泊松分布的数学期望与方差
泊松分布的数学期望与方差
泊松分布的数学期望与方差
拟华尔沃思定理（Poisson theorem）又称泊松定理，指的是当落入位置的某物的出现的频率（也就是它的概率）满足泊松分布时，对其它特定变量的数学期望也可以满足泊松分布。
当把某事件发生的概率视为随机变量时，用泊松定理可以推导出概率分布的数学期望与方差。
泊松分布是以次数n为变量的概率分布，其发生的概率服从泊松过程，即n的概率分布定义为：
$P(n)={\frac{\lambda^n}{n!}}e^{-\lambda}$
其中$\lambda$为泊松分布的参数，对应着这一定义，n的数学期望可以表示为：
$E(n)=\sum nP(n)=\lambda$
以上是求解泊松分布中n的数学期望。
接下来，我们讨论泊松分布中n的方差：
$D(n)=E(n^2)-(E(n))^2$
于是得到
$D(n)=\lambda+\lambda^2-(\lambda)^2=\lambda$
从而得到泊松分布中n的方差等于它的数学期望。
这也就是所谓的“方差与期望无关”，即它的方差不会随期望的变化而改变，而是在特定的参数下具有固定的值。
六个常用分布的数学期望和方差 ppt课件
E (X)μ,D (X)σ2
例1.已知 X~(3),Y求2X1, E(Y ) ,D(Y ) , E[3(X2 1)] 解：X~(3), E(X)3, D(X)3 则
E (Y)E (2X1)2E(X)1 5
D (Y)D (2X1) 4D(X) 12
E[3(X2 1)] 3E(X2)3 3 {D (X )[E (X )2 ]}3 33
由二项分布定义可知，X是n重贝努利试验中事件A发
生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p，设
1 X k 0
A 在k 次 第发,k 生 1 ,2 , ,n A 在k 次 第不 发 生
则Xk服从二点分布，其分布律为： X
0
1
E(Xk)p, D (Xk)p(1p) Pk 1-p p
X X 1 X 2 X n
e 22 dx（令
2
t
x ）
1
t2
(t)e2dt
2
2
t2
e 2 dt
D (X )E {X [E (X )2 ]} (x)2
1
(x)2
e 22 dxLeabharlann 22t2t2e2 dt （令 t x ）
2
2
2
t2
(t)d e2
2
t2
te2
2
t2
e 2dt
2
2
即
2 2
附： 几种重要随机变量的数学期望和方差
一.二点分布 二.二项分布 三.泊松分布
四.均匀分布 五.正态分布 六.指数分布
一.二点分布
若随机变量X服从二点分布，其分布律为：
X
0
1
Pk
1-p
常用分布的数学期望及方差
方差的性质
方差具有可加性
对于两个独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
方差具有对称性
对于一个常数a和随机变量X，有Var(aX) = |a|^2 * Var(X)。
方差具有非负性
对于随机变量X，有Var(X) >= 0，其中 Var(X) = 0当且仅当X是一个常数。
05 数学期望与方差的应用
在统计学中的应用
描述性统计
数学期望和方差用于描述一组数据的中心趋势和 离散程度，帮助我们了解数据的基本特征。
参数估计
通过样本数据的数学期望和方差，可以对总体参 数进行估计，如均值和方差的无偏估计。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差用于构建检验统 计量，判断原假设是否成立。
常见分布的数学期望
均匀分布的数学期望为
$E(X) = frac{a+b}{2}$，其中a和b是均匀分布的下限和上 限。
柯西分布的数学期望为
$E(X) = frac{pi}{beta} sinh(frac{1}{beta})$，其中β是柯西 分布的参数。
拉普拉斯分布的数学期望为
$E(X) = frac{beta}{pi} tan(frac{pi}{beta})$，其中β是拉普 拉斯分布的参数。
03
泊松分布
正态分布是一种常见的连续型随机变量 分布，其方差记作σ²。正态分布的方差 描述了随机变量取值的分散程度。
二项分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在n次独立重复的伯努利试验 中成功的次数。其方差记作σ²，且σ² = np(1-p)，其中n是试验次数，p是单次 试验成功的概率。
泊松分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在一段时间内随机事件发生的 次数。其方差记作σ²，且σ² = λ，其中 λ是随机事件发生的平均速率。
泊松分布(定义、期望、方差、例题)
泊松分布（定义、期望、方差、例题）设随机变量 X 取值为0, 1, … ，分布律为：P\{X=k\}=e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k}}{k !}, k=0,1, \cdots, \lambda>0称X服从参数为λ 的泊松（ Possion）分布，记为X~P(λ).2.数学期望与方差X~P(λ) 泊松分布的数学期望：λ证明：X ~ P(λ) (λ>0),求E( X )解：\begin{aligned} E(X) &=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdotp_{k} \\ &=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot\frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda} \\ &=\lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1) !} \\ &=\lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} \\&=\lambda \end{aligned}X~P(λ) 泊松分布的方差：λ3.应用：•一段时间内物理试验仪器捕获的粒子数；•一段时间内计算机病毒入侵数；•一本书中的错字数；例题：（排队等候问题）某服务机构有两个服务窗口. 设一段时间内前来访问的人数X~P(1). 问在这段时间内, 出现排队等候的概率为多少？解：例题：（疾病分布律）设某地区患某种疾病的人数X~P(λ)，λ未知，若已知患此病的概率为0.001，求X的分布律分析：患病的概率是0.001，不患病就是0.999.P(X=0)=0.999。
泊松分布分布律公式
泊松分布分布律公式泊松分布是统计分析中一种重要的概率分布形式，它主要用于研究随机事件发生的次数和时间间隔。
这一概率分布形式是以著名的俄国数学家和物理学家Siméon Denis Poisson命名的，因此被称为“泊松分布分布律”。
它能够以简洁、适当和有用的方式定义随机事件在时间上的分布。
泊松分布是一种随机分布，它假定某一个可以用次数来描述的随机事件发生的概率与次数成比例，这一概率的具体数值由泊松分布律给出。
其中，最重要的参数是λ，它表示该事件在一个时间单位内期望发生的次数，例如单位时间内期望收到来自某一特定传播源的信号的次数。
由于泊松分布定义的是一种随机分布，因此可以对其进行数学变换，以更好地表示其特性。
它的概率密度函数可以用此形式表示： f(x)=λ^xe^(-λ)/x!其中，x为随机变量，λ为期望次数参数，^表示乘方，e为自然底数，x!表示x的阶乘。
泊松分布的另一个重要性质是数学期望值和方差均可以表示为λ，即E(X)=Var(X)=。
由此可见，λ对整个分布具有重要作用，它实际上可以看做是泊松分布的参数，它控制着数学期望和方差。
泊松分布可以应用于诸如抽样研究、概率统计和经济计量分析等领域。
它是用来估计某一次事件发生的概率的有效方法，可以表示某一场景中的事件的发生次数。
此外，由于泊松分布的期望值和方差相等，它可以用来估算诸如总体、社会、社团或某一个人所受的分数的分布。
泊松分布的优点还在于它的模型非常简单，而且容易理解并实现。
它可以用来描述大量的数据，而不会增加太多的计算复杂度。
此外，泊松分布由于只有一个参数λ，因此可以通过极大似然估计容易地求解。
泊松分布是一种有用的概率分布模型，它可以很好地表示随机事件的发生概率和次数及其相关性质。
它可以应用于各种领域，以描述大量的随机事件，如概率统计、抽样研究、经济计量分析等。
其有效性和简洁性是它成为统计学及其他领域的一种重要分布模型的原因。
六个常用分布的数学期望和方差
即
12
若随机变量X~U( a , b ),则
ab
(b a)2
E(X)
, D( X )
2
12
五.指数分布
随机变量X服从参数为λ的指数分布，其概率密度为：
f
(
x)
1
θ
e
x θ
0
x0 x0
E(X )
xf ( x)dx
x
1
e
x θ
dx
x
（ x）de θ
0
θ
0
（
x）e
x
x
e dx
X X1 X2 Xn
E( X ) E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ) np
D( X ) D( X1 ) D( X 2 ) D( X n ) np(1 p)
即： 若随机变量X~B( n , p ),则
E( X ) np，D( X ) np(1 p)
E[3( X 2 1)] 3E( X 2 ) 3
3{D( X ) [E( X )]2 } 3 33
例2.已知X和Y相互独立，且X在区间(1，5)上服从
均匀分布， Y ~ N (1,求9)(1, ) (X,Y)的联合概率密度;(2)
E(3X 4Y 2) , D(3X 4Y 2)
E( X ) xf ( x)dx
b
x
1
dx
a ba
1 x2 b
ba 2 a
ab 2
E( X 2 ) b x 2
1
b3 a3 dx
a 2 ab b2
a ba
3(b a)
3
D( X )
E( X 2 ) [E( X )]2
数学期望的几种求法
数学期望的几种求法
期望是统计学中的重要概念，又称均值数或期望值。
求数学期望有如下几种方法：
1、求期望的定义：
数学期望是指在定义域出现各可能结果的概率乘以其可能结果的积分的和的称之为期望，用符号Ε(X)表示为：
Ε(X)=Σx·P(x)
其中，Σx表示每一个可能出现的x的值的求和，P(x)表示可能出现的x的概率的和的称之。
2、求期望的性质：
（1）当数学期望中的x取任意值，则期望值保持不变：
Ε(aX+b)=aΕ(X)+b
（2）期望和越大，其中取值越多，则期望值越大：
Ε(X+Y)≥Ε(X)+Ε(Y)
3、求期望的常用公式：
（1）二项分布期望：
二项分布期望公式：Ε(X)=n·P
其中，n表示试验次数，P表示每次试验发生事件的概率。
（2）二项分布方差：
方差公式：V(X)=n·P·(1-P)
其中，n表示试验次数，P表示每次试验发生事件的概率。
（3）泊松分布期望：
泊松分布期望公式：Ε(X)=λ
其中，λ表示实验的平均数。
（4）泊松分布方差：
方差公式：V(X)=λ
其中，λ表示实验的平均数。
泊松分布与复合泊松分布的性质
泊松分布与复合泊松分布的性质作者：***来源：《神州·上旬刊》2019年第01期摘要：本文主要讲述了泊松分布和复合泊松分布的各种性质。
本文在第一部分主要讲述了泊松分布和二项分布的关系以及泊松分布的数学期望和方差的计算;在第二部分推导了复合泊松分布的概率分布及其数字特征，并阐述了复合泊松分布在非寿险精算中的应用。
关键词：二项分布;泊松分布;复合泊松分布;全概率公式一、泊松分布（一）二项分布的极限情形为泊松分布设随机变量序列，并且随机变量，即若假设，则有下面给出证明。
记對于固定的k有，因此，若随机变量X的可能取值为所有非负整数，并且则我们称随机变量X服从参数为λ的泊松分布，记作X～P（λ）.随机变量所有可能取值之和必定为1，关于泊松分布的所有可能取值之和我们有，（二）泊松分布的含义泊松分布是计数分布的一种，通常用来描述单位时间内事件发生的次数，比如可以用来描述某银行柜台某时间段内来办业务的顾客数。
（三）泊松分布的数学期望和方差泊松分布的数学期望和方差都是λ，下面给出证明，为计算泊松分布的方差，首先给出一般随机变量的方差计算公式，利用上述方差计算公式，我们可以给出泊松分布的方差，二、复合泊松分布（一）复合泊松分布的定义称随机变量为参数为λ复合泊松分布，若满足，（1）X1，X2，…，N独立的;（2）X1，X2，…是同分布的;（3）N～P（λ）.复合泊松分布在保险中是常用的概率分布，随机变量N可看成 N 个保险保单组合，Xi（i=1，2，…）是第i个保单可能的索赔额，则S是这N个保单组合的总索赔额。
因此探讨S 的概率分布及数学期望和方差对保险公司来说有着重要的意义。
（二）复合泊松分布概率分布的算法复合泊松分布的概率分布的计算需要用到全概率公式，下面叙述该公式。
设事件A1， A2，…， An，…是样本空间Ω的一个分割，亦称为完备事件组，即Ai（i=1， 2，…， n，…）两两互不相交，而且假设样本空间中有另外一个事件B，这样一来这样我们可以得到全概率公式，由全概率公式，复合泊松分布的概率分布可以写成，的计算需要用到卷积公式，这里可以举个例子说明这个公式的计算。