定法（斜边-直角边-斜边）如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，那么它们是全等的。
通过以上四种判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否全等。
三、全等性质的应用全等性质在解决几何问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 三角形的构造利用全等性质，我们可以根据已知条件构造全等的三角形。
例如，已知两条边和夹角大小，我们可以通过SAS判定法构造出全等的三角形。
2. 证明几何定理在证明几何定理时，我们常常利用全等性质来推导结论。
通过证明两个全等三角形的对应边和对应角相等，可以得到一些重要的几何定理。
3. 求解三角形的未知量当我们已知一些三角形的边长和角度大小时，利用全等性质可以求解出三角形其他未知量，如另外两个角度的大小、三角形的面积等。
4. 判定图形的全等除了三角形，全等性质在判定其他图形的全等时也是十分有用的。
我们可以利用全等性质来判断两个四边形、两个多边形甚至其他更复杂的图形是否全等。
全等三角形的判定定理
经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，而该两个三角形的
三条边及三个角都对应相等。
判定定理
SSS（Side-Side-Side）（边边边）：三边对应相等的三角形是全等三角形。
SAS（Side-Angle-Side）（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等
三角形。
ASA（Angle-Side-Angle）（角边角）：两角及其夹边对应相等的三角形全等。
AAS（Angle-Angle-Side）（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的三角
形全等。
RHS（Right angle-Hypotenuse-Side）（直角、斜边、边）（又称HL定理(斜边、直角边)）：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。
（它的证明是
用SSS原理）
下列两种方法不能验证为全等三角形：
AAA（Angle-Angle-Angle）（角角角）：三角相等，不能证全等，但能证相似
三角形。
SSA（Side-Side-Angle）（边边角）：其中一角相等，且非夹角的两边相等。
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§ 24. 2全等三角形的识别
单元检测题
时间：120分钟满分：100分
班级
学号
姓名
一、选择题（每小题 2分，共 1.如图，正方形的网格中，/ A . 175 ° B . 180 ° 28分） 1 + / 2+/ 3+ / 4+/ 5 等于（ C . 2.在△ ABC 和^ DEF 中，已知/ 三角形全等，还需要条件（
210° C= / D , ) A . AB=ED B . AB=FD 3•下列说法中，正确的是（ C . )
AC=FD D . / A= / F /
—5
D . 225° / B= /
E ,要判定这两个 第1题 A .两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B .两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D •面积相等的两个三角形全等 C .两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
4. 如右图，点 E 在AB 上，AC=AD , BC=BD ，图中有x 对全等三角形， 则 x 的值为（
）A . 4 B . 3 C . 2 D . 1 5. 已知△ ABC 中，AB=3 , BC=4，则第三边 AC 的取值范围是（ A . 3 < AC < 4 B . K AC < 7 C . 1 < AC < 7 D . 0 < AC < 12 6. 已知等腰三角形的两边分别为 2和5，则它的周长为（ ） A . 12 或 9 B . 12 C . 9 D . 7 7. 如右图，在△ ABC 中，D 、E 分别是边 AC 、BC 上的点，若△ ADB
◎ △ EDB ◎△ EDC ，则/ C 的度数为（ ） A . 15° B . 20° C . 25° D . 30 ° &如右下图，已知MB=ND , / MBA= / NDC ,下列哪个条件不能判定^ A . / M= / N B . AB=CD C . AM=CN D . AM // CN 9.下列条件中，不能使两个三角形全等的条件是（ ） A .两边一角对应相等 B .两角一边对应相等 C .三边对应相等 D .两边和它们的夹角对应相等 10 .具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断他们全等的是（ A .顶角、一腰对应相等 B .底边、一腰对应相等 C .两腰对应相等 D .一底角、底边对应相等 11 .如右图，MP=MQ , PN=QN , MN 交PQ 于O 点，则下列结 论中，不正确的是（ ）
A . △ MPN ◎△ MQN
B . OP=QO
C . MO=NO
D . / MPN= / MQN
12 .如右图，AO=BO , CO=DO ，连接AD 、BC ,交于点P ,则下列结论正
确的是（）
AOD ◎△ BOC ②△APC ◎△ BPD ③点P 在/ AOB 的平分线上 A .只有①B.只有② C.①② D .①、②、③
) P
O
M
N
Q O C
D
A
13.如右图，AB=AD , AC=AE ，且 BE 、CD 相交于 O , I 关系是（
）
A.相等
B.互相垂直
C.互相垂直平分
D.无任
14. 如右图，E 在^ ABC 外，D 在 BC 上,/ 仁/2= / 3, 则有（
A. C. 二、填空
题（每空
15. 如图，△ ABC △ ACP '重合，
得^_◎△ _。
20. 已知三角形两边分别为 5和7, 21. 如图，已知△ ABC 和^ BDE , B
为AD 的中点，BE=BC , /仁/2,请写出其中两对全 等三角形
22. 如图，在△ ABD 和^ ACE 中，有下列4个论断：①AB=AC ，②AD=AE ，③/ B= / C ,
④BD=CE 。
请以其中3个论断作为条件，余下 1个论断作为结论，写出一个正确的命 题
BE 丄 MN 于 E ,求证：DE=AD+BE 。
16. 如图 17. 如图, 18•如图, 或 ，在△ ABC 中，AD=DE , EB=AB , / A=80 °，则/ BED= ____________ 。
AB=AC , EB=EC , AE 的延长线交BC 于D ,那么图中的全等三角形共有 在^ ABC
和^ DEF 中，如果 AB=DE , // ，就可得^ ABC DEF 。
BC=EF ，只要找出/
对。
第17题
=/
，或/
A E D C
第18题
就可
）
△ ABD AFE £.△ AFE ADC
△ AEF ◎△ DCF D.A ABD N ACE
2分，共16分） 是直角三角形，BC 是斜边，将△ ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与 如果
PA=3，那么PP'的长等于
则第三边上的中线长 x 的取值范围是 第19题
三、解答题（本题共 8小题，其中，第
30题每10题，共56分） 23.如图，在△ ABC 中，/ ACB=90 °
第21题 23~26题，每题 第22题
5分；第27、28题每8分；第29、
,AC=BC ，直线
MN 经过点C ,且AD 丄MN 于D ,
C
C
N
角形。
26.已知，如图，正^ ABC 的边长为a, D 为AC 边上的一个动点，延长AB 至E ，使BE=CD , 连结DE ，交BC 于P 点。
（1）求证：DP=PE o （ 2）若D 为AC 的中点，求 BP 的长。
27.如图，已知 BD 是等腰直角三角形 ABC 的腰AC 上的中线，AE 丄BD ，且交
分别于E , F o 求证：/ ADB= / CDF
24.如图，在△ ABC 的延长线交于点 中，AB=AC , D 、E 分别是 AB 和BC 上的点，连接 DE 并延长与 AC
F ，若 DE=EF ，求证：BD=CF
o
25.已知，如图，在△
1
ABC
中，AB =AC
，BD
是中线，CE
=2BC o
求证：△ DBE 是等腰三
BD ,
BC
E
F
28.如图，已知B、C、E在一条直线上，△ ABC、△ DEC是等边三角形，BD交AC于Q, AE交CD于
P。
求证：(1) BD=AE ; (2)△ CPQ为等边三角形。
29.如图，已知D是厶ABC的边AB上一点，CN // AB , DN 证：
CD=AN 。
1
30.如图，在△ ABC 中，AB > AC , / FBC= / ECB= —/ A ,
2
证：BE=CF。
交AC于M，若MA=MC 。
求
E、F分别在AB、AC上。
求
N。