物理竞赛课件(三)力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心
力矩-有固定转动轴物体的平衡PPT课件
力所在的平面与转轴不垂直
把力分解到沿转轴方向，和垂直转轴 方向。
沿转轴方向的力，不能使物体绕 轴转动，该力对转轴的力矩为0
-
5
转动平衡条件：M合=0 或： M顺=M逆
平衡条件： F 0 M0
平面力系： FX =0
Fy =0
M 0
该力矩可取任意垂直平面的直线为轴
-
12
❖如图：由五根轻杆和一个拉力器构
成的正方形框架，A、B、C、D四
处由铰链连接，各杆可以自由转动。
AC杆和BD杆交会处不连接。如果
调节拉力器，使它产生的拉力为T。
请分析各杆受力情况。A
B
AD杆受拉力，大小为T
-
6
已知：杆重G1=80N，物重G2=240N
θ=30°
求：钢绳对杆OB的拉力F1
F1lsin-G1
l 2
-G2l
0
A
由此得：F1=G21+si2nG2 560N B
ห้องสมุดไป่ตู้
-
F1
Θ O
G1
F3
7
mgR - F (2R) 0 F mg
2
R 2R
mg
F
-
8
应用转动平衡求解重心
如图所示，边长为a的均匀正方形木板，被 挖去一个半径为a/4的圆孔，圆孔的边缘 和正方形右边缘相切，圆心在对称轴PQ 上，求该木板剩余部分的重心。
力矩
有固定转动轴物 体的平衡
-
1
1．转动平衡：有固定转动轴的物体， 如果保持静止（或匀速转动状态），则 这个物体处于转动平衡状态
高二物理竞赛课件：力矩转动惯量定轴转动定律
面内
即：都在转动平面内
三、定轴转动定律
O’
对刚体中任一质量元 mi ω
Fi (外力)
fi (内力)
ri P
mi
fi
i
Fii
应用牛顿第二定律，可得： O
Fi fi miai
采用自然坐标系，上式切向分量式为：
Fi sini fi sini miai miri
用ri 乘以上式左右两端：
Firi sini firi sini miri2
d r s是in转轴到力作用线
F1 F
的距离，称为力臂。
因为这个力矩与Z轴平行, 因此我们称这个力矩为力
转动 平面
r
F2
对转轴 Z 的力矩
我们将力对z轴的力矩记作Mz
（2） M Z rF2 sin F2d
d r s是in转轴到力作用线
F1 F
的距离，称为力臂。
（3）F1 对转轴的力矩为零 ，在定轴转动中不予考虑。
设刚体由N 个质点构成，对每个质点可写出上 述类似方程，将N 个方程左右相加，得：
N
N
N
Firi sini firi sini (miri2 )
i1
i1
i1
根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：
N
firi sini 0
i 1
得到：
N
N
Firi sini (miri2 )
的代数和 M z
.
Mz Jzβ
z
Fej
O rj mj
Fij
Mz
Jz Jz
d
dt
讨论：
（1） M 一定，J
β 转动惯量是转动
高中物理奥林匹克竞赛专题力矩 刚体定轴转动定律 (共15张PPT)
解：以转台和二人为研究对象，所受外力只有重
力及轴的支撑力，诸力对转轴的合力矩为零，所
以系统角动量守恒．各转动惯量分别为
J 1 m R2 ，2
JA
1 mR2 2
JB
1mR/22
2
以，地面为参照系，A处的人走动的角速度为
＋(v / R)，B处的人走动的角速度为
(2v1R)-(4v/R)
2
由角动量守恒定律
0
0
mg x k x 2
0 .2
2
J
2
4
0
2
12 .6 故： v R 1 .26 m / s
3、质量为M的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于 盘的固定光滑轴转动，转动惯量为Mr2/2，绕过盘的 边缘挂有质量为m，长为l的匀质柔软绳索（如 图）．设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧 绳长之差为S时，绳的加速度的大小．
大小： M z F2rsin F 2 d
方向：
M
方向:
z
OZ
3、总力矩的大小= 所有外力力矩的代数和
M
正方向的规定：促进转动的力矩为正
z
1
§3-3 力矩 刚体定轴转动定律
二、定轴转动定律
F=mam d v
dt
dp
F=
dt
牛二
类比法
M z J
J
dw dt
已知： m i : p 点质量
M
z
dL dt
r
M
a
S
解：选坐标如图所示，任一时刻圆盘两侧的绳长
分别为x1、x2 选长度为x1、x2的两段绳和绕着绳 的盘为研究对象．设a为绳的加速度，β为盘的
角加速度，r为盘的半径，为绳的线密度，且在
物理竞赛讲义(三)力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心
郑梁梅高级中学高一物理竞赛辅导讲义第三讲：力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心【知识要点】（一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。
（二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。
记为M=FL ，单位“牛·米”。
一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。
（三）有固定转轴物体的平衡条件作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零或逆时针方向力矩总是与顺时针方向力矩相等。
即ΣM=0，或ΣM 逆=ΣM 顺。
（四）重心：物体所受重力的作用点叫重心。
计算重心位置的方法：1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。
2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。
3、公式法：如图所示，在平面直角坐标系中，质量为m 1和m 2的A 、B 两质点坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则由两物体共同组成的整体的重心坐标为： 212211m m x m x m x C ++= 212211m m y m y m y C ++= 一般情况下，较复杂集合体，可看成由多个质点组成的质点系，其重心C 位置由如下公式求得：i i i C m x m x ∑∑= i i i C m y m y ∑∑= ii i C m z m z ∑∑= 本节内容常用方法有：①巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解；③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。
【典型例题】【例题1】如图所示，光滑圆弧形环上套有两个质量不同的小球A 和B 两球之间连有弹簧，平衡时圆心O 与球所在位置的连线与竖直方向的夹角分别为α和β，求两球质量之比。
高二物理竞赛课件：力矩和转动定律
1 mgl
2
例2）现有一质量为m，半径为R的匀质薄圆盘在 平面内以角速度ω转动，求摩擦力产生的力矩。
dr 解： 取细圆环为质元
ωr
dm
ds
m
R2
2rdr
dM r dF rgdmk
rg
m
R2
2rdrk
M
R
dM g
m 2r 2dr 2 gmR
0
R 2
3
(二）转动定律
要揭示转动惯量的物理意义，实际上是要找到一个 类似于牛顿定律的、确定刚体在外力矩作用下运动状
力矩和转动定律
力矩和转动定律
——寻求类似于牛顿定律、确定刚体 在外力矩作用下运动状态发生变化的 规律——转动定律。
（一）刚体定轴转动的力矩 1 .对固定点的力矩 M r F
2 .对固定转轴的力矩 （1）力垂直于转轴
M
F
Or
d
Pr
这种情况相当于质点绕固定点
O 转动的情形, 可用上面公式.
（2）力与转轴不垂直
FN
FN
i
ri Fi Mi
i
注意: (a) M合
i ri
Fi
i
i
(b) 以上公式中, 力都应理解为垂直于转轴的分量, 下同.
(4) 若作用在刚体各处的力是连续分布的，可将
刚体分割成很多小质元，先求作用在每个质
元上的元力矩，再对所有元力矩求和
M合 r dF
(5) 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消,即
在以角速度ω作定轴转动的刚体内, 取
质元 mi , 则其对OZ 轴的角动量为
ΔLi ri Δmivi ri Δmiri Δmi ri2ω
力矩定轴转动定理课件高中物理竞赛
2m R2 r
3dr
2m R2
1 4
r4
R m R2 1 mR2
02
2
3.2 力矩 定轴转动定理
例题2
求长度为 L，质量为m的均匀细棒对下列各轴的 转动惯量：① 轴过棒端并与棒垂直；② 轴过棒中点 并与棒垂直；③ 轴过离棒中点h远处一点并与棒垂直。
z
x dx
o
L
z
z
dx
dx
x
x
x
o
o x
x
L
L
得 Lz J
3.2 力矩 定轴转动定理
J miri2 称为刚体对z轴的转动惯量
i
刚体定轴转动的角动量等于刚体对转轴的转动惯 量与转动角速度的乘积。
Lz J
刚体定轴转动的角动量定理的微分形式
Mz
dLz dt
刚体对转轴的转动惯量恒定
Mz
J
d
dt
J
3.2 力矩 定轴转动定理
M z J 刚体对轴的转动定理
J r2dm m
刚体的转动惯量与下列因素有关：
❖ 刚体的质量 ❖ 刚体的质量分布 ❖ 转轴的位置
3.2 力矩 定轴转动定理
几种常见刚体的转动惯量：
细棒 2 力矩 定轴转动定理
L
2 力矩 定轴转动定理 §2-5给出了质点系角动量定理微分形式：
m
整个刚体对转轴的角动量
J 1 mL2 3
刚体的质量
ห้องสมุดไป่ตู้
M M zk L Lzk
对刚体定轴转动有
Mz
dLz dt
3.2 力矩 定轴转动定理
刚体中任一质量元 mi 对转动轴角动量大小为
Liz rimiυi 方向相同
高中物理竞赛辅导力学部分专用讲义
高中物理《竞赛辅导》力学部分目录第一讲：力学中的三种力第二讲：共点力作用下物体的平衡第三讲：力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心第四讲：一般物体的平衡、稳度第五讲：运动的基本概念、运动的合成与分解第六讲：相对运动与相关速度第七讲：匀变速直线运动第八讲：抛物的运动第九讲：牛顿运动定律（动力学）第十讲：力和直线运动第十一讲：质点的圆周运动、刚体的定轴转动第十二讲：力和曲线运动第十三讲：功和功率第十四讲：动能定理第十五讲：机械能、功能关系第十六讲：动量和冲量第十七讲：动量守恒《动量守恒》练习题第十八讲：碰撞《碰撞》专题练习题第十九讲：动量和能量《动量与能量》专题练习题第二十讲：机械振动《机械振动》专题练习第二十一：讲机械波第二十二讲：驻波和多普勒效应第一讲： 力学中的三种力【知识要点】（一）重力重力大小G=mg ，方向竖直向下。
一般来说，重力是万有引力的一个分力，静止在地球表面的物体，其万有引力的另一个分力充当物体随地球自转的向心力，但向心力极小。
（二）弹力1．弹力产生在直接接触又发生非永久性形变的物体之间(或发生非永久性形变的物体一部分和另一部分之间)，两物体间的弹力的方向和接触面的法线方向平行，作用点在两物体的接触面上．2．弹力的方向确定要根据实际情况而定．3．弹力的大小一般情况下不能计算，只能根据平衡法或动力学方法求得．但弹簧弹力的大小可用．f=kx(k 为弹簧劲度系数，x 为弹簧的拉伸或压缩量)来计算 ．在高考中，弹簧弹力的计算往往是一根弹簧，而竞赛中经常扩展到弹簧组．例如：当劲度系数分别为k 1,k 2,…的若干个弹簧串联使用时．等效弹簧的劲度系数的倒数为：nk k k 1...111+=，即弹簧变软；反之．若以上弹簧并联使用时，弹簧的劲度系数为：k=k 1+…k n ，即弹簧变硬．(k=k 1+…k n 适用于所有并联弹簧的原长相等；弹簧原长不相等时，应具体考虑) 长为0L 的弹簧的劲度系数为k ，则剪去一半后，剩余2L 的弹簧的劲度系数为2k （三）摩擦力 1．摩擦力一个物体在另一物体表面有相对运动或相对运动趋势时，产生的阻碍物体相对运动或相对运动趋势的力叫摩擦力。
高二物理竞赛力矩转动惯量定轴转动定律PPT(课件)
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律
目录
第一章 力和运动
第二章 运动的守恒量和守恒定律
第三章 刚体和流体的运动
第四章 相对§论3-1基刚础体模型及其运动 第五章 气体§动3-2理力论矩 转动惯量 定轴转动定律 第六章 热力§学3-3基定础轴转动中的功能关系
第七章 静止§电3-4荷定的轴电转场动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
J
T1 T2
T1' T2'
m
a r
a m2 m1 g M r / r
m2
m1
1 2
m
m1 参考：P117、P35
mr
a m2
T1
T2
T1
T2
m1
a
a
G1
m2
G2
27
例题 3-4 dm r d dr e m e R2
解: 阻力矩：M rdmg g rr d dr e
v
推导：
切向加速度 向心加速度
a dv d r dr
dt dt
dt
9
例题
0 t 2 n t 0
0t
1t2
2
2
N
v r sin 90
at r an 2r
0
O
an r
v
a
at
10
例题
d (at bt 3 ct 4 ) a 3bt 2 4ct 3
dt
d d (a 3bt2 4ct3 ) 6bt 12ct2
定轴转动定律
1
J 15 6 第九章 电磁感应 电磁场理论
总质量相同，质量分别离轴越远，J 越大。
F 平行转轴的力不产生转动效果，
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郑梁梅高级中学高一物理竞赛辅导讲义
第三讲：力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心
【知识要点】
（一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。
（二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。
记为M=FL ，单位“牛·米”。
一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。
（三）有固定转轴物体的平衡条件
作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零或逆时针方向力矩总是与顺时针方向力矩相等。
即ΣM=0，或ΣM 逆=ΣM 顺。
（四）重心：物体所受重力的作用点叫重心。
计算重心位置的方法：
1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。
2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。
3、公式法：如图所示，在平面直角坐标系中，质量为m 1和m 2的A 、B 两质点坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则由两物体共同组成的整体的重心坐标为： 212211m m x m x m x C ++= 212211m m y m y m y C ++= 一般情况下，较复杂集合体，可看成由多个质点组成的质点系，
其重心C 位置由如下公式求得：
i i i C m x m x ∑∑= i i i C m y m y ∑∑= i
i i C m z m z ∑∑= 本节内容常用方法有：①巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解；③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。
【典型例题】
【例题1】如图所示，光滑圆弧形环上套有两个质量不同的小球A 和B 两球之间连有弹簧，平衡时圆心O 与球所在位置的连线与竖直方向的夹角分别为α和β，求两球质量之比。
y y y 2α β A B
O
【例题2】（第十届全国预赛）半径为R ，质量为m 1的均匀圆球与一质量为m 2的重物分别用细绳AD 和ACE 悬挂于同一点A ，并处于平衡。
如图所示，已知悬点A 到球心O 的距离为L ，若不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD 和竖直方向的夹角θ。
【例题3】（第十届全国决赛）用20块质量均匀分布的相同的光滑积木块，在光滑水平面一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块的长度为L ，横截面为4
L h =的正方形，求此桥具有的最大跨度（即桥孔底宽），试画出该桥的示意图，并计算跨度与桥孔高度的比值。
【例题4】（第六届预赛）有6个完全相同的刚性长条薄片A i B i （i=1，2…），其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的质量均不计，现将此6个薄片架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起B i 恰在碗口上，另一端小突起A i 位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示，若将质量为m 的质点放在薄片A 6B 6上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A 6的距离，则薄片A 6B 6中点所受的（由另一薄片的小突起A 1所施的）压力。
【练习】
1、如图所示，木棒的一端用一根足够短的绳子拴住悬挂在天花板上，另一端搁在滑动摩擦因数为μ的水平木板上，木板放在光滑的水平面上，若向右匀速拉出木板时的水平拉力为F 1，向左匀速拉出时的水平拉力为F 2，两种情况下，木棒与木板间的夹角均保持为θ不变，试比较F 1和F 2的大小？
12 3 B
2、如图所示，是一种手控制动器，a 是一个转动着的轮子，b 是摩擦制动片，C 是杠杆，O 是其固定转动轴，手在A 点施加一作用力F 时，b 将压紧轮子使轮子制动，若使轮子制动需要的力矩是一定的，则下列说法正确的是： A 、轮a 逆时针转动时，所需力F 小 B 、轮a 顺时针转动时，所需力F 小 C 、无论轮a 逆时针还是顺时针转动所需的力F 相同
D 、无法比较力F 的大小
3、两根等长的细线，一端拴在同一悬点O 上，另一端各系一个小球，两球的质量分别为m 1和m 2，已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度，分别为45和30°，如图所示。
则m 1 : m 2为多少？
4、如图所示，一个半径为R 的均质金属球上固定着一根长为L 的轻质细杆，细杆的左端用铰链与墙壁相连，球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。
由于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素为μ），所以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为F 的水平拉力。
试问：现要将木板继续向左插进一些，至少需要多大的水平推力？
a b C
O A F。