2020-2021学年湖南省怀化市博览联考高三(上)期中考试数学(理科)试题Word版含解析
2020-2021学年湖南省怀化市博览联考高三（上）期中考试数学（理科）试题一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B为（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）2．（5分）已知函数，则f（f（﹣3））的值为（）A．B．﹣1 C．0 D．13．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a2+a8+a9=20，则S9=（）A．40 B．45 C．50 D．554．（5分）已知一几何体的正视图、俯视图为直角三角形，侧视图为矩形，则该几何体的体积为（）A．6 B．12 C．18 D．365．（5分）如图所示的程序运行后输出的结果是（）A．﹣5 B．﹣3 C．0 D．16．（5分）已知直线：bx+ay=0与直线：x﹣2y+2=0垂直，则二次函数f（x）=ax2﹣bx+a的说法正确的是（）A．f（x）开口方向朝上B．f（x）的对称轴为x=1C．f（x）在（﹣∞，﹣1）上递增D．f（x）在（﹣∞，﹣1）上递减7．（5分）若a，b都是正数，则的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．108．（5分）直线l：xsin30°+ycos150°+1=0的倾斜角为（）A．30° B．60° C．120°D．150°9．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（）A．（kπ+π，kπ+π），k∈Z B．（kπ+，kπ+），k∈ZC．（2kπ+，2kπ+π），k∈Z D．（2k+π，2k+π），k∈Z10．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，f（1）=1，且对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，则f（2015）+f（2016）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．211．（5分）若正数a，b满足3+log2a=2+log3b=log6（a+b），则等于（）A．18 B．36 C．72 D．14412．（5分）已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若存在f（a）=g（b），则实数b的取值范围为（）A．[1，3] B．（1，3）C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13．（5分）已知向量，则= ．14．（5分）在圆x2+y2=4内随机取一点P（x0，y0），则的概率为．15．（5分）已知实数x，y满足，a≤x﹣y≤b恒成立，则a﹣2b的范围是．16．（5分）赵先生、钱先生、孙先生他们都知道桌子的抽屉里有16张扑克牌：红桃A、Q、4黑桃J、8、4、2、7、3草花K，Q，5，4，6方块A，5，李教授从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉钱先生，把这张牌的花色告诉孙先生．这时，李教授问钱先生和孙先生：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？于是，赵先生听到如下的对话：钱先生：我不知道这张牌．孙先生：我知道你不知道这张牌．钱先生：现在我知道这张牌了．孙先生：我也知道了．听罢以上的对话，赵先生想了一想之后，就正确地推出这张牌是什么牌．请问：这张牌是什么牌？．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0．（1）求角B的大小；（2）设函数f（x）=2sinxcosxcosB﹣cos2x，求函数f（x）的最大值及当f（x）取得最大值时x的值．18．（12分）怀化某中学对高三学生进行体质测试，已知高三某个班有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如图（单位：cm）男生成绩在195cm以上（包含195cm）定义为“合格”，成绩在195cm以下（不包含195cm）定义为“不合格”，女生成绩在185cm以上（包含185cm）定义为“合格”，成绩在185cm以下（不包含185cm）定义为“不合格”．（1）求女生立定跳远成绩的中位数；（2）若在男生中按成绩合格与否进行分层抽样，抽取6人，求抽取成绩为“合格”的学生人数；（3）若从（2）中抽取的6名学生中任意选取4个人参加复试，求这4人中至少3人合格的概率．19．（12分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=a n，n∈N*（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和．20．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥BD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=120°，PA=b，AC与BD交于点O，M为OC的中点．（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；（2）若∠PAC=90°，二面角O﹣PM﹣D的正切值为，求a：b的值．21．（12分）已知点M（﹣1，0），N（1，0），曲线E上任意一点到M的距离均是到点N距离的倍．（1）求曲线E的方程；（2）已知m≠0，设直线l1：x﹣my﹣1=0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx+y﹣m=0交曲线E于B，D两点，C，D两点均在x轴下方，求四边形ABCD面积的最大值．22．（12分）已知f（x）=e x﹣ax2﹣2x+b（e为自然对数的底数，a，b∈R）（1）设f′（x）为f（x）的导函数，求f′（x）的递增区间；（2）当a＞0时，证明：f′（x）的最小值小于零；（3）若a＜0，f（x）＞0恒成立，求符合条件的最小整数b．2020-2021学年湖南省怀化市博览联考高三（上）期中考试数学（理科）试题参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B为（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|2＜x＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，所以A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（5分）已知函数，则f（f（﹣3））的值为（）A．B．﹣1 C．0 D．1【分析】由已知中，函数，将x=﹣3代入计算，可得答案．【解答】解：∵函数，∴f（﹣3）=，∴f（f（﹣3））=f（）=ln=﹣1，故选：B【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．3．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a2+a8+a9=20，则S9=（）A．40 B．45 C．50 D．55【分析】由等差数列通项公式先求出a1+a9=10，再由等差数列的前n项和公式能求出S9．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，a1+a2+a8+a9=2（a1+a9）=20，∴a1+a9=10，∴S9=×（a1+a9）==45．故选：B．【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．（5分）已知一几何体的正视图、俯视图为直角三角形，侧视图为矩形，则该几何体的体积为（）A．6 B．12 C．18 D．36【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，故体积V=×2×3×3=6，故选：A【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积，简单几何体的三视图，难度中档．5．（5分）如图所示的程序运行后输出的结果是（）A．﹣5 B．﹣3 C．0 D．1【分析】根据题意，模拟程序语言的运行过程，即可得出输出的结果．【解答】解：模拟程序语言的运行过程，如下；x=3，y=7，x＜0不成立，x=7﹣2=5，y=7+1=8，x﹣y=5﹣8=﹣3．故选：B．【点评】本题考查了程序语言的应用问题，解题时应模拟程序语言的运行过程，从而得出正确的答案，属于基础题．6．（5分）已知直线：bx+ay=0与直线：x﹣2y+2=0垂直，则二次函数f（x）=ax2﹣bx+a的说法正确的是（）A．f（x）开口方向朝上B．f（x）的对称轴为x=1C．f（x）在（﹣∞，﹣1）上递增D．f（x）在（﹣∞，﹣1）上递减【分析】利用直线的垂直关系，得到a，b的关系，然后求解二次函数的对称轴判断选项即可．【解答】解：直线：bx+ay=0与直线：x﹣2y+2=0垂直，可得b=2a，二次函数f（x）=ax2﹣bx+a=ax2﹣2ax+a，函数的对称轴为：x=1，故选：B．【点评】本题考查直线的垂直，二次函数的简单性质的应用，考查计算能力．7．（5分）若a，b都是正数，则的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a，b都是正数，则=5++≥5+2=9，当且仅当b=2a＞0时取等号．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）直线l：xsin30°+ycos150°+1=0的倾斜角为（）A．30° B．60° C．120°D．150°【分析】化直线的一般式方程为斜截式，利用诱导公式变形，则直线的倾斜角可求．【解答】解：由xsin30°+ycos150°+1=0得到：y=﹣=﹣=tan30°x+，则直线l：xsin30°+ycos150°+1=0的倾斜角为30°．故选：A．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．9．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（）A．（kπ+π，kπ+π），k∈Z B．（kπ+，kπ+），k∈ZC．（2kπ+，2kπ+π），k∈Z D．（2k+π，2k+π），k∈Z【分析】根据三角函数的图象求出函数的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：函数的周期T=2×（π﹣）=2π，即，得ω=1，则f（x）=cos（x+φ），则当x==π时，函数取得最小值，则π+φ=π+2kπ，即φ=+2kπ，即f（x）=cos（x+），由2kπ+π＜x+＜2kπ+2π，k∈Z，即2k+π＜x＜2k+π，k∈Z，即函数的单调递增区间为为（2k+π，2k+π），故选：D【点评】本题主要考查三角函数解析式和单调区间的求解，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．10．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，f（1）=1，且对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，则f（2015）+f（2016）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】令x=﹣3计算f（3）=0，得出f（x）周期为6，利用周期再计算f（2015）和f（2016）．【解答】解：令x=﹣3得f（3）=f（﹣3）+f（3）=0，∴f（x+6）=f（x），∴f（x）是周期期为6的函数，∴f（2016）=f（0）=0，f（2015）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1．∴f（2015）+f（2016）=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了奇函数的性质，函数周期的判断，属于中档题．11．（5分）若正数a，b满足3+log2a=2+log3b=log6（a+b），则等于（）A．18 B．36 C．72 D．144【分析】利用对数换底公式、等比的性质、对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足3+log2a=2+log3b=log6（a+b），∴===，∴72ab=a+b，则=72．故选：C．【点评】本题考查了对数换底公式、等比的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若存在f（a）=g（b），则实数b的取值范围为（）A．[1，3] B．（1，3）C．D．【分析】确定两个函数的值域，根据f（a）=g（b），可得g（b）∈（﹣1，1]，即可求得实数b的取值范围．【解答】解：由题可知f（x）=e x﹣1＞﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≤1，若有f（a）=g（b），则g（b）∈（﹣1，1]，即﹣b2+4b﹣3＞﹣1，即 b2﹣4b+2＜0，解得．所以实数b的取值范围为故选D．【点评】本题考查函数的值域，考查解不等式，同时考查学生分析解决问题的能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13．（5分）已知向量，则= ．【分析】先求得的坐标，可得的值．【解答】解：∵向量，∴=（2，1），则==，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，求向量的模的方法，属于基础题．14．（5分）在圆x2+y2=4内随机取一点P（x0，y0），则的概率为．【分析】分别求出两圆表示的平面面积，利用几何概型计算即可．【解答】解：圆x2+y2=4内点M对应的图形面积为S=πr2=4π，表示的区域面积为S′=πr′2=π，由几何概型的概率公式计算点P落在M内的概率为：P==．故答案为：．【点评】本题考查了几何概型的概率公式计算问题，是基础题目．15．（5分）已知实数x，y满足，a≤x﹣y≤b恒成立，则a﹣2b的范围是（﹣∞，﹣16））．【分析】由题意作出其平面区域，求出x﹣y的最值最值问题，从而求解a﹣2b的范围即可．【解答】解：由题意作出平面区域，z=x﹣y，可得y=x﹣z，直线y=x﹣z，经过可行域的A时z取得最小值，经过可行域的B时，取得最大值．由可得B（2，﹣2），由，可得A（2，10）所以﹣8≤x﹣y≤4；可得a≤﹣8，b≥4，﹣2b≤﹣8则a﹣2b的范围是：（﹣∞，﹣16）．故答案为：（﹣∞，﹣16）【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，同时考查了恒成立问题，属于中档题．16．（5分）赵先生、钱先生、孙先生他们都知道桌子的抽屉里有16张扑克牌：红桃A、Q、4黑桃J、8、4、2、7、3草花K，Q，5，4，6方块A，5，李教授从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉钱先生，把这张牌的花色告诉孙先生．这时，李教授问钱先生和孙先生：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？于是，赵先生听到如下的对话：钱先生：我不知道这张牌．孙先生：我知道你不知道这张牌．钱先生：现在我知道这张牌了．孙先生：我也知道了．听罢以上的对话，赵先生想了一想之后，就正确地推出这张牌是什么牌．请问：这张牌是什么牌？方块5 ．【分析】钱第一句表明点数为A，Q，5，4其中一种；孙第一句表明花色为红桃或方块，钱第二句表明不是A；孙第二句表明只能是方块5，即可得出结论．【解答】解：钱第一句表明点数为A，Q，5，4其中一种；孙第一句表明花色为红桃或方块钱第二句表明不是A；孙第二句表明只能是方块5；故答案为：方块5【点评】本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0．（1）求角B的大小；（2）设函数f（x）=2sinxcosxcosB﹣cos2x，求函数f（x）的最大值及当f（x）取得最大值时x的值．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得sinA=2sinAcosB，结合范围sinA≠0，可得cosB=，又0＜B＜π，从而得解B的值．（2）三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），令即可解得函数f（x）的最大值及当f（x）取得最大值时x的值．【解答】（本题满分12分）计算：解：（1）正弦定理得sinBcosC=2sinAcosB﹣sinCcosB，则sin（B+C）=sinA=2sinAcosB．…（2分）又sinA≠0，∴cosB=，又0＜B＜π，∴．…（4分）（2）∵f（x）=2sinxcosxcosB﹣cos2x，∴，当时，即当时f（x）取最大值1．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18．（12分）怀化某中学对高三学生进行体质测试，已知高三某个班有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如图（单位：cm）男生成绩在195cm以上（包含195cm）定义为“合格”，成绩在195cm以下（不包含195cm）定义为“不合格”，女生成绩在185cm以上（包含185cm）定义为“合格”，成绩在185cm以下（不包含185cm）定义为“不合格”．（1）求女生立定跳远成绩的中位数；（2）若在男生中按成绩合格与否进行分层抽样，抽取6人，求抽取成绩为“合格”的学生人数；（3）若从（2）中抽取的6名学生中任意选取4个人参加复试，求这4人中至少3人合格的概率．【分析】（1）由茎叶图能求出女生立定跳远成绩的中位数．（2）男生成绩“合格”的有8人，“不合格”的有4人，用分层抽样的方法，能求出其中成绩“合格”的学生应抽取的人数．（3）由（2）可知6人中，4人合格，2人不合格，设合格学生为 a，b，c，d 不合格学生为e，f，利用列举法能求出这4人中至少3人合格的概率．【解答】解：（1）女生立定跳远成绩的中位数为：（cm）．（2）男生成绩“合格”的有8人，“不合格”的有4人，用分层抽样的方法，其中成绩“合格”的学生应抽取6×（人）…（8分）（3）由（2）可知6人中，4人合格，2人不合格设合格学生为 a，b，c，d 不合格学生为e，f，从这6人中任取4人有：abcd abce abcf abde abdfabef acde acdf acef adefbcde bcdf bcef bdef cdef共有15个基本事件，其中符合条件的基本事件共有9个，故这4人中至少3人合格的概率p=．…（12分）【点评】本题考查中位数、样本单元数、概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图、分层抽样、等可能事件概率计算公式的合理运用．19．（12分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=a n，n∈N*（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和．【分析】（1）通过对a n+1=a n变形可知=•，进而可知数列{}是首项、公比均为的等比数列；（2）通过（1）可知，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】（1）证明：∵a n+1=a n，∴=•，又∵=，∴数列{}是首项、公比均为的等比数列；（2）解：由（1）可知=，，∴，S n=+2•+…+（n﹣1）•+n•，两式相减得：S n=+++…+﹣n•，∴S n=1++++…+﹣n•=﹣n•=2﹣．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥BD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=120°，PA=b，AC与BD交于点O，M为OC的中点．（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；（2）若∠PAC=90°，二面角O﹣PM﹣D的正切值为，求a：b的值．【分析】（1）推导出AC⊥BD，PA⊥BD，由此能证明平面PAC⊥平面ABCD．（2）以A为坐标原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系，利用利用向量法能求出a：b 的值．【解答】证明：（1）因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又PA⊥BD，PA∩AC=A，所以BD⊥面PAC，又因为 PD⊂面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD．…（5分）解：（2）由∠PAC=90°可知PA⊥AC，又由（1）可知平面PAC⊥平面ABCD平面PAC∩平面ABCD=AC，所以 PA⊥平面ABCD，故如图，以A为坐标原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，b），D（0，a，0），M（，，0），O（，，0）从而=（0，a，﹣b），=（a，，﹣b），=（﹣，，0），因为BD⊥面PAC，所以平面PMO的一个法向量为=（﹣，，0），设平面PMD的法向量为=（x，y，z），由，，得，令y=b，得x=，z=a，即，设与的夹角为θ，则二面角O﹣PM﹣D的大小与θ相等，由，得化简得 4b=3a，即a：b=4：3…（12分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查两线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（12分）已知点M（﹣1，0），N（1，0），曲线E上任意一点到M的距离均是到点N距离的倍．（1）求曲线E的方程；（2）已知m≠0，设直线l1：x﹣my﹣1=0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx+y﹣m=0交曲线E于B，D两点，C，D两点均在x轴下方，求四边形ABCD面积的最大值．【分析】（1）设出点坐标，由题目条件进行计算即可；（2）四边形的面积：S=，取AC的中点P，BD的中点Q，连结EP、EQ，求出AC2+BD2=8，利用基本不等式可得结论．【解答】解：（1）设曲线E上任意一点坐标为（x，y），由题意，=，﹣﹣﹣﹣﹣（2分）整理得x2+y2﹣4x+1=0，即（x﹣2）2+y2=3为所求．﹣﹣…（5分）（2）由题意可知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N（1，0）…（7分）则四边形的面积：S=…（8分）取AC的中点P，BD的中点Q，连结EP、EQ，EP2=3﹣AC2，EQ2=3﹣BD2，又可知四边形NPEQ为矩形，所以有EP2+EQ2=EN2=4整理得：AC2+BD2=8…（10分）故S=≤=2当AC=BD，即m=1时，即面积最大值为2…（12分）【点评】本题考查求解轨迹方程的一般方法，考查面积的计算，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（12分）已知f（x）=e x﹣ax2﹣2x+b（e为自然对数的底数，a，b∈R）（1）设f′（x）为f（x）的导函数，求f′（x）的递增区间；（2）当a＞0时，证明：f′（x）的最小值小于零；（3）若a＜0，f（x）＞0恒成立，求符合条件的最小整数b．【分析】（1）令g（x）=f′（x）=e x﹣2ax﹣2，求得g（x）导数，讨论当a≤0 时，当a＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）f′（x）min=g（x）min=g（ln2a）=e ln2a﹣2aln2a﹣2=2a﹣2aln2a﹣2，令G（x）=x﹣xlnx﹣2（x＞0），求得导数和单调区间，可得G（x）的最大值，即可得证；（3）f（x）＞0恒成立，等价于f（x）min＞0恒成立．令g（x）=f′（x）=e x﹣2ax﹣2，求出g（x）的零点所在区间，得到f（x）的单调区间和最小值，即f（x）min=f（x0）=e x0﹣ax02﹣2x0+b＞0恒成立，且e x0﹣2ax0﹣2=0，再由参数分离和构造函数法，即可得到b的范围，进而得到最小整数b．【解答】解：（1）令g（x）=f′（x）=e x﹣2ax﹣2，则g′（x）=e x﹣2a…（1分）当a≤0 时，g′（x）＞0恒成立，此时f′（x）的单调递增区间是（﹣∞，+∞）；当a＞0，令g′（x0）=0，解得x0=ln2a，则当x＜ln2a时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞ln2a时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；…（2分）综上所述，当a≤0时，f′（x）的单调递增区间是（﹣∞，+∞）；当a＞0时，f′（x）的单调递增区间是（ln2a，+∞）；…（3分）（2）证明：由（1）可知，当a＞0时，x0=ln2a时，f′（x）有最小值，则f′（x）min=g（x）min=g（ln2a）=e ln2a﹣2aln2a﹣2=2a﹣2aln2a﹣2…（4分）令G（x）=x﹣xlnx﹣2（x＞0），G′（x）=1﹣（1+lnx）=﹣lnx，当x∈（0，1）时，G′（x）＞0，G（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，G′（x）＜0，G（x）单调递减，…（5分）∴G（x）max=G（1）=﹣1＜0，∴f′（x）min＜0成立．…（6分）（3）f（x）＞0恒成立，等价于f（x）min＞0恒成立．令g（x）=f′（x）=e x﹣2ax﹣2，则g′（x）=e x﹣2a，∵a＜0，∴g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（0）=﹣1＜0，g（1）=e﹣2a＞0，∴存在x0∈（0，1），使得g（x0）=0…（7分）则x＜x0时，g（x）=f′（x）＜0，f（x）单调递减；x＞x0时，g（x）=f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴f（x）min=f（x0）=e x0﹣ax02﹣2x0+b＞0恒成立，且e x0﹣2ax0﹣2=0由上可知，b＞﹣e x0+ax02+2x0=﹣e x0+x0（﹣1）+2x0=（﹣1）e x0+x0…（9分）又可得，a=＜0，∴x0∈（0，ln2）…（10分）令m（x）=（x﹣1）e x+x，x∈（0，ln2），令n（x）=m′（x）=（x﹣1）e x+1，n′（x）=xe x＞0，∴n（x）＞n（0）=＞0，∴m（x）单调递增，m（x）＞m（0）=（﹣1）e0=﹣1，m（x）＜m（ln2）=（﹣1）e ln2+ln2=2ln2﹣2…（11分）∴b＞﹣1，∴符合条件的最小整数b=0…（12分）【点评】本题考查导数的运用：求单调性和最值，考查不等式恒成立问题的解法，以及构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于综合题．。
湖南省怀化市高三上学期期中数学试卷(理科)
湖南省怀化市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2012·山东理) 若，，则sinθ=（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高三上·云南期末) 已知向量，则向量在向量上的投影是（）A . 2B . 1C . -1D . -23. （2分）已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）等差数列中的是函数的极值点，则（）A . 2B . 3C . 4D . 55. （2分）将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高一下·邢台期末) 设向量，，满足| |=2，| + |=6，| |=| |，且⊥ ，则| ﹣ |的取值范围为（）A . [4，8]B . [4 ，8 ]C . （4，8）D . （4 ，8 ）7. （2分）已知α是三角形的一个内角，且sinα+cosα=，则这个三角形是（）A . 钝角三角形B . 锐角三角形C . 不等腰的直角三角形D . 等腰直角三角形8. （2分） (2018高二上·大连期末) 的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，则CD的长为（）A .B .C .D .9. （2分）已知函数，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是（）A . (0,1)B . (1,2)C . (2,4)D . (4，＋∞)10. （2分）已知向量.若恒成立则实数的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线FE交该双曲线右支于点P，若，且则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二上·大连开学考) 在边长为1的正三角形ABC中， =x ， =y ，x ＞0，y＞0，且x+y=1，则• 的最大值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·安徽模拟) 已知向量与夹角为，则 ________．14. （1分）已知：在△ABC中，角A，B，C所对三边分别为a，b，c若tanAcotB+1= ，则角A=________．15. （1分） (2017高一上·徐汇期末) 若x＞0，则函数f（x）= +x的最小值为________．16. （1分） (2017高一下·衡水期末) 在△ABC中，如果sinA=sinC，B=30°，角B所对的边长b=2，则△ABC 的面积为________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （10分） (2016高一下·长春期中) 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠A是锐角，且b=2a•sinB．（1）求∠A的度数；（2）若a=7，△ABC的面积为10 ，求b2+c2的值．18. （5分）(2018·丰台模拟) 已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的单调递增区间．19. （10分） (2017高三上·天水开学考) 已知函数f（x）= sin2x+ sin2x．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）= ，△ABC的面积为3 ，求a 的最小值．20. （5分） (2015高一下·黑龙江开学考) 是否存在实数a，使函数为奇函数，同时使函数为偶函数，证明你的结论．21. （10分） (2017高二下·曲周期中) 已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．22. （10分）(2017·新余模拟) 已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为为参数，θ为倾斜角），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的方程为ρ﹣ρcos2θ﹣4cosθ=0．（1）写出曲线C的直角坐标方程；（2）点Q（a，0），若直线l与曲线C交于A、B两点，求使为定值的值．23. （5分） (2017高二上·平顶山期末) （Ⅰ）解不等式＞0（Ⅱ）设a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求证（﹣1）（﹣1）（﹣1）≥8．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、第11 页共11 页。
湖南省怀化市新博览联考2020-2021学年高三上学期期中数学(理)试题
湖南省怀化市新博览联考2020-2021学年高三上学期期中数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A ={x |-1＜x ＜2}，{|B x y ==，则A ∩B =（ ） A ．(]1,0- B ．[)0,1 C ．[)0,2 D ．[)1,2 2．命题“∀x ∈N *，x 2∈N *且x 2≥x ”的否定形式是（ ）A ．*x N ∀∈,2*x N ∉且2x x <B ．*x N ∀∈,2*x N ∉或2x x <C ．*0x N ∃∈,2*0x N ∉且200x x <D ．*0x N ∃∈,2*0x N ∉或200x x <3．已知数列{a n }中，“a n +12=a n •a n+2”是“数列{a n }为等比数列”的什么条件（ ） A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 4．设函数()4,12,1x x b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若344f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则b 等于（ ） A ．2B ．1C ．12D ．1- 5．已知()43tan πα+=，则cos2α=（ ） A ．725- B ．725 C ．15- D ．356．设向量a b ，满足()113a b ==，，，且a 与b 的夹角为3π，则2a b +=（ ）A ．2B ．4C ．12D ．7．已知等差数列{a n }中，a 3+a 5=π，S n 是其前n 项和．则sinS 7等于（ ） A ．1 B ．0 C ．1- D ．128．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2221a c b c a ==+-=，，则C 等于（ ） A ．6π B ．3π C ．6π或56π D ．3π或23π 9．设f （x ）是定义域为R 的偶函数，且f （x +3）=f （x -1），若当x ∈[-2，0]时，f （x ）=2-x ，记214a f log ⎛⎫= ⎪⎝⎭，b f =，c =f （32），则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a c b >> 10．已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的个数是（ ）①函数()f x 的值域与()g x 的值域相同；②若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点；③把函数()f x 的图像向右平移2π个单位长度，就可以得到()g x 的图像； ④函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内都是增函数. A ．0 B ．1 C ．2 D ．311．在△ABC 中，AC ⊥AB ，AB =2，AC =1，点P 是△ABC 所在平面内一点，2ABAC AP AB AC =+，且满足1PM =，若AM AB AC λμ=+，则2λ+μ的最小值是（ ）A ．3B ．5C ．1D ．312．设函数()x f x m π=，若存在f （x ）的极值点x 0满足()22200[]x f x m +＜，则m 的取值范围是（ ）A ．()(),22,-∞-⋃+∞B ．(),-∞⋃+∞C ．(),-∞⋃+∞ D ．()(),11,-∞-⋃+∞二、填空题 13．已知曲线y =ax +lnx 在点（1，a ）处的切线过点（2，3），则a=______．14．已知函数()log (0,1)a f x x b a a =+>≠的定义域、值域都是[1,2]，则a b +=__________．15．由曲线2y x=，直线y =2x ，x =2所围成的封闭的图形面积为______． 16．用g （n ）表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：6的因数有1，2，3，6，g （6）=3，9的因数有1，3，9，g （9）=9，那么g （1）+g （2）+g （3）+…+g （22019-1）=______．三、解答题17．给定两个命题，p ：对任意实数x 都有x 2+ax +1≥0恒成立；q ：幂函数y =x a-1在（0，+∞）内单调递减；如果p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围． 18．已知函数()22226f x sin x cos x x R π⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，． （1）求f （x ）的最小正周期及单调递减区间；（2）若f （x ）在区间3m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值为1，求m 的最小值． 19．设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1=a 1，b 2=2，q =d ，S 4=16．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）当d ＞1时，记n n n a c b =，求数列{c n }的前n 项和T n ． 20．已知函数()224f x x a x =+-，x ⎡∈⎣，()32g x mx =+ （1）若函数f （x ）有两个零点，求实数a 的取值范围；（2）若a =3，且对任意的x 1∈[-1，2]，总存在2x ⎡∈⎣，使g （x 1）-f （x 2）=0成立，求实数m 的取值范围．21．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3m a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，()n cosC c =，，b m n =⋅．（1）求角A 的大小；（2）若a =3，求△ABC 的周长L 的取值范围．22．已知函数()()212f x lnx ax x a R =-+∈，函数g （x ）=-2x +3． （1）当a =2时，求f （x ）的极值； （2）讨论函数()()()12F x f x ag x =+的单调性； （3）若-2≤a ≤-1，对任意x 1，x 2∈[1，2]，不等式|f （x 1）-f （x 2）|≤t |g （x 1）-g （x 2）|恒成立，求实数t 的最小值．参考答案1．C【解析】【分析】分别求出集合A ，B ，结合集合的交集运算，即可求解．【详解】由题意，集合A ={x |-1＜x ＜2}，{|B x y ==={x |x ≥0}， 所以A ∩B={x |0≤x ＜2}=[0，2）．故选：C ．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．D【分析】根据全称命题的否定是特称命题，准确改写，即可求解．【详解】由题意，根据命题的全称命题，则否定是特称命题，可得命题：“2,x N x N ++∀∈∈且2x x ≥”的否定为“200,x N x N ++∃∈∉或200x x <”.故选：D ．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键，属于基础题．3．B【分析】结合等比数列的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断，即可求解．【详解】由题意，若数列{a n }为等比数列，则满足a n+12=a n •a n+2，当数列a n =0时满足a n+12=a n •a n+2，但此时数列{a n }为等比数列不成立，即“a n+12=a n •a n+2”是“数列{a n }为等比数列”的必要不充分条件，故选：B ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键，属于基础题基础．4．B【分析】根据题意，由函数的解析式可得f （34）=3-b ，按b 的范围分情况讨论，代入函数的解析式，求出b 的值，综合可得答案．【详解】根据题意，函数()4,12,1x x b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则f （34）=4×34-b =3-b ， 若b ≤2，则3-b ≥1，此时f （f （34））=f （3-b ）=32b - =4，解可得1b =； 若b ＞2，则3-b ＜1，此时f （f （34））=f （3-b ）=4×（3-b ）-b =12-5b =4，解可得b 85=，（舍） 故b =1；故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的解析式，涉及函数值的计算，其中解答中数列应用分段函数的解析式，结合分段条件，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 5．A【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和三角函数的定义及倍角公式的应用求出结果．【详解】由题意，已知()43tan πα+=，所以43tan α=，利用三角函数的定义，解得45sin α=±，故cos2α=1-2sin 2α=32712525-=-． 故选A ．【点睛】 本题考查了三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6．D【分析】 根据条件可求出2b =，进而求出1a b ⋅=，从而根据22(2)a b a b +=+进行数量积的运算，即可求出2a b +的值．【详解】 由题意，向量a b ，满足123a b a b π===，，＜，＞， 所以cos ,1a b a b a b ⋅==，所以2222(2)44a b a b a b a b +=+=++⋅==故选：D ．【点睛】 本题考查了根据向量得到坐标求向量的长度的方法，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．7．C【分析】由等差数列{a n }中，a 3+a 5=π，利用等差数列的性质，求得772S π=，由此能求出sinS 7． 【详解】由题意，等差数列{a n }中，a 3+a 5=π， 又由()71772S a a =+=()3572a a +=72π， 所以sinS 7=72sin π=sin （-2π）=-sin 2π=-1． 故选：C ．【点睛】本题考查了等差数列中前7项和的正弦值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．8．A【解析】【分析】直接利用正弦定理余弦定理，即可求得结果，得到答案．【详解】由题意，知222b c a +-=，所以22222b c a cosA bc +-==， 因为(0,)A π∈，解得A =4π，由于a ，c =1，所以a c sinA sinC =，解得12sinC =， 由于c ＜a ，所以6C π=． 故选A ．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.9．A【分析】根据f （x +3）=f （x-1），得到函数是周期为4的周期函数，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化，即可求解．【详解】由题意，因为f （x +3）=f （x -1），所以f （x +4）=f （x ），即函数f （x ）是周期为4的周期函数，当x ∈[-2，0]时，f （x ）=2-x ，则函数f （x ）为减函数，即当x ∈[0，2]时，f （x ）为增函数， 又由142log 2=-，则214a f log ⎛⎫= ⎪⎝⎭=f （-2）=f （2），c =f （32）=f （0），因为02，且当x ∈[0，2]时，f （x ）为增函数，所以f （0）＜f f （2），所以a ＞b ＞c ，故选A ．【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合条件求出函数的周期，结合函数的周期性，奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 10．B【分析】求出函数f (x )的导函数g (x )，再分别判断f (x )、g (x )的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题即可一一做出判断，从而得到答案.【详解】()sin cos cos 224f x x x x x x π⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，()sin +cos +4g x x x x x x π⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，①， ()4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，两函数的值域相同，都是[，故①正确；②，若0x 是函数()f x 的极值点，则042x k πππ-=+，k Z ∈，解得034x k ππ=+，k Z ∈，()03044g x k πππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，0x ∴也是函数()g x 的零点，故②正确； ③，把函数()f x 的图象向右平移2π个单位，得sin cos cos sin ()222f x x x x x g x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=--≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故③错误； ④，,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,042x ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 是单调增函数，0,42x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()g x 也是单调增函数，故④正确.综上所述，以上结论中错误的个数是1.故选B.【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式，正弦函数的单调性，以及三角函数图象的变换，熟练掌握公式和正弦函数的性质是解本题的关键，属中档题.11．D【分析】建立适当的直角坐标系，分别表示出()10AB AB =，，()01AC AC =，，进而表示出()12AP =，，再用参数方程，结合三角函数性质求出范围，即可求解．【详解】由题意，以A 为原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系， 则A （0，0），B （2，0），C （0，1），()10AB AB=，，()01AC AC =，， 所以()12AP =，，所以点M 满足：（x -1）2+（y -2）2=1，设M （1+cos θ，2+sinθ），则由AM AB AC λμ=+得：（1+cos θ，2+sin θ）=（2λ，μ），所以23334sin cos πλμθθθ⎛⎫+=++=++≥- ⎪⎝⎭所以2λ+μ的最小值是．故选D ．【点睛】本题考查了平面向量基本定理，以及三角函数的性质的应用，其中解答中根据向量的平面向量的基本定理，结合三角函数求范围是关键，属于中档题．12．B【分析】求出导函数f ′（x ）=-x m π，利用f ′（x 0）=0，得到x 0=mk ，k ∈Z ，()22200[]x f x m +＜可转化为：k 2m 2+3＜m 2，k ∈Z ，即2231k k Z m -∈＜，要使原问题成立，只需存在k ∈Z ，使2231k m-＞成立即可，转化求解表达式的最值即可． 【详解】由题意，函数()xf x mπ=，可得f ′（x ）=-x mπ，因为0x 是f （x ）的极值点，所以0()0f x '=，即00x sinmmππ-=，得x k mππ=，k ∈Z ，即0x =mk ，k ∈Z ，所以()22200[]x f x m +＜可转化为：()222()]mk mk m k Z mπ+∈＜，，即k 2m 2+3＜m 2，k ∈Z ，即2231k k Z m -∈＜，， 要使原问题成立，只需存在k ∈Z ，使2231k m-＞成立即可，又k 2的最小值为0，所以2310m -＞，解得m ＜m故选：B ． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 13．1 【分析】求导函数，然后确定切线的斜率，可得切线方程，利用曲线在点（1，a ）处的切线过点（2，3），建立方程，解之即可求出所求． 【详解】由题意，曲线y =ax +lnx ，则y '=a +1x，当x =1时，y '=a +1， 所以曲线y =ax +lnx 在点（1，a ）处的切线方程为(1)(1)y a a x -=+-， 又因为曲线y =ax +lnx 在点（1，a ）处的切线过点（2，3）， 所以3(1)(21)a a -=+-，解得：a =1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，以及导数的几何意义，其中解答中熟记曲线在某点处的切线方程的求法是解答的关键，着重考查学生的计算能力，属于基础题． 14．52或3. 【解析】分析：分类讨论a 的取值范围，得到函数的单调性，代入数据即可求解. 详解：当01a <<时，易知函数()f x 为减函数，由题意有()()122log 21a fb f b ===+=，解得：1,22a b ==，符合题意，此时52a b +=； 当1a >时，易知函数()f x 为增函数，由题意有()()112log 22a fb f b ===+=，解得2,1a b ==，符合题意，此时3a b +=.综上可得：+a b 的值为52或3. 故答案为：52或3. 点睛：在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论． 15．3-2ln2 【分析】 求出曲线2y x=，直线y=2x 的交点坐标，根据定积分的几何意义列式，即可求解． 【详解】依题意，联立方程组22y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩， 所以封闭的图形面积为212(2)x dx x -⎰=（x 2-2lnx ）21=3-2ln2．故答案为：3-2n2．【点睛】本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，其中解答中确定定积分式，准确运算是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及计算能力，属于基础题． 16．()20191413- 【分析】据题中对()g n 的定义，判断出()()2g n g n =，且若n 为奇数则()()g n g n =，利用等差数列的前n 项和公式及逐差累加的方法及等比数列的前n 项和公式，求出()()12g g ++2019(21)g +-的值．【详解】由()g n 的定义易知()()2g n g n =，且若n 为奇数，则()()g n g n =， 令()()()()123(21)n f n g g g g =++++-， 则()()()()11123(21)n f n g g g g ++=++++-()()1113(21)24(22)n n g g g ++=+++-++++-()()()()()12121122142n n n g g g n f n +⎡⎤+-⎣⎦=+++⋯+-=+， 即()1()4f n f n n +-=，分别取n 为1,2,,n ，累加得()()()()241441144441143nn nf n f ⨯-+-=++⋯+==--，又()()111f f ==，所以()()111413n f n ++=-，从而()()1413n f n =-， 令2019n =，则所求为：()20191413-． 故答案为：()20191413-． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式、等比数列的前n 项和公式、逐差累加的方法等知识点的综合应用，其中解答中认真审题，合理运用等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，熟练应用累加法求和是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题． 17．（-∞，-2）∪[1，2] 【分析】通过两个命题是真命题求出a 的范围，然后通过当p 真q 假时，当p 假q 真时，即可求解． 【详解】由题意，对任意实数x 都有x 2+ax +1≥0恒成立，则△=a 2-4≤0，解得-2≤a ≤2， 幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减，可得a -1＜0，解得a ＜1， 由题意知p 与q 一真一假，当p 真q 假时，有-2≤a ≤2且a ≥1，得1≤a ≤2， 当p 假q 真时，有a ＜-2或a ＞2且a ＜1，得a ＜-2， 综上，所求实数a 的取值范围是（-∞，-2）∪[1，2]． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，以及函数恒成立条件的转化，其中解答中正确求解命题,p q ，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及计算能力，属于基础题．18．（1）T π=．, ()536k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，．（2）56π【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． （2）利用正弦型函数的性质的应用求出结果． 【详解】（1）由题意，函数()()2222121263f x sin x cos x cos x cos x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=-++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，=1222222cos x cos x sin x ⎛⎫-+++ ⎪ ⎪⎝⎭=122222226sin x cos x sin x π⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期：22T ππ==． 由()3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得()5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 即函数()f x 的单调递减区间是 ()536k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，．（2）由（1）知()226f x sin x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 因为3x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以22626x m πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，． 要使f （x ）在区间3m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值为1，即26y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间3m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值为-1． 所以3262m ππ-≥，即56m π≥．所以m 的最小值为56π．【点睛】本题考查了三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．（1）1212n n n a n b -=-⎧⎨=⎩或1273323()3n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2）12362n n n T -+=- 【分析】（1）直接利用已知条件建立方程组，求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果． 【详解】（1）由题意，可得1146162a d a d +=⎧⎨=⎩，即112382a d a d +=⎧⎨=⎩，解得1a 1,d 2或123,3a d ==， 所以21n a n =-或2733n a n =+，又由1122,b a b a ==，可得11,2b q ==或123,3b q ==， 所以12n nb -=或123()3n n b -=⨯.（2）由d ＞1，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=． 于是：2313572112222n n n T --=++++⋯+①， 2341135721222222n n n T -=++++⋯+② ①-②得：232111112123232222222n n n n n n T --+=++++⋯+-=-，故12362n n n T -+=-．【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等. 20．（1）1343⎛⎤ ⎥⎝⎦，（2）1144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 【分析】（1）令t=x 2，则t ∈[1，3]，记()4h t t t=+，问题转化为函数y=h （t ）与y=a 有两个交点，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值然后求解实数a 的范围．（2）由（1）知f （x ）∈[1，2]，记A =[1，2]，通过当m=0时，当m ＞0时，当m ＜0时，分类求实数m 的取值范围，推出结果即可． 【详解】（1）由题意，函数()224f x x a x=+-，x ⎡∈⎣， 令t =x 2，则t ∈[1，3]，则()4h t t t=+，要使得函数f （x ）有两个零点，即函数y =h （t ）与y=a 有两个交点， 因为()241h t t='-，当t ∈（1，2）时，()h t '＜0；当t ∈（2，3）时，()h t '＞0， 所以函数h （t ）在（1，2）递减，（2，3）递增， 从而h （t ）min =h （2）=4，()1333h =，h （1）=5， 由图象可得，当1343a ≤＜时，y =h （t ）与y=a 有两个交点， 所以函数f （x ）有两个零点时实数a 的范围为：1343⎛⎤ ⎥⎝⎦，．（2）由（1）知f （x ）∈[1，2]，记A =[1，2]， 当m =0时，()32g x =，显然成立； 当m ＞0时，()32g x mx =+在[-1，2]上单调递增，所以()33222g x m m ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，， 记33222B m m ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦，，由对任意的1[1,2]x ∈-，总存在2x ⎡∈⎣，使()()120g x f x -=成立，可得B A ⊆，所以3222m +≤且312m -+≥，解得104m ≤＜， 当m ＜0时，()32g x mx =+在[-1，2]上单调递减，所以()33222g x m m ⎡⎤∈+-+⎢⎥⎣⎦，， 所以3212m +≥且322m -+≤，截得104m -≤＜， 综上，所求实数m 的取值范围为11[,]44-．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数取得函数的最值或值域，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 21．（1）3A π=（2）L ∈（6，9] 【解析】 【分析】（1）由条件b m n =⋅可得3b acosC csinA =+，再结合正弦定理及三个角之间的关系可得tanA =A ；（2）利用余弦定理再结合基本不等式，求得3＜b+c≤6，即可得到周长L 的范围． 【详解】（1）由题意3m a sinA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，()n cosC c =，，b m n =⋅．所以b acosC =，由正弦定理，可得sinB sinAcosC =+， 因为()B A C π=-+，所以sinB=sin （A +C ）=sinAcosC+cosAsinC ， 又由(0,)C π∈，则sin 0C >，整理得tanA =(0,)A π∈，所以3A π=．（2）由（1）和余弦定理2222cos a b c bc A =+-，即2222232cos 3b c bc b c bc π=+-=+-，即229b c bc +-=，整理得2()39b c bc +-=，又由2()2b c bc +≤（当且仅当b=c =3时等号成立） 从而22219()3()()24b c b c b c +≥+-=+，可得b+c ≤6， 又b+c ＞a=3，∴3＜b+c ≤6，从而周长L ∈（6，9]. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和的应用，以及基本不等式求最值的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 22．（1）f （x ）极大值=f （1）=0，无极小值（2）当a ≤0时，F （x ）在（0，+∞）单调递增；当a ＞0时，F （x ）在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减 （3）114． 【分析】（1）当a =2时，利用导数求得函数()f x 的单调区间，进而得到极值． （2）求得()()211'ax a x F x x-+-+=，分a ≤0和a ＞0，两种情况讨论，即可得出函数的单调区间；（3）把不等式转化为f （x 2）-f （x 1）≤t [g （x 1）-g （x 2）]，得到f （x 2）+tg （x 2）≤f （x 1）+tg （x 1）对任意-2≤a ≤-1，1≤x 1≤x 2≤2恒成立，令()()()h x f x tg x =+，得到h （x ）在[1，2]递减，求得()1120h x ax t x'=-+-≤ 对任意a ∈[-2，-1]，x ∈[1，2]恒成立，进而转化变量只需要研究()0max H a ≤，即可求得t 的取值范围. 【详解】（1）由题意，当a =2时，函数f （x ）=lnx-x 2+x ，则()()()()2121210x x x x f x x x x--+-++=='＞．易知f （x ）在（0，1）递增，（1，+∞）递减， 所以函数f （x ）极大值为()10f =，无极小值． （2）由函数()()()()()211310222F x f x ag x lnx ax a x a x =+=-+-+＞， 则()()2111'1ax a x F x ax a x x-+-+=-+-=．①a ≤0时，()'F x ＞0，恒成立，∴F （x ）在（0，+∞）单调递增；②当a ＞0，由()'F x ＞0得10x a ＜＜，()'F x ＜0得1x a ＞， 所以F （x ）在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，在1a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减． 综上：当a ≤0时，F （x ）在（0，+∞）单调递增；当a ＞0时，F （x ）在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减． （3）由题知t ≥0，()21ax x f x x-++'=．当-2≤a ≤-1时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x 1≤x 2≤2， 又g （x ）单调递减，∴不等式等价于f （x2）-f （x1）≤t [g （x1）-g （x2）]． 即f （x 2）+tg （x 2）≤f （x 1）+tg （x 1）对任意-2≤a≤-1，1≤x 1≤x 2≤2恒成立， 记()()()()211232h x f x tg x lnx ax t x t =+=-+-+，则h （x ）在[1，2]递减． ()1120h x ax t x'=-+-≤ 对任意a ∈[-2，-1]，x ∈[1，2]恒成立． 令()[]11221H a xa t a x=-++-∈--，，． 则()1()22120max H a H x t x =-=++-≤在[1，2]上恒成立，则1212t x x ⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭， 而12y x x =+在[1，2]单调递增，∴19(2)2max x x +=，所以114t ≥． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，考查运算求解能力，以及函数与方程思想，是难题．。
湖南省怀化市新博览联考2020届高三数学上学期期中试题 文(含解析)(1)
所以 , 无最大值．
故选:C．
【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
7。已知正 的边长为4,点 为边 的中点，点 满足 ，那么 的值为（ ）
A。 B. C. 1D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
由二倍角公式得求得tan∠BED,即可求得cos∠BEC，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可．
6.已知函数 ，下列判断正确的是（ ）
A。 在定义域上为增函数B。 在定义域上为减函数
C. 在定义域上有最小值，没有最大值D。 在定义域上有最大值，没有最小值
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数的导数，求出极值点,判断函数的单调性，然后求解函数的最小值即可．
【详解】∵ ,
∴ ,令 ,得 ，
∴当x 时, ， 单调递减．
∴ 是以2为周期的函,函数关系的递推的应用，属于中档题．
C. 等于12。6D. 大于12。6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据累计耗电量的计算公式，即可求解．
【详解】由题意,可得 ，
所以对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是：大于12.6，
故选D．
【点睛】本题主要考查了函数模型的应用,其中解答中正确理解题意,根据累计耗电量的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题．
(单位：公里)
2019年1月1日
4000
0。125
280
2019年1月2日
4100
0。126
146
（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量,平均耗电量= ，剩余续航里程= ，下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是
湖南省新博览联考2020届高三数学上学期期中试题 理(含解析)
湖南省怀化市新博览联考2020届高三数学上学期期中试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合A={x|-1＜x＜2}，，则A∩B=（）A. B. C. D.2.命题“∀x∈N*，x2∈N*且x2≥x”的否定形式是（）A. ,且B. ,或C. ,且D. ,或3.已知数列{a n}中，“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的什么条件（）A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要4.设函数，若，则b等于（）A. 2B. 1C.D.5.已知，则cos2α=（）A. B. C. D.6.设向量满足，且与的夹角为，则=（）A. 2B. 4C. 12D.7.已知等差数列{a n}中，a3+a5=π，S n是其前n项和．则sin S7等于（）A. 1B. 0C.D.8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则C等于（）A. B. C. 或 D. 或9.设f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+3）=f（x-1），若当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，记，，c=f（32），则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=sin x-cos x，g（x）是f（x）的导函数，则下列结论中错误的是（）A. 函数的值域与的值域相同B. 若是函数的极值点,则是函数的零点C. 把函数的图象向右平移个单位,就可以得到函数的图象D. 函数和在区间上都是增函数11.在△ABC中，AC⊥AB，AB=2，AC=1，点P是△ABC所在平面内一点，，且满足，若，则2λ+μ的最小值是（）A. B. 5 C. 1 D.12.设函数，若存在f（x）的极值点x0满足，则m的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），则a=______．14.已知函数f（x）=log a x+b（a＞0，a≠1）的定义域、值域都是[1，2]，则a+b= ______ ．15.由曲线，直线y=2x，x=2所围成的封闭的图形面积为______．16.用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：6的因数有1，2，3，6，g（6）=3，9的因数有1，3，9，g（9）=9，那么g（1）+g（2）+g（3）+…+g （22019-1）=______．三、解答题（本大题共6小题）17.给定两个命题，p：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立；q：幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．18.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间上的最小值为1，求m的最小值．19.设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S4=16．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）当d＞1时，记，求数列{c n}的前n项和T n．20.已知函数，，（Ⅰ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=3，且对任意的x1∈[-1，2]，总存在，使g（x1）-f（x2）=0成立，求实数m的取值范围．21.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=3，求△ABC的周长L的取值范围．22.已知函数，函数g（x）=-2x+3．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若-2≤a≤-1，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|-1＜x＜2}，={x|x≥0}，∴A∩B={x|0≤x＜2}=[0，2）．故选：C．分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：命题的全称命题，则否定是特称命题，即∃x0∈N*，x02∉N*或x02＜x0，故选：D．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．3.【答案】B【解析】解：若数列{a n}为等比数列，则满足a n+12=a n•a n+2，当数列a n=0时满足a n+12=a n•a n+2，但此时数列{a n}为等比数列不成立，即“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的必要不充分条件，故选：B．结合等比数列的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】B【解析】解：根据题意，函数，则f（）=4×-b=3-b，若b≤2，则3-b≥1，此时f（f（））=f（3-b）=23-b=4，解可得b=1；若b＞2，则3-b＜1，此时f（f（））=f（3-b）=4×（3-b）-b=12-5b=4，解可得b=，（舍）故b=1；故选：B．根据题意，由函数的解析式可得f（）=4×-b=3-b，按b的范围分情况讨论，代入函数的解析式，求出b的值，综合可得答案．本题考查分段函数的解析式，涉及函数值的计算，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：已知，所以，利用三角函数的定义，解得，故cos2α=1-2sin2α=．故选：A．直接利用三角函数关系式的恒等变换和三角函数的定义及倍角公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】D【解析】解：，∴，∴=．故选：D．根据条件可求出，进而求出，并且，从而根据进行数量积的运算即可求出的值．本题考查了根据向量得到坐标求向量的长度的方法，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}中，a3+a5=π，∴==，∴sin S7==sin（-）=-sin=-1．故选：C．由等差数列{a n}中，a3+a5=π，得==，由此能求出sin S7．本题考查等差数列中前7项和的正弦值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：由于，所以，解得A=，由于a=，c=1，所以，解得，由于c＜a，所以．故选：A．直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：∵f（x+3）=f（x-1），∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，则函数f（x）为减函数，即当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，log2=-2，则=f（-2）=f（2），c=f（32）=f（9）=f（8+1）=f（1），∵1＜＜2，且当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，∴f（1）＜f（）＜f（2），∴a＞b＞c，故选：A．根据f（x+3）=f（x-1），得到函数是周期为4的周期函数，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．本题主要考查函数值的大小比较，结合条件求出函数的周期，结合函数的周期性，奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．10.【答案】C【解析】解：函数f（x）=sin x-cos x，∴g（x）=f'（x）=cos x+sin x，对于A，f（x）=sin（x-），g（x）=sin（x+），两函数的值域相同，都是[-，]，A正确；对于B，若x0是函数f（x）的极值点，则x0+=kπ，k∈Z；解得x0=kπ+，k∈Z；，g（x0）=sin（kπ+-）=0，∴x0也是函数g（x）的零点，B正确；对于C，把函数f（x）的图象向右平移个单位，得f（x-）=sin（x-）-cos（x-）=-cos x-sin x≠g（x），∴C错误；对于D，x∈，时，x-∈（-，0），f（x）是单调增函数，x+∈（0，），g（x）也是单调增函数，D正确．故选：C．求出函数f（x）的导函数g（x），再分别判断f（x）、g（x）的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的应用问题，是中档题．11.【答案】D【解析】解：以A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（0，1），，，∴，∴点M满足：（x-1）2+（y-2）2=1，设M（1+cosθ，2+sinθ），则由得：（1+cosθ，2+sinθ）=（2λ，μ），∴，2λ+μ的最小值是3-．故选：D．建系，分别表示出，，进而表示出，再用参数方程，结合三角函数求出范围．本题考查平面向量基本定理，结合三角函数求范围是关键，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：函数，可得f′（x）=-，∵x0是f（x）的极值点，∴f′（x0）=0，即，得，k∈Z，即x0=mk，k∈Z，∴可转化为：，即k2m2+3＜m2，k∈Z，即，要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，又k2的最小值为0，∴，解得或，故选：B．求出导函数f′（x）=-，利用f′（x0）=0，得到x0=mk，k∈Z，可转化为：k2m2+3＜m2，k∈Z，即要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，转化求解表达式的最值即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值，以及成立条件的转化，考查计算能力，是中档题．13.【答案】1【解析】解：∵y=ax+ln x，∴y′=a+，则y′|x=1=a+1，∴曲线y=y=ax+ln x在点（1，a）处的切线方程为y-a=（a+1）（x-1），∵曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），∴3-a=（a+1）（2-1），解得：a=1．故答案为：1．求导函数，然后确定切线的斜率，可得切线方程，利用曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），建立等式，解之即可求出所求．本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．14.【答案】或3【解析】【分析】本题考查对数函数的性质以及分类讨论的思想方法．分类讨论函数的单调性是正确解决本题关键．属于易错题．分类讨论a的取值范围，得到函数单调性，代入数据即可求解．【解答】解：当0＜a＜1时，易知函数f（x）为减函数，由题意有解得：a=，b=2，符合题意，此时a+b=；当a＞1时，易知函数为增函数，由题意有，解得：a=2，b=1，符合题意，此时a+b=3．综上可得：a+b的值为或3．故答案为：或3．15.【答案】3-2ln2【解析】解：依题意，由解得，∴封闭的图形面积为=（x2-2ln x）=3-2ln2．故答案为：3-2n2．求出曲线，直线y=2x的交点坐标，根据定积分的几何意义列式求解即可．本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：由g（n）的定义易知g（n）=g（2n），且若n为奇数，则g（n）=n，令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n-1），则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n+1-1）=1+3+…+（2n+1-1）+g（2）+g（4）+…+g（2n+1-2）==4n+f（n），即f（n+1）-f（n）=4n，分别取n为1，2，…n，并累加得：，又f（1）=g（1）=1，所以，从而，令n=2019，则所求为：．故答案为：．据题中对g（n）的定义，判断出g（n）=g（2n），且若n为奇数则g（n）=n，利用等差数列的前n项和公式及逐差累加的方法及等比数列的前n项和公式求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（22019-1）．本题考查等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式、逐差累加的方法，是中档题．17.【答案】解：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立⇔△=a2-4≤0⇔-2≤a≤2，幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减⇔a-1＜0⇔a＜1，由题意知p与q一真一假，当p真q假时，有-2≤a≤2且a≥1，得1≤a≤2，当p假q真时，有a＜-2或a＞2且a＜1，得a＜-2，综上，所求实数a的取值范围是（-∞，-2）∪[1，2]．【解析】通过两个命题是真命题求出a的范围，然后通过当p真q假时，当p假q真时，求解即可．本题考查命题的真假的判断与应用，函数恒成立条件的转化，是基本知识的考查．18.【答案】解：（Ⅰ）由已知，有，=，=，所以f（x）的最小正周期：．由得f（x）的单调递减区间是．（Ⅱ）由（1）知，因为，所以．要使f（x）在区间上的最小值为1，即在区间上的最小值为-1．所以，即．所以m的最小值为．【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（Ⅱ）利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意有，即：，解得：或．故或．（Ⅱ）由d＞1，知a n=2n-1，，故．于是：①，②①-②得：，故．【解析】（Ⅰ）直接利用已知条件建立方程组，求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．20.【答案】解：（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a 有两个交点，∵，可知当t∈（1，2）时，h′（t）＜0，可知当t∈（2，3）时，h′（t）＞0，∴函数h（t）在（1，2）递减，（2，3）递增，从而h（t）min=h（2）=4，，h（1）=5，由图象可得，当时，y=h（t）与y=a有两个交点，∴函数f（x）有两个零点时实数a的范围为：．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，当m=0时，，显然成立；当m＞0时，在[-1，2]上单调递增，∴，记，由题意得：B⊆A，∴且，解得：，当m＜0时，在[-1，2]上单调递减，∴，∴且，得，综上，所求实数m的取值范围为．【解析】（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值然后求解实数a的范围．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，通过当m=0时，当m＞0时，当m＜0时，分类求实数m的取值范围，推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由已知得：，再由正弦定理得：，∵B=π-（A+C），∴sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C②又C∈（0，π），由①②得，，又A∈（0，π），∴．（Ⅱ）法一：由余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A得b2+c2-bc=9即：（b+c）2-3bc=9，而（当且仅当b=c=3时等号成立）从而，得b+c≤6，又b+c＞a=3，∴3＜b+c≤6，从而周长L∈（6，9]；法二：由正弦定理得：，∴，又，从而△ABC的周长L：=，，∴，∴，从而：L∈（6，9]．【解析】（Ⅰ）由条件可得，再结合正弦定理及三个角之间的关系可得，进而求出A；（Ⅱ）利用余弦定理再结合基本不等式可得3＜b+c≤6，则可求出周长L的范围．本题考查平面向量数量积的运算，设计到正、余弦定理，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=ln x-x2+x．∵．易知f（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减，∴f（x）极大值=f（1）=0，无极小值．（Ⅱ）．∴．①a≤0时，F′（x）＞0，恒成立，∴F（x）在（0，+∞）单调递增；②当a＞0，由F′（x）＞0得，F′（x）＜0得，所以F（x）在单调递增，在单调递减．综上：当a≤0时，F（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，F（x）在单调递增，在单调递减．（Ⅲ）由题知t≥0，．当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．又g（x）单调递减，∴不等式等价于f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]．即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．令．则在[1，2]上恒成立，则，而在[1，2]单调递增，∴，∴．【解析】（Ⅰ）当a=2时，f（x）=ln x-x2+x，求导得到增减区间，进而得到极值．（Ⅱ）.．①a≤0时，②当a＞0，讨论增减区间．（Ⅲ）当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．不等式等价于f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]．即：f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．转化变量研究H（a）最大值小于等于0，进而求出t的取值范围本题考查函数的单调性的判断，考查实数的最小值的求法，考查函数性质、导数性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题．。
2020-2021学年怀化市新博览联考高三上学期期中数学试卷(理科)(含解析)
2020-2021学年怀化市新博览联考高三上学期期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合，，则( ) A.B. C. D. 2. 下列命题为特称命题的是( )A. 偶函数的图像关于轴对称B. 不相交的两条直线是平行直线C. 正四棱柱都是平行六面体D. 存在实数大于3 3. 下面四个条件中，使a 2>b 2成立的充要的条件是( )A. a >bB. a >b >0C. a 3>b 3D. a 4>b 4 4. 设f(x)={−log 3(x +1)(x >6)3x−6−1(x ≤6)满足f(n)=−89，则f(n +4)=( ) A. 2B. −2C. 1D. −1 5. 若tan(3π2+α)=12(π<α<2π)，则cosα=( )A. √55B. −√55C. 2√55D. −2√55 6. 若平面向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，a ⃗ =(35,−45)，|b ⃗ |=2，则|2a ⃗ −b ⃗ |等于( ) A. √3B. 2√3C. 4D. 12 7. 已知数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1、b 1，且a 1+b 1=5，a 1，b 1∈N ∗，设∁n =a b n ，则数列{∁n }的前10项和等于( )A. 55B. 70C. 85D. 100 8. 在△ABC 中，a ，b ，A 为确定的值，且bsinA <a <b ，则此三角形有( )A. 无解B. 两解C. 一解D. 不确定 9. 已知定义域(−1,1)的奇函数y =f(x)，当x ∈[0,1)时，函数f(x)为增函数，若f(a −3)+f(9−a 2)<0，则实数a 的取值范围为( )A. (2√2,3)B. (3,√10)C. (2√2,4)D. (−2,3) 10. 将函数y =sin(x +π3)的图象向右平移π6个单位，再向上平移2个单位所得图象对应的函数解析式是( )A. y =sin(x +π2)+2B. y =sin(x +π6)+2C. y=sin(x+π2)−2 D. y=sin(x+π6)−211.函数y=cosx−√3sinx的最大值是()A. 2B. 1C. 12D. 012.下列函数中，是其极值点的函数是()A. B.C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)=f′(π4)cosx+sinx，f′(x)是f(x)的导函数，则f(π4)=______．14.设函数f(x)是定义在R上的周期为2的函数，且当x∈[−1,1)时，f(x)={−2x 2−x+2,−1≤x<02x−1,0≤x<1，f(5)=______ ．15.若n=∫220xdx，则(x−12x)n的展开式中常数项为______ ．16.若等比数列{a n}的前n项和S n=2⋅3n+a(a为常数)，则a=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.写出下列各命题的否定及其否命题．(1)若x，y都是奇数，则x+y是偶数；(2)若xy=0，则x=0或y=0．18.设函数f(x)=m(cosx+sinx)2+1−2sin2x，x∈R，且y=f(x)的图象经过点(π4,2)(1)求实数m的值；(2)求函数f(x)的最小值及此时x值的集合．19.已知数列{a n}是等差数列，前n项和为S n且满足a3−a1=4，S3=12．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n⋅2n−1，求数列{b n}的前n项和T n．20.已知函数f(x)=x−lnx，g(x)=lnxx．(1)求f(x)的最小值；(2)求证：f(x)>g(x)；(3)若f(x)+ax+b≥0，求b+1的最小值．a+121.已知函数f(x)=cosx⋅sinx−√3cos2x．(1)若tanx0=2，求f(x0)；(2)求f(x)的周期，单调递增区间．22.已知函数f(x)=2x3−ax2+6(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a=9时，求方程f(x)=√2的解的个数．【答案与解析】1.答案：D解析：试题分析：=(2,4)，=．考点：集合中的交集运算．2.答案：D解析：本题考查全称命题及特称命题，一般形式为：全称命题：∀x∈M，p(x)；特称命题∃x∈M，p(x)．解：对于A、B、C，它们都是对所有的对象而言的，是全称命题，对于D，文字中有“存在”字眼，它是特称命题．故选D．3.答案：D解析：解：a2>b2⇔|a|>|b|⇔a4>b4，故选：D．a2>b2⇔|a|>|b|⇔a4>b4，即可得出．本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．4.答案：B解析：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是根据不同的自变量的范围确定相应的函数解析式．可求n，进而可求f(n+4)．结合题意，分别就当n>6时，当n≤6时，代入，然后由f(n)=−89，解：当n>6时，f(n)=−log3(n+1)=−89∴n=389−1不满足题意，舍去；，当n≤6时，f(n)=3n−6−1=−89∴n−6=−2即n=4，∴f(n+4)=f(8)=−log39=−2．故选B．5.答案：A解析：解：tan(3π2+α)=tan(π2+α)=sin(π2+α)cos(π2+α)=cosα−sinα=12，则sinα=−2cosα，∵sin2α+cos2α=1，∴cos2α=15，由题意π<α<2π，则sinα<0，∴cosα>0，∴cosα=√55．故选：A．利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，是基本知识的考查，属基础题．6.答案：B解析：解：∵平面向量a⃗与b⃗ 的夹角为120°，a⃗=(35,−45)，|b⃗ |=2，∴|a⃗|=1，∴a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |⋅cos120°=1×2×(−12)=−1，∴|2a⃗−b⃗ |2=4|a⃗|2+|b⃗ |2−4a⃗⋅b⃗ =4+4−4×(−1)=12，∴|2a⃗−b⃗ |=2√3故选：B根据向量的模，以及向量的数量积公式计算即可．本题考查了向量的模，以及向量的数量积公式，属于基础题．7.答案：C解析：解：∵a1+b1=5，a1，b1∈N∗，∴a1，b1有1和4，2和3，3和2，4和1四种可能，当a1，b1为1和4的时，c1=a b1=4，前10项和为4+5+⋯+12+13=85；当a1，b1为2和3的时，c1=a b1=4，前10项和为4+5+⋯+12+13=85；当a1，b1为4和1的时，c1=a b1=4，前10项和为4+5+⋯+12+13=85；当a1，b1为3和2的时，c1=a b1=4，前10项和为4+5+⋯+12+13=85；故数列{∁n}的前10项和等于85，故选：C．。
2021届湖南省怀化市新博览联考高三上学期期中考试数学试题 PDF版
时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）
1．设全集U R ， A x x2 x 6 0 ， B {x y ln(1 x)}，则 A ðU B （ ）
A． 2
B． 14 3
C． 2 3 3
D．2
二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分）
9．函数 f ( x) 的定义域为 R ，且 f (x 1) 与 f (x 2) 都为偶函数，则（ ）
调查了 200 名学生每周阅读时间 X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这 200 名学生每周阅读时间的样本平均数 x 和样本方差 s2（同一组中的数据用该组区间的中间值代
表）；
（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间 X 服从正态分布 N , 2 ，其中 近似为样本平
B．P 在直线 FG 上运动时， AP DE C．Q 在直线 BC1 上运动时，三棱锥 A D1QC 的体积不变 D．M 是正方体的面 A1B1C1D1 内到点 D 和 C1 距离相等的点，则 M 点的轨迹是一条线段 11．定义[x) 表示大于 x 的最小整数，例如[1) 0,[1.1) 2 ，则下列命题中正确的是（ ）
均数 x, 2 近似为样本方差 s2 ．
（ⅰ）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若 X ~ N
, 2
，令 Y
X
，
则Y ~ N (0,1) ，且 P( X剟a) P Y
2020年湖南省怀化市高三数学上学期期中新博览联考试题理
湖南省怀化市2020届高三数学上学期期中新博览联考试题 理试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.1．已知集合{}12A x x =-<<，{B x y ==，则A B IA ．(]1,0-B ．[)0,1C ．[)0,2D ．[)1,2 2．命题“*x N ∀∈，2*x N ∈且2x x ≥”的否定形式是A ．*x N ∀∈，2*x N ∉且2x x <B ．*x N ∀∈，2*x N ∉或2x x <C ．*0x N ∃∈，2*0x N ∉且200x x <D ．*0x N ∃∈，2*0x N ∉或200x x <3．已知数列{}n a 中，“212n n n a a a ++=⋅”是“数列{}n a 为等比数列”的什么条件A. 充分不必要B. 必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要4．设函数4,1()2,1x x b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若3(())44f f =，则b 等于A ．2B ．1C ．12D ． 1- 5．已知4tan()3πα+=，则cos2α A ．725- B ．725C ．15-D ． 356．设向量,a b r r 满足1,a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则2a b +r rA ．2B ．4C ．12D ．7．已知等差数列{}n a 中，35a a π+=，则7sin S 等于 A ．1 B ．0 C ．1- D ．128．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2221,a c b c a ==+-=，则C等于 A ．6π B ．3π C ．6π或56π D ．3π或23π9．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且(3)(1)f x f x +=-，若当[]2,0x ∈-时，()2xf x -=，记21(log )4a f =，b f =，2(3)c f =，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．a c b >>10．已知函数()sin cos ,()f x x x g x =-是()f x 的导函数，则下列结论中错误．．的是 A ．函数()f x 的值域与()g x 的值域相同B ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数g()x 的零点C ．把函数()f x 的图象向右平移2π个单位，就可以得到函数()g x 的图象 D ．函数()f x 和g()x 在区间(,)44ππ-上都是增函数11．在ABC ∆中，AC AB ⊥，2,1AB AC ==，点P 是ABC ∆所在平面内一点，2AB AC AP AB AC=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，且满足1PM =u u u u r ，若AM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r，则2λμ+的最小值是A ．3．5 C ．1 D ．312．设函数()xf x mπ=，若存在()f x 的极值点0x 满足[]22200()x f x m +<，则m 的取值范围是A ．(,2)(2,)-∞-+∞UB ．(,)-∞+∞UC ．(,)-∞+∞UD ．(,1)(1,)-∞-+∞U第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上的相应横线上. 13．已知曲线ln y ax x =+在点(1,)a 处的切线过点(2,3)，则a = ．14．已知函数()log (0,0)a f x x b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,2，则a b += ． 15．由曲线2y x=，直线2,2y x x ==所围成的封闭的图形面积为 ． 16．用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：6的因数有1，2，3，6，(6)3g =，9的因数有1，3，9，(9)9g =，那么2019(1)(2)(3)(21)g g g g ++++-L = ．三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分10分）给定两个命题,p ：对任意实数x 都有210x ax ++≥恒成立；q ：幂函数1a y x-=在(0,)+∞内单调递减；如果p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）已知函数22()2sin 2cos (),6f x x x x R π=+-∈（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1，求m 的最小值． 19．（本题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，已知1124,2,,16b a b q d S ====．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ． 20．（本题满分12分）（Ⅰ）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围；求实数m 的取值范围．21．（本题满分12分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且()m a A =u r ，(cos ,)n C c =r ，=⋅u r rb m n ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若3a =，求ABC ∆的周长L 的取值范围． 22．（本题满分12分）已知函数21()ln ()2f x x ax x a R =-+∈，函数()23g x x =-+ （Ⅰ）当2a =时，求()f x 的极值； （Ⅱ）讨论函数1()()()2F x f x ag x =+的单调性； （Ⅲ）若21a -≤≤-，对任意[]12,1,2x x ∈，不等式1212()()()()f x f x t g x g x -≤-恒成立，求实数t 的最小值.2020届高三期中（2019年11月）博览联考理 科 数 学 参 考 答 案 一、选择题（12560''⨯=）11题：以A 为原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(0,1)C ，(1,0)ABAB =u u u ru u u r ，(0,1)ACAC=u u u ru u u r ，∴(1,2)AP =u u u r ，∴点M 满足：22(1)(2)1x y -+-= 设(1cos ,2sin )M θθ++，则由AM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r得：(1cos ,2sin )(2,)θθλμ++=，∴23sin cos 3)34πλμθθθ+=++=+≥12题：∵0x 是()f x 的极值点，∴'0()0f x =，即0sin0x mmππ-=，得0x k mππ=，k Z ∈，即0,x mk k Z =∈，∴[]22200()x f x m +<可转化为：222()(),mk mk m k Z m π⎤+<∈⎥⎦即2223,k m m k Z +<∈ ，即2231,k k Z m<-∈要使原问题成立，只需存在k Z ∈，使2231k m->成立即可， 又2k 的最小值为0，∴2310m->，解得m <或m > B 二、填空题13．1； 14．3或52； 15．32ln 2-； 16．20191(41)3- 16解：由()g n 的定义易知()(2)g n g n =，且若n 为奇数，则()g n n =，令()(1)(2)(3)(21)n f n g g g g =++++-L ，则1(1)(1)(2)(3)(21)n f n g g g g ++=++++-L 1113(21)(2)(4)(22)n n g g g ++=+++-++++-L L 121(21)(1)(2)(21)2n n n g g g +⎡⎤+-⎣⎦=++++-L4()n f n =+，即(1)()4n f n f n +-=，分别取n 为1,2,n L ，并累加得：24(14)4(1)(1)444(41)143⨯-+-=+++==--L n nnf n f ，又(1)(1)1fg ==，所以11(1)(41)3n f n ++=-，从而1()(41)3n f n =-，令2019n =，则所求为：20191(41)3-三、解答题17解：对任意实数x 都有210x ax ++≥恒成立240a ⇔∆=-≤ 22a ⇔-≤≤ 幂函数1a y x -=在(0,)+∞内单调递减10a ⇔-<1a ⇔< …………………4分由题意知p 与q 一真一假………………… 6分当p 真q 假时，有22a -≤≤且1a ≥，得12a ≤≤……………8分当p 假q 真时，有2a <-或2a > 且1a < ，得2a <-…………………10分 综上，所求实数a 的取值范围是()[],21,2-∞-U ………………… 12分 18解：（Ⅰ）由已知，有()(1cos 2)1cos(2)3f x x x π⎡⎤=-++-⎢⎥⎣⎦1cos 2(cos 22)22x x x =-+++12cos 22sin(2)226x x x π=-+=-+所以()f x 的最小正周期：22T ππ==………………… 4分由3222()262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈ 得()f x 的单调递减区间是 5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦……………… 6分（Ⅱ）由（1）知()sin(2)26f x x π=-+因为,3x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,2626x m πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ ………………… 8分要使()f x 在区间,3m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1， 即sin(2)6y x π=-在区间,3m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1- ． 所以3262m ππ-≥，即56m π≥…………………11分 所以m 的最小值为56π………………… 12分 19解：（Ⅰ）由题意有，1146162a d a d +=⎧⎨=⎩ 即：112382a d a d +=⎧⎨=⎩，解得：112a d =⎧⎨=⎩或1323a d =⎧⎪⎨=⎪⎩………………… 4分故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或1273323()3-⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩n n n a n b …………………6分 （Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=………………… 7分 于是：2313572112222n n n T --=+++++L ① 2341135721222222n n n T -=+++++L②① -②得：232111112123232222222n n n nn n T --+=+++++-=-L …………………11分 故12362n n n T -+=-………………… 12分 20解：（Ⅰ）令2t x =，则[]1,3t ∈，记4()h t t t=+，问题转化为函数()y h t =与y a =有两个交点，'24()1h t t=-Q ，可知当(1,2)t ∈时，'()0h t <，当(2,3)t ∈时，'()0h t >， ∴函数()h t 在(1,2)单减，(2,3)单增，从而min ()(2)4h t h ==，又13(3)3h =，(1)5h =， 结合图象可得，当1343a <≤时，()y h t =与y a =有两个交点，（Ⅱ）3a = 时，224()3f x x x =+-，由（1）知[]()1,2f x ∈，记[]1,2A = 当0m =时，3()2g x =，显然成立；当0m >∴3222m +≤且312m -+≥ 解得：104m <≤当0m < ∴3212m +≥且322m -+≤，得104m -≤< 综上，所求实数m 的取值范围为11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21解：（Ⅰ）由已知得：cos sin 3b a C A =+，再由正弦定理得：sin sin cos sin 3B AC C A =+① ………………… 2分 ∵()B A C π=-+，∴sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+ ②又(0,)C π∈，由①②得，tan A =，又(0,)A π∈，∴3A π=…………… 6分（Ⅱ）法一：由余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 得229b c bc +-=即：2()39b c bc +-=，而2()2b c bc +≤ （当且仅当3b c ==时等号成立） 从而22219()3()()24b c b c b c +≥+-=+，得6b c +≤ ………………… 10分 又3b c a +>= ，∴36b c <+≤，从而周长(]6,9L ∈ ………………… 12分法二：由正弦定理得：32sin sin sin 3b c R B C π====，∴,b B c C ==，又23B C π+=………………… 8分 从而⊿ABC 的周长L：3L a b c B C =++=++21sin()3cos )36sin()3326B B B B B ππ=+-+=++=++ 又203B π<<，∴5666B πππ<+<，∴1sin()126B π<+≤………………… 11分 从而：(]6,9L ∈ ………………… 12分 22解：（Ⅰ）2a =时，2()ln f x x x x =-+∵2'21(1)(21)()(0)x x x x f x x x x-++--+==> ………………… 3分 易知()f x 在(0,1)递增，(1,)+∞ 递减，∴()(1)0f x f ==极大值，无极小值；（Ⅱ）2113()()()ln (1)(0)222F x f x ag x x ax a x a x =+=-+-+> ∴'(1(1)()(0)ax x F x x x-++=>①当0a ≤时，'()0F x >，恒成立，∴()F x 在(0,)+∞单调递增；② 0a >，由'()0F x >得10x a <<，'()0F x <得1x a >，所以()F x 在1(0,)a单调递增，在1(,)a+∞单调递减；综上：当0a ≤时， ()F x 在(0,)+∞单调递增；当0a >，所以()F x 在1(0,)a单调递增，在1(,)a+∞单调递减 ………………… 7分 （Ⅲ）由题知0t ≥，2'1()ax x f x x-++=当21a -≤≤-时，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞单调递增，不妨设1212x x ≤≤≤又()g x 单调递减，∴不等式等价于[]2112()()()()f x f x t g x g x -≤-即：2211()()()()f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立， 记21()()()ln (12)32h x f x tg x x ax t x t =+=-+-+，则()h x 在[]1,2递减 '1()120h x ax t x=-+-≤对任意[][]2,1,1,2a x ∈--∈恒成立 令[]1()12,2,1H a xa t a x=-++-∈-- 则max 1()(2)2120H a H x t x=-=++-≤在 []1,2上恒成立，则121(2)t xx-≥+，而12y xx=+在[]1,2单调递增，∴max19(2)2xx+=，∴114t≥………………… 12分。
2020-2021学年湖南怀化高三上数学期中试卷
2020-2021学年湖南怀化高三上数学期中试卷一、选择题1. 设全集U=R,A={x|x2−x−6<0},B={x|y=ln(1−x)}，则A∩(∁U B)=( )A.(1，3)B.[1，3)C.(−2，1]D.(1，3]2. 已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(102,42)，则114分以上的成绩所占的百分比为( ) (附：P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9974)A.0.13%B.1.3%C.0.3%D.0.23%3. 设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a7a4=1413，则S13S7=()A.13 14B.1413C.2D.124. 中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数y=f(x)在x=x1,x=x2,x=x3(x1<x2<x3)处的函数值分别为y1=f(x1)，y2=f(x2), y3=f(x3)，则在区间[x1,x3]上f(x)可以用二次函数来近似代替f(x)≈y1+k1(x−x1)+k2(x−x1)(x−x2)，其中k1=y2−y1x2−x1,k=y3−y2x3−x2,k2=k−k1x3−x1.若令x1=0，x2=π2, x3=π，请依据上述算法，估算sinπ5的值是( )A.16 25B.1425C.1725D.355. 记单调递增的等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4=10，a2a3a4=64，则()A.S n=2n−1−1B.S n=2n−1C.S n+1−S n=2n+1D.a n=2n6. 设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与圆C′:x2+(y−√3)2=3交于M，N两点，若|MN|=√6，则MNF的面积为()A.3√24B.3√28C.√28D.387. 已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在区间[−π4,2π3]上单调递增，则ω的取值范围为()A.[38,2] B.[12,83] C.(0,83] D.(0,12]8. 设F是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2AF→=FB→，则双曲线C的离心率为()A.2B.2√33C.√2D.√143二、多选题函数f(x)的定义域为R，且f(x−1)与f(x−2)都为偶函数，则()A.f(x+1)为偶函数B.f(x)为偶函数C.f(x+2)为奇函数D.f(x)为周期函数已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别是AB，BC，B1C1的中点．下列命题正确的是()A.P在直线FG上运动时，AP⊥DEB.以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形C.M是正方体的面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段D.Q在直线BC1上运动时，三棱锥A−D1QC的体积不变定义[x)表示大于x的最小整数，例如[−1)=0,[1.1)=2，则下列命题中正确的是()A.若x∈(0,2018)，则方程[x)−x=0.1有2018个根B.若数列{a n}是等比数列，则数列{[a n)}也是等比数列C.函数f(x)=x−[x)的值域是[−1,0）D.若数列{a n}是等差数列，则数列{[a n)}也是等差数列关于函数f(x)=2x+ln x，下列判断正确的是( )A.存在正实数k，使得f(x)>kx成立B.x=2是f(x)的极大值点C.对任意两个正实数x1，x2，且x1>x2，若f(x1)=f(x2)，则x1+x2>4D.函数y=f(x)−x有且只有1个零点三、填空题若(1x −2)(a √x 3+1)5的展开式中的常数项为−12，则a =________．在△ABC 中，AB =1，AC =2，|AB →+AC →|=√3，若点M 满足BM →=2MC →，则AM →⋅BC →=________.数列{a n }的前n 项和是S n ，a 1=1，a n ≠0，3S n =a n a n+1+1，若a k =2020，则k =________.如图所示，在三棱锥B −ACD 中，∠ABC =∠ABD =∠DBC =π3，AB =3，BC =BD =2，则三棱锥B −ACD 的外接球的表面积为________.四、解答题如图所示，在四边形ABCD 中，∠ADB =45∘，∠BAD =105∘，AD =√62，BC =2，AC =3.(1)求边AB 的长及cos ∠ABC 的值；(2)若记∠ABC =α，求sin (2α−π3)的值.设正项数列{a n }的前n 项和为{S n }，且a 1=1，当n ≥2时，a n =√S n +√S n−1， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b 121+b 222+⋯+b n−12n−1+bn2n =a n ，求{b n }的前n 项和Tn ．如图，在几何体ABCDEF 中，AB // CD ，AD =DC =CB =1，∠ABC =60∘，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF =1．(1)求证：平面FBC ⊥平面ACFE ；(2)点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为θ(θ≤90∘)，试求cos θ的取值范围．如图，椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，|AF|的最大值是M ，|BF|的最小值是m ，满足M ⋅m =34a 2．(1)若线段AB 垂直于x 轴时，|AB|=32，求椭圆的方程；(2)设线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点，O 是坐标原点．记△GFD 的面积为S 1，△OED 的面积为S 2，求S1S 2的取值范围．2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x¯和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；(2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(μ, σ2)，其中μ近似为样本平均数x¯，σ2近似为样本方差s2．(i)一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X∼N(μ, σ2)，令Y=X−μ，则Y∼σ)．利用直方图得到的正态分布，求P(X≤10)．N(0, 1)，且P(X≤a)=P(Y≤a−μσ(ii)从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P(Z≥2)（结果精确到0.0001）以及Z的数学期望．,0.773419≈0.0076．若Y∼N(0, 1)，则P(Y≤0.75)＝0.7734．参考数据：√178≈403已知函数f(x)=(x−1)e x−x2，g(x)=ae x−2ax+a2−10(a∈R).(1)求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；(2)当x>0时，f(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围.参考答案与试题解析2020-2021学年湖南怀化高三上数学期中试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】一元二次正等式的解且对数函表的透义域交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】正态分来的密稳曲线【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】等差因列的校质等差数常的占n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】函数来定义雨题函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】等比数使的前n种和等比数表的弹项公式等射中经【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】圆锥来线中雨配点缺定值问题三角形射面积公放【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】已知都数环单梯遗求参数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题【答案】此题暂无答案【考点】函数奇三性的判刺函数水因期性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】棱锥于结构虫征两条直三垂直的硬定直线与平三平行定判定与直较熔免的动起轨迹方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数来定义雨题等体数决等明数约函验立零点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用导于研究轨函数成点有近的问题利用都数资究不长式化成立问题利来恰切研费函数的极值利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】二项正开形的来定恰与特定系数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】平面向量三量积州运算向量在于何中侧应用向量因滤性线算性吨及几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数于术推式等差数来的通锰公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】球的表体积决体积球内较多面绕【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题【答案】此题暂无答案【考点】正因归理余于视理同角体角序数基璃室系的运用二倍角明正推公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】等差数来的通锰公式数使的种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】平面与平明垂钾的判定用空根冬条求才面间的夹角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭圆较标准划程与椭根助关的驶指弦及弦长问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】众数、中正数、平均测极差、使差与标香差正态分来的密稳曲线离散来随机兴苯的期钱与方差【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程利用都数资究不长式化成立问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
湖南省怀化市新博览联考2020届高三数学上学期期中试题文(含解析)
须 f (x) x(x a) 有零点，即 0, a ，
则a 0，
故选：B.
【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建
关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转
化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角
所以 log3 e > log3 2 ，即 a＞c ，
a log3 e < log33 1 ，
b ln 3 loge 3 loge e 1 ， 所以 b＞a＞c ,
故选：D 【点睛】解决大小关系问题，一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间
(, 0), (0,1), (1, ) ）；二是利用函数的单调性直接解答.
【解析】
【分析】
由向量垂直的充分必要条件可得： 2 x 1 1 0 ，据此确定 x 的值即可.
【详解】由向量垂直的充分必要条件可得： 2 x 1 1 0 ，解得： x 1 .
2
故答案 为： 1 ． 2
2 sin(x 3 ) 4
2 sin(x ) ,∴C 错误； 4
对于 D,
当
x
4
,
4
时,
x
4
2
,
0
,
f
x 单调递增,
x
4
0，
2
,
g
x
也单调递增,故
D
正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了导数的应用问题,是中档题．
11.函数 y f (x), (x R) 满足：对一切 x R , f (x) 0 ．且 f x 1 2019 f 2 x ，
湖南省怀化市示范性普通高级中学2020-2021学年高三数学理月考试题含解析
湖南省怀化市示范性普通高级中学2020-2021学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设全集，且，则满足条件的集合的个数是（）A．3 B．4 C．7 D．8参考答案：D2. 下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的函数是( )A．f（x）=x2 B．f（x）=﹣log2|x| C．f（x）=3|x| D．f（x）=sinx参考答案：B考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性的定义和性质分别进行判断即可．解答：解：A．f（x）=x2是偶函数，在（﹣∞，0）上单调递减，不满足条件．B．f（x）=﹣log2|x|是偶函数，在（﹣∞，0）上单调递增，满足条件．C．f（x）=3|x|是偶函数，在（﹣∞，0）上单调递减，不满足条件．D．f（x）=sinx是奇函数，不满足条件．故选：B点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，比较基础．3. 不等式的解集是( )A．B．C．D．参考答案：D4. 如图，在△ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；类似地有命题：在三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在平面BCD内的射影为M，则有.上述命题是( )A．真命题B．增加条件“AB⊥AC”才是真命题C．增加条件“M为△BCD的垂心”才是真命题D．增加条件“三棱锥A－BCD是正三棱锥”才是真命题参考答案：A因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AE，AD⊥BC，在△ADE中，AE2＝ME·DE，又A点在平面BCD内的射影为M，所以AM⊥平面BCD，AM⊥BC，所以BC⊥平面ADE，所以BC⊥DE，将S△ABC、S△BCM、S△BCD分别表示出来，可得故选A.5. 下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．B．“” 是“”的必要不充分条件.C．命题“若，则”的逆否命题为真命题.D．命题“R使得”的否定是：“R均有”．参考答案：C略6. 在中，，，分别为的重心和外心，且，则的形状是A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能参考答案：B解:设M为BC的中点，G在BC上的射影为H，A在BC上的射影为N，由上的投影为1，即MH=1，，又，A在BC上的射影在MC的延长线上，为钝角三角形故选B．7. 已知平面平面，，若直线，满足，，则（）A．B．C．D．参考答案：C试题分析：，，因此C是正确的，故选C．考点：空间线面的位置关系，线面垂直的性质．8. 下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=1g|x| C．y=cosx D．y=x2+2x参考答案：B【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据偶函数的定义判断各个选项中的函数是否为偶函数，再看函数是否在区间（0，+∞）上单调递减，从而得出结论．【解答】解：对于A：函数在（0，+∞）递减，不合题意；对于B：y=lg|x|是偶函数且在（0，+∞）递增，符合题意；对于C：y=cosx是周期函数，在（0，+∞）不单调，不合题意；对于D：此函数不是偶函数，不合题意；故选：B．【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断，属于中档题．9. 将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）参考答案：A10. 过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A．5 B．4 C．3 D．2参考答案：C【考点】直线的倾斜角；抛物线的简单性质．【分析】设出A、B坐标，利用焦半径公式求出|AB|，结合，求出A、B的坐标，然后求其比值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），，，又，可得，则，故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正三棱台ABC-A1B1C1的上下底边长分别为，高为7，若该正三棱台的六个顶点均在球O的球面上，且球心O在正三棱台ABC-A1B1C1内，则球O的表面积为．参考答案：100π因为正三棱台的上、下底面边长分别为，取正三棱台的上、下底面的中心分别为，则正三棱台的高为，在上下底面的等边三角形中，可得,则球心在直线上，且半径为，所以，且,解得，所以，所以球的表面积为．12. 复数z =i2(1+i)的虚部为___ _▲_ __．参考答案：答案：-113. 执行右图的程序框图，若输入的x=2，则输出的y的值为．参考答案：14. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN最长时.的最大值为．参考答案：2【考点】空间向量的数量积运算．【分析】利用“当点P，M，N三点共线时，取得最大值”，此时≤，而，可得=，可知当且仅当点P为正方体的一个顶点时上式取得最大值，求出即可．【解答】解：设点O是此正方体的内切球的球心，半径R=1．∵，∴当点P，M，N三点共线时，取得最大值．此时≤，而，∴=，当且仅当点P为正方体的一个顶点时上式取得最大值，∴==2．故答案为2．15. ．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为．参考答案：2【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出a8的值．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，∴，解得，∴a8==（a1q）（q3）2=8×=2．故答案为：2．16. 若已知f（x）=mtanx+2sinx+3，f（2015）=5，则f（﹣2015）= ．参考答案：1【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的求值．【分析】令g（x）=mtanx+2sinx，可知函数g（x）为定义域内的奇函数，由函数的奇偶性结合f（2015）=5求得f（﹣2015）．【解答】解：令g（x）=mtanx+2sinx，函数g（x）为定义域内的奇函数，g（﹣2015）=﹣g（2015），由f（2015）=5，得g（2015）+3=5，∴g（2015）=2．∴f（﹣2015）=g（﹣2015）+3=﹣g（2015）+3=﹣2+3=1．故答案为：1．【点评】本题考查函数值的求法，考查了函数奇偶性的性质，是基础的计算题．17. 设函数是定义在R上的奇函数，且对任意都有，当时，，则＝ .参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。