线性代数6.2-维数、基与坐标
例如 n维线性空间
Vn x11 x22 xnn x1, x2, , xn R
与n维数组向量空间 Rn同构.
因为
(1)Vn中的元素与Rn中的元素( x1, x2 , , xn )T
形成一一对应关系；
V n x11 x2 2 xn n
f 4( x) 4 f 1( x) f 2( x).
1 2 1 2 k1 0
因此
2
4 1
3 9 1
0 6 5
5 7 5
k k k
2 3 4
0 0 0
.
设该齐次线性方程组的系数矩阵为A,则
1 0 3 4
~ A
初等行变换
因此 E11 , E12 , E 21 , E 22为V的一组基.
而矩阵A在这组基下的坐标是 (a11, a12, a 21, a 22)T .
例3 在线性空间R[ x]n中,取一组基
1 1, 2 ( x a), 3 ( x a)2 , , n ( x a)n1
(a1,a2, ,an)T 和(b1,b2, ,bn)T ,则
(a1 b1) 1 (a2 b2) 2 (an bn) n
k k a1 1 k a2 2 k an n
于是 与k的坐标分别为
(a1b1,a2b2, ,anbn)T
可表示为 p a0 p1 a1 p2 a2 p3 a3 p4 a4 p5
因此 p 在这个基下的坐标为 (a0, a1, a2, a3, a4)T
若取另一基q1 1, q2 1 x, q3 2 x2 , q4 x3 ,
q5
x4,则 p (a0
a1 )q1
四、小结
１．线性空间的基与维数；
２．线性空间的元素在给定基下的坐标；
坐标：（１）把抽象的向量与具体的数组向 量联系起来；
（２）把抽象的线性运算与数组向量 的线性运算联系起来．
３．线性空间的同构．
思考题
求由Px3中元素
f1( x) x3 2x2 4x 1, f2( x) 2x3 3x2 9x 1, f3( x) x3 6x 5, f4(x) 2x3 5x2 7x 5 生成的子空间的基与维数.
f
''(a
) ,
,
f
(
n
1)( a
)
T
)
.
2!
(n1)!
新泰洛其 新泰洛其价格 新泰洛其批发
三、线性空间的同构
设 1 , 2 , , n 是n维线性空间V n的一组基,在
这组基下,V n中的每个向量都有唯一确定的坐标. 而向量的坐标可以看作Rn中的元素,因此向量与它 的坐标之间的对应就是V n到 Rn的一个映射.
有序数组x1, x2 , , xn称为元素在1,2 , ,n这个
基下的坐标,并记作 x1, x2 , , xn T .
例1 在线性空间P[ x]4中, p1 1, p2 x, p3 x2 , p4 x3 , p5 x4 就是它的一个基.
任一不超过4次的多项式 p a4 x4 a3 x3 a2 x2 a1 x a0
,
线性nຫໍສະໝຸດ 无关;( 2)
V中任一元素总可由1,2 ,
,
线
n
性
表示,
那末, 1,2 , ,n 就称为线性空间V 的一个
基, n 称为线性空间V 的维数.
维数为n的线性空间称为n 维线性空间,记作Vn . 当一个线性空间 V 中存在任意多个线性无关
的向量时，就称 V 是无限维的．
若1 ,2 , ,n为Vn的一个基,则Vn可表示为
a1 q2
1 2 a2 q3
a3 q4
a4 q5
因此 p 在这个基下的坐标为
注意
(a
0
a1,
a1,
1 2a
2,
a
3,
a
T
4)
线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的
坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是
唯一的．
例２ 所有二阶实矩阵组成的集合V，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性
Vn x11 x22 xnn x1, x2 , , xn R
二、元素在给定基下的坐标
定义２ 设1,2 , ,n是线性空间Vn的一个基,对 于任一元素 Vn ,总有且仅有一组有序
数x1, x2 , , xn , 使
x11 x2 2 xn n ,
由于 Rn中的每个元素都有V n中的向量与之对 应,同时V n中不同的向量的坐标不同,因而对应Rn 中的不同元素.我们称这样的映射是V n与 Rn的一个 1 1对应的映射.这个对应的重要性表现在它与运 算的关系上.
设
a1 1 a2 2 an n
b1 1 b2 2 bn n 即向量 , V在基 1 , 2 , , n下的坐标分别为
则由泰勒公式知 f ( x) f (a) f '(a)(x a) f ''(a) ( x a)2 2!
f (n1)(a) ( x a)n1 (n 1)!
因此 f ( x)在基 1 , 2 , 3 , , n 下的坐标是
(
f (a),
f '(a),
(a1,a2, ,an)T (b1,b2, ,bn)T (ka1,ka2, ,kan)T k (a1,a2, ,an)T
上式表明: 在向量用坐标表示后,它们的运算 就归结为坐标的运算,因而线性空间 V n的讨论就 归结为Rn的讨论.
下面更确切地说明这一点.
定义 设U、V是两个线性空间，如果它们的元素 之间有一一对应关系 ，且这个对应关系保持线性 组合的对应，那末就称线性空间U 与 V 同构.
Rn
x ( x1 , x2 , , xn )T
(2)设
( x1, x2 , , xn )T
则有
( y1, y2 , , yn )T ( x1, x2 , , xn )T ( y1, y2 , , yn )T
( x1, x2 , , xn )T
思考题解答
解令
k1 f 1(x) k2 f 2(x) k3 f 3(x) k4 f 4(x) 0 则得
(k1 2 k 2 k 3 2 k 4) x3 (2 k1 3 k 2 5 k 4) x2
(4 k1 9 k 2 6 k 3 7 k 4)x (k1 k 2 5 k 3 5 k 4) 0.
0 0
1 0
2 0
1 0
0 0 0 0
因此, f 1( x), f 2 ( x)线性无关,是 f 1( x), f 2 ( x), f 3 ( x),
f 4 ( x)所生成的子空间的基,该子空间的维数为2,且
有
f 3 ( x) 3 f 1( x) 2 f 2 ( x),
空间．对于V中的矩阵
E
11
1 0
0 0
,
E
12
0 0
1 , 0
0 0
0 0
E
21
1
0
,
E
22
0
1
有
k1 E11 k 2 E12 k 3 E 21 k 4 E 22 k1 k 2 , k3 k4
因此
0 0
一、线性空间的基与维数
已知：在 Rn中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n 1个向量都是线性相关的．
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间V 中，最多能有多少线性无关的向量？
定义１ 满足：
在线性空间 V 中，如果存在 n个元素
1,2, ,n
(1)
1,2 ,
k1
E 11
k
2
E 12
k
3
E
21
k4
E
22
O
0
, 0
k1 k 2 k 3 k 3 0,
即 E11 , E12 , E 21 , E 22线性无关. 对于任意二阶实矩阵
A a11 a12 V , a21 a22
有 A a11 E11 a12 E12 a21 E 21 a22 E 22
结论
１．数域 P上任意两个n 维线性空间都同
构２．．同构的线性空间之间具有反身性、对称性
与传递性．
３．同维数的线性空间必同构．
同构的意义
在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间 的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所 关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可 以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．
合集下载
《维数基与坐标》课件
描述运动轨迹
维数基可以用来描述物体在空间中的 运动轨迹，通过在各个维度上定义坐 标值的变化，可以描述物体运动的方 向和距离。
坐标系在维数基中的应用
表达空间关系
通过坐标系，我们可以表达空间中物体之间的关系，例如距离、角度、方向等。
进行数学运算
在坐标系中，我们可以进行各种数学运算，例如加法、减法、乘法、除法等，以 解决各种实际问题。
标的应用和发展。
创新研究方法
03
鼓励数学家探索新的研究方法，以解决现有问题并开拓新的研
究领域。
感谢观看
THANKS
维数基与坐标
目 录
• 维数基的基本概念 • 坐标系的基本概念 • 维数基与坐标的关系 • 维数基与坐标的实例分析 • 维数基与坐标的未来发展
01
维数基的基本概念
定义与性质
维数基定义
维数基是线性空间中的一组基底，它由有限个线性无关的向 量组成，可以用来表示线性空间中的任意向量。
维数基的性质
维数基中的向量是线性无关的，即它们不能被其他向量线性 表示；维数基中的向量是正交的，即它们的点积为零；维数 基中的向量是单位向量，即它们的模长为1。
01
更高维度的探索
随着数学理论的发展，对高维空 间的研究将更加深入，有望揭示 更多关于宇宙的奥秘。
几何化代数
02
03
拓扑结构的研究
通过几何方法研究代数结构，将 有助于更好地理解复杂数学对象 。
利用坐标方法研究几何对象的拓 扑性质，将有助于解决一些经典 问题。
维数基与坐标在其他领域的应用前景
物理学
在量子力学和广义相对论等领域，维数基与坐标 有望提供更精确的数学工具。
参数方程
1 2
定义
维数基可以用来描述物体在空间中的 运动轨迹，通过在各个维度上定义坐 标值的变化，可以描述物体运动的方 向和距离。
坐标系在维数基中的应用
表达空间关系
通过坐标系，我们可以表达空间中物体之间的关系，例如距离、角度、方向等。
进行数学运算
在坐标系中，我们可以进行各种数学运算，例如加法、减法、乘法、除法等，以 解决各种实际问题。
标的应用和发展。
创新研究方法
03
鼓励数学家探索新的研究方法，以解决现有问题并开拓新的研
究领域。
感谢观看
THANKS
维数基与坐标
目 录
• 维数基的基本概念 • 坐标系的基本概念 • 维数基与坐标的关系 • 维数基与坐标的实例分析 • 维数基与坐标的未来发展
01
维数基的基本概念
定义与性质
维数基定义
维数基是线性空间中的一组基底，它由有限个线性无关的向 量组成，可以用来表示线性空间中的任意向量。
维数基的性质
维数基中的向量是线性无关的，即它们不能被其他向量线性 表示；维数基中的向量是正交的，即它们的点积为零；维数 基中的向量是单位向量，即它们的模长为1。
01
更高维度的探索
随着数学理论的发展，对高维空 间的研究将更加深入，有望揭示 更多关于宇宙的奥秘。
几何化代数
02
03
拓扑结构的研究
通过几何方法研究代数结构，将 有助于更好地理解复杂数学对象 。
利用坐标方法研究几何对象的拓 扑性质，将有助于解决一些经典 问题。
维数基与坐标在其他领域的应用前景
物理学
在量子力学和广义相对论等领域，维数基与坐标 有望提供更精确的数学工具。
参数方程
1 2
定义
线性代数第六章第一节——线性空间的定义与性质
0 c
解 (1)不构成子空间. 因为对
1
A B
0
2
有 A B
0
0 0
W1
0 0
0 0
W1 ,
0 0
线性代数
即 W1对矩阵加法不封闭，不构成子空间.
0 0 0
W2 , 即W2非 空.
( 2) 因
0 0 0
对任意
a1 b1 0
定义１ 设 V是一个非空集合，R为实数域．如果
对于任意两个元素 , V，总有唯一的一个元
素 V 与之对应，称为 与 的和，记作
若对于任一数 R 与任一元素 V ，总有唯
一的一个元素 V 与之对应，称为 与 的积，记作
( 3) 在V中存在零元素0, 对任何 V , 都有有零元素
0 ;
(4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使 有负元素
0;
(5) 1 ;
(6) ; 对数乘运算的结合律和分配律
(7) ;
数 乘 : k (a , b) (lg a , bk ), k R
V是不是向量空间
? 为 什 么?
线性代数
解
V不是向量空间
.
显 然,V对 加 法 封 闭,因 为 两 个 正 实 数 的 和 与
积
还 是 正 实 数.
但V对乘法不封闭
.
比如V中的元素(1, b), 对任意实数k ,
k (1, b) (lg 1, bk ) (0, bk ) V .
1 ; 0 0.
4．如果 0 ，则 0 或 0 .
解 (1)不构成子空间. 因为对
1
A B
0
2
有 A B
0
0 0
W1
0 0
0 0
W1 ,
0 0
线性代数
即 W1对矩阵加法不封闭，不构成子空间.
0 0 0
W2 , 即W2非 空.
( 2) 因
0 0 0
对任意
a1 b1 0
定义１ 设 V是一个非空集合，R为实数域．如果
对于任意两个元素 , V，总有唯一的一个元
素 V 与之对应，称为 与 的和，记作
若对于任一数 R 与任一元素 V ，总有唯
一的一个元素 V 与之对应，称为 与 的积，记作
( 3) 在V中存在零元素0, 对任何 V , 都有有零元素
0 ;
(4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使 有负元素
0;
(5) 1 ;
(6) ; 对数乘运算的结合律和分配律
(7) ;
数 乘 : k (a , b) (lg a , bk ), k R
V是不是向量空间
? 为 什 么?
线性代数
解
V不是向量空间
.
显 然,V对 加 法 封 闭,因 为 两 个 正 实 数 的 和 与
积
还 是 正 实 数.
但V对乘法不封闭
.
比如V中的元素(1, b), 对任意实数k ,
k (1, b) (lg 1, bk ) (0, bk ) V .
1 ; 0 0.
4．如果 0 ，则 0 或 0 .
维数基与坐标
在线性代数中，维数基和坐标是紧密相关的概念，用来描述向量空间中的向量。
维数基是一个向量空间中的一组线性无关的向量，它可以作为该向量空间的基础。
一个向量空间可以有多组不同的维数基。
维数基的选择不唯一，但是它们具有一些重要的性质，最重要的一点是，使用维数基可以表示该向量空间中的任何向量。
换句话说，我们可以用维数基上的线性组合来描述向量空间中的每个向量。
坐标是描述一个向量在给定维数基下的表示。
当我们选择一个维数基作为参考，我们可以将向量空间中的任意向量表示为这组基向量的线性组合。
而坐标就是指这些线性组合中各个基向量的系数。
举例来说，假设我们有一个三维向量空间，并选择维数基为{v1, v2, v3}，那么任意一个向量v可以表示为 v = a1*v1 + a2*v2 + a3*v3，其中a1、a2、a3分别是v在维数基{v1, v2, v3}下的坐标。
维数基和坐标两者的关系是紧密相连的，通过选择不同的维数基，可以得出不同的坐标表示。
而坐标的选择也是由维数基的选择决定的。
通常我们使用标准基作为维数基，如在三维空间中使用{i, j, k}作为标准基，此时坐标表示就变为(vx, vy, vz)。
但是在不同的情景中可能会选择其他的维数基，而相应的坐标表示也会不同。
在实际应用中，维数基和坐标有着广泛的应用，如线性变换、向量运算、数据分析等。
对于线性代数的深入理解，理解维数基和坐标的概念是非常重要的。
维数基与坐标
维数基与坐标1. 引言在数学中，维数基和坐标是描述向量空间中向量的重要概念。
维数基是向量空间的一组基础向量，用于表示空间中的任意向量。
坐标则是基于维数基的一种表示方法，通过一组数字来描述向量在各个维度上的大小。
本文将详细介绍维数基和坐标的概念、属性和应用，并通过示例和图表进行解释和说明。
2. 维数基2.1 定义维数基是向量空间的一组基础向量，它们可以线性组合得到空间中的任意向量。
一个向量空间的维数基通常由线性无关的向量组成，并且可以表示空间的维数。
2.2 特性•维数基是线性无关的，即其中任意一个向量不能由其他向量线性表示。
•维数基可以通过线性组合生成空间中的任意向量。
•维数基的数量等于向量空间的维数。
2.3 示例考虑二维平面上的向量空间，我们可以选择两个线性无关的向量作为维数基，比如：v1 = [1, 0]v2 = [0, 1]这两个向量分别表示平面上的 x 轴和 y 轴，它们可以通过线性组合得到平面上的任意向量。
3. 坐标3.1 定义坐标是一种用数字表示向量在各个维度上大小的方法。
坐标是基于维数基的，通过将向量在维数基上的投影来确定各个维度上的大小。
3.2 坐标系坐标系是描述向量空间的一种方式，它由维数基和原点组成。
常见的坐标系有笛卡尔坐标系、极坐标系等。
在笛卡尔坐标系中，维数基通常是正交的单位向量，原点是空间的起点。
以二维平面为例，笛卡尔坐标系的维数基为：e1 = [1, 0]e2 = [0, 1]3.3 坐标表示假设有一个向量 v，它可以由维数基 e1 和 e2 线性组合得到：v = a * e1 + b * e2其中 a 和 b 是向量在 e1 和 e2 上的投影，也就是向量的坐标。
3.4 示例考虑二维平面上的向量 v，它在维数基 e1 和 e2 上的投影分别是 a 和 b。
那么v 的坐标表示为 (a, b)。
4. 应用4.1 线性代数维数基和坐标是线性代数中的重要概念，它们用于描述向量空间和向量的性质和关系。
维数、基与坐标
(k) k ()
对任意αV,kK成立.从而
(0) (0) 0 () 0
() ((1)) (1) () () (k11 k22 krr ) (k11) (k22 ) (krr )
k1 (1) k2 (2 ) kr (r )
(2) 若有不全为零的k1,k2,…,kr使
则有
(k11 k2 2 kr r ) 0
由于σ是单射，又只有零元素0才映射到0，
故
k11 k2 2 kr r 0 即若 (1), (2 ),, (r ) 线性相关也必有 α1,α2,…,αr线性相关；
(3) 由于维数就是线性空间中线性无
关元素的最大个数，设V与W同构，则若V 中最大的线性无关元素组为α1,α2,…,αm,那么 σ(α1), σ(α2),…,σ(αr)也是W中线性无关的，且 任何多于m个的元素组必线性相关.这样，W 的维数必等于V的维数；
设 ε1,ε2,…,εn与η1,η2, …,ηn是n维线性空 间V中的两组基.由基的定义，它们必可以 互相线性表出.设 η1,η2, …,ηn由ε1,ε2,…,εn线 性表出的关系式为
1 a111 a12 2 a1n n , 2a211a222 a2n n , n an11 an2 2 ann n .
(1, 2 ,3 , 4 ) (1, x, x 2 , x3 ) A
其中
(1, 2 , 3 , 4 ) (1, x, x 2 , x3 )B
1 1 1 1
A
2 0 2
1 2 0
0 2 0
3 03
1 1 1 1
B
0 0 0
1 0 0
2 1 0
3 13
于是
(1, 2 , 3 , 4 ) (1, 2 ,3 , 4 )A1B
对任意αV,kK成立.从而
(0) (0) 0 () 0
() ((1)) (1) () () (k11 k22 krr ) (k11) (k22 ) (krr )
k1 (1) k2 (2 ) kr (r )
(2) 若有不全为零的k1,k2,…,kr使
则有
(k11 k2 2 kr r ) 0
由于σ是单射，又只有零元素0才映射到0，
故
k11 k2 2 kr r 0 即若 (1), (2 ),, (r ) 线性相关也必有 α1,α2,…,αr线性相关；
(3) 由于维数就是线性空间中线性无
关元素的最大个数，设V与W同构，则若V 中最大的线性无关元素组为α1,α2,…,αm,那么 σ(α1), σ(α2),…,σ(αr)也是W中线性无关的，且 任何多于m个的元素组必线性相关.这样，W 的维数必等于V的维数；
设 ε1,ε2,…,εn与η1,η2, …,ηn是n维线性空 间V中的两组基.由基的定义，它们必可以 互相线性表出.设 η1,η2, …,ηn由ε1,ε2,…,εn线 性表出的关系式为
1 a111 a12 2 a1n n , 2a211a222 a2n n , n an11 an2 2 ann n .
(1, 2 ,3 , 4 ) (1, x, x 2 , x3 ) A
其中
(1, 2 , 3 , 4 ) (1, x, x 2 , x3 )B
1 1 1 1
A
2 0 2
1 2 0
0 2 0
3 03
1 1 1 1
B
0 0 0
1 0 0
2 1 0
3 13
于是
(1, 2 , 3 , 4 ) (1, 2 ,3 , 4 )A1B
02 第二节 维数、基与坐标
. 显然，是的倍数. 向量组与向量组等价，并且线性无关，进而是的 一组基，所以.
例6 (E04) 证明维线性空间 与维数组向量空间同构.
证 (1) 中的元素与中的元素形成一一对应关系;
(2) 则有
结论 1. 数域上任意两个维线性空间都同构. 2. 同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性. 3. 同维数的线性空间必同构.
例4(E02) 所有二阶实矩阵组成的集合对于矩阵的加法和数量乘法, 构成实数域R上的一个线性空间. 试证
,,, 是中的一组基, 并求其中矩阵A在该基下的坐标.
证 先证其线性无关, 由有
即线性无关. 又对于任意二阶实矩阵 有 因此为的一组基. 而矩阵在这组基下的坐标是
例5 (E03) 求子空间的维数，其中 解 易知是由下列向量的全体线性组合所构成的集合：
第二节 基、维数与坐标
分布图示
★ 引言
★ 线性空间的基与维数
★ 生成子空间
★ 例1
★ 坐标
★ 例2
★ 例3 ★ 例4
★ 线性空间的同构
★ 例6
★ 内容小结
★ 课堂练习
★ 习题6-2
★ 例5 ★ 例7
内容要点
一、线性空间的基与维数 我们已知在中，线性无关的向量组最多由个向量组成，而任意个向
量都是线行相关的。现在我们要问：在线性空间中，最多能有多少个线 性无关的向量？
元素有序数组 定义2 设是线性空间的一个基,对于任一元素, 有且仅有一组有序数 使，则称有序数组为元素在基下的坐标, 并记作.
二、线性空间的同构 设是维线性空间的一组基，在这组基下，中的每个向量都有唯一确
定的坐标，而向量的坐标可以看作中的元素，因此向量与它的坐标之间 的对应就是到的一个映射。对于中不同的向量它们的坐标也不同，即对 应于中的不同元素。反过来，由于中的每个元素都有中的向量与之对 应，我们称这样的映射是与的一个一一对应的映射。这个映射的一个重 要特征表现在它保持线性运算（加法和数乘）的关系不变。
例6 (E04) 证明维线性空间 与维数组向量空间同构.
证 (1) 中的元素与中的元素形成一一对应关系;
(2) 则有
结论 1. 数域上任意两个维线性空间都同构. 2. 同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性. 3. 同维数的线性空间必同构.
例4(E02) 所有二阶实矩阵组成的集合对于矩阵的加法和数量乘法, 构成实数域R上的一个线性空间. 试证
,,, 是中的一组基, 并求其中矩阵A在该基下的坐标.
证 先证其线性无关, 由有
即线性无关. 又对于任意二阶实矩阵 有 因此为的一组基. 而矩阵在这组基下的坐标是
例5 (E03) 求子空间的维数，其中 解 易知是由下列向量的全体线性组合所构成的集合：
第二节 基、维数与坐标
分布图示
★ 引言
★ 线性空间的基与维数
★ 生成子空间
★ 例1
★ 坐标
★ 例2
★ 例3 ★ 例4
★ 线性空间的同构
★ 例6
★ 内容小结
★ 课堂练习
★ 习题6-2
★ 例5 ★ 例7
内容要点
一、线性空间的基与维数 我们已知在中，线性无关的向量组最多由个向量组成，而任意个向
量都是线行相关的。现在我们要问：在线性空间中，最多能有多少个线 性无关的向量？
元素有序数组 定义2 设是线性空间的一个基,对于任一元素, 有且仅有一组有序数 使，则称有序数组为元素在基下的坐标, 并记作.
二、线性空间的同构 设是维线性空间的一组基，在这组基下，中的每个向量都有唯一确
定的坐标，而向量的坐标可以看作中的元素，因此向量与它的坐标之间 的对应就是到的一个映射。对于中不同的向量它们的坐标也不同，即对 应于中的不同元素。反过来，由于中的每个元素都有中的向量与之对 应，我们称这样的映射是与的一个一一对应的映射。这个映射的一个重 要特征表现在它保持线性运算（加法和数乘）的关系不变。
高等代数 第6章线性空间 6.2 基底、坐标与维数
任一不超过4次的多项式 p a 4 x 4 a 3 x 3 a 2 x 2 a1 x a 0 可表示为 p a 0 p1 a 1 p 2 a 2 p 3 a 3 p 4 a 4 p 5
因此 p 在这个基下的坐标为 ( a 0 , a 1, a 2 , a 3 , a 4 )
T
若取另一基q1 1, q 2 1 x , q 3 2 x 2 , q 4 x 3 , q5 x4 , 则 1 p (a 0 a 1 )q1 a 1 q 2 a 2 q 3 a 3 q 4 a 4 q 5 2 因此 p 在这个基下的坐标为
1 ( a 0 a 1, a 1, a 2 , a 3 , a 4 ) 2 注意 线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的．
T
例２ 所有二阶实矩阵组成的集合 V ，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性 空间．对于 V 中的矩阵
有
1 E 11 0 0 E 21 1
0 0 1 , E 12 , 0 0 0 0 0 0 , E 22 0 0 1
而矩阵A在这组基下的坐标是 (a 11, a 12, a 21, a 22) .
T
例3 在线性空间R, 2 ( x a ), 3 ( x a ) , , n ( x a )
则由泰勒公式知
2
n 1
f ' ' (a ) 2 f ( x ) f (a ) f ' (a )( x a ) ( x a) 2! ( n 1) (a ) f n 1 ( x a) ( n 1)! 因此 f ( x )在基 1 , 2 , 3 , , n 下的坐标是
线性代数_第六章
a x1a1 + x2a2 + … + xnan
成立, 则称这组有序数x1, x2, …, xn 为元素a 在 基a1, a2, …, an下的坐标,记作(x1, x2, …, xn )T , 称
为坐标向量.
例4 求四维线性空间R2╳2中矩阵a在基{E11,
E12, E21, E22}下的坐标。
试求P[x]2中向量在这两个基下的坐标变换公式。
§6.3 欧氏空间
线性空间中，只定义了加法与数乘两种 运算；
在线性空间中引入度量的概念后，成为 欧几里德空间；
6.3.1 内积的概念与性质
定义1 设V是实数域R上的线性空间,若在V上定义了一个二元
实函数(a, b),它满足以下条件: 1)对称性 (a, b) (b, a) 2)齐次性 (ka, b) k(a, b) 3)可加性 (ab,g)(a, b)(a, g) 4)非负性 (a, a)≥0, 当且仅当a0时(a, a)0 其中, a,b,g为V中任意元素,则称此二元实函数(a, b)为元素a与 b的内积;定义了内积的线性空间称为内积空间.
例7 齐次线性方程组
AX=0 的全部解向量构成线性空间Rn的一个子 空间,称为(1)的解空间.
例8 设C[a,b]是闭区间[a,b]上所有连续实函 数组成的线性空间，P[x][a,b]是 [a,b]上所有的 实系数多项式集合；
则C[a,b]中的定义加法与数乘， P[x][a,b]构成 C[a,b]的一个子空间.
R, R2, Rn 都是有限维线性空间; P[x]是无限维线性空间;
例1 求齐次线性方程组的解空间N(A)的维数.
x1 x1
2x2 3x2
3x3 x4 10x3 5x4
0
成立, 则称这组有序数x1, x2, …, xn 为元素a 在 基a1, a2, …, an下的坐标,记作(x1, x2, …, xn )T , 称
为坐标向量.
例4 求四维线性空间R2╳2中矩阵a在基{E11,
E12, E21, E22}下的坐标。
试求P[x]2中向量在这两个基下的坐标变换公式。
§6.3 欧氏空间
线性空间中，只定义了加法与数乘两种 运算；
在线性空间中引入度量的概念后，成为 欧几里德空间；
6.3.1 内积的概念与性质
定义1 设V是实数域R上的线性空间,若在V上定义了一个二元
实函数(a, b),它满足以下条件: 1)对称性 (a, b) (b, a) 2)齐次性 (ka, b) k(a, b) 3)可加性 (ab,g)(a, b)(a, g) 4)非负性 (a, a)≥0, 当且仅当a0时(a, a)0 其中, a,b,g为V中任意元素,则称此二元实函数(a, b)为元素a与 b的内积;定义了内积的线性空间称为内积空间.
例7 齐次线性方程组
AX=0 的全部解向量构成线性空间Rn的一个子 空间,称为(1)的解空间.
例8 设C[a,b]是闭区间[a,b]上所有连续实函 数组成的线性空间，P[x][a,b]是 [a,b]上所有的 实系数多项式集合；
则C[a,b]中的定义加法与数乘， P[x][a,b]构成 C[a,b]的一个子空间.
R, R2, Rn 都是有限维线性空间; P[x]是无限维线性空间;
例1 求齐次线性方程组的解空间N(A)的维数.
x1 x1
2x2 3x2
3x3 x4 10x3 5x4
0
维数-基-坐标ppt课件
则称向量 可由向量组 1,2 , ,r 线性表出.
3/36
若向量组 1, 2 , , s 中每一向量皆可由向量组
1,2 , ,r线性表出， 则称向量组 1, 2 , , s
可由向量组 1,2 , ,r 线性表出.
若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组 为等价的．
（3）1,2 , ,r V ，若存在不全为零的数 k1, k2 , , kr P，使得 k11 k22 krr 0 则称向量组 1,2 , ,r 线性相关.
就是 Pn 的一组基．称为Pn的标准基.
12/36
注意：
① n维线性空间 V的基不是唯一的，V中任意 n个 线性无关的向量都是V的一组基．
② 任意两组基向量是等价的．
例4（1）证明：线性空间P[x]n是n 维的，且 1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基．
（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1 也为P[x]n的一组基．
0
0
②
k1 2k2 k3 0
其系数行列式
11 1
1 2 ( 1)( 2 1)( 2 ) 0 1 2
23/36
∴方程组②只有零解： k1 k2 k3 0 故 E, A, A2 线性无关. 又由①知，任意f(A)均可表成 E, A, A2 的线性组合， 所以V为三维线性空间， E, A, A2 就是V 的一组基.
怎样才能便于运算？
2/36
一、线性空间中向量之间的线性关系
1、有关定义
设V 是数域 P 上的一个线性空间
（1）1,2 , ,r V (r 1), k1, k2 , , kr P, 和式
k11 k22 krr
称为向量组1,2 , ,r 的一个线性组合．
3/36
若向量组 1, 2 , , s 中每一向量皆可由向量组
1,2 , ,r线性表出， 则称向量组 1, 2 , , s
可由向量组 1,2 , ,r 线性表出.
若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组 为等价的．
（3）1,2 , ,r V ，若存在不全为零的数 k1, k2 , , kr P，使得 k11 k22 krr 0 则称向量组 1,2 , ,r 线性相关.
就是 Pn 的一组基．称为Pn的标准基.
12/36
注意：
① n维线性空间 V的基不是唯一的，V中任意 n个 线性无关的向量都是V的一组基．
② 任意两组基向量是等价的．
例4（1）证明：线性空间P[x]n是n 维的，且 1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基．
（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1 也为P[x]n的一组基．
0
0
②
k1 2k2 k3 0
其系数行列式
11 1
1 2 ( 1)( 2 1)( 2 ) 0 1 2
23/36
∴方程组②只有零解： k1 k2 k3 0 故 E, A, A2 线性无关. 又由①知，任意f(A)均可表成 E, A, A2 的线性组合， 所以V为三维线性空间， E, A, A2 就是V 的一组基.
怎样才能便于运算？
2/36
一、线性空间中向量之间的线性关系
1、有关定义
设V 是数域 P 上的一个线性空间
（1）1,2 , ,r V (r 1), k1, k2 , , kr P, 和式
k11 k22 krr
称为向量组1,2 , ,r 的一个线性组合．
线性代数基和维数
对于矩阵A，A的列之间的线性关系可以表 成Ax=0，其中x为相应的组合系数构成的列 向量.（如果A的某列在某个关系式中不出现， 则相应的系数为零.）
A经初等行变换化为B后，B的列一般与A的 列完全不同，但Ax=0和Bx=0两个方程组同 解，这意味着，A的列与B的相应列之间有 完全相同的线性关系. 因而有以下结果：
一向量 必可表为 1,2,..., p 的线性组合.
如果 能用两种方式表成1,2,..., p 的线性 组合，即
k11 k22 ... k p p , l11 l22 ... lp p.
两式相减，有
0 (k1 l1)1 (k2 l2 )2 ... (k p lp ) p.
(2) 如果 H 0, 则必有S的某个子集是H的基.
证明：(1)不妨设 p 是1, , p1 的线性组合：
p c11 c p1 p1.
H中的任意向量 可以表为
k11 k p1 p1 k p p ,
代入上式，容易验证 是1, , p1的线性组合.
可以看出，线性相关的生成集包含了冗余信息，
即如果 S 1,2, ,p是子空间H的线性相关生成
集，则至少有一个向量可以写成其余p-1个向量的 线性组合，从而可以从S中去除，得到一个较小的 生成集.
另一方面，如果B 1, 2, , r是H的线性无关生成
集，则B中任一向量都不能由其余r-1个向量线性表 出，因此从B中去除一个向量后得到的B的子集一 定不是H的生成集（去除的向量不能由剩余向量线 性表出）.
解： 设 在基 1, 2 , 3下的坐标为 x1, x2, x3 T，则
x1
1
2