第一章质点动力学2
大学物理第一章-质点运动学和第二章-质点动力学基础
位移的大小为
2 2 2 r x y z
z
路程是质点经过实际路径的长
度。路程是标量。
注意区分 Δ r 、r
Δr
Δr r ( A)
o x
A ΔS
B
r ( B) y
rA
o
rB
Δ
r
3. 速率和速度 速度是描述质点位置随时间变化快慢和方向的物理量。
平均速度
青年牛顿1666年6月22日至1667年3月25日两度回到乡间的老家1665年获学士学位1661年考入剑桥大学三一学院牛顿简介1667年牛顿返回剑桥大学当研究生次年获得硕士学位1669年发明了二项式定理1669年由于巴洛的推荐接受了卢卡斯数学讲座的职务全面丰收的时期16421672年进行了光谱色分析试验1672年由于制造反射望远镜的成就被接纳为伦敦皇家学会会员1680年前后提出万有引力理论1687年出版了自然哲学的数学原理牛顿简介牛顿第一定律
g
v v g
v
v g 远日点 g v
g v g g g g g v
v
近日点
v
v
思考题 质点作曲线运动，判断下列说法的正误。
r r s r
r r
s r
s r
Δr
矢量的矢积（或称叉积 、叉乘）
C A B
大小：C AB sin
方向：右手螺旋
C
B
矢积性质：A B B A A C ( A B) C A C B 可以得到：i j k , j k i , k i j . k i i 0, j j 0, k k 0
《大学物理教学课件》第1章 质点运动学
足右手定则：沿质点转动方向右
旋大拇指指向。
平均角加速度：β Δω Δt
角加速度：β
lim
t 0
Δω Δt
dω dt
d 2
dt 2
单位：rad/s2,
y
B
s
A
RO
x
29
匀变速圆周运动的基本公式
0 t
0
0t
1 2
t 2
2 02 2 ( 0 )
圆周运动线量和角量的关系：
与匀变速直线运动计 算公式有对应关系：
4
§1.2 质点运动的描述
1.2.1 位置矢量 运动方程
1.位置矢量（位矢）
从原点O向质点P所在位置画一矢
量来表示质点位置。
r称为位置矢量，简称位矢。
位矢 用坐标值表示为： r xi yj zk
z
xo
x
i , j , k表示沿x，y，z轴的单位矢量。
位矢的大小：r | r| x2 y2 z2
质点运动时在空间所经历的实际路径叫做运动轨道， 相应的曲线方程称为轨道方程。
在运动方程中，消去t即得轨道方程：f(x,y，z)=0。
6
1.2.2 位移 路程
z A
1.位移
t时刻，A点位矢为
r1
t+Δt时刻在B点位矢为 r2
r B
r1
r2
o
y
x
在t 时间内，位矢的变化量（即A到B的有向线
段）称为位移。
y
B
s
A
RO
x
角位置 ：质点所在的矢径与x 轴的夹角。
运动方程： (t)
角位移： 质点从A到B矢径转过的角度 。
规定： 逆时针转向为正 顺时针转向为负
第一章 质点运动学
物理学
已知：x(t ) 1.0t 2.0，y(t ) 0.25t 2 2.0， 解 (1) 由题意可得
dx dy vx 1.0， vy 0.5t dt dt t 3s 时速度为 v 1.0i 1.5 j
速度 v 与
x 轴之间的夹角
第一章 质点运动学
第一章 质点运动学
14
物理学
讨论 一运动质点在某瞬 y 时位于矢径 r ( x, y ) 的 y 端点处，其速度大小为
dr （ A） dt dr （ C） dt
注意
dr （B） dt
r (t )
x
o
x
dx 2 dy 2 （ D） ( ) ( ) dt dt
dr dr dt dt
1.5 0 arctan 56.3 1.0
17
物理学
x(t ) 1.0t 2.0， （2）运动方程 2 y(t ) 0.25t 2.0，
消去参数 t 可得轨迹方程为
y 0.25x x 3.0
2
轨迹图 t 4s
y/m
6 2
t 4s
t 2s 4
-6 -4 -2 0
dx B v A v x i i vi dt l dy vB v y j j o dt 2 2 2 x y l dx dy 两边求导得 2 x 2y 0 dt dt
第一章 质点运动学
解
y
A
v
x
20
物理学
dy x dx y 即 dt y dt B x dx vB j y dt dx o v dt vB vtan j
理论力学知识总结
学生整理，时间有限，水平有限，仅供参考，如有纰漏，请以老师、课本为主。
第一章质点力学（1）笛卡尔坐标系 位置：k z j y i x ++=r速度：k z j y i x dtr d ...v ++== 加速度：k z j y i x dtv d ......a ++== （2）极坐标系坐标：j i e r θθsin cos += j i e θθθcos sin +-= r e r =r 速度：r r .v = .v θθr =加速度:2...θr r a r -= .....2θθθr r a += （3）自然坐标系（0>θd ） 坐标：ds r d e t =θd e d e t n = θρd ds = 速度：t e v v = 加速度：n t e v e v ρ2.a +=（4）相对运动（5）牛顿运动定律 牛顿第一定律：惯性定律 牛顿第二定律：)(a m v m P dtP d dt v d m F ==== 牛顿第三定律：2112F F -= （6）功、能量vF dt rd F dt dW P rFd dA ⋅=⋅=== （7）（7）有心力第二章 质点动力学的基本定理知识点总结： 质点动力学的基本方程质点动力学可分为两类基本问题:. (1) .已知质点的运动，求作用于质点的力; (2) 己知作用于质点的力，求质点的运动。
动量定理 动量：符号动量定理微分形式动量守恒定律：如果作用在质点系上的外力主失恒等于零，质点系的动量保持不变。
即：质心运动定理：质点对点O 的动量矩是矢量mv r J i ⨯= 质点系对点0的动量矩是矢量i ni nii i i v m r J J ∑∑=⨯==1若z 轴通过点0，则质点系对于z 轴的动量矩为∑==ni z z z J M J ][若C 为质点系的质心，对任一点O 有 c c c J mv r J +⨯=02. 动量矩定理∑∑=⨯=⨯=nie i i n i i i i M F r v m r dt d dt dJ )()( 动量矩守恒：合外力矢量和为零，则动量矩为常矢量。
质点力学(1-3)
三、径向速度和横向速度 圆周运动的角量描述
1.平面极坐标系 1.平面极坐标系
平面极坐标系中有两个变量（ 平面极坐标系中有两个变量（r、θ）
只要 r 和θ 确定了，质点的位 确定了，质点的位 置就完全确定了。 置就完全确定了。 与两个变量对应的单位矢量
er和eθ 分别沿着径向和与 分别沿着径向和 径向
θ
x
任意时刻 t 时： x = v0t cosθ
是两种运动的叠加
1 2 v = v sinθ − gt y 0 y = v0t sinθ − gt 2
1 2 ∴r = xi + yj = v0t cosθi + (v0t sinθ − gt ) j 2 v = vxi + vy j = v0 cosθi + (v0 sinθ − gt ) j
l
h
h
s s 解: 设此时绳的长度为l 那么有 那么有： 设此时绳的长度为 .那么有：
ds 由于： 由于： v = , dt
l h
s 能否为： 能否为：
×
则只能是： 则只能是：
轴作直线运动，其位置坐标 坐标与时间的 例2. 一质点沿x轴作直线运动，其位置坐标与时间的 关系为 x=10+8t-4t2,求： （1）质点在第一秒内、第二秒内的平均速度。 质点在第一秒内、第二秒内的平均速度。 第一秒内 的平均速度 质点在t=0、 、 秒时的速度。 （2）质点在 、1、2秒时的速度。 解：
代入 t = 0 , 1s , 2s 得：
例3.一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0， 3.一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为 一质点由静止开始作直线运动 以后加速度均匀增加，每经过 秒增加 秒增加a 求经过t秒 以后加速度均匀增加，每经过τ秒增加 0，求经过 秒 加速度均匀增加 后质点的速度和运动的距离。 质点的速度和运动的距离。 速度和运动的距离 解：据题意知，加速度和时间的关系为： 据题意知，加速度和时间的关系为：
1.2大学物理(上)——质点动力学
t2
t1
n n t 2 n n 1 n Fi外 dt f ij dt mi vi 2 mi vi1 t1 i 1 i 1 i 1 i 1 j 1
因为内力总成对出现即：
i 1 j 1
x n
2mv cos fn fx 20 N t
[例2.6]: 如图（见书），一辆装矿砂的车厢以v=4ms-1的 速率从漏斗下通过，每秒落入车厢的砂为k=200kg/s， 如欲使车厢的速率下变，须施与车厢多大的牵引力（忽 略车厢与地面的摩擦）。
[分析]：系统的质量m在变化。设t时该已落入车厢 的砂为m，经dt后又有dm=kdt的砂落入车厢。以m 和dm为研究对象。在水平方向的动量定理为：
ra
可见万有引力是保守力。
③ 、弹力的功
F kx
1 1 2 2 AS kxdx ( kxb kxa ) xa 2 2 1 1 2 2 kxa kxb 2 2
xb
初态量
末态量
弹簧振子
可见，弹性力是保守力。
[例2.8]:在离水平面高为H岸上，有人用大小不变的 力F拉绳使船靠岸，求船从离岸x1处移到x2处的过 程中，力F对船所作的功。
经典力学中不区分引力质量和惯性质量
三、第三定律（Newton third law）
两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等
的，而且指向相反的方向。
F1 F2
作用力与反作用力：
1、它们总是成对出现，它们之间一一对应。
2、它们分别作用在两个物体上，绝不是平衡力。 3、它们一定是属于同一性质的力。
2、功率 指力在单位时间内所作的功
W 平均功率： P t
1第一章-质点力学基础
第6页，共54页。
质点：任何物体都有一定的大小和形状,但 当物体的大小和形状在所描写的运动中所起 的作用可以忽略不计时,我们就把它看作是
一个只有质量而没有大小和形状的点,称为 质点.
第7页，共54页。
二、参考系与坐标系
根据叉积运算定义,可以得到如下结果：
第12页，共54页。
四、质点的运动
运动描述
位置矢量
空间一质点 P 的位置可以用三个坐标 x,y,z 来确定,也可以用从原点O到P点的 有向线段 表示, 称 为位置矢量.
在直角坐标系中, 可以表示为
其中x,y,z,分别表示 在三个坐标轴上的分量, 分别表示沿三个坐标轴正向的单位矢量.
第13页，共54页。
质点运动过程中,其位置随时间的改变可以 表示为
或
第14页，共54页。
位移
质点在一段时间内
位置的改变称为它 在这段时间内的位
y
移,记作 ,大小标
志着在这段时间内质 点位置移动的多少,
方向表示质点的位 O 置移动方向.图中s 表示路程.
z
第15页，共54页。
P1 s P2
x
速度
坐标系：描述一个物体的运动需要另一个物体作为参考,这
个被选定的参考物体称为参考系.
为了定量地描写物体运 动的位置以及位置随时 y 间的变化,在三维空间 中,需要标出三个独立 的量来唯一地确定一点 的位置.如图所示为三 O 条坐标轴(x轴、y轴、z
轴)相互垂直的直角坐标 z
系.
第8页，共54页。
P(x,y,z) x
被称为引力质量
经典力学中不区分引力质量和惯性质量
《质点动力学》选择题解答与分析
2 质点力学的运动定律守恒定律2.1直线运动中的牛顿运动定律1. 水平地面上放一物体A，它与地面间的滑动摩擦系数为μ．现加一恒力F如图所示．欲使物体A有最大加速度，则恒力F与水平方向夹角θ 应满足(A) sinθ ＝μ．(B) cosθ ＝μ．(C) tgθ ＝μ．(D) ctgθ ＝μ．答案：(C)参考解答：按牛顿定律水平方向列方程：,)sin(cos amFgmFAA=--μθθ显然加速度a可以看作θ的函数，用高等数学求极值的方法，令,0dd=θa，有.μθ=tg分支程序：凡选择回答错误的，均给出下面的进一步讨论：1.一质量为m的木块，放在木板上，当木板与水平面间的夹角θ由00变化到090的过程中，画出木块与木板之间摩擦力f随θ变化的曲线（设θ角变化过程中，摩擦系数μ不变）.在图上标出木块开始滑动时，木板与水平面间的夹角θ0，并指出θ0与摩擦系数μ的关系．(A) 图(B)正确，sinθ0 ＝μ．(B) 图(A)正确，tgθ 0＝μ．FθA答案： (B)参考解答：(1) 当θ较小时，木块静止在木板上，静摩擦力;sin θmg f =(正确画出θ为0到θ 0之间的f －θ 曲线)(2) 当θ＝θ 0时 (tg θ 0＝μ)，木块开始滑动； (3) 0θθ>时，滑动摩擦力,cos θμmg f =(正确画出θ为θ 0到90°之间的f －θ曲线) .2.2曲线运动中的牛顿运动定律1. 如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，轨道是光滑的，在从A 至C 的下滑过程中，下面哪个说法是正确的？(A) 它的加速度大小不变，方向永远指向圆心． (B) 它的速率均匀增加． (C) 它的合外力大小变化，方向永远指向圆心． (D) 它的合外力大小不变． (E) 轨道支持力的大小不断增加． 答案： (E)参考解答：根据牛顿定律法向与切向分量公式：.dtd ,2υυm F R m F t n == .cos ,sin θθmg F mg N F t n =-= 物体做变速圆周运动，从A 至C 的下滑过程中速度增大，法向加AROθC速度增大。
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解:取岸为靜系，水流为动系，船为质点，
并建由 绝立对:如速图v度极v坐—v标0—系船v对 岸（径向分量已知）
c2
c1
θ
相对速度v — —船对水(未知) 牵连速度v0 — —水对岸（已知）
vr vor vr c2
v vo v c1 sin
A
dr dt
c2
r
d
dt
c1 sin
dr
2u
x
cd 4u
cu d
t2
d 2u
2
2c
t
d 2u
x 2c y c y2 cd 当y d 时，x cd
u du 2u
2u
§ 1.4 质点运动定律
问题： 1、经典力学的动力学基础是什么？ 2、“牛顿第一定律是第二定律的特例，因此应该去掉”， 这个说法是否正确，为什么？ 3、什么样的参照系是惯性系？常见的惯性系有哪些？ 4、选择不同的惯性系描述力学规律是否有差异？
x
t 2c
t 2cu
dx ydt
tdt
0
0d x
cu
t2
0
d
d
x c y2 ud
到达河中间时：
y d , x cd , t d 2 4u 2u
（2）当 d 2 y d 时
v x
dx dt
2c d
d
y
v y
dy dt
u
y ut
x
dx
t
2c d utdt
cd
dd
4u
例5: 某人以4km/h向东前进, 感觉风从正北吹来,以8km/h向东 前进, 感觉风从东北吹来, 求风速和风向.
解: 1) 先确定是相对运动问题：一个被考察的质点和两个有
相对运动的参考系 2) 确定动系和静系
v01 4i
v vj
靜系：地面 动系：人 质点：风
绝对速度v ——风对地 相对速度v ——风对人 牵连速度v0 ——人对地
一、牛顿运动定律 ——经典动力学基础
1) 牛顿第一定律
一自由粒子永远保持静止或匀速直线运动的状态。 （自由粒子是指不受任何相互作用的粒子）
2) 牛顿第二定律 F i ma
i
物体所获得的加速度的大小与作用在物体上的合外力成正比， 与物体的质量成反比，加速度的方向与和外力的方向相同
3) 牛顿第三定律 F21 F12
C ln r0 ln tank 0
ln r ln tank ln r0 ln tank 0
ln
r r0
ln
tank tank 0
r r0 tan k 0 tan k
二、绝对加速度、相对加速度、牵连加速度
S’对S作匀加速直线运动
由 v v0 v '
得: a a0 a'
两物体之间的相互作用力和反作用力沿同一直线，大小相等， 方向相反，分别作用于两个不同物体上。
Note： 第一定律是第二定律所不可缺少的提
因为第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系 -----惯性参考系
注：地球自转在赤道附近产生的加速度约为3×10-2m/s2 地球绕太阳公转产生的加速度约为6×10-3m/s2
ky
kd
y
0 d
2
y
y
d
2 d
河中心处水流速度为 c k d k 2c
2
d
v v0 v
（1）当 0 y d 时
2
v x
dx dt
2c d
y
v y
dy dt
u
dy u dt
y
t
dy udt
0
0
y ut
2cy d
0 y d 2
v0 2cd y d d 2 y d
1、伽利略变换——力学相对性原理和经典时空观的集中体现
若惯性系S’相对另一惯性系 S 沿 x 轴方向以速度 v0 运动，
a 为P对静系S的加速度，称为P点的绝对加速度 a’为P对动系S’的加速度，称为P点的相对加速度 a0 为动系S’对靜系S的加速度, 称为牵连加速度
例题：（1.16） 宽度为d的河流，其流速与到河岸的距离成正
比。在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为c。一小
船以相对速度u沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在
1.3 平动参照系 相对运动
一、相对运动
运动具有相对性
球
垂
直
球作曲线运动
往
返
如何变换？
物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系
二、平动参照系
1、动系和靜系 2、平动参照系
z z’
x x’
y y’
z z’
x x’
y y’
三、绝对速度、相对速度、牵连速度
不同参照系下研究p点的运动的关系:
j j’
r
r0
v02 8i
v
2
vj
2
vi
2
2
由:
v v0 v
v
4i
vj
v 8i
解得
2
vj
2
vi
2
2
v 4i 4 j
vx 4 8
2 v 2
v y v
2 v 2
北
v0
4i
v’’ v’ v
8i 东
例6: 小船M被水流冲走后，用一绳将它拉回岸边A点。假定水流 速度C1沿河宽不变，而拉绳子的速度为C2. 求船的轨迹.
对岸靠拢的地点。
y
解: 以出发点为原点，沿河岸为x轴，垂 直岸的方向为y轴建立图示坐标系。取岸 d
v水
为靜系，水流为动系，船为质点。
绝 对 速 度由v:——v船对v0岸（v未 知
O
题1.16.1图
水流速度
x
相 对 速 度v 牵 连 速 度v0
—— 船 对 水(已 知) —— 水 对 岸 （ 可
求
）v0
rd
x
c2
c1 sin
dr k 1 d r sin
k
C2 C1
积分得：ln r k ln tan C
d s in
2 s in
d
/ 2cos
/ 2
d tan tan
( / 2)
积分得：ln r ln tan k C
设初始条件为： t 0时r r0, 0
ln r0 ln tank 0 C
一般工程问题，地球可以看作惯性参考系; 如果物体运动的尺度很大，问题精确度要求很高,应当考虑 地球自转的影响,可取地心为惯性参考系; 在分析行星的运动时,地心本身作公转,必须取日心参考系. 太阳本身在银河系的加速度大约是3×10-10米/秒2,一般来 说可以不用考虑了,可以认为足够精确的了.
二、力学相对性原理（伽利略相对性原理）
r'
r r0 r
r’ r
其中：
r
dr
v
为P对静系S的速度，
dt
O ro
i'
称为p点的绝对速度。
A
i
r'
r0
dr '
dt v0
v'
为P对动系S’的速度，称为P点的相对速度;
由于动系的牵连而使质点具有相对对S的速度,
称
为牵连速度;等于 动系对静系的速度。
v v0 v '
说明: P点同时参与两个运动—— P点对S’的运动,P点被S’带动着一 起以v0 的运动