(完整版)方程与函数的区别
教学重点函数与方程的关系
教学重点函数与方程的关系教学重点：函数与方程的关系函数与方程是数学中重要的概念，它们之间存在紧密关系。
函数是一种数学映射关系，用来描述两个变量之间的依赖关系；而方程则是描述等式关系的数学式子。
本文将从不同的角度探讨函数与方程的关系，展示它们在教学中的重要性。
一、函数与方程的定义与特点函数是一种数学映射关系，用来描述自变量和因变量之间的依赖关系。
一般表示为f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数具有以下特点：1. 函数的定义域：表示自变量的取值范围；2. 函数的值域：表示因变量的取值范围；3. 函数的图像：表示函数在坐标系中的图形。
方程是描述两个量之间相等关系的数学式子，一般表示为等号左边和等号右边是相等的。
方程的解就是满足方程的变量取值。
方程具有以下特点：1. 一元方程：只含有一个未知数的方程；2. 多元方程：含有多个未知数的方程；3. 方程的解集：所有满足方程的变量取值的集合。
二、函数和方程的联系函数可以通过方程来表示，也可以通过方程来求解。
具体来说，函数可以通过方程来定义和表示，反之亦然。
函数的性质可以通过数学方程来研究和推导。
1. 函数通过方程定义：函数可以通过方程来定义和表示。
例如，给定一个函数f(x)，可以通过方程f(x) = 2x + 3来表示。
这个方程描述了函数f(x)的依赖关系，当给定x的值时，可以通过方程计算对应的f(x)的值。
2. 函数的方程解析：通过方程可以求解函数的相关性质。
例如，给定一个函数f(x) = x^2 + 3x + 2，可以通过解方程f(x) = 0来求解函数的零点（即使得函数值为0的x的取值），从而得到函数的极值、拐点等相关信息。
3. 方程的解与函数的图像关系：函数的图像可以通过求解方程来得到。
例如，给定一个方程y = x^2，可以通过求解方程得到一系列(x, y)的解，这些解可以表示函数y = x^2在坐标系中的点，进而绘制函数的图像。
三、函数与方程在教学中的重要性函数和方程是数学教学中的重要内容，它们的关系在数学学习中起着重要的桥梁作用。
九年级二次函数与一元二次方程的联系和区别
二次函数与一元二次方程的联系和区别一、二次函数1、自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向）①a>0时，开口方向向上 ②a<0时，开口方向向下③|a|还可以决定开口大小a 绝对值越大开口就越小,|a|越小开口就越大④一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。
当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右。
⑤常数项c 决定抛物线与y 轴交点。
抛物线与y 轴交于（0，c ）⑥抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线 x =2ab-,。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）⑦抛物线有一个顶点P ，坐标为 P [2a b -，a b 4ac 42- ]。
当2ab -=0时，P 在y 轴上；当Δ= b 2-4ac=0时，P 在x 轴上。
2、二次函数的两种表达式①一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0） ②顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （h ，k ）] 3、抛物线与x 轴交点个数 Δ= b2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。
Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。
Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。
二、一元二次方程y= ax 2+bx+c ，当y=0时，二次函数为关于x 的一元二次方程，即ax 2+bx+c=0 三、两者之间的联系①ax 2+bx+c=0,即为y= ax 2+bx+c ，y=0时 ②方程的根x 1，x 2是使ax 2+bx+c 为零的x 的取值③x 1，x 2对应图像上是y =ax 2+bx+c 函数与x 轴交点的横坐标。
④方程根的个数即是使ax 2+bx+c=0的x 的个数即是y= ax 2+bx+c y=0,为y= ax 2+bx+c 图像与x 轴的交点个数。
初中数学函数与方程知识点归纳
初中数学函数与方程知识点归纳在初中数学学习中，函数与方程是数学中最基础且重要的概念之一。
函数是数学中描述变量之间关系的工具，而方程是用来解决未知数的问题的数学语句。
在本文中，将对初中数学中关于函数与方程的知识点进行归纳总结，以帮助同学们更全面地理解和掌握这一知识。
一、函数的概念与性质函数是一种特殊的关系，它将某个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。
最常见的函数形式是y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
1. 定义域与值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
需要注意的是，对于分式函数等有约束的函数，定义域还需满足特定条件。
2. 单调性：函数的单调性指函数在定义域内是否递增或递减。
递增函数是指当自变量增大时，函数值也增大；递减函数则相反。
3. 奇偶性：函数的奇偶性反映了函数图像的对称性。
奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数，而偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数。
二、常见函数的类型及性质初中数学中常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
我们将对每种函数类型进行简要介绍并总结其性质。
1. 线性函数：线性函数的函数图像为一条直线。
一般形式为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
线性函数图像呈现直线特点，斜率决定了直线的倾斜程度。
2. 二次函数：二次函数的函数图像为抛物线。
一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数。
二次函数的图像可分为开口向上和开口向下两种情况，其开口方向由二次项的系数a决定。
3. 指数函数与对数函数：指数函数的函数图像为递增的曲线，一般形式为y=a^x，其中a为底数。
对数函数是指数函数的逆运算，其函数图像为递增的直线，一般形式为y=logₐx，其中a为底数。
三、方程的基本概念和解法方程是数学中用来求解未知数的数学语句。
在初中数学中，最常见的方程类型为一元一次方程和一元二次方程。
函数和方程的区别和联系
函数和方程的区别和联系
函数和方程是数学中常见的概念，它们有一些区别和联系。
首先，函数是一种映射关系，它把一个自变量映射成一个因变量。
函数可以用一个公式或者一张图像来表示，比如 y=x^2 或者一条曲线。
而方程则是一个等式，它表示两个表达式之间的关系，比如 y=x+2。
其次，函数和方程可以相互转换。
一个函数可以被表示成一个方程，比如 y=x^2 可以转换为 x^2-y=0。
同样地，一个方程也可以被
表示成一个函数的形式，比如 x+y=3 可以表示成 y=3-x。
另外，函数和方程的解的含义也有所不同。
一个方程的解是使等式成立的变量值，而一个函数的解则是使函数取到某个特定值的自变量值。
比如，对于方程 x^2=4，它的解是 x=2 或者 x=-2；而对于函数 y=x^2，它的解是使 y=4 的 x 值，即 x=2 或者 x=-2。
总之，函数和方程是数学中基础的概念，它们之间有相互转换的关系，但是解的含义有所不同。
在数学中，我们经常使用这两个概念来描述自然界和社会现象中的规律和关系。
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函数与方程知识点总结
函数与方程知识点总结函数与方程是数学中重要的概念，在数学学习过程中起着重要的作用。
本文将对函数与方程的知识点进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这两个概念。
一、函数函数是数学中一个非常基础且重要的概念，它描述了两个变量之间的依赖关系。
通常情况下，我们将函数表示为f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数可以以不同的形式和方式进行表示，例如数学公式、图表、表格等。
1. 定义与符号函数的定义可以简单表示为：给定一个自变量x的集合，对于这个集合中的每一个x，都存在这样一个唯一的因变量f(x)与之对应。
函数的符号一般使用小写字母f(x)表示。
2. 函数的性质函数具有以下几个重要的性质：（1）定义域与值域：定义域是自变量x的取值范围，值域是因变量f(x)的取值范围。
（2）奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于y轴对称（偶函数）或关于原点对称（奇函数）。
（3）单调性：函数的单调性描述了函数在定义域内的递增或递减特性。
（4）周期性：周期函数是指函数在一定区间内重复出现的函数。
3. 常见函数类型（1）线性函数：线性函数的表达式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。
（2）二次函数：二次函数的表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
（3）指数函数：指数函数的表达式为f(x) = a^x，其中a为大于0且不等于1的常数。
（4）对数函数：对数函数的表达式为f(x) = loga(x)，其中a为大于1的常数。
二、方程方程是描述等式的数学语句，它通常包含未知数和已知数，并以等号连接。
方程的解是使得方程成立的未知数的值。
1. 一元一次方程一元一次方程是一个未知数的一次方程，其一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的基本思路是通过移项和化简，将方程转化为x的形式。
2. 二元一次方程二元一次方程是包含两个未知数和一次方程的方程。
一般形式为ax + by + c = 0，其中a、b、c为已知数，x和y为未知数。
函数与方程课件
06
函数与方程的未来发展
函数与方程在其他学科中的应用
数学建模
函数与方程在数学建模中扮演着 重要的角色，通过建立数学模型 ，可以描述现实世界中的各种现 象，如物理、化学、生物等学科
中的问题。
计算机科学
在计算机科学中，函数与方程被 广泛应用于算法设计、数据结构 、离散概率论等领域，为计算机 科学的发展提供了重要的理论支
函数与方程ppt课件
• 函数的概念与性质 • 方程的种类与解法 • 函数与方程的关系 • 函数的应用 • 方程的应用 • 函数与方程的未来发展
01
函数的概念与性质
函数的定义
函数是数学上的一个概念，它描述了两个集合之间的对应关系。具体来说，对于 给定的集合X中的每一个元素x，按照某种规则，总有集合Y中的唯一一个元素y与 之对应。这种关系通常用符号f表示，即f: X→Y。
03
函数与方程的关系
函数图像与方程解的关系
函数图像是方程解在坐标系中的 表现形式，通过观察函数图像可 以直观地了解方程的解的情况。
函数图像的交点表示方程的根， 函数图像的极值点也可能对应方
程的根。
通过函数图像的变化可以推测方 程解的变化趋势。
函数的最值与方程根的关系
函数的最值点可能是方程的根，因为函数在极值点附近的导数会发生变化，导致函 数值发生突变。
如果函数在某区间内单调递增或递减，那么该区间内函数的最大值或最小值可能对 应方程的一元一次根。
对于多元函数，最值问题可能转化为方程组问题，需要利用方程组的解来判断最值 的存在性和性质。
函数图像的变换与方程解的变换
函数图像的平移、伸缩、旋转 等变换会影响函数的值，从而 影响方程的解。
通过对方程进行变量替换或参 数调整，可以改变方程的形式 和结构，从而影响方程的解。
函数和方程有什么区别？
函数和方程有什么区别？哎呦喂，说起来函数和方程的区别，这可真是个老生常谈的问题了，就像那些年追过的女孩，总是让人念念不忘啊。
哈哈，开个玩笑！其实呢，函数和方程的区别说起来也不难，就好像咱们平时吃饭，有的是菜，有的是饭，虽然都是吃的，但毕竟还是不一样的嘛。
函数就像那盘菜，它是一道料理，有固定的食材和制作方法，输入什么就输出什么，很规律，很稳定，就好像我家的老妈做的红烧鱼，怎么做出来的味道都差不多，不会变来变去的。
而方程呢，就好像那碗饭，它就像一个谜题，需要我们去解开，找到那个能让等式左右两边相等的“答案”，就好像我小时候做数学题一样，总要绞尽脑汁才能找到那个正确的解。
其实吧，说白了，函数是比较“被动”的，你给它什么输入，它就给你什么输出，就像一个老老实实的员工，你吩咐什么就做什么。
而方程呢，就比较“主动”一点，它需要你自己去寻找那个能解开谜题的“答案”。
就比如，咱们学校组织运动会，我报名参加了100 米短跑比赛。
我的成绩可以用一个函数来表示，输入我的训练强度，输出我的比赛成绩。
如果我每天训练1个小时，我的成绩就会是12秒；如果我每天训练2个小时，我的成绩就会是11秒。
这个函数就描述了我训练强度与比赛成绩之间的关系。
但是呢，如果我只想跑进10秒，我就需要解决一个方程，这个方程就描述了我需要达到怎样的训练强度才能跑进10秒。
这是一个复杂的方程，需要我不断地尝试和调整，才能找到那个满足条件的解。
所以说，函数和方程虽然都属于数学的概念，但它们扮演着不同的角色：函数是用来描述事物之间关系的工具，而方程则是用来解决问题的工具。
就像我的运动会比赛一样，函数可以帮助我理解训练强度与比赛成绩之间的关系，而方程则帮助我找到实现目标的方法。
你看，数学其实和生活息息相关，只要用心去感受，就能发现其中的奥妙和乐趣！哈哈，下次我们再聊其他有趣的数学知识吧。
方程与函数的关系
方程与函数的关系方程与函数是数学中重要的概念，它们之间有着密切的关系。
在本文中，我们将探讨方程与函数之间的关系，并讨论它们在数学中的应用。
一、方程的定义与性质方程是含有一个或多个变量的等式，其中包含有关变量的表达式和等号。
方程可以用来描述数学问题，并找到使等式成立的变量的值。
常见的方程类型包括线性方程、二次方程、指数方程等。
方程的根是使方程成立的变量的值。
一个方程可以有一个或多个根，也可能没有实数根。
例如，线性方程通常只有一个实数根，而二次方程可能有两个实数根、一个实数根或者没有实数根。
二、函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数可以用来描述实际问题中的依赖关系，例如时间与距离之间的关系。
函数可以表示为y = f(x)的形式，其中x为自变量，y为因变量，f表示函数的规则。
函数可以用图像、列表或公式来表示。
函数的定义域是自变量可能的取值范围，值域是因变量可能的取值范围。
三、方程与函数的关系方程与函数之间有着密切的关系。
实际上，函数可以用方程的形式来表示。
对于给定的函数y = f(x)，我们可以将其转化为一个方程y -f(x) = 0。
这个方程的解就是函数的根，即函数图像与x轴相交的点。
另一方面，方程也可以表示为函数。
对于一个方程，我们可以将其表示为一个函数，使得当方程成立时，函数的值为0。
例如，方程x^2 - 4 = 0可以表示为函数f(x) = x^2 - 4的形式。
方程与函数的关系在数学中有着广泛的应用。
它们可以用来解决实际问题，如物体的运动问题、货币的兑换问题等。
通过建立方程与函数之间的关系，我们可以将实际问题转化为数学问题，并通过求解方程或者分析函数来获得解决方案。
此外，方程与函数的研究也是数学理论发展的重要组成部分。
在微积分中，方程与函数的关系被用来研究曲线的性质、求解极值、计算曲线的长度等。
在代数学中，方程与函数的关系被用来研究多项式的根、方程的解的性质等。
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方程与函数的区别?代数式:用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子,叫代数式。
函数:如果对于一个变量(比如x)在某一范围内的每一个确定的值,变量(比如y)都有唯一确定的值和它对应,那么,就把y叫做x的函数。
函数式:用解析法(公式法)表示函数的式子叫函数式。
方程:含有未知数的等式叫方程。
解析式表示因变量与自变量的关系。
联系:函数式和方程式都是由代数式组成的.没有代数式,就没有函数和方程.方程只是函数解析式在某一特定函数值的解。
方程表示特定的因变量的自变量解。
如5x+6=7这是方程；y=5x+6这是解析式。
区别:1.概念不一样.2.代数式不用等号连接.3.函数表示两个变量之间的关系.因变量(函数)随变量(自变量)的变化而变化.4.方程是含有未知数的等式.其未知数(变量)的个数不固定.未知数之间不存在自变和因变的关系. 方程重在说明几个未知数之间的在数字间的关系；方程可以通过求解得到未知数的大小；方程可以通过初等变换改变等号左右两边的方程。
方程的解是固定的，但函数无固定解值解。
式；函数只可以化简，但不可以对函数进行初等变换。
5. 函数和方程本质区别就是:方程中未知数x是一个常量（虽然方程可能有多个解），函数中x是变量，因此y也是变量，并且是由于x的变化而变化。
6.函数：重在说明某几个自变量的变化对因变量的影响；特定的自变量的值就可以决定因变量的值；就像平面解析几何里圆就是方程、区别在于函数就看他们的值是否一一对应。
就像圆的方程（x-a）^2+(y-b)^2=r^2就是方程，它们的值不是一一对应关系，所以不是函数是方程的一种，函数强调的是一一对应，及1个X值（自变量）只能有一个Y值（应变量）与之对应比如：y=x+1 它是函数，y^2=x 它不是函数，但它是方程。
7.函数和方程是数学中的两个基本概念，在许多情况下它们可以相互转化。
例如在一元函数y = f(x)用一个解析式表示并且不需要区分自变量和因变量(函数)时，这个函数式就可以看作一个二元方程；反之，能够由方程F(x, y) = 0确定的函数关系称为隐函数([4], p.9)。
但是函数与方程是有差别的。
8. 首先,函数的自变量和因变量是一一对应的,一个X值只有一个相应的Y值与之对应,而曲线方程则不然,比如一个椭圆方程中,对于一个X值有两个Y值与之对应.像这样的曲线方程就不能成为一个函数的表达式.其次,函数表达式表示的是两个变量之间一一对应的关系,而曲线方程则借用点的集和的方式来将一个曲线以代数的形式表现出来,实质上一个曲线的表达。
二者关系可以通过例子来看：x^2+x-1=0相当于函数y=x^2+x-1函数值y=0，解方程问题就转化为函数的自变量x定义域中取什么值时y=0？有点像求反函数。
自然x^2+x-1=1 变成x^2+x-1=y也未尝不可，解方程转化为函数的自变量x定义域中取那个值时y=1？实际上上了大学学了高等数学就知道都可以，数学是工具为人所用，怎么简单就怎么来。
但是刚开始学习函数，函数是有自己的规律法则的。
所以x^2+x-1=1要把他转换成函数形式就要把1 移到左边即x^2+x-2=y，相当于规定都求y=0时的x，这个规定也是约定俗成的，数学中方程标准都是形式都是右边为零。
方式应该是{(x,y)|曲线方程｝按照定义，方程是含有未知数的等式，函数是两个非空数集之间的一个映射。
方程F(x, y)＝0中的x和y都是未知数，关联法则F同时作用于x 和y，交换两个未知数的位置时它们之间的关联法则通常要改变，得到的新方程与原方程一般不是同解方程(除了一些特殊情况外，以下同)。
而函数中需区分自变量和因变量，对应法则只作用于自变量；一个函数由定义域A、值域C 和对应法则f确定，与定义域和值域中的元素用什么字母表示无关。
因此y = f (x) (xÎA, yÎC)和x = f (y)(yÎA, xÎC)表示相同的函数，但它们通常不是同解的方程；y = f(x) (xÎA, yÎC)和x = f -1(y) (xÎA, yÎC)一般是不同的函数，但它们是同解的方程。
例如y ＝2x (x为自变量)x ＝2y (y为自变量)是相同的函数、不同解的方程；而y ＝2x (x为自变量)与x ＝y (y 为自变量)是不同的函数、同解的方程。
由此可知，在方程F(x, y) = 0能够确定隐函数时，那么也应该确定两个函数关系y = f(x)和x = f -1(y)，而不应当仅仅是前者。
例如方程2s- gt2 = 0( t ³ 0 )①就可以确定函数s = f(t) = gt2 ( t ³ 0 ) ②以及函数t =j(s) =( s ³ 0 ) ③，其中g > 0是一个常数。
②与③显然是不同的函数，但作为方程它们都与①同解。
函数与方程的这种差别自然也应该反映在作图上。
作二元方程的图形时实际上是把未知数区分为第一未知数、第二未知数，用前者的值做横坐标、后者的值做纵坐标。
例如作方程①的图形时既可以用t的值、也可以用s的值做横坐标，取决于把谁看作第一未知数。
但是在作以x和y为未知数的方程的图形时，因为直角坐标系中的横轴和纵轴习惯上分别表示为X 轴和Y轴(以下简称习惯1)，所以总是用x的值做横坐标、y的值做纵坐标以免混淆。
这种作图方式事实上是默认下面的约定1当方程中的未知数用x和y表示时就把x视为第一未知数。
依照上述作图方式，同解的方程y ＝2x和x ＝y的图形相同，不同解的方程y ＝2x和x ＝2y的图形也不同，这说明约定1是合理的。
而对作函数的图象，中学和大学的数学教材(例如[4，§2] 和[5，§1.6] )中都提到了下面的约定2在平面直角坐标系中作函数的图象，横坐标对应自变量的值，纵坐标对应函数值。
即作函数图象时，应该用自变量的值做横坐标、函数值做纵坐标，而不管它们分别用什么字母表示。
例如在作函数②的图象时应该用t的值做横坐标，作函数③的图象时应该用s的值做横坐标。
同理，在作函数x = f(y)的图象时应该用y的值做横坐标、x的值做纵坐标，而不应当依据约定1按照方程的作图方式作图。
于是在同一个直角坐标系中，把y = f (x)和x = f (y)看作函数时它们的图象是相同的，看作方程时它们的图形一般是不同的；把y = f(x) 和x = f -1(y)看作函数时它们的图象一般是不同的，而看作方程时它们的图形是相同的。
由此得出“在同一直角坐标系中，相同的函数的图象相同，不同的函数的图象也不同”这样一个顺理成章的结论，说明了约定2的合理性。
虽然同样由于习惯1，在作函数x = f (y)的图象时为了避免混淆，常常对调其中的x和y把函数式改写为y = f (x)，但是可以这样做的理由正是因为y = f (x)与x = f (y)是相同的函数，而不是把它们看作方程。
如果只注意到函数与方程的“同”而忽略了它们之间的“异”，在考察某些具体问题时就会出现失误。
例如对于反函数表达式中需要交换x和y的原因，一般都是用“习惯上，我们一般用x 表示自变量，y 表示函数”(以下简称习惯2)来说明。
某种习惯值得遵循应当有其合理性以及必要性。
对为什么有必要遵循这个习惯，存在不同看法。
一种影响较大的观点是：由于在同一直角坐标系中，y = f(x)和x = f -1(y)的图象相同, 因此“把反函数x = f -1(y)改写成y = f -1(x) 还有一个好处，即它们的图象关于直线y = x对称”([1]，p.38)。
这种观点也经常反映在一些习题中，例如：(1) 若函数y = f (x) 有反函数, 则在同一坐标系中, y = f (x) 和x = f -1(y)的图象A. 关于直线y = x对称B. 关于y轴对称C. 表示同一曲线D. 关于原点对称(2) 若函数y = f (x) 存在反函数, 则下列命题中不正确的是A．函数y = f (x) 与函数x = f (y)的图象关于直线y = x对称B. 若y = f (x) 是奇函数, 则y = f -1(x) 也是奇函数C. 若y = f (x) 在其定义域[a, b] 上是增函数, 则y = f -1(x) 在[a, b] 上也是增函数D.函数y = f (x) 和x = f -1(y)的图象重合[6]中给出(1)的答案是C，[7]中给出的(2)答案也是C。
笔者认为上述观点的缺陷在于忽略了函数与方程的差别，从而在讨论同一问题时先后使用了不同的标准。
即在考察原函数与反函数的图象时先把函数看作方程，得出它们的图象相同的结论；而在改写反函数时又需要把它们看作函数，所以才可以改写。
这样将会导致逻辑推理的冲突。
事实上，因为函数x = f -1(y)和y = f -1(x)表示相同的函数关系，所以允许交换其中的x和y，这是可以遵循习惯2改写反函数的理论依据。
而认为两个不同的函数y = f(x)和x = f -1(y)的图象相同, 两个相同的函数y = f (x)与x = f (y)的图象不相同，是把它们等同于方程了；但是如果看作方程，那么x = f -1(y)与y = f -1(x)一般情况下是不同解的，又怎么能用后者去代替前者呢？此外，根据定义，函数y = f(x)的反函数是x = f -1(y)，如果要改写反函数后“原函数的图象与反函数的图象关于直线y = x 对称”才能成立，那么这个结论是否显得牵强(因为原本是不成立的)？由此自然会对改写反函数的必要性产生疑问，一种看法甚至认为是迁就了“不良的习惯”(例如[2]，第26页)。
在一些较早的教科书中把函数的解析式就称为方程，对函数和方程的图形不加区别。
例如对我国50年代数学教育产生过一定影响的[3]在讨论反函数的图象时，先指出方程y = f(x)和x = f -1(y)所给出的x与y之间的关系是相同的(实际上应当是把y = f(x)和x = f -1(y)都看作方程F(x, y)＝0时x与y之间的关联关系F相同，而不是作为函数时的对应关系f和f –1)，所以它们的图象相同。
然后说明此时(即按照方程的作图方法)需把x = f -1(y)中的自变量y取在Y轴上很不方便，因此需要旋转整个平面使表示自变量的轴和表示函数的轴互换位置(事实上已经认可了约定2)，于是反函数x = f -1(y)就变成y = f -1(x)了。
这样得出y = f -1(x)略显麻烦，而且旋转时坐标轴的方向及名称是否改变？所以后来编写的大部分教科书中的说法与此有所不同。
[4，§2]中把约定1作为改写反函数的原因，说明了改写的必要性。
但是在此之前的陈述“从图形上看，曲线y = f(x)和x = f -1(y)是同一条曲线”仍然是先看成方程。