贝朗特悖论的解决
贝特朗悖论之争的终极原因
贝特朗悖论之争的终极原因贝朗特1.贝特朗悖论的产生背景人们对概率的研究有着悠久的历史。
公元1494年意大利的帕奇欧里（paciuolo）提出了了关于“分赌金”的问题，这个问题直到16世纪才有巴斯卡（1623～1662）、费尔马（1601～1665，费马大定理的提出者）、惠更斯（荷兰数学家1629～1695）联合解决。
转眼到了1812年,法国数学家拉普拉斯撰写了《分析概率论》这一著作,概率的古典定义在书中被首次完整而系统地提出.作为对古典定义的补充和推广,在无限样本空间背景下的几何概率也得到了广泛的应用。
正当古典概率和几何概率在各自的研究领域内迅猛发展时,1899年,法国数学家贝特朗（nsephBertrand,l822-1900）提出一个“简单”的问题:在圆内任作一弦,求其长超过圆内接正三角形边长的概率是多少？按照几何概率的定义进行计算,竟然可以求得3个不同的概率,这与概率的性质是背道而驰的.这就是著名的“贝特朗悖论”矛头直指几何概率概念本身.贝特朗悖论说明原来关于概率的定义带有很大的局限性,迫切需要一种公理化体系改造概率论.1933年,前苏联数学家科尔莫戈洛夫提出了概率的公理化体系,迅速获得举世的认可,使得古典概率和几何概率具有了更加严密的逻辑基础,像“贝特朗悖论”这类自相矛盾的问题也得到了合理的解释。
华罗庚说：“新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要”。
2.相关的概念古典概型2.1古典概型①定义如果一个随机试验所有可能出现的结果只有有限个,即基本事件总数是有限的,并且每个基本事件发生的可能性相同,那么称这样的随机试验为古典概型试验,简称古典概型.古典概型的特点:(i)有限性一试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (ii)等可能性——每个基本事件出现的可能性相等.②概率计算公式P(A)=m/n=(事件A包含的基本事件数)/(基本事件总数)2.2几何概型①定义对于一个随机试验,将基本事件理解为从某个可度量的几何区域G内随机地取一点,该区城中每一个点被取到的机会都一样;而随机事件A的发生则理解为恰好取到区域G内的某个指定区域g中的点,则称这个随机试验为几何概型随机试验,简称几何概型③率计算公式P(A)=(g的度量)/(G的度量)g的度量为构成事件A的区域的长度、面积或体积,G的度量为试验的全部结果所构成的区域的长度、面积或体积.一切推理都必须从观察与实验中得来。
伯特兰模型
假定规则：
（1）消费者总是从价格低的卖方购买，而对价格高的企业的产品需求为零。 （2）如果两个企业收取的价格相同，一半消费者从企业1处购买，另一半消费 者从企业2处购买。
反应函数曲线
图1 企业1剩余需求曲线
如图1，对企业1来说，当设定的价格p1高于企 业2所设定的价格p2时，企业1所面临的剩余需 求就为零；当p1低于p2时，企业1所面临的剩 余需求曲线就为市场总需求曲线；当p1=p2时， 企业1所面临的剩余需求就为市场总需求的一半。
p2=p2*(p1)
p1=p1*(p2)
图3 伯兰特模型的均衡
假设企业1设定的价格高于边际成本，那么企业2就会选择一个很小的价格降低量，从而得到全部 额市场份额，获得正的利润，随后企业1也会选择一个很小的价格降低量，获得一个正的利润，如 此循环往复，市场价格不断下降，直到等于边际成本水平为止。因为在价格等于边际成本时，企业 利润为零，再次降价将获得负的利润，企业不再有进行降价的动机。所以价格在p1N=p2N=MC水 平上不再变动，达到了均衡状态。 由于在伯兰特模型均衡处，价格等于边际成本，所以市场总产量就为完全竞争产量，每家企业生产 完全竞争产量的一半，且企业利润为零。 在行业内有多家成本相同的企业时的伯兰特模型与只有两家企业时结果是相同的，价格竞争使市场 价格最终达到边际成本水平，伯特兰模型结果与行业内企业数量无关，只要这些企业的成本相同。
反应函数曲线
假设企业1预计企业2的定价高于垄断价格。那么企业1的最优定价就为 按照垄断水平定价，此时企业1获得所有的需求，从而获得最大可能的 利润即垄断利润，垄断价格也就是企业1的最优的定价了。假设企业1 预测企业2的定价低于垄断水平，但高于边际成本。此时根据假设，如 果企业1设定与企业2相同的价格，它将得到一半的市场份额；如果低 于企业2设定的价格，它将得到全部的市场份额，但由于价格越低，利 润就越低，所以企业1设定的价格只要稍稍地低于企业2设定的价格即 可。当企业1预测企业2的价格低于两企业相同的边际成本时，企业1的 最优选择就是制定相当于边际成本水平的价格，此时企业1不生产，利 润为零。
贝特朗悖论
贝特朗悖论在第一次世界大战时，意大利军队里流行着一种反常的现象：意大利士兵受伤后不去医院治疗，而是要求服用大量的止痛片。
这使人费解，军方将领也莫衷一是。
英国海军少将贝特朗认为，这种看似矛盾的现象有它合理的一面。
因为他发现，如果不进行必要的止痛治疗，很多士兵都会在作战中牺牲。
从20世纪开始，对于贝特朗悖论产生了各种不同的观点和解释。
1909年，爱尔兰数学家波利亚最先提出，士兵因为怕被俘，宁愿死于敌手，也不愿治疗疾病。
这被称为“假死说”。
但是，美国医生杜南和拉斯马丁，为寻找原因，深入研究，终于揭开了这个奥秘：原来，当士兵受伤后，生命特征就已经消失了。
如果去治疗，那么生命活动仅存于人体的某些器官，就不能在行军或作战中发挥积极作用了。
为此，医生们便采取了“假死说”的治疗方法，让士兵不用去接受手术等治疗，可以保存下更多的体力。
1910年，德国医生冯·贝克曼德尔首先向公众宣布了这个奥秘。
这种假死说在医学上被称为“灵魂出壳说”。
这个学说的前提是，人受伤以后，其实就是“灵魂”离开身体。
这种灵魂虽然没有肉体，却仍然具有思维，并且对自己的行为负责任。
由于灵魂与肉体不在一起，当伤愈之后，对自己所造成的伤害，则难以恢复。
为此，在重伤初愈后，我们必须对伤口进行必要的处理。
1912年，英国医生洛伍德正式向公众宣布了这个奥秘，他称之为“拟态说”。
他认为，人体内每一个器官、每一根神经都相当于一个独立的人，每一个器官都有一个生命，即具有特殊性质的“灵魂”。
因此，身体各部位不应该互换，医生只能对受伤的器官进行抢救，而不能移动“灵魂”。
1916年，法国外科医生皮纳尔提出，人体有两种系统在控制人体的正常功能。
一种是靠内部神经来指挥的。
另一种则是依靠来自外界刺激来指挥的。
这两种系统既独立又相互联系，同时也相互转化。
他把这种相互转化叫做“拟态”。
他把人体分成两个不同的部分，即“身体”和“灵魂”。
灵魂处于一种休息状态，通过“拟态”来适应环境，接受指令。
概率论发展简史
概率论发展简史概率论有悠久的历史，它的起源与博弈问题有关。
16世纪意大利的一些学者开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题，例如比较掷二个骰子出现总点数为9或10的可能性大小。
17世纪中叶，法国数学家B.帕斯卡，P.de.费马及荷兰数学家惠更斯基于排列组合的方法研究了一些比较复杂的赌博问题，解决了“合理分配赌注问题”（即历史上有名的“得分问题”）“输光问题”等等，其方法不是直接计算赌徒赢局的概率，而是计算期望的赢值，从而导致了现今成为数学期望的概念（由惠更斯明确提出）。
概率论成为数学的一个分支的真正奠基人则是瑞士数学家雅各布第一·伯努利。
他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，这个结果发表于他死后八年(1713)出版的遗著《推测术》。
1716年前后，A.棣莫弗用他导出的斯特林公式（即：）进一步证明了渐进地服从正态分布（德国数学家C.F.高斯于1809年研究测量误差理论时重新导出正态分布，故亦称为高斯分布），这里，后来法国数学家P.S.拉普拉斯将棣莫弗的这一结果推广到一般的的情形，后世称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理，这是概率论中第二个基本极限定理的原始形式。
拉普拉斯对概率论的发展贡献很大，他在系统总结前人工作的基础上写出了《概率的分析理论》（1812年出版后又再版6次），在这一著作中，他首次明确规定了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，如差分方程、母函数，从而实现了概率论由单纯的组合计算到分析方法的过渡，将概率论推向一个新的发展阶段。
拉普拉斯非常重视概率论的实际应用，对人口统计学尤感兴趣。
继拉普拉斯之后，概率论的中心研究课题是推广和改进伯努利大数定律及棣莫弗—拉普拉斯极限定理，在这方面俄国数学家切比雪夫迈出了决定性的一步，1866年他用自己创立的切比雪夫不等式建立了有关独立随机变量序列的大数定律，次年又建立了有关各阶绝对矩一致有界的独立随机序列的中心极限定理。
1901年，A.M.李亚普诺夫利用特征函数方法，对一类相当广泛的独立随机变量序列，证明了中心极限定理，他利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。
数学史上的三次危机及如何化解
数学史上的三次危机及如何化解一、希伯斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前5世纪）发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边（即根号2）永远无法用最简整数比（不可公度比）来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。
相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希伯斯抛入大海。
解决：1、伯内特解释了芝诺的“二分法”：即不可能在有限的时间内通过无限多个点，在你走完全程之前必须先走过给定距离的一半，为此又必须走过一半的一半，等等，直至无穷。
亚里士多德批评芝诺在这里犯了错误：“他主张一个事物不可能在有限的时间里通过无限的事物，或者分别地和无限的事物相接触，须知长度和时间被说成是“无限的”有两种涵义。
一般地说，一切连续事物被说成是“无限的”都有两种涵义：或分起来的无限，或延伸上的无限。
因此，一方面，事物在有限的时间里不能和数量上无限的事物相接触。
另一方面，却能和分起来无限的事物相接触，因为时间本身分起来也是无限的。
因此，通过一个无限的事物是在无限的时间里而不是在有限的时间里进行的，和无限的事物接触是在无限数的而不是在有限数的范围上进行的。
2、亚里士多德指出这个论证和前面的二分法是一回事，这个论证得到的结论是：跑得慢的人不可能被赶上。
因此，对这个论证的解决方法也必然是同一个方法，认为在运动中领先的东西不能被追上这个想法是错误的，因为在它领先的时间内是不能被赶上的，但是，如果芝诺允许它能越过所规定的有限的距离的话，那么它也是可以被赶上的。
3、亚里士多德认为芝诺的这个说法是错误的，因为时间不是由不可分的‘现在’组成的，正如别的任何量都不是由不可分的部分组合成的那样。
亚里士多德认为，这个结论是因为把时间当作是由‘现在’组成的而引起的，如果不肯定这个前提，这个结论是不会出现的。
4、亚里士多德认为，这里错误在于他把一个运动物体经过另一运动物体所花的时间，看做等同于以相同速度经过相同大小的静止物体所花的时间，事实上这两者是不相等的。
伯特兰悖论的解释
伯特兰悖论的解释伯特兰悖论是一个逻辑悖论，它由英国哲学家伯特兰·罗素在1901年提出。
伯特兰悖论的形式如下: “所有不包含自身的集合都必须包含自身.”这个悖论的本质在于，它似乎违反了常识和逻辑规则。
按照悖论的说法，如果一个集合不包含自身，那么它必须包含自身.但是，如果它真的包含自身，那么它是否还是不包含自身呢?这个悖论陷入了自指的陷阱，无法解决。
伯特兰悖论的应用非常广泛，它可以用于说明语言、思维、逻辑等问题，也可以用来考察人们对现实世界的理解和认知能力。
伯特兰悖论是一个关于概率论的传统解释所导致的悖论，由约瑟·伯特兰于1888年在他的著作《Calcul des probabilites》中提出。
这个悖论描述了在分析涉及无限大样本空间的概率问题时，如果对“每个事件发生的机会皆相同”的原则使用不够谨慎，可能会导致无法得到明确或肯定的结果。
伯特兰悖论的一个经典例子是“圆内接等边三角形的弦长比较问题”。
假设我们在一个圆内随机选择一条弦，那么这条弦的长度比圆内接等边三角形的边较长的概率是多少？伯特兰给出了三种不同的方法来解决这个问题，分别是“随机端点方法”、“随机半径方法”和“随机中点方法”。
这三种方法得出的结论分别是：1/3、1/2 和 1/4。
这就是伯特兰悖论的体现，对于同一个问题，采用不同的随机方法得出的结果竟然不一致。
导致伯特兰悖论的原因在于，当问题涉及到无限大的样本空间时，传统概率论中的“无差别原则”可能会失效。
在伯特兰悖论的例子中，由于圆周上的点有无穷多个，因此在随机选择弦的过程中，不同的随机方法会导致不同的结果。
为了解决这个问题，我们需要对概率论的传统解释进行修正，例如引入测度论等更严格的数学工具来处理无限大的样本空间。
这样，我们才能在处理涉及无限大的概率问题时，得到明确且一致的结果。
悖论及其解决方案
悖论及其解决方案悖论及其解决方案1、一连串悖论的出现罗素的悖论以其简单明确震动了整个数学界，造成第三次数学危机。
但是，罗素悖论并不是头一个悖论。
老的不说，在罗素之前不久，康托尔和布拉里·福蒂已经发现集合论中的矛盾。
罗素悖论发表之后，更出现了一连串的逻辑悖论。
这些悖论使入联想到古代的说谎者悖论。
即“我正在说谎”，“这句话是谎话”等。
这些悖论合在一起，造成极大问题，促使大家都去关心如何解决这些悖论。
头一个发表的悖论是布拉里·福蒂悖论，这个悖论是说，序数按照它们的自然顺序形成一个良序集。
这个良序集合根据定义也有一个序数Ω，这个序数Ω由定义应该属于这个良序集。
可是由序数的定义，序数序列中任何一段的序数要大于这段之内的任何序数，因此Ω应该比任何序数都大，从而又不属于Ω。
这是布拉里·福蒂1897年3月28日在巴洛摩数学会上宣读的一篇文章里提出的。
这是头一个发表的近代悖论，它引起了数学界的兴趣，并导致了以后许多年的热烈讨论。
有几十篇文章讨论悖论问题，极大地推动了对集合论基础的重新审查。
布拉里·福蒂本人认为这个矛盾证明了这个序数的自然顺序只是一个偏序，这与康托尔在几个月以前证明的结果序数集合是全序相矛盾，后来布拉里·福蒂在这方面并没有做工作。
罗素在他的《数学的原理》中认为，序数集虽然是全序，但并非良序，不过这种说法靠不住，因为任何给定序数的初始一段都是良序的。
法国逻辑学家茹尔丹找到—条出路，他区分了相容集和不相容集。
这种区分实际上康托尔已经私下用了许多年了。
不久之后，罗素在1905年一篇文章中对于序数集的存在性提出了疑问，策梅罗也有同样的想法，后来的许多人在这个领域都持有同样的想法。
布拉里·福蒂文章中对良序集有一个错误的概念，这个概念是康托尔1883年引进来的，但—直没有受到什么重视。
1887年8月，在布拉里·福蒂的文章发表以后，阿达马在第一次国际数学家大会上仍然给出了一个错误的良序集的定义。
关于贝特朗悖论
关于贝特朗悖论从法国学者贝特朗（Joseph Bertrand）提出“贝特朗悖论”至今，已经过了一个多世纪。
在这漫长的一百多年中，贝特朗悖论得到了各层次数学爱好者的热切关注，人们穿越时空，从不同的角度对此悖论进行了争论、辨析及交流……首先来看一下贝特朗悖论：在圆内任作一弦,求其长超过圆内接正三角形边长的概率. 此问题可以有三种不同的解答:面对同一问题的三种不同的答案。
人们往往这样来解释：得到三种不同的结果，是因为在取弦时采用了不同的等可能性假设：在第一种解法中则假定弦的中点在直径上均匀分布；在第二种解法中假定端点在圆周上均匀分布，而第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布。
这三种答案是针对三种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的。
三个结果都正确！——这就是让老师和学生感到迷惑不解的原因。
显然这样的解释是不正确的。
上述解法看似是用了严密的理论来论述，但有的解法与问题的本质是脱节的，即理论是正确的，但却不合题意：因为不同的解法所阐述的相应点的均匀分布只是一个必要条件，而此问题的条件是在圆内任作一条弦（或是从圆内任取一条弦），所以只有任取的弦与这些相应的均匀分布的点一一对应时，才能使整个的随机试验过程具有等可能性，否则，运用几何概型思想方法求出的结果一定是错误的。
找到了问题的本质，我们就容易分析上面三种解法中，哪种解法是错误的了，实际上，找出错误，只要举出一个反例即可，下面我们把目光指向圆心：第一种解法中，除了圆心外，圆内的点都和唯一的一条弦（与相应的直径垂直）对应，即一一对应。
但是，圆心却与无数条弦（即与直径垂直的任何方向都有过圆心的弦，其长度满足题意）对应。
这样，圆心——这个圆内的点与相应的弦就不是一一对应了，为此，用此种思想所构造的试验过程中的基本事件就不是等可能的了，所以运用几何概型思想方法求出的结果也一定是错误的。
有了这种认识，大家会马上发现第三种解法也是不正确的。
而第二种解法，所构造的均匀分布的点是在圆周上，没有圆心，用此种思想所构造的试验过程中的基本事件是等可能的，所以结果是正确的。
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理学院
School of Science
课程设计报告
学生：凡
学生学号：200701121
所在班级：07数学1
所在专业：数学与应用数学
指导教师：樊嵘
实习场所：理工大学
实习时间：第六学期
课程设计成绩
总评
学习态度报告质量
使用SAS统计模拟方法解决Bertrand’s paradox
Bertand’s paradox 是法国数学家Bertrand于1889提出的一个概率悖论：在圆任作一弦，其长度超过圆接正三角形边长的概率是多少？他在提出问题之后，给出了三种不同的解法，得到了三个不同的结果，是为悖论。
第一种解法如下：
由于弦交圆于两点。
我们先固定弦的一个端点。
以此端点作一个等边三角形(如图)。
显然，只有穿过此三角形的弦才符合要求。
而符合条件的弦的另一端正好占整个圆弧的1/3。
并且，不论固定的那个
1/3。
第二种解法如下：
由于弦长只和圆心到它的距离有关。
所以固定圆一条半径。
当且仅当圆心到它的距离小于1/2才满足条件。
并且，不论固定的是哪条半径，情况都是一样的。
所以结果为1/2。
第三种解法如下；
弦被其中点唯一确定（除了圆心）。
当且仅当其中点在半径为1/2的圆时才满足条件。
此小圆面积为大圆的1/4。
所以结果为1/4。
所以被称为悖论。
在以前对这问题的分析中，倾向于认为得到三种结果的原因是因为采用了不同的等可能性假定。
解法一假定端点在圆上均匀分布。
解法二假定半径在圆均匀分布以及弦的中点在半径上均匀分布。
解法三假定弦的中点在圆均匀分布。
先不论他们的假设是否合理，从这个问题的提法来看，问题考察
的是圆的随机弦问题。
我们应该从弦的本质定义出发，即圆上任意两点的连线为弦。
从这个思路，我们可以使用SAS 进行统计模拟，确定问题的答案。
具体思路如下：
1.先进行1000次试验，每次试验进行1000次模拟，每次模拟从
圆上随机取两点，计算距离，记录d 1000个数据，数据集为cs ，其中的变量只有一个x 。
对此数据进行分析，得到其方差与均值，可以求出概率。
2.为了得到弦长的分布，我们进行1000次模拟，每次模拟从圆上随机取两点，计算距离并记录。
如此得到数据集为strx ，其中的变量有三个，分别记录两点的角度参数x ，y 与两点之间距离d 。
3.从圆进行推广，得到椭圆随机弦长的分布，思路同上。
4.从得到的结果进行理论分析。
数据的得到与数据集的建立：
使用matlab 编程可以得到模拟需要的数据，在SAS 中建立各数据集的程序如下：
cs 数据集：
strx 数据集：
strx1数据集：
对数据的分析与结果解读：
对于cs数据集中的数据，我们根据林德贝格-勒维中心极限定理，记xn为第n次试验中，满足弦长平方大于3的弦的个数，则不管xn的分布如何，只要n充分大，就可以用正态分布去逼近。
于是我们先对数据进行正态性检验，使用Solutions-Analysis-Guided Data Analysis，对数据进行分析，得到下面的结果：
图1
图2
从图2中可以看到数据的均值为333.89，标准偏差为14.7。
其中Q1，与Q3分别为四分之一和四分之三分位。
P：normal=0.25025为正态性检验的概率值。
图1为数据直方图与正态曲线，图3为正态概率检验图，从两个图可以看出来，数据是服从正态分布的。
且可以估计其期望为334次，于是可以得到结论，圆随机弦长度大于圆接正三角形边长长度的概率为334/1000=1/3。
对于strx数据集中的数据，我们的目的是得到弦长的分布，即绘制其密度函数曲线和分布函数的曲线。
首先是对弦长数据的一个基本分析如下：
从图中可以看到，弦长的均值为1.29，标准差为0.625，众数为1.35，对数据进行kurtosis和T检验得到的值分别为-1.14和63.12，故可知道弦长的分布不是特殊的分布。
下面绘制其条样图：
然后绘制它的分布函数，并与正态分布的进行对比：
得到的结果如下：
可以看出来，分布函数有一定的规律，大部分的值集中在0.5到1.5这个区间中。
数据集strx1，即弦长在椭圆中的分布情况，处理方法与圆中类似，得到的结果如下：（a=2，b=1）
从中可以看出，椭圆的情况与圆的弦长分布类似，而且还有向正态分布逼近的趋势。
回到原始问题
从上面的分析我们知道，通过随机弦最原始的定义，使用随机模拟的方法，我们得到了随机弦超过圆接正三角形边长的概率为1/3,与使用的第一解法得到的结论一样。
在我们的实验中，是随机取的圆上的两个点，而第一种方法固定了一点，另一点在圆上随机移动，故得到的结论会一样。
而第二种方法与第三种方法，我认为错误的地方在于没有抓住随机弦的本质，而是试图通过弦的中点来定位弦，而很容易知道，在圆心上对应于无数条弦，即弦与圆的点不是一一对应的，第二种解法和第三种解法的假设前提就是错误的。
而对应于第二个答案的题目应改为，在直径上任取一点，过这点且与该直径垂直的弦的弦长大于根号3的概率是多少？对应于第三个答案的题目应改为，在圆任取一点（不包括圆心），以该点为中心的弦长大于根号3的概率为多少？至此随机弦悖论便不存在，结论是唯一的。