2020年山东省济南市历下区中考数学一模试卷(有答案解析)
2020年山东省济南市历下区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.2020的相反数是A. 2020B.C.D.2.下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是A. B. C. D.3.2020年2月20日下午，山东省第十二批援助湖北医疗队从济南遥墙机场集结，乘坐包机启程出征．千余勇士赴荆楚，万难不辞战疫，山东已累计派出十二批医疗队1797人援助湖北，数字1797用科学记数法表示为A. B. C. D.4.如图，已知，，BC平分，则的度数是A. B. C. D.5.有理数a，b在数轴上表示如图所示，则下列各式中正确的是A. B. C. D.6.下面在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是A. B. C. D.7.下列运算正确的是A. B.C. D.8.以下是某校九年级10名同学参加学校演讲比赛的统计表．则这组数据的众数和中位数分别为成绩分80859095人数人1342A. 85，B. 85，85C. 85，90D. 90，909.已知反比例函数图象如图所示，下列说法正确的是A.B. y随x的增大而减小C. 若矩形OABC面积为2，则D. 若图象上两个点的坐标分别是M，，则10.图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为A. B. C. 64 cm D. 54cm11.如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为A. B. C. D.12.如图，在二次函数的图象中，小明同学观察得出了下面几条信息：；；；；关于x的一元二次方程无实数很，共中信息错误的个数为A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.分解因式：______．14.转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数为3的倍数的概率是______．15.如果一个正多边形的一个外角是，那么这个正多边形的边数是______．16.若代数式的值是2，则______．17.A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离千米都是骑车时间时的一次函数．如图，直线、分别表示甲、乙骑车S与t之间关系的图象．结合图象提供的信息，经过______小时两人相遇．18.如图ABCD是一个矩形桌子，一小球从P撞击到Q，反射到R，又从R反射到S，从S反射回原处P，入射角与反射角相等例如等，已知，，则小球所走的路径的长为______．三、解答题（本大题共9小题，共78.0分）19.计算：20.解不等式组：，并写出它的所有整数解．21.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是对角线BD上的两点，且求证：．22.为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂购进甲、乙两种型号的机器人用来进行垃圾分类，甲型机器人比乙型机器人每小时多分20kg，甲型机器人分类800kg垃圾所用的时间与乙型机器人分类600kg垃圾所用的时间相等．两种机器人每小时分别分类多少垃圾？现在两种机器人共同分类700kg垃圾，工作2小时后甲型机器人因机器维修退出，求甲型机器人退出后乙型机器人还需工作多长时间才能完成？23.如图，已知AB是的直径，DC与相切于点C，交AB的延长线于点D．求证：；若，，求的半径．24.钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答年新型冠状病毒防治全国统一考试全国卷试卷满分100分，社区管理员随机从有400人的某小区抽取40名人员的答卷成绩，并对他们的成绩单位：分统计如下：根据数据绘制了如下的表格和统计图：等级成绩频数频率A10B a______C12D______ b合计401根据上面提供的信息，回答下列问题：统计表中的______，______；请补全条形统计图；根据抽样调查结果，请估计该小区答题成绩为“C级”的有多少人？该社区有2名男管理员和2名女管理员，现从中随机挑选2名管理员参加“社区防控”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．25.如图，已知反比例函数的图象经过点，过A作轴于点点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作轴于点D，连接直线BC与x轴的负半轴交于点E．求反比例函数的表达式；若，求的面积；是否存在点B，使得四边形ACED为平行四边形？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．26.如图，在中，，，D为BC边上一点不与点B，C重合，将线段AD绕点A逆时针旋转得到AE，连接EC，则：的度数是______；线段AC，CD，CE之间的数量关系是______．如图，在中，，，D为BC边上一点不与点B，C重合，将线段AD绕点A逆时针旋转得到AE，连接EC，请判断线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；如图，AC与DE交于点F，在条件下，若，求AF的最小值．27.图，抛物线过、两点，交y轴于点C，连接BC．求该抛物线的表达式和对称轴；点D是抛物线对称轴上一动点，当是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；如图2，将抛物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交与点E，求点E的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：2020的相反数是：．故选：B．直接利用相反数的定义得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2.答案：B解析：解：俯视图与主视图都是正方形，故选项A不合题意；B.俯视图是圆，主视图是长方形，故选项B合题意；C.俯视图与主视图都是圆，故选项C不合题意；D.俯视图和主视图是长方形；故选项D不符合题意；故选：B．从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．3.答案：A解析：解：．故选：A．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n 是正数；当原数的绝对值时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.答案：D解析：解：，，，平分，，，，故选：D．根据平行线的性质得出，根据角平分线定义求出，根据平行线的性质得出，代入求出即可．本题考查了平行线的性质，角平分线定义的应用，能根据平行线的性质得出是解此题的关键．5.答案：B解析：解：由数轴上的位置得：，且，，，故选：B．根据数轴上点的位置确定出a与b的正负，以及绝对值的大小，再利用加法、乘法运算法则判断即可．此题考查了有理数的乘法，数轴，绝对值，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6.答案：D解析：解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．7.答案：C解析：解：A、与x不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、，故此选项符合题意；D、原式，故此选项不符合题意，故选：C．根据多项式乘多项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，平方差公式等知识解答即可．此题考查了多项式乘多项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及平方差公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．8.答案：D解析：解：在这一组数据中90是出现次数最多的，故众数是90．而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是90、90，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是90．故选：D．先将数据从大到小从新排列，然后根据众数及中位数的定义求解即可．本题主要考查众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．9.答案：C解析：解：A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则，所以A选项错误；B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误；C、矩形OABC面积为2，则，而，所以，所以C选项正确；D、图象上两个点的坐标分别是M，，则，所以D选项错误．故选：C．根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断；根据反比例函数系数k的几何意义对C进行判断．本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值也考查了反比例函数的性质．10.答案：C解析：解：如图所示，过A作于E，过B作于F，则中，，同理可得，，又点A与B之间的距离为10cm，通过闸机的物体的最大宽度为，故选：C．过A作于E，过B作于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．11.答案：B解析：解：，，，，故选：B．纸扇两面贴纸，故贴纸部分的面积等于扇形ABC减去小扇形ADE的面积的2倍，已知圆心角的度数为，扇形的半径为25cm和10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积．本题主要考查扇形面积的计算的应用，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式，此题难度一般．12.答案：D解析：解：根据图象可知：，，故正确；由图象可知：，，由对称轴可知：，，，故错误；由图象可知：，，当时，，，，故正确；由图象可知：当时，，，，，故正确；由于二次函数的最大值为1，关于x的一元二次方程无实数很，故正确；故选：D．根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．13.答案：解析：解：．故答案为：．直接利用完全平方公式进而分解因式得出答案．此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．14.答案：解析：解：在这6个数字中，为3的倍数的有3和6，共2个，任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数为3的倍数的概率是，故答案为：．直接利用概率公式计算可得答案．本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．15.答案：6解析：解：这个正多边形的边数：．故答案为：6．根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数，计算即可求解．本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．16.答案：1解析：解：根据题意得：，去分母得：，移项合并得：，解得：，经检验是分式方程的解，故答案为：1根据题意列出方程，求出方程的解即可得到a的值．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．17.答案：解析：解：设的关系式为：，则，解得：，故；设，将，，则，解得：，故的关系式为；，．即他们经过小时两人相遇．故答案为：利用待定系数法求出直线、的解析式，利用两函数相等进而求出相遇的时间．本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求一次函数的解析式，并注意利用数形结合的思想解决问题．18.答案：30解析：解：入射角与反射角相等，，，，，四边形ABCD是矩形，，，，，，同理，四边形SPQR是平行四边形，，，在和中，≌，，，四边形ABCD是矩形，，，，，，∽，，，，在中，由勾股定理得：，同理，，故答案为：30．证明四边形SPQR是平行四边形，推出，，证三角形全等得出，，根据相似求出DS，根据勾股定理求出即RS，RQ，PQ，SP即可．本题考查了相似三角形性质和判定，矩形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度．19.答案：解：解析：首先计算乘方，然后计算乘法、除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．20.答案：解：，解得，解得．不等式组的解集是．则整数解是，0，1．解析：首先解每个不等式，把解集在数轴上表示出来即可得到不等式组的解集，然后确定解集中的整数即可．本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：求不等式组中每个不等式的解集；利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．21.答案：证明：四边形ABCD是平行四边形，，．．在和中，，≌．．解析：根据已知条件利用SAS来判定≌，从而得出．此题考查了学生对平行四边形的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况．22.答案：解：设甲型机器人每小时分类xkg垃圾．则乙型机器人每小时分类垃圾，由题意得：，解得：，检验：当时，，所以，原分式方程的解为，，答：甲型机器人每小时分类80kg垃圾．则乙型机器人每小时分类60kg垃圾，小时，答：甲型机器人退出后乙型机器人还需要工作7小时．解析：设甲型机器人每小时分类xkg垃圾．则乙型机器人每小时分类垃圾，根据列出方程即可求出答案．根据条件列出算式即可求出答案．本题考查分式方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．23.答案：解：如图，连接OC．证明：与相切，，是的直径，，，，；由可得，；，∽，，即，，的半径为．解析：根据直径所对的圆周角为直角以及圆的切线垂直于经过切点的半径，可得，，于是，又，所以，因此；易证∽，由，通过相似比求出DA的长，然后求出AB，从而求出的半径．本题考查了切线的性质，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．24.答案： 4 14解析：解：由题意可知：B等级的频数，等级的频率为：，D等级的频数为4，．故答案为：14、、4、；如图即为补全的条形统计图；名答：估计该小区答题成绩为“C级”的有120人；如图，根据树状图可知：所有可能的结果共有12种，恰好选中“1男1女”的有8种，恰好选中“1男1女”的概率为．根据题中数据即可求得a、b的值；根据中表格数据即可补全条形统计图；根据结果，即可用样本估总体，可得该小区答题成绩为“C级”人数；根据树状图法求即可求出恰好选中“1男1女”的概率．本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、频数率分布表、条形统计图，解决本题的关键是准确求出概率．25.答案：解：反比例函数的图象经过点，，反比例函数．轴，，，，，轴，，，设直线BC的解析式为，则有，解得，直线BC的解析式为，，，．存在．如图，设BD交AC于设，，四边形ACED是平行四边形，，且，∽，，即，解得，．解析：利用待定系数法即可解决问题．求出直线BC的解析式，可得E点坐标，求出DE，BD即可解决问题．设，由平行四边形的性质可得∽，利用相似三角形的性质可求得a的值，则可求得B点坐标．本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、方程思想等知识．在中用待定系数法，在中由平行四边形的性质得到相似三角形，从而得到关于a的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．26.答案：解析：解：是等边三角形，，，由旋转知，，，，≌，，故答案为；由知，≌，，，是等边三角形，，，故答案为；在中，，，，由旋转知，，，，≌，，，；由知，≌，，在中，，，，，，，，点A，D，C，E在以DE为直径的圆上，与DE交于点F，是直径DE上的一点到点A的距离，即：当时，AF最小，，，，，四边形ADCE是矩形，最小．先判断出，即可判断出≌，即可得出结论；由得，≌，得出，即可得出结论；先判断出，再同的方法判断出≌，即可得出结论；先判断出点A，D，C，E四点共圆，再由AF最小判断出四边形ADCE是矩形，即可得出结论．此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，矩形的判定，判断出是解本题的关键．27.答案：解：抛物线过、两点，，得，，抛物线的对称轴是直线，即该抛物线的解析式为，对称轴是直线；分两种情况：设点D的坐标为第一种情况是：时，则，点B的坐标为，抛物线交y轴于点C，点C的坐标为，，解得，，点D的坐标为；第二种情况：当时，，即，解得，，点D的坐标为，综上所述，符合条件的点D的坐标为，；因为点C的坐标为，点B的坐标为，设直线BC的解析式为，则，得，即直线BC的解析式为，如右图所示，作点E关于直线BC的对称点交BC于点F，过点F作轴于点N，设，，则，，，，∽，，即，解得，，又，，∽，，即，解得，，点F的横坐标为，把代入直线BC的解析式，得，点F的坐标为，关于直线BC对称，点F为的中点，，解得，，点在抛物线上，，解得，，，点，点E在点C下方，点E的坐标为解析：根据抛物线过、两点，可以求得该抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式即可得到该抛物线的对称轴；根据题意，可知分两种情况，然后利用勾股定理可求得点D的坐标；根据题意和折叠的性质，作出点E关于BC的对称点，再根据二次函数的解析式，可以求得的坐标，再根据直线BC和E、的关系可以求得点E的坐标．本题是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、折叠变化，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．。
2020年山东省济南市历城区中考数学一模试卷
2020年山东省济南市历城区中考数学一模试卷一、选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．（4分）2019的倒数等于()A．12019B．2019-C．12019-D．20192．（4分）下列几何体是由5个相同的小正方体搭成的，它的左视图是()A．B．C．D．3．（4分）港珠澳大桥2018年10月24日上午9时正式通车，这座大桥跨越怜仃洋，东接香港，西接广东珠海和澳门，总长约55000m，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥，数据55000用科学记数法表示为()A．55.510⨯B．45510⨯C．65.510⨯D．45.510⨯4．（4分）如图，直线//AB CD，CE平分ACD∠，交AB于点E，20ACE∠=︒，点F在AC 的延长线上，则BAF∠的度数为()A．20︒B．30︒C．40︒D．50︒5．（4分）实数m、n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是()A．||1m…B．11m->C．0mn>D．10m+>6．（4分）下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是()A．B．C．D．7．（4分）化简22222x xy y yx y x y++---的结果是()A．xx y-B．yx y+C．xx y+D．yx y-8．（4分）2017年11月30日，河北省402爱心社的志愿者们走进正定五中，为品学兼优的家庭困难学生捐献爱心，共捐赠资金7000元．该资金由25名志愿者捐献，捐献统计情况如下表，则他们捐款金额的中位数和平均数分别是()金额/元100200300400500人数211543 A．200，200B．200，280C．300，300D．300，2809．（4分）下图中反比例函数kyx=与一次函数y kx k=-在同一直角坐标系中的大致图象是()A．B．C．D．10．（4分）如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30︒、45︒，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是()A．200米B．2003C．2203D．100(31)米11．（4分）如图，在ABC ∆中，6AB =，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转40︒后得到ADE ∆，点B 经过的路径为¶BD．则图中阴影部分的面积是( )A ．4πB ．43πC ．23πD ．条件不足，无法计算12．（4分）求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为直线1x =-，与x 轴的交点为1(x ，0)、2(x ，0)，其中101x <<，有下列结论：①0abc >；②232x -<<-；③421a b c -+<-；④2(1)a b am bm m ->+≠-；⑤13a >；其中，正确的结论有( )A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 13．（4分）分解因式：2x xy -= ．14．（4分）在一个有15万人的小镇，随机调查了1000人，其中200人会在日常生活中进行垃圾分类，那么在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是 ． 15．（4分）若一个多边形的内角和与外角和之和是900︒，则该多边形的边数是 ． 16．（4分）若28a b +=，3418a b +=，则a b +的值为 ．17．（4分）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离y （米)与时间t （分钟）之间的函数关系如图所示根据图象信息知，点A的坐标是 ．18．（4分）如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，9BC =，将矩形纸片ABCD 折叠，使C 与点A 重合，则折痕EF 的长为 ．三．解答题（共9小题，满分78分）19．（6分）计算：101|12cos30|12()(5)2π--︒+----20．（6分）解不等式组1(1)1212x x ⎧-⎪⎨⎪-<⎩…，并写出该不等式组的所有整数解．21．（6分）如图，AB DE =，BF EC =，B E ∠=∠，求证：//AC DF ．22．（8分）在某体育用品商店，购买3根跳绳和6个毽子共用72元，购买5根跳绳和20个毽子共用160元．（1）跳绳、毽子的单价各是多少元？（2）该店在“五g 四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日。
2020年山东省济南市历下区中考数学一模试卷(有答案解析)
2.4.5.6.7.8.9. A. 2020 B.列立体图形中，俯视图与主视图不同的是C. D.D.山东省第十二批援助湖北医疗队从济南遥墙机场集结，乘坐包机启程出征．千余勇士赴荆楚，万难不辞战疫，山东已累计派出十二批医疗队1797 人援助湖北，数字1797 用科学记数法表示为A. B.如图，已知，是C.，BC 平分C.A. B.有理数a，b 在数轴上表示如图所示，则下列各式中正确的是A. B. C.下面在线学习平台的图标中，是轴对称图形的A.C.B. C.D.D.成绩分80 85 90 95人数人 1 3 4 2已知反比例函数图象如图所示，下列说法正确的是A.B. y 随x 的增大而减小C. 若矩形OABC 面积为2，则2020 年山东省济南市历下区中考数学一模试卷、选择题（本大题共12小题，共48.0 分）2020 的相反数是1.3.列运算正确的是D.D. D. 则的度数以下是某校九年级10 名同学参加学校演讲比赛的统计表．则这组数据的众数和中位数分别为A. 85，B. 85，85C. 85，90D. 90，90D. 若图象上两个点的坐标分别是 M ， ，则10. 图 1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图 2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点 A 与 B 之间的距离为 10cm ，双翼的边缘 ，且与闸机侧立面夹角 当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为12. 如图，在二次函数 的图象中，小明同学观察得 出了下面几条信息： ； ； ； ； 关于 x 的一元二次方程 无实数 很，共中信息错误的个数为A. 4B. 3C. 2 二、填空题（本大题共 6 小题，共 24.0分）13. 分解因式： _____________________________ ．14. 转盘中 6 个扇形的面积相等， 任意转动转盘一次， 落在扇形中的数为 3 的倍数的概率是 ____________________________________ ．15. 如果一个正多边形的一个外角是 ，那么这个正多边形的边数是16. 若代数式 的值是 2，则 ______________________ ．A. B. C. 64 cm D. 54cm11. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为 ， AB 长为 25cm ，贴纸部分的宽 BD 为 15cm ，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为A. B. C. D.17. A ，B 两地相距 100千米，甲、乙两人骑车同时分别从 A ，B 两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶， 则他们各自到 A 地的距离 千米 都是骑车时间 时 的一次函数． 如图，直线 、 分别表示甲、乙骑车 S 与 t 之间关系的图象．结合图象提供的信息，经过 ______________________ 小时两人相遇．21. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E ，F 分别是对角线 BD 上的两点，且 求证： ．18. 如图 ABCD 是一个矩形桌子，一小球从 P 撞击到 Q ，反射到 R ， 又从 R 反射到 S ，从 S 反射回原处 P ，入射角与反射角相等 例如 等 ，已知 ， ， 则小 球所走的路径的长为 ．三、解答题（本大题共 9 小题，共 78.0分）19. 计算：，并写出它的所有整数解．20. 解不等式组：22.为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂购进甲、乙两种型号的机器人用来进行垃圾分类，甲型机器人比乙型机器人每小时多分20kg，甲型机器人分类800kg 垃圾所用的时间与乙型机器人分类600kg 垃圾所用的时间相等．两种机器人每小时分别分类多少垃圾？现在两种机器人共同分类700kg垃圾，工作2小时后甲型机器人因机器维修退出，求甲型机器人退出后乙型机器人还需工作多长时间才能完成？23.如图，已知AB是的直径，DC与相切于点C，交AB的延长线于点D．求证：；若，24.钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答年新型冠状病毒防治全国统一考试全国卷试卷满分100 分，社区管理员随机从有400人的某小区抽取40名人员的答卷成绩，并对他们的成绩单位：分统计如下：根据数据绘制了如下的表格和统计图：根据上面提供的信息，回答下列问题：统计表中的 _____________ ，___________ ；请补全条形统计图；根据抽样调查结果，请估计该小区答题成绩为“ C 级”的有多少人？该社区有2 名男管理员和2 名女管理员，现从中随机挑选2名管理员参加“社区防控”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“ 1 男1女”的概率．25.如图，已知反比例函数的图象经过点，过作轴于点点B 为反比例函数图象上的一动点，过点作轴于点D，连接直线BC 与x 轴的负半轴交于点E．求反比例函数的表达式；若，求的面积；是否存在点B，使得四边形ACED 为平行四边形？若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．26.如图，在中，，，D为BC 边上一点不与点B，C重合，将线段AD 绕点A 逆时针旋转得到AE，连接EC，则：的度数是 ________ ；线段AC，CD，CE 之间的数量关系是 ____________ ．如图，在中，，，D 为BC 边上一点不与点B，C 重合，将线段AD 绕点A逆时针旋转得到AE，连接EC，请判断线段AC，CD，CE 之间的数量关系，并说明理由；如图，AC与DE 交于点F，在条件下，若，求AF的最小值．27.图，抛物线过、两点，交y 轴于点C，连接BC．求该抛物线的表达式和对称轴；点D 是抛物线对称轴上一动点，当是以BC 为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D 的坐标；如图2，将抛物线在BC 上方的图象沿答案与解析1. 答案： B解析： 解： 2020 的相反数是： ．故选： B ．直接利用相反数的定义得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2. 答案： B解析： 解： 俯视图与主视图都是正方形，故选项A 不合题意；B. 俯视图是圆，主视图是长方形，故选项 B 合题意；C. 俯视图与主视图都是圆，故选项 C 不合题意；D.俯视图和主视图是长方形；故选项 D 不符合题意；故选： B ． 从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图． 此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．3. 答案： A解析： 解： ． 故选： A ．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， n 为整数．确定 n 的值时，要看把原 数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时， n 是正数；当原数的绝对值 时，n 是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中， n为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．4. 答案： D解析： 解： ， ，，平分 ，，，，故选： D ．根据平行线的性质得出 ，根据角平分线定义求出 ，根据平行线的性质得出 ，代入求出即可． 本题考查了平行线的性质，角平分线定义的应用，能根据平行线的性质得出 是解此题 的关键．5. 答案： B故选： B ． 根据数轴上点的位置确定出 a 与 b 的正负，以及绝对值的大小，再利用加法、乘法运算法则判断即 可．此题考查了有理数的乘法， 数轴，绝对值， 以及有理数的加法， 熟练掌握运算法则是解本题的关键．6. 答案： D解析： 解：由数轴上的位置得：，， ，且 ，解析：解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．7.答案：C解析：解：A、与x不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、，故此选项符合题意；D、原式，故此选项不符合题意，故选：C．根据多项式乘多项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，平方差公式等知识解答即可．此题考查了多项式乘多项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及平方差公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．8.答案：D解析：解：在这一组数据中90 是出现次数最多的，故众数是90．而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是90、90，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是90．故选：D．先将数据从大到小从新排列，然后根据众数及中位数的定义求解即可．本题主要考查众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．9.答案：C解析：解：A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则，所以A选项错误；B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误；C、矩形OABC 面积为2，则，而，所以，所以C 选项正确；D、图象上两个点的坐标分别是M ，，则，所以D 选项错误．故选：C．根据反比例函数的性质对A、B、D 进行判断；根据反比例函数系数k的几何意义对C 进行判断．本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值10.答案： C解析： 解：如图所示，过 A 作 于 E ，过 B 作于 F ，则中， ， 同理可得， ， 又 点 A 与 B 之间的距离为10cm ，通过闸机的物体的最大宽度为 ， 故选： C ．过 A 作 于 E ，过 B 作 于F ，则可得 AE 和 BF 的长，依据端点 A 与 B 之间的距离为 10cm ，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 本题主要考查了特殊角的三角函数值， 特殊角的三角函数值应用广泛， 一是它可以当作数进行运算， 二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．11.答案： B解析： 解： ， ，，，故选： B ．纸扇两面贴纸， 故贴纸部分的面积等于扇形 ABC 减去小扇形 ADE 的面积的 2倍，已知圆心角的度数 为 ，扇形的半径为 25cm 和 10cm ，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积． 本题主要考查扇形面积的计算的应用，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式，此题难度一 般．12.答案： D解析： 解： 根据图象可知： ， ，故 正确； 由图象可知： ， ， 由对称轴可知： ，，，故 错误；由图象可知： ，，当 时， ，，，故 正确；由图象可知：当 时， ，，，，故 正确；也考查了反比例函数的性质．由于二次函数 的最大值为 1，关于 x 的一元二次方程 无实数很，故 正确；故选： D ．根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题 型． 解析：解： ． 故答案为： ．直接利用完全平方公式进而分解因式得出答案． 此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．14.答案：解析： 解：在这 6个数字中，为 3的倍数的有 3和 6，共 2 个，任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数为3 的倍数的概率是 ，故答案为： ．直接利用概率公式计算可得答案．本题主要考查概率公式， 解题的关键是掌握随机事件 A 的概率事件 A 可能出现的结果数 所 有可能出现的结果数． 15.答案： 6解析： 解：这个正多边形的边数： ．故答案为： 6． 根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数 ，计算即可求解． 本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．16.答案： 1解析： 解：根据题意得： ，去分母得： ，移项合并得： ，13.答案：解得：，经检验是分式方程的解，故答案为：1 根据题意列出方程，求出方程的解即可得到a 的值．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．17.答案：解析：解：设的关系式为：，则，解得：，故；设，将，，则，解得：，，故的关系式为；，即他们经过小时两人相遇．故答案为：利用待定系数法求出直线、的解析式，利用两函数相等进而求出相遇的时间．本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求一次函数的解析式，并注意利用数形结合的思想解决问题．18.答案：30解析：解：入射角与反射角相等，，，，，四边形ABCD 是矩形，，，，，，同理，四边形SPQR 是平行四边形，，，在和中，≌，，，四边形ABCD 是矩形，，，，，，∽，，，，，，在中，由勾股定理得：，同理，，故答案为：30．证明四边形SPQR 是平行四边形，推出，，证三角形全等得出，，根据相似求出DS，根据勾股定理求出即RS，RQ，PQ，SP即可．本题考查了相似三角形性质和判定，矩形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度．19.答案：解：解析：首先计算乘方，然后计算乘法、除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．20.答案：解：，不等式组的解集是．则整数解是，0，1．解析：首先解每个不等式，把解集在数轴上表示出来即可得到不等式组的解集，然后确定解集中的整数即可．本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：求不等式组中每个不等式的解集；利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．21. 答案： 证明： 四边形 ABCD 是平行四边形， ，．．在 和 中，，≌．．解析： 根据已知条件利用 SAS 来判定 ≌ ，从而得出此题考查了学生对平行四边形的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况．连接 OC ． 证明： 与 相切，， 是 的直径，，，，；由 可得， ；，∽，22.答案： 解： 设甲型机器人每小时分类 xkg 垃圾．则乙型机器人每小时分类垃圾， 由题意得：解得： ， 检验：当 时， ， 所以，原分式方程的解为 ，，答：甲型机器人每小时分类 80kg 垃圾．则乙型机器人每小时分类 60kg 垃圾， 小时，答：甲型机器人退出后乙型机器人还需要工作 7 小时．解析： 设甲型机器人每小时分类 xkg 垃圾．则乙型机器人每小时分类 方程即可求出答案．根据条件列出算式即可求出答案． 本题考查分式方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．23. 答案： 解： 如图，垃圾，根据列出，即，，的半径为．解析：根据直径所对的圆周角为直角以及圆的切线垂直于经过切点的半径，可得，，于是，又，所以，因此；易证∽ ，由，通过相似比求出DA 的长，然后求出AB，从而求出的半径．本题考查了切线的性质，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．24.答案：4 14解析：解：由题意可知：B 等级的频数，等级的频率为：，D 等级的频数为4 ，．故答案为：14、、4、；如图即为补全的条形统计图；名答：估计该小区答题成绩为“ C级”的有120 人；如图，根据树状图可知：所有可能的结果共有12 种，恰好选中“ 1男1女”的有8种，恰好选中“ 1男1女”的概率为．根据题中数据即可求得a、b的值；根据中表格数据即可补全条形统计图；根据结果，即可用样本估总体，可得该小区答题成绩为“ C 级”人数；根据树状图法求即可求出恰好选中“ 1 男1女”的概率．本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、频数率分布表、条形统计图，解决本题的关键是准确求出概率．25.答案：解：反比例函数的图象经过点，，反比例函数．轴，，，，，轴，存在．如图，设BD 交AC 于设，，四边形ACED 是平行四边形，，且，∽，，解得，设直线BC 的解析式为，则有解得直线BC 的解析式为，，．解析：利用待定系数法即可解决问题．求出直线BC的解析式，可得E点坐标，求出DE，BD 即可解决问题．设，由平行四边形的性质可得∽ ，利用相似三角形的性质可求得a 的值，则可求得B 点坐标．本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、方程思想等知识．在中用待定系数法，在中由平行四边形的性质得到相似三角形，从而得到关于a 的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．26.答案：解析：解：是等边三角形，，，由旋转知，，，，≌，，故答案为；由知，≌ ，，，是等边三角形，，，故答案为；在中，，，，由旋转知，，，，≌，由知，≌ ，，在中，，，，，，，，点A，D，C，E在以DE 为直径的圆上，与DE 交于点F ，是直径DE 上的一点到点A 的距离，即：当时，AF 最小，，，，，四边形ADCE 是矩形，最小．先判断出，即可判断出≌ ，即可得出结论；由得，≌ ，得出，即可得出结论；先判断出，再同的方法判断出≌ ，即可得出结论；先判断出点A，D，C，E四点共圆，再由AF最小判断出四边形ADCE 是矩形，即可得出结论．此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，矩形的判定，判断出是解本题的关键．27.答案：解：抛物线过、两点，，得，，得，，抛物线的对称轴是直线，即该抛物线的解析式为，对称轴是直线；分两种情况：设点D 的坐标为第一种情况是：时，则，点B 的坐标为，抛物线交y 轴于点C ，点C 的坐标为，，解得， ，点 D 的坐标为 ； 第二种情况：当 时，，即， 解得， ，点 D 的坐标为 ， 综上所述，符合条件的点 D 的坐标为 ， ；因为点 C 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ，设直线 BC 的解析式为 ， 则 ，得 ， 即直线 BC 的解析式为 ， 如右图所示， 作点 E 关于直线 BC 的对称点 交 BC 于点 F ，过点 F 作 轴于点 N ，设，， 则，，，，∽，，，又 ， ，∽，解得，点 F 的横坐标为把 代入直线 BC 的解析式，得即解得，点 F 的坐标为关于直线BC 对称，点F 为的中点，解得，点在抛物线上，，解得，，，点，点E 在点C 下方，点E 的坐标为解析：根据抛物线过、两点，可以求得该抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式即可得到该抛物线的对称轴；根据题意，可知分两种情况，然后利用勾股定理可求得点D 的坐标；根据题意和折叠的性质，作出点E 关于BC 的对称点，再根据二次函数的解析式，可以求得的坐标，再根据直线BC和E、的关系可以求得点E的坐标．本题是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、折叠变化，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．。
2024年山东省济南市历下区中考数学一模试卷(含解析)
2024年山东省济南市历下区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）2024的绝对值是（ ）A．﹣2024B．2024C．D．2．（4分）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）A．B．C．D．3．（4分）海水淡化是解决全球水资源危机的战略手段，根据《海水淡化利用发展行动计划（2021﹣2025年）》，到2025年我国海水淡化总规模将达到2900000吨/日以上．数字2900000用科学记数法表示为（ ）A．0.29×107B．2.9×106C．29×105D．290×104 4．（4分）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1＝56°，则∠2的度数是（ ）A．26°B．30°C．36°D．56°5．（4分）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．6．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．若a+b＝0，则下列结论中正确的是（ ）A．|a|＜|b|B．2a＞2b C．ab＞0D．a＜﹣17．（4分）有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有“前”、“程”、“朤（lǎng）”、“朤（lǎng）”四个汉字，将这四张卡片背面朝上洗匀，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人抽到汉字可以组成“朤朤”的概率是（ ）A．B．C．D．8．（4分）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为点O，点C，D分别在OA，OB上，已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘的长与内边缘的长的差为（ ）A．B．C．D．9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，连接AD，以下结论不正确的是（ ）A．∠BDA＝72°B．BD＝2AE C．D．CA2＝CD•CB 10．（4分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（1，3）与点（，2）都是函数y＝2x+1图象的“3阶方点”．若y关于x的二次函数y＝（x﹣n）2+n2﹣6的图象存在“n阶方点”，则n的取值范围是（ ）A．B．C．2≤n≤3D．1≤n≤3二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11．（4分）分解因式：xy﹣y2＝ ．12．（4分）若分式有意义，则x的值可以是 ．（写出一个即可）13．（4分）如图，矩形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，已知AB长为6，BC长为8．一小球在矩形ABCD内自由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在黑色区域的概率为 ．（结果保留π）14．（4分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作，以BC为直径作半圆，则阴影部分的面积为 ．15．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，点D为AC的中点，过点B作EB⊥BD，连接EC，若EB＝EC，连接ED交BC于点F，则EF＝ cm．16．（4分）如图，已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，点E为边BC上一点，连接DE，以DE为一边在与点C的同侧作正方形DEFG，连接AF．当点E在边BC上运动时，AF的最小值是 ．三、解答题（本大题共10个小题，共86分，请写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（6分）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．18．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．19．（6分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE＝CF．20．（8分）为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动，首先将成绩分为以下六组（满分100分，实际得分用x表示）：A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x＜100随机抽取n名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：已知笔试成绩中，D组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89．请根据以上信息，完成下列问题：（1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是 °；（2）n＝ ，并补全图2中的频数分布直方图；（3）在笔试阶段中，n名学生成绩的中位数是 分；（4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照2：3的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由．笔试展演甲9289乙909521．（8分）数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下：活动课题遮阳篷前挡板的设计问题背景我们所在的社区服务中心在境外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够，现在为使房前的纳凉区域增加到2.76m 宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度BC 的长．测量数据抽象模型我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷AB 长为4m ，其与墙面的夹角∠BAD ＝70°，其靠墙端离地高AD为3.5m ．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角∠CFE ）最小为60°，若假设此时房前恰好有2.76m 宽的阴影DF ，如图3，求出BC 的长即可．解决思路经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题：（1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端B 到墙面AD 的距离；（2）继续构造直角三角形，求出∠CFE为60°时，BC的长度．运算过程…该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940，cos70°≈0.342，tan70°≈2.747，≈1.732）22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，点E是的中点，连接BE，AE，过点A的切线与BE的延长线交于点C，弦BE，AD相交于点F．（1）求证：∠ADE＝∠CAE；（2）若∠ADE＝30°，AE＝，求BF的长．23．（10分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元．（1）求A，B两种跳绳的单价；（2）如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B，C在x轴上，顶点A在y轴上，AB＝AC．反比例函数的图象与边AC交于点E （1，4）和点F（2，n）．点M为边AB上的动点，过点M作直线MN∥x轴，与反比例函数的图象交于点N．连接OE，OF，OM和ON．（1）求反比例函数的表达式和点A的坐标；（2）求△OEF的面积；（3）求△OMN面积的最大值．25．（12分）【问题情境】如图1，在四边形ABCD中，AD＝DC＝4cm，∠ADC＝60°，AB＝BC，点E 是线段AB上一动点，连接DE．将线段DE绕点D逆时针旋转30°，且长度变为原来的m倍，得到线段DF，作直线CF交直线AB于点H．数学兴趣小组着手研究m为何值时，HF+mBE的值是定值．【探究实践】老师引导同学们可以先通过边、角的特殊化，发现m的取值与HF+mBE为定值的关系，再探究图1中的问题，这体现了从特殊到一般的数学思想．经过思考和讨论，小明、小华分享了自己的发现．（1）如图2，小明发现：“当∠DAB＝90°，m＝时，点H与点A恰好重合，的值是定值”．小华给出了解题思路，连接BD，易证△DEB∽△DFC，得到CF与BE的数量关系是 ，的值是 ．（2）如图3，小华发现：“当AD＝AB，m＝时，的值是定值”．请判断小明的结论是否正确，若正确，请求出此定值，若不正确，请说明理由．【拓展应用】（3）如图1，小聪对比小明和小华的发现，经过进一步思考发现：“连接DB，只要确定AB的长，就能求出m的值，使得HF+mBE的值是定值”，老师肯定了小聪结论的准确性．若，请直接写出m的值及HF+mBE的定值．26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线M：y＝ax2+bx+c经过点A，且顶点在直线AB上．（1）如图，当抛物线的顶点在点B时，求抛物线M的表达式；（2）在（1）的条件下，抛物线M上是否存在点C，满足∠ABC＝∠ABO．若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）定义抛物线N：y＝bx2+ax+c为抛物线M的换系抛物线，点P（t，p），点Q（t+3，q）在抛物线N上，若对于2≤t≤3，都有p＜q＜1，求a的取值范围．2024年山东省济南市历下区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）2024的绝对值是（ ）A．﹣2024B．2024C．D．【分析】依据题意，根据绝对值的意义进行计算可以得解．【解答】解：由题意得，|2024|＝2024．故选：B．2．（4分）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）A．B．C．D．【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．【解答】解：俯视图如选项C所示，故选：C．3．（4分）海水淡化是解决全球水资源危机的战略手段，根据《海水淡化利用发展行动计划（2021﹣2025年）》，到2025年我国海水淡化总规模将达到2900000吨/日以上．数字2900000用科学记数法表示为（ ）A．0.29×107B．2.9×106C．29×105D．290×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：2900000＝2.9×106．故选：B．4．（4分）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1＝56°，则∠2的度数是（ ）A．26°B．30°C．36°D．56°【分析】由平行线的性质可得∠ACD＝∠1＝56°，再由三角形的外角性质即可求解．【解答】解：如图，由题意得：AB∥CD，∴∠ACD＝∠1＝56°，∵△ACD是△CDE的外角，∠E＝30°，∴∠2＝∠ACD﹣∠E＝26°．故选：A．5．（4分）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可．【解答】解：A．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．6．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．若a+b＝0，则下列结论中正确的是（ ）A．|a|＜|b|B．2a＞2b C．ab＞0D．a＜﹣1【分析】由题可知，a＝﹣b，从数轴上可知，a＜0＜1＜b，据此逐一判断各选项．【解答】解：由题可知，a+b＝0，∴a＝﹣b，从数轴上可知，a＜0＜1＜b，A、∵a＝﹣b，∴|a|＝|b|，故选项A不符合题意；B、∵a＜b，∴2a＜2b，故选项B不符合题意；C、∵a＜0＜b，∴ab＜0，故选项C不符合题意；D、∵a＝﹣b，a＜0＜1＜b，∴﹣b＜﹣1，∴a＜﹣1，故选项D符合题意；故选：D．7．（4分）有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有“前”、“程”、“朤（lǎng）”、“朤（lǎng）”四个汉字，将这四张卡片背面朝上洗匀，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人抽到汉字可以组成“朤朤”的概率是（ ）A．B．C．D．【分析】利用列表法或树状图法解答即可．【解答】解：画树状图如下：一共有16种等可能的情况，其中两人抽到汉字可以组成“朤朤”有4中可能的结果，∴P（两人抽到汉字可以组成“朤朤”）＝＝，故选：B．8．（4分）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为点O，点C，D分别在OA，OB上，已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘的长与内边缘的长的差为（ ）A．B．C．D．【分析】根据线段的和差得到OA＝OC+AC，然后根据弧长公式即可得到结论．【解答】解：∵OC＝12m，AC＝4m，∴OA＝OC+AC＝12+4＝16（m），∵∠AOB＝120°，∴弯道外边缘的长为＝（m），内边缘的长为＝＝（m），∴弯道外边缘的长与内边缘的长的差为＝π（m），故选：B．9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，连接AD，以下结论不正确的是（ ）A．∠BDA＝72°B．BD＝2AE C．D．CA2＝CD•CB 【分析】先由AB＝AC，∠BAC＝108°得∠B＝∠C＝36°，由作图可知MN 为AC的垂直平分线，则AD＝CD，进而得∠DAC＝∠C＝36°，由此可求出∠BAD的度数，进而可对选项A进行判断；由MN为AC的垂直平分线得AC＝2AE，则AB＝2AE，证∠BAD＝∠BDA＝72°得AB＝BD，由此可对选项B进行判断；设CD＝x，CB＝a，则BD＝CB﹣CD＝a﹣x，AC＝AB＝BC＝a﹣x，证△CDA和△CAB相似得CD：CA＝CA：CB，即x：（a﹣x）＝（a﹣x）：a，整理得x2﹣3ax+a2＝0，由此解出，则，由此可对选项C 进行判断；由△CDA∽△CAB得CD：CA＝CA：CB，由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝1/2（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣108°）＝36°，由作图可知：MN为AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝36°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝108°﹣36°＝72°，故选项A正确，不符合题意；∵MN为AC的垂直平分线，∴AC＝2AE，∵AB＝AC，∴AB＝2AE，∵∠DAC＝∠C＝36°，∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝72°，∵∠BAD＝72°，∴∠BAD＝∠BDA＝72°，∴AB＝BD，∴BD＝2AE，故选项B正确，不符合题意；设CD＝x，CB＝a，则x＜a则BD＝CB﹣CD＝a﹣x，∴AC＝AB＝BC＝a﹣x，∵∠DAC＝∠B＝36°，∠DCA＝∠ACB，∴△CDA∽△CAB，∴CD：CA＝CA：CB，即x：（a﹣x）＝（a﹣x）：a，整理得：x2﹣3ax+a2＝0，解得：x1＝，x2＝（不合题意，舍去），∴，∴，即，故选项C不正确，符合题意；∵△CDA∽△CAB，∴CD：CA＝CA：CB，∴CA2＝CD•CB，故选项D正确，不符合题意．故选：C．10．（4分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点（1，3）与点（，2）都是函数y ＝2x +1图象的“3阶方点”．若y 关于x 的二次函数y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6的图象存在“n 阶方点”，则n 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．2≤n ≤3D ．1≤n ≤3【分析】由二次函数解析式可知其顶点坐标在抛物线y ＝x 2﹣6上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点 （n ，﹣n ）和点（﹣n ，n ）时为临界情况，求出此时n 的值，由图象可得n 的取值范围．【解答】解：∵二次函数y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6的顶点坐标为（n ，n 2﹣6），∴二次函数n 2﹣6的顶点在抛物线y ＝x 2﹣6上移动，∵y 关于x 的二次函数y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6的图象存在“n 阶方点”，∴二次函数二次函数y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6的图象与以顶点坐标为（n ，n ），（n ，﹣n ），（﹣n ，n ），（﹣n ，﹣n ）的正方形有交点，如图，当y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6过点（﹣n ，n ） 时，将（﹣n ，n ）代入y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6得：4n 2+n 2﹣6＝n ，解得：n ＝或n ＝﹣1（舍去），当y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6过点（n ，﹣n ） 时，将（﹣n ，n ）代入y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6得：4n 2+n 2﹣6＝﹣n ，解得：n＝1，n＝﹣（舍去），由图可知，由图象可得n的取值范围是：1．故选：A．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11．（4分）分解因式：xy﹣y2＝ y（x﹣y） ．【分析】直接提取公因式y，进而得出答案．【解答】解：xy﹣y2＝y（x﹣y）．故答案为：y（x﹣y）．12．（4分）若分式有意义，则x的值可以是 2（答案不唯一） ．（写出一个即可）【分析】根据分母不为0可得x+1≠0，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，∴x≠﹣1，∴x的值可以是2，故答案为：2（答案不唯一）．13．（4分）如图，矩形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，已知AB长为6，BC长为8．一小球在矩形ABCD内自由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在黑色区域的概率为 ．（结果保留π）【分析】根据几何概率的计算方法解答即可．【解答】解：由题意，可知：黑色区域的面积＝圆面积的一半，∴P（最终停留在黑色区域）＝＝．故答案为：．14．（4分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作，以BC为直径作半圆，则阴影部分的面积为 8 ．【分析】由图可知：图案的面积＝半圆CBF的面积+△ABC的面积﹣扇形ABC的面积，可根据各自的面积计算方法求出图案的面积．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝90°，∴BC＝＝4，∴S扇形ACB＝＝4π，S半圆CBF＝π×（2）2＝4π，S△ABC＝×4×4＝8；所以阴影面积＝S半圆CBF+S△ABC﹣S扇形ACB＝4π+8﹣4π＝8，故答案为：8．15．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，点D为AC的中点，过点B作EB⊥BD，连接EC，若EB＝EC，连接ED交BC于点F，则EF＝ cm．【分析】根据勾股定理得出BC＝8cm，进而利用直角三角形的性质得出BD＝5cm，进而利用勾股定理得出BE，进而解答即可．【解答】解；∵∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，∴BC＝（cm），∵点D为AC的中点，∴BD＝AC＝5cm，∵EB＝EC，∴BF＝BC＝4cm，DF＝（cm），设EF＝x，在Rt△EBF中，BE2＝EF2+BF2，∵EB⊥BD，在Rt△BED中，BE2＝ED2﹣BD2，即x2+42＝（x+3）2﹣52，解得：x＝，∴EF＝cm，故答案为：．16．（4分）如图，已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，点E为边BC上一点，连接DE，以DE为一边在与点C的同侧作正方形DEFG，连接AF．当点E在边BC上运动时，AF的最小值是 10 ．【分析】过点E作EH⊥AD于点H，过点F作FK⊥BE，交BE的延长线于点K，交AB的延长线于点M，利用矩形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到KF＝EH＝6，KE＝HD，设AH＝x，则HD＝EK＝8﹣x，MH＝x，利用勾股定理，配方法以及非负数的意义解答即可得出结论．【解答】解：过点E作EH⊥AD于点H，过点F作FK⊥BE，交BE的延长线于点K，交AB的延长线于点M，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠C＝∠ADC＝90°，∵EH⊥AD，∴四边形CDHE为矩形，∴EH＝CD＝6，∵四边形DEFG为正方形，∴EF＝ED，∠FED＝90°．∴∠KEF+∠HED＝90°．∵FK⊥BE，∴∠KFE+∠KEF＝90°，∴∠KFE＝∠HED．在△KFE和△HED中，，∴△KFE≌△HED（AAS），∴KF＝EH＝6，KE＝HD．∵∠BAH＝∠AHE＝∠MKH＝90°，∴四边形AHKM为矩形，∴AH＝MK，AM＝HK，∠M＝90°，设AH＝x，则HD＝EK＝8﹣x，MH＝x，∴AM＝HK＝HE+EK＝14﹣x，MF＝KF+MK＝6+x，在Rt△AFM中，∵AM2+MF2＝AF2，∴AF＝＝，∵2（x﹣4）2≥0，∴当x＝4时，AF取得最小值为＝10．∴AF的最小值是10．故答案为：10．三、解答题（本大题共10个小题，共86分，请写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（6分）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2﹣1+3﹣4×1＝2﹣1+3﹣4＝0．18．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得出答案．【解答】解：解不等式3（x+2）＞x+4得x＞﹣1，解不等式得，x＜3，∴不等式组的解集为﹣1＜x＜3．∴不等式组的整数解为0，1，2．19．（6分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE＝CF．【分析】要证BE＝CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，则BO＝CO．∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO＝∠CFO＝90°．又∵∠BOE＝∠COF，∴△BOE≌△COF．∴BE＝CF．20．（8分）为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动，首先将成绩分为以下六组（满分100分，实际得分用x表示）：A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x＜100随机抽取n名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：已知笔试成绩中，D组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89．请根据以上信息，完成下列问题：（1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是 54 °；（2）n＝ 20 ，并补全图2中的频数分布直方图；（3）在笔试阶段中，n名学生成绩的中位数是 85.5 分；（4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照2：3的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由．笔试展演甲9289乙9095【分析】（1）根据E组的人数所占的百分比进行计算即可；（2）由笔试成绩D组的人数及所占的百分比可得n的值，即可补全图2中的频数分布直方图；（3）根据中位数的定义即可求解；（4）根据加权平均数的计算方法即可得出答案．【解答】解：（1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是360°×（1﹣5%﹣5%﹣20%﹣45%﹣10%）＝54°，故答案为：54；（2）n＝9÷45%＝20，展演成绩中B：75≤x＜80的人数为20﹣2﹣6﹣4﹣3﹣1＝4，补全图2中的频数分布直方图：故答案为：20；（2）将抽取的20名学生的笔试成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝85.5，故答案为：85.5；（3）乙同学能获得“环保之星”称号，理由如下：甲同学的总成绩为＝90.2（分），乙同学的总成绩为＝93（分），93＞90.2，∴乙同学能获得“环保之星”称号．21．（8分）数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下：活动课题遮阳篷前挡板的设计问题背景我们所在的社区服务中心在境外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够，现在为使房前的纳凉区域增加到2.76m 宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度BC 的长．测量数据抽象模型我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷AB 长为4m ，其与墙面的夹角∠BAD ＝70°，其靠墙端离地高AD为3.5m ．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角∠CFE ）最小为60°，若假设此时房前恰好有2.76m 宽的阴影DF ，如图3，求出BC 的长即可．解决思路经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题：（1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端B到墙面AD的距离；（2）继续构造直角三角形，求出∠CFE为60°时，BC的长度．运算过程…该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940，cos70°≈0.342，tan70°≈2.747，≈1.732）【分析】过点B作BG⊥AD，垂足为G，延长BC交DE于点H，根据题意可得：BG＝DH，BH＝DG，BH⊥DE，然后在Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出AG和BG的长，从而求出DG和FH的长，最后在Rt△CFH中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：过点B作BG⊥AD，垂足为G，延长BC交DE于点H，由题意得：BG＝DH，BH＝DG，BH⊥DE，在Rt△ABG中，AB＝4m，∠BAG＝70°，∴AG＝AB•cos70°≈4×0.342＝1.368（m），BG＝AB•sin70°≈4×0.94＝3.76（m），∴BG＝DH＝3.76（m），∵AD＝3.5m，∴DG＝BH＝AD﹣AG＝3.5﹣1.368＝2.132（m），∵DF＝2.76m，∴FH＝DH﹣DF＝3.76﹣2.76＝1（m），在Rt△CFH中，∠CFH＝60°，∴CH＝FH•tan60°＝（m），∴BC＝BH﹣CH＝2.132﹣1.732＝0.40（m），∴BC的长度约为0.40m．22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，点E是的中点，连接BE，AE，过点A的切线与BE的延长线交于点C，弦BE，AD相交于点F．（1）求证：∠ADE＝∠CAE；（2）若∠ADE＝30°，AE＝，求BF的长．【分析】（1）根据切线的性质可得∠OAC＝90°，从而可得∠CAE+∠BAE＝90°，再利用直径所对的圆周角是直角可得∠AEB＝90°，从而可得∠BAE+∠B＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠B＝∠CAE，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠B＝∠D，从而利用等量代换可得∠D＝∠CAE，即可解答；（2）利用（1）的结论可得∠ADE＝∠B＝30°，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据已知易得＝，从而可得AE＝DE，然后利用等腰三角形的性质可得∠EAD＝∠D＝30°，最后在Rt△AEF 中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】（1）证明：∵AC与⊙O相切于点A，∴∠OAC＝90°，∴∠CAE+∠BAE＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠B＝90°，∴∠B＝∠CAE，∵∠B＝∠D，∴∠D＝∠CAE；（2）解：∵∠ADE＝30°，∴∠ADE＝∠B＝30°，在Rt△ABE中，AE＝，∴BE＝＝＝3，∵点E是的中点，∴＝，∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠D＝30°，在Rt△AEF中，EF＝AE•tan30°＝×＝1，∴BF＝BE﹣EF＝3﹣1＝2，∴BF的长为2．23．（10分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元．（1）求A，B两种跳绳的单价；（2）如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？【分析】（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；（2）设购进A种跳绳a件，总费用为w元，根据B种跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，求出a的取值，再根据一次函数的性质，即可得到答案．【解答】解：（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，，解得：，答：A种跳绳的单价为25元，B种跳绳的单价为30元；（2）设购进A种跳a件，总费用为w元，∵B种跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，则2a≤48﹣a，解得：a≤16，w＝25a+30（48﹣a）＝﹣5a+1440，∵﹣5＜0，∴w随a的增大而减小，当a＝16时，w有最小值为1360元，答：购买跳绳所需最少费用是1360元．24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B，C在x轴上，顶点A在y轴上，AB＝AC．反比例函数的图象与边AC交于点E （1，4）和点F（2，n）．点M为边AB上的动点，过点M作直线MN∥x轴，与反比例函数的图象交于点N．连接OE，OF，OM和ON．（1）求反比例函数的表达式和点A的坐标；（2）求△OEF的面积；（3）求△OMN面积的最大值．【分析】（1）根据反比例函数的图象与边AC交于点E（1，4）和点F（2，n），得到k＝1×4＝4，于是得到反比例函数的解析式为y＝，把F（2，n）代入y＝，得到F（2，2），设直线AC的解析式为y＝mx+n，解方程组得到直线AC的解析式为y＝﹣2x+6，于是得到A（0，6）；（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）根据等腰三角形的性质得到OB＝OC＝3，求得B（（﹣3，0），得到直线AB的解析式为y＝2x+6，设M（m，2m+6），N（n，），根据三角形的面积公式和二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象与边AC交于点E（1，4）和点F（2，n），∴k＝1×4＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，把F（2，n）代入y＝，得n＝＝2，∴F（2，2），设直线AC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x+6，当x＝0时，y＝6，∴A（0，6）；（2）△OEF的面积＝△AOF的面积﹣△AOE的面积＝＝3；（3）在y＝﹣2x+6中，当y＝0时，x＝3，∴C（3，0），∵AB＝AC，AO⊥BC，∴OB＝OC＝3，∴B（（﹣3，0），∴直线AB的解析式为y＝2x+6，设M（m，2m+6），N（n，），∵MN∥x轴，∴2m+6＝，∴n＝，∴△OMN面积＝（n﹣m）×（2m+6）＝（﹣m）（2m+6）＝﹣m2﹣3m+2＝﹣（m+）2+，∴△OMN面积的最大值为．25．（12分）【问题情境】如图1，在四边形ABCD中，AD＝DC＝4cm，∠ADC＝60°，AB＝BC，点E 是线段AB上一动点，连接DE．将线段DE绕点D逆时针旋转30°，且长度变为原来的m倍，得到线段DF，作直线CF交直线AB于点H．数学兴趣小组着手研究m为何值时，HF+mBE的值是定值．【探究实践】老师引导同学们可以先通过边、角的特殊化，发现m的取值与HF+mBE为定值的关系，再探究图1中的问题，这体现了从特殊到一般的数学思想．经过思考和讨论，小明、小华分享了自己的发现．（1）如图2，小明发现：“当∠DAB＝90°，m＝时，点H与点A恰好重合，的值是定值”．小华给出了解题思路，连接BD，易证△DEB∽△DFC，得到CF与BE的数量关系是 CF＝BE ，的值是 4 ．（2）如图3，小华发现：“当AD＝AB，m＝时，的值是定值”．请判断小明的结论是否正确，若正确，请求出此定值，若不正确，请说明理由．【拓展应用】（3）如图1，小聪对比小明和小华的发现，经过进一步思考发现：“连接DB，只要确定AB的长，就能求出m的值，使得HF+mBE的值是定值”，老师肯定了小聪结论的准确性．若，请直接写出m的值及HF+mBE的定值．【分析】（1）根据已知条件得出BD为AC垂直平分线，再根据相似三角形的判定得出△DFC∽△DEB，从而得出CF＝BE，最后根据HF+BE＝HF+CF＝HC＝AC，即可得出答案；（2）连接AC，BD交于O点，根据已知先得出四边形ABCD为菱形，得出∠BDC＝∠ADC＝30°，在等腰△DCB中，根据BD＝CD，得出＝，再根据DF＝DE，得出＝＝，再证出△DEB∽△DFC，得出HF+ BE＝HF+CF＝HC，∠HCB＝90°，在Rt△HCB中，再根据已知条件得出HC＝4，从而得出答案；（3）连接BD，交AC于O，交HC于，由（1）得出△ADC为等边三角形，得出AD＝CD＝AC＝4，再根据勾股定理得出OB和DO得的值，再根据△。
2020历下区一模数学答案
2020年九年级学业水平第一次模拟考试 数 学 试 题 参 考 答 案（2020．4）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 三.解答题（本大题共9个小题，共78分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本小题每题6分）计算：011|3|(π2020)2sin30()3--+--︒+．131232=+-⨯+ (4)分 6= ……………6分20. （本小题6分）解：解不等式①得：x ＜2 ……………2分 解不等式②得：x ≥－1 ……………4分 在同一数轴上表示不等式①②的解集 ，如图∴不等式组的解集是：-1≤x ＜2 ……………5分 ∴原不等式组的整数解为：-1，0，1 ……………6分21．（本小题6分） 证明：∵四边形ABCD 为平行四边形∴AB //CD ，AB ＝CD ……………2分 ∴∠ABD ＝∠CDB ……………3分 ∵BE ＝DF∴△ABE ≌△CDF ……………5分 ∴AE ＝CF ……………6分 22.（本小题8分）解：（1）设甲型机器人每小时分类kg x 垃圾．则乙型机器人每小时分类(20)kg x -垃圾，……………1分 由题意得：80060020x x =-， ……………3分 解得：80x =， ……………4分经检验，80x =是原分式方程的解 ……………5分 ∴8020=60kg -答：甲型机器人每小时分类80kg 垃圾．乙型机器人每小时分类60kg 垃圾. ……………6分 （2）[700(8060)2]607-+⨯÷=小时 ……………7分答：甲型机器人退出后乙型机器人还需要工作7小时． ……………8分 23.（本小题8分） 证明：（1）连接O C. ……………1分 ∵AB 是O e 的直径∴∠ACB ＝90° ……………2分 即∠ACO ＋∠BOC ＝90° ∵DC 与O e 相切于点C ∴OC ⊥CD 即∠BCD ＋∠BOC ＝90°∴∠ACO ＝∠BCD ……………3分 ∵OA ＝OCAD∴∠ACO ＝∠BAC∴∠BAC ＝∠BCD ……………4分 （2）设圆的半径为r 则OC ＝OB ＝r ∵∠OCD ＝90° ∴222OC CDOD += ……………5分∵4BD =，6DC = ∴22264()r r +=+ ……………6分解得：r ＝52……………8分 24．（本小题10分）（1）a = 14 ，b = 0.1 ； ……………2分 （2）……………4分 （3）400×0.3=120（人） ……………5分答：该小区答题成绩为“C 级”的有120人. ……………6分（4）将2名男管理员记为“男1”、“男2”，将2名女管理员为“女1”、“女2”.列表如下： 等级……………8分 总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中选到“1男1女”的结果有8种.……………9分∴ P （选中“1男1女”）=23. ……………10分∴反比例函数的表达式为8y x=. ……………3分 （2）∵过A 作AC y ⊥轴，点A （4，2）， ∴C （0，2） ∴OC ＝2 ∵BD ＝3OC ∴BD ＝3×2＝6 当y ＝6时，x ＝43， 即点B 坐标为（43，6）. ……………4分 ∵BD x ⊥轴 ∴D （43，0）. 设直线BC 的表达式为y kx b =+将C （0，2）、B （43，6）代入得：2463b k b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得：32k b ⎧=⎨=⎩∴直线BC 的表达式为32y x =+ ……………5分当y ＝0时，3x ＋2＝0，解得：23x =-，即点E 坐标为（203,-） ……………6分 ∴DE ＝42233+= ∴1126622S DE BD =⋅=⨯⨯= ……………7分 （3）存在 ……………8分设点B 坐标为（8,a a），则点D 坐标为（0,a ）∴BD ＝8a，OD ＝a ∵过A 作AC y ⊥轴，点A （4，2）， ∴AC ＝4∵四边形ACED 为平行四边形 ∴DE ＝AC ＝4 ∴OE ＝4－a∵∠CEO ＝∠BED ，∠EOC ＝∠EDB ＝90° ∴△BED ∽△CEO ……………9分 ∴BD ED OC EO =，即8424a a=- 解得：2a =∴点B 的坐标为（24,）. ……………10分 26. （本小题12分）（1）①ACE ∠＝ 60°； ……………2分②线段AC ，CD ，CE 之间的数量关系是 AC ＝CD ＋CE ． ……………4分 （2）CD ＋CE……………5分 证明：∵旋转∴AD ＝AE ，∠DAE ＝90°∵在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，90BAC DAE ∴∠=∠=︒，BC……………6分BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，()BAD CAE SAS ∴∆≅∆， ……………7分∴BD CE =，BC BD CD CE CD ∴=+=+=， ……………8分（3）∵△ABC 与△ADE 为等腰直角三角形 ∴∠ADE ＝∠ACB ＝45° ∵∠DAF ＝∠CAD∴△ADF ∽△AC D. ……………9分 ∴AD AC ＝AF AD . ∴AD 2＝AF ·A C ． ∵AC ＝8∴AD 2＝8AF ． ∴AF ＝218AD ． ……………10分 ∴当AD 最短时，AF 最短．易得当AD ⊥BC 时，AD 最短，AF 也最短，此时AD AC == ……………11分 ∴AF 最短＝211162488AD =⨯⨯= ……………12分 27. （本小题12分）（1）将A （－1，0）、B （3，0）代入22y x bx c =-++得：201830b c b c ⎧--+=⎨-++=⎩， ……………1分 解得：46b c ⎧=⎨=⎩ ……………2分∴抛物线的解析式为2246y x x =-++. ……………3分BBx。
山东省济南市2019-2020学年中考一诊数学试题含解析
山东省济南市2019-2020学年中考一诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列各数：π，sin30°，﹣3，9其中无理数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．24+2πB．16+4πC．16+8πD．16+12π3．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是()．A．(x＋1)(x－1)＝x2－1B．x2－2x＋1＝x(x－2)＋1C．a2－b2＝(a＋b)(a－b)D．mx＋my＋nx＋ny＝m(x＋y)＋n(x＋y)4．如图，在平行线l1、l2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A，B分别在直线l1、l2上，若∠l=65°，则∠2的度数是（）A．25°B．35°C．45°D．65°5．如图，AB∥CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC=EA．若∠CAE=30°，则∠BAF=（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价20%，现售价为a元，则原售价为（）A．（a﹣20%）元B．（a+20%）元C．a元D．a元7．下列命题中，真命题是（）A．如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离B．如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切C．如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切D．如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离8．如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，那么∠AOB的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°9．二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（）A．1 B．－1 C．2 D．－210．下列实数0，23，3，π，其中，无理数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，△ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴对称图形△A2B2C2，则顶点A2的坐标是（）A．（4，﹣3）B．（﹣4，3）C．（5，﹣3）D．（﹣3，4）12．若抛物线y＝x2﹣3x+c与y轴的交点为（0，2），则下列说法正确的是（）A．抛物线开口向下B．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）C．当x＝1时，y有最大值为0D．抛物线的对称轴是直线x＝3 2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点OAC的中点，点D在A射线BO上，连接OE，EC，若AB＝4，则OE的最小值为_____．14．阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律、结合律、交换律，已知i2=﹣1，那么（1+i）•（1﹣i）的平方根是_____．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=6cm，将△ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB边延长线上的点D处，则AC边扫过的图形（阴影部分）的面积是_____cm1．（结果保留π）．16．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为13，则点P的坐标为_______.17．一个圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为120°的扇形，那么这个圆锥的底面圆的半径为____．18．计算：2﹣1+()22-=_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．求出y与x之间的函数关系式；写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？20．（6分）如图，直角坐标系中，直线12y x=-与反比例函数kyx=的图象交于A，B两点，已知A点的纵坐标是2.（1）求反比例函数的解析式.（2）将直线12y x=-沿x轴向右平移6个单位后，与反比例函数在第二象限内交于点C.动点P在y轴正半轴上运动，当线段PA与线段PC之差达到最大时，求点P的坐标.21．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点C是二次函数y＝mx2＋4mx＋4m＋1的图象的顶点，一次函数y＝x＋4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）请你求出点A、B、C的坐标；（2）若二次函数y＝mx2＋4mx＋4m＋1与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．22．（8分）如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；m=7，n=4，求拼成矩形的面积．23．（8分）如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B处)6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB的高度．(结果精确到0.1米，3 1.732≈).24．（10分）先化简，后求值：a2•a4﹣a8÷a2+（a3）2，其中a=﹣1．25．（10分）抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，﹣3）．求抛物线的解析式；如图1，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC＝90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．如图2，将抛物线平移，使其顶点E与原点O重合，直线y＝kx+2（k＞0）与抛物线相交于点P、Q（点P在左边），过点P作x轴平行线交抛物线于点H，当k发生改变时，请说明直线QH过定点，并求定点坐标．26．（12分）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ落在地面上的影子PM＝1.8m，落在墙上的影子MN＝1.1m，求木竿PQ的长度．27．（12分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C 处，CP＝CQ＝2，将三角板CPQ绕点C旋转(保持点P在△ABC内部)，连接AP、BP、BQ．如图1求证：AP＝BQ；如图2当三角板CPQ绕点C旋转到点A、P、Q在同一直线时，求AP的长；设射线AP 与射线BQ相交于点E，连接EC，写出旋转过程中EP、EQ、EC之间的数量关系．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数即可．【详解】sin30°=12，故无理数有π， 故选：B ．【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．2．D【解析】【分析】根据三视图知该几何体是一个半径为2、高为4的圆柱体的纵向一半，据此求解可得．【详解】该几何体的表面积为2×12•π•22+4×4+12×2π•2×4=12π+16， 故选：D ．【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据三视图得出几何体的形状及圆柱体的有关计算． 3．C【解析】【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此进行解答即可.【详解】解：A 、B 、D 三个选项均不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，故都不是因式分解，只有C 选项符合因式分解的定义，故选择C.【点睛】本题考查了因式分解的定义，牢记定义是解题关键.4．A【解析】【分析】如图，过点C作CD∥a，再由平行线的性质即可得出结论．【详解】如图，过点C作CD∥a，则∠1=∠ACD，∵a∥b，∴CD∥b，∴∠2=∠DCB，∵∠ACD+∠DCB=90°，∴∠1+∠2=90°，又∵∠1=65°，∴∠2=25°，故选A．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．5．D【解析】解：∵EC=EA．∠CAE=30°，∴∠C=30°，∴∠AED=30°+30°=60°．∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AED=60°．故选D．点睛：本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．6．C【解析】【分析】根据题意列出代数式，化简即可得到结果．【详解】根据题意得：a÷(1−20%)=a÷= a(元)，故答案选：C.【点睛】本题考查的知识点是列代数式，解题的关键是熟练的掌握列代数式.7．D【解析】【分析】根据两圆的位置关系、直线和圆的位置关系判断即可．【详解】A.如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，A是假命题；B.如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切或内切或相交，B是假命题；C.如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切或相交，C是假命题；D.如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离，D是真命题；故选：D．【点睛】本题考查了两圆的位置关系：设两圆半径分别为R、r，两圆圆心距为d，则当d＞R+r时两圆外离；当d=R+r时两圆外切；当R-r＜d＜R+r（R≥r）时两圆相交；当d=R-r（R＞r）时两圆内切；当0≤d＜R-r （R＞r）时两圆内含．8．B【解析】【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数．【详解】连接AB，根据题意得：OB=OA=AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°.故答案选：B.【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握等边三角形的判定与性质.9．A【解析】试题分析：根据角抛物线顶点式得到对称轴为直线x=4，利用抛物线对称性得到抛物线在1＜x＜2这段位于x轴的上方，而抛物线在2＜x＜3这段位于x轴的下方，于是可得抛物线过点（2，0）然后把（2，0）代入y＝a(x－4)2－4(a≠0)可求出a=1.故选A10．B【解析】【分析】根据无理数的概念可判断出无理数的个数．【详解】解：无理数有：3，π.故选B.【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．11．A【解析】【分析】直接利用平移的性质结合轴对称变换得出对应点位置．【详解】如图所示：顶点A2的坐标是（4，-3）．故选A．【点睛】此题主要考查了轴对称变换和平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．12．D【解析】【分析】A、由a=1＞0，可得出抛物线开口向上，A选项错误；B、由抛物线与y轴的交点坐标可得出c值，进而可得出抛物线的解析式，令y=0求出x值，由此可得出抛物线与x轴的交点为（1，0）、（1，0），B选项错误；C、由抛物线开口向上，可得出y无最大值，C选项错误；D、由抛物线的解析式利用二次函数的性质，即可求出抛物线的对称轴为直线x=-32，D选项正确．综上即可得出结论．【详解】解：A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，A选项错误；B、∵抛物线y=x1-3x+c与y轴的交点为（0，1），∴c=1，∴抛物线的解析式为y=x1-3x+1．当y=0时，有x1-3x+1=0，解得：x1=1，x1=1，∴抛物线与x轴的交点为（1，0）、（1，0），B选项错误；C、∵抛物线开口向上，∴y无最大值，C选项错误；D、∵抛物线的解析式为y=x1-3x+1，∴抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-321=32，D选项正确．故选D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个选项的正误是解题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得OC＝12AC，∠ABD＝30°，根据“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠ACE＝30°＝∠ABD，当OE⊥EC时，OE的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE的最小值．【详解】解：∵△ABC的等边三角形，点O是AC的中点，∴OC＝12AC，∠ABD＝30°∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ACE＝30°＝∠ABD当OE⊥EC时，OE的长度最小，∵∠OEC＝90°，∠ACE＝30°∴OE最小值＝12OC＝14AB＝1，故答案为1【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．14．2【解析】【分析】根据平方根的定义进行计算即可．【详解】．解：∵i2=﹣1，∴（1+i）•（1﹣i）=1﹣i2=2，∴（1+i）•（1﹣i）的平方根是故答案为【点睛】本题考查平方根以及实数的运算，解题关键掌握平方根的定义．15．9π【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BC=12AB，然后求出阴影部分的面积=S扇形ABE﹣S扇形BCD，列计算即可得解．【详解】∵∠C是直角，∠ABC=60°，∴∠BAC=90°﹣60°=30°，∴BC=12AB=12×6=3（cm），∵△ABC以点B为中心顺时针旋转得到△BDE，∴S△BDE=S△ABC，∠ABE=∠CBD=180°﹣60°=110°，∴阴影部分的面积=S扇形ABE+S△BDE﹣S扇形BCD﹣S△ABC=S扇形ABE﹣S扇形BCD=2120?6360π﹣21203360πg=11π﹣3π=9π（cm1）．故答案为9π．【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形的面积计算，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，求出阴影部分的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键．16．（3，2）．【解析】【分析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．【详解】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，∵A（6，0），PD⊥OA，∴OD=12OA=3，在Rt△OPD中∵13OD=3，∴PD=2∴P(3，2) .故答案为（3，2）．【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．17．2【解析】【详解】试题分析：设此圆锥的底面半径为r ，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得， 2πr=0208161π⨯，解得r=2cm ． 考点：圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系．18．52【解析】根据负整指数幂的性质和二次根式的性质，可知12-=15222+=. 故答案为52. 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）y=-x+170；（2）W=﹣x 2+260x ﹣1530，售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是2元．【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求一次函数解析式；（2）用每件的利润乘以销售量得到每天的利润W ，即W=（x ﹣90）（﹣x+170），然后根据二次函数的性质解决问题．【详解】（1）设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，根据题意得：1205014030k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1170k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数关系式为y=﹣x+170；（2）W=（x ﹣90）（﹣x+170）=﹣x 2+260x ﹣1．∵W=﹣x 2+260x ﹣1=﹣（x ﹣130）2+2，而a=﹣1＜0，∴当x=130时，W 有最大值2．答：售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是2元．【点睛】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，先利用利润=每件的利润乘以销售量构建二次函数关系式，然后根据二次函数的性质求二次函数的最值，一定要注意自变量x 的取值范围． 20．（1）8y x=-；（2）P （0,6）试题分析：（1）先求得点A 的坐标，再利用待定系数法求得反比例函数的解析式即可；（2）连接AC ，根据三角形两边之差小于第三边知：当A 、C 、P 不共线时，PA-PC<AC ；当A 、C 、P 不共线时，PA-PC=AC ；因此，当点P 在直线AC 与y 轴的交点时，PA-PC 取得最大值.先求得平移后直线的解析式，再求得平移后直线与反比例函数的图象的交点坐标，最后求直线AC 的解析式，即可求得点P 的坐标.试题解析：()1令一次函数12y x =-中2y =，则122x =-， 解得：4x =-，即点A 的坐标为（-4，2）．∵点A （-4，2）在反比例函数k y x =的图象上， ∴k=-4×2=-8， ∴反比例函数的表达式为8y x=-． ()2连接AC ，根据三角形两边之差小于第三边知：当A 、C 、P 不共线时，PA-PC<AC ；当A 、C 、P 不共线时，PA-PC=AC ；因此，当点P 在直线AC 与y 轴的交点时，PA-PC 取得最大值.设平移后直线于x 轴交于点F ，则F （6，0） 设平移后的直线解析式为12y x b =-+， 将F （6，0）代入12y x b =-+得：b=3 ∴直线CF 解析式：132y x =-+ 令12x -+3=8x-，解得：128(2x x ==-舍去），， ∴C （-2，4）∵A 、C 两点坐标分别为A （-4，2）、C （-2，4）∴直线AC 的表达式为6y x =+，此时，P 点坐标为P （0，6）.点睛：本题是一次函数与反比例函数的综合题，主要考查了用待定系数法求函数的解析式、一次函数与反比例函数的交点坐标，熟练运用一次函数及反比例函数的性质是解题的关键.21．（1）A （－4，0）和B （0，4）；（2）304m <<或104m -≤< 【解析】【分析】（1）抛物线解析式配方后，确定出顶点C 坐标，对于一次函数解析式，分别令x 与y 为0求出对应y 与x 的值，确定出A 与B 坐标；（2）分m ＞0与m ＜0两种情况求出m 的范围即可．解：（1）y＝mx2＋4mx＋4m＋1＝m（x＋2）2＋1，∴抛物线顶点坐标为C（－2，1），对于y＝x＋4，令x＝0，得到y＝4；y＝0，得到x＝－4，直线y＝x＋4与x轴、y轴交点坐标分别为A（－4，0）和B（0，4）；（2）把x＝－4代入抛物线解析式得：y＝4m＋1，①当m＞0时，y＝4m＋1＞0，说明抛物线的对称轴左侧总与线段AB有交点，∴只需要抛物线右侧与线段AB无交点即可，如图1所示，只需要当x＝0时，抛物线的函数值y＝4m＋1＜4，即34 m<，则当34m<<时，抛物线与线段AB只有一个交点；②当m＜0时，如图2所示，只需y＝4m＋1≥0即可，解得：10 4m-≤<，综上，当34m<<或14m-≤<时，抛物线与线段AB只有一个交点．【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．22．（1）矩形的周长为4m；（2）矩形的面积为1．【解析】【分析】（1）根据题意和矩形的周长公式列出代数式解答即可．（2）根据题意列出矩形的面积，然后把m=7，n=4代入进行计算即可求得.【详解】（1）矩形的长为：m﹣n，矩形的宽为：m+n，矩形的周长为：2[(m-n)+(m+n)]=4m；（2）矩形的面积为S=（m+n）（m﹣n）=m2-n2，当m=7，n=4时，S=72-42=1．【点睛】本题考查了矩形的周长与面积、列代数式问题、平方差公式等，解题的关键是根据题意和矩形的性质列出代数式解答．23．11.9米【解析】【分析】先根据锐角三角函数的定义求出AC的长，再根据AB=AC+DE即可得出结论【详解】∵BD=CE=6m，∠AEC=60°，∴，∴AB=AC+DE=10.4+1.5=11.9m．答：旗杆AB的高度是11.9米.24．1【解析】【分析】先进行同底数幂的乘除以及幂的乘方运算，再合并同类项得到化简后的式子，将a的值代入化简后的式子计算即可.【详解】原式=a6﹣a6+a6=a6，当a=﹣1时，原式=1．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除以及幂的乘方运算法则.25．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）554m-<„；（3）当k发生改变时，直线QH过定点，定点坐标为（0，﹣2）【解析】【分析】（1）把点A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入抛物线表达式求得b，c，即可得出抛物线的解析式；（2）作CH⊥EF于H，设N的坐标为（1，n），证明Rt△NCH∽△MNF，可得m＝n2+3n+1，因为﹣4≤n≤0，即可得出m的取值范围；（3）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则点H（﹣x1，y1），设直线HQ表达式为y＝ax+t，用待定系数法和韦达定理可求得a＝x2﹣x1，t＝﹣2，即可得出直线QH过定点（0，﹣2）．【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A、C，把点A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入，得：013b cc=-+⎧⎨-=⎩，解得23 bc=-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，作CH⊥EF于H，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标E（1，﹣4），设N的坐标为（1，n），﹣4≤n≤0∵∠MNC＝90°，∴∠CNH+∠MNF＝90°，又∵∠CNH+∠NCH＝90°，∴∠NCH＝∠MNF，又∵∠NHC＝∠MFN＝90°，∴Rt△NCH∽△MNF，∴CH HNNF FM=，即131nn m+=--解得：m＝n2+3n+1＝23524n⎛⎫+-⎪⎝⎭，∴当32n=-时，m最小值为54-；当n＝﹣4时，m有最大值，m的最大值＝16﹣12+1＝1．∴m的取值范围是55 4m-<„．（3）设点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），∵过点P 作x 轴平行线交抛物线于点H ，∴H （﹣x 1，y 1），∵y ＝kx+2，y ＝x 2，消去y 得，x 2﹣kx ﹣2＝0，x 1+x 2＝k ，x 1x 2＝﹣2，设直线HQ 表达式为y ＝ax+t ，将点Q （x 2，y 2），H （﹣x 1，y 1）代入，得2211y ax t y ax t =+⎧⎨=-+⎩， ∴y 2﹣y 1＝a （x 1+x 2），即k （x 2﹣x 1）＝ka ，∴a ＝x 2﹣x 1，∵22x ＝（ x 2﹣x 1）x 2+t ，∴t ＝﹣2，∴直线HQ 表达式为y ＝（ x 2﹣x 1）x ﹣2，∴当k 发生改变时，直线QH 过定点，定点坐标为（0，﹣2）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了配方法求二次函数的最值、待定系数法求一次函数的解析式、（2）问通过相似三角形建立m 与n 的函数关系式是解题的关键．26．木竿PQ 的长度为3.35米．【解析】【分析】过N 点作ND ⊥PQ 于D ，则四边形DPMN 为矩形，根据矩形的性质 得出DP ，DN 的长，然后根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的长，即可得出PQ的长．试题解析：【详解】解：过N点作ND⊥PQ于D，则四边形DPMN为矩形，∴DN＝PM＝1.8m，DP＝MN＝1.1m，∴AB QD BC DN=，∴QD＝AB DNBC⋅＝2.25，∴PQ＝QD＋DP＝ 2.25＋1.1＝3.35（m）．答：木竿PQ的长度为3.35米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，作出辅助线，根据同一时刻物高与影长成正比列出比例式是解决此题的关键．27．（1）证明见解析（2142（3）EP+EQ= 2EC【解析】【分析】（1）由题意可得：∠ACP=∠BCQ，即可证△ACP≌△BCQ，可得AP=CQ；作CH⊥PQ 于H，由题意可求2，可得2，根据勾股定理可求14，即可求AP 的长；作CM⊥BQ 于M，CN⊥EP 于N，设BC 交AE 于O，由题意可证△CNP≌△ CMQ，可得CN=CM，QM=PN，即可证Rt△CEM≌Rt△CEN，EN=EM，∠CEM=∠CEN=45°，则可求得EP、EQ、EC 之间的数量关系．【详解】解：（1）如图 1 中，∵∠ACB=∠PCQ=90°，∴∠ACP=∠BCQ 且AC=BC，CP=CQ∴△ACP≌△BCQ（SAS）∴PA=BQ如图 2 中，作CH⊥PQ 于H∵A、P、Q 共线，PC=2，∴PQ=22，∵PC=CQ，CH⊥PQ∴CH=PH= 2在Rt△ACH 中，AH=22= 14AC CH∴PA=AH﹣PH= 14-2解：结论：EP+EQ=2EC理由：如图3 中，作CM⊥BQ 于M，CN⊥EP 于N，设BC 交AE 于O．∵△ACP≌△BCQ，∴∠CAO=∠OBE，∵∠AOC=∠BOE，∴∠OEB=∠ACO=90°，∵∠M=∠CNE=∠MEN=90°，∴∠MCN=∠PCQ=90°，∴∠PCN=∠QCM，∵PC=CQ，∠CNP=∠M=90°，∴△CNP≌△CMQ（AAS），∴CN=CM，QM=PN，∴CE=CE，∴Rt△CEM≌Rt△CEN（HL），∴EN=EM，∠CEM=∠CEN=45°∴EP+EQ=EN+PN+EM﹣MQ=2EN，EN，∴EC【点睛】本题考查几何变换综合题，解答关键是等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，添加恰当辅助线构造全等三角形．。
2020年山东省济南市中考数学模拟试卷及答案解析
2020年山东省济南市中考数学模拟试卷一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（）A．﹣2B．±5C．5D．﹣52．下列几何体中，从正面看（主视图）是长方形的是（）A．B．C．D．3．用科学记数法表示：0.000000109是（）A．1.09×10﹣7B．0.109×10﹣7C．0.109×10﹣6D．1.09×10﹣64．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a2B．3a2﹣2a2＝2aC．（a3）2＝a6D．（a﹣b）2＝a2﹣b26．如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被BC所截，E点在BC上，若∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝（）A．65°B．70°C．75°D．80°7．小聪在学校举行的“弘扬中华传统文化读书月”活动结束后，对班级里30位同学阅读书籍的数量情况做了调查，并绘制成条形统计图如右图所示，则同学们阅读书籍数量的众数和中位数分别是（）A．3，2B．3，3C．3，2.5D．2，28．不等式组的解集为（）A．﹣4＜x＜﹣1B．﹣4≤x＜﹣1C．﹣4≤x≤﹣1D．﹣4＜x≤﹣1 9．如图，一个梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是2米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离（BC的长）为（）A．2sinα米B．2cosα米C．米D．米10．如图，反比例函数y1＝与二次函数y1＝ax2+bx+c图象相交于A、B、C三个点，则函数y＝ax2+bx﹣+c的图象与x轴交点的个数是（）A．0B．1C．2D．311．如图，直径AB为3的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′处，则图中阴影部分的面积是（）A．3πB．C．6πD．24π12．直线y1＝k1x与双曲线y2＝分别交于第一，三象限A、B两点，其中点A的横坐标为1，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞1B．﹣1＜x＜1且x≠0C．x＜﹣1或0＜x＜1D．﹣1＜x＜0或x＞1二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．因式分解：ab2﹣2ab+a＝．14．一个多边形的内角和与外角和的差是180°，则这个多边形的边数为．15．方程＝的解是．16．某市规定了每月用水不超过18立方米和超过18立方米两种不同的收费标准，该市用户每月应交水费y（元）是用水x（立方米）的函数，其图象如图所示．已知小丽家3月份交了水费102元，则小丽家这个月用水量为立方米．17．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG，则下列结论：①DE 平分∠ADB；②BE＝2﹣；③四边形AEGF是菱形；④BC+FG＝1.5．其中结论正确的序号是．18．如图，正方形ABCD中边长为6，E为BC上一点，且BE＝1.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．三．解答题（共9小题，满分78分）19．（6分）计算：（）﹣2﹣+（﹣4）0﹣cos45°．20．（6分）解不等式组：21．（6分）已知：如图，菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE＝AF，连接CE，CF．求证：∠AEC＝∠AFC．22．（8分）某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲乙两队合作完成该工程需要多少天？23．（8分）在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点F，点E是弧AD上一点，连BE交CD于点N，点P在CD的延长线上，PN＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN的长．24．（10分）如图，在3×3正方形方格中，有3个小正方形涂成了黑色，所形成的图案如图所示，图中每块小正方形除颜色外完全相同．（1）一个小球在这个正方形方格上自由滚动，那么小球停在黑色小正方形的概率是多少？（2）现将方格内空白的小正方形（A、B、C、D、E、F）中任取2个涂黑，得到新图案，请用列表或画树状图的方法求新图案是中心对称图形的概率．25．（10分）如图，在直角坐标系中，点B的坐标为（2，1），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，反比例函数y＝（x＞0）的图象交AB，BC分别于点E，F．（1）求直线EF的解析式；（2）求四边形BEOF的面积；（3）若点P在y轴上，且△POE是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．26．（12分）已知，如图1，在△ABC中，AB⊥BC，AB＝2，AC＝10，若D为AC的中点，DG⊥AC交BC与点G．（1）求CG的长；（2）如图2，E点为射线BA上一动点，连接DE，线段DE绕点D顺时针旋转90°交直线BC与点F；④若AE＝时，求CF的长；②如图3，连接EF交直线DG与点M，当△EDM为等腰三角形时，求GF的长．27．（12分）如图，在平面直角标系中，抛物线C：y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为y轴正半轴上一点．且满足OD ＝OC，连接BD，（1）如图1，点P为抛物线上位于x轴下方一点，连接PB，PD，当S△PBD最大时，连接AP，以PB为边向上作正△BPQ，连接AQ，点M与点N为直线AQ上的两点，MN＝2且点N位于M点下方，连接DN，求DN+MN+AM的最小值（2）如图2，在第（1）问的条件下，点C关于x轴的对称点为E，将△BOE绕着点A 逆时针旋转60°得到△B′O′E′，将抛物线y＝沿着射线P A方向平移，使得平移后的抛物线C′经过点E，此时抛物线C′与x轴的右交点记为点F，连接E′F，B′F，R为线段E’F上的一点，连接B′R，将△B′E′R沿着B′R翻折后与△B′E′F重合部分记为△B′RT，在平面内找一个点S，使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形，求点S的坐标．2020年山东省济南市中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（）A．﹣2B．±5C．5D．﹣5【分析】利用平方根的定义得出a，b的值，进而利用ab的符号得出a，b异号，即可得出a﹣b的值．【解答】解：∵a2＝4，b2＝9，∴a＝±2，b＝±3，∵ab＜0，∴a＝2，则b＝﹣3，a＝﹣2，b＝3，则a﹣b的值为：2﹣（﹣3）＝5或﹣2﹣3＝﹣5．故选：B．2．下列几何体中，从正面看（主视图）是长方形的是（）A．B．C．D．【分析】主视图是分别从物体正面看，所得到的图形．【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，圆柱的主视图是长方形，圆台的主视图是梯形，球的主视图是圆形，故选：B．3．用科学记数法表示：0.000000109是（）A．1.09×10﹣7B．0.109×10﹣7C．0.109×10﹣6D．1.09×10﹣6【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：用科学记数法表示：0.000000109是1.09×10﹣7．故选：A．4．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确．故选：D．5．下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a2B．3a2﹣2a2＝2aC．（a3）2＝a6D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【分析】分别根据同底数幂的除法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及完全平方公式逐一判断即可．【解答】解：A．a6÷a3＝a3，故本选项不合题意；B.3a2﹣2a2＝a2，故本选项不合题意；C．（a3）2＝a6，正确，故本选项符合题意；D．（a﹣b）2＝a2﹣22a+b2，故本选项不合题意．故选：C．6．如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被BC所截，E点在BC上，若∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝（）A．65°B．70°C．75°D．80°【分析】由平行线的性质可求得∠C，在△CDE中利用三角形外的性质可求得∠3．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠1＝45°，∵∠3是△CDE的一个外角，∴∠3＝∠C+∠2＝45°+35°＝80°，故选：D．7．小聪在学校举行的“弘扬中华传统文化读书月”活动结束后，对班级里30位同学阅读书籍的数量情况做了调查，并绘制成条形统计图如右图所示，则同学们阅读书籍数量的众数和中位数分别是（）A．3，2B．3，3C．3，2.5D．2，2【分析】根据众数和中位数的定义求解．【解答】解：由条形图知共调查学生5+11+12+2＝30人，其中读3本书的人数最多，∴众数为3，中位数为第15、16个数据的平均数，则中位数为＝2，故选：A．8．不等式组的解集为（）A．﹣4＜x＜﹣1B．﹣4≤x＜﹣1C．﹣4≤x≤﹣1D．﹣4＜x≤﹣1【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式x+5≥1得x≥﹣4，解不等式＞，得：x＜﹣1，则不等式组的解集为﹣4≤x＜﹣1，故选：B．9．如图，一个梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是2米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离（BC的长）为（）A．2sinα米B．2cosα米C．米D．米【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinα＝＝，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：sinα＝＝，故BC＝2sinα（米）．故选：A．10．如图，反比例函数y1＝与二次函数y1＝ax2+bx+c图象相交于A、B、C三个点，则函数y＝ax2+bx﹣+c的图象与x轴交点的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】当y1＝y2时，得到方程ax2+bx﹣+c＝0，方程的解即反比例函数y1＝与二次函数y1＝ax2+bx+c图象交点的横坐标，于是得到函数y＝ax2+bx﹣+c的图象与x轴交点即是ax2+bx﹣+c＝0的解，即可得到结论．【解答】解：当y1＝y2时，得＝ax2+bx+c，即ax2+bx﹣+c＝0，∵方程的解即反比例函数y1＝与二次函数y1＝ax2+bx+c图象交点的横坐标，∵反比例函数y1＝与二次函数y1＝ax2+bx+c图象相交于A、B、C三个点，∴函数y＝ax2+bx﹣+c的图象与x轴交点即是ax2+bx﹣+c＝0的解，∴函数y＝ax2+bx﹣+c的图象与x轴交点的个数是3个，故选：D．11．如图，直径AB为3的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′处，则图中阴影部分的面积是（）A．3πB．C．6πD．24π【分析】根据阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB 为直径的半圆的面积．即求阴影部分的面积就等于求扇形ABB′的面积．【解答】解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB 为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：＝π．故选：B．12．直线y1＝k1x与双曲线y2＝分别交于第一，三象限A、B两点，其中点A的横坐标为1，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞1B．﹣1＜x＜1且x≠0C．x＜﹣1或0＜x＜1D．﹣1＜x＜0或x＞1【分析】根据对称性判断出点B的横坐标为﹣1，利用图象法：寻找直线的图象在反比例函数的图象下方的对应的自变量的取值，即可解决问题；【解答】解：∵点A的横坐标为1，根据对称性可知，点B的横坐标为﹣1，∴观察图象可知：当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1，故选：C．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．因式分解：ab2﹣2ab+a＝a（b﹣1）2．【分析】原式提取a，再运用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝a（b2﹣2b+1）＝a（b﹣1）2；故答案为：a（b﹣1）2．14．一个多边形的内角和与外角和的差是180°，则这个多边形的边数为5．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列式求解即可．【解答】解：设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°﹣360°＝180°，解得n＝5．故答案为：5．15．方程＝的解是x＝30．【分析】观察可得最简公分母为x（70﹣x），方程两边同时乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：方程的两边同时乘以x（70﹣x），得：3（70﹣x）＝4x解得x＝30．检验：把x＝30代入x（70﹣x）≠0∴原方程的解为：x＝30．16．某市规定了每月用水不超过18立方米和超过18立方米两种不同的收费标准，该市用户每月应交水费y（元）是用水x（立方米）的函数，其图象如图所示．已知小丽家3月份交了水费102元，则小丽家这个月用水量为30立方米．【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得当x＞18时对应的函数解析式，根据102＞54可知，小丽家用水量超过18立方米，从而可以解答本题．【解答】解：设当x＞18时的函数解析式为y＝kx+b，，得，即当x＞18时的函数解析式为y＝4x﹣18，∵102＞54，∴当y＝102时，102＝4x﹣18，得x＝30，故答案为：30．17．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG，则下列结论：①DE 平分∠ADB；②BE＝2﹣；③四边形AEGF是菱形；④BC+FG＝1.5．其中结论正确的序号是①②③．【分析】依据Rt△AED≌Rt△GED（HL），即可得到∠ADE＝∠GDE，进而得出DE平分∠ADB；依据四边形AEGF为平行四边形，以及AE＝GE，即可得到平行四边形AEGF 是菱形；依据HA＝﹣1，∠H＝45°，可得AE＝﹣1，进而得到BE＝2﹣；根据四边形AEGF是菱形，可得FG＝AE＝﹣1，进而得到BC+FG＝1+﹣1＝；即可得出结论．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1，∴∠BCD＝∠BAD＝90°，∠CBD＝45°，BD＝＝，AD＝CD＝1．由旋转的性质可知：∠HGD＝BCD＝90°，∠H＝∠CBD＝45°，BD＝HD，GD＝CD，∴HA＝BG＝﹣1，∠H＝∠EBG＝45°，∠HAE＝∠BGE＝90°，∴△HAE和△BGE均为直角边为﹣1的等腰直角三角形，∴AE＝GE．在Rt△AED和Rt△GED中，，∴Rt△AED≌Rt△GED（HL），∴∠AED＝∠GED＝（180°﹣∠BEG）＝67.5°，AE＝GE，∠ADE＝∠GDE，∴∠AFE＝180°﹣∠EAF﹣∠AEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°＝∠AEF，∴DE平分∠ADB，故①正确；∵HA＝﹣1，∠H＝45°，∴AE＝﹣1，∴BE＝1﹣（﹣1）＝2﹣，故②正确；∵AE＝AF，AE＝GE，AF⊥BD，EG⊥BD，∴AF＝GE且AF∥GE，∴四边形AEGF为平行四边形，∵AE＝GE，∴平行四边形AEGF是菱形，故③正确；∵四边形AEGF是菱形，∴FG＝AE＝﹣1，∴BC+FG＝1+﹣1＝，故④错误．故答案为：①②③．18．如图，正方形ABCD中边长为6，E为BC上一点，且BE＝1.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．【解答】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝＝故答案为：．三．解答题（共9小题，满分78分）19．（6分）计算：（）﹣2﹣+（﹣4）0﹣cos45°．【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝4﹣3+1﹣×＝2﹣1＝1．20．（6分）解不等式组：【分析】分别解两个不等式得到x＞2和x＞﹣3，然后根据同大取大确定不等式组的解集．【解答】解：解①得x＞2，解②得x＞﹣3，所以不等式组的解集为x＞2．21．（6分）已知：如图，菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE＝AF，连接CE，CF．求证：∠AEC＝∠AFC．【分析】由菱形的性质可得∠BAC＝∠DAC，由“SAS”可证△AEC≌△AFC，可得结论．【解答】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠DAC，∵AC＝AC，AE＝AF，∴△AEC≌△AFC（SAS）∴∠AEC＝∠AFC．22．（8分）某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲乙两队合作完成该工程需要多少天？【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x天完工，根据甲队完成的工作量+乙队完成的工作量＝总工作量（单位1），即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）由（1）可求出甲、乙单独施工所需天数，再利用两队合作完工所需时间＝总工作量÷（甲队一天完成的工作量+乙队一天完成的工作量），即可求出结论．【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x天完工，依题意，得：+＝1，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意．答：这项工程的规定时间是30天．（2）由（1）可知：甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，1÷（+）＝18（天）．答：甲乙两队合作完成该工程需要18天．23．（8分）在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点F，点E是弧AD上一点，连BE交CD于点N，点P在CD的延长线上，PN＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN的长．【分析】（1）连接OE，由等腰三角形的性质得出∠PEN＝∠PNE＝∠BNF，∠OEB＝∠OBE．证出∠OEB+∠PEN＝90°，即PE⊥OE，即可得出结论；（2）连接CE，证出CE为⊙O的直径．由垂径定理得出CF＝DF，得出DE＝2OF＝6．求出OC＝OB＝5，CE＝10，由勾股定理得出CD＝8．设PD＝x，则PC＝x+8．在Rt△PDE 和Rt△PCE中，由勾股定理得出方程，解方程求出PD＝，由勾股定理即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OE，如图1所示：∵PN＝PE，∴∠PEN＝∠PNE＝∠BNF，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE．∵AB⊥CD，∴∠OBE+∠BNF＝90°，∴∠OEB+∠PEN＝90°，即∠OEP＝90°，∴PE⊥OE，∴PE是⊙O的切线．（2）解：连接CE，如图2所示：∵DE∥AB，AB⊥CD，∴∠EDC＝90°∴CE为⊙O的直径．∵AB⊥CD，∴CF＝DF，∴DE＝2OF＝6．∵OF＝3，BF＝2，∴OC＝OB＝5，CE＝10，∴CD＝＝＝8，由（1）知PE⊥CE．设PD＝x，则PC＝x+8．在Rt△PDE和Rt△PCE中，由勾股定理，得：PD2+DE2＝PE2＝PC2﹣CE2，即x2+62＝（x+8）2﹣102，解得：x＝，∴PD＝．∴PE＝＝＝，∴PN＝PE＝．24．（10分）如图，在3×3正方形方格中，有3个小正方形涂成了黑色，所形成的图案如图所示，图中每块小正方形除颜色外完全相同．（1）一个小球在这个正方形方格上自由滚动，那么小球停在黑色小正方形的概率是多少？（2）现将方格内空白的小正方形（A、B、C、D、E、F）中任取2个涂黑，得到新图案，请用列表或画树状图的方法求新图案是中心对称图形的概率．【分析】（1）根据题意和图形，可以求得小球停在黑色小正方形的概率；（2）根据题意可以花花粗相应的表格，从而可以求得相应的概率．【解答】解：（1）由题意可得，小球停在黑色小正方形的概率是＝，即小球停在黑色小正方形的概率是；（2）中心对称的情况是：（BE）、（CD）、（AF），（EB），（DC），（F A），则新图案是中心对称图形的概率是：，即新图案是中心对称图形的概率是．25．（10分）如图，在直角坐标系中，点B的坐标为（2，1），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，反比例函数y＝（x＞0）的图象交AB，BC分别于点E，F．（1）求直线EF的解析式；（2）求四边形BEOF的面积；（3）若点P在y轴上，且△POE是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）分别求出点E，点F坐标，由待定系数法可求解析式；（2）由反比例函数图象的点的坐标特征可求△AOE，△OCF的面积，即可求解；（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵点B的坐标为（2，1），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，∴点A，点E纵坐标为1，点C，点F的横坐标为2，∵点E，点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴点E（1，1），点F（2，），设直线EF的解析式的解析式为：y＝kx+b，∴∴∴直线EF的解析式的解析式为：y＝﹣x+；（2）∵四边形BEOF的面积＝S四边形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF，∴四边形BEOF的面积＝2﹣﹣＝1；（3）∵点E（1，1），∴OE＝，若OE＝OP＝，则点P（0，）或（0，﹣），若OE＝EP，且AE⊥AO，∴OA＝AP＝1，∴点P（0，2）若OP＝PE，∴点P在OE的垂直平分线上，即点P（0，1），综上所述：当点P（0，）或（0，﹣）或（0，2）或（0，1）时，△POE是等腰三角形．26．（12分）已知，如图1，在△ABC中，AB⊥BC，AB＝2，AC＝10，若D为AC的中点，DG⊥AC交BC与点G．（1）求CG的长；（2）如图2，E点为射线BA上一动点，连接DE，线段DE绕点D顺时针旋转90°交直线BC与点F；④若AE＝时，求CF的长；②如图3，连接EF交直线DG与点M，当△EDM为等腰三角形时，求GF的长．【分析】（1）先判断出△ACB∽△GCD，得出比例式，再求出CD，BG，即可得出结论；（2）①Ⅰ、当点E在线段AB上时，利用三角形的中位线即可得出结论；Ⅱ、先求出DG＝＝，再判断出△FDG∽△EDA，得出，进而求出FG，即可得出结论；②先判断出∠FED＝∠ACB，进而判断出△MED∽△FDC，得出△FCD是等腰三角形，再分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∵AB⊥AC，DG⊥AC，∴∠B＝∠CDG＝90°，∵∠ACB＝∠GCD，∴△ACB∽△GCD，∴，∵点D是AC的中点，∴CD＝AC＝5，根据勾股定理得，BC＝4，∴，∴CG＝；（2）①Ⅰ、当点E在线段AB上时，∵AB＝，AB＝2，∴点E是AB的中点，∵点D是AC的中点，∴DE∥BC，∵AB⊥BC，DE⊥DF，∴DF⊥BC，∴BF∥AB，∵点D是AC中点，∴点F是BC的中点，∴CF＝BC＝2；Ⅱ、当点E在BA的延长线上时，如图1，∵点D是AC的中点，AC＝10，∴AD＝AC＝5，由（1）知，△BAC∽△DGC，∴∠CGD＝∠CAB，，∴DG＝＝，∠FGD＝∠EAD，∵GD⊥AC，ED⊥DF，∴∠FDG＝∠EDA，∴△FDG∽△EDA，∴，∴FG＝＝，∴CF＝CG+FG＝3；②由①知，△FDG∽△EDA，∴＝，∴tan∠FED＝，∵tan∠ACB＝＝，∴∠FED＝∠ACB，∵DE⊥DF，DG⊥AC，∴∠ADG＝∠EDF＝90°，∴∠MDE＝∠FDC，∴△MED∽△FDC，∵△EDM是等腰三角形，∴△FCD是等腰三角形，Ⅰ、当FD＝FC时，点E在AB的延长线上，不符合题，舍去，Ⅱ、当CD＝CF时，CF＝CD＝5，∴GF＝CG﹣CF＝﹣5；当CD＝DF时，DF＝CD＝5，∴DF＝AC，∴点F与点B重合，∴GF＝BC﹣CG＝；27．（12分）如图，在平面直角标系中，抛物线C：y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为y轴正半轴上一点．且满足OD ＝OC，连接BD，（1）如图1，点P为抛物线上位于x轴下方一点，连接PB，PD，当S△PBD最大时，连接AP，以PB为边向上作正△BPQ，连接AQ，点M与点N为直线AQ上的两点，MN＝2且点N位于M点下方，连接DN，求DN+MN+AM的最小值（2）如图2，在第（1）问的条件下，点C关于x轴的对称点为E，将△BOE绕着点A 逆时针旋转60°得到△B′O′E′，将抛物线y＝沿着射线P A方向平移，使得平移后的抛物线C′经过点E，此时抛物线C′与x轴的右交点记为点F，连接E′F，B′F，R为线段E’F上的一点，连接B′R，将△B′E′R沿着B′R翻折后与△B′E′F重合部分记为△B′RT，在平面内找一个点S，使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形，求点S的坐标．【分析】（1）由抛物线解析式求点A、B、C坐标，由OD＝OC求点D坐标．设点P 横坐标为t，可用待定系数法求得用t表示的直线PB解析式，即能用t表示PB与y轴交点G的坐标，进而用t表示DG的长．以DG为界把△PBD分成左右两边的△PDG与△BDG，则以DG为底计算易求得△PBD面积与t的二次函数关系式，求对称轴即得到△PBD最大时t的值，进而得到点P坐标．求得∠ABP＝30°，即x轴平分∠PBQ，故点P、Q关于x轴对称，得到点Q坐标，进而得到直线AQ解析式，发现∠QAB＝∠P AB＝60°．作直线AP，可得直线AQ与AP夹角为60°，过点M作MH⊥AP于H，即构造出特殊Rt △MAN，得到MH＝AM．把点D平移到D'，使DD'∥MN且DD'＝MN，构造平行四边形MNDD'，故DN＝D'M．所以DN+MN+AM可转化为MN+D'M+MH．易得当点D'、M、H在同一直线上时，线段和会最短，即过D'作D'K⊥AP于K，D'K的值为所求．根据平移性质求D'坐标，求直线D'K与直线AP解析式，联立方程组求得K的坐标，即求得D'K的长．（2）抛物线平移不改变开口方向和大小，再求得点E坐标和点A坐标，可用待定系数法求平移后的解析式，进而求得点F．由旋转性质可得△ABB'与△AEE'为等边三角形，求出点E'、B'坐标，B'F⊥x轴且△B'E'F为含30°的直角三角形．把点R从E'移动到F的过程，发现∠RB'T一定小于90°，不可能成为矩形内角，故只能是∠B'RT或∠B'TR＝90°．点T可以在E'F上，也可以在B'F上，画出图形，根据含30°的直角三角形三边关系计算各线段长，即能求点S坐标．【解答】解：（1）如图1，过点D作DD'∥MN，且DD'＝MN＝2，连接D'M；过点D'作D'J⊥y轴于点J；作直线AP，过点M作MH⊥AP于点H，过点D'作D'K⊥AP于点K∵y＝＝0解得：x1＝﹣3，x2＝1∴A（﹣3，0），B（1，0）∵x＝0时，y＝＝﹣∴C（0，﹣），OC＝∴OD＝OC＝，D（0，）设P（t，t2+t﹣）（﹣3＜t＜1）设直线PB解析式为y＝kx+b，与y轴交于点G∴解得：∴直线PB：y＝（t+）x﹣t﹣，G（0，﹣t﹣）∴DG＝﹣（﹣t﹣）＝t+∴S△BPD＝S△BDG+S△PDG＝DG•x B+DG•|x P|＝DG•（x B﹣x P）＝（t+）（1﹣t）＝﹣（t2+4t﹣5）∴t＝﹣＝﹣2时，S△BPD最大∴P（﹣2，﹣），直线PB解析式为y＝x﹣，直线AP解析式为y＝﹣x﹣3∴tan∠ABP＝＝∴∠ABP＝30°∵△BPQ为等边三角形∴∠PBQ＝60°，BP＝PQ＝BQ∴BA平分∠PBQ∴PQ⊥x轴，PQ与x轴交点I为PQ中点∴Q（﹣2，）∴Rt△AQI中，tan∠QAI＝∴∠QAI＝∠P AI＝60°∴∠MAH＝180°﹣∠P AI﹣∠QAI＝60°∵MH⊥AP于点H∴Rt△AHM＝90°，sin∠MAH＝∴MH＝AM∵DD'∥MN，DD'＝MN＝2∴四边形MNDD'是平行四边形∴D'M＝DN∴DN+MN+AM＝2+D'M+MH∵D'K⊥AP于点K∴当点D'、M、H在同一直线上时，DN+MN+AM＝2+D'M+MH＝2+D'K最短∵DD'∥MN，D（0，）∴∠D'DJ＝30°∴D'J＝DD'＝1，DJ＝DD'＝∴D'（1，）∵∠P AI＝60°，∠ABP＝30°∴∠APB＝180°﹣∠P AI﹣∠ABP＝90°∴PB∥D'K设直线D'K解析式为y＝x+d，把点D'代入得：+d＝解得：d＝∴直线D'K：y＝x+把直线AP与直线D'K解析式联立得：解得：∴K（﹣，）∴D'K＝∴DN+MN+AM的最小值为（2）连接B'A、BB'、EA、E'A、EE'，如图2∵点C（0，﹣）关于x轴的对称点为E∴E（0，）∴tan∠EAB＝∴∠EAB＝30°∵抛物线C'由抛物线C平移得到，且经过点E∴设抛物线C'解析式为：y＝x2+mx+，∵A（﹣3，0），P（﹣2，﹣），E（0，），B（1，0），∴BE∥P A，BE＝P A，∴抛物线C'经过点A（﹣3，0），∴×9﹣3m+＝0解得：m＝∴抛物线C'解析式为：y＝x2+x+∵x2+x+＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1∴F（﹣1，0）∵将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′∴∠BAB'＝∠EAE'＝60°，AB'＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，AE'＝AE＝∴△ABB'、△AEE'是等边三角形∴∠E'AB＝∠E'AE+∠EAB＝90°，点B'在AB的垂直平分线上∴E'（﹣3，2），B'（﹣1，2）∴B'E'＝2，∠FB'E'＝90°，E'F＝∴∠B'FE'＝30°，∠B'E'F＝60°①如图3，点T在E'F上，∠B'TR＝90°过点S作SW⊥B'E'于点W，设翻折后点E'的对应点为E''∴∠E'B'T＝30°，B'T＝B'E'＝∵△B′E′R翻折得△B'E''R∴∠B'E''R＝∠B'E'R＝60°，B'E''＝B'E'＝2∴E''T＝B'E''﹣B'T＝2﹣∴Rt△RTE''中，RT＝E''T＝2﹣3∵四边形RTB'S是矩形∴∠SB'T＝90°，SB'＝RT＝2﹣3∴∠SB'W＝∠SB'T﹣∠E'B'T＝60°∴B'W＝SB'＝﹣，SW＝SB'＝3﹣∴x S＝x B'﹣B'W＝，y S＝y B'+SW＝3+∴S（，3+）②如图4，点T在E'F上，∠B'RT＝90°过点S作SX⊥B'F于点X∴E'R＝B'E'＝1，点E'翻折后落在E'F上即为点T∴B'S＝RT＝E'R＝1∵∠SB'X＝90°﹣∠RB'F＝30°∴XS＝B'S＝，B'X＝B'S＝∴x S＝x B'+XS＝﹣，y S＝y B'﹣B'X＝∴S（﹣，）③如图5，点T在B'F上，∠B'TR＝90°∴RE''∥E'B'，∠E''＝∠B'E'R＝60°∴∠E'BE''＝∠E'RE''＝120°∴四边形B'E'RE''是平行四边形∵E'R＝E''R∴▱B'E'RE''是菱形∴B'E'＝E'R∴△B'E'R是等边三角形∵∠B'SR＝90°，即RS⊥B'E'∴点S为B'E'中点∴S（﹣2，2）综上所述，使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形的点S坐标为（，3+）或（﹣，）或（﹣2，2）．。
济南市历下区中考一模数学试题及答案
历下区中考一模考试数学1．下列计算正确的是（ ）A ．33-=B ．1122⎛⎫--=- ⎪⎝⎭C ．()325aa = D ．236a a a =2．如图所示几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．某市第一季度财政收入为42.76亿元，用科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为（） A ．42.7810⨯元 B ．94.310⨯元 C ．94.210⨯元 D ．84210⨯元4．如图将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于（）A ．50°B ．30°C ．20°D ．15°5．下列函数中，自变量x 的取值范围是3x ≥的是（） A ．13y x =- B ．13y x =- C ．3y x =- D ．3y x =- 6．“泉城是我家，爱护靠大家”，为创建文明城市，我市学生更加自觉遵守交通规则、某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为19，那么他遇到的绿灯的概率为（） A ．13 B ．23 C ．49 D ．597．不等式组10240x x -≤⎧⎨+>⎩的解集在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．8．方程()()121x x x +-=+的解是（）A ．2B ．3C ．-1,2D ．-1,39．如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q.若BF=2，则PE 的长为（） A ．2 B ．23 C ．3 D ．310．如图，点A 是直线l 外一点，在l 上取两点B 、C ，分别以A 、C 为圆心，BC 、AB 为长为半径画弧，两弧交于点D ，分别连结AB 、AD 、CD ，则四边形ABCD 一定是（） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．梯形 11．已知1O 的半径是5cm ，2O 的半径是3cm ，12O O =6cm ，则1O 和2O 的位置关系是（）A ．相交B ．外切C ．外离D ．内含12．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个.设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（）A ．()2501196x += B ．()250501196x ++=C ．()()250501501196x x ++++= D ．()()505015012196x x ++++=13．抛物线2y x bx c =-++的部分图象如图所示，若0y >，则x 的取值范围是（） A ．41x -<< B ．31x -<< C ．41x x <->或 D ．31x x <->或14．如图，A 、B 是双曲线()0ky k x=>上的点，A 、B 两点的横坐标分别是,2a a ，线段AB 的延长线交轴于点C ，若12AOC S ∆=，则k 为（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．715．如图，在Rt AOB ∆中，32OA OB ==，O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P作O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则线段PQ 的最小值为（）A ．321-B ．2C ．22D ．32二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.把答案填在题中的横线上。
2020年山东省济南市历城区中考数学一模试卷(含解析)
1 (x 1) 1
20．（6 分）解不等式组 2
，并写出该不等式组的所有整数解．
1 x 2
21．（6 分）如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E，求证：AC∥DF．
22．（8 分）在某体育用品商店，购买 3 根跳绳和 6 个毽子共用 72 元，购买 5 根跳绳和 20 个毽子共用 160 元． （1）跳绳、毽子的单价各是多少元？ （2）该店在“五•四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节
其中，正确的结论有（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
二、填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）
13．（4 分）分解因式：x2﹣xy＝
．
14．（4 分）在一个有 15 万人的小镇，随机调查了 1000 人，其中 200 人会在日常生活中进
行垃圾分类，那么在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是
．
15．（4 分）若一个多边形的内角和与外角和之和是 900°，则该多边形的边数是
．
16．（4 分）若 a+2b＝8，3a+4b＝18，则 a+b 的值为
．
17．（4 分）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，
第 3页（共 25页）
甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离 y（米）与时间 t
25．（10 分）如图，反比例函数 y＝ k （x＞0）过点 A （3，4），直线 AC 与 x 轴交于点 C （6， x
0），交 y 轴于点 E，过点 C 作 x 轴的垂线 BC 交反比例函数图象于点 B．
（1）求 k 的值与 B 点的坐标；
（2）将直线 EC 向右平移，当点 E 正好落在反比例函数图象上的点 E'时，直线交 x 轴于
山东省济南市2020年中考数学一模试卷解析版
度数是（ ）
A. 75°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
5. 有理数 a，b 在数轴上表示如图所示，则下列各式中正确的是（ ）
A. ab＞0
B. a+b＜0
C. b＜a
6. 下面在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（ ）
D. |b|＞|a|
A.
B.
C.
D.
7. 下列运算正确的是（ ）
A. x2+x=x3
23. 如图，已知 AB 是⊙O 的直径，DC 与⊙O 相切于点 C，交 AB 的延长线于点 D． （1）求证：∠BAC=∠BCD； （2）若 BD=4，DC=6，求⊙O 的半径．
24. 钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌 ，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少 熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信
D. 90，90
9. 已知反比例函数 y= 图象如图所示，下列说法正确的是（
）
A. k＞0 B. y 随 x 的增大而减小
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C. 若矩形 OABC 面积为 2，则 k=-2 D. 若图象上两个点的坐标分别是 M （-2，y1 ），N（-1，y2 ），则 y1＞y2
10. 图 1 是一个地铁站入口的双翼闸机．如图 2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点 A 与 B 之间的距离为 10cm，双翼的边缘 AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角 ∠PCA=∠BDQ=30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
20. 解不等式组：
，并写出它的所有整数解．
21. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是对角线 BD 上的两点，且 BE=DF．求 证：AE=CF．
2020年山东省济南市历下区中考数学一模试卷(详解版)
2020年山东省济南市历下区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4题，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）2020的相反数是（）A．2020B．﹣2020C．12020D．-120202．（4分）下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（）A．B．C．D．3．（4分）2020年2月20日下午，山东省第十二批援助湖北医疗队从济南遥墙机场集结，乘坐包机启程出征．千余勇士赴荆楚，万难不辞战疫，山东已累计派出十二批医疗队1797人援助湖北，数字1797用科学记数法表示为（）A．1.797×103B．0.1797×104C．1.797×104D．17.97×102 4．（4分）如图，已知AB∥DC，∠BED＝60°，BC平分∠ABE，则∠C的度数是（）A．75°B．60°C．45°D．30°5．（4分）有理数a，b在数轴上表示如图所示，则下列各式中正确的是（）A．ab＞0B．a+b＜0C．b＜a D．|b|＞|a|6．（4分）下面在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．7．（4分）下列运算正确的是（）A．x2+x＝x3B．（﹣2x2）3＝8x6C．（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2D．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣2x﹣28．（4分）以下是某校九年级10名同学参加学校演讲比赛的统计表．则这组数据的众数和中位数分别为（）成绩/分80859095人数/人1342 A．85，87.5B．85，85C．85，90D．90，909．（4分）已知反比例函数y＝kx图象如图所示，下列说法正确的是（）A．k＞0B．y随x的增大而减小C．若矩形OABC面积为2，则k＝﹣2D．若图象上两个点的坐标分别是M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），则y1＞y2 10．（4分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A．10)cm+B．10)cm c C．64cm D．54cm11．（4分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A ．175πcm 2B ．350πcm 2C ．8003πcm 2D ．150πcm 212．（4分）如图，在二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象中，小明同学观察得出了下面几条信息：①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③2a b ca b++-<0；④b 2＝4a （c ﹣1）；⑤关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝3无实数根，共中信息错误的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．（4分）分解因式：m 2﹣8m +16＝．14．（4分）转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数为3的倍数的概率是．15．（4分）如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是．16．（4分）若代数式121a a +-的值是2，则a ＝．17．（4分）A ，B 两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A ，B 两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A 地的距离S （千米）都是骑车时间t （时）的一次函数．如图，直线l 1、l 2分别表示甲、乙骑车S 与t 之间关系的图象．结合图象提供的信息，经过小时两人相遇．18．（4分）如图ABCD是一个矩形桌子，一小球从P撞击到Q，反射到R，又从R反射到S，从S反射回原处P，入射角与反射角相等（例如∠PQA＝∠RQB等），已知AB＝9，BC＝12，BR＝4．则小球所走的路径的长为．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：|﹣3|+（π﹣2020）0﹣2sin30°+（1 3）﹣120．（6分）解不等式组：322112x xx-<+⎧⎪⎨-≥-⎪⎩，并写出它的所有整数解．21．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：AE＝CF．22．（8分）为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂购进甲、乙两种型号的机器人用来进行垃圾分类，甲型机器人比乙型机器人每小时多分20kg，甲型机器人分类800kg垃圾所用的时间与乙型机器人分类600kg垃圾所用的时间相等．（1）两种机器人每小时分别分类多少垃圾？（2）现在两种机器人共同分类700kg垃圾，工作2小时后甲型机器人因机器维修退出，求甲型机器人退出后乙型机器人还需工作多长时间才能完成？23．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点D．（1）求证：∠BAC＝∠BCD；的半径．（2）若BD＝4，DC＝6，求⊙O24．（10分）钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷（满分100分），社区管理员随机从有400人的某小区抽取40名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）统计如下：858095100909585657585909070901008080909575806580958510090858580957580907080957510090根据数据绘制了如下的表格和统计图：等级成绩（x）频数频率A90＜x≤100.25100aB80＜x≤90C70＜x≤120.380D60≤x≤b70合计401根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）统计表中的a＝，b＝；（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请估计该小区答题成绩为“C级”的有多少人？（4）该社区有2名男管理员和2名女管理员，现从中随机挑选2名管理员参加“社区防控”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．25．（10分）如图，已知反比例函数y＝mx（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．（1）求反比例函数的表达式；（2）若BD＝3OC，求△BDE的面积；（3）是否存在点B，使得四边形ACED为平行四边形？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．26．（12分）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：（1）①∠ACE的度数是；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是．（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C 重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请判断线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）如图②，AC与DE交于点F，在（2）条件下，若AC＝8，求AF的最小值．27．（12分）图①，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；（3）如图2，将抛物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交与点E，求点E的坐标．2020年山东省济南市历下区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4题，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）2020的相反数是（）A．2020B．﹣2020C．12020D．-12020【解答】解：2020的相反数是：﹣2020．故选：B．2．（4分）下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．俯视图与主视图都是正方形，故选项A不合题意；B．俯视图是圆，主视图是长方形，故选项B合题意；C．俯视图与主视图都是圆，故选项C不合题意；D．俯视图和主视图是长方形；故选项D不符合题意；故选：B．3．（4分）2020年2月20日下午，山东省第十二批援助湖北医疗队从济南遥墙机场集结，乘坐包机启程出征．千余勇士赴荆楚，万难不辞战疫，山东已累计派出十二批医疗队1797人援助湖北，数字1797用科学记数法表示为（）A．1.797×103B．0.1797×104C．1.797×104D．17.97×102【解答】解：1797＝1.797×103．故选：A．4．（4分）如图，已知AB∥DC，∠BED＝60°，BC平分∠ABE，则∠C的度数是（）A．75°B．60°C．45°D．30°【解答】解：∵AB∥DC，∠BED＝60°，∴∠ABE＝60°，∵BC平分∠ABE，∴∠ABC＝∠ABE＝30°，∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABC＝30°，故选：D．5．（4分）有理数a，b在数轴上表示如图所示，则下列各式中正确的是（）A．ab＞0B．a+b＜0C．b＜a D．|b|＞|a|【解答】解：由数轴上的位置得：a＜0＜b，且|a|＞|b|，∴ab＜0，a+b＜0，故选：B．6．（4分）下面在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．7．（4分）下列运算正确的是（）A．x2+x＝x3B．（﹣2x2）3＝8x6C．（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2D．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣2x﹣2【解答】解：A、x2与x不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B、（﹣2x2）3＝﹣8x6，故此选项不符合题意；C、（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2，故此选项符合题意；D、原式＝x2﹣x﹣2，故此选项不符合题意，故选：C．8．（4分）以下是某校九年级10名同学参加学校演讲比赛的统计表．则这组数据的众数和中位数分别为（）成绩/分80859095人数/人1342 A．85，87.5B．85，85C．85，90D．90，90【解答】解：在这一组数据中90是出现次数最多的，故众数是90．而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是90、90，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是90．故选：D．9．（4分）已知反比例函数y＝kx图象如图所示，下列说法正确的是（）A．k＞0B．y随x的增大而减小C．若矩形OABC面积为2，则k＝﹣2D．若图象上两个点的坐标分别是M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），则y1＞y2【解答】解：A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则k＜0，所以A选项错误；B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误；C、矩形OABC面积为2，则|k|＝2，而k＜0，所以k＝﹣2，所以C选项正确；D、图象上两个点的坐标分别是M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），则y1＜y2，所以D选项错误．故选：C．10．（4分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A ．10)cm +B ．10)cm +C ．64cmD ．54cm【解答】解：如图所示，过A 作AE ⊥CP 于E ，过B 作BF ⊥DQ 于F ，则Rt △ACE 中，AE ＝12AC ＝12×54＝27（cm ），同理可得，BF ＝27cm ，又∵点A 与B 之间的距离为10cm ，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm ），故选：C ．11．（4分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25cm ，贴纸部分的宽BD 为15cm ，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A ．175πcm 2B ．350πcm 2C ．8003πcm 2D ．150πcm 2【解答】解：∵AB ＝25，BD ＝15，∴AD ＝10，∴S 贴纸＝2×221202512010()360360ππ∙⨯∙⨯-＝2×175π＝350πcm 2，故选：B ．12．（4分）如图，在二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象中，小明同学观察得出了下面几条信息：①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③2a b c a b ++-<0④b 2＝4a （c ﹣1）；⑤关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝3无实数根，共中信息错误的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：①根据图象可知：△＞0，∴b 2﹣4ac ＞0，故①正确；②由图象可知：a ＜0，c ＞0，由对称轴可知：2b a -＜0，∴b ＜0，∴abc ＞0，故②错误；③由图象可知：﹣1＜2b a -＜0，∴2a ﹣b ＜0，当x ＝1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0，∴2a b c a b++-＞0，故③错误；④由图象可知：当x ＝2b a-时，y ＝1，∴244ac b a-＝1，∴4ac ﹣b 2＝4a ，∴b 2＝4a （c ﹣1），故④正确；⑤由于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的最大值为1，∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝3无实数根，故⑤正确；故选：C ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．（4分）分解因式：m 2﹣8m +16＝（m ﹣4）2．【解答】解：m 2﹣8m +16＝（m ﹣4）2．故答案为：（m ﹣4）2．14．（4分）转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数为3的倍数的概率是13．【解答】解：在这6个数字中，为3的倍数的有3和6，共2个，∴任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数为3的倍数的概率是26＝13，故答案为：13．15．（4分）如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是6．【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷60°＝6．故答案为：6．16．（4分）若代数式121a a +-的值是2，则a ＝1．【解答】解：根据题意得：121a a +-＝2，去分母得：a+1＝4a﹣2，移项合并得：3a＝3，解得：a＝1，经检验a＝1是分式方程的解，故答案为：117．（4分）A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离S（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数．如图，直线l1、l2分别表示甲、乙骑车S与t之间关系的图象．结合图象提供的信息，经过207小时两人相遇．【解答】解：设l1的关系式为：s1＝kt，则30＝k×2，解得：k＝15，故s1＝15t；设s2＝at+b，将（0，100），（2，60），则100260 ba b=⎧⎨+=⎩，解得：20100 ab=-⎧⎨=⎩，故l2的关系式为s2＝﹣20t+100；15t＝﹣20t+100，t＝20 7．即他们经过207小时两人相遇．18．（4分）如图ABCD是一个矩形桌子，一小球从P撞击到Q，反射到R，又从R反射到S，从S反射回原处P，入射角与反射角相等（例如∠PQA＝∠RQB等），已知AB＝9，BC＝12，BR＝4．则小球所走的路径的长为30．【解答】解：∵入射角与反射角相等，∴∠BQR ＝∠AQP ，∠APQ ＝∠SPD ，∠CSR ＝∠DSP ，∠CRS ＝∠BRQ ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，∴∠DPS +∠DSP ＝90°，∠AQP +∠APQ ＝90°，∴∠DSP ＝∠AQP ＝∠CSR ＝∠BQR ，∴∠RSP ＝∠RQP ，同理∠SRQ ＝∠SPQ ，∴四边形SPQR 是平行四边形，∴SR ＝PQ ，PS ＝QR ，在△DSP 和△BQR 中BQR=DSP D=B PS RQ ⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∠∠，∴△DSP ≌△BQR （AAS ），∴BR ＝DP ＝4，BQ ＝DS ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝9，BC ＝AD ＝112，∴AQ ＝9﹣DS ，AP ＝12﹣4＝8，∵∠SPD ＝∠APQ ，∴△SDP ∽△QAP ，∴DP AP DS AQ=，∴489DS DS=-，DS ＝3，在Rt△DSP中，由勾股定理得：PS＝QR5=同理PQ＝RS＝10，∴QP+PS+SR+QR＝2×5+2×10＝30，故答案为：30．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：|﹣3|+（π﹣2020）0﹣2sin30°+（1 3）﹣1【解答】解：|﹣3|+（π﹣2020）0﹣2sin30°+（1 3）﹣1＝3+1﹣2×1 2 +3＝620．（6分）解不等式组：322112x xx-<+⎧⎪⎨-≥-⎪⎩，并写出它的所有整数解．【解答】解：322112x xx-<+⎧⎪⎨-≥-⎪⎩①②，解①得x＜2，解②得x≥﹣1．不等式组的解集是﹣1≤x＜2．则整数解是﹣1，0，1．21．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：AE＝CF．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ．∴∠ABE ＝∠CDF ．在△ABE 和△DCF 中，ABE=CDF AB CD BE DF =⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠，∴△ABE ≌△DCF （SAS ）．∴AE ＝CF ．22．（8分）为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂购进甲、乙两种型号的机器人用来进行垃圾分类，甲型机器人比乙型机器人每小时多分20kg ，甲型机器人分类800kg 垃圾所用的时间与乙型机器人分类600kg 垃圾所用的时间相等．（1）两种机器人每小时分别分类多少垃圾？（2）现在两种机器人共同分类700kg 垃圾，工作2小时后甲型机器人因机器维修退出，求甲型机器人退出后乙型机器人还需工作多长时间才能完成？【解答】解：（1）设甲型机器人每小时分类xkg 垃圾．则乙型机器人每小时分类（x ﹣20）kg 垃圾，由题意得：80060020x x =-，解得：x ＝80，检验：当x ＝80时，x （x ﹣20）≠0，所以，原分式方程的解为x ＝80，x ﹣20＝80﹣20﹣60，答：甲型机器人每小时分类80kg 垃圾．则乙型机器人每小时分类60kg 垃圾，（2）[700﹣（80+60）×2]÷60＝7小时，答：甲型机器人退出后乙型机器人还需要工作7小时．23．（8分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，DC 与⊙O 相切于点C ，交AB 的延长线于点D ．（1）求证：∠BAC＝∠BCD；（2）若BD＝4，DC＝6，求⊙O的半径．【解答】解：（1）如图，连接OC．证明：∵DC与⊙O相切，∠OCD＝∠OCB+∠BCD＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠OCB+∠ACO＝90°，∴∠ACO＝∠BCD∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC，∴∠BAC＝∠BCD；（2）由（1）可得，∠BAC＝∠BCD；∵∠CDB＝∠ADC，∴△CDB∽△ADC，∴BD DCDC AD=，即466AD=，∴DA＝9∴AB＝DA﹣BD＝9﹣4＝5，∴⊙O的半径为5 2．24．（10分）钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷（满分100分），社区管理员随机从有400人的某小区抽取40名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）统计如下：858095100909585657585909070901008080909575806580958510090858580957580907080957510090根据数据绘制了如下的表格和统计图：等级成绩（x）频数频率A90＜x≤100.25100a0.35B80＜x≤90C70＜x≤120.380D60≤x≤4b70合计401根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）统计表中的a＝14，b＝0.1；（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请估计该小区答题成绩为“C级”的有多少人？（4）该社区有2名男管理员和2名女管理员，现从中随机挑选2名管理员参加“社区防控”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．【解答】解：（1）由题意可知：B等级的频数a＝14，∴B等级的频率为：14÷40＝0.35，D等级的频数为4，b＝1﹣0.25﹣0.35﹣0.3＝0.1．故答案为：14、0.1、4、0.35；（2）如图即为补全的条形统计图；（3）0.3×400＝120（名）答：估计该小区答题成绩为“C级”的有120人；（4）如图，根据树状图可知：所有可能的结果共有12种，恰好选中“1男1女”的有8种，∴恰好选中“1男1女”的概率为812＝23．25．（10分）如图，已知反比例函数y＝mx（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．（1）求反比例函数的表达式；（2）若BD＝3OC，求△BDE的面积；（3）是否存在点B，使得四边形ACED为平行四边形？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝mx（x＞0）的图象经过点A（4，2），∴m＝8，∴反比例函数y＝8x（x＞0）．（2）∵AC⊥y轴，A（4，2），∴OC＝2，∵BD＝3OC，∴BD＝6，∵BD⊥x轴，∴B（43，6），∵C（0，2），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，则有2463b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得32k b =⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y ＝3x +2，∴E （﹣23，0），∴DE ＝23+43＝2，∴S △BED ＝12×DE ×BD ＝6．（3）存在．如图，设BD 交AC 于F ．设B （a ，8a），∵A （4，2）∴AC ＝4，∵四边形ACED 是平行四边形，∴DE ＝AC ＝4，且CF ∥DE ，∴△BCF ∽△BED ，∴CF BF DE DF =，即8284a a a-=，解得a ＝2，∴B （2，4）．26．（12分）如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，D 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转60°得到AE ，连接EC ，则：（1）①∠ACE 的度数是60°；②线段AC ，CD ，CE 之间的数量关系是AC ＝CD +CE ．（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C 重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请判断线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）如图②，AC与DE交于点F，在（2）条件下，若AC＝8，求AF的最小值．【解答】解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60°，由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝60°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，故答案为60°；②由（1）知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∴AC＝CE+CD，故答案为AC＝CE+CD；（2）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴BC AC，由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，AC＝CE+CD；（3）由（2）知，△ABD≌△ACE，∴ACE＝∠ABD，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABD＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∵∠DAE＝90°，∴∠BCE+∠DAE＝180°，∴点A，D，C，E在以DE为直径的圆上，∵AC与DE交于点F，∴AF是直径DE上的一点到点A的距离，即：当AF⊥DE时，AF最小，∴∠CFD＝90°，∴∠CDF＝90°﹣∠ACB＝45°，∵∠ADE＝45°，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AF最小＝12AC＝4．27．（12分）图①，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；（3）如图2，将抛物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交与点E，求点E的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴222(1)02330b cb c⎧-⨯--+=⎪⎨-⨯++=⎪⎩得46bc=⎧⎨=⎩∴y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，∴抛物线的对称轴是直线x＝1，即该抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6，对称轴是直线x＝1；（2）分两种情况：设点D的坐标为（1，y）第一种情况是：∠BCD＝90°时，则CD2+BC2＝BD2，∵点B的坐标为（3，0），抛物线y＝﹣2x2+4x+6交y轴于点C，∴点C的坐标为（0，6），∴[12+（y﹣6）2]+（32+62）＝（3﹣1）2+y2，解得，y＝6.5，∴点D的坐标为（1，6.5）；第二种情况：当∠DBC＝90°时，BD2+BC2＝CD2，即[（3﹣1）2+y2]+（32+62）＝12+（6﹣y）2，解得，y＝﹣1，∴点D的坐标为（1，﹣1），综上所述，符合条件的点D的坐标为（1，6.5），（1，﹣1）；（3）因为点C的坐标为（0，6），点B的坐标为（3，0），设直线BC 的解析式为y ＝kx +6，则3k +6＝0，得k ＝﹣2，即直线BC 的解析式为y ＝﹣2x +6，如右图所示，作点E 关于直线BC 的对称点E ′交BC 于点F ，过点F 作FN ⊥y 轴于点N ，设E （0，m ），E ′（x ，y ），则EE ′⊥BC ，∴∠CFE ＝∠COB ＝90°，∴BC ＝∵∠ECF ＝∠BCO ，∴△ECF ∽△BCO ，∴CE CF CB CO=6CF =，解得，CF＝)5m -又∵∠CNF ＝∠COB ，∠NCF ＝∠OCB ，∴△NCF ∽△OCB ，∴FN CF BO CB=即3FN =，解得，FN ＝2(6)5m -，∴点F 的横坐标为2(6)5m -，把x ＝2(6)5m -代入直线BC 的解析式，得y ＝465m +，∴点F 的坐标为（2(6)5m -，465m +），∵EE ′关于直线BC 对称，∴点F为EE′的中点，∴46252(6)25m y mx m++⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得4(6)51235mxmy-⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴E’(4(6)12355m m-+，)∵点E′在抛物线y＝﹣2x2+4x+6上，∴1235m+＝﹣2×[4(6)5m-]2+4×4(6)5m-+6，解得，m1＝6，m2＝97 32，∵点C（0，6），点E在点C下方，∴点E的坐标为（0，97 32）．。