(建议下载)圆幂定理练习题
圆幂定理+讲义2023年九年级数学中考复习【附解析】
圆幂定理九年级数学中考复习一、圆幂的定义：一点P对半径为r的圆O的幂=22OP r-二、圆幂定理：是相交弦定理、切割线定理、割线定理（切割线定理推论）的统称。
1、相交弦定理：若圆内任意弦AB、弦CD交于点P，则··PAPB PC PD=()PAC PBD∆∆∽2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线(PA)长是割线和这点到割线（PD）与圆交点的两条线段长的比例中项²·PA PC PD=()PAC PDA∆∆∽3、割线定理（切割线定理的推论）：例如如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B 与C、D，则·PA PB PC PD⋅=总结：平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。
22··PA PB PC PD r OP==-222·PA PC PD OP r==-22·PA PB PC PD OP r⋅==-例题讲解【例1】如图，在圆O 中，M 、N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ， 若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为( )A ．83B ．3C ．103D ．52【例2】如题图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于 点P ，若6PA =，9AE =，3PC =，:2:1CE ED =，则BE = ．【例3】如图，点P 为弦AB 上一点，连接OP ，过P 作PC OP ⊥，PC 交O 于点C ，若 6AP =，3PB =，则PC 的长为( )A ．4B ．5C ．23D ．32【例4】如图，正方形ABCD 内接于O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，交AC 于点Q ．若 QP QO =，则QC QA的值为( )A ．231B ．23C 32D 32+【例5】如图，PA 切圆于点A ，直线PCB 交圆于C ，B 两点，切线长42PA =4PC =， 则AB AC等于( )A 2B ．22C ．2D ．以上结果都不对 【例6】如图，AT 切O 于T ，若6AT =，3AE =，4AD =，2DE =，则BC 等于()A ．3B ．4C ．6D ．8【例7】如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，A 为大圆上任意一点，过A 作小圆的割线 AXY ，若4AX AY ⋅=，则图中圆环的面积为( )A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π【例8】如图，在ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切．若4AB =， 5BE =，则DE 的长为( )A ．3B ．4C ．154D ．165【例9】如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，AB 、DC 的延长线交于点P ，若C 是PD 的中点，且6PD =，2PB =，那么AB 的长为( )A ．9B ．7C ．3D ．92【例10】已知：P 为O 外一点，PQ 切O 于Q ，PAB 、PCD 是O 的割线，且PAC BAD ∠=∠．求证：22PQ PA AC AD -=．【例11】圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．喜欢思考的天天在了解这个定理之后尝试给出证明，下面是他的部分证明过程：已知：如图①，点P为O外一点，切线PA与圆相切于点A，割线PBC与圆相交于点B、C．求证：2=⋅．PA PB PC证明：如图，连接AB、AC、BO、AO，PA切O于点A，∠+∠=︒．PAB BAO∴⊥，即90PA AO⋯阅读以上材料，完成下列问题：（1）请帮助天天补充完成以上证明过程；（2）如图②，割线PDE与圆交于点D、E，且4PE=，求DE的长．==，7PB BC挑战训练【挑战训练1】如图，已知：PA切O于A，若AC为O的直径，PBC为O的割线，E 为弦AB的中点，PE的延长线交AC于F，且45FPB∠=︒，点F到PC的距离为5，则FC 的长为()。
(完整word版)幂的运算经典练习题.doc
幂的运算经典练习题一、选择题1. 下列运算错误的是 ( )A. x 2?x 4=x 6 B（.﹣ b）2?（﹣b）4=﹣ b 635 9（）2（a+1）3=（ a+1）5C. x?x ?x =xD. a+12. 计算的结果是( )A. B. C. D.3. （)A. B. C. D.4.A. 5B. 6C. 8D. 95. 若 3 x＝ 15,3 y＝5，则 3 x -y等于 ( )．A. 5B. 3C. 15D. 106. 12 9 )数 N=2 × 5 是(A. 10 位数B. 11位数C. 12位数 D. 13位数7.9，b =4×103，则 a÷ 2b等于（）若 a =1.6 × 105B. 27C. 26 5A. 4 × 10 × 10 ×10 D. 2 × 108. 计算的结果是（）A. B. C. D.9. 我们约定,如,那么为（）A. 32B.C.D.10. 已知 a=3 55， b=4 44，c=5 33，则有 ( )A. a＜b＜c B＜.cb＜ a C.＜ca＜b D. ＜ac＜b11. 若, ，则的值为（）A. B. C. D.12. 已知 n 是大于 1 的自然数，则 (-c) n-1?(-c) n+1等于 ( )A. B. -2nc2n 2n C. -c D. c二、填空题13. 当 x__________时， ( x－4) 0＝1.14. 若，则 (ab) 2x＝.15. 若（ 2x＋1）o=(3x－6) o,则 x 的取值范围是16. 已知：，则17.18. 如果 9 m +3m +14m+7× 27 ÷ 3 ＝ 81，则 m 的值为 __________．19.。
20.计算：（）2014×（－）2015×（－ 1）2016=________.21.22. 已知则的值为．三、解答题23.24. 计算： [ a 3（－ a 4）] 3÷（ a 2）3·（ a 3）2．25.计算（ a－ b）m +3·（ b－ a）2·（ a－ b）m·（ b－ a）526. 比，，三数的大小，并用“＞”号接．27. 若2,3，求出的？．10 1029. 算 ( × × ×⋯×× 1) ?(10 × 9× 8× 7×⋯× 3× 2× 1)30.算： (-x) 2?x 3?(-2y) 3+(2xy) 2?(-x) 3?y．28. （ 1）若，，求的值（2）若能被 x+1 整除，求 a 的值31.已知（ x－1）x +2＝ 1，求整数 x．32.已知 2 a＝ 3， 2 b＝6，2 c＝12，那么 a， b， c 是否满足 a+ c＝ 2 b 的关系？请说明理由．33.若 5 2x+1＝125，求（ x－2）2 010+x的值．34.（ 1）已知 a m=2, a n=3,求 a 2m +3n的值 .（ 2）已知m 2n-2nm +316 =4 ×2,27 =9× 3 ,求 m,n.。
最新(清华附中内部专用)圆幂定理(B级)[1].学生版
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1．圆周角定理圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的性质与判定定理性质定理1：圆的内接四边形的对角互补．性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．3．三角形的内切圆（1）三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．（2）多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．（3）直角三角形内切圆的半径与三边的关系知识内容直线与圆的位置关系圆幂定理cb cbaO F ED CBACBAC B A设a 、b 、c 分别为ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边，面积为S ，则内切圆半径为s r p=，其中()12p a b c =++．若90C ∠=︒，则()12r a b c =+-． 4．圆的切线的性质及判定定理性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．5．弦切角的性质定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．6．与圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等． 如图，弦AB 和CD 交于O ⊙内一点P ，则PA PB PC PD ⋅=⋅．割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积 相等．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．如图，在O 中，AB 是O 的切线，AD 是O 的割线，则题意中满足2AB AC AD =⋅A切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．7．基本的题型题型一：圆内接四边形的性质与判定定理证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．题型二：切线角和圆周角1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．题型三：圆的切线的性质及判定定理利用圆的切线的判定定理判定直线与圆的位置关系，经过半径的外端且与此半径垂直的直线是圆的切线，从而可转化为证明线线垂直题型四：与圆有关的比例线段1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．1． 相交弦定理【例1】 如下左图，在O ⊙中，弦AB 与CD 相交于点P ，已知3cm 4cm 2cm PA PB PC ===，，，那么PD = cm ．DA【例2】 如下中图，在O ⊙中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM M C =，若1.54AM B M ==，，则OC的长为( )A ．B ．C ．D ．C例题精讲【例3】 如下右图，在O ⊙中，P 为弦AB 上一点，PO PC ⊥，PC 交O ⊙于C ，那么( )A ．2OP PA PB =⋅ B ．2PC PA PB =⋅ C ．2PA PB PC =⋅D ．2PB PA PC =⋅【例4】 如图，O ⊙的两条弦AB CD ，交于点P ，已知2cm 3cm 1cm PA PB PC ===，，，则PD 的长为________．【例5】如图，圆的半径是A C 、两点在圆上，点B 在圆内，6AB =，2BC =，90ABC ∠=︒求点B 到圆心的距离．【例6】如图，正方形ABCD内接于O⊙，点P在劣弧AB上，连结DP交AC于点Q．若Q P Q O ，的值为___________．则QCQA【例7】 如图，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD ＝2a3，∠OAP ＝30°，则CP ＝______．【例8】 如图，PC 切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，已知⊙O 的半径为3，PA ＝2，则PC ＝________，OE ＝________．2． 切割线定理【例9】 如图，PC 是半圆的切线，且PB OB =，过B 的切线交PC 与D ，若6PC =，则O ⊙半径为 ，:CD DP =__________．OPDCBA【例10】 如图，过点P 作O ⊙的两条割线分别交O ⊙于点A B 、和点C D 、，已知32PA AB PC ===，，则PD 的长是( )A ．3B ．7.5C ．5D ．5.5P【例11】 如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，P 是BA 延长线上的点，连结PC 交O ⊙ 于F，如果713PF FC ==，，且::2:4:1PA AE EB =，那么CD 的长是 ．B【例12】 如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ．若PB ＝1，PD＝3，则BCAD的值为________．【例13】 如图所示，过⊙O 外一点P 作一条直线与⊙O 交于A ，B 两点，已知PA ＝2，点P 到⊙O 的切线长PT ＝4，则弦AB 的长为______．【例14】如图，已知PA、PB是圆O的切线，A、B分别为切点，C为圆O上不与A、B重合的另一点，若∠ACB＝120°，则∠APB＝________．【例15】如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________．【例16】如图，AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC＝2 2 cm，过C的割线CMN交AB的延长线于点D，CM＝MN＝ND，则AD的长等于________cm．【例17】如图，自圆O外一点P引切线与圆切于点A，M为PA的中点，过M引割线交圆于B、C两点．求证：∠MCP＝∠MPB．【例18】如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连结DB、DE、OC．若AD＝2，AE＝1，求CD的长．【例19】如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，并交CD于E，交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC＝ED＝1，PA＝2．（1）求AC的长；（2）求证：EF＝BE．【例20】如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分别与AB，AC 相交于点D，E，求证：（1）AD＝AE；（2）AD2＝DB·EC．【例21】 如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC的外接圆于点F ，连结FB 、FC ． （1）求证：FB ＝FC ； （2）求证：FB 2＝FA ·FD ；（3）若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6 cm ，求AD 的长．【例22】 如图，BC 是半圆O ⊙的直径，EF BC ⊥于点F ，5BFFC=．已知点A 在CE 的延长线上，AB 与半圆交于D ，且82AB AE ==，，则AD 的长为_____________．【例23】 如图，P 为O ⊙外一点，过点P 作O ⊙的两条切线，切点分别为A B 、，过点A 作PB 的平行线交O ⊙于点C ，联结PC 交O ⊙于点E ，联结AE ，并延长AE 交PB 于K ．求证：PE ACCE KB ⋅=⋅．3．圆内接四边形的性质与判定定理【例24】如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．（1）证明：A，P，O，M四点共圆；（2）求∠OAM＋∠APM的大小．【例25】如图，已知圆上的弧A C＝B D，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（1）∠ACE＝∠BCD；（2）BC2＝BE·CD．4．相交圆【例26】如图，⊙O和⊙O都经过A、B两点，AC是1O的切线，交⊙O于点C，AD是⊙O的1切线，交O于点D，若BC= 2，BD=6，则AB的长为1【例27】如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（1）求证：AD∥EC；PC＝2，BD＝9，求AD的长．（2）若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，【习题1】如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BDDA＝________．【习题2】已知弦AB与⊙O半径相等，连接OB并延长使BC＝OB．（1）问AC与⊙O的位置关系是怎样的；（2）试在⊙O上找一点D，使AD＝AC．【习题3】如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S＝12AD·AE，求∠BAC的大小．课后检测【习题4】如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A．若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝______，CE＝______．【习题5】如图，AB为⊙O的弦，CD切⊙O于P，AC⊥CD于C，BD⊥DC于D，PQ⊥AB于Q．求证：PQ2＝AC·BD．【习题6】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）如果AD＝6，AE＝62，求BC的长．【习题7】如图所示，以直角三角形ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，E为BC 边的中点，连接DE．请判断DE是否为⊙O的切线，并证明你的结论．。
圆幂定理练习题
a a a 3aA. —B. —C. —D.——4 3 2 4如图，AD是^ ABC高线，DE丄AB于E, DF丄AC于F,则(1)AD2= BD • CD(2)AD2= AE- AB(3)AD2 =AF- A0(4)AD2= AC2- AC- CF 中正确的有( )2.3.A. 1个B. 2个 C. 3个如图，AB是O O的直径，C, D是半圆的三等分点，则/D. 4个C+/ E+Z D=(4.D. 120°二、填空题在RtAABC中，/ BAC= 90°, AD丄BC于D, AB= 2, DB= 1，贝U DC=5. ,AD =6. 在RtAABC 中，AD 为斜边上的高，&ABC= 4S A ABD，则AB : BC=7.tan22 CD丄AB 于点D,且AD= 3DB，设/ COD=，贝U BC.°A. 135B. 110如图，AB是半圆3.2AB 是O O 的直径，CB 切O O 与B , CD 切O O 与D ,交BA 的延长线于 E.若AB = 3, ED 则BC 的长为 ________________ .(I )求/ AOD 的度数；(n )若 A0= 8 cm , D0= 6 cm ,求 OE 的长.10.如图，在△ ABC 中，/ C = 90°, AD 是/ BAC 的平分线，O 是AB 上一点，以 OA 为半径的O O 经过点D .(1)求证：BC 是O O 切线；⑵若BD = 5, DC = 3，求AC 的长.11.如图，AB 是O O 的直径，CD 是O O 的一条弦，且 CD 丄AB 于E,连结 AC 0C 、BC.(1)求证：/ ACO =/ BCD;⑵若BE = 2, CD = 8，求AB 和AC 的长.&如图,=2,9.如图, 在梯形 ABCD 中，AB// CD,一、选择题:1. A2. C二、填空题5. 3疋6. 1 :.•••O O 内切于梯形ABCD,1••• AO 平分/ BAD ，有/ DAO =—/ BAD,2 1 又 DO 平分/ ADC,有/ ADO = — / ADC.21•••/DAO +/ ADO = _(/ BAD +/ADC)= 90°,A / AOD= 180°- (/ DAO +/ADO) =290(n )•••在 RtA AOD 中，A0= 8cm , D0= 6cm ,•••由勾股定理，得（AO2DO 210cm.• E 为切点，••• OE 丄 AD .有/ AEO = 90°, •/ AEO =/ AOD. 又/ CAD 为公共角，•••△AEO^^ AOD.OE AO AO OD '。
2022年高考复习专项有关圆幂定理型压轴题
2022年高考复习专项有关圆幂定理型压轴题【方法点拨】1.相交弦定理：如下左图，圆O 的两条弦AB 、PC 相交于圆内一点P ，则PA PB PC PD ⋅=⋅.2.切割线定理:如下右图，PT 为圆O 的切线，P AB 、PCD 为割线，则2PT PA PB =⋅（）;3.割线定理：如下右图，P AB 、PCD 为圆O 的割线，则PA PB PC PD ⋅=⋅.说明：上述三个定理可以统一为22PA PB PO R ⋅=-(其中R 是半径)，统称为圆幂定理.【典型题示例】 例1如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点，点P 是圆O ：上的任意一点，过点作直线BT 垂直于AP ，垂足为T ，则2P A +3PT 的最小值是__________．【答案】【分析】从题中已知寻求P A 、PT 间的关系是突破口，也是难点，思路一是从中线长定理入手，二是直接使用圆幂定理. 【解法一】由中线长公式可得，则 ，则(1,0)A -224x y +=(1,0)B 93221862PT PA PA+=+≥=22212()2PO PA PB AB =+-22=10PA PB +222cos 2PA PB AB P PA PB +-=⋅3cos P PA PB=⋅CA ODPBPOACD在中，，即 所以（当且仅当时取等）【解法二】∵BT ⊥ AP ，∴点T 的轨迹是圆，其方程是：x 2+y 2=1，过点P 作该圆的切线PC ，C 为切点，则PC，由切割线定理得：所以（当且仅当时取等）.点评：解法二中，先运用定直线张直角，得到隐圆，然后运用切割线定理得出定值，最后再使用基本不等式予以解决，思路简洁、解法明快.在有关解析几何的题目中，首先考虑相关的几何性质是解决这类问题的首选方向.在△AOM 中，由正弦定理得：OMsinA =√5，而OA ＝OM =2， 所以sinA =√5，所以tan A =2.故直线AB 的斜率为2．Rt PBT ∆cos PT PB P =3PT PA=9232PA PT PA PA+=+≥=2PA =23PC PA PT =⋅=9232PA PT PA PA+=+≥=2PA =例3 在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)M 的直线l 与圆225x y +=交于,A B 两点，其中A 点在第一象限，且2BM MA =，则直线l 的方程为 ． 【答案】y ＝x －1【分析】本题思路有下列几种：①利用向量坐标设点转化，点参法；②设直线方程的在x轴上的截距式，联立方程组；③垂径定理后二次解三角形；④相交弦定理；⑤利用”爪”型结构,得2133OM OA OB =+,两边平方求得AOB ∠的余弦值. 【解法一】：易知直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由BM →＝2MA →，设BM ＝2t ，MA ＝t .如图，过原点O 作OH ⊥l 于点H ，则BH ＝3t2.设OH ＝d ，在Rt △OBH 中，d 2＋⎝⎛⎭⎫3t 22＝r 2＝5. 在Rt △OMH 中，d 2＋⎝⎛⎭⎫t 22＝OM 2＝1，解得d 2＝12， 则d 2＝k 2k 2＋1＝12，解得k ＝1或k ＝－1. 因为点A 在第一象限， BM →＝2MA →，由图知k ＝1， 所以所求的直线l 的方程为y ＝x －1.2BM MA =，设BM ＝2t ，MA ＝t【解法二】由 又过点M 的直径被M 分成两段长为51-、51+由相交弦定理得()()225151t =-+，解之得2t =过原点O 作OH ⊥l 于点H ，在Rt △OBH 中，d 2＋⎝⎛⎭⎫3t 22＝r 2＝5，解得d 2＝12，（下同解法一，略）. 【解法三】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则BM →＝(1－x 2，－y 2)，MA →＝(x 1－1，y 1)．因为BM →＝2MA →，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝2(x 1－1)，－y 2＝2y 1.当直线AB 的斜率不存在时，BM →＝MA →，不符合题意．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2＋y 2＝5，得(1＋k 2)y 2＋2ky －4k 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2k 1＋k 2，y 1·y 2＝－4k21＋k 2，－y 2＝2y 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝2k 1＋k 2，y 2＝－4k1＋k 2，所以y 1·y 2＝－8k 2(1＋k 2)2＝－4k 21＋k2，即k 2＝1.又点A 在第一象限， 所以k ＝1，即直线AB 的方程为y ＝x －1.【解法四】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则BM →＝(1－x 2，－y 2)，MA →＝(x 1－1，y 1)．因为BM →＝2MA →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2＝2(x 1－1)，－y 2＝2y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝2x 1－3，－y 2＝2y 1.又⎩⎪⎨⎪⎧ x 21＋y 21＝5，x 22＋y 22＝5，代入可得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝5，(2x 1－3)2＋4y 21＝5，解得x 1＝2，代入可得y 1＝±1.又点A 在第一象限，故A (2,1)，由点A 和点M 的坐标可得直线AB 的方程为y ＝x －1. 点评：上述各种解法中，以解法一、解法二最简、最优.【巩固训练】1. 在平面直角坐标系xoy 中，M 是直线3x =上的动点，以M 为圆心的圆M ，若圆M 截x 轴所得的弦长恒为4，过点O 作圆M 的一条切线，切点为P ，则点P 到直线2100x y +-=距离的最大值为 .2.在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为 ．3. 在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222x y r +=(0)r >交于A B 、两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+，则r = ．4.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,1P 在圆C ：22222410++-+-+=x y mx y m m 内，若存在过点P 的直线交圆C 于A 、B 两点，且△PBC 的面积是△PAC 的面积的2倍，则实数m 的取值范围为 ．5.在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(2)()3C x y m ++-=．若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，则实数m 的取值范围是 ．6.已知直线3y ax =+与圆22280x y x ++-=相交于,A B 两点，点()00,P x y 在直线2y x =上且PA PB =，则0x 的取值范围为 .222()x m y r -+=【答案与提示】1.【答案】 2.【答案】 【解析一】作CE ⊥AB 于点E ，则 ，由OECD 是矩形，知CE 2＝OD 2，∴，化简得，即cos ∠OCD ＝＝，tan ∠COB ＝tan ∠OCD ＝，∴直线l 1的斜率为．设OD ＝t (又∴直线l 13.244164416OC ⎪⎝⎭即222225159cos 16816r r r AOB r =+∠+，整理化简得3cos 5AOB ∠=-. 5±22222221144CE BC BE BC AB BC OD =-=-=-2222215()44r m r m r -=--=222254r mm r -=-r m =CD OC 3rm=55±2m t =Rt COE ∆过点O 作AB 的垂线交AB 于D ， 则23cos 2cos 15AOB AOD ∠=∠-=-，得21cos 5AOD ∠=.又圆心到直线的距离OD ==222212cos 5OD AOD r r ∠===，r =.【解法二】注意到线性表示时的系数和为2，联想“三点共线”. 由5344OC OA OB =+，即153288OC OA OB =+得A B D 、、三点共线（其中D 是AB 的中点），且:3:5AD BD =，设，5BD x =思路一：垂径定理后二次解三角形，()222224r x r x ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，解之得r =思路二：相交弦定理，()22335224r r x x r x ⎧⋅=⋅⎪⎨⎪=+⎩，解之得r =. 4.【答案】4,49⎡⎫⎪⎢⎣⎭5.【答案】[【提示】易知OA OB ⊥，考察临界状态，只需过原点作圆的切线，切点弦的张角大于等于直角即可. 6.【答案3AD x =。
九年级数学下册37切线长定理圆幂定理二限时训练试题
圆幂定理〔第二课时〕
本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
练习时间是:40分钟，总分100分
1.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过圆心O的割线，PA=10，PB=5，BD=3，∠BAC 的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E，求AD•DE的值．
2，AB=3，求2.如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=7
BD的长．
3.过D作圆的切线切于B点，作割线交圆于A、C两点，假设BD=3，AD=4，AB=2，求BC的长．
4、如图，四边形ABCD是圆内接四边形，BA、CD的延长线交于点P，且AB=AD，BP=2BC 〔Ⅰ〕求证：PD=2AB；
〔Ⅱ〕当BC=2，PC=5时．求AB的长．
5、如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．假设AB=AC，AE=6，BD=5．
〔1〕求证：四边形AEBC为平行四边形．
〔2〕求线段CF的长．
本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
圆幂定理试题及答案
圆幂定理试题及答案一、选择题1. 圆幂定理指的是（）A. 圆上任意两点的距离等于它们到圆心的距离之和B. 圆上任意两点的距离等于它们到圆心的距离之差C. 圆上任意一点到圆心的距离等于该点到圆上其他点的距离之和D. 圆上任意一点到圆心的距离等于该点到圆上其他点的距离之差2. 在圆幂定理中，如果圆上一点P到圆心O的距离为OP，点P到圆上另一点A的距离为PA，则以下哪个表达式是正确的？（）A. OP = PAB. OP + PA = 2RC. OP - PA = RD. OP × PA = R^2二、填空题3. 若圆的半径为5cm，圆上一点到圆心的距离为3cm，则该点到圆上任意一点的距离之和为_________。
4. 已知圆幂定理中的OP = 8cm，PA = 6cm，且点A在圆上，则圆的半径R为_________。
三、解答题5. 如图所示，圆O的半径为10cm，点P在圆上，OP（点P到圆心O的距离）为12cm。
求点P到圆上另一点B的距离PB。
6. 在一个半径为7cm的圆中，有两点A和B，已知OA（点A到圆心O 的距离）为5cm，求AB的长度。
四、证明题7. 证明圆幂定理：在一个给定的圆中，圆上任意一点到圆心的距离与该点到圆上其他点的距离之和等于圆的直径。
答案一、选择题1. 正确答案：D2. 正确答案：B二、填空题3. 该点到圆上任意一点的距离之和为10cm + 10cm = 20cm。
4. 圆的半径R可以通过勾股定理计算得出：R^2 = OP^2 - OA^2，所以R^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28，因此R = √28 ≈ 5.29cm。
三、解答题5. 由于OP > OA，根据圆幂定理，PB = 2R - OP = 2 * 10 - 12 = 20 - 12 = 8cm。
6. 同样使用圆幂定理，AB = 2R - OA - OB，但是OB = OA = 5cm，所以AB = 2 * 7 - 5 - 5 = 14 - 10 = 4cm。
(完整word版)幂的运算测试题
幂的运算测试题及部分答案一、选择题1、下列计算正确的是（ ）A 、x 3+ x 3=x 6B 、x 3÷x 4=x1 C 、(m 5)5=m 10 D 、x 2y 3=(xy)52、81×27可以记为（ ）A 、93B 、36C 、37D 、3123、a 5可以等于（ ）A 、（-a ）2·(-a)3B 、(-a)·(-a)4C 、(-a 2)·a 3D 、(-a 3)·(-a 2)4、若a m =6，a n =10，则a m-n 值为（ ）A 、-4B 、4C 、 53D 、35 5、计算- b 2·（-b 3）2的结果是（ ）A 、-b 8B 、-b 11C 、b 8D 、b 116、下列运算正确的是（ ）A 、x 3+2x 3=3x 6B 、(x 3)3=x 6C 、x 3·x 9=x 27D 、x ÷x 3=x -27、在等式a 2·a 3·( )=a 10中，括号内的代数式应当是（ ）A 、a 4B 、a 5C 、a 6D 、a 78、 (a 2)3÷(-a 2)2=( )A 、- a 2B 、a 2C 、-aD 、a9、若n 是正整数，当a=-1时，-(-a 2n )2n+1等于（ ）A 、1B 、-1C 、0D 、1或-110.计算3112)(n n x x x +-⋅⋅的结果为( ) A.33+n xB.36+n xC.n x 12D.66+n x二、填空题1、（21）-1= ，（-3）-3= ，（π-3）0 ，(-21)100×2101= 。
2、x 2·( )=x 6, x 2·x 3-x 6÷x= (m 2)3÷(m 3)2= 。
3、32÷8n-1=2n ，则n=4、如果x+4y-3=0，那么2x ·16y =5、一个长方体的长、宽、高分别为a 2，a ，a 3，则这个长方体的体积是 。
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C．3个
是半圆的三等分点，则∠
C．145°
．如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D，连结
B．∠BAD＞∠
D．∠BAD＜∠
AD⊥BC于D，AB＝2，DB
为斜边上的高，S△ABC＝4S△ABD，则AB
C在半圆上，CD⊥AB于点
百度文库爱是看得见萨科技的沃尔克我去额咳咳，省得麻烦迫
．
8．如图，AB是⊙O的直径，CB切⊙O与B，CD切⊙O与D，交BA的延长线于E．若AB＝3，ED＝2，则BC的长为______．
9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点，
(Ⅰ)求∠AOD的度数；
(Ⅱ)若AO＝8 cm，DO＝6 cm，求OE的长．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．
(1)求证：BC是⊙O切线；
(2)若BD＝5，DC＝3，求AC的长．
11．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC．
(1)求证：∠ACO＝∠BCD；
(2)若BE＝2，CD＝8，求AB和AC的长．
8cm ，DO ＝6cm ，.
cm 102=DO ．有∠AEO ＝90°，∴∠AEO ＝∠AEO ∽△AOD ．.cm 8.4=AD
OD
平分∠BAC ，
的直径，CD ⊥AB ，∴＝．∴∠．
又∵OA ＝OC A ．∴∠1＝∠2．即：∠ACO ，∠AEC ＝∠CEB ．．∴CE 2＝BE ·CE
AE
=．＝
8022=+CE AE ，为圆周上一5C 的切线，过点作
l A ___________．
CD =的切线，切点为，交圆于A PO O B ，
.
C ∠=
、如图所示，过⊙O外一点A
P．已知AC=4，AB。