23-2不连续点的类型
中考数学 精讲篇 中考压轴题重难点突破七 二次函数与几何综合题 类型四
由勾股定理得 BC2＝22＋32＝13，CG2＝1＋(2－n)2，BG2＝4＋n2，
①若∠BCG＝90°，则 BC2＋CG2＝BG2，
即
13＋1＋(2－n)2＝4＋n2，解得
7 n＝2，此时点
G
的坐标为1，27.
②若∠CBG＝90°，则 CB2＋BG2＝CG2，
即 13＋4＋n2＝1＋(2－n)2，解得 n＝－3，此时点 G 的坐标为(1，－3)． ③若∠CGB＝90°，则 CG2＋BG2＝BC2，
即 1＋(2－n)2＋4＋n2＝13，解得 n＝1＋ 3或 n＝1－ 3， 此时点 G 的坐标为(1，1＋ 3)或(1，1－ 3)．
7 综上所述，点 G 的坐标为1，2或(1，－3)或(1，1＋ 3)或(1，1－ 3)．
【思路点拨】 要使以 B，C，G，H 为顶点的四边形是矩形，只需△BCG 是直角三角形即 可，可分为①∠BCG＝90°；②∠CBG＝90°；③∠CGB＝90°三种情况， 分别利用勾股定理列方程即可求解．
类型四：二次函数与特殊四边形问题
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋2(a≠0)与 x 轴交于 A(－1，0)，B(3，0)两点，与 y 轴交于点 C. (1)求该抛物线的解析式；
解：由题意知抛物线经过 A(－1，0)，B(3，0)，
a－b＋2＝0，
a＝－23，
∴9a＋3b＋2＝0，解得b＝43.
等及勾股定理得：AQ2＝CQ2，
∴12＋q2＝(2－q)2，解得
3 q＝4.
由中点坐标公式得－1＋0＝0＋x，0＋2＝q＋y，
∴x＝－1，y＝54，即 I－1，45.
②若 AC 是菱形的边，由菱形性质得：QI∥AC，QI＝AC. ∵当点 A 向右平移 1 个单位，向上平移 2 个单位得到点 C. ∴点 I(或 Q)向右平移 1 个单位，向上平移 2 个单位得到点 Q(或 I)， 即 x＋1＝0，y＋2＝q 或 0＋1＝x，q＋2＝y， ∴x＝－1 或 x＝1.
2009考研数二真题及解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为 ( )(A) 1.(B) 2. (C) 3.(D) 无穷多个.(2) 当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则 ( )(A) 11,6a b ==-. (B) 11,6a b ==. (C) 11,6a b =-=-. (D) 11,6a b =-=.(3) 设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0 ( )(A) 不是(),f x y 的连续点.(B) 不是(),f x y 的极值点.(C) 是(),f x y 的极大值点. (D) 是(),f x y 的极小值点. (4) 设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰( )(A) ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. (B) ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.(C)()2411,ydy f x y dx -⎰⎰. (D) ()221,ydy f x y dx ⎰⎰.(5) 若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1处的曲率圆为222x y +=，则函数()f x在区间()1,2内 ( ) (A) 有极值点，无零点. (B) 无极值点，有零点.(C) 有极值点，有零点. (D) 无极值点，无零点. (6) 设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为 ( )(A) (B)(C) (D)(7) 设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为 ( ) (A) **32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭. (B) **23O B AO ⎛⎫⎪⎝⎭. (C) **32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.(D) **23OA BO ⎛⎫⎪⎝⎭. (8) 设,A P 均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则TQ AQ 为 ( )(A) 210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B) 110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(D) 100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 曲线21022,ln(2)t u x e du y t t --⎧=⎪⎨⎪=-⎩⎰在点(0,0)处的切线方程为 .(10) 已知1k xe dx +∞-∞=⎰，则k = .(11) 1limsin x n e nxdx -→∞=⎰.(12) 设()y y x =是由方程1yxy e x +=+确定的隐函数，则22x d ydx== .(13) 函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为 .(14) 设,αβ为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵T αβ相似于200000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα_____________.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+(16)(本题满分10 分)计算不定积分ln 1dx ⎛+ ⎝⎰ (0)x >. (17)(本题满分10分)设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有二阶连续偏导数，求dz 与2z x y∂∂∂.(18)(本题满分10分)设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=.当曲线()y y x = 过原点时，其与直线1x =及0y =围成的平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积.(19)(本题满分10分)计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.(20)(本题满分12分)设()y y x =是区间(,)ππ-内过点(的光滑曲线，当0x π-<<时，曲线上任一点处的法线都过原点；当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=.求函数()y x 的表达式.(21)(本题满分11分)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(Ⅱ)证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.(22)(本题满分11分)设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭(Ⅰ)求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关. (23)(本题满分11分)设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-(Ⅰ)求二次型f 的矩阵的所有特征值；(Ⅱ)若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.【答案】C 【解析】()3sin x x f x xπ-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=.【答案】A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C .另外201cos lim3x a axbx →--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D .所以本题选A.（3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.【答案】 D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂ 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂又在（0，0）处，0,0z zx y∂∂==∂∂ 210AC B -=>故（0，0）为函数(,)z f x y =的一个极小值点. （4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,ydy f x y dx ⎰⎰【答案】C 【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤，{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤- 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰，故答案为C.（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.【答案】 B【解析】由题意可知，()f x 是一个凸函数，即''()0f x <，且在点(1,1)处的曲率322|''|2(1('))y y ρ==+，而'(1)1f =-，由此可得，''(1)2f =- 在[1,2] 上，'()'(1)10f x f ≤=-<，即()f x 单调减少，没有极值点. 对于(2)(1)'()1(1,2)f f f ζζ-=<- , ∈ ， （拉格朗日中值定理）(2)0f ∴ <而 (1)10f =>由零点定理知，在[1,2] 上，()f x 有零点. 故应选（B ）. （6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（ ）1 ()f x -2 0 2 3-1O()A .()B .()C .()D .【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减. ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增. ③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为D .（7）设A ，B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A ，B 的伴随矩阵.若23A B ==，，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ） ()A .**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭()B .**23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭()C .**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭()D .**23O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】 B【解析】根据CC C E *=若111,C C C CC C*--*==分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式22012360A AB B ⨯=-=⨯=（）即分块矩阵可逆 1111000066000100B BA A AB B BBAA A**---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭10023613002B B AA ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭（8）设A P ，均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223P Q ααααααα==+（，，），（，，），则TQ AQ 为（ ） ()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【答案】 A【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即：12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002T T TT T Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 . 【答案】2y x =【解析】221222ln(2)22t dy t t t t dt t ==--⋅=--2(1)1(1)1t t dxe dt --==⋅-=- 所以 2dy dx= 所以 切线方程为2y x =.（10）已知+1k xe dx ∞=-∞⎰，则k = .【答案】2-【解析】1122lim bk xkx kxb e dx e dx e k +∞+∞-∞→+∞===⎰⎰因为极限存在所以0k <210k=-2k =-（11）1n lime sin x nxdx -→∞=⎰.【答案】0【解析】令sin sin cos x x xn I e nxdx e nx n e nxdx ---==-+⎰⎰2sin cos x x n e nx ne nx n I --=---所以2cos sin 1xn n nx nx I e C n -+=-++即11020cos sin lim sin lim()1xx n n n nx nx e nxdx e n --→∞→∞+=-+⎰ 122cos sin lim()110n n n n ne n n -→∞+=-+++= （12）设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则22x yx=∂=∂ .【答案】3-【解析】对方程xy 1y e x +=+两边关于x 求导有''1y y xy y e ++=，得'1yyy x e -=+ 对''1y y xy y e ++=再次求导可得''''''22()0y y y xy y e y e +++=，得''2''2()yyy y e y x e +=-+ (*)当0x =时，0y =，'(0)0101y e -==，代入(*)得 ''20''032(0)((0))(0)(21)3(0)y y e y e +=-=-+=-+（13）函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为 . 【答案】2ee-【解析】因为()22ln 2x y x x '=+，令0y '=得驻点为1x e=. 又()22222ln 2xxy x x x x ''=++⋅，得21120e y e e -+⎛⎫''=> ⎪⎝⎭，故1x e=为2xy x =的极小值点，此时2e y e -=，又当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0y x '<；1,1x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0y x '>，故y 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增.而()11y =，()()002022ln limlim 11lim 222ln 00lim lim 1x x x xx x xx xxx x x y x e e ee++→→+→++--+→→======，所以2xy x =在区间(]01，上的最小值为21ey e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭.(14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵T αβ相似于200000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα .【答案】2【解析】因为T αβ相似于200000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T αβ得特征值是2,0,0而T βα是一个常数，是矩阵T αβ的对角元素之和，则T 2002βα=++= 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+.【解析】()[][]244001ln(1tan )1cos ln(1tan )2lim lim sin sin x x x x x x x x x x→→-+--+= 22201ln(1tan )lim 2sin sin x x x x x x→-+=201ln(1tan )1lim 2sin 4x x x x →-+== （16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >. 【解析】t =得22212,1(1)tdtx dx t t -= =--2221ln(1ln(1)1ln(1)11111dx t d t t dt t t t +=+-+=---+⎰⎰⎰而22111112()11411(1)111ln(1)ln(1)2441dt dtt t t t t t t C t =---+-++--++++⎰⎰所以2ln(1)111ln(1ln 1412(1)1ln(1211ln(122t t dx C t t t x C x x C +++=+-+--+=++-+=+++⎰ （17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与2zx y∂∂∂.【解析】123123zf f yf x zf f xf y∂'''=++∂∂'''=-+∂1231232111213212223331323331122331323()()1(1)1(1)[1(1)]()()z z dz dx dy x yf f yf dx f f xf dyzf f f x f f f x f y f f f x x yf f f xyf x y f x y f ∂∂∴=+∂∂''''''=+++-+∂'''''''''''''''''''=⋅+⋅-+⋅+⋅+⋅-+⋅++⋅+⋅-+⋅∂∂'''''''''''=+-++++-（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=，当曲线()y y x = 过原点时，其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积. 【解析】解微分方程20xy y '''-+=得其通解212122,y C x C x C C =++其中，为任意常数 又因为()y y x =通过原点时与直线1x =及0y =围成平面区域的面积为2，于是可得10C =1112232220002()(2)()133C Cy x dx x C x dx x x ==+=+=+⎰⎰从而23C =于是，所求非负函数223(0)y x x x =+ ≥又由223y x x =+ 可得，在第一象限曲线()y f x =表示为11)3x =（ 于是D 围绕y 轴旋转所得旋转体的体积为15V V π=-，其中55221005011)9(2393918V x dy dyy dyππππ==⋅=+-=⎰⎰⎰395117518186V ππππ=-==. （19）（本题满分10分）计算二重积分()Dx y dxdy-⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.【解析】由22(1)(1)2x y -+-≤得2(sin cos )r θθ≤+，32(sin cos )4()(cos sin )04Dx y dxdy d r r rdr πθθθθθπ+∴-=-⎰⎰⎰⎰332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ⎡+⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎰ 2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-⋅+⋅+⎰3384(cos sin )(sin cos )34d πθθθθθπ=-⋅+⎰3344438814(sin cos )(sin cos )(sin cos )3344d πππθθθθθθπ=++=⨯+⎰83=-.（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间-ππ（，）内过点（的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=.求()y x 的表达式. 【解析】由题意，当0x π-<<时，'xy y =-，即ydy xdx =-，得22y x c =-+，又(y =代入22y x c =-+得2c π=，从而有222x y π+=当0x π≤<时，''0y y x ++=得 ''0y y += 的通解为*12cos sin y c x c x =+ 令解为1y Ax b =+，则有00Ax b x +++=，得1,0A b =-=， 故1y x =-，得''0y y x ++=的通解为12cos sin y c x c x x =+- 由于()y y x =是(,)ππ-内的光滑曲线，故y 在0x =处连续于是由1(0),(0)y y c π-=± += ，故1c π=±时，()y y x =在0x =处连续 又当 0x π-<<时，有22'0x y y +⋅=，得'(0)0xy y-=-=， 当0x π≤<时，有12'sin cos 1y c x c x =-+-，得2'(0)1y c +=- 由'(0)'(0)y y -+=得210c -=，即 21c =故 ()y y x =的表达式为0cos sin ,0x y x x x x πππ⎧-<<=⎨-+-≤<⎪⎩或0cos sin ,0x y x x x x πππ-<<=+-≤<⎪⎩，又过点,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以0cos sin ,0x y x x x x πππ-<<=+-≤<⎪⎩.（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----，易验证()x ϕ满足：()()a b ϕϕ=；()x ϕ在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--.根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'()0ϕξ=，即'()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足；在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈⊂，使得()0'00()(0)x f x f f x ξ-=-……()*又由于()'lim x f x A +→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====- 故'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（22）（本题满分11分设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关. 【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =故21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1k 为任意常数解方程231A ξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎪ ⎪=--→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故有两个自由变量，令21x =-，由20A x =得131,0x x ==求特解21200η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭故 321121000k ξ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ，其中2k 为任意常数.（Ⅱ）证明：由于12121212122111121112(21)()2()(21)22221k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠ 故123,,ξξξ 线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值. 【解析】（Ⅰ） 0101111a A aa ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭0110||01()1111111aaaE A aa a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--123,2,1a a a λλλ∴==-=+（Ⅱ） 若规范形为2212y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.则 1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意 综上所述，故2a =.。
新教材高中数学第2章直线和圆的方程2-22-2-2直线的两点式方程课件新人教A版选择性必修一
＋
y －b2
＝1，因此直线在y轴上的
截距是－b2.]
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型1 直线的两点式方程
【例1】 (对接教材P63例题)(1)过点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴 上的截距是( )
A．－32
B．－23
C．25
D．2
(2)△ABC的三个顶点分别为A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求这
2.一条直线的方程不能用两点式表示，同样也不能用截距 式表示，反之，若一条直线的方程不能用截距式表示，是否也不能 用两点式表示？
[提示] 当一条直线过原点且斜率存在时，不能用截距式表 示，但可用两点式表示．
xy 2.直线a2－b2＝1在y轴上的截距是________．
－b2
[直线的斜截式方程为
x a2
(2)[解] ①当直线l过原点时，直线l在两坐标轴上的截距相等且为 0，此时直线l的斜率k＝－34，直线l的方程为y＝－34x，即3x＋4y＝0.
②当直线l在两坐标轴上的截距均不为0且相等时，设直线l的方程
为ax＋ay＝1， 由点(4，－3)在直线l上得a4＋－a3＝1，解得a＝1. 此时直线l的方程为x＋y－1＝0. 综上知，所求直线l的方程为3x＋4y＝0或x＋y－1＝0.
为0
1.不能用直线的两点式方程表示的直线有什么特点？ [提示] 平行于坐标轴或与坐标轴重合．
1.已知直线l过点A(3,1)，B(2,0)，则直线l的方程为____．
x－y－2＝0 [过A(3,1)，B(2,0)两点的直线方程为 0y－－11＝2x－－33，整理得x－y－2＝0.]
知识点 2 直线的截距式方程 (1)直线在 x 轴上的截距 把直线 l 与 x 轴的交点(a,0)的 横坐标a 叫做直线在 x 轴上的截距．
3.3.2探索与表达规律(第二课时)课件2024-2025学年北师大版数学七年级上册
当输入 x 的值是1时，根据程序框图(如图)，第一次计算
A.2024
B.-2024
C.2025
D.-2025
2.观察按一定规律排列的单项式：-a，2a2，-3a3，4a4，-5a5， 6a6，…，则第100个单项式是( B )
A. -99a99
B.100a100
C.-100a100
D.99a99
当堂检测
3.请学生们拿出一张长方形的纸对折，可以得到一条折痕， 继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续折 6次后，可以得到几条折痕？如果对折10次呢？对折n次呢？
解：假设心里想的数为a， 则由题意得[（4a+8）×5+7]×5=100a+235. 所以只要将计算的结果减去235，再除以100， 就是心里所想的数了.
5. 一个三位数能否被3整除，只要看这个数的各数位 上的数字之和能否被3整除。你能说明其中的道理吗?
用100a+10b+c表示这个三位数， 100a+10b+c=99a+9b+a+b+c=9 (11a+b)+(a+b+c) 只要 a+b+c 能被 3 整除，这个三位数就能 被3整除。
请你任意想一个数,将这个数减去1后乘以2, 再减去3,然后加上5。
用x表示心里想的数
根据流程，得到结果 2(x-1)-3+5=2x
2.3-2间断点及其分类闭区间上连续函数的性质
1三、函数的间断点及其分类如果f (x )在x 0 处不连续, 则称点x 0 为函数f (x )的间断点(或不连续点) . Next f (x ) 在x 0处连续的三要素：)(x f (1)在某邻域内有定义；)(0x N )(lim x f xx 0→(2)存在;(3)00lim ()().xxf x f x →=有一条不满足，x 0为f (x )间断点.xy 1sin=f (x )在x =0 附近无限震荡3间断点分类第一类间断点0()f x −及0()f x +均存在00()(),f x f x −+=00()(),f x f x −+≠第二类间断点0()f x −及0()f x +中至少一个不存在若其中有一个为振荡,若其中有一个为,∞称0x 为可去间断点;称0x 为跳跃间断点.称0x 为无穷间断点;称0x 为振荡间断点;⎧⎨⎩⎧⎨⎩……Previous Next4() , () , f x x x F x A x x ≠⎧=⎨=⎩所以，F (x ) 在x 0处连续.此时有lim ()lim ()x x x x F x f x →→=0()A F x ==Previous Next注如果是函数f (x )的可去间断点，构造0x13四、闭区间上连续函数的性质定义函数f (x ) 定义在区间I 上，有称f (x 0) 是函数f (x ) 在区间I 上的最大(小)值.定理(最值定理) 设 f (x ) 在[a , b ]上连续,即12,[,],a b ξξ∃∈都有1()min (),a x b f f x ξ≤≤=2()max ().a x bf f x ξ≤≤=则 f (x ) 在[a , b ] 上必能取到最大(小)值,12()()()f f x f ξξ≤≤Previous Next 00()()(()())f x f x f x f x ≤≥x I∀∈0,x I ∈若[,],x a b ∈对于一切即15定理(有界性定理)则f (x )在[ a , b ] 上有界.Previous Next 定理(介值定理)若f (x ) 在[ a , b ] 上连续, 至少存在一个使 [ , ]a b ξ∈().f ξμ=若f (x ) 在[ a ,b ]上连续,对任意x ∈[ a , b ] 有m ≤f (x ) ≤M .即,,m M ∃最大值M 和最小值m 之间的任何一个值.则它一定能取到即[,],m M μ∀∈18例证明：方程在( 1 , 2 )中有实根.3310x x −+=证设3()31,f x x x =−+则f (x ) 在[ 1, 2]上连续.又f (1) = -1 , f (2) = 3,根据零点定理, (1, 2),ξ∃∈使()0.f ξ=故方程在( 1 , 2 )中有实根.3310x x −+=Previous Next 即3310ξξ−+=19例如果f (x )在[ a , b ]上连续, 且f (a ) < a , f (b ) > b ,证明：在( a , b )内至少存在一点ξ, 使ξξ=)(f 证,)()(x x f x F −=令0,<由零点定理,使),,(b a ∈∃ξ()()0F f ξξξ=−=b b f b F −=)()(,0>.)(ξξ=f 即Previous Next 则F (x ) 在[ a , b ]上连续.()()F a f a a =−而(构造函数)20例如果f (x )在[ 0, 1 ]上连续, 且f (1) > 1,证明：在( 0, 1 )内至少存在一点ξ, 使2()f ξξ−=证2()()1,F x x f x =−令(0)1F 而=−,0<由零点定理,(0,1),ξ使∃∈2()()10,F f ξξξ=−=(1)(1)1F f =−,0>2().f ξξ即−=则F (x )在[ 0, 1 ]上连续,Previous (变形，构造函数)。
数学分析 第二章23-2不连续点的类型
x x0
x x0
则有 lim[ f ( x)]g( x) AB x x0
lim [
f ( x)]g( x)
lim e e g( x)ln f ( x)
lim g( x)ln f ( x)
x x0
x x0
x x0
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在求 lim[ f ( x)]g( x)时，若 lim f ( x)＝1, lim g( x)＝
定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法.
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幂指函数
形如 [ f ( x)]g( x)的函数( f ( x), g( x)是初等函数),
其中 f ( x) 0且f ( x) 1，称之为幂指函数.
对幂指函数有如下结论：
若 lim f ( x) A 0, lim g( x) B( A 1, B为常数),
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(见下图)
14
第y 一 类 间 断 点o
y
第 二 类 间 断o 点
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跳跃型
x0
x
第y
三
类
间
断
点
o x0
y
可去型 x
x0
x
无穷型
o
x
振荡型
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⒋ 连续函数的和差积商的连续性.
⒌ 反函数的连续性. ⒍ 复合函数的连续性. 两个定理; 两点意义. ⒎初等函数的连续性.
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1
1.第一类间断点
跳跃间断点 如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都
存在,但f ( x0 ) f ( x0 ), 则称点x0为函数f ( x) 的跳跃间断点.
22-23-2学期 品牌管理学习通章节答案期末考试题库2023年
22-23-2学期品牌管理学习通超星课后章节答案期末考试题库2023年1.品牌延伸的影响因素包括( )答案:品牌的强势度###延伸产品与核心品牌的相关度###品牌定位度与适应度###外部市场机会2.( )以来,品牌联合在管理实践中得到了越来越广泛的应用。
答案:20世纪80年代3.资本合作的载体和表现形式是( )。
答案:品牌联合4.( )指运用品牌及其包含的资本进行发展,推广的活动。
答案:品牌扩张5.复合品牌指对( )产品赋予两个或两个以上品牌。
答案:同一种6.品牌联合的类型包括( )。
答案:认知型品牌联合###价值认可型品牌联合###元素组成型品牌联合###能力互补型品牌联合7.品牌管理包括哪些活动()答案:品牌定位###品牌设计###品牌传播###品牌延伸8.品牌具有哪些功能()答案:识别功能###担保功能###沟通功能###价值功能9.品牌管理的组织形式包括()答案:业主负责制###职能管理制###品牌管理制###品牌管理委员会10.品牌的核心价值包括()答案:功能型核心价值###情感型核心价值###社会型核心价值11.以下属于制造商品牌的是():答案:可口可乐###柯达###海尔###华为12.对品牌管理的理解有误的是( )答案:品牌管理不需要以企业战略为引导13.品牌中可以用语言称呼、表达的部分是()。
答案:品牌名称14.将品牌划分为地方品牌、国内品牌、国际品牌是根据()不同来划分的。
答案:辐射区域15.以下对品牌与产品的描述错误的是( )。
答案:有了好产品一定可以有好品牌16.品牌有利于保护( )的合法权益。
答案:品牌所有者17.品牌成功定位的三要素是什么?请结合具体品牌，阐述该品牌定位的过程及策略答案:品牌成功定位的三要素是(1)目标消费者(2)竞争对手(3)品牌的共同点和差异点18.品牌定位是实施品牌识别最重要的环节。
答案:对19.如果说品牌形象是消费者认知的过程,定位就是公司将品牌提供给消费者的过程。
2407 注册电气工程师考试试卷-供配电23_2_2
注册电气工程师考试试卷-供配电23_2_2多项选择题1．对于低温-20℃以下环境，应按低温条件和绝缘类型要求，选用( )电缆、耐寒橡皮绝缘电缆。
A．油浸纸绝缘类绝缘B．聚氯乙烯绝缘C．聚乙烯绝缘D．交联聚乙烯绝缘2．( )的构成方式，均应满足按等效工程条件下标准试验的耐火极限不低于2h。
A．阻火墙B．阻火隔层C．封堵D．接头3．选择导体时的最大风速，可采用( )。
A．离地10m高B．30年一遇C．10min平均最大风速D．爆发力弱4．下列规定正确的是( )。
A．同一层支架上电缆排列配置控制和信号电缆可紧靠或多层叠置B．同一层支架上电缆排列配置除交流系统用单芯电力电缆的同一回路可采取品字形(三叶形)配置外，对重要的同一回路多根电力电缆，不宜叠置C．同一层支架上电缆排列配置电力电缆可紧靠或多层叠置D．同一层支架上电缆排列配置除交流系统用单芯电力电缆外，电力电缆相互间宜有35mm空隙5．1kV及其以下电源中性点直接接地时，单相回路中芯数选择应符合规定，下列说法正确的是( )。
A．保护线与受电设备外露可导电部位连接接地且保护线与中性线合用同一导体时，应采用两芯电缆B．保护线与受电设备外露可导电部位连接接地且保护线与中性线各自独立时，宜采用两芯电缆C．受电设备外露可导电部位的接地与电源系统接地各自独立的情况，应采用两芯电缆D．保护线与受电设备外露可导电部位连接接地且保护线与中性线合用同一导体时，宜采用两芯电缆6．电缆构筑物应满足防止外部进水、渗水的要求，下列叙述正确的是( )。
A．对电缆沟或隧道底部低于地下水位、电缆沟与工业水沟并行邻近、隧道与工业水管交叉的情况，宜加强电缆构筑物防水处理B．电缆沟与工业水管、沟交叉时，应使电缆沟位于工业水管沟的上方C．厂区户外电缆沟的沟壁在不影响厂区排水情况下宜稍高出地坪D．隧道底部宜设泄水沟7．下列各项叙述正确的是( )。
A．当环境温度为100℃以上时，应选用耐热聚氯乙烯B．当环境温度在-30℃以下时，应按低温条件和绝缘类型要求，选用油浸纸绝缘类或交联聚乙烯、聚乙烯绝缘、耐寒橡皮绝缘电缆C．控制电缆额定电压，不应低于该回路的工作电压，满足可能经受的暂态和工频过电压作用要求，一般宜选用450／750vD．60℃以上高温场所，应按经受高温及其持续时间和绝缘类型要求，选用耐热聚氯乙烯、普通交联聚乙烯、辐照式交联聚乙烯或乙丙橡皮绝缘等适合的耐热型电缆8．( )问路存在彼此之间不宜合用同一根控制电缆的情况。
既不离散也不连续的随机变量
目录中文摘要 (1)英文摘要 (1)一、引言 (2)二、随机变量及其分布 (2)（一）随机变量及其分布 (2)1．随机变量的概念 (2)2．分布函数的定义 (2)3．分布函数的性质 (3)（二）离散型随机变量 (3)1．离散型随机变量及其分布的定义 (3)2．分布列的基本性质 (3)3．用分布函数判别离散型随机变量的一种方法 (6)（三）非离散型随机变量 (6)1．连续型随机变量及密度函数的定义 (7)2．密度函数的性质 (7)3．连续型随机变量分布函数的特征 (8)4。
非离散非连续的随机变量 (8)三、既不离散也不连续的随机变量及其判别 (9)（一）随机变量的判别 (9)（二）既不离散也不连续的随机变量的判别 (9)（三）考研中常见的非离散非连续的随机变量示例 (11)四、结束语 (13)参考文献 (13)既不离散也不连续的随机变量惠敏摘要：通过对随机变量进行分类，借助离散型、连续型随机变量的分布函数、性质、数字特征及其必要条件的讨论，给出了判别既不离散也不连续的随机变量的方法，即用离散型和连续型随机变量分布函数必要条件的逆否命题加以判别，文中给出了大量例证，并给出了近几年考研中遇到的此类题目，使初学者对随机变量的分类有更为深刻的理解。
关键词：离散型随机变量；连续型随机变量；既不离散也不连续的随机变量；分布函数Neither Discrete Nor Continuous Random VariablePeng Hui-minAbstract: Through the study of the classification of random variables and the discussion of the distribution function, the nature, the digital characteristics, as well as the necessary conditions of both discrete and continuous random variable, this paper demonstrates the means of discriminating the neither discrete nor continuous random variable, that is, by virtue of the converse-negative proposition of the necessary conditions of the two variables’ distribution function. A large number of examples and examination questions of this kind appeared in the recent few years of postgraduate entrance exams are given so as to render an in-depth understanding of the classification of the random variables to the beginners.Key words: discrete random variable; continuous random variable; neither discrete nor continuous random variable; distribution function一、引言除了离散型随机变量和连续型随机变量之外，还有既不离散也不连续的随机变量，有的教科书上称“由于这种情况比较复杂，一般不对这种情况加以讨论”，所以很多教科书上根本不提及既不离散也不连续的随机变量，以至于初学者认为只有离散型和连续型两类随机变量，造成很大的误解。
数二高数课后题(考研)
2012届钻石卡学员考研数学学习计划（基础阶段）数学二——高等数学第一单元学习计划——函数、极限、连续本计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习-—1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则,会利用其求极限;两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念,左、右连续的概念,判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质。
第一单元调整学习计划第二单元学习计划——一元函数微分学本计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习——1.导数和微分的概念、关系,导数的几何意义、物理意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程，函数的可导性与连续性之间的关系；2.导数和微分的四则运算法则,复合函数的求导法则,基本初等函数的导数公式，一阶微分形式的不变性；3.高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数；4.会求以下函数的导数:分段函数、隐函数、由参数方程所确定的函数、反函数；5.罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange)中值定理、泰勒（Taylor）定理、柯西（Cauchy）中值定理，会用这四个定理证明；6.会用洛必达法则求未定式的极限;7.函数极值的概念,用导数判断函数的单调性,用导数求函数的极值，会求函数的最大值和最小值;8.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求函数的水平、铅直和斜渐近线；9.曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．第二单元学习计划调整任务第三单元学习计划——不定积分本计划对应教材:高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习——1.原函数、不定积分的概念；2.不定积分的基本公式，不定积分的性质，不定积分的换元积分法与分部积分法；第三单元学习计划调整任务第四单元学习计划——定积分及其应用本计划对应教材:高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习—-1.定积分的概念和性质，定积分中值定理；2.定积分的换元积分法与分部积分法;3.积分上限的函数的概念和它的导数,牛顿—莱布尼茨公式；4.反常积分的概念与计算;5.用定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力，函数的平均值．第五单元学习计划——常微分方程本计划对应教材：高等数学上册 同济大学数学系编 高等教育出版社 第六版 在第一单元中我们应当学习——1. 微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念;2. 变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法；3. 齐次微分方程的解法；4. 可降阶微分方程：()(),(,)(,)n yf x y f x y y f y y ''''''===和的解法；5. 线性微分方程解的性质及解的结构；6. 二阶常系数齐次线性微分方程的解法；7. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.第五单元学习计划调整任务第六单元——向量代数和空间解析几何(考研数学二不要求）第七单元学习计划——多元函数微分学本计划对应教材:高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习—-1.二元函数的概念与几何意义；2.二元函数的极限与连续的概念，有界闭区域上连续函数的性质；3.多元函数偏导数和全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，全微分形式的不变性，会求全微分；4.多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法；5.隐函数存在定理，计算多元隐函数的偏导数;6.多元函数极值和条件极值的概念,二元函数极值存在的必要条件、充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值.第七单元学习计划调整任务第八单元学习计划——重积分本计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习——1.二重积分的概念和性质，二重积分的中值定理；2.会利用直角坐标、极坐标计算二重积分.第八单元学习计划调整任务第九单元——曲线积分与曲面积分（考研数学二不要求）第十单元——无穷级数（考研数学二不要求）。
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2016/9/4 14
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
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y
跳跃型
o y
x0
x
第 三 类 间 断 点
y
y
可去型
o
x 0Biblioteka x0 N 1,2, , lim f ( x) N ( N 1), lim f ( x) N 2 ,
x N 0 x N 0
x0 N 1,2, , 都是第一类不连续点 .
2016/9/4 4
在第一类不连续点处函 数图像会出现一个跳跃，
所以第一类不连续点又 称为跳跃点，而 f (0 ) f (0 )
f (0 ) lim sgn x 1，
x 0
f (0 ) lim sgn x 1，
x 0
f (0 ) f (0 )
故x 0为sgn x的第一类间断点.
2016/9/4 3
例3 考察函数的间断点
f ( x) x[ x]
证: [ x]的间断点为 x0 0,1,2, 但 lim x[ x] 0 f (0), x0 0是连续点,
2016/9/4
11
如例7中, 令 f (1) 2,
2 x , 0 x 1, 则 f ( x) x 1, 1 x , 在x 1处连续.
y
2 1
o
1
x
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12
判断下列间断点类型:
y
y f x
x1
2016/9/4
o
x2
x3
x
13
小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
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20
1, x 0 2 f ( x ) 0, x0 g( x ) 1 x 1, x0 2 f [ g ( x )] sgn(1 x ) 1
f [ g( x )]在( , ) 上处处连续
思考题解答
2, g[ f ( x )] 1 sgn x 1,
称为函数f ( x )在x0的跃度 .
2016/9/4
5
2. 第二类间断点
如果 f ( x )在点 x0处的左、右极限至少有 一个不存 在, 则称点 x0为函数 f ( x )的第二类间断点.
1 , x 0, 例4 讨论函数 f ( x ) x 在x 0处的连续性. x , x 0, y
sin x 1 cos x 1 1 lim 2 x 0 x x (1 sin x ) cos x 2
原式 e .
2016/9/4 19
1 2
思考题
设 f ( x ) sgn x ， g ( x ) 1 x ，试研
2
究复合函数 f [ g ( x )]与 g[ f ( x )]的连续性.
x X x X
g( x )
1 f ( x )1[
则有 lim [ f ( x )]
x X
lim [1 f ( x ) 1]
f ( x )1] g ( x )
lim {[1 f ( x ) 1]
x X
1 f ( x )1
}[ f ( x )1] g ( x )
x , 当x是有理数时, f ( x) x , 当x是无理数时,
仅在x=0处连续, 其余各点处处间断.
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8
★
1, 当x是有理数时, f ( x) 1, 当x是无理数时,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续.
2016/9/4
9
3.第三类不连续点：
y
解
f ( 0 0 ) 0,
f (0 0) 1,
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点 .
2016/9/4
o
x
2
例2
讨论f ( x ) sgn x在x 0处的连续性 .
解：
x0 1 ， sgn x 0 ， x0 1 ， x0
其中 f ( x ) 0且f ( x ) 1， 称之为幂指函数.
对幂指函数有如下结论：
若 lim f ( x ) A 0, lim g( x ) B( A 1, B为常数),
x x0 x x0
则有 lim [ f ( x )]
x x0 x x0
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2
x0 x0
g[ f ( x )]在( ,0) ( 0, ) 上处处连续
x 0 是它的可去间断点
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2016/9/4 1
1.第一类间断点
跳跃间断点 如果 f ( x )在点 x0处左, 右极限都
存在, 但f ( x0 ) f ( x0 ), 则称点 x0为函数f ( x ) 的跳跃间断点.
x, 例1 讨论函数 f ( x ) 1 x , x 0, 在x 0处的连续性. x 0,
g( x )
A
B
lim g ( x ) ln f ( x )
lim [ f ( x )]
g( x )
lim e
x x0
g ( x ) ln f ( x )
e x x0
17
在求 lim [ f ( x )]
x X
x x0
g( x )
时，若 lim f ( x )＝1, lim g( x )＝
四、不连续点的类型
函数 f ( x )在点 x0处连续必须满足的三个条件 :
(1) f ( x )在点x0处有定义;
( 2) lim f ( x )存在;
x x0
( 3) lim f ( x ) f ( x 0 ).
x x0
如果上述三个条件中只 要有一个不满足, 则称 函数 f ( x )在点 x0处不连续(或间断), 并称点 x0为 f ( x )的不连续点 (或间断点).
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例
1 tan x x 3 求 lim( ) . x 0 1 sin x
1 1
1
1 tan x tan x sin x x 3 x3 原式 lim[1 ( 1)] lim[1 ] x 0 x 0 1 sin x 1 sin x
tan x sin x 1 sin x(1 cos x ) 1 lim 3 lim 3 x 0 x 0 (1 sin x ) cos x x 1 sin x x
y sin 1 x
x 0为第二类间断点 .
这种情况称为的振荡间 断点.
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点. 1 如: y sin x 2016/9/4
7
例6
★
狄利克雷函数
1, 当x是有理数时, y D( x ) 0, 当x是无理数时,
在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间 断点. ★
解 f (0 0) 0,
f (0 0) ,
o x
x 1为函数的第二类间断点 .
这种情况称为无穷间 断点.
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6
1 例5 讨论函数 f ( x ) sin 在 x 0处的连续性. x 解 在x 0处没有定义,
1 且 lim sin 不存在. x0 x
如果 f ( x )在点 x0处的极限存在 , 可去间断点 但 lim f ( x ) A f ( x0 ), 或 f ( x )在点 x0处无定
x x0
义则称点 x0为函数 f ( x )的可去间断点.
例7
讨论函数 2 x , 0 x 1, f ( x ) 1, x 1 x 1, 1 x , 在x 1处的连续性 .
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
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无穷型
⒋ 连续函数的和差积商的连续性. ⒌ 反函数的连续性. ⒍ 复合函数的连续性. 两个定理; 两点意义. ⒎初等函数的连续性. 定义区间与定义域的区别;
求极限的又一种方法.
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幂指函数
g( x ) [ f ( x )] 形如 的函数( f ( x ), g( x )是初等函数),
y
2 1
y 1 x
y2 x
1
o
x
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解
f (1) 1, f (1 0) 2,
x 1
f (1 0) 2,
lim f ( x ) 2 f (1),
x 1为函数的可去间断点.
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.