代数方程复习(教师版讲义)

基本容 代数方程复习知识精要一、基本概念：一元整式方程：方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式。

二项方程：一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边为零的方程。

其一般式为Ax^n+b=0(其中a ≠0, b ≠0,n 为正整数).双二次方程:只含有偶数次项的一元四次方程.其一般形式为:ax^4+bx^2+c=0(a ≠0) 无理方程：方程中含有根式,并且被开方数含有未知数的代数式.二元二次方程组:仅含有两个未知数,并且含有未知数项的最高次数为2的整式方程.二、整式方程的解法1. 一元一次方程和一元二次方程的解法2. 含字母系数的整式方程的解法3. 特殊的高次方程的解法（1）二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n的解法二项方程的定义：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边是零，那么这样的方程叫做二项方程。

关于x 的一元n 次二项方程的一般形式是),0,0(0是正整数n b a b ax n ≠≠=+二项方程的解法及根的情况：一般地，二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n可变形为ab x n-= 可见，解一元n 次二项方程，可以转化为求一个已知数的n 次方根，运用开方运算可以求出这个方程的根。

二项方程的根的情况：对于二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n， 当n 为奇数时，方程只有且只有一个实数根。

当n 为偶数时，如果0<ab ，那么方程有两个实数根，且这两个实数根互为相反数；如果0>ab ，那么方程没有实数根。

（2）双二次方程的解法 双二次方程的定义：只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程。

关于x 的双二次方程的一般形式是)0(024≠=++a c bx ax 双二次方程的解法：可以用“换元法”解形如)0,0,0(024≠≠≠=++c b a c bx ax 的双二次方程。

就是用y 代替方程中的x 2，同时用y 2代替x 4，将方程转化为关于y 的一元二次方程ay 2+by +c =0。

解这个关于y 的一元二次方程即可。

（3）因式分解法解高次方程解高于一次的方程，基本思想就是是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。

用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。

三、可化为一元二次方程的分式方程的解1．适宜用“去分母”的方法的分式方程解分式方程，通常是通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程来解。

解分式方程要注意验根！ 2.适宜用“换元法”的分式方程适宜用换元法的分式方程有两种，一是二次项与一次项相同的，采取同底换元法；二是不看系数，方程的未知项呈倒数关系的，可采取倒数换元法 四、无理方程的解法解无理方程的基本思路是把无理方程化为有理方程，通常采用“两边平方”的方法解。

对有些特殊的无理方程，可以用“换元法”解。

解无理方程一定要验根！在初中阶段，我们主要学习下面两种无理方程的解法。

1.只有一个含未知数根式的无理方程当方程中只有一个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使这个二次根式单独在一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。

2.有两个含未知数根式的无理方程当方程中有两个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使乙个二次根式单独在一边，另外一个二次根式在方程的另一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。

3.适宜用换元法解的无理方程如果无理方程中，二次根式里面的未知项和二次根式外面的未知项相同，可以使用换元法来解。

一、巩固训练：已知下列关于x 的方程：其中无理方程是_______________，分式方程的是_________________整式方程的是___________。

.3231)6(;21)5(;721)4(;071)3(;015)2(;015122=-++=+=+-=-+=++=++xx x xx x a x x x x x ）（二、热身练习解下列方程：22(1)1(1)bx x b =+> 3(2)6181x -=4(3)(2)170y --= （4）x 4-9x 2+14=02654(5)111x x x x x ++=--+ （6）2711322=-+-x x x x 21,2,21321-==±=x x x （7）;323x x =--（8）.12=-+x x2=x 41=x（9）⎩⎨⎧=++=--4168062222y xy x y xy x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=±=7276y x ⎩⎨⎧±=±=12y x三、列方程解应用题1、小杰与小丽分别从相距27千米的A 、B 两地同时出发相向而行，3小时后相遇.，相遇后两人按原来的速度继续前进， 小杰到达B 地比小丽到达A 地早 1小时21分，求两人的行进速度分别是多少？解：小杰的速度为x 千米/小时，小丽的速度为y 千米/小时⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y x y x 2760211272733 解得⎩⎨⎧==45y x精解名题例题1. 解下列关于x 的方程（1）(3a-2)x=2（3-x ） （2）bx 2-1=1-x 2（b ≠-1） 解（1）去括号，得 3ax-2x=6-2x 移项，得 3ax-2x+2x=6合并同类项，得 3ax=6 ※ 当a ≠0时，方程※是一元一次方程，解得 ax 2=； 当a=0时，方程※变成 0·x=6，这时不论x 取什么值，等式0·x=6都不成立，因此方程无解。

所以，当a ≠0时，原方程的根是ax 2=；当a=0时，原方程无解。

（2）移项，得 bx 2+x 2=1+1合并同类项，得（b+1）x 2=2 因为b ≠-1，所以b+1≠0 两边同除以b+1，得 122+=b x ※ 当b+1＞0时，由方程※解得 122++±=b b x ；当b+1＜0时，方程※中012<+b ，这时方程没有实数根。

所以，当b+1＞0时，原方程的根是1221++=b b x ，1222++-=b b x ；当b+1＜0时，原方程没有实数根。

例题2. 判断下列方程是不是二项方程，如果是二项方程，求出它的根。

（1）x 3-64=0 （2）x 4+x=0（3）x 5= -9 （4）x 3+x=1 解：（1）、（3）是二项方程，（2）、（4）不是二项方程。

下面解方程（1）、（3）：（1）移项，得 x 3=64 开方，得 364=x即 x=4 （3）开方，得 59-=x即 59-=x例题3. 解下列方程：（1）2x 3+7x 2-4x=0 （2）x 3-2x 2+x-2=0 解：（1）方程左边因式分解，得x(2x 2+7x-4)=0 x(x+4)(2x-1)=0得x=0或x+4=0或2x-1=0 ∴原方程的根是 x=0，x=-4，x=21注意：不要漏掉x=0这个根!（2）方程左边因式分解，得(x 3-2x 2) +(x-2)=0x 2(x-2)+(x-2)=0（x-2）(x 2+1)=0即 x-2=0或x 2+1=0 解方程x-2=0得 x=2方程x 2+1=0没有实数根 所以，原方程的根是 x=2 例4解方程：213221x xx x --=- 解：解：设y xx =-12，则原方程化为0322=--y y解得1,321-==y y 当31=y 时，得1-=x 当11-=y 时，得31=x ,经检验，11-=x ，312=x 是原方程的解。

例5、 解方程3111412x 1+-+=+-+x x x 解：（25-=x ）例题6 解下列方程： （1）01222=+--x x （2）12=-+x x（1）原方程可变形为1222+=-x x两边平方，得 x 2-2=2x+1整理，得 x 2-2x-3=0 解得 x 1=-1,x 2=3经检验，x=-1是增根，舍去；x=3是原方程的根。

所以，原方程的根是 x=3例题7 解方程 46342222+-=+-x x x x 解：设422+-x x =y ，则3x 2-6x+12=3y 2 ，则3x 2-6x=3y 2-12原方程化为 2y=3y 2-12+4整理，得 3y 2-2y-8=0 解得 y 1=2，y 2=34-当y=2时，422+-x x =2，422+-x x =4，解得x=0或x=2；y=34-时，422+-x x =34-，次方程无解。

经检验，x=0，x=2都是原方程的根。

所以，原方程的根是 x 1=0，x 2=2 例8、求满足条件0211y 652222=--++++-y x y x xy x 的x ，y 的值解：根据题意，可得方程组⎩⎨⎧=--++=+-02110652222y x y x y xy x 得⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-=-=13,5153,24,515244332211y x x x y x y x例9． 列方程解应用题A B ，两地盛产柑桔，A 地有柑桔200吨，B 地有柑桔300吨．现将这些柑桔运到C 、D 两个冷藏仓库，已知C 仓库可储存240吨，D 仓库可储存260吨；从A 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A 地运往C 仓库的柑桔重量为x 吨，A 、B 两地运往两仓库的柑桔运输费用分别为A y 元和B y 元．（1（2）试讨论AB ，两地中，哪个运费较少； 解： 55000(0200)A y x x =-+≤≤，34680(0200)B y x x =+≤≤．（2）当A B y y =时，550003468040x x x -+=+=，； 当A B y y >时，550003468040x x x -+>+<，； 当A B y y <时，550003468040x x x -+<+>，． ∴当40x =时，A B y y =即两地运费相等；当040x <≤时，A B y y >即B 地运费较少； 当40200x <≤时，A B y y <即A 地费用较少．例10. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?解：⑴设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为米．依题意，得即，解此方程，得∵墙的长度不超过45m，∴不合题意，应舍去．当时，所以，当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m２．⑵不能．因为由得又∵＝(－80)2－4×1×1620=－80＜0，∴上述方程没有实数根．因此，不能使所围矩形场地的面积为810m2巩固练习1. 解方程：xx x--+=1211分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以()()x x+-11，得是原方程的根经检验：，33)1)(1()1(22==∴-+=--+xxxxxxx2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。