Fourier变换,Gabor变换,Wigner分布,小波变换实例分析
Fourier变换-Gabor变换-Wigner分布-小波变换实例分析doc资料
F o u r i e r变换-G a b o r 变换-W i g n e r分布-小波变换实例分析1、分别用短时Fourier ，Gabor 变换分析下列信号，要求提供程序，图形结果并对它们的结果进行对比分析。
采样频率FS=1920HZ ，采样长度N=512.()(10.2sin(215))cos(2300.5sin(215))sin(2120)x t t t t t ππππ=+++ Matlab 程序如下：fs=1920;%采样频率N=512; %采样长度t=0:1/fs:(N-1)/fs; %时间序列x1=(1+0.2*sin(2*pi*15*t)).*(cos(2*pi*30*t)+0.5*sin(2*pi*15*t))+sin(2*pi*120*t);%信号 figure(1)plot(t,x1);%画想（t ）的图像y1=fft(x1,N); %对信号进行快速Fourier 变换 mag1=abs(y1);%求变换后的幅值 k=0:N-1; f1=k*fs/N; figure(2) grid onstem(f1,mag1);%绘制N 点DFI 的幅频特性图 xlabel('f1'); ylabel('幅值’);axis([0,256,0,2*max(abs(y1))]);%x,y 的范围 grid on figure(3)h=window(321,'hamming'); sig=x1;tfrstft(sig',1:512,512,h);%短时Fourier 变换 xlabel('时间(秒)'); ylabel('频率(Hz)'); figure(4) q=16;h=window(211,'gauss'); h=h/norm(h);tfrgabor(x1',128,q,h);%Gabor 变换 xlabel('时间(秒)'); ylabel('频率(Hz)');1.1信号的图形图1-1 信号时域波形图1.2信号N点的ＤＦＩ幅频特性图图1-2 信号的幅频特性图对信号进行分析，信号共有５个频率分别是０HZ,15HZ,30HZ,45HZ,120HZ，用火柴棍状表示出来。
FOUrier变换和小波变换一般形式一线调频小波变换和多普勒小波变换
1引言传统的Fourier分析适合于平稳信号处理，使用的是一种全局的变换。
它无法表达信号的时频局域性质，而这种性质恰好是非平稳信号本质特征。
为了分析和处理非平稳信号，人们基于时频分析提出短时Fourier变换和小波变换。
短时Fourier变换是一种加窗Fourier变换，使用固定大小的时频网格，时频网格在时频平面上的变化只限于时间平移和频率平移，因此只适用于分析具有固定不变带宽的非平稳信号。
小波变换的时频分析网格的变化除了时间平移外，还有时间和频率轴比例尺度的改变，使用长宽大小不一的长方形时频分析网格，因而只适用于分析具有固定比例带宽（恒Q）的非平稳信号。
然而，在实际应用中遇到的常常只是具有近似等宽或近似等Q的分析带宽的信号。
这类信号的分析需要使用形状比矩形更复杂的时频网格。
除了上面所述的时间平移、频率平移和时频拉伸外，还应考虑矩形网格的斜方向的拉伸与旋转变化。
线调频小波变换使用的时频分析网格除了时移、频移、尺度变化以外，最主要的是包含了时频网格在时频平面上的放置以及在倾斜方向上的尺度变化（拉伸）。
由于使用各种长方形和各种平行四边形的时频网格，所以线调频小波变换可以分析具有非固定不变带宽和非固定比例带宽（非恒Q）的非平稳信号。
线调频小波基包含了Fourier变换基函数、短时Fourier变换基函数及小波变换基函数，因而三种变换都是线调频小波变换特例。
在信号的线性变换中，基函数的选取至关重要。
为了有效地刻画信号的特征，将基函数取成与待分析信号的性态相类似的信号。
然而，无论Fourier变换、短时Fourier变换、小波变换还是线调频小波变换，均适合于处理频率成分随时间作线性变化的信号，而当信号的频率成分随时间作非线性变化时上述的变换就不适应。
多普勒小波变换采用经伸缩、时移和频移的加窗多普勒信号作为基函数，以逼近信号中的非线性时变结构成分。
由于多普勒小波函数涵盖了Fourier变换的基函、短时Fourier变换基函数、小波变换基函数和线调频小波变换的基函数，因而多普勒小波变换包含了前面所论及的四种变换，能Fourier变换和小波变换一般形式—线调频小波变换和多普勒小波变换胡国胜1，2陈一天2任震11（华南理工大学电力学院，广州510640）2（广东省科技干部学院，广州510640）E-mail：hugs-2000@摘要Fourier变换、窗口Fourier变换与小波变换在许多领域得到广泛的应用。
短时傅立叶变换_Gabor变换和Wigner-Ville分布实验
1 | X N (e j ) |2 N
图 2 语音信号功率谱分析
3、短时 Fourier 变换
这里加的窗为 Hamming 窗，窗宽度为 L 85 。
图 3 短时傅里叶变换
4、Gabor 变换
这里的高斯窗，宽度取为 N 160
图 4 Gabor 变换
5、Wigner-Ville 分布
这里采用整段时序信号中最前面 800 个点的信号进行分析。 从结果可以看出， Wigner-Ville 分布得到了信号分析时较高的频率分辨率。
a、Gabor 变换，N=80
b、Gabor 变换，N=320
图 6 分辨率理解示意图
一个高斯函数有两个原因：一是高斯函数的 Fourier 变换仍为高斯函数，这使得 Fourier 逆变换也是用窗函数局部化，同时体现了频域的局部化；二是 Gabor 变 换是最优的窗口 Fourier 变换。
2.3 Wigner-Ville 分布
对信号 s(t ) ，其 Wigner Ville 分布定义为：
% 通道1,取2s数据
f = Fs*(0:halfLength)/Nfft; figure; plot(f,Pyy(1:halfLength+1)); xlabel('Frequency(Hz)'); ylabel('Power Spectrum'); title('Power Spectrum Analysis'); % <二、短时傅里叶变换;利用时频分析包进行分析> L = 85; hHamming = hamming(L); T = 1:Nfft; N = 256; % time instant(s) and number of frequency bins
小波变换详解
基于小波变换的人脸识别近年来，小波变换在科技界备受重视，不仅形成了一个新的数学分支，而且被广泛地应用于模式识别、信号处理、语音识别与合成、图像处理、计算机视觉等工程技术领域。
小波变换具有良好的时频域局部化特性，且其可通过对高频成分采取逐步精细的时域取样步长，从而达到聚焦对象任意细节的目的，这一特性被称为小波变换的“变聚焦”特性，小波变换也因此被人们冠以“数学显微镜”的美誉。
具体到人脸识别方面，小波变换能够将人脸图像分解成具有不同分辨率、频率特征以及不同方向特性的一系列子带信号，从而更好地实现不同分辨率的人脸图像特征提取。
4.1 小波变换的研究背景法国数学家傅立叶于1807年提出了著名的傅立叶变换，第一次引入“频率”的概念。
傅立叶变换用信号的频谱特性来研究和表示信号的时频特性，通过将复杂的时间信号转换到频率域中，使很多在时域中模糊不清的问题，在频域中一目了然。
在早期的信号处理领域，傅立叶变换具有重要的影响和地位。
定义信号(t)f 为在(-∞，+∞)内绝对可积的一个连续函数，则(t)f 的傅立叶变换定义如下：()()dt e t f F t j ωω-⎰∞-∞+= (4-1) 傅立叶变换的逆变换为：()()ωωπωd e F t f t j ⎰+∞∞-=21 (4-2)从上面两个式子可以看出，式（4-1）通过无限的时间量来实现对单个频率的频谱计算，该式表明()F ω这一频域过程的任一频率的值都是由整个时间域上的量所决定的。
可见，式（4-1）和（4-2）只是同一能量信号的两种不同表现形式。
尽管傅立叶变换可以关联信号的时频特征，从而分别从时域和频域对信号进行分析，但却无法将两者有效地结合起来，因此傅立叶变换在信号的局部化分析方面存在严重不足。
但在许多实际应用中，如地震信号分析、核医学图像信号分析等，研究者们往往需要了解某个局部时段上出现了哪个频率，或是某个频率出现在哪个时段上，即信号的时频局部化特征，傅立叶变换对于此类分析无能为力。
小波分析
2、 求傅立叶系数是全时间域上的加权平均 局部 求傅立叶系数是全时间域上的加权平均，局部 突变信息被平均掉了， 突变信息被平均掉了，局部突变信息的作用很难反 映出来。差别很大的信号，如方波、三角波、正弦 映出来 波，都可以得到相同的频率，所以，处理、捕捉突 变信号如故障信号，灵敏度很差。处理、捕捉突变 处理、 处理 信号应使用能反映局部信息的变换。 信号应使用能反映局部信息的变换 下图 a 所示为一白噪声信号中夹杂一个脉冲信 号。二者分别为典型的稳态信号和暂态信号。该信 号的频谱如图 b 所示，很难在频谱中看出脉冲信号 的存在，
通过与短时傅立叶变换的“时间—频率窗”的相 似分析，可得到小波变换的“时频窗”的笛卡儿积是
[
ω ∗ 1 ) ω ∗ 1 ) − ∆ψ , + ∆ψ b + at ∗ − a∆ψ , b + at ∗ + a∆ψ × a a a a
]
（17）
小波变换的“时频窗”的宽度，检测高频信号时 检测高频信号时 j j 变窄，检测低频信号时变宽，这正是时频分析所希望 变窄，检测低频信号时变宽 的。为了能使高频与低频的时间局部化能同时满足， 2j 首先选择最窄的时间窗，检测到最高频率信息，并将 t 其分离。然后，适当放宽时间窗，再检测剩余信息中
小波分析
沈娅男、楚利芳 2011.10
一、Fourier 变换 Fourier
1807年，由法国数学物理学家傅立（JeanBaptistle Joseph Fourier ,1786-1830),提出任意一个周期为T (=2π)的函数，都可以用三角级数表示：
f (t ) =
k = −∞
∑C e
k
∞
ikt
∞ ∞ a0 = + ∑ a k cos kt + ∑ bk sin kt 2 k =1 k =1
第二章 窗口Fourier 变换与连续小波变换2
证明： （课后练习） 提示：利用傅立叶变换的乘积定理，将上式部化而言，WFT 在Fourier分析的基础上取得了 本质的进步．用WFT 分析信号可在时-频窗这个局部范围内观 察，时-频窗面积反映了时-频局部化的精细程度．是否可以选 择某个窗函数，能使时-频窗面积充分小呢？ Heissenberg测不准原理表明，任何窗函数所相应的时-频 窗面积都有A≧2 。这就是说，就时-频窗面积而言，Gauss窗 函数已经是最好的结果了． 时-频局部化的精细程度还反映在时-频窗形状上． 低频信号的特点是，大的时间范围内幅值变化慢，其频率 范围窄，于是分析低频信号的时-频窗特点应是时窗宽且频窗窄； 高频信号的特点是，较短的时间范围内幅值变化快，其频 率范围宽，于是分析高频信号的时-频窗特点应是时窗窄且频窗 宽． WFT 在窗函数确定后，其时频窗口宽度是不变的，无法自 动适应信号频率的变化，小波变换可以解决这个问题。
§2 . 1 窗口Fourier 变换 窗口Fourier 变换也叫Gabor 变换，是Gabor在1946 年提出 的，可用来分析某些非平衡信号在某局部时段的主要频率特性 和某些频率出现在哪些时段上。
定义2.1 设 g(x)满足: 0 R g ( x ) dx ,则称:
2
G f ( , b) f ( x) g ( x b)e ix dx
1 2
(式2-12)
当频窗平移a后，由频窗中心和频窗半径可推出G(ω-a)的频 窗中心和频窗半径：
[G ( a )] [G ( )] a
[ G ( a )] [ G ( )]
(式2-13) (式2-14)
由定义知，g (x)和G(ω)分 别起着时窗和频窗的作用。 在时频坐标系中，时窗一 频窗共同作用而形成时频 窗(如图).
小波分析整理 第三章 小波变换ppt课件
.
a b
.
小波函数的范数不变性： a(t)b 0 2 R a(t)b 2 d tR (t)2 dt(t)0 2
此式表明： ( t ) 经过平移与伸缩以后，其模量没有 改变。
在不同的尺度a 时，ψa b (t) 终能和母函数ψ(t) 有着相同的能量 。
当a<1时， ( t ) 被拉宽且振幅被压低， ab (t) 含有表现低 频分量的特征；当a>1时， ( t ) 被压窄且振幅被拉
高， ab (t )含有表现高频分量的特征。
(2t)
(2t 3)
a2
0
1 1.5
3
6
t
a 1 a1
2
(t)
0
1
(1 t) 2
0
1
(t 3)
3
6
t
( 1 t 3) 2
R
可以反映局部频率特性，但是窗函数一经设定，没有 自适应能力，不能满足低频部分需要时窗宽、频窗窄， 高频部分需要时窗窄、频窗宽的要求。
为此，定义窗函数的一般形式为：
w ~ab(t)a1/2(a tb) （ 其 他 形 式 w ~ a b(t)a 1 /2 (t ab )
它是经过平移和放缩的结果。
.
小波函数的频域特性： ^a(b)a1/2eib/a^(a) 此式表明， ( t ) 经过平移和伸缩以后得到的新
函数 a b (t )的频域特性随参数a的变化而变化。
.
2、小波变化的回复公式推导
任何一种变换应该是可逆的。为推导小波变换的
回复公式，先得推出与Fourier变换中类似的乘积
公式。
在Fourier变换中，有公式：2 1 R F [f(t)]F _[g(t)]dRf(t)_ g(t)dt
第2章 窗口傅立叶(Fourier)变换
第2章 窗口傅立叶（Fourier ）变换傅氏分析在信号分析处理中的杰出贡献，在于它将复杂的时域信号转换到频域中，时域信号和频域信号组成傅氏变换对，从而既可以在时域中分析信号，也可以在频域中更细致地作出特殊分析。
但是，无论在时域或是在频域，傅氏变换都是定义在实数域R 上的，它不能分析局部时域信号的局部频域特性，它没有时-频局部化的功能；换言之，它在时域中没有任何分辨，变换)( ωF 在任何有限频段上的信息，都不足以确定在任意小的范围内的函数)(t f 。
本章介绍的窗口傅氏变换正是在时-频局部分析方面取得了本质性的进步。
本章中关于时-频局部化的概念和表述，关于时-频窗口的含义及其度量办法，对理解小波分析的本质是有启发性的。
2.1 短时的时-频分析需要实际中待分析的确定性的时域信号常分为平稳信号和非平稳信号。
平稳信号的变化较平缓；非平稳信号的变化急剧，甚至有突变表现。
气候时间序列就是如此。
对于非平稳信号，需要了解某局部段的时域信号所对应的频谱特性，也需要了解某频段的频谱表现所对应的时域表现。
对空域信号的分析也是这样。
在第1章1.7节的实例中，分析甘肃省秋寒潮的环流演变过程不仅需要了解整个北半球的环流背景，更需要知道甘肃省上、下游一定范围内的长波演变，如乌拉尔山阻塞高压到东亚大槽的活动，考察哪些波长的波动起主导作用，它们的兴衰和移动等。
同时，把前几个波组成的合成波的高度廓线与实际的高度廓线比照，改变合成波的单波组成，使之更接近实际。
总之，实际需要提出了关于短时段时域信号所对应的局部频域特性的要求，即时-频局部化的要求。
传统的傅氏分析无法达到上述时-频局部化的要求。
只要仔细观察分析傅氏变换的表达式⎰∈=-R t i R t e t f F , ,d )()(ωωω即可明白其中的原因。
一方面，傅氏变换要求提供R t t f ∈),(的全部信息，即使截取短时段信号]2/,2/[),(T T t t f -∈，但)( ωF 提供的是关于R ∈ω 的全部信息，主要反映这个短时段时域信号的那些局部频域特性却无法知道。
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1、分别用短时Fourier ，Gabor 变换分析下列信号，要求提供程序，图形结果并对它们的结果进行对比分析。
采样频率FS=1920HZ ，采样长度N=512.()(10.2sin(215))cos(2300.5sin(215))sin(2120)x t t t t t ππππ=+++Matlab 程序如下：fs=1920;%采样频率N=512; %采样长度t=0:1/fs:(N-1)/fs; %时间序列x1=(1+0.2*sin(2*pi*15*t)).*(cos(2*pi*30*t)+0.5*sin(2*pi*15*t))+sin(2*pi*120*t);%信号 figure(1)plot(t,x1);%画想（t ）的图像y1=fft(x1,N); %对信号进行快速Fourier 变换 mag1=abs(y1);%求变换后的幅值 k=0:N-1; f1=k*fs/N; figure(2) grid onstem(f1,mag1);%绘制N 点DFI 的幅频特性图 xlabel('f1'); ylabel('幅值’);axis([0,256,0,2*max(abs(y1))]);%x,y 的范围 grid onfigure(3)h=window(321,'hamming'); sig=x1;tfrstft(sig',1:512,512,h);%短时Fourier 变换 xlabel('时间(秒)'); ylabel('频率(Hz)');figure(4) q=16;h=window(211,'gauss'); h=h/norm(h);tfrgabor(x1',128,q,h);%Gabor 变换 xlabel('时间(秒)'); ylabel('频率(Hz)');1.1信号的图形图1-1 信号时域波形图1.2信号N点的ＤＦＩ幅频特性图图1-2 信号的幅频特性图对信号进行分析，信号共有５个频率分别是０HZ,15HZ,30HZ,45HZ,120HZ，用火柴棍状表示出来。
1.3短时Fourier变换图图1-3 短时傅里叶变换图1.4 Gabor变换图图1-4 Gabor变换图通过上面两图可以看出就显示两个频率，分别是30HZ和120HZ，15HZ比较模糊，而0HZ 和45HZ的信号淹没了，经过分析原因可能一是信号的强度不一样，显示的清晰度也不一样；二是采样频率过大显示的比较拥挤。
有以上两图知：短时Fourier变换和Gabor变换均能显示在特定时刻该信号的频率，与Fourier变换相比具有定位的功能。
但短时Fourier窗函数宽度的选择对时间和频率分辨率的影响比较大，不能使时间分辨率和频率分辨率都能提高。
2、分别用wigner-ville分布，伪wigner-ville分布，平滑伪wigner-ville分布和Cohen 分布分析下列信号：220000()()1t t j tt t j tx eeαωαω-++--+=+其中α=0.25， 0t =5s ，0 1.57/rad s ω=。
要求提供图形结果，并对它们的结果进行对比分析。
Matlab 程序如下：a=0.25; t0=5; fs=10; w0=1.57; n=128;t=0:1/fs:(n-1)/fs;x=exp(-a*(t+t0).^2+w0*t*j)+exp(-a*(t-t0).^2+w0*t*j); figure(1) plot(abs(x)); x=x.';set(gca,'xlim',[0,n]) set(gca,'xtick',[0:n/4:n])figure(2);tfrwv(hilbert(x));title('Wigner-ville 分布') axis('xy');xlabel('时间(秒)'); ylabel('频率(Hz)');figure(3);tfrpwv(hilbert(x));title('伪Wigner-ville 分布') axis('xy');xlabel('时间(秒)'); ylabel('频率(Hz)');figure(4);tfrspwv(hilbert(x));title('平滑Wigner-ville 分布') axis('xy');xlabel('时间(秒)'); ylabel('频率(Hz)'); figure(5);tfrcw(hilbert(x));title('cohen 时频分布') axis('xy');xlabel('时间(秒)'); ylabel('频率(Hz)');2.1信号的时域波形图图2-1 信号的时域波形图2.2 Wiger-ville分布图2-2 信号的Wiger-Ville分布图2.3 伪Wiger-ville分布图2-3 信号的伪Wiger-Ville分布图2.4 平滑伪Wiger-ville分布图2-4信号的平滑伪Wiger-Ville分布图2.5 Cohen时频分布图2-5 信号的Cohen时频分布WVD分布有明显的缺点，就是有交叉项的存在，而以后的伪WVD分布，平滑WVD分布，平滑伪WVD分布，Cohen类分布都是对WVD分布的改进，通过加窗来抑制交叉项，使图像变得更平滑。
3 对工程信号进行插值和抽取分析所用信号是旋转机械中轴承故障提取信号，所有的信号有120000个数据，为了方便分析和运行，截取了其中的2048个数据,进行插值与抽取。
程序如下：s=xlsread('G:\数字信号处理应用\现代信号处理课件及程序\程序\轴承故障.xls'); S=fft(s);N=length(s);n=0:N-1;fs=1000;f=n'*fs/N;figure(1)subplot(4,1,1);plot(abs(S));title('原信号频谱幅值');s4=interp(s,4); %对信号进行4倍插值S4=fft(s4);subplot(4,1,2);plot(abs(S4));title('四倍插值后的信号频谱幅值');s8=interp(s,8); %对信号进行8倍插值S8=fft(s8);subplot(4,1,3);plot(abs(S8));title('8倍插值后的信号频谱幅值');s16=interp(s,16);%对信号进行16倍插值S16=fft(s4);subplot(4,1,4);plot(abs(S16));title('十六倍插值后的信号频谱幅值');figure(2)subplot(4,1,1);plot(abs(S));title('原信号频谱幅值');b4=decimate(s,4);%对信号进行四倍抽取B4=fft(b4);subplot(4,1,2);plot(abs(B4));title('四倍抽取后的信号频谱幅值');b8=decimate(s,8);%对信号进行八倍抽取B8=fft(b8);subplot(4,1,3);plot(abs(B8));title('八倍抽取后的信号频谱幅值');b16=decimate(s,16);%对信号进行16倍抽取B16=fft(b16);subplot(4,1,4);plot(abs(B16));title('十六倍抽取后的信号频谱幅值')3.1 插值后的图像图3-1 信号插值后的图像3.2抽取后的图像图3-2 信号抽取后的图像4 对工程信号进行各种时频分析后的程序和图形结果分析所用信号是旋转机械中轴承故障提取信号，所有的信号有120000个数据，为了方便分析和运行，截取了其中的2048个数据，然后分别对信号做各种时频分析，如短时傅里叶变换、gabor变换、cohen变换和小波变换等，给出程序和图形结果。
1、短时傅里叶变换：s=xlsread('G:\数字信号处理应用\现代信号处理课件及程序\程序\轴承故障.xls');x1=s;fs=1000;N=length(x1);t=1:N;figure(1);plot(t,x1,'LineWidth',2);xlabel('时间t/s');ylabel('幅值A');y1=fft(x1,N); %对信号进行快速Fourier变换mag1=abs(y1);%求得Fourier变换后的振幅k=0:N-1;f1=k*fs/N;figure(2)grid on%网格开启stem(f1,mag1);%绘制N点DFI的幅频特性图xlabel('f1');ylabel('幅度');axis([0,512,0,1.2*max(abs(y1))]);grid onfigure(2)h=window(1111,'hamming');sig=x1;tfrstft(sig,1:1024,1024,h);xlabel('时间(秒)');ylabel('频率(Hz)');1-1 信号的波形图图1-1 工程信号的波形图1-2 信号的幅频特性图图1-2 信号的幅频特性图1-3 信号的短时傅里叶变换图图1-3 信号的短时傅里叶变换图2、gabor变换：s=xlsread(' G:\数字信号处理应用\现代信号处理课件及程序\程序\轴承故障.xls'); x1=s;fs=1000;N=length(x1);t=1:N;figure(1);plot(t,x1,'LineWidth',2);xlabel('时间t/s');ylabel('振幅A');figure(3)q=16;h=window(1911,'gauss');h=h/norm(h);tfrgabor(x1,128,q,h);xlabel('时间(秒)');ylabel('频率(Hz)');2-1 对信号进行gabor变换图2-1 信号的gabor变换图对信号进行gabor变换的过程中，在过抽样的情况下，对信号进行时频分析。