江苏省无锡市第一中学2010-2011学年第一学期 高二数学期末(理科)

无锡市第一中学2010-2011学年度第一学期期末考试卷高二数学（理科）一．解答题（本大题共14小题，每小题4分，共56分，请将正确答案直接填写在题后的横线上） 1．命题“对01,23<+-∈∀x x R x ”的否定是_________________________． 2．已知质点运动方程为23+-=t t S （S 的单位是m ，t 的单位是s ），则该质点在s t 2=时刻的瞬时速度为_________________．3．曲线xe y 2=在0=x 处的切线方程是__________________________．4．直线l 与圆014222=+-++y x y x 相交于两点B A ,，弦AB 的中点为)1,0(，则直线l 的方程为________．5．若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为22，则实数a 的值为___________． 6．椭圆2214x y m +=焦距为2，则实数m ＝_________________________．7．若双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r =_________．8．经过点)2,4(-P 的抛物线的标准方程是_________________． 9．函数)2ln()2(++=x x y 的单调递减区间是____________________．10．棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为___________． 11．已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，现给出下列四个命题： ① 若,//m n αα⊥，则m n ⊥； ② 若//,//,m αββγα⊥，则m γ⊥； ③ 若//,//m n αα，则//m n ； ④ 若,αγβγ⊥⊥，则//αβ． 其中正确命题的序号为__________________．12．已知命题p ：1431x -≤-≤，命题q ：2(21)(1)0x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分的条件，则实数a 的取值范围是 ．13．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P 为该椭圆上的动点，C 、D 的坐标分别是())0,0，则PD PC ⋅的最大值为 ．14．设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,对于下列四个命题： ①M 中所有直线均经过一个定点；②存在定点P 不在M 中的任一条直线上；③对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上；ABCDEFMNA BCC 1A 1B 1④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等．其中真命题的代号是 （写出所有真命题的序号）．二．解答题（本大题共6小题，共64分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分8分）设圆C 上的点()3,2A 关于直线02=+y x 的对称点仍在圆上，且直线01=+-y x 被圆C 截得的弦长为22，求圆C 的方程．16．（本题满分10分）已知函数d cx bx ax x f +++=23)(是R 上的奇函数，且在1=x 时取得极小值32-． (1)求函数()x f 的解析式；(2)对任意]1,1[,21-∈x x ，证明：()()3421≤-x f x f ． 17．（本题满分10分）直三棱柱111C B A ABC -中，11===BB BC AC ，31=AB ．(1)求证：平面⊥C AB 1平面CB B 1； (2)求三棱锥C AB A 11-的体积． 18．（本题满分12分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2=AB ,1=AF ,点M 是线段EF 的中点． (1)求证：//AM 平面BDE ； (2)求锐二面角A DF B --的大小；(3)试在线段AC 上一点P ，使得PF 与CD 所成的角是60． 19．（本题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 过点)2,3(-，离心率为33，圆O 的圆心为坐标原点，直径为椭圆的短轴，圆M 的方程为4)6()8(22=-+-y x ．过圆M 上任一点P 作圆O 的切线,PA PB ，切点为,A B ． (1)求椭圆的方程；(2)若直线PA 与圆M 的另一交点为Q ，当弦PQ 最大时，求直线PA 的直线方程；(3)求OA OB ⋅的最值．20．（本题满分12分）已知函数2ln )(x x a x f += (a 为实常数) ． (1)求函数)(x f 在],1[e 上的最小值；(2)若存在],1[e x ∈，使得不等式x a x f )2()(+≤成立，求实数a 的取值范围．无锡市第一中学2010—2011年第一学期期末试卷 高 二 数 学（理科）参考答案及评分标准一、填空题：（共14小题，每小题4分，共56分）1．01,23≥+-∈∃x x R x ；2． 11s m /；3．022=+-y x ；4．01=+-y x ； 5．2或0； 6．5或3；7．3；8．x y =2或y x 82-=；9． )21,2(--e； 10．π3；11．①②；12．]21,0[；13．2；14．②③； 二、解答题：（共6题，共64分） 15．（本题共8分）解：设所求圆的圆心C 的坐标为()b a ,，半径为r ， 则有02=+b a ，① ()()22232r b a =-+-，②22212⎪⎭⎫⎝⎛+-+=b a r ，③ ………………………………3分由①②③消去r a ,得()()()2132322222+-+=-+--b b b ，化简得021102=++b b ，3-=b 或7-=b ，………………………………6分 则所求圆的方程为()()523622=++-y x 或()()24471422=++-y x ……………………………8分16．（本题共10分）解：（1）可知0==d b ，…………………………2分 所以()c ax x f +='23可知()()⎪⎩⎪⎨⎧-=='32101f f ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+⇒3203c a c a ⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒131c a ， 经检验知： ()x x x f -=331…………………………4分 （2）即证 ()()34m in m ax≤-x f x f …………………………6分因为()12-='x x f ，所以]1,1[-∈x 时()0≤'x f ，从而函数()x f 在]1,1[-上单调递减，所以，()()321m ax =-=f x f ，()()321m in -==f x f ， 所以()()34m in m ax ≤-x f x f ，从而对任意]1,1[,21-∈x x ，有()()3421≤-x f x f …………………………10分17．（本题共10分） 解：（1）直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，则BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， 又由于AC=BC=BB 1=1，AB 1=3，则AB=2，则由AC 2+BC 2=AB 2可知，AC ⊥BC ， 又由BB 1⊥底面ABC 可知BB 1⊥AC ， 则AC ⊥平面B 1CB ，所以有平面AB 1C ⊥平面B 1CB ……………………………6分（2）三棱锥A 1—AB 1C 的体积61121311111=⨯⨯==--ACA B C AB A V V ．…………4分 18．（本题共12分）解：（1）以C 为原点，CD 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，CE 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,2,2(A ,)1,0,0(E ，)1,2,2(F ，)0,22,22(N ,)1,22,22(M ,)1,22,22(--=AM ,)1,22,22(--=NE ,所以NE AM //,又AM 与NE 不共线，所以NE AM //,又⊄AM 平面BDE ，⊂NE 平面BDE ，所以//AM 平面BDE ； (4)分[来源:学§科§网]（2）平面A D F 的法向量)0,0,2(-=AB ,设平面B D F 的法向量),,(z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BD n 得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+02202y x z x ，取)2,1,1(=n ，则,21,cos ->=<所以二面角A DF B --大小为3π；…………8分（3）设)0,,(x x P ，)1,2,2(x x PF --=，)0,0,2(=CD ，则1)2(22)2(23cos2+-⋅-⋅=x x π，解得22=x 或223=x （舍去）[来源:Z&xx&] 所以当点P 为线段AC 的中点时，直线PF 与CD 所成的角为60．………12分 19．（本题共12分） 解：（1）可知14922=+ba ，a c ＝33，又222cb a +=，解得152=a ，102=b ，椭圆的方程为1101522=+y x …………………………4分（2）可知，此时直线PA 应经过圆心M ()6,8，且直线PA 的斜率存在，设直线PA 的方程为：()86-=-x k y ，…………………………5分因为直线PA 与圆O ：1022=+y x 相切，所以101862=+-k k ，解得31=k 或913=k ，…………………………7分[来源:] 所以，直线PA 的方程为0103=+-y x 或050913=--y x ……………………8分 （3）设θ2=∠AOB ，则OA OB ⋅ ＝10θ2cos ＝()1cos 2102-θ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-120102PO ，………………10分 因为OM ＝10，所以210210+≤≤-PO ，所以，OA OB ⋅ 的最大值为855-，OA OB ⋅ 的最小值为18155-………………………12分20．（本题共12分）解：（1）)0(2)(2>+='x xa x x f ，当],1[e x ∈，]2,2[222e a a a x ++∈+．若2-≥a ，)(x f '在],1[e 上非负（仅当2-=a ，x=1时，0)(='x f ）， 故函数)(x f 在],1[e 上是增函数，此时=m in )]([x f 1)1(=f ．………………2分 若222-<<-a e ，当2ax -=时，0)(='x f ； 当21ax -<≤时，0)(<'x f ，此时)(x f 是减函数； 当e x a≤<-2时，0)(>'x f ，此时)(x f 是增函数． 故=m in )]([x f )2(a f -2)2ln(2aa a --=．………………4分 若22e a -≤，)(x f '在],1[e 上非正（仅当2e 2-=a ，x=e 时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是减函数， 此时==)()]([m in e f x f 2e a +．………………6分综上可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤+-<<----≥=)2()22(2)2ln(2)2(1)]([222mine a e a a e a a a a xf ………………7分（3）不等式x a x f )2()(+≤， 可化为x x x x a 2)ln (2-≥-．∵],1[e x ∈, ∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时取，所以x x <ln ，即0ln >-x x ，因而xx xx a ln 22--≥（],1[e x ∈）………………9分令x x xx x g ln 2)(2--=（],1[e x ∈），又2)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-='，当],1[e x ∈时，1ln ,01≤≥-x x ，0ln 22>-+x x ，从而0)(≥'x g （仅当x=1时取等号），所以)(x g 在],1[e 上为增函数，………………11分 故)(x g 的最小值为1)1(-=g ，所以a 的取值范围是),1[+∞-．………………12分。