河北省邢台市桥东区八年级数学上册 12 分式和分式方程 12.2 分式的乘除(2)导学案冀教版
2022秋八年级数学上册 第12章 分式和分式方程12.2 分式的乘除 1分式的乘法课件冀教版
15．在数轴上，表示有理数 x 的点与原点之间 的距离小于 3，且 x 为正整数，求 （xx2－－24）2·x2x＋4－4x1＋6 4的值．
解：（xx2－－24）2·x2x＋4－4x1＋6 4＝（x－（2x）－（2）x＋2 2）·
（x＋2）2 （x2＋4）（x＋2）（x－2）
＝
1 x2＋4
.
因
为
12．计算ab2·ba2的结果为( B )
A．b
B．a
C．1
1 D.b
【点拨】本题容易出现对分式的乘方法则理解
不透而错选C.
13．计算： (1)a2＋a22－abb＋2 b2·2aa－ ＋2bb； ＝（a＋（ba）＋（b）a－2 b）·2（aa＋－bb） ＝2（（aa＋－bb））22.
(2)－a4·－ba3·－1b2；
4．【中考·吉林】计算：2yx2·xy＝__2_1x_____．
5．计算下面四个算式：①xy·ba；②xy·23xy；③4a·a2＋2 a；④ mn2·23mn22，其中结果是分式的是__①__④____．(填序号)
6．【中考·江汉油田】化简：4a5＋ab4b·a125－a2bb2. ＝4（5aa＋bb）·（a＋b1）5a（2ba－b） ＝a1－2ab.
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
冀教版八年级数学上册12.2《分式的乘除》课件
12.2 分式的乘除
第1课时 分式的乘法
学习目标
1.理解分式的乘法法则，体会分式乘法法则的合理性. 2.会用分式的乘法法则进行运算. 3.在探究分式的乘法法则的过程中，进一步体会类比和转化 的思想方法.
回顾复习
思考： 约分：把分式中分子和分母的公因式约去。 最简分式：分子和分母没有公因式的分式。
分数的乘法运算：
探究新知
学生活动一 【观察与思考】 既然可以用字母表示数，那么我们就可以用类比分数计算 的方法来进行分式的计算。
探究新知
分式的乘法法则：分式与分式相乘，用分子的积 作为积的分子，分母的积作为积的分母。
A B
·DC=BA··DC
探究新知
【例1】 计算下列各式： （1）32yx·az；（2） 83yx22·43yx3 .
探究新知
学生活动二 【做一做】
【例2】计算下列各式： （1）xx2＋−43x·xx＋−43；（2） a2＋a26−a4＋9·aa＋ ＋32.
探究新知
总结： 分式与分式相乘，如果分子、分母是单项式，可先将分子、 分母分别相乘，然后约去公因式化为最简分式或整式；如果 分子、分母都是多项式，则应先分解因式，看能否先约分， 然后相乘．
）
＝ ﹣34ac2.
当堂训练
（2）x2−x42−x＋1 4 ÷（ x − 1 ）·xx2＋−2x
解：原式＝
（
x＋1 （
）（ x−1 x−2）2
）
·x−11·x（xx＋−21）
＝
x（
1 x−2）
＝ x2−12x.
巩固练习
计算下列各式： （1）﹣3xy2·125xy2 ；
（2） x2−x4−x1＋4·xx22−−41.
河北省邢台市桥东区八年级数学上册12分式和分式方程12.2分式的乘除(2)导学案冀教版
12.2 分式的乘除（2）【学习目标】掌握分式的乘除法运算. 【学习重点】掌握分式乘除法混合运算．【学习难点】掌握分式乘除法混合运算．【预习自测】一. 知识链接复习归纳分式乘除法运算的注意事项【合作探究】 探究活动一：1. 分式的乘除法：分式乘除法归根结底是分式的乘法运算，实质是约分，结果一定要化成最简分式（即分式的分子与分母没有公因式）或整式．分式的乘法法则：分式乘以分式，将分子、分母分别相乘的积，作为积的分子、分母，用式子表示为bd ac d c b a =⋅；分式的除法法则：分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘，即bcad c d b a d c b a =⋅=÷. 例1. 计算：2244a a a --+÷（a ＋3）·23a a -+ 分析：分式的乘除混合运算要按照从左到右的顺序进行，不能随意结合． 解：2244a a a --+÷（a ＋3）·23a a -+探究活动二：2.通过上面的例题试着探究分式除法的注意事项：(1)分式乘除时分子分母都要因式分解后，分子与分母进行约分，约分时防止m x m n x n +=+，m n m n ++=0的错误．(2) 注意运算顺序及符号的变化，防止1x y y÷⋅=1x x ÷=的错误． 例2 . 已知：x 2＋4y 2－4x ＋4y ＋5＝0，求44222121x y x x x x y -+⋅++-． 分析：条件方程只有一个，求值式中字母却有两个，所以我们先配方利用完全平方式具有的非负数的特性及非负数之和为0，则每一个非负数为0列出方程组求出的x 、 y 值，同时对所求分式先化简在求值.解：例3. 课本上，李老师给大家出了这样一道题，当x =2006,2007,2008时求代数式12211222+-÷-+-x x x x x 的值.小明一看，“数太大了，这怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程.解：例4. 已知a 、b 、x 、y 是有理数，并且满足0)(||2=++-b y a x请你想一想根据以上的条件能否求出 的值. 解：【解难答疑】b a b by ax a y x b bx ay a +-++÷++-+22221. 计算：a ÷b ×a b的结果是（ ）. A ．1 B ． 2a C ． 2b D ．22a b2.一位同学花了2m 元买了3n 个笔记本.笔记本的单价是铅笔盒单价的a b，若求铅笔盒的单价，则可以列算式（ ）. A ．23m a n b ⨯ B ．32n a m b ⨯ C ．23m a n b ÷ D ． 32n a m b÷ 3.化简 的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．－ 4. 计算：xyx y x y xy x y x +-÷++-2222225.若x 等于它的倒数,求 的值.【反馈拓展】 1．已知 ， 则 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．2.甲、乙两人分组从A 、B 两地同时出发，相向而行，在C 地相遇后，甲又经过t 1小时到达B 地，222273223y xy x y xy x +-+-)4(16424442242-⋅--⋅+-+x x x x x x 72=y x 103710320103410328xy y xy y x xy x xy x --÷+÷-+222)(x y x 1-x 1x y乙又经过t 2小时到达A ，设AC =S 1，BC =S 2，那么12t t 等于_________ (用S 1、S 2代数式表示)【总结反思】1.本节课我学会了：还有些疑惑：2.做错的题目有： 原因：。
八年级数学上册12.2分式的乘除(第1课时)课件(新版)冀教版
课堂小结 1.分式的乘法(chéngfǎ)法则：
分式与分式相乘,用分子的积作为积的分子,分母的 积作为积的分母.
字母(zìmǔ) A C AC
表述:
B D BD
2.注意事项:
(1)在运算过程中,当分子、分母都是单项式时,
可直接约分(yuē fēn)再计算;当分子、分母是
多项式时,能分解因式的要先分解因式,再约分
（1） 3xy2 2x 15 y2
解：（1）
3
xy
2
2 15
x y
2
（2）x2
x 1 4x
4
x2 x2
4 1
（2） x
2
x 1 4x
4
x2 x2
4 1
3xy2 2x
15y2
x 1 x2 4 x2 4x 4 x2 1
6x2 y2 15 y2
x 1 x 2 x 2 x 22 x 1 x 1
b
用率为 ,他想e了半天也没有弄明白每天实际有效利用多少水.
d
你能告诉他吗? 列式为: c e ,提出问题:
bd
(1)这个式子是分式的哪种运算? (2)又应该怎样计算呢?
第三页，共15页。
学习新知
活动(huó dòng)一:分式的乘 法法则
分式(fēnshì)与分式(fēnshì)相乘,用分子的积 作为积的分子,分母的积作为积的分母.
6ab
2
第十二页，共15页。
7.计算
xy
x2 y2
x2 2xy y 2 xy2 x2 y
，其结果为（
D
）
A. 1 yx
B. 1 x y
x y
C.
x
河北专版2022秋八年级数学上册第12章分式和分式方程12.2分式的乘除2分式的除法课件新版冀教版2
(4)以上三步中，第__三______步出现错误，正确的结果是__－__1____．
11．先化简，再求值：x－x 1－x＋1 1÷x2－1 1，其中 x＝2.
A．x＋1 y÷(x＋y)＝1 B．2x2·x23y·xy2＝4yx2 C．x2÷1x÷xy2＝xy
D．(2a2－2b2)÷a＋a b＝a－2ab
4．使xx＋－23÷xx＋－12有意义的 x 满足( D ) A．x≠3 且 x≠2 B．x≠3 且 x≠－1 C．x≠2 且 x≠－2 D．x≠－1，x≠2 且 x≠3
10．阅读下列解题过程，然后回答问题．
计算：x2－61x＋9÷xx＋ －33·(9－x2)．
解：原式＝（x－13）2÷xx＋－33·(3－x)(3＋x) (第一步)
＝（x－13）2·xx－＋33·(3－x)(3＋x) (第二步)
＝1.
(第三步)
(1)上述计算过程中，第一步使用的公式用字母表示为 __a_2－__2_a_b_＋__b_2_＝__(_a_－__b_)2_，__a_2_－__b_2_＝__(a_＋__b_)_(_a_－__b_) __________；
解：原式＝x－x 1－x＋1 1·(x＋1)(x－1)＝x－x 1·(x＋1)(x－1)－ x＋1 1·(x＋1)(x－1)＝x2＋x－x＋1＝x2＋1. 当 x＝2 时，原式＝x2＋1＝22＋1＝4＋1＝5.
12．先化简，再求值：aa－ ＋12·a2－a2－2a4＋1÷a2－1 1，其中 a 满足 a2－a＝12.
(2)若是含乘方、乘除的混合运算，则先算_乘__方_____，再算_乘__除____， 如：ba3÷ab2·ab2＝___ba_33____÷ab2·__ab_22_____.
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5. [教材P9例3变式]计算：
(1) ÷
；
+
(2)
÷ .
−+
−
解：(1)原式＝ · ＝
.
(+)
解：(2)原式＝
÷
＝
÷
＝
(−)
(+)(−)
1
2
3
4
5
6
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18. 【情境题·生活应用】 A 玉米试验田是边长为 a 米的正方形挖去
一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分， B 玉米试验田是
边长为( a －1)米的正方形，两块试验田的玉米都收获了500千克.
(1)哪块玉米试验田的单位面积产量高？
解：(1)根据题意，得 A 玉米试验田的面积是( a2－1)米2，单位
进行因式分解.
丙：计算结果是
.
−
−
÷
(答
+
++
请你写出一个符合上述条件的题目：
案不唯一)
1
2
3
.
4
5
6
7
8
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15. [2024新乡月考]小伟不小心弄污了练习本上一道题，这
河北省邢台市桥东区八年级数学上册 12 分式和分式方程小结与复习(无答案)(新版)冀教版
第十二章 小结与复习【知识梳理】是不等于零分式方程及应用知识结构图：总结与反思：1.分式方程的意义.2.分式方程的解法.3.列分式方程解决实际问题. 注意事项：1.判断一个方程是不是分式方程，应看这个方程的分母中是否含有未知数，而不是含不含有宇母.如方程ax=1（a 是常数，且a ≠0，x 是未知数)就不是分式方程.2.解分式方程时，由于在方程的左右两边同时乘含有未知数的公分母(含未知数的整式)，得到了一个整式方程，从而使原分式方程中未知数的取值范围扩大了.因此，在解分式方程时必须验根.3.利用分式方程解决实际问题时，要注意运用基本数量关系找出问题中的等量关系.如路程=速度×时间，工作量(一些问题中的总工作量常常看做1)=工作效率×工作时间等.用分式方程解决实际问题时，必须进行检验。
这里的检验应包括两层含义，第一，检验得到的根是不是分式方程的增根；第二，检验得到的根是否符合实际问题的题意. 【典型例题】 例1．(1)使分式24xx -有意义的x 的取值范围是（ ） A. 2x = B.2x ≠ C.2x =- D.2x ≠-(2)当x 为何值时，分式)3)(2(92---x x x 的值为零．例2. 约分(1)44422+--a a a ； (2)xyx 20162-．例3 . 已知两个分式：244A x =-，1122B x x=++-，其中2x ≠±，则A 与B 的关系是（ ） A.相等 B.互为倒数 C.互为相反数 D.A 大于B 例４．计算：44xy xy x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭＝ ．分析：这是道融加法、减法与乘法于一题的计算题，注意运算顺序和各种运算的法则与技巧． 原式＝()24x y xy x y -+-·()24x y xy x y +-+＝()2x y x y +-·()2x y x y-+＝（x ＋y ）（x －y ）＝22x y -．例５．已知x ＝101，求x ＋１－1xx -的值． 分析：将已知的x 直接代入虽然可以求值，但较繁．先化简，原式＝2211x x x ---＝－11x -，当x ＝101时，原式＝－1001例６．已知实数a 满足a 2+3a -8=0，求11a +－()44112222++-⋅-+a a a a a 的值． 分析：根据现有知识不能求出a 的值．可先把求值式化简，看能否利用已知条件求值．原式＝11a +－()()()()2221112+-⋅+-+a a a a a ＝11a +－()()211++-a a a ＝()()()⋅++--+2112a a a a ＝2332++a a ， 当a 2+3a -8=0时，a 2+3a =8 故原式＝103． 例7.在某道路拓宽改造工程中，一工程队承担了24千米的任务．为了减少施工带来的影响，在确保工程质量的前提下，实际施工速度是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了任务，求原计划平均改造道路多少千米？分析：依据“实际施工速度是原计划的1.2倍”、“提前20天完成了任务”进行设元和布列方程。
河北省八年级数学上册第十二章分式和分式方程12.2分式的乘除2分式的除法预学检验 课堂导学新版冀教版
第十二章 分式和分式方程12.2 分式的乘除第2课时 分式的除法1．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 43a 2·12a的结果是( )A ．－b 816a 3 B.b 812a 3 C ．－b 818a 3 D.b 818a32．计算：(1)23÷56；(2)5.76÷1.8×6.5；(3)4.2÷79×53.1．分式除以分式，把除式的分子与分母________后，与被除式________．用字母表示：AB÷C D＝________＝________．2．(2023永州期末)化简m －1m ÷m 2－1m2的结果是________．3．计算：a ÷a b ·ba＝________． 4．计算：(1)4x 3y ÷2x 3y ；(2)a 2a －3÷3a 3－a ；(3)a －b b ÷a 2－b 22b ；(4)－b 227a 3÷2b 9a ·3abb 4.5．如图，一个大长方形被两条直线分成四个小长方形，其中三个小长方形的面积分别是12平方米、8平方米、20平方米，求阴影部分的面积．知识点1 分式的除法计算：(1)a 2xy b 2z 2÷a 2yz b 2x 2； (2)2x 2－4÷1x 2－2x.变式1－1(2024石家庄栾城区期末)已知2x x 2－y 2÷1x －y＝M ，则M 等于( ) A.2x x ＋y B.x ＋y 2x C.2x x －y D.x －y 2x变式1－2计算： 3x －6x 2－4÷x ＋2x 2＋4x ＋4.知识点2 分式除法的应用如果两只灯泡的额定功率分别是P 1＝U 2R ，P 2＝U 25R，那么第一只灯泡的额定功率是第二只灯泡额定功率的________倍．变式2已知a 米长的布料能做b 件上衣，2a 米长的布料能做3b 条裤子，则一件上衣的用料是一条裤子用料的________倍．知识点3 分式的乘除混合运算计算：(1)8x 2y 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 4y 3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2y 2； (2)xx 2－y2÷12x －2y ·x ＋yx.变式3计算： (1)4x y 3·y 2x 2÷4xy3；(2)3x －121－2x ＋x 2÷(x ＋1)·x 2－14－x .第十二章 分式和分式方程12.2 分式的乘除 第2课时 分式的除法1．D2．解：(1)23÷56＝23×65＝45.(2)5.76÷1.8×6.5＝3.2×6.5＝20.8. (3)4.2÷79×53＝4.2×97×53＝5.4×53＝9.1．颠倒位置；相乘；A B ·D C ；A ·D B ·C 2.m m ＋1 3.b 2a4．解：(1)原式＝4x 3y ·y 2x 3＝23x2.(2)原式＝－a 2a －3·a －33a ＝－a 3.(3)原式＝a －b b ·2b （a ＋b ）（a －b ）＝2a ＋b. (4)原式＝－b 227a 3·9a 2b ·3ab b 4＝－b 6a 2·3ab b 4＝－12ab2.5．解：设面积最小的长方形的长为a 米，则宽为8a 米，则阴影部分的面积＝20a×⎝ ⎛⎭⎪⎫12÷8a ＝20a ×3a2＝30(平方米)． 答：阴影部分的面积是30平方米．例1解：(1)a 2xy b 2z 2÷a 2yz b 2x 2＝a 2xy b 2z 2·b 2x 2a 2yz ＝x 3z3.(2)2x 2－4÷1x 2－2x ＝2（x ＋2）（x －2）·x (x －2)＝2x x ＋2. 变式1－1.A变式1－2.解：原式＝3（x －2）（x ＋2）（x －2）·（x ＋2）2x ＋2＝3.例2 5 变式2.1.5例3解：(1)8x 2y 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 4y 3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2y 2＝8x 2y 4·3x 4y 3·2x 2y ＝12x .(2)xx 2－y 2÷12x －2y ·x ＋y x ＝x （x ＋y ）（x －y ）·2(x －y )·x ＋yx＝2. 变式3.解：(1)原式＝4x y 3·y 2x 2·xy 34＝y2.(2)原式＝3（x －4）（1－x ）2·1x ＋1·（x ＋1）（x －1）4－x ＝－3x －1.。
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12.2 分式的乘除（2）
【学习目标】
掌握分式的乘除法运算. 【学习重点】
掌握分式乘除法混合运算．
【学习难点】
掌握分式乘除法混合运算．
【预习自测】
一. 知识链接
复习归纳分式乘除法运算的注意事项
【合作探究】 探究活动一：
1. 分式的乘除法：
分式乘除法归根结底是分式的乘法运算，实质是约分，结果一定要化成最简分式（即分式的分
子与分母没有公因式）或整式．
分式的乘法法则：分式乘以分式，将分子、分母分别相乘的积，作为积的分子、分母，用式子表示为bd ac d c b a =⋅； 分式的除法法则：分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘，即
bc
ad c d b a d c b a =⋅=÷. 例1. 计算：2244a a a --+÷（a ＋3）·23
a a -+ 分析：分式的乘除混合运算要按照从左到右的顺序进行，不能随意结合．
解：2244a a a --+÷（a ＋3）·23
a a -+
探究活动二：
2.通过上面的例题试着探究分式除法的注意事项：
(1)分式乘除时分子分母都要因式分解后，分子与分母进行约分，约分时防止m x m n x n +=+，m n m n ++=0的错误．(2) 注意运算顺序及符号的变化，防止1x y y
÷⋅=1x x ÷=的错误． 例2 . 已知：x 2＋4y 2
－4x ＋4y ＋5＝0，求44222121x y x x x x y -+⋅++-． 分析：条件方程只有一个，求值式中字母却有两个，所以我们先配方利用完全平方式具有的非负
数的特性及非负数之和为0，则每一个非负数为0列出方程组求出的x 、 y 值，同时对所求分式先化简在求值.
解：
例3. 课本上，李老师给大家出了这样一道题，当x =xx,xx,xx 时求代数式1221
1222+-÷-+-x x x x x 的值.小明一看，“数太大了，这怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程.
解：
例4. 已知a 、b 、x 、y 是有理数，并且满足
0)(||2=++-b y a x 请你想一想根据以上的条件能否求出 的值. 解：
b
a b by ax a y x b bx ay a +-++÷++-+2
222
【解难答疑】
1. 计算：a ÷b ×a b 的结果是（ ）. A ．1 B ． 2a C ． 2b D ．2
2a b 2.一位同学花了2m 元买了3n 个笔记本.笔记本的单价是铅笔盒单价的
a b
，若求铅笔盒的单价，则可以列算式（ ）. A ．
23m a n b ⨯ B ．32n a m b ⨯ C ．23m a n b ÷ D ． 32n a m b
÷ 3.化简 的结果是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．－ 4. 计算：xy
x y x y xy x y x +-÷++-222222
5.若x 等于它的倒数,求 的值.
【反馈拓展】 1．已知 ， 则 的值是（ ） A ． B ． C ． D ．
2.甲、乙两人分组从A 、B 两地同时出发，相向而行，在C 地相遇后，甲又经过t 1小时到达B 地，
222
273223y xy
x y xy x +-+-)4(16424442242-⋅--⋅+-+x x x x x x 72=y x 103710320103410328
xy y xy y x xy x xy x --÷+÷-+222)(x y x 1-x
1x y
乙又经过
t 2小时到达A ，设AC =S 1，BC =S 2，那么12
t t 等于_________ (用S 1、S 2代数式表示)
【总结反思】 1.本节课我学会了：
还有些疑惑：
2.做错的题目有： 原因：
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。