误差分析
如何进行测量数据的误差分析
如何进行测量数据的误差分析如何进行数据的误差分析导语：在科学研究和实验中，测量数据的误差是一个不可避免的问题。
准确地进行误差分析有助于我们理解数据的可靠性和可信度。
本文将介绍一些常见的误差类型，以及如何进行测量数据的误差分析。
一、误差的类型和来源1. 系统误差：系统误差是指由于实验仪器或测量方法本身的固有问题而引起的误差。
例如，仪器的不准确度、仪器的零点漂移等都属于系统误差。
这种误差是可以通过校正和调整仪器来减小的。
2. 随机误差：随机误差是指无法确定其来源的误差，它在测量中以不确定形式出现。
可能是由于实验条件的不可控因素，或者是由于实验人员的操作不精确等导致。
随机误差可以通过多次重复测量取平均值来减小。
3. 人为误差：人为误差是指由于人为疏忽或主观判断而引起的误差。
例如，读数误差、记录错误等。
这种误差可以通过加强实验人员的培训和提高实验操作的规范性来减小。
二、误差分析方法1. 确定测量的不确定度：测量不确定度是描述测量结果的可靠性的指标，是进行误差分析的基础。
可以通过多次重复测量、比较不同测量方法的结果、查阅相关文献等途径来确定测量的不确定度。
2. 统计方法：统计方法是误差分析的重要工具之一。
通过对测量数据进行统计学分析，例如平均值、标准差、标准误差等，可以得出测量结果的可信度。
同时，统计方法还可以检验数据的正态分布性、偏离程度等。
3. 校正与调整：对于存在系统误差的测量数据，可以采取校正与调整的方式，以提高测量结果的准确性。
校正的方法多种多样，例如根据仪器的校准曲线进行修正，或者通过其他准确测量仪器的校正值等方法。
4. 不确定度传递：在进行多个测量值的运算时，需要考虑不确定度的传递问题。
根据误差传递公式，可以计算出结果的不确定度。
这有助于我们对测量结果进行更准确的评估。
三、实例分析以实验测量一个材料的密度为例，探讨误差分析的具体方法：1. 确定实验方法，并进行多次重复测量。
例如通过测量样品的质量和体积来计算密度值。
误差分析
误差分析误差分析是一种常见的数据分析方法，可以帮助我们了解实验或测量结果与理论值之间的差异。
它在科学研究、工程计算和实验设计中具有重要作用。
误差分析可以帮助我们评估数据质量、提高实验精度，并为结果的可靠性提供可靠的依据。
误差分析的基本原理是比较实验或测量结果与理论值之间的差异。
在生活中，我们时常需要对测量数据进行误差分析，例如体重、长度和温度等。
误差分析的过程需要首先收集数据，然后计算数据的平均值和标准偏差，通过比较理论值与数据的差异来确定误差。
误差分析涉及到许多概念和方法。
首先，我们需要确定误差的类型。
误差可以分为系统误差和随机误差。
系统误差是由于实验设备的不准确性或实验者的主观偏差引起的。
随机误差是由于实验条件的不确定性或测量设备的噪声引起的。
理论上，系统误差可以通过校准仪器或改进实验设计来减小，而随机误差可以通过重复实验来减小。
其次，我们需要利用数学方法来计算误差的大小。
常见的误差分析方法包括误差传播法和最小二乘法。
误差传播法是一种逐步分析误差的方法，它可以帮助我们了解每个测量结果对最终结果的影响程度。
最小二乘法是一种通过最小化实际观测值与理论值之间的差异来确定最优解的方法。
这两种方法都需要一定的数学基础和计算工具，在误差分析中应用广泛。
误差分析还涉及到数据处理和可视化技术。
在数据处理方面，我们可以利用统计学方法来计算数据的平均值、标准偏差和置信区间。
这些统计量可以帮助我们判断实验结果的可靠性和精确性。
在可视化方面，我们可以利用图表和图形来呈现数据的分布和趋势。
这些可视化技术可以帮助我们更直观地理解数据的特征和误差分布。
误差分析不仅在科学研究中有重要作用，也在实际应用中发挥着重要作用。
例如，在工程设计中，误差分析可以帮助我们评估产品的性能和可靠性。
在医学诊断中，误差分析可以帮助我们判断测试结果的准确性和真实性。
在环境监测中，误差分析可以帮助我们评估污染源的排放和影响程度。
总之，误差分析对于科学研究和实际应用都具有重要意义。
实验报告误差分析
实验报告误差分析
误差分析是实验报告中非常重要的一部分，它用于评估实验中测量结果与真实值之间
的差异，并说明可能的误差来源和影响因素。
误差分析的主要目的是确定测量结果的
可靠性和准确性，以及改进实验方法和测量技术。
在误差分析部分，需要包括以下内容：
1. 实验误差类型：列出实验中可能存在的误差类型，如随机误差、系统误差、仪器误
差等。
说明每种类型误差的特点和影响。
2. 误差计算：对每个测量结果进行误差计算，并给出误差值和误差范围。
常见的误差
计算方法包括标准差、相对误差等。
3. 误差来源和影响因素：分析可能造成误差的原因和影响因素，如操作人员的技术水平、仪器的精度、环境条件等。
对于每个因素，可以给出具体的实验数据和分析结果。
4. 误差控制和改进方法：根据误差分析结果，提出改进实验方法和测量技术的建议。
例如，可以通过提高仪器精度、增加测量次数、改进操作方法等方式来减小误差。
5. 结果讨论和解释：根据误差分析结果，对实验结果进行讨论和解释。
说明误差对结
果的影响程度，并提出对实验结果的合理解释。
在撰写实验报告时，误差分析部分应该清晰、详细地描述实验中存在的误差，并给出
合理的解释和建议。
同时，还可以通过图表、实验数据等形式来支持误差分析的结论。
误差分析
• 上述规律可用正态分布曲线表示。 图中横轴表示误差的大小，纵轴 表示误差出现的频率。 • 在消除系统误差的情况下，平行 测定的次数越多，则测定值的算 术平均值越接近真值。
• 偶然误差的大小可由精密度表 现出来，通常，精密度越高， 偶然误差越小；精密度越差， 偶然误差越大。
偶然误差的消除方法
• 增加平行测定次数。 • 在消除系统误差的前提下，平行 测定的次数越多，则测得的算术 平均值越接近于真实值。因此， 常借助于增加测定次数的方法来 减少偶然误差以提高分析结果的 准确度。
• 例题：用Q检验法判断下列数据 时，0.5086是否可弃去。 • 解：将数据按大小排列 • 0.5042、0.5050、0.5051、0.5063、 0.5064、0.5086。 • X6－X1＝ 0.5086-0.5042 • X6－X5＝ 0.5086-0.5064
• Q计＝(0.5086-0.5064)/(0.5086-0.5042) • =0.50
平均偏差
• 平均偏差表示如下：（X－测定值， － X 平均值，n－测定次数）
d
X X n
算术平均值
X
Xi n
相对平均偏差
• 相对平均偏差＝
d 100 % X
• 由于测定过程中小偏差出现 的机率大，大偏差出现的机 率小，如果用总测定次数作 分母，所得结果会偏小，大 偏差没有表现出来。因此引 出标准偏差。
• n=6, Q0.90=0.55 • Q计=0.50 • Q计小于Q0.90，0.5086这个数应予保 留。
Q检验法的优点和缺点
• Q检验法符合数理统计原理，特 别具有直观性和计算简便的优点。 • 测定次数限制在3－10次。
• t检验法 • 例：测定铁矿石中铁的含量，经 6 次 测 定 ， 其 结 果 为 40.02% 、 40.12% 、 40.16% 、 40.18% 、 40.20%、40.18%。试以t检验法 判断该组数据中是否有可以舍弃 的数据？
误差分析
1,分析方法: ,分析方法:
nC标V标 C待 = V待
2,产生误差的原因: ,产生误差的原因: ①洗涤仪器 1,锥形瓶用蒸馏水洗涤后又用待测液润洗. ,锥形瓶用蒸馏水洗涤后又用待测液润洗. V标偏大 C待偏高 2,滴定管末用标准溶液润洗,直接盛装标准液. ,滴定管末用标准溶液润洗,直接盛装标准液. V标偏大 C待偏大
3,取待测液的滴定管未用待测液润洗 , 直接量取待测液. 直接量取待测液. V标偏小 C待偏低 ②气泡 4,滴定前滴定管尖嘴有气泡,完毕气泡消失 ,滴定前滴定管尖嘴有气泡, V标偏大 C待偏高 5,滴定前无气泡,滴定终了产生气泡 ,滴定前无气泡, V标偏小 C待偏小 ③体积读数 6,滴定前仰视读数,滴定结束后正确读数 ,滴定前仰视读数, V标偏小 C待偏低 7,滴定前正确读数,滴定结束后俯视读数 ,滴定前正确读数, V标偏小 C待偏低
8,滴定前俯视读数,滴定后仰视 ,滴定前俯视读数, 读数 V标偏大 C待偏大 9,滴定前仰视读数,滴定后俯视读数 ,滴定前仰视读数, V标偏小 C待偏小 ④指示剂颜色判断不当 10,若用甲基橙作指示剂,最后一滴盐酸滴入 ,若用甲基橙作指示剂, 使溶液由橙色变为红色. 使溶液由橙色变为红色. C待偏大 ⑤操作 11,锥形瓶摇动时部分碱液溅出 , V标偏小 C待偏低 12,滴定中,滴定管漏液 V标偏大 C待偏高 ,滴定中,
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13,滴定中向锥形瓶加入蒸馏水 , V标不变 C待无影响 14,滴定后,滴定管尖端挂有液滴未滴入锥形 ,滴定后, 瓶中. 瓶中. C待偏高 15,过晚估计滴定终点. C待偏高 ,过晚估计滴定终点. 16,过早估计滴定终点. C待偏低 ,过早估计滴定终点. C 17,接近终点时,停止摇动锥形瓶. 待偏低 ,接近终点时,停止摇动锥形瓶. 18,一滴标准溶液附在锥形瓶壁上未洗下. ,一滴标准溶液附在锥形瓶壁上未洗下. C待偏高 19,标准液滴入锥形瓶外. ,标准液滴入锥形瓶外. C待偏低
第二章 误差分析
重做!
例：加错试剂,少加试剂 仰视、俯视
• 俯视
• 仰视
思考题
1.下列情况引起什么误差？如何减免？ ⑴砝码受腐蚀；
系统误差，仪器校正 ⑵重量分析中，样品的非被测组分被共沉淀；
系统误差，另一方法测定。
⑶样品在称量过程中吸湿； 系统误差，将水分烘干后再称样。
⑷读取滴定管读数时，最后一位数字估计不准；
1 P
二、有限数据随机误差的t 分布(t-distribution)
1．正态分布——描述无限次测量数据
t 分布——描述有限次测量数据
2．正态分布——横坐标为 u ，t 分布—横坐标为 t
u
t
x
x
s
为总体均值
为总体标准偏差
s为有限次测量值的标准偏差
3.两者所包含面积均是一定范围内测量值出现的概率P 正态分布：P 随u 变化；
随机误差，读多次取平均值。
二、误差的表示方法
某一试样sample的真实值为μ，用同一方 法进行n 次测定，结果如下： x1、x2、x3、……xn 求得其平均值为 x 问：实验结果如何？或如何评价这一实验结果？
（1）计算结果的相对标准偏差，说明（精密度）
（2）计算结果的相对误差，说明结果的准确程度。
小结
●分析过程中的误差有系统误差和随机误差，
●对同一样品多次平行测得值的相互接近程度
用精密度（S）表示；其平均值是否接近真值， 用准确度（E）表示。
●必须消除系统误差减小随机误差，以提高
分析结果的准确度。
第二节
总体 抽样
随机误差的统计概念
样本 统计方法 观测 数据
基本概念：
总体population——研究对象的全体 个体individual——组成总体的每一个单位
误差分析_精品文档
误差分析引言在科学研究、工程和技术领域中，误差是无法避免的。
无论是在测量实验数据、进行数值计算还是进行模型预测，误差都是不可避免的。
误差是指实际值与理论值之间的差异，可以通过误差分析来评估和理解这种差异。
本文将介绍误差分析的重要性、常见的误差类型，以及误差分析的方法。
一、误差的重要性误差分析在科学研究和工程实践中具有重要的作用。
首先，误差分析可以帮助评估实验数据的可靠性。
在科学实验中，精确测量是确保实验结果准确性的关键。
通过对每个测量结果的误差进行分析，可以确定实验结果的误差范围，并判断实验数据的可信度。
其次，误差分析可以帮助确定数据处理方法。
当面临多种数据处理方法时，我们可以通过误差分析来选择最合适的方法。
通过比较不同方法的误差特征，我们可以选择那些产生较小误差的方法，以提高数据处理的准确性和可靠性。
最后，误差分析还可以帮助优化模型和算法。
在模型建立和算法设计过程中，我们需要考虑误差的影响。
通过对误差的分析，我们可以找到最佳的模型参数和算法参数，以减小误差并提高模型和算法的预测能力。
二、常见的误差类型误差可以分为系统误差和随机误差两种类型。
1. 系统误差：系统误差是由实验仪器、测量方法或实验操作造成的。
系统误差通常是由所使用的仪器或测量方法的固有性质引起的，例如仪器的精度限制、测量方法的不准确性等。
系统误差是可重复的，可以通过校正或修正来减小。
2. 随机误差：随机误差是由各种不确定因素引起的，例如环境变化、观察者的经验和技能等。
随机误差通常是无法完全消除的，但可以通过重复测量和统计分析来减小。
三、误差分析的方法误差分析的方法可以根据实际情况和数据类型的不同而有所差异。
下面介绍几种常用的误差分析方法。
1. 绝对误差：绝对误差是实际值与理论值之间的差异。
计算绝对误差的方法是将实际值减去理论值，并取绝对值。
绝对误差可以用来表示实验测量的准确性。
2. 相对误差：相对误差是绝对误差除以理论值的比值。
相对误差可以衡量实验测量的相对准确性。
误差分析方法
误差分析方法误差分析方法是指在科学实验、数据处理、模型建立等过程中，对误差进行分析和处理的方法。
误差是指测量值与真实值之间的偏差，是科学研究和工程技术中不可避免的问题。
正确的误差分析方法可以帮助我们更准确地理解数据和模型的可靠性，提高实验和研究的科学性和准确性。
本文将介绍几种常见的误差分析方法，希望能为大家在科学研究和工程实践中提供一些帮助。
首先，对于实验数据的误差分析，我们可以采用统计学方法。
统计学是一门研究数据收集、整理、分析和解释的学科，对于实验数据的误差分析具有重要的意义。
在进行实验时，我们通常会进行多次测量，然后计算平均值和标准差来描述数据的分布情况。
标准差可以反映数据的离散程度，通过对标准差的分析，我们可以对数据的稳定性和可靠性进行评估，从而对实验结果的误差进行分析。
其次，对于模型建立和参数估计中的误差分析，我们可以采用数值计算方法。
在建立数学模型和进行参数估计时，通常会涉及到数据的拟合和误差的传递。
通过数值计算方法，我们可以对模型的拟合程度和参数的可靠性进行评估，从而对模型的误差进行分析。
例如，可以采用残差分析方法来评估模型的拟合程度，通过对残差的分布和趋势进行分析，可以发现模型中存在的误差和不确定性。
此外，对于工程实践中的误差分析，我们可以采用灵敏度分析方法。
在工程设计和制造过程中，通常会涉及到各种参数和环境因素的影响，这些因素都会对产品的性能和可靠性产生影响。
通过灵敏度分析方法，我们可以对各种因素对产品性能的影响程度进行评估，从而对产品的误差进行分析。
例如，可以通过有限元分析方法来评估结构参数对产品强度和刚度的影响，通过对参数的灵敏度进行分析，可以找出对产品性能影响最大的参数，从而采取相应的措施来减小误差。
总之，误差分析方法在科学研究和工程实践中具有重要的意义，正确的误差分析方法可以帮助我们更准确地理解数据和模型的可靠性，提高实验和研究的科学性和准确性。
希望通过本文介绍的几种常见的误差分析方法，可以为大家在科学研究和工程实践中提供一些帮助。
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二、误差分析1.研究误差的目的物理化学以测量物理量为基本内容，并对所测得数据加以合理的处理，得出某些重要的规律，从而研究体系的物理化学性质与化学反应间的关系。
然而在物理量的实际测量中，无论是直接测量的量，还是间接测量的量（由直接测量的量通过公式计算而得出的量），由于测量仪器、方法以及外界条件的影响等因素的限制，使得测量值与真值（或实验平均值）之间存在着一个差值，这称之为测量误差。
研究误差的目的，不是要消除它，因为这是不可能的；也不是使它小到不能再小，这不一定必要，因为这要花费大量的人力和物力。
研究误差的目的是：在一定的条件下得到更接进于真实值的最佳测量结果；确定结果的不确定程度；据预先所需结果，选择合理的实验仪器、实验条件和方法，以降低成本和缩短实验时间。
因此我们除了认真仔细地作实验外，还要有正确表达实验结果的能力。
这二者是等同重要的。
仅报告结果，而不同时指出结果的不确定程度的实验是无价值的，所以我们要有正确的误差概念。
2.误差的种类根据误差的性质和来源，可将测量误差分为系统误差、偶然误差和过失误差。
系统误差在相同条件下，对某一物理量进行多次测量时，测量误差的绝对值和符号保持恒定（即恒偏大或恒偏小），这种测量误差称为系统误差。
产生系统误差的原因有：（1）实验方法的理论根据有缺点，或实验条件控制不严格，或测量方法本身受到限制。
如据理想气体状态方程测量某种物质蒸气的分子质量时，由于实际气体对理想气体的偏差，若不用外推法，测量结果总较实际的分子质量大。
（2）仪器不准或不灵敏，仪器装置精度有限，试剂纯度不符和要求等。
例如滴度管刻度不准。
（3）个人习惯误差，如读滴度管读数常偏高（或常偏低），计时常常太早（或太迟）等等。
系统误差决定了测量结果的准确度。
通过校正仪器刻度、改进实验方法、提高药品纯度、修正计算公式等方法可减少或消除系统误差。
但有时很难确定系统误差的存在，往往是用几种不同的实验方法或改变实验条件，或者不同的实验者进行测量，以确定系统误差的存在，并设法减少或消除之。
偶然误差在相同实验条件下，多次测量某一物理量时，每次测量的结果都会不同，它们围绕着某一数值无规则的变动，误差绝对值时大时小，符号时正时负。
这种测量误差称为偶然误差。
产生偶然误差的原因可能有：（1）实验者对仪器最小分度值以下的估读，每次很难相同。
（2）测量仪器的某些活动部件所指测量结果，每次很难相同，尤其是质量较差的电学仪器最为明显。
（3）影响测量结果的某些实验条件如温度值，不可能在每次实验中控制得绝对不变。
偶然误差在测量时不可能消除，也无法估计，但是它服从统计规律，即它的大小和符号一般服从正态分布。
若以横坐标表示偶然误差，纵坐标表示实验次数（即偶然误差出现的次数），可得到图Ⅰ-1。
其中σ为标准误差（见第4节）.由图中曲线可见：（1）σ愈小，分布曲线愈尖锐，即是说偶然误差小的，出现的概率大。
（2）分布曲线关于纵坐标呈轴对称，也就是说误差分布具有对称性，说明误差出现的绝对值相等，且正负误差出现的概率相等。
当测量次数n 无限多时，偶然误差的算术平均值趋于零：= 0 (1)因此，为减少偶然误差，常常对被测物理量进行多次重复测量，以提高测量的精确度。
过失误差是实验者在实验过程中不应有的失误而引起的。
如数据读错，记录错，计算出错，或实验条件失控而发生突然变化等等。
只要实验者细心操作，这类误差是完全可以避免的。
图Ⅰ-1 偶然误差正态分布 3.准确度和精确度准确度指的是测量值与真值符合的程度。
测量值越接近真值，则准确度越好。
精密度指的是多次测量某物理量时，其数值的重现性。
重现性好，精密度高。
值得注意的是，精密度高的，准确度不一定好；相反，若准确度好，精密度一定高。
例如甲乙丙三人，使用相同的试剂，在进行酸碱中和滴定时，用不同的酸式滴定管，分别测得三组数据，如图Ⅰ-2 所示。
显然，丙的精密度高，但准确度差；乙的数据离散，精密度和准确度都不好；甲的精密度高，且接近真值，所以准确度也好。
应说明的是，真值一般是未知的，或不可知的。
通常以用正确的测量方法和经校正过的仪器，进行多次测量所得算术平均值或文献手册的公认值作为真值。
4.误差的表示方法（1）绝对误差和相对误差绝对误差δi = 测量值x i—真值x真（2）此外还有绝对偏差：图Ⅱ准确度和精确度绝对偏差d i = 测量值x i–平均值（3）平均值（或算术平均值）：(4)式中，为第I 次测量值，n为测量次数。
如前所述是未知的，习惯上以作为，因而误差和偏差也混用而不加以区别。
相对误差=% (5)绝对误差的单位与被测量的单位相同，而相对误差是无因次的。
因此不同的物理量的相对误差可以互相比较。
此外，相对误差还与被测量的大小有关。
所以在比较各种被测量的精密度或评定测量结果质量时，采用相对误差更合理些。
（2）平均误差和标准误差平均误差（6）标准误差又称为均方根误差，以表示，定义为：(7)其中n-1称为自由度，时指独立测定的次数减去在处理这些测量值所用外加关系条件的数目，当测量次数n有限时，这个等式（即式（4））为外加条件，所以自由度为n-1。
用标准误差表示精密度比用平均相对误差（（/）×100%）好。
用平均误差评定测量精度优点是计算简单，缺点是可能把质量不高的测量给掩盖了。
而用标准误差时，测量误差平方后，较大的误差更显著地反映出来，更能说明数据的分散程度。
因此在精密地计算测量误差时，大多采用标准误差。
5.可疑观测值的取舍下面介绍一种简易的判断方法。
根据概率论，大于3σ的误差出现的概率只有0.3%，通常把这一数值称为极限误差。
在无数多次测量中，若有个别测量误差超过3σ，则可以舍弃。
但若只有少数几次测量值，概率论已不适用，对此采用的方法是先略去可疑的测量值，计算平均值和平均误差ε，然后计算出可疑值与平均值的偏差d，如果d，则此可疑值可以舍去，因为这种观测值存在的概率大约只有0.1%。
要注意的另一问题是，舍弃的数值个数不能超出总数据数的五分之一，且当一数据与另一或几个数据相同时，也不能舍去。
上述这种对可疑测量值的舍取方法只能用于对原始数据的处理，其它情况则不能。
6.间接测量结果的误差——误差传递大多数物理化学数据的测量，往往是把一些直接测量值代入一定的函数关系式中，经过数学运算才能得到，这就是前面曾涉及的间接测量。
显然，每个直接测量值的准确度都会影响最后结果的准确度。
平均误差和相对平均误差的传递设直接测量的物理量为x和y，其平均误差分别为dx和dy，最后结果为u，其函数关系为：u = f (x,y)其微分式为：=当很小时，可能代替与dy，并考虑误差积累，故取绝对值：(8)称为函数u的绝对算术平均误差。
其相对算术平均误差为：(9)部分函数的平均误差计算公式列于表I-1。
间接测量结果的标准误差计算设函数关系同上：u=f (x, y)，则标准误差为：(10)部分函数的标准误差计算公式列于表I-2 。
7.测量结果的正确记录与有效数字表示测量结果的数值，其位数应与测量精密度一致。
例如称得某物得重量为1。
3235±0。
0004克，说明其中1.323是完全正确的，末位数5不确定。
于是前面所有正确的数字和这位有疑问的数字一起称为有效数字。
记录和计算时，仅须记下有效数字，多余的数字则不必记。
如果一个数据未记不确定度（即精密度）范围，则严格地说，这个数据含义是不清楚的，一般可认为最后一位数字的不确定范围为±3。
由于间接测量结果需进行运算，涉及运算过程中有效数字的确定问题，下面简要介绍有关规则。
表I-1 部分函数的平均误差计算公式函数关系绝对误差相对误差u=x+yu=x-yu=xyu=x/yu=x n表 I-2 部分函数标准误差计算公式函数关系绝对误差相对误差u=u =xyu=x/yu=x nu=lnx（1）有效数字的表示法（a）误差一般只有一位有效数字，最多不得超过二位。
（b）任何一个物理量的数据，其有效数字的最后一位应和误差的最后一位一致。
例如：这是正确的。
若记成1.241或1.2，意义就不清楚了。
（c）为了明确表示有效数字的位数，一般采用指数表示法，如：1.234×103，1.234×10-1，1.234×10-4，1.234×105都是四位有效数字。
若写成0.0001234，则注意表示小数位的零不是有效数字。
若写成123400，后面两个零就说不清它是有效数字还是只表明数字位数。
指数记数法则没有这些问题。
（2）有效数字运算规则（a）用4舍5入规则舍弃不必要的数字。
当数值的首位大于或等于8时，可以多算一位有效数字，如8.31可在运算中看成是四位有效数字。
（b）加减运算时，各数值小数点后所取的位数与其中最少位数应对齐，如： 0.12 0.1212.232 12.23+) 1.4582 +) 1.4613.81(c) 在乘除运算中，保留各数的有效数字不大于其中有效数字位数最低者。
例如：1.576×0.0183 / 82 ，其中82 有效位数最低，但由于首位是8，故可看作是三位有效数字，所以其余各位数都保留三位有效数字，则上式变为：1.58×0.0183 / 82。
(d) 计算式中的常数如 、e 或等，以及一些查手册得到的常数，可按需要取有效数字。
(e) 对数运算中所取的对数位数（对数首数除外）应与真数的有效数字相同。
(f ) 在整理最后结果时，须将测量结果的误差化整，表示误差的的有效数字最多二位。
而当误差的第一位数为8或9时，只须保留一位，测量值的末位数应与误差的末位数对齐。
例如：测量结果：x1=1001.77化整为：表示测量结果的误差时，应指明是平均误差、标准误差或是作者估计的最大误差。
8.误差分析应用举例例如：以苯为溶剂，用凝固点下降法测萘的摩尔质量，计算公式为：。
式中：A和B分别代表溶剂和溶质；W A、W B、和T分别为苯和萘的质量以及苯和溶液的凝固点，且均为实验的直接测量f值。
试据这些测量值求摩尔质量的相对误差：，并估计所求摩尔质量的最大误差。
已知苯的K f为 5.12K·mol-1·k g。
表I-3 实验测得的、和平均误差实验次数 1 2 3 平均平均误差/℃ 5.801 5.790 5.802 5.797/℃ 5.500 5.504 5.495 5.500Tf* 平均误差=±0.005（℃）** 平均误差=±0.003（℃）据误差传递公式有：==T－T∴表I-4 实验测量的W A、W B和（）值及相对误差测量值使用仪器及测量精度相对误差W A=20.00g工业天平，W B =0.1472g 分析天平，℃ 贝克曼温度计，℃*见表 I-3 ：(℃)从以上测量结果可见，最大误差来源是温度差的测量，而温度差的误差又取决于测温精度和操作技术条件的限制。