债券价格波动性测算及风险评估
测算债券价格波动性的方法
测算债券价格波动性的方法债券投资者需要对债券价格波动性和债券价格利率风险进行计算。
通常使用的计量指标有基点价格值、价格变动收益率值和久期。
（一）基点价格值基点价格值是指应计收益率每变化1个基点时引起的债券价格的绝对变动额。
我们知道，对于收益率的微小变动，不论是上升还是下降，特定债券的价格将大致呈相同幅度的百分比变动。
因此，应计收益率每下降或上升1个基点时的价格波动性是相同的。
例14-2：基点价格值的计算可以用表14-3来加以说明。
每一种债券的初始价、应计收益率每增加1个基点后的价格（如从9.00％到9.01％）以及每一基点的价格值如表14-3所示。
（二）价格变动收益率值投资者使用的另一个估算债券价格波动率的指标是价格变化的收益率值。
要计算该指标，首先需要计算当债券价格下降x元时的到期收益率值。
新的收益率与初始收益率（价格变动前的收益率）的差额即是债券价格变动x元时的收益率。
其他条件相同时，债券价格收益率越小，说明债券的价格波动性越大。
（三）久期久期是测量债券价格相对于收益率变动的敏感性指标。
其中最重要的一种久期是1938年弗雷德里克·麦考莱首先提出的麦考莱久期，其次是修正的麦考莱久期。
假设市场中存在某种无内含选择权的债券，半年付息一次。
那么其价格计算公式为：要确定当收益率微小变动时债券价格的变动值，由上一公式可得：这表明应计收益率的微小变动引起的债券价格的近似变动值。
两边除以P，则得出价格变动的百分比近似值：中括号内的部分是截至到期日时的债券现金流量的加权平均期限值。
以括号内的部分除以价格，即被称为麦考莱久期，即：麦考莱久期和（1+y）的比率通常称为修正的麦考莱久期，即：附息债券的麦考莱久期和修正的麦考莱久期小于其到期期限。
对于零息债券而言，麦考莱久期与到期期限相同。
我们知道，在所有其他因素不变的情况下，到期期限越长，债券价格的波动性越大。
对于普通债券而言，当其他因素不变时，票面利率越低，麦考莱久期及修正的麦考莱久期就越大（这一特点不适用于长期贴现债券）。
债券发行风险评估如何进行风险测算
债券发行风险评估如何进行风险测算在金融领域，债券发行风险评估是一个重要的环节，帮助投资者理解和评估债券项目的风险情况。
通过风险测算，发行者和投资者可以更好地理解债券发行的潜在风险，做出明智的投资决策。
本文将介绍债券发行风险评估的一般步骤，以及常用的风险测算方法。
1. 风险测算的目的与意义：债券发行风险评估的目的是确定和评估债券项目所面临的各种风险因素。
这些风险因素包括市场风险、信用风险、利率风险等。
通过风险测算，可以帮助投资方和发行方在决策时更充分地考虑风险因素，合理地定价和评估债券项目。
2. 风险测算的一般步骤：（1）收集信息：在进行风险测算之前，首先需要收集与债券项目相关的各种信息，包括发行方的财务状况、市场情况、行业发展趋势等。
（2）确定风险因素：根据收集到的信息，确定与债券发行相关的主要风险因素，如市场风险、信用风险、流动性风险等。
（3）评估风险的概率和影响：对每个确定的风险因素，评估其发生的概率以及对债券项目的影响程度。
这可以通过统计数据、历史经验和专家意见进行估算。
（4）测算整体风险：将各个风险因素的概率和影响程度综合起来，测算债券项目的整体风险水平。
常见的方法包括风险模型的建立和蒙特卡洛模拟等。
（5）制定应对策略：根据风险测算结果，制定相应的应对策略。
这包括风险避免、风险缓解、风险转移等措施，以降低债券项目的风险。
3. 常用的风险测算方法：（1）价值at风险（VaR）方法：VaR是一种衡量风险的统计指标，通过估算某个置信水平下的最大可能损失，来衡量债券发行项目的风险水平。
（2）敏感性分析法：通过改变特定变量的取值，观察对债券项目风险的影响程度。
常用的敏感性分析方法包括Delta风险、Gamma风险等。
（3）蒙特卡洛模拟法：通过随机模拟大量可能的市场场景，计算每种场景下债券项目的风险水平。
这种方法可以更全面地反映债券项目的风险特征。
总之，债券发行风险评估是保证债券市场健康发展的重要环节。
债券投资评估方法
债券投资评估方法摘要：一、债券投资评估的重要性二、债券投资评估的方法1.债券评级法2.现金流折现法3.相对价值法4.市场定价法三、债券投资评估的应用与实践四、评估方法的优缺点分析五、总结与建议正文：一、债券投资评估的重要性债券投资评估是投资决策的关键环节，通过对债券的信用风险、市场风险和流动性风险等方面进行全面分析，有助于投资者更好地把握投资机会，确保投资安全。
本文将对债券投资评估的方法进行详细介绍，以指导投资者在实际操作中做出明智的选择。
二、债券投资评估的方法1.债券评级法债券评级法是根据债券发行主体的信用状况来评估债券的风险和收益。
债券评级机构通过对债券发行人的财务状况、盈利能力、偿债能力等指标进行分析，给予相应的信用评级。
投资者可以根据评级结果选择合适的投资标的。
2.现金流折现法现金流折现法（DCF）是一种较为常用的债券投资评估方法。
该方法通过预测债券未来现金流，并将其折现至现值，以衡量债券的价值。
现金流折现法充分考虑了债券的期限、利率、发行主体等因素，具有较强的实用性。
3.相对价值法相对价值法是通过比较同类债券的市场价格，判断债券的估值是否合理。
该方法主要适用于交易活跃的债券品种，如国债、企业债等。
投资者可以利用相对价值法寻找估值洼地，实现投资收益最大化。
4.市场定价法市场定价法是以市场价格为基准，分析债券的估值水平。
当债券的市场价格高于估值时，投资者可以考虑卖出；当市场价格低于估值时，投资者可以考虑买入。
市场定价法适用于市场中具有较高流动性的债券品种。
三、债券投资评估的应用与实践在实际投资过程中，投资者可以根据自身的风险承受能力、投资目标和市场环境，灵活运用以上评估方法。
同时，结合债券评级、债券价格波动率、市场利率等因素，进行全面的风险评估，以提高投资收益。
四、评估方法的优缺点分析1.债券评级法：优点在于直观地反映了债券的信用风险，缺点是对评级机构的公信力有一定依赖。
2.现金流折现法：优点在于充分考虑了债券的各种因素，缺点是计算过程较为复杂。
投资债券市场的利润与风险评估的实际案例分析
投资债券市场的利润与风险评估的实际案例分析随着金融市场的发展，债券市场成为了投资者们获取稳定收益的重要途径之一。
然而，债券市场中不同类型的债券存在着不同的利润和风险。
本文将通过实际案例分析，探讨投资债券市场中的利润与风险评估。
案例一：公司债券投资某投资者考虑投资某公司债券，该公司在行业中处于领先地位，业绩稳定。
此公司的债券到期收益率为5%，期限为5年，每年支付利息两次。
该投资者计算了债券的各项指标并进行了风险评估。
首先，该投资者计算了债券的当前收益率，并与到期收益率相比较。
如果当前收益率低于到期收益率，这意味着该债券的价格较高，投资者在购买时可能会支付较高的价格，从而获得的利息收益较低。
如果当前收益率高于到期收益率，投资者则可能以较低价格购买债券，获得更高的利息收益。
其次，该投资者关注了债券的违约风险。
通过查阅该公司的财务报表，他了解了该公司的偿债能力和经营状况。
如果该公司财务稳定、现金流充足，违约风险较低，投资者则可以放心投资。
然而，如果该公司财务状况不稳定、经营困难，投资者则需要警惕债券的违约风险。
最后，该投资者还考虑了债券的流动性风险。
如果债券市场流动性较差，投资者在需要提前出售债券时可能会面临较低的买家竞争，导致债券价格下跌。
因此，投资者需要综合考虑市场流动性因素，避免过度集中于某一种债券。
案例二：政府债券投资另一投资者决定购买政府债券，希望通过债券市场获取稳定收益并保值增值。
政府债券由政府发行，通常具有较低的违约风险。
该投资者通过分析政府债券的利率水平、债券期限以及通货膨胀情况来评估该投资的利润与风险。
首先，该投资者关注债券的利率水平。
如果当前市场利率较高，购买政府债券可以获得相对较高的固定利息收益。
然而，如果利率下降，已购买的债券在二级市场上的价格可能上升，从而带来资本增值，但后续利息收益会降低。
其次，该投资者考虑债券的期限。
通常情况下，长期政府债券的收益率较短期政府债券更高，但也伴随着更大的利率波动风险。
债券发行的信用风险评估债券违约风险的重要指标
债券发行的信用风险评估债券违约风险的重要指标债券发行的信用风险评估——债券违约风险的重要指标债券市场作为金融市场的重要组成部分，是企业、政府等债务融资的主要途径。
在债券发行中，信用风险评估是投资者进行投资决策的关键考量因素之一。
而债券违约风险指标作为信用风险评估的重要指标之一，具有重要的参考意义。
本文将探讨债券违约风险的重要指标及其评估方法。
一、债券违约风险的重要指标债券违约风险是指债券发行方无法按时、按约定履行还本付息的风险。
在评估债券违约风险时，有一些重要指标可以作为参考：1. 债券评级：债券评级机构根据债券发行方的信用状况和债券的偿付能力进行评级。
常见的评级机构有标普、穆迪和惠誉等。
评级结果通常以字母等级表示，例如AAA、AA、A等级，其中AAA为最高等级，表示债券发行方信用优秀。
2. 利差：利差是指债券的到期收益率与无风险利率之间的差额。
利差较高通常反映了市场对债券违约风险的担忧，而利差较低则表明市场对债券违约风险的预期较低。
3. 债券违约概率：债券违约概率是指债券违约的可能性。
评估债券违约概率可以参考历史数据、债券评级结果、财务状况等因素。
一般来说，债券违约概率越高，债券的违约风险就越大。
二、债券违约风险评估方法针对债券违约风险的评估，可以采用以下方法：1. 信用评级法：通过债券评级机构的评级结果，可以直接获得债券发行方的信用状况。
投资者可以根据评级结果进行判断，选择信用等级较高的债券进行投资。
2. 历史数据分析法：通过对债券市场历史数据的分析，可以了解不同债券的违约情况及其与市场环境的相关性。
通过分析历史数据，可以对未来的债券违约风险做出一定的预测。
3. 财务分析法：对债券发行方的财务状况进行评估，包括利润、偿债能力、流动性等指标的分析。
债券发行方财务状况较好的，其违约风险较低。
4. 宏观经济环境分析法：债券违约风险受宏观经济环境的影响较大。
因此，对宏观经济环境进行分析，包括国内经济增长、通货膨胀率、利率水平等因素的研究，可以对债券违约风险进行评估。
债券投资与风险控制
债券投资与风险控制债券投资作为一种相对低风险的固定收益投资工具，受到了越来越多投资者的关注。
然而，在进行债券投资时，风险控制是非常重要的一环。
本文将从债券基本知识、风险评估和风险控制策略三个方面来探讨债券投资与风险控制的关系。
一、债券基本知识债券是指债务人向债权人以书面形式承诺支付利息和本金的证券，是一种固定收益投资工具。
债券的基本要素包括债券类型、债券发行者、债券到期日、票面利率和还本付息方式等。
不同类型的债券具有不同的投资特点和风险水平。
常见的债券类型包括国债、地方政府债、金融债、企业债等。
国债往往被认为是最安全的债券，因为其发行主体为国家，在偿还能力上具备较高的可靠性。
而企业债则相对较高风险，因为其发行主体为企业，偿还能力受到市场行情和企业经营状况的影响。
二、风险评估在进行债券投资时，风险评估是至关重要的环节。
只有了解债券的风险状况，我们才能做出明智的投资决策。
1. 信用风险信用风险是指发行债券的主体无法按时支付利息和本金的风险。
投资者通常会通过债券评级机构的评级结果来判断债券的信用风险水平。
一般来说，评级越高的债券信用风险越低。
2. 利率风险利率风险是指由于市场利率的变动而导致债券价格波动的风险。
当市场利率上升时，债券价格下跌；反之，当市场利率下降时，债券价格上涨。
投资者需要关注市场利率的走势，以及债券的到期期限和票面利率，合理分散投资以减少利率风险。
3. 流动性风险流动性风险是指债券在二级市场上的买卖价格可能因为市场流动性不足而出现较大波动的风险。
投资者需要关注债券的流动性状况，选择具备良好市场流动性的债券。
三、风险控制策略针对不同的风险，我们可以采取相应的风险控制策略来降低风险。
1. 分散投资分散投资是一种降低投资风险的有效方式。
投资者可以将资金分散投资于不同类型、不同期限和不同评级的债券，以实现风险的分散和收益的平衡。
2. 严格风险评估在进行债券投资之前，进行充分的风险评估是非常重要的。
债券定价与风险分析
债券定价与风险分析债券是一种借款合同，即债务人向债权人发行债券，承诺在未来的一些时间支付利息和本金。
债券是金融市场中广泛使用的一种金融工具，可以用于融资、投资和风险管理等方面。
债券的定价和风险分析对于投资者和发行人来说都非常重要。
债券定价是指根据债券的特征和市场环境，确定债券的合理价格。
债券的合理价格取决于多个因素，包括债券的到期日、票面利率、市场利率、债券的违约风险等。
债券的到期日越近，债券的价格应该越接近于其票面金额。
而债券的票面利率越高，债券的价格就越高，因为其支付利息的回报更高。
市场利率越低，债券的价格越高，因为投资者会愿意购买利息更高的债券。
债券的违约风险越高，债券的价格就越低，因为投资者对债券的信用担忧会使得他们要求更高的回报率。
在债券定价的过程中，需要使用一些定价模型，如现金流量折现模型（DCF）和收益率曲线模型等。
DCF模型根据债券的现金流量和折现率来估计其合理价格。
现金流量包括债券的利息支付和本金偿还，折现率根据市场利率和债券的风险来确定。
收益率曲线模型根据市场上的债券价格和利率水平来估计其他债券的合理价格。
通过这些定价模型，投资者和发行人可以评估债券的价值，从而决定是否购买或发行债券。
风险分析是评估债券风险的过程。
债券的风险可以分为违约风险、利率风险和流动性风险等。
违约风险是指债券发行人无法按时偿还债券本金和利息的风险。
债券的违约风险与债券发行人的信用状况密切相关，投资者需要评估发行人的信用评级和财务状况来确定债券的违约风险。
利率风险是指市场利率变动对债券价格的影响。
市场利率上升会导致债券价格下降，因为投资者可以在市场上获得更高的回报率。
流动性风险是指债券在市场上买卖时的成交难度和价格波动风险。
一些比较小型和不太活跃的债券可能存在流动性风险，投资者可能难以找到买家或卖家，导致买卖价格的波动。
为了降低风险，投资者可以通过分散投资的方式来购买多种债券，以平衡各种风险。
具有投资级信用评级的债券一般被认为是较低风险的投资选择。
金融风险评估与监测方法
金融风险评估与监测方法在金融领域，风险评估与监测是至关重要的任务。
随着金融市场的不断发展和创新，各种风险不断涌现，需要有效的方法来评估和监测这些风险。
本文将介绍一些常用的金融风险评估与监测方法。
一、市场风险评估与监测方法市场风险是指市场价格波动对投资组合价值造成的损失。
常见的市场风险评估与监测方法包括历史模拟法、变异协方差法和蒙特卡洛模拟法。
历史模拟法通过分析历史数据，模拟当前投资组合的可能收益与风险。
它可以帮助投资者预测未来可能发生的市场波动，并做出相应的风险管理决策。
变异协方差法是一种基于统计分析的方法，它通过计算资产之间的协方差矩阵，进而评估投资组合的风险。
这种方法更加重视资产之间的相关性，能够更好地识别出系统性风险和非系统性风险。
蒙特卡洛模拟法基于随机分析的思想，通过生成大量随机数模拟市场价格的变动，进而评估投资组合的风险。
它可以模拟出不同情景下的投资组合价值，并用于市场风险的评估和监测。
二、信用风险评估与监测方法信用风险是指当债务人无法履行其货币债务或者其他债务义务时，对债权人造成的损失。
常见的信用风险评估与监测方法包括基础评级法、违约概率模型和边际模型。
基础评级法是根据债券发行人基本面的指标来评估其信用风险水平。
它主要依赖于财务数据和宏观经济指标，通过评级来判断债项的信用风险。
违约概率模型是一种基于统计分析的方法，用于评估债券违约的概率。
通过分析历史违约数据和相关变量，建立违约模型，对债券的信用风险进行评估。
边际模型是一种基于债券市场数据的方法，通过分析债券价格和收益率的变动，推测债券市场对信用风险的反应。
它可以识别出市场对债券违约风险的预期，并用于信用风险的监测。
三、流动性风险评估与监测方法流动性风险是指在一定时间内将资产转换为现金或现金等价物的能力。
常见的流动性风险评估与监测方法包括流动性指标法、市场深度法和压力测试法。
流动性指标法是通过计算流动性指标，评估资产的流动性风险。
常用的指标包括买卖价差、日均成交量和持有期限等，可以帮助投资者评估资产的流动性水平。
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摘要：债券市场的波动性主要是通过债券价格的波动性体现出来，它是指债券价格上升或下降幅度的决定机制。
不同组织方式下债券在不同交易场所的波动性不尽相同。
本文选用了基点价格值、修正久期与凸性等指标对上海证券交易所23类国债价格的波动性进行测度。
计量结果表明，交易所市场的功能和效率较强，同时也反映了上证国债市场价格波动性较大、投机性较强等现象。
关键词：债券市场波动性风险债券市场波动性测算及风险评估——基于上证23类国债的分析一、引言债券市场的波动性主要是以债券价格的波动特点来说明的。
1随着我国市场经济的发展，以及我国利率市场化的逐步推进，我国对利率的放开成为未来一定阶段内的必然选择。
当前我国存贷款基准利率是由中国人民银行调控的，存贷款基准利率调整越来越频繁，调整的幅度也越来越大，债券价格波动幅度也越来远大，债券价格的波动性测算以及风险管理成为债券研究的新难题。
伴随着利率变动的频率越来越高和幅度越来越大，使得商业银行基于久期和凸度模型的利率风险管理策略显得尤其重要，而久期和凸度的计算一般依赖于金融资产具有相对固的现金流，从理论上说，在使用久期和凸度缺口模型进行利率风险管理时，应该使用隐含期权调整后的久期和凸度，即有效久期和有效凸度。
修正久期和凸性是债券和债券组合管理的核心概念，是衡量债券及债券组合利率风险的重要工具，是投资者执行各种债券投资策略和套期保值策略的重要基础。
如何认识有效久期和有效凸度，如何计算有效久期和有效凸度，是商业银行管理隐含期权利率风险的关键所在。
二、基本假设久期（也称持续期）用来衡量债券的到期时间。
它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。
债券的久期就是投资者收到债券各个现金流所需时间的加权平均，权重为各个现金流现值占所有现金流现值的比重。
这个概念最早由弗雷德里克·麦考利引入，所以，我们通常称之为麦考利久期。
很显然，由于麦考利久期是时间的加权平均，所以，麦考利久期是用“年”来衡量的。
对于普通债券而言，其麦考利久期通常介于0和债券存续期之间，特别地，零息债券的1法博兹( 2002): 《债券市场分析和策略》,百家出版社。
麦考利久期就等于其存续期。
麦考利久期虽然衡量了投资者收到各个现金流的所需要的平均时间，但对于利率敏感型的债券而言，投资者更需要知道债券价格相对于利率变化的敏感性，即债券的利率风险，而衡量这个的敏感性的指标就是修正久期。
从概念上看，麦考利久期衡量的是投资者收到各个现金流的平均时间，以“年”为单位，而修正久期则描述的是债券价格相对于利率变化的敏感性。
敏感性是没有单位的，因此麦考利久期和修正久期分别描述了债券的不同性质。
在计算方法上，计算麦考利久期使用的是债券的到期收益率，即对债券的每个现金流都用相同的折现率进行折现得到。
然而，由于修正久期需要抓住利率变化所导致的债券价格的变化，因此，为了准确计算修正久期，对债券的每个现金流都会用对应期限的折现率进行折现。
而不同期限的折现率会存在差异，另外，基准利率的变化所导致的不同期限的利率变化也会存在不同。
最后，由于修正久期描述的是债券价格相对于利率变化的敏感性，在债券组合管理过程中，修正久期的应用远多于麦考利久期。
正因为以上几方面的原因，本文主要考察了定期复利计息情况下债券和债券组合修正久期的计算问题。
在利率变化幅度很小的情况下，修正久期基本上能抓住利率变化所带来的债券价格的变化。
然而，由于债券的价格收益率曲线的形状是凸形的，如图1 所示。
这种凸形特征决定了当利率变化幅度较大的情况下，修正久期并不能完全抓住利率变化所导致的债券价格的变化。
在这种情况下，为了更准确衡量利率变化导致的债券价格变化，就需要考虑债券的凸性。
具体而言，修正久期对应的是债券价格相对于利率的一阶导数，而凸性对应的则是二阶导数，这与期权市场上用来刻画期权风险的德尔塔和伽马对应。
所以，本文除了考察债券和债券组合修正久期的计算问题以外，还考察了债券和债券组合凸性的计算问题。
综上所述，债券价格波动性测度的方法主要有四种: 基点价格值、价格变动的收益率值、持续期（也译为久期）和凸性。
债券修正久期的本质是债券价格相对于市场基准利率变化的敏感性，由于债券价格并不是其收益率的线性函数，所以，当市场基准利率变化较大的情况下，作为债券价格相对于收益率二阶导数的凸性应该被纳入以改善修正久期的业绩。
所以票面利率和到期期限是影响价格波动的债券特征。
其一，给定到期期限和初始收益率，债券价格的波动性越大,票面利率越低；其二，给定票面利率和初始收益率，到期期限越长，价格的波动性越大。
这两个特征从一般的经验统计中就可以观察到。
本文从债券修正久期和凸性的本质出发，通过计算零息债券修正久期和凸性，判断债券价格的波动性，进而对债券的风险进行有效的评估。
三、模型设立（一）基点价格价值（PV BP值）基点价格值（以下简称PV BP），也称为每1个收益率基点上的价格变动绝对额，是测定收益率每变动一个基点时价格波动程度的指标。
由于很小的收益率变化导致的价格变动几乎是对称的（即指收益率微小的上升和下降导致的价格下降和上升的幅度基本相同），所以，在收益率上升或下降时计算出的PV BP就不会有很大的区别。
可以根据需要，计算1个基点以上收益率变动的价格值。
当然，在观察收益率较大变化基础上的价格波动性时，由收益率上升或下降引起的效果几乎是相同的，比如10个收益率基点的价格值近乎是1个基点时的10倍。
但是，收益率变化越大，在收益率上升或下降过程中取得的PV BP越是不对称，而且较大收益率基点上的价格变动值不能简单地用近似于1个收益率基点价格值的倍数直接求得。
所以，大多数分析者是通过计算较大收益率变动（如100个基点）时的价格变动值来求得PV BP，并对所有在收益率上升或下降过程中求得的PV BP加以平均，取得最终的PV BP,这就是参考意义较大的平均PV BP。
（二）价格变动的收益率值（YTM值）与基点价格值相对应的衡量价格波动性的方法还包括计算观察特定价格变动时的收益率值。
为此，首先要计算债券到期的收益率，然后计算债券价格每上升或下降Y元时的收益率值，所计算出的新收益率与原收益率的差即为价格变化Y元时的收益率值。
实际上,这种方法与PV BP方法是一样的。
（三）久期模型久期是指收益率变化1%所引起的债券全价变化的百分比。
即久期用来衡量债券价格对利率/收益率变化的敏感性。
其实就是价格相对于收益率的一阶倒数。
久期(持续期)。
衡量债券价格波动性的另一种方法是久期。
首先将该方法公式化的是由弗雷德里克·迈考雷在1938年(《1856年以来美国的利率、债券收益率和股价运动中的某些理论问题》)给出的。
他认为久期只是加权平均计算证券现金流量现值的权数,该权数也就是每次现金流量的现值占全部现金流量现值的百分比,或者说是每次现金流量现值占债券全价的百分比。
由此他认为,债券久期越长,权数越大,债券相对价格的波动性也就越大。
1.麦氏久期：表示债券现金流的到期期限的加权平均，其中，权重为该现金流现值占全加比例。
D=∑C i (1+y)t i−tt i>t （t i−t）∑C i(1+y)t i−tt i>t⁄其中：D为麦氏久期；t为分析日；t i为分析日后第i次现金流发生日；C i为现金流；y为最新到期收益率（复利算法）2.修正久期D∗=D（1+y）⁄其中：D∗为分析日修正久期；y为最新到期收益率（复利算法）；D为分析日麦氏久期。
（四）凸性模型修正久期对应的是债券价格相对于利率的一阶导数，而凸性对应的则是二阶导数。
作为弥补久期方法的不足，凸性方法可以作为收益率发生较大变动时测度债券价格变动幅度较好的量度指标。
从债券价格与收益率相互关系的几何坐标图中可以观察到，相对于收益率y*点时价格变动度实际是一条切线的斜率，这条切线也就表明了相对于每一利率（收益率）变动时的价格变动率，其斜率也就近似于一个基点上的价格值。
由此可知，切线越陡峭，久期越大；切线越平缓，久期越小。
但由此估测的价格变动近似值总是低于实际价格变动值(法博兹以图1演示了这点)。
债券价格—收益率曲线的凸性测量方法可以减小这一误差，还可以测度收益率发生较大变动时的价格波动情况。
C=1P∑C i（t i−t）（t i−t−1）（1+y）t i−t−2t i>t其中：P为分析日债券的最新全价价格；C i为现金流；t i为第i次现金流发生日；t为分析日；y为最新到期收益率（复利算法）。
基于凸性的债券价格变动百分比近似值是受利率变动额平方影响的，在收益率变动量既定的情况下，凸性测量值越大，债券价格的波动幅度也就越大。
此外，凸性越大的债券受利率变化的影响程度越大，即凸性越大的债券利率敏感性越强。
经验研究还表明，在收益率发生较大变动时，同时使用久期与凸性测量方法所估测的债券变动幅度将更接近于实际变动值。
四、实证检验修正久期和凸性的一个基本应用在于预测利率变化所导致的债券价格以及债券组合价值的变化，进而为投资者制定债券投资策略以及风险管理提供依据。
下面以上海证券交易所23类国债为例，根据本文方法计算收益率、修正久期和凸性，找出期内在的变化规律，进而预测债券价格的变化，并对债券市场的风险性进行合理有效的评估，债券品种收益率麦氏久期修正久期凸性票息剩余期限12国债18 3.6377 12.72 12.28 194.77 4.10% 17.40 05国债（4） 3.5723 8.21 7.93 79.36 4.11% 10.03 03国债（3） 3.3478 7.02 6.79 56.51 3.40% 7.95 国债0303 3.3839 7.02 6.79 56.46 3.40% 7.95 国债1311 3.3948 7.01 6.78 56.93 3.38% 8.05 13国债11 3.4133 7.00 6.77 56.90 3.38% 8.05 15国债02 3.4582 6.07 5.86 42.32 3.36% 6.72 06国债（19） 3.3756 5.84 5.56 39.88 3.27% 6.53 21国债（7） 3.1621 5.51 5.34 36.09 4.26% 6.24 国债917 3.3666 5.50 5.33 35.91 4.26% 6.24 05国债（12） 3.4802 4.97 4.81 29.48 3.65% 5.53 国债1315 3.7545 4.70 4.53 26.31 3.46% 5.18 国债1308 3.6013 4.64 4.48 25.17 3.29% 4.95 10国债12 3.3447 4.60 4.45 25.34 3.25% 5.02 国债1303 3.3665 4.40 4.25 23.03 3.42% 4.72 12国债16-0.1967 4.06 4.06 21.35 3.25% 4.33国债1313 3.3220 2.89 2.79 10.87 3.09% 3.0613国债01 3.3882 2.59 2.50 8.82 3.15% 2.68国债0213 3.2329 2.31 2.24 7.25 2.60% 2.3702国债（13） 3.2182 2.31 2.24 7.26 2.60% 2.37 513国债17 2.8195 1.24 1.20 2.65 3.77% 1.2706国债（3） 2.4535 0.88 0.86 1.58 2.80% 0.8913国债21 2.0406 0.45 0.45 0.64 3.77% 0.4515贴债01 1.8299 0.43 0.43 0.60 3.22% 0.4314国债14 1.9724 0.17 0.17 0.60 3.22% 0.1714国债11 3.0298 0.10 0.09 0.10 3.23% 0.10国债1013151.967 0.03 0.01 0.01 2.38% 0.03数据来源: wind数据库通过对上海证券交易所23类国债波动性的分别测度，我们发现就上海证券交易所的国债市场而言，无论是从单只债券的长时间比较，还是从某一时期不同剩余年限国债的比较看，交易所国债的久期与凸性值都比较大，说明当市场利率（收益率）发生较大变动时，交易所的国债市价波动较大。