离散数学重点笔记
离散数学重点笔记
第一章，0命题逻辑素数 = 质数，合数有因子和或假必真同为真(p→q)∧(q←→r)，(p∧q)∧┐r，p∧(q∧┐r)等都是合式公式，而→r，（p→(r→q)等不是合式公式。
若公式A是单个的命题变项，则称A为0层合式(┐p∧q)→r，(┐(p→┐q))∧((r∨s)┐p)分别为3层和4层公式【例】求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
(┐p∧q)→┐r公式(1)的成假赋值为011，其余7个赋值都是成真赋值第二章，命题逻辑等值演算（1）双重否定律⌝⌝⇔（2）等幂律 A∧⇔； A∨⇔（3）交换律 A∧⇔∧A ； A∨⇔∨A（4）结合律（A∧B）∧⇔∧（B∧C）；（A∨B）∨⇔∨（B∨C）（5）分配律（A∧B）∨C⇔（A∨C）∧（B∨C）；（A∨B）∧C⇔（A∧C）∨（B∧C）（6）德·摩根律⌝（A∨B）⌝⇔A∧⌝B ；⌝（A∧B）⇔⌝A∨⌝B（7）吸收律 A∨（A∧B）⇔A；A∧（A∨B）⇔A（8）零一律 A∨1⇔1 ； A∧0⇔0（9）同一律 A∨0⇔A ； A∧1⇔A（10）排中律 A∨⌝A⇔1（11）矛盾律 A∧⌝A⇔0（12）蕴涵等值式 A→⇔⌝∨B（13）假言易位 A→⇔⌝→⌝A（14）等价等值式↔⇔（A→B）∧（B→A）（15）等价否定等值式↔⇔⌝↔⌝⇔⌝↔⌝（16）归缪式（A→B）∧（A→⌝B）⇔⌝A(1,2,…)为简单合取式，则1∨A2∨…∨为析取范式 (p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨p 1∧A2∧…∧为合取范式 (p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式主范式【∧小真，∨大假】∧成真小写【例】(p→q)→(┐q→┐p)= ┐(┐p∨q)∨(q∨┐p) (消去→)= (p∧┐q)∨┐p∨q (┐内移) (已为析取范式)= (p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) （*）= m2∨m0∨m1∨m1∨m3= m0∨m1∨m2∨m3 (幂等律、排序)(*)由┐p及q派生的极小项的过程如下：┐p = ┐p∧(┐q∨q)= (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)q = (┐p∨p)∧q= (┐p∧q)∨(p∧q)熟练之后，以上过程可不写在演算过程中。
离散数学必备知识点总结资料
离散数学必备知识点总结资料离散数学是指离散的数学概念和结构，独立于连续的数学。
它是在计算机科学、信息科学、数学基础研究、工程技术等领域中的基础课程之一。
以下是离散数学必备的一些知识点总结。
一、逻辑与集合1. 命题与谓词：命题是一个陈述，可以被判断为真或假，而谓词是一种用来描述命题所涉及实体之间关系的语句。
2. 命题逻辑：重点关注命题真假和与或非等运算关系，包括真值表和主范式。
3. 一阶谓词逻辑：注意包含全称量词和存在量词，也包括a|b, a//b等符号的理解。
4. 集合与运算：集合是指不同元素组成的一个整体。
基本的集合运算包括并、交、差等。
5. 关系与函数：关系是一种元素之间的对应关系，而函数是一种具有确定性的关系，即每一个自变量都对应唯一的函数值。
6. 等价关系与划分：等价关系是指满足自反性、对称性和传递性的关系。
划分是指将一个集合分成若干个不相交的子集，每个子集称为一个等价类。
二、图论1. 图的定义和基本概念：图由节点和边构成，节点间的连线称为边。
包括度、路径、连通性等概念。
2. 图的表示方法：邻接矩阵和邻接表。
3. 欧拉图与哈密顿图：欧拉图是指能够一笔画出的图，哈密顿图是指含有一条经过每个节点恰好一次的路径的图。
4. 最短路径与最小生成树：最短路径问题是指在图中找出从一个节点到另一个节点的最短路径。
最小生成树问题是指在图中找出一棵覆盖所有节点的树，使得边权之和最小。
三、代数系统1. 代数结构：包括群、环、域等概念。
2. 群的定义和基本概念：群是在一个集合中定义一种二元运算满足结合律、单位元存在和逆元存在的代数结构。
四、组合数学1. 排列、组合和二项式系数：排列是指从n个元素中任选r个进行排序，组合是指从n个元素中任选r个但不考虑排序，二项式系数是指组合数。
2. 生成函数：将组合数与多项式联系起来的一种工具，用于求出某种算法或结构的某些特定函数。
3. 容斥原理：一个集合的容斥原理指在集合的并、交、补之间的关系。
离散数学知识点总结及应用
离散数学知识点总结及应用
知识点1: 集合论
- 集合的定义和表示方法
- 集合的运算：并、交、差、补
- 集合的基本性质和定律
知识点2: 逻辑与命题
- 命题的定义和特性
- 命题的联结词：与、或、非
- 命题的真值表和逻辑运算
- 命题的充分条件和必要条件
知识点3: 关系与函数
- 关系的定义和性质
- 关系的类型：自反、对称、传递、等价
- 函数的定义和基本概念
- 函数的特性和图像
知识点4: 图论
- 图的基本概念和术语
- 图的存储结构：邻接矩阵、邻接表
- 图的遍历算法：深度优先搜索、广度优先搜索
- 最短路径算法：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法
知识点5: 组合数学
- 排列和组合的基本概念
- 排列和组合的计算方法
- 随机变量和概率分布
- 组合数学在密码学等领域的应用
知识点6: 布尔代数
- 布尔代数的基本运算：与、或、非
- 布尔函数的最小化方法
- 布尔代数的应用：逻辑电路设计、编码器等
知识点7: 计算理论
- 自动机的基本概念和分类
- 正则语言和正则表达式
- 文法的定义和性质
- 上下文无关文法和巴科斯范式
知识点8: 数论
- 整数的性质和基本运算
- 质数和分解定理
- 同余关系和同余方程
- 数论在加密算法中的应用
以上是离散数学中的一些主要知识点和应用场景的简要总结，希望对你的研究有所帮助。
mit离散数学笔记
以下是MIT离散数学的一些主要内容和笔记要点：
集合论：
集合论是离散数学的基础，它研究集合及其性质和运算。
集合是由元素组成的，元素之间通过集合运算进行组合。
常见的集合运算包括并集、交集、差集等。
命题逻辑：
命题逻辑是研究命题及其推理的逻辑系统。
命题是一个陈述句，它要么为真，要么为假。
命题逻辑中的基本概念包括原子命题、合取、析取、否定等。
图论：
图论是研究图的结构和性质的数学分支。
图是由顶点和边组成的，顶点表示对象，边表示对象之间的关系。
图论中的基本概念包括路径、回路、连通性等。
组合数学：
组合数学是研究计数问题的数学分支。
计数问题包括排列、组合、分割等问题。
组合数学中的基本概念包括加法原理、乘法原理等。
离散概率论：
离散概率论是研究离散随机事件的概率的数学分支。
离散随机事件是指可以列举出来的事件，如掷骰子、抽扑克牌等。
离散概率论中的基本概念包括概率空间、随机变量、期望等。
抽象代数：
抽象代数是研究代数结构的数学分支。
代数结构包括群、环、域等。
抽象代数中的基本概念包括群的定义、群的性质、环的运算等。
离散数学的其他分支：
离散数学还包括其他分支，如数理逻辑、集合论与泛函分析的交叉学科等。
数理逻辑是研究推理规则和推理系统的数学分支。
集合论与泛函分析的交叉学科是研究集合论和泛函分析之间的联系和应用的数学分支。
以上是MIT离散数学的主要内容和笔记要点，希望能对你有所帮助。
离散数学笔记总结
离散数学笔记总结一、命题逻辑。
1. 基本概念。
- 命题：能够判断真假的陈述句。
例如“2 + 3 = 5”是真命题，“1 > 2”是假命题。
- 命题变元：用字母表示命题，如p,q,r等。
2. 逻辑联结词。
- 否定¬：¬ p表示对命题p的否定，若p为真，则¬ p为假，反之亦然。
- 合取wedge：pwedge q表示p并且q，只有当p和q都为真时，pwedge q才为真。
- 析取vee：pvee q表示p或者q，当p和q至少有一个为真时，pvee q为真。
- 蕴含to：pto q表示若p则q，只有当p为真且q为假时，pto q为假。
- 等价↔：p↔ q表示p当且仅当q，当p和q同真同假时，p↔ q为真。
3. 命题公式。
- 定义：由命题变元、逻辑联结词和括号按照一定规则组成的符号串。
- 赋值：给命题变元赋予真假值，从而确定命题公式的真值。
- 分类：重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、可满足式。
4. 逻辑等价与范式。
- 逻辑等价：若A↔ B是重言式，则称A与B逻辑等价，记作A≡ B。
例如¬(pwedge q)≡¬ pvee¬ q（德摩根律）。
- 范式：- 析取范式：由有限个简单合取式的析取组成的命题公式。
- 合取范式：由有限个简单析取式的合取组成的命题公式。
- 主析取范式：每个简单合取式都是极小项（包含所有命题变元的合取式，每个变元只出现一次）的析取范式。
- 主合取范式：每个简单析取式都是极大项（包含所有命题变元的析取式，每个变元只出现一次）的合取范式。
二、谓词逻辑。
1. 基本概念。
- 个体：可以独立存在的事物，如人、数等。
- 谓词：用来刻画个体性质或个体之间关系的词。
例如P(x)表示x具有性质P，R(x,y)表示x和y具有关系R。
- 量词：- 全称量词∀：∀ xP(x)表示对于所有的x，P(x)成立。
- 存在量词∃：∃ xP(x)表示存在某个x，使得P(x)成立。
笔记离散数学
离散数学复习笔记数理逻辑逻辑：以研究人的思维形式及思维规律为目的的一门学科数理逻辑：利用数学符号来协助推理的一门形式逻辑学命题：能表达判断并具有确定真值的陈述句真值：每个命题都具有的一个值，要么为真，要么为假，不能随着环境变化原子命题：不能再分解的命题复合命题：由原子命题符号及联结词组成的有意义的命题表达式否定非P 合取P而且Q 析取P可兼或Q 排斥析取P不可兼或Q 单条件若P 则Q 双条件P当且仅当Q命题公式：满足特定条件的合法的命题表达式分量：命题公式中的原子命题翻译：将自然语言转化为数理逻辑语言真值表：对一个命题公式而言，将对于其分量的各种可能的真值指派汇聚成的表两个命题等价：对两个命题公式A,B,若对于A\B中的所有命题变元P1\P2..对天安门的任一组真值指派A，B相同对应的行的真值相同，则称A与B等价等价定律：交换律，结合律，分配律，摩根律，否定律，同一律重言式：永真式，无论对命题变元作何种真值指派，它都等价于T的命题公式永假式：无论对命题变元作何种真值指派，它都等价于F的命题公式用一个命题公式代替重言式中同一个分量，依然为重言式蕴含式：若A->B永真则称A蕴含B，记做A=>B原命题等价于它的逆否命题三个性质：传递性，A=>B A=>C A=>(B^C)， A=>B C=>B AvC=>B有效结论：H1，H2、、、、Hn，C为一组命题公式，若H1^H2^...^Hn=>C,称C 是一组条件下的有效结论三种方法：真值表法，直接证法，间接证法其他连接词：条件否定，与非，或非规范命题表达式：只含非且或合取范氏：当且仅当具有A1^A2^...^An形式，A1，A2...An都是命题变元或其否定组成的析取式析取范式：当且仅当具有A1vA2v...vAn形式，A1，A2...An都是命题变元或其否定组成的合取式一个命题公式的合取范氏或析取范氏并不是唯一的n个命题变元的合取式，称作布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次 P^Q P^非Q一般n个命题变元共有2^n个小项n个命题变元的析取式，称作布尔析取或大项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次 PvQ Pv非Q主析取范式：对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由小项的析取所组成，则称该等价式为原式的主析取范式主合取范式：对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由大项的合取所组成，则称该等价式为原式的主合取范式集合论集合：满足一定特征的对象的全体扩张原则：两个集合相等，当且仅当他们有相同的元素抽象原则：任给一个集合U和一个性质P，存在一个集合A，使得A的各个元素恰好是U的具有性质P的那些成员集合表示：列举法，特征法幂集：对给定的集合A，称以A的全体子集为元素的集合为A的幂集集合的基数：|A|元素的个数无限集合：元素个数能与某个真子集一一对应的集合序偶：有序的二元数组<x,y>笛卡尔积：称A*B={<x,y>|x属于A且y属于B}二元关系：以序偶作为元素的集合即关系xRy，关系前域指x，关系值域指y，关系域是前域和值域的并集。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。
下面就来对离散数学中的一些重要知识点进行总结。
一、集合论集合是离散数学的基础概念之一。
集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。
集合的表示方法有列举法和描述法。
集合之间的关系包括子集、真子集、相等。
集合的运算有并集、交集、补集等。
集合的并集是由属于两个或多个集合中的所有元素组成的集合。
交集则是由同时属于两个或多个集合的元素组成的集合。
补集是在给定的全集 U 中，不属于某个集合 A 的元素组成的集合。
集合的运算遵循一些基本的定律，如交换律、结合律、分配律等。
这些定律在解决集合相关的问题时非常有用。
二、关系关系是集合论中的一个重要概念，它描述了两个集合元素之间的某种联系。
关系可以用集合的形式表示，也可以用关系矩阵和关系图来表示。
关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
不同性质的关系在实际应用中有着不同的意义。
等价关系是一种特殊的关系，它同时具有自反性、对称性和传递性。
等价关系可以将集合中的元素进行分类，形成等价类。
偏序关系也是一种常见的关系，它具有自反性、反对称性和传递性。
偏序关系可以用来描述元素之间的顺序关系，例如在集合的包含关系中。
三、函数函数是一种特殊的关系，它对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
函数的类型包括单射函数、满射函数和双射函数。
函数的复合是将两个函数依次作用，得到一个新的函数。
函数的逆是在函数是双射的情况下存在的，并且逆函数的复合等于原函数。
四、图论图是由顶点和边组成的结构。
图可以分为无向图和有向图。
图的基本概念包括顶点的度、路径、回路、连通性等。
图的存储方式有邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵适合表示稠密图，而邻接表适合表示稀疏图。
图的遍历算法有深度优先搜索和广度优先搜索。
这两种算法在图的处理中经常被用到，例如寻找图中的路径、判断图的连通性等。
离散数学必备知识点总结汇总
离散数学必备知识点总结汇总
1.集合论：集合的概念、元素、子集、交集、并集、差集、补集、空集、集合的运算、集合的等价关系、集合的序关系等。
2.命题逻辑：命题的概念、命题的联接词（与、或、非）、命题的否
定形式、命题的蕴涵、等价命题、命题的充分条件和必要条件、命题的合
取范式和析取范式、蕴涵式、逻辑等价式、命题的否定形式的推理。
3.谓词逻辑：谓词的概念、谓词的量化、全称量化和存在量化、谓词
逻辑的等价式和推理规则、归纳定理和应用。
4.关系：关系的概念、关系的性质、关系的运算、关系的性质和关系
的代数结构。
5.图论：图的概念、图的表示、连通图、树、度数和定理、欧拉图、
哈密顿图、图的平面性质等。
6.混合图：有向图、无向图、有向图和无向图的表示、混合图的回路、可达矩阵、连通度、强连通图等。
7.布尔代数：布尔运算、布尔函数、布尔代数的运算规则、完备性和
最小化。
8.代数结构：半群、群、环、域的定义和性质、同态和同构。
9.组合数学：排列组合、二项式系数、排列、组合、分配原理、鸽巢
原理、生成函数、容斥原理等。
10.图的着色：图的着色问题、邻接矩阵、边界点、图的着色问题的
算法、四色定理等。
11.概率论：基本概念、概率的性质、条件概率、独立事件、贝叶斯定理、随机变量、概率分布函数、期望、方差、协方差、相关系数、大数定理和中心极限定理等。
12.递归：递归关系、递归函数、递归算法、递归树、递归求解等。
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第一章，0命题逻辑素数 = 质数，合数有因子和或假必真同为真(p→q)∧(q←→r)，(p∧q)∧┐r，p∧(q∧┐r)等都是合式公式，而pq→r，（p→(r→q)等不是合式公式。
若公式A是单个的命题变项，则称A为0层合式(┐p∧q)→r，(┐(p→┐q))∧((r∨s)┐p)分别为3层和4层公式【例】求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
(┐p∧q)→┐r公式(1)的成假赋值为011，其余7个赋值都是成真赋值第二章，命题逻辑等值演算（1）双重否定律⌝⌝A⇔A（2）等幂律 A∧A⇔A ； A∨A⇔A（3）交换律 A∧B⇔B∧A ； A∨B⇔B∨A（4）结合律（A∧B）∧C⇔A∧（B∧C）；（A∨B）∨C⇔A∨（B∨C）（5）分配律（A∧B）∨C⇔（A∨C）∧（B∨C）；（A∨B）∧C⇔（A∧C）∨（B∧C）（6）德·摩根律⌝（A∨B）⌝⇔A∧⌝B ；⌝（A∧B）⇔⌝A∨⌝B（7）吸收律 A∨（A∧B）⇔A；A∧（A∨B）⇔A（8）零一律 A∨1⇔1 ； A∧0⇔0（9）同一律 A∨0⇔A ； A∧1⇔A（10）排中律 A∨⌝A⇔1（11）矛盾律 A∧⌝A⇔0（12）蕴涵等值式 A→B⇔⌝A∨B（13）假言易位 A→B⇔⌝B→⌝A（14）等价等值式 A↔B⇔（A→B）∧（B→A）（15）等价否定等值式 A↔B⇔⌝A↔⌝B⇔⌝B↔⌝A（16）归缪式（A→B）∧（A→⌝B）⇔⌝AA i(i=1,2,…,s)为简单合取式，则A=A1∨A2∨…∨A s为析取范式 (p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨p A=A1∧A2∧…∧A s为合取范式 (p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式主范式【∧小真，∨大假】∧成真小写【例】(p→q)→(┐q→┐p)= ┐(┐p∨q)∨(q∨┐p) (消去→)= (p∧┐q)∨┐p∨q (┐内移) (已为析取范式)= (p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) （*）= m2∨m0∨m1∨m1∨m3= m0∨m1∨m2∨m3 (幂等律、排序)(*)由┐p及q派生的极小项的过程如下：┐p = ┐p∧(┐q∨q)= (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)q = (┐p∨p)∧q= (┐p∧q)∨(p∧q)熟练之后，以上过程可不写在演算过程中。
该公式中含n=2个命题变项，它的主析取范式中含了22=4个极小项，故它为重言式，00，01，10，11全为成真赋值。
【例】(p→q)∧┐p= (┐p∨q)∧┐p (消去→)= ┐p∨(┐p∧q) (分配律、幂等律) 已为析取范式= (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)= m0∨m1【例】(p∧┐q)∨(┐p∧q)= (p∨┐p)∧(p∨q)∧(┐q∨┐p)∧(┐q∨q)= (p∨q)∧┐(p∧q)重言蕴涵式【例】用附加前提证明法证明下面推理。
前提：P→（Q→R），⌝S∨P，Q 结论：S→R证明：（1）⌝S∨P 前提引入规则（2）S 附加前提引入规则（3）P （1）（2）析取三段论规则（4）P→（Q→R）前提引入规则（5）Q→R （3）（4）假言推理规则（6）Q 前提引入规则（7）R （5）（6）假言推理规则【例】用归缪法证明。
前提：P∨Q，P→R，Q→S 结论：S∨R证明（1）⌝（S∨R）附加前提引入规则（2）⌝S∧⌝R （1）置换规则（3）⌝S （2）化简规则（4）⌝R （2）化简规则（5）Q→S 前提引入规则（6）⌝Q∨S （5）置换规则（7）⌝Q （3）（6）析取三段论（8）P∨Q 前提引入规则（9）P （7）（8）析取三段论规则（10）P→R 前提引入规则（11）⌝P∨R （10）置换规则（12）R （9）（11）析取三段论规则（13）⌝R∧R （4）（12）合取引入规则全称量词"∀"对"∨"无分配律。
同样的，存在量词"∃"对"∧"无分配律(3)x yF(x,y)x(F(x,a)∧F(x,b)∧F(x,c))(F(a,a)∧F(a,b)∧F(a,c))∨(F(b,a)∧F(b,b)∧F(b,c))∨(F(c,a)∧F(c,b)∧F(c,c))谓词逻辑的等价公式定理1设A（x）是谓词公式，有关量词否定的两个等价公式：（1）﹁∀x A（x）⇔∃x﹁A（x）（2）﹁∃x A（x）⇔∀x﹁A（x）定理2 设A（x）是任意的含自由出现个体变项x的公式，B是不含x出现的公式，则有（1）∀x（A（x）∨B）⇔∀x A（x）∨B（2）∀x（A（x）∧B）⇔∀x A（x）∧B（3）∀x（A（x）→ B）⇔∃x A（x）→ B（4）∀x（B→A（x））⇔B→∀x A（x）（5）∃x（A（x）∨B）⇔∃x A（x）∨B（6）∃x（A（x）∧B）⇔∃x A（x）∧B（7）∃x（A（x）→ B）⇔∀x A（x）→ B（8）∃x（B→A（x））⇔B→∃x A（x）定理3 设A（x）、B（x）是任意包含自由出现个体变元x的公式,则有：（1）∀x（A（x）∧B（x））⇔∀x A（x）∧∀x B（x）（2）∃x（A（x）∨B（x））⇔∃x A（x）∨∃x B（x）定理4 下列蕴涵式成立（1）∀x A（x）∨∀x B（x）⇒∀x（A（x）∨B（x））（2）∃x（A（x）∧B（x））⇒∃x A（x）∧∃x B（x）（3）∀x（A（x）→ B（x））⇒∀x A（x）→∀x B（x）（4）∀x（A（x）→ B（x））⇒∃x A（x）→∃x B（x）（5）∃x A（x）→∀x B（x）⇒∀x（A（x）→ B（x））【例】【例】【例】【例】【例】在一阶逻辑自然推理系统F中构造下面推理的证明（1）所有的人或者是吃素的或者是吃荤的，吃素的常吃豆制品，因而不吃豆制品的人是吃荤的。
（个体域为人的集合）。
（2）每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车，每个人或者是喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车，有的人不喜欢乘汽车，所以有的人不喜欢步行。
（个体域为人的集合）。
【例】符号化下面的命题“所有的有理数都是实数，所有的无理数也是实数，任何虚数都不是实数，所以任何虚数既不是有理数也不是无理数”，并推证其结论。
证明设：P（x）：x是有理数。
Q（x）：x是无理数。
R（x）：x是实数。
S（x）：x是虚数。
本题符号化为：∀x（P（x）→ R（x）），∀x（Q（x）→ R（x）），∀x（S（x）→﹁R（x））⇒∀x（S（x）→﹁P（x）∧﹁R（x））（1）∀x（S（x）→﹁R（x）） P（2）S（y）→﹁R（y） US（1）（3）∀x（P（x）→ R（x）） P（4）P（y）→ R（y） US（3）（5）﹁R（y）→﹁P（y） T（4）E（6）∀x（Q（x）→ R（x）） P（7）Q（y）→ R（y） US（6）（8）﹁R（y）→﹁Q（y） T（7）E（9）S（y）→﹁P（y）T（2）（5）I（10）S（y）→﹁Q（y）T（2）（8）I（11）（S（y）→﹁P（y））∧（S（y）→﹁Q（y）T（9）（10）I（12）（﹁S（y）∨﹁P（y））∧（⌝S（y）∨﹁Q（y））T（11）E（13）﹁S（y）∨（﹁P（y）∧﹁Q（y））T（12）E（14）S（y）→（﹁P（y）∧﹁Q（y））T（13）E（15）∀x（S（x）→﹁P（x）∧﹁R（x））UG（14）第六章，集合代数自然数集合N(在离散数学中认为0也是自然数)，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C 全集U，空集是一切集合的子集（1）幂等律：A∩A＝A A∪A＝A（2）同一律：A∩U＝A（3）零律：A∩φ＝φA∪E＝E（4）结合律：(A∩B)∩C＝A∩(B∩C) (A∪B)∪C＝A∪(B∪C)（5）交换律：A∩B＝B∩A A∪B＝B∪A(6) 分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）吸收律A∪（A∩B）＝A A∩（A∪B）＝A同一律A∪＝AA∩E＝AA-B称为集合B关于A的补集Ａ-B＝｛x|x∈Ａ且x∉B｝补集记作~A~（A∪B）＝~A∩~B~（A∩B）＝~A∪~B（1）双重否定律：~（~A）＝A（2）摩根律：~φ＝U ~U＝φA－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C)A－(B∩C)＝(A－B)∪(A－C)～(B∪C)=～B∩～C～(B∩C)=～B∪～C（4）矛盾律：A∩（~A）＝φ（5）排中律：A∪（~A）＝U集合A和B的对称差记作A⊕B，它是一个集合，其元素或属于A，或属于B，但不能既属于A又属于B。
A⊕B＝(A∪B)-(A∩B)（1）A⊕A＝φ（2）A⊕φ＝A（3）A⊕Ｕ＝~Ａ（4）A⊕B＝B⊕A（5）（A⊕B）⊕C＝A⊕（B⊕C）（6）A⊕B＝(A-B)∪(B-A)第七章，二元关系A×B={<x，y>x∈A∧y∈B}A×B={a，b}×{c，d}={<a，c>，<a，d>，<b，c>，<b，d>} 自反性和反自反性定义4.10 设R是集合A上的二元关系，如果对于每个x∈A，都有<x，x>∈R，则称二元关系R是自反的。
R在A上是自反的⇔∀x（x∈A→<x，x>∈R）定义4.11 设R是集合A上的二元关系，如果对于每个x∈A，都有<x，x >∉R，则称二元关系R是反自反的。
R在A上是反自反的⇔∀x（x∈A→< x，x >∉R）4.4.2 对称性和反对称性定义4.12 设R是集合A上的二元关系，如果对于每个x，y∈A，当<x，y>∈R，就有<y，x>∈R，则称二元关系R是对称的。
R在A上是对称的⇔∀x∀y（x∈A∧y∈A∧<x，y>∈R→<y，x>∈R）定义4.13 设R是集合A上的二元关系，如果对于每个x，y∈A，当<x，y>∈R和<y，x>∈R时，必有x=y，则称二元关系R是反对称的。
4.4.3 传递性定义4.14 设R是集合A上的二元关系，如果对于任意x，y，z∈A，当<x，y>∈R，<y，z>∈R，就有<x，z>∈R，则称二元关系R在A上是传递的。
R在A上是传递的⇔∀x∀y∀z（x∈A∧y∈A∧z∈A∧<x，y>∈R∧<y，z>∈R→<x，z>∈R）例4.13 设A={a，b，c}，R，S，T是A上的二元关系，其中R={<a，a>，<b，b>，<a，c>}S={<a，b>，<b，c>，<c，c>}T={<a，b>}说明R，S，T是否为A上的传递关系。