转动参考系
球坐标系中速度与加速度的转动参考系求法
球坐标系中速度与加速度的转动参考系求法全球坐标系中速度与加速度的转动参考系是一种求解物体在三维空间中运动轨迹的几何方法。
具体而言，首先将物体处在全球坐标系(GCS)内，然后将物体相对于GCS连续旋转一定角度所产生的新参考系称为转动参考系(R)，再将物体在R中的速度(V)与加速度(A)从R转换到GCS的运算模型即为所求转动参考系求法。
首先，通过计算可以求出物体在R中的速度和加速度，分别用v_r和a_r表示：v_r=(v^r_x,v^r_y,v^r_z)a_r=(a^r_x,a^r_y,a^r_z)其中v^r_x=v_x·cosα+v_y·sinαv^r_y=-v_x·sinα+v_y·cosαv^r_z=v_za^r_x=a_x·cosα+a_y·sinαa^r_y=-a_x·sinα+a_y·cosαa^r_z=a_z其中α为物体从GCS轨迹向R坐标系引入时需要旋转的角度。
接着，可以用下面的公式从R参考系转换至GCS：v_x=v^r_x·cosα-v^r_y·sinαv_y=v^r_x·sinα+v^r_y·cosαv_z=v^r_za_x=a^r_x·cosα-a^r_y·sinαa_y=a^r_x·sinα+a^r_y·cosαa_z=a^r_z最后，我们可以得到物体在GCS中的速度和加速度，分别用v_x，v_y，v_z表示：v:(v_x,v_y,v_z)a:(a_x,a_y,a_z)通过以上步骤，我们就可以用全球坐标系中速度与加速度的转动参考系求法来解决物体在三维空间中运动轨迹问题。
此法可有效求解物体在GCS中的三维运动轨迹，且操作简单、效率高。
第四章 转动参考系
第四章 转动参考系第四章思考题4.1为什么在以角速度ω转动的参照系中，一个矢量G 的绝对变化率应当写作G ωG G ⨯+=*dt d dt d ？在什么情况下0=*dtd G？在什么情况下0=⨯G ω？又在什么情况下0=dtd G？ 4.2式（4.1.2）和式（4.2.3）都是求单位矢量i 、j 、k 对时间t 的微商，它们有何区别？你能否由式（4.2.3）推出式（4.1.2）？4.3在卫星式宇宙飞船中，宇航员发现自己身轻如燕，这是什么缘故？ 4.4惯性离心力和离心力有哪些不同的地方？4.5圆盘以匀角速度ω绕竖直轴转动。
离盘心为r 的地方安装着一根竖直管，管中有一物体沿管下落，问此物体受到哪些惯性力的作用？4.6对于单线铁路来讲，两条铁轨磨损的程度有无不同？为什么？4.7自赤道沿水平方向朝北或朝南射出的炮弹，落地是否发生东西偏差？如以仰角 40朝北射出，或垂直向上射出，则又如何？4.8在南半球，傅科摆的振动面，沿什么方向旋转？如把它安装在赤道上某处，它旋转的周期是多大？4.9在上一章刚体运动学中，我们也常采用动坐标系，但为什么不出现科里奥利加速度？第四章思考题解答4.1.答：矢量G 的绝对变化率即为相对于静止参考系的变化率。
从静止参考系观察变矢量G 随转动系以角速度ω相对与静止系转动的同时G 本身又相对于动系运动，所以矢量G 的绝对变化率应当写作G ωG G ⨯+=*dt d dt d 。
其中dtd G *是G 相对于转动参考系的变化率即相对变化率；G ω⨯是G 随动系转动引起G 的变化率即牵连变化率。
若G 相对于参考系不变化，则有0=*dt d G ，此时牵连运动就是绝对运动，G ωG ⨯=dt d ；若0=ω即动系作动平动或瞬时平动，则有0=⨯G ω此时相对运动即为绝对运动 dtd dt d G G *=；另外，当某瞬时G ω//，则0=⨯G ω，此时瞬时转轴与G 平行，此时动系的转动不引起G 的改变。
匀速转动的参考系中电磁场的变换公式
英文回答：In the context of a uniformly rotating system, the electric and magnetic fields undergo precise transformations with respect to their reference frame. The conversion of the electric field E' from the stationary laboratory frame to the rotating frame is determined by the equation E' = E + (v x B). Here, E' represents the electric field within the rotating frame, E denotes the electric field in the laboratory frame, v stands for the velocity of the rotating frame, and B signifies the magnetic field in the laboratory frame. This equation serves to illustrate the impact of the frame's motion and the magnetic field in the laboratory frame on the electric field within the rotating frame.在一个统一旋转的系统中，电场和磁场的参照框架有精确的转换。
电场E'从固定实验室帧转换为旋转帧由等式E'=E + （v x B）决定。
这里 E'代表旋转帧内的电场，E表示实验室帧内的电场，v代表旋转帧的速度，而B表示实验室帧内的磁场。
惯性力与转动参考系的运动规律
惯性力与转动参考系的运动规律在物理学中，惯性力与转动参考系是两个重要的概念，它们在研究物体的运动过程中起到了关键的作用。
本文将探讨惯性力与转动参考系的运动规律，并从动力学的角度进行解释。
惯性力是指一个非惯性参考系下，为了使牛顿的运动定律成立而引入的一种虚拟的力。
在一个非惯性参考系中，物体的运动并不服从牛顿的运动定律，因为惯性力的存在导致物体表现出与物理规律不符的行为。
一个常见的例子是在转动参考系中观察一个转盘上的小球。
对于一个静止的小球来说，在地面参考系下不受力，符合牛顿的运动定律。
但是，如果我们将地面参考系转换为与转盘同样的转动参考系，小球会出现一种假想的向外离心的力，这就是惯性力的作用。
那么，惯性力的物理原理是什么呢？惯性力的产生是因为我们选择了一个以加速度运动的非惯性参考系。
在转动参考系中，物体与转盘之间存在着摩擦力，这个摩擦力产生了一个向内的加速度。
根据牛顿第二定律，物体在非惯性参考系中会受到一个相等大小，方向相反的力，即惯性力。
具体来说，惯性力的大小与物体的质量、转动参考系的角速度以及距离转动中心的距离有关。
当物体距离转动中心较远时，惯性力的大小较大；而当物体质量较大或者角速度较大时，也可以导致惯性力的增大。
在转动参考系中观察物体的运动规律也具有一些特殊性。
由于惯性力的存在，物体在转动参考系中遵循与地面参考系不同的运动规律。
举个例子，在地面参考系中，我们发现两个物体相互作用力相等，反作用力相反。
但是在转动参考系中，由于惯性力的作用，两个物体之间并不一定满足这个条件。
此外，在转动参考系中，物体的加速度也不是与机械力成正比的关系，而是与惯性力成正比。
也就是说，加速度与机械力和惯性力之间存在一种复杂的关系。
总结一下，惯性力与转动参考系的运动规律是一个相对复杂的问题。
在非惯性参考系中，物体的运动并不遵循牛顿的运动定律，而是受到一个虚拟的惯性力的影响。
这个惯性力是由于我们选择了一个以加速度运动的参考系所产生的。
旋转参考系
旋转参考系旋转参考系是一种常用的参考系，它用来解决物体在旋转中的运动参数问题。
它的使用可以追溯到古代的几何学家，这种参考系统的发展与古代几何的发展有着千丝万缕的联系。
由于旋转参考系的重要性，它经历了无数的改良和发展，成为一个深受人们尊敬的参考系统。
旋转参考系的发展可以追溯到古代几何学家和数学家们的研究。
古代几何学家们致力于研究物体旋转及其对物体形状和特征的影响，这就是旋转参考系的起源。
他们提出了一种旋转参考系，该参考系统可以将目标物体的旋转运动参数化，以便于更好地理解物体的运动行为。
例如，他们将旋转参考系分解为复合角度和固定角度，以便给出物体三个面及其四周圆柱体的旋转信息。
随着概念发展，旋转参考系也发生了很大的变化。
现代物理学家们研究了物体运动的一些基本原理，并将其应用到旋转参考系中。
他们提出了围绕某一点旋转的局部定义坐标系，可以用于研究物体的旋转变形行为。
这个参考系统允许人们以更加精确的方式研究物体的变形，从而更好地了解物体的运动行为。
更为重要的是，旋转参考系的使用也得到了机械和电子领域的广泛应用。
旋转参考系可以用于研究机械设备的运动行为、控制机械部件的旋转、分析传动系统和转动惯量等。
它还可以应用到电子领域，如控制角度传感器的旋转、以及分析激光器或振动传感器的运动行为。
可以看出，旋转参考系已经在物理、机械和电子领域得到了广泛的应用，它已经成为这些领域研究的重要参考系统。
它可以帮助我们更好地理解物体的运动和变形行为，从而促进物理、机械和电子技术的发展。
总之，旋转参考系是一种重要的参考系统，它的应用可以追溯到古代几何学家和数学家们研究旋转运动及其对物体形状和特征的影响。
由于它的发展，它已经成为物理、机械和电子领域研究的重要参考系统，为技术的发展做出了巨大的贡献。
第四章转动参考系
１第四章 转动参考系自学辅导习题（2012年使用）一、选择题(每个小题给出的四个选项中只有一项是正确的)。
1.坐标系xyz o −以角速度i ˆω=ωK 绕x 轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt i ˆd ω=；i ˆdt j ˆd ω−=；0dt k ˆd =； B.k ˆdt iˆd ω=；0dt jˆd =；i ˆdt k ˆd ω=； C.0dt i ˆd =；k ˆdt jˆd ω=；j ˆdt kˆd ω−=； D.i ˆdt i ˆd ω=；j ˆdt j ˆd ω=；k ˆdt k ˆd ω=1.C2.坐标系xyz o −以角速度j ˆω=ωK 绕y 轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt iˆd ω=；i ˆdt jˆd ω−=；0dt k ˆd =； B.k ˆdt iˆd ω−=；0dt jˆd =；i ˆdt k ˆd ω=； C.0dt i ˆd =；k ˆdt j ˆd ω=；j ˆdt k ˆd ω−=； D.i ˆdt i ˆd ω=；j ˆdt j ˆd ω=；k ˆdt k ˆd ω=2.B3.坐标系xyz o −以角速度k ˆω=ωK 绕z 轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt i ˆd ω=；i ˆdt j ˆd ω−=；0dt k ˆd =； B.k ˆdt i ˆd ω=；0dt j ˆd =；i ˆdt k ˆd ω=； C.0dt i ˆd =；k ˆdt j ˆd ω=；j ˆdt k ˆd ω−=； D.i ˆdt iˆd ω=；j ˆdt j ˆd ω=；k ˆdt k ˆd ω=3.A4.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt i ˆd ω=； B.k ˆdt i ˆdω=； C.i ˆdt iˆd ×ω=K ； D.i ˆdt iˆd ω=4.C5.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.i ˆdt j ˆd ω−=； B.0dt jˆd=；２ C.k ˆdt j ˆd ω=； D.j ˆdtj ˆd ×ω=K ； 5.D6.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.0dt k ˆd =； B.i ˆdtk ˆd ω=； C.j ˆdt k ˆd ω−=； D.k ˆdtk ˆd ×ω=K 6.D7.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt i ˆd ω=；i ˆdt j ˆd ω−=； B.k ˆdt i ˆd ω−=；0dtj ˆd =； C.0dt i ˆd =；k ˆdt j ˆd ω=； D.i ˆdt i ˆd ×ω=K ；j ˆdtj ˆd ×ω=K ； 7.D8.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt i ˆd ω=；0dt k ˆd =； B.k ˆdt i ˆd ω−=；i ˆdtk ˆd ω=； C.0dt i ˆd =；j ˆdt k ˆd ω−=； D.i ˆdt i ˆd ×ω=K ；k ˆdtk ˆd ×ω=K 8.D9.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.i ˆdt j ˆd ω−=；0dt k ˆd =； B.0dt j ˆd =；i ˆdtk ˆd ω=； C.k ˆdt j ˆd ω=；j ˆdt k ˆd ω−=； D.j ˆdt j ˆd ×ω=K ；k ˆdtk ˆd ×ω=K 9.D10.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt i ˆd ω=；i ˆdt j ˆd ω−=；0dt k ˆd =； B. i ˆdt i ˆd ×ω=K ；j ˆdtj ˆd ×ω=K ；k ˆdt k ˆd ×ω=K ；３ C.0dt i ˆd =；k ˆdt j ˆd ω=；j ˆdt k ˆd ω−=； D.i ˆdt i ˆd ω=；j ˆdt j ˆd ω=；k ˆdtk ˆd ω= 10.B11.在匀加速直线运动的车厢内，自由下落小球的相对轨迹是：[ ]A.沿铅垂直线；B.沿向后倾斜的直线；C.抛物线；D.双曲线。
2.6 离心力和科里奥利力
mw 2 r
科氏力和离心力都是虚拟力(惯性力)
例：惯性离心力 T S R S'
w
S系 T mw 2 R
质点 m 在 S ' 静止
T F0 0
F0 mw 2 R
重力加速度
w
a离
a离 w 2 r
2 2 g a引 a离 2a引a离 sin q
q
a引 g
a引 a离 g a引 a离 sin q
g北极 = 9.832 m/s2
g赤道 = 9.778 m/s2
*在地表面用 g ，已考虑离心加速度
科氏力 推广到三维球面
w
υr
q
f cori 2m w
υq
υj
落体偏东
j
江水冲刷右岸
ˆ, j ˆ) ˆ, q (r
赵凯华《新概念力学》
编者
安宇
2.6 离心力和科里奥利力*
转动参考系是非惯性系 通过具体例子给出惯性力表示 圆桌面匀速转 动，一质点在 桌面上的同心 圆环凹槽内, 作无摩擦匀速 运动
r
'
w
在惯性系
r
'
ˆ 方向 n
( ' rw ) 2 f m r
f 2m ' w mrw 2 m
w
在转动参考系
'2
r
惯性力
f cori 2m ' w acori 2 ' w
acori 2w '
f cent mrw 2 acent rw 2
acent w 2 r
特例推得, 结果普遍成立 在转动参考系
w
质点速度
转动参考系加速度公式
转动参考系加速度公式
圆o上任一点在t时刻的弧坐标S(t)=Rωt=(2rcosωt)ωt(1) 该点的切向速度v(t)=S(t)'=2rω(tcosωt)'=2rω(cosωt-ωtsinωt)(2)
该点的切向加速度at=v(t)'=2rω(-ωsinωt-tω^2cosωt)(3) 该点的法（向心)向加速度an=v(t)^2/R=v(t)^2/(2rcosωt)(4) 合成加速度大小a=√(at^2+an^2)
由几何关系可见，P点的ωt=π/6代入（2）、（3）、（4）式P点的速度就是切向速度vp=2rω(√3)/2-π/12)
P点的切向加速度atp=2rω^2(1/2-√3π/12)
P点的法向（向心)向加速度anp=v(t)^2/R=(2rω(√3)/2-π
/12))^2/(√3r)
回复空迹破灭：是思路、方法错了，还是代入P点的值后数值错了，如果是后者，我还真是没底。
对前者你有什么看法，愿意和你讨论。
我看了你对其他回答的追问，如果我没审错题的话，这是一道刚体定轴转动的题没有动参考系，是刚体上特定的点的运动，不是点的复合运动，谈不上相对运动、牵连运动。
就是一个对静止坐标的绝对运动。
那个固定的圆，只是相当于确定P点在某时刻的位置的几何图形，对点的运动不起任何作用。
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第四章转动参照系
本章应掌握①转动参照系中的速度、加速度计算公式及有关概念；
②转动参照系中的动力学方程；③惯性力的有关概念、计算公式；④地球自转产生的影响。
第一节平面转动参照系
本节应掌握：①绝对运动、相对运动、牵连运动的有关概念及相互关系；特别是科里奥利加速度的产生原因；②平动转动参照系中的速度和加速度。
一、绝对运动、相对运动、牵连运动
有定系οξηζ，另一平面以角速度ω绕轴旋转，平板上固定坐标系oxyz，oz轴与οζ轴重合。
运动质点P相对板运动。
由定系οξηζ看到的质点的运动叫绝对运动；动系oxyz看到的质点运动叫相对运动；定系上看到的因动系转动导致质点所在位置的运动叫牵连运动。
绝对速度、加速度记为；相对速度、加速度记为V',a'。
二、平动参照系中的速度、加速度
1、v和a的计算公式
速度：（为牵连速度）
加速度：
其中，牵连加速度a l为：
（转动加速度+向心加速度）
科里奥利加速度：
2、科里奥利加速度a c
①它产生条件是：动系对定系有转动；质点相对动系的运动速度不为零，而且运动方向与转轴方向不平行。
②它产生原因是：科氏加速度的产生在于牵连运动与相对运动的相互影响：从静止系看来，一方面牵连运动使相对速度发生改变，另一方面，相对运动也使牵连速度中的发生改变，两者各贡献，结果科氏加速度为。
三、平面转动参照系问题解答例
关键是分清定系，动系和运动物体；然后适当选取坐标系，按公式计算。
[例1]P263 4.1题
等腰直角三角形OAB，以匀角速ω绕点O转动，质点P以相对速度沿AB边运动。
三角形转一周时，P点走过AB。
求P质点在A 点之速度、加速度（已知AB=b）
解：（1）相对动系（直角三角形）的速度
v r=b/T=b/（2π/ω）=bω/2π（方向）
A点的牵连速度（方向垂直）
由V=V r+V e，利用矢量合成法则，得到
（2）加速度，因匀速，所以相对加速度α'=0 又匀角速转动，所以角加速
牵连加速度，大小，方向沿
科氏加速度注意到，所以其大小
方向与AB边垂直（见图4.1.1）
由，利用矢量合成法则则得到：
与斜边的夹角
第二节空间转动参照系
本节要求：①掌握空间转动参照系中绝对、相对、牵连变化率等概念；②掌握空间转动参照系中的速度V、加速度a的计算公式。
一、绝对、相对、牵连变化率
设动系固定在刚体上并随刚体在空间转动，有定系s（οξηζ），两坐标系原点重合，有一物理量矢量G随时间t变化。
刚体的转动角速度ω。
则定系S上看到的物理量G的变化率称为绝对变
化率，记为；动系上看到的变化率叫相对变化率，记为；由于动系转动造成物体随同转动而具有的相对定系的时间变化率叫牵连变化率。
利用是动系单位矢量），对时间求导可以得到：
（1）
（1）式中的最后一项为牵连变化率。
该式表明：绝对变化率为相对变化率与牵连变化率的矢量和。
二、空间转动参照系中的速度和加速度
在（1）中分别令G=r和令G=v，得到
（1）
（2）
其中：为相对加速度
为牵连加速度
为科里奥利加速度
（2）式表明：绝对加速度等于相对加速度、牵连加速度与科氏加速度矢量和。
第三节非惯性系动力学
本节要求是①掌握平面转动参照系中的动力学方程以及三种惯性力；②掌握平面转动参照系中动力学问题的求解步骤；③了解空间转动参照系中的动力学方程。
一、平面转动参照系中的动力学方程
由移项，两边同乘以m，得到
（1）
注意到：（作用于质点的合外力）。
而
(转动加速度与向心加速度的矢量和，称为牵连加速度)，
为科氏加速度。
若令称为牵连力，称为科里奥利力。
则
即（2）
（2）式就是平面转动参照系中的动力学方程。
应注意：非惯性系中牛顿第二定律不成立，平面转动参照系不是惯性系。
但引入牵连力，科氏力的概念后，牛顿定律在非惯性系上律照常成立。
其中：
惯性力是由动系作变角速转动引起。
惯性离心力，是动系转动引起。
科氏力是由动系的转动和质点对转动的相对运动引起。
应注意：惯性离心力与离心力的区别：①离心力（如正电荷靠近正离子时受的斥力）是真实力，而惯性离心力是在转动系中观察者为解释物理现象而假想的力；②离心力无论动系或定系均可见到，而惯性离心力只在动系中才能体会得到。
二、平面转动参照系中的质点动力学问题解答例
已知动系和质点受力情况，求质点运动规律的一般步骤为：
①确定动系和定系，以及运动质点，选取坐标系；②分析质点受的力（主动力、惯性力）；③写出动系中的动力学方程及其分量形式；
④求解方程。
[例1]书P265 4.10题
小环套在光滑圆圈上，而圆圈在水平面内以匀角速ω绕圆圈上某点o并垂直於圆圈平面的轴转动。
求小环沿圆圈切线方向的运动方程。
解：如图4.3.1，取圆圈为动系，小环为运动物体。
对动系而言，小环受力有：
重力mg和圆圈对环的支持力N（方向垂直于环面），两者平衡，环受圆圈反作用力（方向沿cp方向），环的相对速度方向如图（沿P点切线），则科氏力，其方向指向圆心C （沿pc方向），大小为因圆圈作匀角速转动，故只有惯
性离心力, 大小为，方向沿op 方向，所以质点的运动方程为：
取动系的切线方向，其方程为：
（1）
利用
代入（1）式，得到：
同除ma，得到运动方程：
第四节地球自转所产生的影响
地球有自转，公转，其中公转角速很小，它的影响可忽略，但地球自转的影响不可忽视。
本节应重点掌握地球自转引起的惯性离心力和里科奥利力对地球上运动物体的影响。
一、惯性离心力的影响
如图4.4.1，地球绕地轴（过南北极）旋转，角速ω，地面上一
质点m，受万有引力作用（），同时因地球自转还受惯性离心力作用，惯性离心力的大小为，合力即为重力。
显然，重力的作用线一般并不通过地球的球心，只有在南北极时重力才通过地心。
二、科里奥利力的影响
设物体从地球北半球某点P以速度V'相对地球沿经线运动。
P点的纬度λ，由质点动力学方程：
由于科氏力的存在，使地球上运动物体的运动受影响：
（1）由于科氏力的作用，使南北向的气流发生东西向的偏转；北半球地面附近的气流由北向南推进时，则气流向西偏离，成为东北贸易风；反之，而南半球地面附近自南向北的气流，也向西偏离，成为东南贸易风。
（2）由于科氏力的作用，使北半球上自北向南流的河流，右岸冲刷更甚。
（3）由于科氏力的作用，使自由落体有偏东现象。
偏东的数值与物体所在的纬度有关，也与下落的物理高度h以及纬度λ有关：
赤道附近偏东最甚，而两极偏东为零。