实数和平面直角坐标系
平面直角坐标系
平面直角坐标系简介平面直角坐标系是数学中一种常见的坐标系，用于描述平面上的点的位置。
它由两条相互垂直且共同交于原点的直线构成，分别称为x轴和y轴。
通过x、y轴上的数值，可以确定平面上的每一个点的坐标。
坐标轴平面直角坐标系由两个垂直的坐标轴组成，分别是x轴和y轴。
x轴是从左到右水平延伸的直线，y轴是从下到上垂直延伸的直线。
两轴交于原点O，原点是坐标系的起点，它的坐标为(0, 0)。
坐标轴上的点的坐标是由数值决定的，正方向上的数值代表右移或上移，负方向上的数值代表左移或下移。
x轴上的正方向可以取右移，y轴上的正方向可以取上移。
在平面上的点的位置是通过坐标值的组合来表示的。
坐标值在平面直角坐标系中，每个点的位置都有唯一的坐标值来确定。
一个坐标值由两个实数(x, y)组成，x表示该点在x轴上的位置，y表示该点在y轴上的位置。
坐标值的顺序可以是(x, y)或者y，x。
根据坐标轴和原点的位置，可以将坐标值分为四个象限。
第一象限的点具有正的x和y值，第二象限的点具有负的x值和正的y值，第三象限的点具有负的x 和y值，第四象限的点具有正的x和负的y值。
坐标变换平面直角坐标系除了可以用来表示点的位置外，还可以进行坐标变换。
坐标变换包括平移、旋转、缩放和倾斜等操作，这些操作可以改变坐标轴的位置和方向，从而达到变换坐标的目的。
平移是将整个坐标系在平面上沿着一个方向移动一定的距离。
例如，将坐标系向右平移3个单位，则所有点的x坐标都会增加3个单位。
类似地，将坐标系向上平移2个单位，则所有点的y坐标都会增加2个单位。
旋转是将整个坐标系绕原点或者其他点旋转一定的角度。
例如，将坐标系逆时针旋转90度，则x轴会变为新的y轴，y轴会变为新的-x轴。
通过旋转，可以改变坐标系中点的位置。
缩放是将整个坐标系沿着x轴和y轴的方向分别进行比例缩放。
例如，对x轴进行2倍缩放，则所有点的x坐标都会乘以2，从而使整个坐标系在x轴方向拉长。
类似地，对y轴进行2倍缩放，则所有点的y坐标都会乘以2，从而在y轴方向拉长。
1.1平面直角坐标系 (共31张PPT)
问题一：从点的轨迹角度分析点P应该在什么样的曲线上？ 问题二：请你在图中建立适当的坐标系，并说明你所建立 坐标系的依据是什么？ 问题三：根据你所建立的坐标系，求出点P的坐标
问题四：在该坐标系中，说出点P在信息中心点的什么位置？
Office组件之word2007
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西 、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时 间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为 340m/s， 各相关点均在同一平面上）
E
因此，BE与CF互相垂直.
O (A)
F
B
x
数学运用
Office组件之word2007
例3. 某地区原计划经过B地沿着东北方向修建一条 高速公路，但在A村北偏西300方向距A村500m处 ，发现一古代文物遗址W。经过初步勘察，文物管 理部门将遗址W周围200m范围划为禁区，已知B 地位于A村的正西方向1km 处，试问：修建高速公 y y 路和计划需要修改吗？ C 解决问题的关键： 确定遗址W与高速公路BC的 相对位置.
W
500
0 0 B 45 1000 60 A x O O
Office组件之word2007
课堂小结
平面直角坐标系建系时，根据几何特点选 择适当的直角坐标系。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为 坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐 标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上 。
y
B
P o
C Ax
Office组件之word2007
解： 以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系. 设A、B、C分别是西、东、北观测点， 则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020)
实数的知识点
实数的知识点实数是数学中一个基础概念，是指包括有理数和无理数的所有数的集合。
在数学中，实数的研究是非常重要的，它涉及数学的各个领域，如数论、代数、几何、微积分等。
本文将介绍实数的基本概念、性质及其在数学中的应用。
一、实数的基本概念实数是指包含有理数和无理数的所有数的集合，用R来表示。
其中有理数是可以表示为两个整数之比的数，无理数则不能表示成这种形式，如常见的$\pi$和$\sqrt{2}$。
实数集合R包括正实数、负实数、0等数。
其中正实数是大于0的实数，负实数是小于0的实数，0是同时是正数和负数的唯一实数。
二、实数的性质实数集合R具有如下性质：1. 实数具有传递性，即如果a>b，b>c，则有a>c。
2. 实数有可加性，即对于任意的实数a、b，有a+b=b+a。
3. 实数有可乘性，即对于任意的实数a、b，有ab=ba。
4. 实数有结合律和分配律，即对于任意的实数a、b、c，有a+(b+c)=(a+b)+c和a(b+c)=ab+ac。
5. 实数有数乘的结合律和分配律，即对于任意的实数a、b、c，有a(bc)=(ab)c和(a+b)c=ac+bc。
6. 实数有数乘的交换律，即对于任意的实数a、b，有ab=ba。
7. 实数有倒数和相反数，即对于任意的非零实数a，有a x1/a=1和-a是相反数。
8. 实数有加法逆元，即对于任意的实数a，有a+(-a)=0。
9. 实数有乘法逆元，即对于任意的非零实数a，有a x 1/a=1。
三、实数的应用实数在数学中的应用十分广泛，下面我们分别从代数、几何和微积分等方面来介绍它的应用。
1. 代数在代数中，实数用于求解多项式方程。
对于一元多项式$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$，其中$a_i(i=0,1,...,n)$是实数，其解为实数或虚数。
在求解实数根时，可以用有理根定理求得多项式的整数根和分数根，然后利用余式定理计算余下的一元多项式，再用求根公式求解即可。
青岛版八年级数学下册《有序实数对与坐标平面上的点的关系》课件
在数轴上,如何确定一个点的位置呢?
例如:
A
-3 -2
-1
0
1
2
B
3
4
A点记作-2,B点记作3.也就是说,
在直线上一般用一个数据就可以表示一个点的位置。
y
在平面内，两条互相垂直且有
公共原点的数轴组成平面直角坐标
系，如图所示。
5
4
3
2
1
O 1 2 3 4 5 6
水平方向的数轴称为x轴或横轴，垂直方向的数
们分别用直角坐标系中的点表示出来吗？你是怎样表示的？
(3)如果P是直角坐标系中任意一点，怎样写出这个点的坐标呢？
这个点的横、纵坐标都是实数吗？
(4)通过上面的讨论，你认为有序实数对与直角坐标系中的点应
当具有什么关系？
一、有序实数对与直角坐标系中的点的关系
把有序有理数对扩充到有序实数对后，每一
个有序实数对都可以用直角坐标系中唯一的一个
长为2，由勾股定理，得
DB= 2 − 2 = 22 − 12 = 3。
所以，点B的坐标为(-1， 3)。
例2 在直角坐标系中，已知点A( 2， 3)。
(1)分别作出与点A关于y轴成轴对称的点B，关于x
轴成轴对称的点D，并写出它们的坐标;
(2)如果A,B,D是矩形的三个顶点，写出第四个顶
点C的坐标；
(2)依次连接A，B，C，D，E，F，A，得到什么图形？
(3)在平面直角坐标系中，点与实数对之间有何关系？
y
B
C
【解】(1)如图所示。
(2)轴对称图形。
1
(3)在平面直角坐标系中， A
点来表示.反之，直角坐标系中的每一个点都表示
平面直角坐标系
平面直角坐标系 有序数对 定义：有顺序的两个数 与 组成的数对叫做有序数对，记作 ．a b (a ,b ) 利用有序数对，可以准确地表示出平面内一个点的位置． 特殊直线 平行于坐标轴的直线 1.与横轴平行的直线：点表示法 ， 为任意实数， 是不为0的常数（即直线 ）；2.与纵轴平行的直线：点表示法 ， 为任意实数， 是不为0的常数（即直线 ）．(x ,m )x m y =m (n ,y )y n x =n 角平分线 1.一、三象限角平分线：点表示法 为任意实数，且 ；2.二、四象限角平分线：点表示法 为任意实数，且 ．(x ,y )，x ,y x=y (x ,y )，x ,y x =−y 注： ①平行于 轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数；②平行于 轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数．x y 距离 点到轴的距离： 点 到 轴的距离是 ，到 轴的距离是 ． P (m ,n )x ∣n ∣y ∣m ∣ 点到水平直线、竖直直线的距离: 1.点 到直线 （ 为常数）的距离为 ，注：当 时，就是点到横轴（ 轴）的距离为 ；2.点 到直线 （ 为常数）的距离为 ，注：当 时，就是点到纵轴（ 轴）的距离为 ．(a ,b )y =m m ∣b −m ∣m =0x ∣b ∣(a ,b )x =n n ∣a −n ∣n =0y ∣a ∣同一水平直线、竖直直线上的点到点的距离: 在直线 上，点 , ，则 ；在直线 上，点 , ，则．y =m A (a ,m )B (b ,m )AB =∣a −b ∣x =n C (n ,c )D (n ,d )CD =∣c −d ∣ 平面直角坐标系定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
注：数轴有三个要素——原点、正方向和单位长度．我们规定水平的数轴叫做横轴，取向右为正方向；另一数轴叫纵轴，取向上为正方向． 点的坐标：点的坐标是一对有序数对，横坐标写在纵坐标前面，中间用“ , ”隔开，再用小括号括起来． 如图，由点 分别向 轴和 轴作垂线，垂足 在 轴上的坐标是 ，垂足 在 轴上的坐标是 ，则点 的坐标为 ．P x y A x a B y b P (a ,b )象限和轴： 横轴（ 轴）上的点 的坐标满足： ；纵轴（ 轴）上的点 的坐标满足： ；第一象限内的点 的坐标满足： ；第二象限内的点 的坐标满足： ；第三象限内的点 的坐标满足： ；第四象限内的点 的坐标满足： ；x (x ,y )y =0y (x ,y )x =0(x ,y ){x >0y >0(x ,y ){x <0y >0(x ,y ){x <0y <0(x ,y ){x >0y <0。
(完整版)平面直角坐标系知识点归纳
X平面直角坐标系知识点归纳1、在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系;2、坐标平面上的任意一点 P 的坐标，都和惟一的一对有序实数对（a,b ）一一对应；其中，a 为横坐标，b 为纵坐标坐标；3、 x 轴上的点，纵坐标等于 0; y 轴上的点，横坐标等于 0； 坐标轴上的点 不属于任何象限;4、 四个象限的点的坐标具有如下特征：小结：（1 ）点P （ x, y ）所在的象限 —►横、纵坐标X 、y 的取值的正负性;（2 ）点P （ X, y ）所在的数轴 —*■横、纵坐标X 、y 中必有一数为零；5、 在平面直角坐标系中，已知点p （a,b ），则（1） 点P 到X 轴的距离为b ；（ 2 ）点P 到y 轴的距离为（3） 点P 到原点o 的距离为PO = .a 2 b 26、 平行直线上的点的坐标特征：a ）在与x 轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等;b ）在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等;d bJ_____ P(a,b) 1____________ 1-3 -2 -1 0 -1-2 -31a X点A 、B 的纵坐标都等于m ；象限 横坐标X 纵坐标y 第一象限 正 正 第二象限 负 正 第三象限负 负 第四象限正负b YC点C、D的横坐标都等于n ；，nD 'XX7、对称点的坐标特征:8、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征:a)若点P ( m,n )在第一、三象限的角平分线上，则 b)若点P ( m,n )在第二、四象限的角平分线上，贝Um基本练习：练习 仁在平面直角坐标系中，已知点 P ( m 5,m2 )在x 轴上，贝U P 点坐标为 _________2练习2 :在平面直角坐标系中，点P ( m 2, 4 ) 一定在 _____________ 象限；2练习3 :已知点P ( a 1, a 9)在x 轴的负半轴上，则 P 点坐标为___________________ ;练习4 :已知X 轴上一点A (3 , 0) , y 轴上一点B ( 0 , b ),且AB=5，则b 的值为 ______________ ; 练习5 :点M (2 , - 3)关于x 轴的对称点N 的坐标为 _______________ ;关于y 轴的对称点P的坐标为 ________ ;关于原点的对称点 Q 的坐标为 ___________ 。
平面直角坐标系知识点
十、平面直角坐标系与一次函数；10.1平面直角坐标系；1.有序实数对；有顺序的两个数a、b组成的数对叫做有序数对，记作；2、平面直角坐标系的含义及有关概念；（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组；3、平面直角坐标系的意义；（1）建立平面直角坐标系后，平面上的任意一点都可；（3）可灵活运用多种方式确定点的位置，并在同一坐；4.点的坐标的概念；如图2，十、平面直角坐标系与一次函数10.1平面直角坐标系1.有序实数对有顺序的两个数a、b组成的数对叫做有序数对，记作（a,b）.注意（a,b）中的a, b的顺序不能改变。
2、平面直角坐标系的含义及有关概念（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，平面直角坐标系也简称直角坐标系。
通常，两条数轴分别位于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫X轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，X轴和y轴统称坐标轴，两条数轴的交点O称为直角坐标系的原点。
（2）如图1，对于平面内任意一点P，过点P分别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X轴、Y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序实数对（a,b）叫做点P的坐标。
3、平面直角坐标系的意义（1）建立平面直角坐标系后，平面上的任意一点都可以用一对有序实数对（即坐标）来表示，且任一有序实数对都表示平面内唯一确定的点，所以点的坐标是属性结合的桥梁，为解决几何、代数问题提供了便利，且直角坐标内的点与有序实数对是一一对应的关系。
（2）建立直角坐标系后，可以由点的坐标确定点的位置，也可由点的位置写出点的坐标，由已知点的位置求出未知点的位置。
（3）可灵活运用多种方式确定点的位置，并在同一坐标系中，感受图形变化后点的坐标的变化和坐标变化后的变化。
4.点的坐标的概念如图2，点A是平面直角坐标系内的一点，由点A向x轴做垂线，垂足在x轴上的坐标是2，在Y轴上的坐标是-4，合起来A的坐标记作（2，-4）。
初中数学平面直角坐标系基础
平面直角坐标系基础一、平面直角坐标系1．有序实数对有顺序的两个数a 与b 组成的实数对，叫做有序实数对，记作()a b ，． 注意：当a b ≠时，()a b ，和()b a ，是不同的两个有序实数对． 2．平面直角坐标系在平面内有两条公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫做横轴或x 轴，取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫做纵轴或y 轴，取向上的方向为正方向，两数轴的交点叫做坐标原点；x 轴和y 轴统称为坐标轴；建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面．3．象限x 轴和y 轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫做第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．注意：（1）两条坐标轴不属于任何一个象限．（2）如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义时，要在表示横轴，纵轴的字母后附上单位． 4．点的坐标对于坐标平面内的一点A ，过点A 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足在x 轴、y 轴上对应的数a 、b 分别叫做点A 的横坐标和纵坐标，有序实数对()a b ，叫做点A 的坐标，记作A ()a b ，． 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．注意：横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．二、坐标平面内特殊点的坐标特征1．各象限内点的坐标特征点()P x y ，在第一象限⇔00x y >>，； 点()P x y ，在第二象限⇔00x y <>，； 点()P x y ，在第三象限⇔00x y <<，； 点()P x y ，在第四象限⇔00x y ><，．2．坐标轴上点的坐标特征点()P x y ，在x 轴上⇔0y =，x 为任意实数； 点()P x y ，在y 轴上⇔0x =，y 为任意实数； 点()P x y ，即在x 轴上，又在y 轴上⇔00x y ==，，即点P 的坐标为()00，．3．两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征点()P x y ，在第一、三象限夹角的角平分线上⇔x y =；点()P x y ，在第二、四象限夹角的角平分线上⇔0x y +=．4．平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征平行于x 轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数； 平行于y 轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数．5．坐标平面内对称点的坐标特征点()P a b ，关于x 轴的对称点是()P a b '-，，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． 点()P a b ，关于y 轴的对称点是()P a b '-，，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 点()P a b ，关于坐标原点的对称点是()P a b '--，，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 点()P a b ，关于点()Q m n ，的对称点是()22M m a n b --，．三、用坐标表示地理位置1． 直角坐标系法先确定原点，然后画出x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，再确定它的横坐标及纵坐标．点的坐标可以又横坐标和纵坐标唯一地确定．2． 方位角法从一定点出发，测量出被测点到定点的距离，及相对于定点的距离及相对于定点所处的方位角．点的位置有距离和方位角唯一地确定．四、中点坐标公式已知坐标系中两点()()1122A a b B a b ，，，.则A 、B 的中点C 坐标为121222a a b b ++⎛⎫⎪⎝⎭，设点()C x y ，,则12a x a x -=-即()2a b ，12x a a x -=-,所以122a a x +=.同理求出122b by +=例题精讲一、 点的位置的确定1、 平面直角坐标系【例1】 电影票上“6排3号”,记作()6,3,则8排6号记作_________ 【答案】（8,6）【例2】 已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，2AC =，3AB =，若点A 在坐标原点，点B 在x 轴上．（1）在平面直角坐标系中画出三角形ABC ；（2）求点B ，C 的坐标．【答案】（1）如图，则11AB C △，21AB C △，22AB C △，12AB C △为所求．（2）11AB C △：()13,0B ，()10,2C ；21AB C △：()23,0B -，()10,2C ；22AB C △：()23,0B -，()20,2C -；12AB C △：()13,0B ，()20,2C -【例3】 在平面直角坐标系内，已知点(122)A k k --，在第三象限，且k 为整数，求k 的值．【答案】∵点(122)A k k --，在第三象限，∴120k -<，20k -<，解得：122k <<，又∵k 为整数，1k =【例4】 某市有A B C D 、、、四个大型超市，分别位于一条东西走向的平安大路两侧，如图6所示，请建立适当的直角坐标系，并写出四个超市相应的坐标．【答案】平安大道所在的直线所在的直线为x 轴，过D 点垂直于平安大道所在的直线为y 轴建立直角坐标系，(10,4)A 、(6,4)B -、(2,2.5)C -、(03)D -，【例5】 王霞和爸爸、妈妈到人民公园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示．可是她忘记了在图中标出原点和x 轴、y 轴．只知道游乐园D 的坐标为(22)-，，你能帮她求出其他各景点的坐标？【答案】00F （，），()()()04322133A B C E ---，，，，（，），，【例6】如图表示赵明同学家所在社区的主要服务办公网点．点O表示赵明同学家，点A 表示存车处，点B表示副食店．点C表示健身中心，点D表示商场，点E表示医院，点F表示邮电局，点H 表示银行，点L表示派出所，点G表示幼儿园．(1)请以赵明同学家为坐标原点，建立平面直角坐标系，并用坐标分别表示社区的主要服务网点的位置．(图中的1个单位表示50m)(2)利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程是①建立______选择一个____________为原点，确定x轴、y轴的____________；②根据具体问题确定适当的______在坐标轴上标出____________；③在坐标平面内画出这些点，写出各点的______和各个地点的______．【答案】(1)A(－150，50)，B(150，200)，C(－250，300)，D(450，－400)，E(500，－100)，F(350，400)，G(－100，－300)，H(300，－250)，L(－150，－500)．(2)略．【例7】温州一位老人制作的仿真郑和宝船尺寸如图，已知在某一直角坐标系中点A坐标为（9，0），请你直接在图中画出该坐标系，并写出其余5点的坐标．【答案】解：坐标系如图所示：各点的坐标为：(52)F-，，，(52)C-，，(90)B，，(52)D-，，(52)E--2、极坐标【例8】 如图，根据指令（S,A ）(说明：S 0，单位：厘米；0oA 180O )，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离S ，若机器人站在M 处. （1）给机器人下了一个指令（2，60O ），机器人移到了B 点，请你画出机器人从M 到B 的运动路径；（2）若机器人从M 运动到了C 点，20O CMA ∠=,则给机器人下了一个什么指令.【答案】(1)略 （2）（3，20o -）二、 点的坐标特征【例9】 （1）已知点()23P x x +，在x 轴上，则点()223Q x x -++，的坐标为_____________．（2）已知点()23P x x +，在y 轴上，则点()223Q x x -++，的坐标为_____________． （3）已知点()23P x x +，在坐标轴上，则点()223Q x x -++，的坐标为_____________．【答案】（1）3x =-，()5-3Q ，（2）0x =，()23Q ，（3）Q 点坐标为()53-，或()23，【例10】 给出下列四个命题，其中真命题的个数为( )．①.坐标平面内的点可以用有序数对来表示；②.若a ＞0，b 不大于0，则P (－a ，b )在第三象限内； ③.x 轴上的点，其纵坐标都为0；④.当m ≠0时，点P (m 2，－m )在第四象限内． A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【例11】 点P 2b ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第二象限，点Q ()2a b ，在第（ ）象限A 一B 二C 三D 四 【答案】D【例12】 如图是传说中的一个藏宝岛图,藏宝人生前用直角坐标系的方法画了这幅图,现今的寻宝人没有原来的地图,但知道在该图上有两次大石头()()2182A B ，，，,而藏宝地的坐标是（6,6）,试设法在地图上找到藏宝地点．【答案】⑴任取1个单位长度（如1厘米），以1个单位长为直角边作直角DEF∆,使6DE=个单位，EF=个单位；⑵连结AB，以F为圆心，AB长为半径，在射线FD上截取FG=AB；⑶过点G作GH⊥FE，垂足为点H；⑷分别以A、B为圆心，GH，FH的长为半径画弧，在AB的下侧得到点C．⑸延长BC至点P，使CP=BC．⑹过P作OX⊥BP，则OX就是X轴所在直线．⑺如图，在射线PO上截取PO=4PB，则O就是坐标原点；⑻过点O作直线OY⊥OX⑼以BC的长为单位长度，射线AC的方向为X 轴正方向，射线CB的方向为y轴正方向,建立直角坐标系，即可找到（6,6）的藏宝地点．FHGED【例13】已知()32A-，、()32B--，、()32C-，为长方形的三个顶点，⑴建立平面直角坐标系，在坐标系内描出A、B、C三点；⑵能根据这三个点的坐标描出第四个顶点D，并写出它的坐标吗？⑶描点后并进一步判断点A、B、C、D分别在哪一象限？⑷观察A、B两点，它们的坐标有何特点，位置有何特点？B与C呢？A与C呢？⑸直线AB、直线BC有何特征，你能用符号语言表达直线AB、直线BC上任一点的坐标吗？⑹求出线段AB、BC的长度，并求出长方形ABCD的面积．【答案】⑴略⑵()32D，⑶A：第二象限；B：第三象限；C：第四象限；D：第一象限⑷A、B坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，位置特点：关于x轴对称．B、C坐标特点：纵坐标相同，横坐标互为相反数，位置特点：关于y轴对称．A、C坐标特点：横、纵坐标均互为相反数，位置特点：关于原点对称．⑸直线AB y∥轴，直线BC x∥轴，直线AB上任一点可表示为()3y-，，直线BC上任一点可表示为()2x-，⑹4AB=，6BC=，24ABCDS=长方形．【例14】长方形ABCD，长6宽4，建立适当的直角坐标系，使其中B点的坐标（-3，-2），并利用这个直角坐标系表示其余顶点的坐标．【答案】因为(32)B --，，且6BC =，BC x ∥轴，所以(32)C -，，同理(32)D ，，(32)A -，．【例15】 x 取不同的值时，点(11)P x x -+，的位置不同，讨论当点P 在不同象限或不同坐标轴上时，x 的取值范围；并说明点P 不可能在哪一个象限．【答案】(1)当1x =-时，点P 在x 轴的负半轴上；(2)当1x =时，点P 在y 轴的正半轴上； (3)当1x >时，点P 在第一象限； (4)当－1＜x ＜1时，点P 在第二象限； (5)当x ＜－1时，点P 在第三象限； (6)点P 不可能在第四象限【例16】 试分别指出坐标平面内以下各直线上各点的横坐标、纵坐标的特征以及与两条坐标轴的位置关系．(1)在图1中，过A (－2，3)、B (4，3)两点作直线AB ，则直线AB 上的任意一点P (a ，b )的横坐标可以取______，纵坐标是______．直线AB 与y 轴______，垂足的坐标是______；直线AB 与x 轴______，AB 与x 轴的距离是______.图1(2)在图1中，过A (－2，3)、C (－2，－3)两点作直线AC ，则直线AC 上的任意一点Q (c ，d )的横坐标是______，纵坐标可以是______．直线AC 与x 轴______，垂足的坐标是______；直线AC 与y 轴______，AC 与y 轴的距离是______． (3)在图2中，过原点O 和点E (4，4)两点作直线OE ，我们发现，直线OE 上的任意一点P (x ，y )的横坐标与纵坐标______，并且直线OE ______∠xOy ．图2【答案】(1)任意实数，3；垂直，(0，3)，平行，3．(2)－2，任意实数；垂直，(－2，0)，平行，2． (3)相等，平分．三、 坐标与距离【例17】 已知点()1,34m m --到x 轴、y 轴的距离相等，则该点坐标为 ． 【答案】11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭．【例18】 已知：如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(100)A ，，(04)C ，，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动．当ODP △是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为________．CPBD O A xy【解析】 此题难度稍大，充分考查学生对图的阅读能力、分情况讨论能力及空间想像能力．可以发现当ODP △ 为腰长是5的等腰三角形时，有3种情况：第一种，5OD OP ==，第二种，锐角三角形5OD PD ==，第三种，钝角三角形5OD PD ==，可分别求得P 的坐标为(34)，，(24)，或(84)，．【答案】(34)，，(24)，或(84)，[备注：如果是人教版的学生，没有学习勾股定理，此题可不讲]【例19】 在A 市北300km 处有B 市，以A 市为原点，东西方向的直线为x 轴，南北方向的直线为y 轴，并以50km 为1个单位建立平面直角坐标系．根据气象台预报，今年7号台风中心位置现在C (10，6)处，并以40千米/时的速度自东向西移动，台风影响范围半径为200km ，问经几小时后，B 市将受到台风影响?并画出示意图．【答案】50×6÷40＝7.5(小时)．所以经过7.5小时后，B市将受到台风的影响．(注：图中的单位1表示50km)【例20】如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“将”位于点(12)，，则“炮”位-，，“象”位于(32)-于点( )．A.(13)-，-， D.(22)-， C.(12)， B.(21)【答案】B【例21】在平面直角坐标系中，对于平面内任一点()，，，如=-f m n m nm n，，规定以下两种变换①()()，，，如(21)(21)，，．=--g=--，，；②()()g m n m n(21)(21)f=-按照以上变换有：4g f-，等于（），，，，那么[(32)]=-=-f g f-[(34)](3)(34)A.(32)---， D.(32)，-， C.(32)， B.(32)【答案】A【点评】本题考查了一种新型的运算法则，考查了学生的阅读理解能力，此类题的难点是判断先进行哪个运算，关键是明白两种运算改变了哪个坐标的符号．【例22】有一长方形住宅小区长400m，宽300m，以长方形的对角线的交点为原点，过原点和较长边平行的直线为x轴，和较短边平行的直线为y轴，并取50m为1个单位．住宅小区内和附近有5处违章建筑，它们分别是A(3，3．5)，B(－2，2)，C(0，3．5)，D(－3，2)，E(－4，4)．在坐标系中标出这些违章建筑位置，并说明哪些在小区内，哪些不在小区内．【答案】在小区内的违章建筑有B 、D ；不在小区内的违章建筑有A 、E 、C四、关于中点坐标【例23】 如图，已知长方形ABCD 的边长3AB =，6BC =，求A 、B 两点的中点坐标及A 、D 两点的中点坐标．yxD CBA【答案】略【例24】 已知点(23)A ，，点C 为点A 与点B 的中点，(3.55)C ，，求点B 的坐标. 【答案】（5,7）课后作业1. 直角梯形ABCD 在直角坐标系中的位置如图，若5AD =，A 点坐标为(27)-，，则D 点坐标是（ ）y xODC BAA.(22)，B.(212)，C.(37)，D.(77)，【答案】C2. 点(1)P m m --，在第三象限，则m 的取值范围是______． 【答案】01m <<3. 在平面直角坐标系中，对于平面内的任意一点()P a b ，规定以下三种变换：（1）()()f a b a b =-，，，如(13)(13)f =-，，；（2）()()g a b b a =，，，如(13)(31)g =，，；（3）()()h a b a b =--，，，如(13)(13)h =--，，．按以上变换规律，求{[(53)]}g f h -，的值．【答案】（3，5）．4. 第二象限内的点()P x y ，满足9x =，24y =，则点P 的坐标是_________【答案】∵点()P x y ，在第二象限，∴0x <，0y >，又∵9x =，24y =，∴9x =-，2y =∴点P 的坐标是(92)-，．。
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实数和平面直角坐标系例1、已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于( )A ．－1B ． 0C ．1D ．2练习：13b +＝0成立，则a b ＝____．02()230b -=，则a b的平方根是____．03．（天津）若x 、y 为实数，且20x +=，则2009x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－204．已知x 1x π-的值是( )A ．11π-B ．11π+C ．11π-D ．无法确定例2、若a 、b 都为有理效，且满足1a b -=+a ＋b 的平方根．练习：已知m 、n 2）m ＋(3－n ＋7＝0求m 、n ．例3、若a −2的整数部分，b −1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值．练习：1、若3a ，3b ，则a ＋b 的值为____．2a ，小数部分为b a ）·b ＝____．3、下列各组数中，互为相反数的是( )A ．－9与81的平方根B ．4与C ．4D ．3例4、如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1B 关于点A 的对称点C ，则点C 所表示的数为( )A ．－2B ．－1C ．－2D ．l练习：1、点A B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点A 左边，则A 、B 之间的距离为____．2、如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P ．点P 表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P ′，那么点P ′所表示的数是____．3、已知2a −1的平方根是±3，3a ＋b −1的算术平方根是4，求a ＋b ＋1的立方根．例4、在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)练习：01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限.03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)例5、若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限练习：01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞202．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．例6、已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．例7、P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．练习：01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．例8、如图，四边形ACBD是平行四边形，且AD∥x轴，说明，A、D两点的___________坐标相等，请你依据图形写出A、B、C、D四点的坐标分别是_________、_________、____________、____________．练习：1、已知：A(0，4)，B(－3，0)，C(3，0)要画出平行四边形ABCD，请根据A、B、C三点的坐标，写出第四个顶点D的坐标，你的答案是唯一的吗？2、已知：A(0，4)，B(0，－1)，在坐标平面内求作一点，使△ABC的面积为5，请写出点C的坐标规律．例9、平面直角坐标系，已知点A(－3，－2)，B(0，3)，C(－3，2)，求△ABC的面积．练习：01．在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(―3，―1)，B(1，3)，C(2，－3)，△ABC的面积．02．如图，已知A(－4，0)，B(－2，2)，C,0，－1)，D(1，0)，求四边形ABDC的面积．03．已知：A(－3，0)，B(3，0)，C(－2，2)，若D点在y轴上，且点A、B、C、D四点所组成的四边形的面积为15，求D点的坐标．例10、如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变成△OA3B3．已知：A(1，2)，A1(2，2)，A2(4，2)，A3(8，2)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)观察每次变换前后的三角形有何变化？找出规律，按此规律再将三角形△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是____________，B4的坐标是_____________；(2)若按(1)题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到三角形△OA n B n，推测A n的坐标是_____________，B n的坐标是_____________．练习：如图，已知A1(1，0)，A2(1，1)，A3(－1，1)，A4(－1，－1)，A5(2，－1)…则点A2010的坐标为_______________．作业：01．若点A(－2，n)在x轴上，则点B(n－1，n＋1)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限02．若点M(a＋2，3－2a)在y轴上，则点M的坐标是( )A．(－2，7) B．(0，3) C．(0，7) D．(7，0)03．如果点A(a，b)，则点B(－a＋1，3b－5)关于原点的对称点是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限04．下列数据不能确定物体位置的是( )A．六楼6号B．北偏西400C．文昌大道10号D．北纬260，东经135005．在坐标平面内有一点P(a，b)，若ab＝0，则P点的位置是( )A．原点B．x轴上C．y轴上D．坐标轴上06．已知点P(a，b)到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，且|a－b |＝b－a，则点P的坐标是_______________．07．已知平面直角坐标系内两点M(5，a)，N(b，－2)，①若直线MN∥x轴，则a＝______，b＝__________；②若直线MN∥y轴，则a＝___________，b＝_________．08．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2010次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2010的位置，则P2010的横坐标x2010＝___________•09．按下列规律排列的一列数对，(2，1)，(5，4)，(8，7) …，则第七个数对中的两个数之和是______________•10．如图，小明用手盖住的点的坐标可能为（）A．(2，3) B．(2，－3) C．(－2，3) D．(－2，－3)11．点P位于x轴的下方，距y轴3个单位长度，距x轴4个单位长度，则点P的坐标是____________．12．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对(n，m)表示第n排，从左到右第m 个数，则表示实数25的有序数对是______________．13．已知点A(－5，0)，B(3，0)，(1)在y轴上找一点C，使之满足S△ABC＝16，求点C的坐标；(2)在平面直角坐标系内找一点C，使之满足S△ABC＝16的点C有多少个？这样的点有什么规律．14．若y轴正方向是北，小芳家的坐标为(1，2)，小李家的坐标为(－2，－1)，则小芳家的_______方向．15．如图在平面直角坐标系中A(0，1)，B(2，0)，C(2，1.5)(1)求△ABC的面积；(2)如果在第二象限内有一点P(a，12)，试用含a的式子表示四边形ABOP的面积；(3)在(2)的条件下，是否存在一点P，使得四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图所示，在直角坐标系xOy中，四边形OABC为正方形，其边长为4，有一动点P，自O点出发，以2个单位长度／秒得速度自O→A→B→C→O运动，问何时S△ＰBC＝4？并求此时P点的坐标．01．如果点M(a＋b，ab)在第二象限，那么点N(a，b)在第_____________象限．02．若点A(6－5a，2a－1)．(1)点A在第二象限，求a的取值范围；(2)当a为实数时，点A能否在第三象限，试说明理由；(3)点A能否在坐标原点处？为什么？03．点P{－12，－[ －|1－12| ]}关于y轴对称点的坐标是_____________．04．已知点Ａ(2a＋3b，－2)与点B(8，3a＋2b)关于x轴对称，那么a＋b＝__________．05．已知ａ＜０，那么点Ｐ(－a2－2，2－a)关于原点对称的点在第________象限．06．已知点P1(a－1，5)在第一、三象限角平分线上，点P2(2，b－8)在第二、四象限角平分线上，则(－a ＋b)2010＝___________．07．无论x为何实数值，点P(x＋1，x－1)都不在第_________象限•08．已知点P的坐标为(2－a，3b＋6)，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为_________．09．若点P(x，y)在第二象限，且|x－1|＝2，|y＋3|＝5，则P点的坐标是__________．10．若点A(2x－3，b－x)在坐标轴夹角的平分线上，且在第二象限，则点A的坐标是__________．11．已知线段AB平行于y轴，若点A的坐标为(－2，3)，且AB＝4，则点B的坐标是__________．12．已知A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，求B点的坐标．13．如图，B(2，4)，点D从O→C→B运动，速度为1单位长度／秒．(1)当D在OC上运动时，直线BD能否将长方形ABCD的面积分为1:2两部分，若能，求点D的坐标，若不能，请说明理由；(2)当点D运动到CB上时，经过多长时间△ABD的面积等于14矩形ABCO的面积？并求此时D点的坐标．14．已知：A(a－35，2b＋23)，以A点为原点建立平面直角坐标系．(1)试确定a、b的值；(2)若点B(2a－75，2b＋2m)，且AB所在直线为第二、四象限夹角的平分线，求m的值．。