高中数学知识要点及典型例题--三角函数

第四讲 复习三角函数一、本讲进度《三角函数》复习二、本讲主要内容1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念；2、三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等；3、三角函数的图象及性质。

三、 学习指导1、角的概念的推广。

从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。

这样一来，在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常把角的始边放在x 轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同）。

为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成k ·3600+α的形式，特例，终边在x 轴上的角集合{α|α=k ·1800，k ∈Z}，终边在y 轴上的角集合{α|α=k ·1800+900，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k ·900，k ∈Z}。

在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。

弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。

在弧度制下，扇形弧长公式 =|α|R ，扇形面积公式||R21R 21S 2α==，其中α为弧所对圆心角的弧度数。

2、利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。

三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式。

重视用数学定义解题。

设P(x ，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记22y x |OP |r +==，则ry sin =α，rx cos =α，xy tan =α，yx cot =α。

利用三角函数定义，可以得到（1）诱导公式：即α+πt 2k 与α之间函数值关系（k ∈Z ），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；（2）同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。

3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要熟练地正用、逆用、变用。

如倍角公式：cos2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α，变形后得22cos 1sin,22cos 1cos 22α-=αα-=α，可以作为降幂公式使用。

三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。

4、三角函数的性质除了一般函数通性外，还出现了前面几种函数所没有的周期性。

周期性的定义：设T 为非零常数，若对f(x)定义域中的每一个x ，均有f(x+T)=f(x)，则称T 为f(x)的周期。

当T 为f(x)周期时，kT （k ∈Z ，k ≠0）也为f(x)周期。

三角函数图象是性质的重要组成部分。

利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法，熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。

5、本章思想方法（2）数形结合。

充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题； （3）分类讨论。

三、典型例题例1、 已知函数f(x)=)x cos x (sin log 21-（1）求它的定义域和值域； （2）求它的单调区间； （3）判断它的奇偶性； （4）判断它的周期性。

解题思路分析：（1）x 必须满足sinx-cosx>0，利用单位圆中的三角函数线及π+π<<π+π45k 2x 4k 2，k ∈Z∴ 函数定义域为)45k 2,4k 2(π+ππ+π，k ∈Z∵ )4x sin(2x cos x sin π-=-∴ 当x ∈)45k 2,4k 2(π+ππ+π时，1)4x sin(0≤π-<∴ 2cos x sin 0≤-< ∴ 212logy 21-=≥∴ 函数值域为[+∞-,21）（3）∵ f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称∴ f(x)不具备奇偶性 （4）∵ f(x+2π)=f(x)∴ 函数f(x)最小正周期为2π注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx 的符号； 以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx 的符号，如图。

例2、 化简)cos 1(2sin 12α++α+，α∈（π，2π）解题思路分析：凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式 ∵ 222)2cos2(sin2cos2sin22cos2sinsin 1α+α=αα+α+α=α+2cos 4)12cos 21(2)cos 1(222α=-α+=α+∴ 原式=|2cos|2|2cos2sin|2α+α+α∵ α∈（π，2π）∴),2(2ππ∈α∴ 02cos <α当π≤α<ππ≤α<π23,4922时，02cos2sin>α+α∴ 原式=2sin 2α当π<α<ππ<α<π223,243时，02cos 2sin<α+α∴ 原式=)2arctan 2sin(522cos 42sin2+α-=α-α-∴ 原式=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧π<α<π+α-π≤α<πα223)2arctan 2sin(52232sin 2注：1、本题利用了“1”的逆代技巧，即化1为2cos2sin22α+α，是欲擒故纵原则。

一般地有|c o s s i n |2s i n 1α±α=α+，|cos |22cos 1α=α+，|sin |22cos 1α=α-。

2、三角函数式asinx+bcosx 是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为)x sin(b a 22φ++（取ab arctan=φ）是常用变形手段。

特别是与特殊角有关的sin ±cosx ，±sinx ±3cosx ，要熟练掌握变形结论。

例3、 求02210sin 21)140cos1140sin3(⋅-。

解题思路分析： 原式=2220210sin 21140cos140sin140sin 140cos 3⋅-16160sin 200sin 1680cos 80sin 200sin 810sin 2180sin41200sin 80sin 410sin 21)40cos 40sin ()140sin 140cos 3)(140sin 140cos 3(0002002=-=-=⋅⋅-=⋅-+-=注：在化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式，还需用到代数变形公式，如本题平方差公式。

例4、已知00<α<β<900，且sin α，sin β是方程-+-020240cos x )40cos 2(x 21=0的两个实数根，求sin(β-5α)的值。

由韦达定理得sin α+sin β=2cos400，sin αsin β=cos 2400-21∴ sin β-sin α=)40cos 1(2sin sin 4)sin (sin )sin (sin 0222-=βα-β+α=α-β 040sin 2=又sin α+sin β=2cos400∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=α=+=β0005sin )40sin 240cos 2(21sin 85sin )40sin 240cos 2(21sin∵ 00<α<β< 900∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=α=β00585∴ sin(β-5α)=sin600=23注：利用韦达定理变形寻找与sin α，sin β相关的方程组，在求出sin α，sin β后再利用单调性求α，β的值。

例5、（1）已知cos(2α+β)+5cos β=0，求tan(α+β)·tan α的值； （2）已知5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ+θ，求θ+θ2sin 42cos 3的值。

解题思路分析：（1）从变换角的差异着手。

∵ 2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α ∴ 8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0 展开得：13cos(α+β)cos α-3sin(α+β)sin α=0 同除以cos(α+β)cos α得：tan(α+β)tan α=313（2）以三角函数结构特点出发 ∵ 3tan 1tan 2cos 3sin cos sin 2-θ+θ=θ-θθ+θ∴53tan 1tan 2-=-θ+θ∴ tan θ=2 ∴ 57tan 1tan 8tan33cos sincos sin 8)sin (cos32sin 42cos 3222222=θ+θ+θ-=θ+θθθ+θ-θ=θ+θ注；齐次式是三角函数式中的基本式，其处理方法是化切或降幂。

例6、已知函数2x sin2x sin24a )x (f -=（a ∈(0，1)），求f(x)的最值，并讨论周期性，奇偶性，单调性。

对三角函数式降幂81x 2cos 2x 2cos 141x sin41)x sin 21(2x cos2x sin)2x sin1(2x sin 2x sin 2x sin22222224-=-⋅-=-=-=-=--=-∴ f(x)=81x 2cos a -令 81x 2cos 81u -=则 y=a u ∴ 0<a<1 ∴ y=a u是减函数∴ 由]k 2,k 2[x 2ππ-π∈得]k ,2k [x ππ-π∈，此为f(x)的减区间由]k 2,k 2[x 2π+ππ∈得]2k ,k [x π+ππ∈，此为f(x)增区间∵ u(-x)=u(x) ∴ f(x)=f(-x) ∴ f(x)为偶函数 ∵ u(x+π)=f(x) ∴ f(x+π)=f(x)∴ f(x)为周期函数，最小正周期为π 当x=k π（k ∈Z ）时，y min =1 当x=k π+2π（k ∈Z ）时，y nax =41a注：研究三角函数性质，一般降幂化为y=Asin(ωx+φ)等一名一次一项的形式。

五、同步练习 （一）选择题1、下列函数中，既是（0，2π）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是A 、y=lgx 2B 、y=|sinx|C 、y=cosxD 、y=x 2sin 22、如果函数y=sin2x+acos2x 图象关于直线x=-8π对称，则a 值为 A 、 -2B 、-1C 、1D 、23、函数y=Asin(ωx+φ)（A>0，φ>0），在一个周期内，当x=8π时，y max =2；当x=π85时，y min =-2，则此函数解析式为A 、)42x sin(2y π+= B 、)4x 2sin(2y π+= C 、)4x sin(2y π+= D 、)8x 2sin(2y π+-=4、已知α-+αtan 11tan =1998，则α+α2tan 2sec 的值为A 、1997B 、1998C 、1999D 、2000 5、已知tan α，tan β是方程04x 33x 2=++两根，且α，β)2,2(ππ-∈，则α+β等于 A 、π-32B 、π-32或3πC 、3π-或π32D 、3π6、若3y x π=+，则sinx ·siny 的最小值为A 、-1B 、-21C 、43-D 、417、函数f(x)=3sin(x+100)+5sin(x+700)的最大值是 A 、5.5B 、6.5C 、7D 、88、若θ∈（0，2π]，则使sin θ<cos θ<cot θ<tan θ成立的θ取值范围是 A 、（2,4ππ） B 、（ππ,43） C 、（ππ23,45） D 、（ππ2,47）9、下列命题正确的是A 、若α，β是第一象限角，α>β，则sin α>sin βB 、函数y=sinx ·cotx 的单调区间是)2k 2,2k 2(π+ππ-π，k ∈ZC 、函数x2sin x 2cos 1y -=的最小正周期是2πD 、函数y=sinxcos2φ-cosxsin2x 的图象关于y 轴对称，则42k π+π=φ，k ∈Z10、函数)x 2cos x 2(sin log )x (f 31+=的单调减区间是A 、 )8k ,4k (π+ππ-π B 、]8k ,8k (π+ππ-π C.)83k ,8k (π+ππ+π D 、)85k ,8k (π+ππ+π k ∈Z（二）填空题11、函数f(x)=sin(x+θ)+3cos(x-θ)的图象关于y 轴对称，则θ=________。