高三期中考试数学试题分析及

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四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(含解析)

成都石室中学2024～2025学年度上期高2025届十一月月考数学试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.已知为单位圆的内接正三角形，则（）A. B.C.1D.3.已知角的终边上一点（）A. B. C. D.4.巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，且.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为，则的值约为（）（参考数据：若，有，，）A.0.977B.0.9725C.0.954D.0.6835．已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（）A ．B ．C ．D ．6.关于的方程在上有（）个实数根．A.1B.2C.3D.47.已知，是定义域为R 的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a 的取值范围是（）(){}ln 1A xy x ==-∣{}xB y y e -==∣A B = ()0,1()1,2()1,+∞()2,+∞ABC V O B B C O ⋅=32-321-α()1,2M -32=⎪⎝⎭22-44-X ()2~30,2X N 0p 0p ()2~,X Nμσ()0.683P X μσμσ-<≤+≈()220.954P X μσμσ-<≤+≈()330.997P X μσμσ-<≤+≈a b ()()22a b a b +⊥- a b 14b a bπ6π3π22π3x 2sin sin2cos cos 222x x xx x =(,)ππ-()f x ()g x ()f x ()g x ()()22f x g x ax x +=++1212x x <<<()()12123g x g x x x ->--A. B. C. D.8.已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.的图象关于直线对称B.在上单调递增C.是奇函数D.将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象10.已知为函数的一个零点，则（）A.的图象关于对称 B.的解集为C.时， D.时，，则的最大值为411.已知函数与及其导函数f ′(x )与的定义域均为.若为奇函数，，，则（）A. B.[)0,∞+3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭3,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭0,a b >∈R x ()()2110ax x bx -+-≥()0,∞+5b a+48()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭()f x 5π12x =-()f x π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π3f x ⎛⎫-⎪⎝⎭()f x π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1-3()3f x x x a =-+()f x (0,2)-()0f x <(,2)-∞(0,1)x ∈()2()f xf x <[,]x m n ∈()[4,0]f x ∈-n m -()f x ()g x ()g x 'R ()f x ()()22f x g x +-=()()12f x g x '+'+=()()264g g -+=()00f '=C.曲线关于点中心对称D.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.若复数满足，则__________.13.已知某次数学期末试卷中有8道四选一的单选题，学生小万能完整做对其中4道题，在剩下的4道题中，有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只能从4个选项中随机选一个答案．若小万从这8个题中任选1题，则他做对的概率为______．14.已知数列{a n }满足，，其中为函数的极值点，则______．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）为提高学生的数学应用能力和创造力，石室中学打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%.感兴趣不感兴趣合计男生12女生5合计30(1)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断，依据小概率值α=0.15的独立性检验，分析学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别是否有关?(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X ，求X的分布列与数学期望附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82816．（本小题15分）如图所示，在四棱锥中，，，．(1)若平面，，证明：(2)若底面，，，二面角的长．()y f x ='1,12⎛⎫⎪⎝⎭2025120252k k g =⎛⎫= ⎪⎝⎭'∑z 33i1iz -=+1z +=23()1*1e n a n a n ++=∈N 2303aa x +=0x y =()12e 1x x x +->123a a a +-=()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++αx αP ABCD -2AC =1BC =AB =//AD PBC AD ⊥PA PB AD ⊥PA ⊥ABCD AD CD ⊥AD =A CP D --PA17．（本小题15分）设的内角，，所对的边分别为，且.(1)求(2)若,求的周长;(3)如图，点是外一点，设且，记的面积，求关于的关系式，并求的取值范围.18．已知抛物线的焦点为，直线过点交于，两点，在，两点的切线相交于点，的中点为，且交于点．当垂直于轴时，长度为4；(1)求的方程；(2)若点的横坐标为4，求；(3)设在点处的切线与，分别交于点，，求四边形面积的最小值．19．（本小题17分）已知函数，.(1)当时，函数恒成立，求实数的最大值；(2)当时，若，且，求证：；(3)求证：对任意，都有.ABC V A B C ,,a b c ()()sin ()(sin sin ),a c B C b c B C -⋅+=-⋅+b =;B 3BA BC +=ABC V D ABC V BAC DAC θ∠=∠=2π3ADC ∠=BCD △S S θS 2:2(0)C x py p =>F l F C A B C A B P AB Q PQ C E AB y AB C P QE C E PA PB M N ABNM ()21ln 2f x x x ax =+-()0a >[)1,x ∈+∞()32f x ≥-a 2a =()()123f x f x +=-12x x ≠122x x +>*N n ∈()2112ln 1ni i n n i =-⎛⎫++> ⎪⎝⎭∑成都石室中学2024-2025学年度上期高2025届11月半期考试数学参考答案双向细目表题号题型分值难度预估内容具体内容1单项选择题50.95集合集合运算2单项选择题50.9向量数量积3单项选择题50.8三角函数诱导公式、倍角公式4单项选择题50.75正态分布正态分布5单项选择题50.7向量投影向量6单项选择题50.7三角函数三角函数图象分析7单项选择题50.5函数性质函数奇偶性及单调性分析8单项选择题50.4不等式不等式9多项选择题60.8三角函数正弦函数图象特点分析10多项选择题60.5函数三次函数图象分析11多项选择题60.3函数性质函数奇偶性、对称、周期性分析12填空题50.8复数复数计算13填空题50.5概率概率计算14填空题50.3函数数列及函数零点15（1）解答题60.8检验15（2）解答题70.7概率统计分布列16（1）解答题30.8线线垂直证明16（2）解答题40.7立体几何二面角17（1）解答题40.7正余弦定理应用17（2）解答题50.6解斜三角形求周长17（3）解答题60.4解斜三角形解斜三角形求面积18（1）解答题50.6抛物线方程18（2）解答题60.6切线问题18（3）解答题60.4解析几何四边形面积19（1）解答题50.7函数恒成立问题19（2）解答题60.5利用函数单调性证明自变量大小19（3）解答题60.3导数数列不等式证明答案及解析1.【参考答案】C【解题思路】由题意可知，，2K (){}ln 1{10}{1}A x y x x x x x ==-=->=>∣∣∣，所以.故选C.2.【参考答案】B【解题思路】如图，延长交于点.因为单位圆半径为，为单位圆的内接正三角形，所以.又因为是正的中心，所以，，所以.设的边长为.由勾股定理，得，即，解得（负值已舍去），所以，易得,的夹角为，所以.故选B.3.【参考答案】C【解题思路】由三角函数定义知，，，所以.故选C.4.【参考答案】A【解题思路】因为，所以，，所以.根据正态曲线的对称性可得，.故选A.5.【参考答案】B【解题思路】因为，所以，所以.因为向量在向量上的投影向量是，所以，即，所以.又因为，所以与的夹角是.故选B.6.【参考答案】C【解题思路】当时，，原方程化为.令{}e{0}xB y y y y-===>∣∣()1,A B=+∞AO BC D O1ABC△O1OA OB OC===O ABC△AD BC⊥1122OD OA==32AD OA OD=+=ABC△a222AB AD BD=+2223122a a⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a=1BO=BC=BOBC6π3cos62BO BC BO BCπ⋅=⋅⋅=2tan21α==--cos0α<2sin2tan43cos2ααα===-=-⎪⎝⎭()230,2X N~30μ=2σ=()26340.954P X<≤≈()()()10.954262634340.9540.9772p P X P X P X-=≥=<≤+>≈+=()()22a b a b+⊥-()()222240a b a b a b+⋅-=-=2b a=a b14b1cos,4ba ab bb⋅=11cos,24a b b b⋅=1cos,2a b=[],0,a bπ∈a b3π(),xππ∈-cos02x≠1tan sin2sin2223xx x xπ⎛⎫==-⎪⎝⎭，，则原方程的解的个数即为函数与的图象在上的交点个数.作出函数和的大致图象如图，在上单调递增，，，，由图可知函数和在上有3个交点，即原方程在上有3个实数根.故选C.7.【参考答案】D【解题思路】由题意可得，.因为是奇函数，是偶函数，所以.联立解得.又因为对于任意的，都有成立，所以，即成立.构造，所以在上单调递增.若，则对称轴，解得；若，则在上单调递增，满足题意；若，则对称轴恒成立.综上所述，.故选D.8.【参考答案】A【解题思路】设，.因为，所以在上单调递增.当时，；当时，.因为的图象开口向上，，所以方程有一正根一负根，即函数在上有且仅有一个零点，且为异号零点.由题意可得，，则当时，；当时，，所以是方程的根，则，即，且，所以，当且仅当时等()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()tan 2x g x =()f x ()g x (),ππ-()f x ()g x ()tan2xg x =(),ππ-tan 124g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭5sin 1122f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭5122ππ<()f x ()g x (),ππ-(),ππ-()()22f x g x ax x -+-=-+()f x ()g x ()()22f x g x ax x -+=-+()()()()222,2,f xg x ax x f x g x ax x ⎧+=++⎪⎨-+=-+⎪⎩()22g x ax =+1212x x <<<()()12123g x g x x x ->--()()121233g x g x x x -<-+()()112233g x x g x x +<+()()2332h x g x x ax x =+=++()232h x ax x =++()1,2x ∈0a <0322x a =-≥304a -≤<0a =()32h x x =+()1,2x ∈0a >0312x a =-≤3,4a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭()1f x ax =-()21g x x bx =+-0a >()f x ()0,+∞10x a <<()0f x <1x a>()0f x >()g x ()01g =-()0g x =()g x ()0,+∞()()0f x g x ≥10x a <<()0g x ≤1x a >()0g x ≥1a210x bx +-=2110b a a +-=1b a a=-0a >544b a a a +=+≥=2a =号成立.故选A.9.【参考答案】ACD【解题思路】由图象可得，，，故，代入点，易得，所以.因为，所以当时函数取得最小值，即直线为函数的一条对称轴，故A 正确；由对称性可知，在上单调递减，上单调递增，故B 错误；为奇函数，故C 正确；将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，故D 正确.故选ACD.10.【参考答案】AD【解题思路】因为，即，所以，所以，所以的图象关于（0，-2）对称，故A 正确；当时，且，故B 错误；当时，，而，所以在（0，1）上单调递减，所以，故C 错误；，，所以在区间，上，即单调递增；在区间（-1，1）上，即单调递减，，，，画出的大致图象如图.因为当时，，所以由图可知，的最大值为，故D 正确.故选AD.11.【参考答案】ACD【解题思路】令，得；令，得.因为为奇函数，所以，则，故A 正确；因为为奇函数，所以为偶函数，则求2A =4312T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭2ω=,212π⎛⎫⎪⎝⎭3πϕ=()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭521232πππ⎛⎫⋅-+=- ⎪⎝⎭512x π=-()f x 512x π=-()f x ()f x 7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()22sin 22sin23f x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭()f x 2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1130f a -=-++=2a =-()()()233212f x x x x x =--=+-()()4f x f x +-=-()f x ()()()2120f x x x =+-<1x ≠-2x <01x <<201x x <<<()2330f x x =-<'()f x ()()2f x f x >()332f x x x =--()()()233311f x x x x =-=+-'(),1-∞-()1,+∞()0f x '>()f x ()0f x '<()f x ()10f -=()14f =-()24f -=-()f x [],x m n ∈()[]4,0f x ∈-n m -()224--=4x =()()422f g +-=4x =-()()462f g -+=()f x ()()f x f x =--()()264g g -+=()f x ()f x '不出，故B 错误；因为，所以.又，所以，则关于中心对称.因为，所以结合函数图象平移可得，关于点中心对称，故C 正确；由为偶函数，点为对称中心，得的周期为2，且，.又，所以，所以.因为，所以，所以，故D 正确.故选ACD.12.【解题思路】由题意知，，所以.13.【参考答案】【解题思路】设小万从这8道题中任选1道题且作对为事件，选到能完整做对的4道题为事件，选到有思路的3道题为事件，选到完全没有思路的题为事件，则，，.由全概率公式，得.14.【参考答案】【解题思路】因为，所以，.因为，，所以.因为在上单调递增，所以，，，所以.又因为，所以，所以.()00f '=()()22f x g x +-=()()20f x g x '--='()()12f x g x '++='()()122g x g x '++-='()g x '3,12⎛⎫⎪⎝⎭()2(1)f x g x '=-+'()f x '1,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x '1,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x '()()12f x f x '+-='11122f f ''⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12g x f x +='-'()()21g x f x =-'-'2025202520251112140501222k k k k k k g f f ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''∑∑∑()()41111014222k k f f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''∑202512025202311450612024202420252222k k f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯+-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''⎭'⎝'⎭⎝∑2025120252k k g =⎛⎫= ⎪'⎝⎭∑()()()()33133333331112i i i i i z i i i i ------====-++-131z i +=-+=2532A B C D ()4182P B ==()38P C =()18P D =()()()()()()()132112512838432P A P B P A B P C P A C P D P A D =++=⨯+⨯+⨯=∣∣∣ln2-1e2x y x +=-'010e 2x x +=01x >11e n a n a ++=2303a a x +=021120000e 32e x a a x x x x +++==+=+1e x y x +=+R 20a x =302a x =120ln 1ln 1a a x =-=-12300ln 1a a a x x +-=--010e 2x x +=0001ln2ln2ln x x x +==+12300ln 1ln2a a a x x +-=--=-15.解：（1）列联表如下：感兴趣不感兴趣合计男生12416女生9514合计21930零假设为：学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关，……5分依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关.……6分（2）由题意可知，的取值可能为0，1，2，3，……7分则，，，，……11分故的分布列如下：0123.……13分16.（1）证明：因为，，，即，所以，即.因为平面，平面，面面，所以，……3分所以.因为，，所以平面，所以.……6分（2）解：因为底面，，底面，所以，.又，所以，以点为原点，以，所在的直线为，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系如图所示.令，则，，，，，，，.设平面的法向量为，0H ()223012549200.4082 2.072.161421949K⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯0.15α=0H 0H X ()35395042CP X C ===()12453910121C C PX C ===()2145395214C C P X C ===()34391321CP X C ===X X P5421021514121()5105140123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=2AC =1BC =AB =222BC AB AC +=90ABC ∠=BC AB ⊥AD ∥PBC AD ⊂ABCD ABCD PBC BC =AD BC ∥AD AB ⊥AD PA ⊥PA AB A = AD ⊥PAB PB AD ⊥PA ⊥ABCD CD AD ⊂ABCD PA CD ⊥PA AD ⊥AD CD ⊥CD ==D DA DC x y D PA z PA t =)A)Pt ()0,0,0D ()C ()AC =()0,0,AP t = DC =)DP t =ACP ()1111,,n x y z =所以即令，则，，所以.……9分设平面的法向量为，所以即令，则，，所以.……11分因为二面角，二面角为锐角，，解得，所以.……15分17.解：（1）由正弦定理可知，，所以，所以，即.由余弦定理，所以.……4分（2）因为，所以等号两边同时平方可得，.又由（1）知，所以，即，所以，所以的周长为.……7分（3）由正弦定理可得，，即，110,0,n AC n AP ⎧=⎪⎨=⎪⋅⎩⋅1110,0,tz ⎧=⎪⎨=⎪⎩11x =11y =10z =()11,1,0n =CPD ()2222,,n x y z =220,0,n DP n DC ⎧=⎪⎨=⎪⋅⎩⋅ 2220,0,tz +==2z =2x t =-20y =(2n t =-A CP D --121212cos ,n n n n n n ⋅===2t =2PA =sin sin sin a b cA B C==()()sin sin sin sin sin sin sin sin sin B C A A a b cB CB CB C b c a cπ+--====++++-222a acbc -=-222a cb ac +-=2221cos 222a c b ac B ac ac +-===3B π∠=3BA BC += 229a c ac ++=223a c ac +-=226a c +=3ac =a c ==ABC △a b c ++=2sin sin BC ACABCθ∠===2sin BC θ=，即.因为四边形的内角和为，且，所以，所以.……11分（可以有多种表达形式，化简正确都得分），记，令，则.因为在中，所以，所以，所以当时，恒成立.当，即时，；当，即时，，则……15分18.解：（1）由题意可知，直线的斜率必存在.当垂直于轴时，点，，此时，即，所以抛物线的方程为.……5分（2）设直线的方程为，，.联立得，所以，，则.将代入直线，得，则的中点.因为，所以，则直线的方程为，即.同理可得，直线的方程为，所以，，所以.因为，则，所以，此时，，所以直线的方程为，代入，得，所以，所以2sin sin CD ACADCθ∠===2sin CD θ=ABCD 2πABC ADC ∠∠π+=2BCD πθ∠-=()211sin 2sin 2sin sin 22sin sin222S BC CD BCD ∠θθπθθθ=⋅=⨯⨯⨯-=⨯()22sin sin21cos2sin2sin2sin2cos2S θθθθθθθ=⨯=-=-2x θ=()sin sin cos f x x x x =-()()()()222cos cos sin 2cos cos 12cos 1cos 1f x x x x x x x x =-'-=-++=+-+ACD △03πθ<<203x π<<1cos 12x -<<1cos 12x -<<()0f x '>1cos 2x =-23x π=23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭cos 1x =0x =()00f =()0f x <<0S <<l AB y ,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭24AB p ==2p =C 24x y =l 1y kx =+()11,A x y ()22,B x y 21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩2440x kx --=124x x k +=124x x =-2Q x k =2Q x k =1y kx =+221Q y k =+AB ()22,21Q k k +24x y =2x y '=PA ()1112x y y x x -=-2111124y x x x =-PB 2221124y x x x =-()2212121211442122P x x x x x k x x -+===-21212111112244P x x x x y x x +=⋅-==-()2,1P k -4P x =24k =2k =()4,9Q ()4,1P -PQ 4x =24x y =4y =()4,4E.……10分（3）由（2）知，，，所以直线的方程为，代入，得，所以，所以为的中点.因为抛物线在点处的切线斜率，所以抛物线在点处的切线平行于.又因为为的中点，所以.因为直线的方程为，所以.又到直线的距离.，当且仅当时取“”，所以，所以四边形的面积的最小值为3.……17分19.（1）解：当时，恒成立，即恒成立，只需即可.令，，则.令，，则，当时，恒成立，即在上单调递增，所以，所以在上恒成立，即在上单调递增，所以，945QE =-=()22,21Q k k +()2,1P k -PQ 2x k =24x y =2y k =()22,E k k E PQ C E 22ky k '==C E AB E PQ 34ABP ABNM S S =△四边形AB 1y kx =+()()()2121212112444AB y y p kx kx k x x k =++=++++=++=+()2,1P k -AB h 1122ABP S AB h =⋅=△()()322244414kk +⋅=+≥0k ==334ABP ABNM S S =≥△四边形ABNM 1x ≥213ln 022x x ax +-+≥ln 1322x a x x x ≤++min ln 1322x a x x x ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭()ln 1322x g x x x x =++1x ≥()22221ln 132ln 1222x x x g x x x x -'--=+-=()22ln 1h x x x =--1x ≥()22222x h x x x x-=-='1x ≥()0h x '≥()h x [)1,+∞()()10h x h ≥=()0g x '≥[)1,+∞()g x [)1,+∞()()min 12g x g ==所以，即实数的最大值为2.……5分（2）证明：因为当时，，，所以，即在上单调递增.又，，且，所以不妨设.要证，即证明.因为在上单调递增，即证.因为，即证.设，，令，，则，.因为，所以，即在（0，1）上单调递增，所以，即，所以成立，所以.……11分（3）证明：由（2）可知，当时，在上单调递增，且.由，得，即.令，则，即，所以，，，，，相加得.……17分2a ≤a 2a =()21ln 22f x x x x =+-0x >()()21120x f x x x x-=+-=≥'()f x ()0,+∞()312f =-()()123f x f x +=-12x x ≠1201x x <<<122x x +>212x x >-()f x ()0,+∞()()212f x f x >-()()123f x f x +=-()()1123f x f x +-<-()()()()()()221123ln 2ln 2222322F x f x f x x x x x x x =+-+=+-+-+---+=()()()2ln 221ln 221x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-+-+=---+⎣⎦⎣⎦01x <<()2t x x =-01t <<()ln 1t t t ϕ=-+()111tt t tϕ-=-='01t <<()0t ϕ'>()t ϕ()()10t ϕϕ<=()()()230F x f x f x =+-+<()()1123f x f x +-<-122x x +>2a =()f x ()1,+∞()()312f x f >=-213ln 2022x x x +-+>22ln 430x x x +-+>()22ln 21x x +->1n x n +=2112ln 21n n n n ++⎛⎫+-> ⎪⎝⎭2112ln 1n n n n +-⎛⎫+> ⎪⎝⎭22112ln 111-⎛⎫+> ⎪⎝⎭23122ln 122-⎛⎫+> ⎪⎝⎭24132ln 133-⎛⎫+> ⎪⎝⎭ 2112ln 1n n n n +-⎛⎫+> ⎪⎝⎭()2112ln 1ni i n n i =-⎛⎫++> ⎪⎝⎭∑。

福建省三明第一中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(解析)

三明一中2024-2025学年上学期半期考高三数学试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第一部分（选择题共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数3i 1i z =++在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数的运算法则化简z ，再写出其对应的点即得.【详解】3i 1iz =++()()()()31i 331i i 1i i 1i 1i 222-=+=+-=-+-，故其在复平面对应的点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限.故选：D.2. 设,a b 均为单位向量，则“a b a b -=+ ”是“a b ⊥”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据向量的运算法则和公式22a a = 进行化简，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由a b a b -=+ ，则22a b a b -=+ ，即222222a b a b a b a b +-⋅=++⋅，可得0a b ⋅= ，所以a b ⊥，即充分性成立；反之：由a b ⊥ ，则0a b ⋅=，可得2222()a b a b a b -=-=+ 且2222()a b a b a b +=+=+ ，所以a b a b -=+，即必要性成立，综上可得，a b a b -=+ 是a b ⊥的充分必要条件.故选：C.3. 已知数列{}n a 满足()111n n a a +-=，若11a =-，则10a =（）A. 2 B. ―2C. 1- D.12【答案】C 【解析】【分析】根据递推式求出2a ,3a ,4a 的值,可以发现数列为周期数列,从而推出10a 的值.【详解】因为111n n a a +=-,11a =-,所以212a =,32a =,41a =-,所以数列{}n a 的周期为3,所以101a =-．故选:C ．4. 已知实数1a >，0b >，满足3a b +=，则211a b+-的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】实数1a >，0b >，由3a b +=，得(1)2a b -+=，因此211211211[(1)]()(3)(3121212b a a b a b a b a b -+=-++=++≥+---，当且仅当211-=-b a a b，即14a -==-所以211a b +-.故选：B5. 中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中1320cm O O =，122cm O O =，16cm AB =，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：π3≈，铜的密度为8.963g /cm ）（）A. 1kgB. 2kgC. 3kgD. 0.5kg【答案】A 【解析】【分析】根据圆锥的体积公式，结合质量公式求解即可.【详解】由题意可得惊鸟铃的体积约为长()22311π820π818128cm 33⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，所以该惊鸟铃的质量约为()1288.961146.88g 1⨯=≈（kg ）．故选：A ．6. 已知函数()()sin 10f x x ωω=+>在区间()0,π上有且仅有2个零点，则ω的取值范围是（）A. 711,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 711,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C. [)3,5D. (]3,5【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数的性质结合整体思想计算即可.【详解】因为0πx <<，所以0πx <ω<ω，令()sin 10f x x ω=+=，则方程sin 1x ω=-有2个根，所以711πππ22ω<≤，解得71122ω<≤，则ω的取值范围是711,22⎛⎤ ⎥⎝⎦．故选：B7. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a c b +-==sin 21cos 2CC+，则角A 的大小为（）A.π12B.5π12C.7π12D.3π4【答案】B 【解析】【分析】借助余弦定理计算可得π6B =，4BC π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入计算即可得角A 的大小.【详解】因为222a c b +-=，由余弦定理得2cos ac B =，所以cos B =(0,π)B ∈，所以π6B =，2sin 22sin cos sin 1cos 22cos cos C C C CCC C ===+，所以cos cos sin sin C A C C A C +=-，)sin cos A C C C +=-，又πA C B +=-4B C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以π4B C =-或π4B C π+-=（舍），所以56412C πππ=+=，所以5561212A B C πππ=π--=π--=.故选：B.8. 已知函数()()()e ln 0xf x a ax a a a =--+>，若存在x 使得关于x 的不等式()0f x <成立，则实数a 的取值范围（）A. ()20,eB.()e0,e C.()2e ,+∞ D.()ee ,+∞【答案】C 【解析】【分析】将不等式变形为()ln eln 1ln 1x ax a x x -+-<-+-，构造函数()ln g x x x =+，分析可知该函数为增函数，可得出()ln ln 1a x x >--，求出函数()()ln 1h x x x =--的最小值，可得出关于实数a 的不等式，即可得出实数a 的取值范围.【详解】因为0a >，由0ax a ->可得1x >，即函数()f x 的定义域为()1,+∞，()()e ln ln 10xf x a a a x a =---+<可得()e ln ln 11x a x a-<--，即()ln eln 1ln 1x ax a x x -+-<-+-，构造函数()ln g x x x =+，其中0x >，则()110g x x'=+>，故函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以，()()ln e 1x agg x -<-，可得ln e1x ax -<-，则()ln ln 1x a x -<-，即()ln ln 1a x x >--，其中1x >，令()()ln 1h x x x =--，其中1x >，则()12111x h x x x -'=-=--，当12x <<时，()0h x '<，此时函数()h x 单调递减，当2x >时，()0h x '>，此时函数()h x 单调递增，所以，()()min ln 22a h x h >==，解得2e a >.故选：C.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将不等式变形为()ln eln 1ln 1x ax a x x -+-<-+-，结合不等式的结果构造函数()ln g x x x =+，转化为函数()g x 的单调性以及参变量分离法求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法中正确的是（）A. 若//a b ，//b c，则//a cB. 若ABC V 是锐角三角形，则sin cos A B>C. 若点G 为ABC V 的重心，则0GA GB GC ++=D. 命题：x ∀∈R ，21x >-的否定是：x ∃∈R ，21x ≤-．【答案】BCD 【解析】【分析】若0b =可判断A ；根据正弦函数单调性和诱导公式可判断B ；由重心的向量表示可判断C ；由全称命题的否定可判断D.【详解】对于A ，若0b = ，则,a c不一定平行，故A 不正确；对于B ，若ABC V 是锐角三角形，则可得π2A B +>且π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得2A B π>-，且0,22B ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调性，可得πsin sin 2A B ⎛⎫>-⎪⎝⎭，所以sin cos A B >，所以B 正确；对于C ，分别取BC ，AC ，AB 中点D ，,E F ，则2GB GC GD +=，G 为ABC V 的重心，2GD AG ∴=，20GA GB GC GA GD ∴++=+=，故C 正确；对于D ，根据全称命题的否定可得：x ∀∈R ，21x >-的否定是：x ∃∈R ，21x ≤-，故D 正确.故选：BCD.10. 已知数列{}n a 的前n 项和为2113622n S n n =-+，则下列说法正确的是（）A. 7n a n =- B.23344556111145a a a a a a a a +++=C. 使0n S >的最小正整数n 为13 D.nS n的最小值为3-【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，根据n S 与n a 关系，求出通项n a 判断；对B ，利用裂项求和得解可判断；对C ，令0n S >求得答案；对D ，求出nS n，利用对勾函数单调性求最值.【详解】对于A ，由2113622n S n n =-+，当1n =时，110a S ==，当2n ≥时，()()221113113611672222n n n a S S n n n n n -⎛⎫=-=-+----+=- ⎪⎝⎭，0,17,2n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩，故A 错误；对于B ，因为()()111118787n na a n n n n -==-----，2n ≥，所以23344556111111111111411453423255a a a a a a a a +++=-+-+-+-=-=，故B 正确；对于C ，由0n S >，即21136022n n -+>，解得12n >，故C 正确；对于D ，101S =，2n ≥时，1613112132222n S n n n n n ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，因为函数12y x x =+在(0,上单调递减，在()∞+上单调递增，∴当3n =或4时，n Sn取得最小值为3-，故D 正确．故选：BCD.11. 已知函数()ln 1x xf x x -=+，则下列结论中正确的是（）A. 函数()f x 有两个零点B. ()13f x <恒成立C. 若方程()2k f x x x =+有两个不等实根，则k 的范围是10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 直线14y x =-与函数()f x 图象有两个交点【答案】BCD 【解析】【分析】分01x <<和1x >两种情况探讨()f x 的符号，判断A 的真假；转化为研究函数()11ln 33g x x x x =++的最小值问题，判断B 的真假；把方程()2k f x x x=+有两个不等实根，为2ln k x x =-有两个根的问题，构造函数()2ln m x x x =-，分析函数()m x 的图象和性质，可得k 的取值范围，判断C 的真假；直线14y x =-与函数()f x 图象有两个交点转化为11ln 044x x --=有两解，分析函数()11ln 44n x x x =--的零点个数，可判断D 的真假.【详解】对A ：当01x <<时，()0f x >；当1x >时，()0f x <；1x =时，()0f x =，所以函数()f x 只有1个零点.A 错误；对B ：欲证()13f x <，须证ln 113x x x -<+⇔11ln 033x x x ++>在()0,∞+上恒成立.设()11ln 33h x x x x =++，则()4ln 3h x x '=+，由()0h x '>⇒43e x ->；由()0h x '<⇒430e x -<<.所以()h x 在430,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在43e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.所以()h x 的最小值为443343111e e 33e h --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为433e <，所以43e 0h -⎛⎫> ⎪⎝⎭.故B 正确；对C ：()2k f x x x=+⇒()1ln 1x x k x x x =++-⇒2ln k x x =-.设()2ln m x x x =-，0x >则()()2ln 2ln 1m x x x x x x '=--=-+，0x >.由()0m x '>⇒120e x -<<；由()0m x '<⇒12e x ->.所以()m x 120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.所以()m x 的最大值为：121e 2em -⎛⎫= ⎪⎝⎭，又当120,e x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x >.如图所示：所以2ln k x x =-有两个解时，10,2e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故C 正确；对D ：问题转化为方程：ln 114x x x x -=-+有两解，即11ln 044x x --=有两解.设()11ln 44n x x x =--，0x >，所以()11444xn x x x-'=-=.由()0n x '>⇒04x <<；由()0n x '<⇒4x >.所以()n x 在()0,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减.所以()n x 的最大值为()54ln 44n =-.因为82256=，53243=，所以85523e >>⇒454e >⇒544e >⇒5ln 44>在所以()54ln404n =->.且当0x >且0x →时，()0n x <；x →+∞时，()0n x <.所以函数()11ln 44n x x x =--的图象如下：所以11ln 044x x --=有两解成立，所以D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法：（1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解.（2）转化为含参数的函数的极值问题求解.第二部分（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. =______.【答案】12##0.5【解析】【分析】利用二倍角公式结合诱导公式化简，即可求得答案.sin50sin 40cos40sin 40cos10cos10===sin 80cos1012cos102cos102=== .故答案为：1213. 已知集合2{|290}A x x x a =-+-=，2{|4100}B x ax x a =-+=≠，，若集合A ，B 中至少有一个非空集合，实数a 的取值范围_______.【答案】{8a a ≥或4a ≤且}0a ≠【解析】【分析】先考虑A ，B 为空集得出a 的范围，再利用补集思想求得结果.【详解】对于集合A ，由()Δ4490a =--<，解得8a <;对于集合B ，由1640a ∆=-<，解得4a >.因为A,B 两个集合中至少有一个集合不为空集,所以a 的取值范围是{8a a ≥或4a ≤，且}0a ≠故答案为：{8a a ≥或4a ≤且}0a ≠14. 在四面体V ABC -中，VA VB ==3VC =，4CA CB ==，VC 的中点为P ，AB 的中点为Q ，则PQ 的取值范围为______.【答案】43⎛ ⎝【解析】【分析】设出线段AB 的长度，然后利用勾股定理表示出QV 和QC ，进而利用2221)4||QP QP QV QC ==(+ 表示出线段PQ 的长度，然后转化为函数求最值即可，但是要注意确定解析式中自变量的取值范围.【详解】如图所示，连接VQ 和CQ，根据VA VB ==4CA CB ==可知，VQ AB ⊥和CQ AB ⊥.不妨设2AB x =，则根据勾股定理可知VQ =，CQ =，其中根据三角形中三边的长度关系可知，0280233x x <<⎧⎪<<⎪>-<，解得2287036x <<.因为12QP QV QC =(+) ，所以22222222113123944442||||||||||||||||||QV QC QP QV QC QV QC QV QC x QV QC +-=(+)=(++⋅⋅)=(-)⋅.因2287036x <<，所以2163994||QP <<，即43QP <<.为。

2025届江苏常州高三上学期期中质量调研数学试题(解析版)

常州市2024—2025学年第一学期高三期中质量调研数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干冷后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}26,3,1,0,2,3|A x x B =<=−−，则A B = （）A. {}1,0−B. {}0,2C. {}3,1,0−−D. {}1,0,2−【答案】D 【解析】【分析】解不等式化简集合A .【详解】依题意，{|A x x =<<，而{}3,1,0,2,3B =−−，所以{}1,0,2A B =− .故选：D2. 已知a ，b ∈R ，则“e a b =”是“ln a b =”（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据指数式和对数式以及充分、必要条件等知识来确定正确答案. 【详解】根据指数式和对数式的互化公式可知e ln a b a b =⇔=，所以“e a b =”是“ln a b =”的充要条件.的故选：A3. 已知复数z 满足22i 10z z −−=，则z z −= （） A. 2i − B. 2iC. 0D. 2【答案】B 【解析】【分析】设i,,z a b a b ∈=+R ，代入已知条件，求得,a b ，进而求得z z −. 【详解】设i,,z a b a b ∈=+R ，则()()2i 2i i 10a b a b +−+−=，()222121i 0a b b a b −+−+−=，所以()()221010a b a b −−=−=，解得0,1a b ==，所以i,i,2i z z z z ==−−=. 故选：B4. 有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数.教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同.则这5名同学的可能排名有（） A. 42种 B. 72种 C. 78种 D. 120种【答案】C 【解析】【分析】先计算55A ，然后减去不符合题意的情况，由此求得正确答案. 【详解】不符合题意的情况是：甲是最高分或乙是最低分，所以这5名同学的可能排名有54435443A A A A 78−−+=种. 故选：C5. 已知,αβ是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线l α⊥的是（） A. ,//l αββ⊥ B. ,//l a a α⊥C. //,l a a α⊥D. ,,,l a l b a b αα⊥⊥⊂⊂【答案】C 【解析】【分析】根据直线、平面的位置关系的判断可得结果.【详解】对于A ，,//l αββ⊥，则l 与α相交、平行或l α⊂，故A 错误；对于B ，,//l a a α⊥，则l 与α相交、平行或l α⊂，故B 错误；对于C ，//,l a a α⊥，由线面垂直的性质知l α⊥，故C 正确；对于D ，,,,l a l b a b αα⊥⊥⊂⊂，则l 与α相交、平行或l α⊂，故D 错误. 故选：C.6. 已知函数()co ()s 0f x x ωω=>的最小正周期为T .若2π4πT <<，且曲线()y f x =关于点3π04，中心对称，则()πf =（）A.12B. 12−C.D. 【答案】B 【解析】【分析】根据余弦函数的周期公式以及对称中心，建立方程，可得答案. 【详解】由()cos f x x ω=，则2πT ω=，由2π4πT <<，则2π2π4πω<<，解得112ω<<，由()cos f x x ω=，则当()ππZ 2x k k ω=+∈时，函数()f x 取得对称中心，由题意可得(3πππZ 42k k ω=+∈，化简可得()24Z 33k k ω=+∈，当0k =时，21,132ω =∈ ，显然当0k ≠时，241,132k ω+ =∉，所以()2cos 3f x x =，则()2π1πcos 32f ==−. 故选：B.7. 已知(),0,παβ∈，且()cos ααβ=+=，则cos β=（）A.B. C.D. 【答案】B 【解析】【分析】根据同角三角函数的平方式，求得已知角的正弦值和余弦值，结合余弦的差角公式，可得答案.【详解】由()0,πα∈，则sin α===， 223cos 2cos sin 5ααα=−=−，4sin 22sin cos 5ααα==，由π0,2α∈，易知π2,π2α ∈ ，解得ππ,42α∈，由()0,πβ∈，π3π,42αβ+∈，且()sin 0αβ+>，则π,π4αβ +∈ ，可得()cos αβ+ 所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+−=+++当cos 0β=>时，π0,2β ∈ ，sin β，此时()cos 0αβ+=>，则ππ,42αβ +∈ ，由22cos 2cos sin βββ=−117sin 22sincos 125βββ=，则π0,2β ∈，易知π2,π2β∈ ，解得ππ,42β ∈，此时ππ,42αβ +∉cos β≠当cos 0β<时，π,π2β ∈ ，sin β，此时()cos 0αβ+<，则π,π2αβ +∈ ，由224cos 2cos sin 5βββ=−=−，3sin 22sincos 5βββ==，则π0,2β ∈，易知π2,π2β ∈，解得ππ,42β ∈，cos β=；故选：B.8. 已知函数()()log 2a f x ax =−（0a >，且1a ≠）.[]1,2x ∃∈，使得()1f x ≥成立，则实数a 的取值范围是（） A. 2,13B. (]2,11,23C. (]1,2D. 2,23【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性以及函数的最值进行分析，从而确定正确答案. 【详解】2y ax =−在[]1,2单调递减，2x ∴=时，220a −>, 即1a <, 另外，0<aa <1时，log a y t =单调递减，()f x ∴在[]1,2单调递增，()()()max 22log 221,22,.3a f x f a a a a ∴==−≥∴−≤∴≥ 综上所述，a 的取值范围是2,13. 故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得60分.9. 已知平面内两个单位向量,a b的夹角为θ，则下列结论正确的有（） A. ()()a b a b +⊥−B. a b +的取值范围为[]0,2C. 若a b −=，则π3θ= D. a在b 上的投影向量为a b【答案】AB 【解析】【分析】根据向量垂直、模、夹角、投影向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，由于()()220a b a b a b +⋅−=−= ，所以()()a b a b +⊥−，所以A 选项正确.B 选项，a b +=，[][][]cos 1,1,22cos 0,40,2θθ∈−+∈，所以B 选项正确.C 选项，a b −=，解得1cos ,0π2θθ=−≤≤，所以2π3θ=，所以C 选项错误.D 选项，a 在b 上的投影向量为()cos a b b b b bθ⋅⋅= ，所以D 选项错误. 故选：AB10. 甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛甲获胜的概率为()01p p <<，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（）A. 若采用3局2胜制，则甲获胜的概率是()232pp −B. 若采用5局3胜制，则甲以3：1获胜的概率是()351p p − C. 若0.6p =，甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大D. 若0.6p =，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是3 【答案】AC 【解析】【分析】对于选项A: 采用3局2胜制，甲获胜分为一二局甲胜，一三局甲胜，二三局甲胜三种情况分别计算求和即可；对于选项B: 采用5局3胜制，要让甲以3：1获胜，则前三局中甲胜两局，第四局甲胜；对于选项C:分别计算5局3胜制与3局2胜制甲胜的概率，比较即可；对于选项D: 在甲获胜的条件下比赛局数3,4,5X =，借助条件概率分别计算进而求出期望即可判断.【详解】对于选项A: 若采用3局2胜制，甲获胜分为一二局甲胜，一三局甲胜，二三局甲胜三种情况，则最终甲胜的概率为()2221(1)(1)32P p p p p p p pp =+−+−=−，故选项A 正确；对于选项B: 若采用5局3胜制，要让甲以3：1获胜，则前三局甲胜两局，最后一局甲胜，则甲以3：1获胜的概率是22323C (1)3(1)P p p p p p −−，故选项B 错误；对于选项C: 因为0.6p =，结合选项A 可知，若采用3局2胜制，最终甲胜的概率为()()221320.6320.60.648P p p =−=−×=，若采用5局3胜制，甲获胜的比分为3:0,3:1,3:2三种情况，所以甲在5局3胜制中甲获胜的概率是3222223340.6+C 0.6(10.6)0.6C 0.6(10.6)0.60.68256P =××−×+××−×= 因为0.682560.648>，所以甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大，故选项C 正确；对于选项D: 因为0.6p =，且采用5局3胜制，甲获胜的概率为30.68256P = 在甲获胜的条件下比赛局数3,4,5X =由条件概率公式可知：()330.60.21630.68256P X P ===;()2233C 0.6(10.6)0.60.259240.68256P X P ××−×===; ()22243C 0.6(10.6)0.60.2073650.68256P X P ××−×===; 所以在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是()0.2160.25920.2073634540.682560.682560.68256E X =×+×+×≈,故选项D 错误. 故选：AC.11. 已知函数()()()()2f x x a x b a b =−−<，2为()f x 的极大值点，则下列结论正确的有（）A 2a =B. 若4为函数()f x 的极小值点，则4b =C. 若()f x 在2,3b b内有最小值，则b 的取值范围是8,3 +∞D. 若()40f x +=有三个互不相等的实数解，则b 的取值范围是()5,+∞ 【答案】AD 【解析】【分析】先求得()f x ′，然后根据函数的极值、最值、方程的解等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A ，()f x ′=()()()()()2222x a x b x a x a x b x a −−+−=−−+−，()()32x a x a b =−−−，()0f x ′=，则x a =或23a b +，而a b <，则23a b a +<，令()0f x ′>，得x a <或23x a b<+；令()0f x ′<，得23a b a x +<<； .()f x 在(),a −∞单调递增，2,3a b a +单调递减，2,3a b ++∞ 单调递增， ()f x ∴的极大值点为a ，2a ∴=，A 对.对于B ，若4为极小值点，则2243b+=，则5b =，B 错. 对于C ()f x 在2,3b b内有最小值，则()f x 在223b +处取得最小值223b f +，()()()22f x x x b =−−，22233b b f f + ≥，即223222222222433333b b b b b b b ≥= − ++− −− −−，()()2332b b b ≤−−，83b ∴≥，故C 错误.对于D ()4f x =−有三个互不相等的实数解，()20f =，则32443b − −<−，故5b >，故D 正确；故选：AD【点睛】关键点睛：导数的准确求解与符号分析：通过求导并分析导数的符号变化，是判断函数单调性和极值点的关键步骤..条件验证的完整性：对于多项选择题，通过完整地验证每个选项的条件，可以确保答案的准确性.尤其是涉及极值点和方程解的条件时，要特别注意每个条件的符号和数量判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知正数,x y 满足24xy x y =+，则xy 的最小值为__________. 【答案】4 【解析】【分析】利用基本不等式来求得正确答案.【详解】依题意，24xy x y =+≥，当且仅当44x y ==时等号成立. )22,4xy xy ≥≥≥≥，所以xy 的最小值为4. 故答案：4为13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()cos ,sin P αα，将线段OP 绕原点O 按顺时针方向旋转π2至线段OP ′.若1cos 3α=，则点P ′的纵坐标为__________. 【答案】13− 【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义，结合诱导公式，可得答案. 【详解】由题意可知，终边为OP 的角为α，则终边为OP ′的角为π2α−，点P ′的纵坐标为π1sin cos 23αα−=−=−. 故答案为：13−.14. 已知一个母线长为1，底面半径为r 的圆锥形密闭容器（容器壁厚度忽略不计），能够被整体放入该容器的球的体积最大时，r =________.【解析】【分析】通过求圆锥轴截面的内切圆的方法，结合导数来求得正确答案. PAB ，设PAB 内切圆的半径为R ，也即圆锥内切球的半径为R ，则()11211222r r R ×=×++⋅，解得R=，设()()()()()()()2232322310,11r r r r r r r f r r f r r r −+−−−=′>=++ ()()2222212211r r r r r r r r +−  =−⋅=−⋅++()22221r r r r +  =−⋅+,所以()f r在上()()0,f r f r ′>单调递增，在区间∞+上()()0,f r f r ′<单调递减，所以当r =时，()f r 取得极大值也即是最大值，所以当r =时，能够被整体放入该容器的球的体积最大.【点睛】关键点睛：几何模型的准确构造：通过构造圆锥轴截面并确定内切球的半径，是解题的关键.几何模型的正确设定为后续的导数求解提供了基础.导数与单调性的结合应用：在求解极值问题时，利用导数分析函数的单调性，是找到最大值的有效方法.通过对函数的求导，并结合单调区间的判断，可以确保解的准确性.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 某研究性学习小组为研究两个变量x 和y 之间的关系，测量了对应的五组数据如下表：x 2 3 4 5 6 y47121314（1）求y 关于x 的经验回归方程；（2）请估计 3.5x =时，对应的y 值.附：在经验回归方程ˆˆˆy a bx=+中，1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx yb ay bx x nx==−⋅==−−∑∑，其中,y x 为样本平均值.。

北京市丰台区怡海中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(解析)

怡海中学2024-2025学年度第一学期高三年级期中练习数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题中选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}{}|10，|11A x x B x x =-<<=-£<，则A B U （）A. {}|10x x -£<B. {}|11x x -£<C. {}|10x x -<<D. {}|11x x -<<【答案】B 【解析】【分析】由并集的定义求解.【详解】集合{}{}|10，|11A x x B x x =-<<=-£<，则{}|11A B x x È=-£<。

故选：B.2. 若复数z 满足1i i z +=，则z =（）A. 1i - B. 1i -- C. 1i + D. 1i-+【答案】A 【解析】【分析】利用复数的四则运算求z ，根据共轭复数的定义求z 即可.【详解】由题设i 1i(i 1)i 1iz -==--=+，则z =1i -.故选：A3. 下列函数中，是偶函数且在()0,¥+上单调递增的是（）A. ()2f x x =- B. ()3f x x= C. ()cos f x x = D. ()2log f x x=【答案】D 【解析】【分析】根据相关幂函数单调性判断A 、B ；由余弦函数的性质判断C ；利用奇偶性定义及对数复合函数单调性判断D.【详解】A ：()2f x x =-为偶函数，且在(0,+∞)上递减，不符合；B ：()3f x x =为奇函数，不符合；C ：()cos f x x =在(0,+∞)上不单调，不符合；D ：()()22log log f x x x f x -=-==且定义域为{|0}x x ¹，即()2log f x x =为偶函数，由||t x =在(0,+∞)上递增，2log y t =在定义域上递增，故()f x 在(0,+∞)上递增，符合.故选：D4. 在四棱锥P ABCD -中，“//BC AD ”是“//BC 平面PAD ”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理，结合充分、必要条件的定义进行判定.【详解】由//BC AD ，BC Ë平面PAD ，AD Ì平面PAD ，得//BC 平面PAD .由//BC 平面PAD ，ÌBC 平面ABCD ，平面ABCD I 平面PAD AD =，得//BC AD .故“//BC AD ”是“//BC 平面PAD ”充要条件.故选：C.5. 在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且cos cos 0a c B b C -+=，则C =（）A. 0° B. 60°C. 90°D. 120°【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式得到sin cos 0B C =，进而得到cos 0C =，从而得解.【详解】因为cos cos 0a c B b C -+=，所以由正弦定理得sin sin cos sin cos 0A C B B C -+=，则sin cos sin cos sin sin cos sin cos C B B C A C B B C -==+，的所以sin cos 0B C =，因为0180B °<<°，所以sin 0B ¹，则cos 0C =，所以90C =°.故选：C.6. 已知角α的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（）A sin ,cos ,tan a a aB. sin ,tan ,cos a a aC. 22sin ,cos ,tan a a aD. 22cos ,sin ,tan a a a【答案】D 【解析】【分析】对于ABC ，举反例排除即可；对于D ，利用三角函数的基本关系式即可判断.【详解】角a 的终边不在坐标轴上，有cos 0a ¹，sin 0a ¹，tan 0a ¹，sin tan cos aa a=，对于A ，令π4a =，则sin tan 1a a a ===，21cos ,sin tan 12a a a ===2cos sin tan a a a ¹，A 不是；对于B ，令π4a =，则21tan 1,cos sin 2a a a ==，即2tan cos sin a a a ¹，B 不是；对于C ，令π6a =，则2222111sin (),cos tan 243a a a =====，于是2223111cos,sin tan 44312a a a ==´=，即222cos sin tan a a a ¹，C 不是；对于D ，sin cos tan a a a =，则222sin cos tan a a a =，则22cos ,sin ,tan a a a 一定成等比数列，D 是.故选：D7. 已知函数()1x f x a -=过定点M ，点M 在直线1mx ny +=上且,0m n >，则12m n+的最小值为（）A. 3+B. 4+C. 3D. 4+【答案】A 【解析】【分析】由指数函数性质确定定点坐标，结合题设有1m n +=，应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值.【详解】由题设，()1x f x a-=恒过点(1,1)M ，则1m n +=，.所以12122()333n m m n m n m n m n +=++=++³+=+，当且仅当1,2m n =-=所以目标式最小值为3+故选：A8. 霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖.已知某种霉菌的数量y 与其繁殖时间t （天）满足关系式：t y ma =.若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到200大约需要（）（lg 20.3»，结果四舍五入取整）A. 20天 B. 21天C. 22天D. 23天【答案】C 【解析】【分析】利用待定系数求出参数，再求解自变量t 的值，利用对数运算即可求得结果.【详解】由题可得：5102040ma ma ì=í=î，两式相除可得52a =，即152a =，设繁殖t 天后数量达到200，则200t ma =，又520ma =，则520020tmama=，∴510t a a =，则510t a -=，即515210t -æö=ç÷èø，∴2log 1015t=-，∴2lg1015log 105555522lg 20.3t =+=´+=´+»，则要使数量达到200大约需要22天.故选：C.9. 北京市餐饮品牌《南城香》每个门店，当客人点完餐之后，服务人员给10分钟计时沙漏，保证在10分钟之内上完餐.沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时.如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为8，沙子体积占该沙漏容积的37128，则沙子堆积成的圆台的高为（）A. 1B. 32C. 2D. 43【答案】A 【解析】【分析】若圆锥体积为V ，沙子体积为1V ，根据题设可得12764V V V -=，结合圆台和圆锥中的等比性质求圆台的高.【详解】由题意，若圆锥体积为V ，沙子体积为1V ，则113737212864V V V V =Þ=，故12764V V V -=，设沙子堆积成的圆台的高为h ，沙漏下圆锥的高为4，结合圆台、圆锥的性质，有3427()464h -=，所以43144h h -=Þ=.故选：A10. 已知函数()332x x x a f x x ax aì-+³=í-<î，有最大值，并将其记为()F a ，则说法正确的是（）A. a 的最小值为―2，()F a 的最大值为2B. a()F a C. a()F a 的最大值为2 D. a 的最小值为―2，()F a 【答案】B 【解析】【分析】先求出()33f x x x =-+的增减情况，再结合题意可得到21a -££，从而可求解.【详解】由题意知，当x a ³时，()33f x x x =-+，求导得()()()233311f x x x x =-+=+-¢，当(),1x Î-¥-，()0f x ¢<，当()1,1x Î-，()0f x ¢>，当()1,x Î+¥，()0f x ¢<，所以f (x )在区间(),1-¥-，()1,+¥单调递减，在()1,1-单调递增，由题意知当x a <时，()2f x x a =-为增函数，因为函数f (x )有最大值，则可得当x =1时，()1132f =-+=，此时，令()332f x x x =-+=，解得x =1，或2x =-，令332a a a a -+=-，解得a =a =当20a -££时，此时f (x )的最大值为()2F a =，当2a £-时，此时f (x )的最大值为()()33F a f a a a ==-+，当0a <<时，此时f (x )的最大值为()2F a =，当a =f (x )的最大值为()F a =，当a >f (x )无最大值，综上：a()F a 故B 正确.故选：B.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知向量,a b rr 满足()1,1,2,1a b a b ==-×=r r r r ，则+=r r a b __________.【答案】【解析】【分析】根据平面向量数量积运算法则求出答案.【详解】因为()1,2b =-r，所以b ==r ，故a b +====rr r.故答案为：12. 二项式1nx x æö-ç÷èø展开式的各二项式系数之和为32，n =______；该展开式中3x 项的系数为_______．【答案】①. 5②. -5【分析】根据二项式系数和为2n 求出n ，再写出展开式的通项，利用通项计算展开式中3x 项的系数.【详解】二项式1nx x æö-ç÷èø展开式的各二项式系数之和为32，则有232n =，得5n =；二项式51x x æö-ç÷èø展开式的通项为()5521551C 1C rr r r r rr T x x x --+æö=-=-ç÷èø，05r ££且N r Î，令523-=r ，解得1r =，所以展开式中3x 项的系数为()151C 5-=-.故答案为：5；-5.13. 在ABC V 中，5,3,2a c B C ===，则ABC V 的面积为______.【答案】【解析】【分析】应用正弦定理、倍角正弦公式得6cos b C =，再由余弦定理及倍角余弦公式求得cos C =，进而得b =，且sin C =，最后应用三角形面积公式求面积.【详解】由sin sin b cB C =，结合题设有36cos sin 22sin cos sin b b b C C C C C==Þ=，又2222cos 3430cos 2b a c ac B C =+-=-，即236cos C 3430cos 2C =-，所以222236cos 6460cos cos 3C C C =-Þ=，在三角形中2B C =，必有C 为锐角，所以cos C =，故b =，且sin C =，故△ABC 的面积为11sin 522ab C =´´=故答案为：14. 设公比不为1的等比数列{}n a 满足1238a a a =-，且324,,a a a 成等差数列，则公比q =___________，数列{}n a 的前4项的和为___________．【答案】 ①. 2-②. 5-【解析】【分析】由等比数列的性质及等差中项，并结合等比数列通项公式列方程求基本量，进而写出前4项即可【详解】由题设31232282a a a a a ==-Þ=-，且34224a a a +==-，所以222242(2)(1)0a q q q q q a q +=-Þ+-=+-=，又1q ¹，故2q =-，所以12341,2,4,8a a a a ==-==-，则前4项的和为5-.故答案为：2-，5-15. 已知函数()πsin (0,0π)2f x x l j l j æö=+><<ç÷èø的部分图象如图1所示，A B ､分别为图象的最高点和最低点，过A 作x 轴的垂线，交x 轴于A ¢，点C 为该部分图象与x 轴的交点.将绘有该图象的纸片沿x 轴折成直二面角，如图2所示，此时AB =，则下列结论正确的有_____________①l =②5φπ6=③图2中，5AB AC ×=uuu r uuu r ④图2中，S 是A BC ¢V 及其内部的点构成的集合.设集合{}2T Q S AQ =Î£，则T 表示的区域的面积大于π4【答案】①②③【解析】【分析】在图2中，以点O 为坐标原点，OC uuu r 、A A ¢uuur的方向分别为y ¢、z ¢轴的正方向建立空间直角坐标系O x y z ¢¢¢-，根据已知条件求出l 的值，即可判断①；结合j 的取值范围求出j 的值，可判断②；利用空间向量数量积的坐标运算可判断③；求出cos BA C ¢Ð，结合扇形的面积公式可判断④．【详解】函数()f x 的最小正周期为2π4π2T ==，在图2中，以点O 为坐标原点，OC uuu r 、A A ¢uuur的方向分别为y ¢、z ¢轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O x y z ¢¢¢-，设点()0,,0A t ¢，则点()0,,A t l ，(),2,0B t l +，AB ===，因为0l >，解得l =，故①正确；所以π()2x f x j æö=+ç÷èø，则(0)f j ==，可得1sin 2j =，又因为函数()f x 在0x =附近单调递减，且0j p <<，所以56pj =，故②正确；所以π5π()26x f x æö=+ç÷èø，由π5π()26t f t æö=+=ç÷èøπ5πsin 126t æö+=ç÷èø，又因为点A 是函数()f x 的图象在y 轴左侧距离y 轴最近的最高点，则π5ππ262t +=，可得23t =-，因为点C 是函数()f x 在y 轴右侧的第一个对称中心，所以，π5ππ26C x +=，可得13C x =，翻折后，则有20,3A æ-çè、20,,03A æ¢ö-ç÷èø，4,03B ö÷ø、10,,03C æöç÷èø、所以(0,1,AC =uuur ，2,AB =uuu r，所以在图2中，2AB AC ×uuu r uuu r，故③正确；在图2中，设点(),,0Q x y 2£，可得22213x yæö++£ç÷èø，(0,1,0)A C ¢=uuuu r ，A B ¢=uuu u r ，cos ||||A C A B BA CA C AB ¢¢×¢Ð===>¢¢×uuuu r uuu u ruuuur uuu u r ，易知BA C ¢Ð为锐角，则π04BA C ¢<Ð<，所以，区域T 是坐标平面x Oy ¢¢内以点A ¢为圆心，半径为||1A C ¢=，且圆心角为BA C ¢Ð的扇形及其内部，故区域T 的面积21ππ1248T S <´´=，故④错误．故答案为：①②③.【点睛】关键点点睛：本题考查翻折问题，解题的关键在于建立空间直角坐标系，通过空间向量法来求解相应问题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在△ABC 中，角C 为锐角且满足2cos22sin C C =．（1）求C ；（2）若6b =，且ABC V的周长为6，求ABC V 的面积．【答案】（1）π6C = （2）【解析】【分析】（1）由倍角公式和同角三角函数的商数关系，化简2cos22sin C C =得21tan 3C =，角C 为锐角，有tan C =，可求角C ；（2）6b =，得+=a c，余弦定理得223626c a a =+-´´，求出a ，由公式1sin 2ABC S ab C =△求ABC V 的面积．【小问1详解】由2cos22sin C C =可得222cos sin 2sin C C C -=，则22cos 3sin C C =，得21tan 3C =，因为角C 为锐角，有tan C =，可得π6C =.小问2详解】因为周长6a b c ++=+ ，6b =，所以+=a c ①，又因为π6C =，所以22222cos 3626c a b ab C a a =+-=+-´´ ②，【。

山东省德州市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(解析)

高三数学试题2024.11主考学校：庆云一中本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟.注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.第I 卷选择题（共58分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1. 已知集合{}13A x x =-≤，{}28x B x =<，则A B = （）A. []2,4-B. (]2,4-C. []2,3-D. [)2,3-【答案】D 【解析】【分析】求得集合,A B ，利用交集的意义求解即可.【详解】由13x -≤，得313x -≤-≤，解得24x -≤≤，所以[2,4]A =-由3282x <=，所以3x <，所以(,3)B =-∞，所以[2,4](,3)[2,3)A B =--∞=- .故选：D.2. 以下有关不等式的性质，描述正确的是（）A. 若a b >，则11a b<B. 若22ac bc <，则a b <C. 若0a b c <<<，则a a cb b c+<+D. 若0a >，0b >，4a b +<，4ab <，则2a <，2b <【答案】B 【解析】【分析】举反例可说明选项A 、D 错误；利用不等式的性质得选项B 正确；利用作差法可得选项C 错误.详解】A.当0a b >>时，11a b>，选项A 错误.B.由 22ac bc <得20c >，故a b <，选项B 正确.C.()()()()()a a c abc b a c c a b b b c b b c b b c ++-+--==+++，由0a b c <<<得，0,0a b b c -<+<，所以()0()c a b b b c ->+，故a a cb b c+>+，选项C 错误.D.令13,2a b ==，满足0a >，0b >，4a b +<，4ab <，结论不正确，选项D 错误. 故选：B.3. 已知向量()1,2a =- ，(),1b m = ，若a b +与3a b - 平行，则m =（）A. 12-B. 14-C.32D.72【答案】A 【解析】【分析】利用平面向量的坐标表示以及平行关系，列方程即可得12m =-.【详解】由()1,2a =- ，(),1b m = 可得()()1,3,33,5a b m a b m +=--=--，若若a b + 与3a b -平行可知()()51330m m ----=，解得12m =-.故选：A4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3136a a +=，1517a =，则22S =（）A. 180 B. 200C. 220D. 240【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列定义可求得1112a d =-⎧⎨=⎩，再由等差数列的前n 项和公式计算可得结果.【【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由3136a a +=，1517a =可得11121261417a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩；解得1112a d =-⎧⎨=⎩，因此()221222122221122212202S a d ⨯=+=⨯-+⨯=.故选：C5. 已知p ：x a ≤，q ：1202xx -≤+，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（）A. 2a <- B. 2a ≤-C. 12a <D. 12a ≤【答案】A 【解析】【分析】先解分式不等式，根据充分不必要条件的定义结合集合间的基本关系计算即可.【详解】由1202x x -≤+可得()()()122020x x x -+≤+≠，解之得2x <-或12x ≥，设p ：x a ≤，对应(],A a =-∞，q ：1202x x -≤+，其解集对应()1,2,2B ⎡⎫=-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，则p 是q 的充分不必要条件等价于A 是B 的真子集，所以2a <-.故选：A6. 已知关于x 的函数()212log 1y x ax a =++-在[]3,2--上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A. 4a ≤ B. 4a <C. 3a ≤ D. 3a <【答案】D 【解析】【分析】由复合函数的单调性的性质和对数函数的定义域，知道内函数在区间[]3,2--上单调递减且函数值一定为正，建立不等式组，求得a 的取值范围.【详解】令21t x ax a =++-，则12log y t =，∵1012<<，∴y 在()0,∞+上单调递减，由复合函数的单调性可知，t 在[]3,2--单调递减，∴()()2222210aa a ⎧-≥-⎪⎨⎪-+-+->⎩，则43a a ≤⎧⎨>⎩，∴3a <故选：D7. 已知函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若方程()12f x =在区间()0,2π上恰有3个实数根，则ω的取值范围是（）A. 2531,2424⎛⎫⎪⎝⎭B. 3137,2424⎛⎤⎥⎝⎦C. 3147,2424⎛⎤⎥⎝⎦ D. 3161,2424⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由题意可得π1sin 42x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据()0,2πx ∈，可得5πππ2π2π4π646ω+<+≤+，计算即可.【详解】由()12f x =，可得π1sin 42x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，当()0,2πx ∈时，πππ2π444x ωω<+<+，因为方程()12f x =在区间()0,2π上恰有3个实数根，所以5πππ2π2π4π646ω+<+≤+，解得31472424ω<≤，所以ω的取值范围是3147,2424⎛⎤⎥⎝⎦.故选：C.8. 已知函数()122ln ,282x f x x x ≤<=⎨⎪≤≤⎪⎩，若函数()()g x f x ax =-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A. ln 21,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. ln 21,42e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. ln 21,22e ⎛⎤⎥⎝⎦ D. ln 21,2e ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】将问题转化为“(),y f x y ax ==的图象有三个交点”，然后作出(),y f x y ax ==的图象，根据y ax =经过点()8,2ln 2以及y ax =与()ln 2x f x =相切分析出a 的临界值，则a 的范围可求.【详解】因为g (x )=f (x )−ax 有三个不同零点，所以()f x ax =有三个不同实根，所以(),y f x y ax ==的图象有三个交点，在同一平面直角坐标系中作出(),y f x y ax ==的图象，当y ax =经过点()8,2ln 2时，代入坐标()8,2ln 2可得82ln 2a =，解得ln 24a =；当y ax =与()[]()2,8f x x ∈的图象相切时，设切点为00,ln 2x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为此时()ln 2x f x =，所以()1f x x '=，所以切线方程为()0001ln2x y x x x -=-，即00ln 12x xy x =+-，所以001ln 102a x x ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得12e a =；结合图象可知，若(),y f x y ax ==的图象有三个交点，则ln 2142ea ≤<，故选：B.【点睛】思路点睛：求解函数零点的数目问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9. 下列结论正确的是（）A. 1cos 2cos x x+≥B. ()0,3x ∀∈，()934x x -≤C. 若0x >，0y >，2x yy x+≥D.的值域为[)2,+∞【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式的三个要求“一正，二定，三相等”来判断各个选项即可.【详解】A 选项：因为[]cos 1,1x ∈-，故不满足“一正”，A 选项错误；B 选项：因为()0,3x ∈，所以()30,0x x ->>，所以()239324x x x x -+⎛⎫-≤=⎪⎝⎭，当且仅当()3x x -=，即()30,32x =∈时取等号，所以B 选择正确；C 选项：0x >，0y >，所以20,0x y y x >>，所以2x y y x +≥=，当且仅当2x y y x =，即y =时取等号，所以C 选项正确；D 0>2≥=，当且仅当==2+>，所以D 选项错误.故选：BC.10. 已知函数()()221f x xx =-，则（）A. 函数()f x 有两个零点B. 13x =是()f x 的极小值点C. 11,55f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是()f x 的对称中心D. 当34x <<时，()()123f x f x +>-【答案】ABD 【解析】【分析】求得函数()f x 的零点可判断A ；求得导函数，求得()0f x '=的根，可得极小值点，从而可判断B ；求得()262f x x x '=-的对称轴16x =，可得()f x 的对称中心判断C ；利用函数()f x 在1(,)3+∞上单调递增可判断D.【详解】由()()2210f x x x =-=，解得0x =或12x =，所以函数()f x 有两个零点，故A 正确；由()()221f x xx =-，得()()22626(121322f x x x x x x x x '=-+=-=-，令()0f x '=，解得0x =或13x =，当103x <<时，()0f x '<，当13x >时，()0f x '>，所以13x =是()f x 的极小值点，故B 正确；由函数()262f x x x '=-的对称轴为16x =，此时的对称中心是两个极值点的中点，所以11,66f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是()f x 的对称中心，故C 不正确；当13x >时，()0f x '>，所以()f x 在1(,)3+∞上单调递增，若34x <<，可得32315x x <-<+<，所以()()123f x f x +>-，故D 正确.故选：ABD.11. 已知数列{}n a 的各项均为负数，其前n 项和n S 满足()11,2,4n n a S n ⋅==⋅⋅⋅，则（）A. 2aB. 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列C. {}n a 为等比数列 D. {}n a 存在大于11000-的项【答案】ABD 【解析】【分析】令1n =，可得出1a 的值，令2n =，可得出关于2a 的方程，可解出2a 的值，可判断A 选项；由递推关系结合数列的单调性可判断B 选项；假设数列{}n a 为等比数列，推导出2213S S S =，求出q 的值，可判断C 选项；利用反证法可判断D 选项.【详解】对于A 选项，当1n =时，由题意可得2114a =，因为10a <，所以，112a =-，当2n =时，由2214S a =可得221124a a -=，整理可得2224210a a --=，因为20a <，解得2a =A 对；对于B 选项，当2n ≥时，由14n n S a =可得1114n n S a --=，上述两个等式作差可得11144n n n a a a -=-，因为11111110444n n n n n a a a a a --⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，即111n n a a -<，所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列，B 对；对于C 选项，若数列{}n a 为等比数列，则2213a a a =，因为1114S a =，2214S a =，3314S a =，则221322131111644S S S a a a ==⋅=，设等比数列{}n a 的公比为q ，则()()22211111a q a a q q +=⋅++，解得0q =，不合乎题意，所以，数列{}n a 不是等比数列，C 错；对于D 选项，假设对任意的n *∈N ，11000n a <-，则66310110101000S ⎛⎫<⨯-=- ⎪⎝⎭，此时，66310101111441040001000a S =>-=->-⨯，与假设矛盾，假设不成立，D 对.故选：ABD【点睛】关键点睛：本题在推断选项CD 的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导．第Ⅱ卷非选择题（共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知正三角形ABC 的边长为2，O 为BC 中点，P 为边BC 上任意一点，则AP AO ⋅=______.【答案】3【解析】【分析】由已知可得AO BC ⊥，从而利用2AP AO AO OP AO ⋅=+⋅可求值.【详解】因为三角形ABC 是正三角形，O 为BC 中点，所以AO BC ⊥，所以AO OP ⊥，又正三角形ABC 的边长为2，所以AO ==，所以22()3AP AO AO OP AO AO OP AO ⋅=+⋅=+⋅==.故答案为：3.13. 设()2π2sin cos 2sin 4f x x x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，当ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()13f x =-，则cos 2x =______..【答案】【解析】【分析】利用降幂公式化简可得()2sin 21f x x =-，由已知可求得1sin 23x =，再利用同角的三角函数的平方关系可求cos 2x .【详解】()2ππ2sin cos 2sin sin 2cos 2144f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 2cos(212sin 212x x x =+--=-，由()13f x =-，所以12sin 213x -=-，所以1sin 23x =，因为π2,π3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又1sin 23x =，所以π2,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 2x ===.故答案为：14. 已知函数()f x 的定义域为R ，()()()113f x f x f -++=，()22f x -+为偶函数，且312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______，()20251112k k fk =⎛⎫+-= ⎪⎝⎭∑______.【答案】 ①. 1 ②. -2026【解析】【分析】通过条件可得()f x 是周期为4的函数，由()22f x -+为偶函数得()()22f x f x -=+，通过给x 赋值可计算出1357,,,2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用函数的周期性可得结果.【详解】由()()()113f x f x f -++=得，()()()23f x f x f ++=，()()()243f x f x f +++=，∴()()4f x f x =+，故()f x 是周期为4的函数.∵()22f x -+为偶函数，∴()()2222f x f x -=+，∴()()22f x f x -=+，。

河南省郑州市郑州中学2025届高三上学期11月期中考试数学试题(解析)

2024-2025学年上学期高三年级期中考试数学试卷注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1. 若集合{}4log 1A x x =≤，{}2230B x x x =--≤，则A B = （）A. []1,3-B. []1,4-C. (]0,4 D. (]0,3【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数定义域和单调性解不等式，得到(]0,4A =，解一元二次不等式得到[]1,3B =-，由交集概念求出答案.【详解】集合{}(]4log 10,4A x x =≤=，{}[]22301,3B x x x =--≤=-，则(]0,3A B =I .故选：D.2. 若复数z 满足()1i 1i z -=+，则4z =（）A. 1 B. -1C. iD. 16【答案】A 【解析】【分析】利用复数的运算法则即可得出.【详解】解法一：设()i ,z a b a b =+∈R ，则()()()i 1i i 1i a b a b b a +-=++-=+，解得0,1a b ==，所以i z =，所以41z =，解法二：因为()1i 1i z -=+，所以()()241i (1i)2ii,11i 1i 1i 2z z ++=====--+，解法三：方程两边同时平方，有()22i 2i z ⋅-=，所以241,1z z =-=，故选:A.3. 已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（）A. p 和q 都是真命题 B. p ⌝和q 都是真命题C. p 和q ⌝都是真命题 D. p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】B 【解析】【分析】对于两个命题而言，可分别取1x =-、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于p 而言，取1x =-，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题.故选：B.4. 已知0.42x =，2lg 5y =，0.425z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A. x y z << B. y z x <<C. z y x << D. z x y<<【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较x 、y 、z 三个数与0、1的大小关系，由此可得出x 、y 、z 三个数的大小关系.【详解】0.40221x =>= ，2lg lg105y =<=，0.421525z ⎛⎫<= ⎪⎝⎫⎭⎭⎛=⎪⎝，又0z >，即01z <<.因此，y z x <<.故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较指数式和对数式的大小关系，一般利用中间值法来比较，属于基础题.5. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()21f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当[]1,1x ∈-时，()1f x ax =+，则()2025f =（）A. 0B. 1C. 2D. 2025【答案】C 【解析】【分析】由函数奇偶性，确定()f x 为周期函数，再结合()10f -=，求得a ，即可求解.【详解】因为()21f x -为奇函数，所以()f x 关于点()1,0-中心对称，又()1f x +为偶函数，所以()f x 关于直线1x =对称，所以()f x 为周期函数且周期()4118T =⨯--=，∴()()()20258253111f f f a =⨯+==+，∵()110f a -=-+=，∴1a =，∴()202512f a =+=.故选:C ．6. 若函数()2log 1,13(),3x x f x ax x x ⎧+-<≤⎪=⎨+>⎪⎩，在(1,)-+∞上单调递增，则a 的取值范围是（）A. []3,9- B. [)3,∞-+C. []0,9 D. (],9-∞【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数性质判断13x -<≤上()f x 的单调性和值域，结合其区间单调性及分式型函数的性质，讨论参数确定参数范围.【详解】当13x -<≤时，2log (1)y x =+单调递增且值域为(,2]-∞，而()f x 在(1,)-+∞上单调递增，则ay x x =+在(3,)+∞上单调递增，且3233a a +≥⇒≥-，当30a -≤≤时，ay x x =+在(3,)+∞上单调递增，满足题设；当0a >时，ay x x=+在)+∞3≤，即09a <≤；综上，39a -≤≤.故选：A7. 已知函数()2sin ,f x x ax a =-∈R ，若曲线()f x 在点ππ(,(22f 处的切线方程为0x y k ++=，则函数()f x 在(0,2π)内的单调递减区间是（）A. π5π[,33B. (0,π]C. [π,2π)D. π5(0,],[π,2π)33【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求出a ，再利用导数求出单调递减区间.【详解】函数()2sin f x x ax =-，求导得()2cos f x x a '=-，则ππ()2cos22f a a '=-=-，由曲线()f x 在点ππ(,(22f 处的切线方程为0x y k ++=，得π(12a f '-==-，解得1a =，于是()2cos 1f x x '=-，由()2cos 10f x x '=-<，得1cos 2x <，而(0,2π)x ∈，解得π5π33x <<，所以函数()f x 在(0,2π)内的单调递减区间是π5π[,]33.故选：A8. 已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>，若方程()1f x =在[]0,π上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（）．A. 523,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 239,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 523,26⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 239,62⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】将()f x 化简为π2sin 3x ω⎛⎫+⎪⎝⎭，根据方程可知ππ2π36x k ω+=+或π5π2π36x k ω+=+，根据π3x ω+整体的范围可知需满足ππ5π4ππ4π636ω+≤+<+，解不等式得到ω的取值范围.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==+⎪⎝⎭，令()1f x =，则π2sin 13x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π1sin 32x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，ππ2π36x k ω∴+=+或π5π2π36x k ω+=+，[]0,πx ∈ ，πππ,π333x ωω⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，()1f x = 在[]0,π上有且只有四个实数根，ππ5π4ππ4π636ω∴+≤+<+，解得：239,62ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：B.二、多选题9. 定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()()21f x f x f +-=，则（）A. ()10f = B. ()()110f x f x -++=C. ()()1212f x f x +=- D.201()10i f i ==∑【答案】AC 【解析】【分析】利用特殊值及偶函数性质判断A ；根据已知条件得(2)()0f x f x +--=、(1)(1)0f x f x +--=判断B 、C ；根据函数的性质，举反例()0f x =判断D.【详解】由()()()21f x f x f +-=，令1x =-，则()()()0111(1)f f f f ⇒--==-，又()f x 为偶函数，则(1)(1)0f f =-=，A 对；由上，得()()0(2)()02f x f f x f x x ⇒=---+=+①，在①式，将1x -代换x ，得(1)(1)0f x f x +--=②，B 错；在②式，将2x 代换x ，得(21)(12)0(21)(12)f x f x f x f x +--=⇒+=-，C 对；由()()2f x f x +=且(1)(1)f x f x +=-，即()f x 周期为2且关于1x =对称，显然()0f x =是满足题设的一个函数，此时201()0i f i ==∑，D 错.故选：AC10. 函数()cos 2cos sin 2sin f x x x ϕϕ=-（π02ϕ<<）的图象的一个对称中心为 π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A. 直线5π12x =是函数()f x 的图象的一条对称轴B. 函数()f x 在ππ,612⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减C. 函数()f x 的图象向右平移π12个单位可得到cos2y x =的图象D. 函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1【答案】AC 【解析】【分析】根据两角和的余弦公式化简函数解析式，再根据对称中心可得ϕ，再根据三角函数性质分别判断各选项.【详解】由()()cos 2cos sin 2sin cos 2f x x x x ϕϕϕ=-=+，由π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数图象的一个对称中心，即πππ262k ϕ⨯+=+，Z k ∈，解得ππ6k ϕ=+，Z k ∈，又π02ϕ<<，所以π6ϕ=，所以()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A 选项：令π2π6x k +=，Z k ∈，解得ππ122k x =-+，Z k ∈，当1k =时，5π12x =，即直线5π12x =是函数的一条对称轴，故A 选项正确；对于B 选项：令π2π2π2π6k x k ≤+≤+，Z k ∈，解得π5πππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈，即函数的单调递减区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，当0k =时，函数在π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，所以函数在ππ,612⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，B 选项错误；对于C 选项：函数()f x 的图象向右平移π12个单位可得ππcos 2cos 2126y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，C 选项正确；对于D 选项：当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，ππ7π2,666⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦x ，所以函数()πcos 26f x x ⎡⎛⎫=+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣，即最大D 选项错误；故选：AC.11. 下列结论正确的是（）A. 若2()1ax bf x x +=+是奇函数，则必有0a ≠且0b =B. 函数31x y x =-的单调递减区间是11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，2(3)f x x x =+，则当0x <时，()f x =23x x -D. 若()f x 在R 上是增函数，且1a m =-，2b m =，则()()()()f a f b f a f b +-<-+【答案】CD 【解析】【分析】根据奇函数的性质判断A ，分离常数后结合反比例函数的单调性判断B ，根据奇函数性质求解析式判断C ，根据单调性比较大小即可判断D.【详解】对于A ，因为()f x 的定义域为R ，由奇函数性质知(0)0f b ==R a ∈，事实上当0a b ==时，()0f x =，即是奇函数也是偶函数，故A 错误.对于B ，因为11393y x =+-，所以函数31x y x =-的单调递减区间是1,3∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故B 错误.对于C ，当0x <时，0x ->，则2()()3()f x x x f x -=--=，即2()3f x x x =-，故C 正确.对于D ，因为22112b a m m m ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭304+>，所以b a >.又因为()f x 在R 上增函数，所以()()f a f b <，b a -<-，所以()f b -<()f a -，所以()()()()f b f a f a f b -+<-+，故D 正确故选：CD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题12. tan20tan40tan40︒+︒+︒︒= ______【解析】【分析】利用602040︒=︒+︒，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值．【详解】因为tan 20tan 40tan 60tan(2040)1tan 20tan 40︒+︒︒=︒+︒==-︒︒20tan 40tan 20tan 40-︒︒=︒+︒，所以tan 20tan 40tan 20tan 40︒+︒+︒︒=是.。

河北省唐山市玉田县2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(解析)

河北省玉田县第一中学2024-2025学年度第一学期高三期中考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复数.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}{}N 10,42,N A x x B x x n n =∈≤==-∈，则A B = （）A. ∅B. {}2,6,10C. {}2,2,6,10- D. {}0,2,4,6,8,10【答案】B【解析】【分析】列举法写出集合A ，其中2,6,10满足42,N n n -∈，利用交集概念求出答案.【详解】{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =，其中2,6,10满足42,N n n -∈，故{}2,6,10A B = .故选：B 2. 已知向量()0,1a =- ，()2,1b =r ，若()a b a λ-⊥ ，则λ=（）A. 1- B. 1 C. 13 D. 13-【答案】A【解析】【分析】先表示出a b λ- 的坐标，然后根据垂直对应的坐标关系求得结果.【详解】因为()()()0,12,12,1a b λλλλ-=--=--- ，且()a b a λ-⊥ ，所以()()20110λλ-⨯+--⨯-=，解得1λ=-，故选：A.3. 若()f x 与()g x 均为定义在R 上的奇函数，则函数()()()h x f x g x =的部分图象可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分析ℎ(x )的奇偶性，然后直接判断即可.【详解】因为()f x 与()g x 均为定义在R 上的奇函数，所以()()()()()(),,000f x f x g x g x f g -=--=-==，又因为()()()h x f x g x =的定义域为R 且关于原点对称，且()()()()()()()()h x f x g x f x g x f x g x h x ⎡⎤⎡⎤-=--=--==⎣⎦⎣⎦，所以ℎ(x )为偶函数，故图象关于y 轴对称且()()()0000h f g ==，符合要求的只有选项B ，故选：B.4. 当0x >时，函数2221log 2xf x a x x -⎛⎫⎛⎫-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且(1)6f >，则a 的取值范围是（）A. (2,2)- B. (,2)(2,)-∞-+∞ C. (1,1)- D. (,1)(1,)-∞-+∞ 【答案】D【解析】【分析】利用()22222112log 2522f f a a -⎛⎫⎛⎫=-=++ ⎪= ⎪⎝⎭⎭+⎝，结合题中条件即可求解.【详解】令21x x -=，解得2x =，或1x =-，又0x >，则2x =，故()222262112g 5l 2o 22f f a a -⎛⎫⎛⎫=-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=+>⎭，解得1a <-，或1a >，即a 的取值范围是(,1)(1,)-∞-+∞ .故选：D.5. 已知cos()2sin(),tan tan m αβαβαβ+=-=，则tan tan αβ-=（）A. 12m - B. 13m - C. 12m- D. 13m-【答案】C【解析】【分析】利用两角和与差的正弦公式，余弦公式化简，再利用商数关系弦化切，即可求解.【详解】因为cos()2sin()αβαβ+=-，所以cos cos sin sin 2sin cos 2cos sin αβαβαβαβ-=-，同时除以cos cos αβ，得1tan tan 2tan 2tan αβαβ-=-，即1tan tan 1tan tan 22m αβαβ---==，故选：C.6. 设1z 的实部与虚部相等，且实部不为0，2z 的虚部是实部的2倍，且2z 在复平面内对应的点位于第三象限，则“1z 在复平面内对应的点位于第一象限”是“12z z 在复平面内对应的点位于第二象限”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据“1z 在复平面内对应的点位于第一象限”与“12z z 在复平面内对应的点位于第二象限”互相推出的情况判断属于何种条件.【详解】根据题意，不妨设()1i R,0z a a a a =+∈≠，()22i 0z b b b =+<，若1z 在复平面内对应的点位于第一象限，则0a >，则()()()()121i 12i i 1i 31i 2i 12i 12i 12i 55z a a a a a z b b b b b +-++⎛⎫==⋅=⋅=⋅- ⎪+++-⎝⎭，所以12z z 的实部305a b <，虚部05a b->，故对应点在第二象限，所以“1z 在复平面内对应的点位于第一象限”可以推出“12z z 在复平面内对应的点位于第二象限”；若12z z 在复平面内对应的点位于第二象限，由上可知1231i 55z a z b ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，所以3a 5b <0−a 5b >0且0b <，可得a >0，所以1z 在复平面内对应的点位于第一象限，所以“12z z 在复平面内对应的点位于第二象限”可以推出“1z 在复平面内对应的点位于第一象限”；由上可知，属于充要条件，故选：C.7. 函数π3πsin 3cos 4,[,22y x x x =-∈-的所有零点的和为（）A. 2πB. 3πC. 4πD. 6π【答案】C【解析】【分析】利用函数的零点与两函数的交点横坐标的关系，借助于函数图象的对称性，即可求得.【详解】由sin 3cos 40y x x =-=可得sin 3cos 4x x =，则函数π3πsin 3cos 4,[,22y x x x =-∈-的零点即函数sin y x =与函数3cos 4y x =在π3π[,]22-上的交点的横坐标.对于函数3cos 4y x =，其最小正周期为π2，当ππ[,]24x ∈--时，函数单调递减，函数值从3减小到-3,当π[,0]4x ∈-时，函数单调递增，函数值从-3增大到3.类似可得函数3cos 4y x =在区间ππ3[0,],[,π],[π,π]222上的图象变化情况.如图分别作出sin y x =和3cos 4y x =在π3π[,]22-上的图象如下.由图可知，两函数在π3π[,]22-上的图象关于直线π2x =对称，故两者的交点,,,A B C D 与,,,H G F E 也关于直线π2x =对称，故A B C D E F G Hx x x x x x x x +++++++()()()()A H B G C F D E x x x x x x x x =+++++++ππππ22224π.2222=⨯+⨯+⨯+⨯=即函数π3πsin 3cos 4,,22y x x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦的所有零点的和为4π.故选：C.8. 已知12,,,log m n n m n a n b m c m <<<===，则,,a b c 的大小关系是（）A. a b c>> B. b a c >>C. c a b>> D. c b a>>【答案】A【解析】【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的性质计算大小即可.【详解】因为12m n <<<，所以,,log x x n y n y m y x ===在(0,+∞)上均单调递增，所以111,1,log log 1m n n n a n n b m m c m n =>>=>>=<=，即,a c b c >>，对于,a b ，构造函数()()2ln 1ln x x f x f x x x-='=⇒，易知e 0x >>时，f ′(x )>0，即此时函数单调递增，则()()ln ln m n f m f n m n <⇒<，所以ln ln ln ln n m n m m n m n <⇒<，因为ln y x =在(0,+∞)上单调递增，所以n m m n <，综上a b c >>.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若复数1z ，2z 是方程28170x x -+=的两个根，则（）A. 12z z -为纯虚数B. 1217z z =C. 1z =D. 12z z =【答案】ABD【解析】【分析】解方程28170x x -+=得12,z z ，通过计算逐一验证选项即可.【详解】方程28170x x -+=，()2418740-⨯∆=-=-<，方程28170x x -+=的根为82i 2±，即方程28170x x -+=的根为4i +，4i -，不妨设14i z =+，24i z =-，则122i z z -=为纯虚数，故A 正确；()()2124i 4i 16i 17z z +-=-==，故B 正确；1z ==C 错误；24i z =+，则12z z =，故D 正确.故选：ABD.10. 如图，在ABC V 中，3AB AC ==，2BC =，点,D G 分别边,AC BC 上，点,E F 均在边AB 上，设DG x =，矩形DEFG 的面积为S ，且S 关于x 的函数为()S x ，则（）A. ABC V 的面积为B. ()1S =C. ()S x 先增后减D. ()S x【答案】ACD【解析】【分析】根据面积公式即可求解A ，根据相似即可得CH DG CM AB ⋅==，MH =，进而可得()233)2S x x x ⎫=-+<<⎪⎭，根据二次函数的性质即可求解BCD.【详解】取BC 中点N ，连接AN ，则AN BC ⊥，且AN ==所以ABC V的面积为122⨯⨯=A 正确.过C 作CH AB ⊥，垂足为H ，设CH 与DG 交于点M ，由等面积法可得12AB CH ⋅=，则CH =由CM DG CH AB =，得CH DG CM AB ⋅==，则MH CH CM =-=，所以())22333)2S x DG DE DG MH x x x x ⎫=⋅=⋅=-=-<<⎪⎭，则()1S =，则()S x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以()S x，B 错误，C ，D 均正确.故选：ACD11. 已知0x >，0y >，且不等式()()()2221140x x y y m m xy +++--≥恒成立，则（）A. m的最小值为2- B. m的最大值为2+C. m的最小值为2- D. m的最大值为2+【答案】AB 的.。

安徽省合肥市普通高中六校联盟2025届高三上学期期中联考试题数学含解析

合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年第一学期期中联考高三年级数学试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）命题学校：一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知p ：201x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，q ：{}0B x x a =-<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A.()2,∞+ B.2,+∞C.(),1∞- D.−∞,12.已知集合{A xy ==∣，{}Z2sin B y y x =∈=∣，则A B = （）A.{}012，， B.{}12，C.{}01，D.{}13.已知155222log 5555ca b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，则（）A.a b c <<B.b a c<< C.c b a<< D.a c b<<4.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x x =+，则当0x <时有（）A.2()f x x x =+B.2()f x x x =-+C.2()f x x x =-D.2()f x x x=--5.已知()443sincos ,0,π225θθθ-=∈，则221sin2cos cos sin θθθθ++=-（）A.2635-B.325-C.314-D.1728-6.若函数()()2lg 2f x mx mx =-+的定义域为R ，则实数m 取值范围是（）A.[)0,8 B.()8,+∞ C.()0,8 D.()(),08,-∞⋃+∞7.已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()ex f x y =（）A.在区间(1,2)-上是减函数B.在区间31,22⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数C.在区间(0,2)上是减函数D.在区间(1,1)-上是减函数8.定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<，满足()()()'1f b f a f x b a-=-，()()()'2f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是在区间[],a b 上的一个双中值函数，已知函数()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数，则实数t 的取值范围是A.36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B.26,55⎛⎫⎪⎝⎭C.23,55⎛⎫⎪⎝⎭D.61,5⎛⎫⎪⎝⎭二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9.已知奇函数()f x 的定义域为R ，若()()2f x f x =-，则（）A.()00f =B.()f x 的图象关于直线2x =对称C.()()4f x f x =-+ D.()f x 的一个周期为410.函数()f x 满足()()f x f x '<，则正确的是（）A.(3)e (2)f f <B.e (0)(1)f f <C .2e (1)(1)f f -> D.e (1)(2)f f <11.已知0,0,21x y x y >>+=，则（）A.42x y +的最小值为22B.22log log x y +的最大值为3-C.y x xy --的最小值为1- D.22221x y x y +++的最小值为16三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()f x 对任意x 满足()()324f x f x x --=，则()f x =______.13.若函数()()2ln 2f x x x =++，则使得()()211f x f x +<-成立的x 的取值范围是______.14.已知点A 是函数2ln y x =图象上的动点，点B 是函数22xy =图象上的动点，过B 点作x 轴的垂线，垂足为M ，则AB BM +的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数π3()6sin(62cos f x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）若函数()y f x a =-在π5π[,]1212x ∈存在零点，求实数a 的取值范围．16.已知函数()()ln R mf x x m x=+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1m =时，证明：当1x ≥时，()e e 0xxf x x --+≤.17.在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知sinCa b=+．（1）求角B 的值；（2）若2a =，求ABC V 的周长的取值范围．18.已知函数()22ln 2x f x x ax =+-，a ∈R .（1）若3a =，求()f x 的极值；（2）设函数()f x 在x t =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0,+∞上的单调增函数，求t 的值；（3）函数()f x 的图象上是否存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线重合，若存在则求出a 的取值范围，若不存在则说明理由.19.在平面直角坐标系xOy 中，利用公式x ax byy cx dy=+⎧⎨=+''⎩①（其中a ，b ，c ，d 为常数），将点s 变换为点(),P x y '''的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a ，b ，c ，d 组成的正方形数表a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭唯一确定，我们将a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A ，B ，…表示．（1）在平面直角坐标系xOy 中，将点()3,4P 绕原点O 按逆时针旋转3π得到点P '（到原点距离不变），求点P '的坐标；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将点s 绕原点O 按逆时针旋转α角得到点(),P x y '''（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；（3）向量(),OP x y = （称为行向量形式），也可以写成x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：x a b x y c d y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则称x y '⎛⎫ ⎪'⎝⎭是二阶矩阵a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭与向量x y ⎛⎫⎪⎝⎭的乘积，设A 是一个二阶矩阵，m ，n是平面上的任意两个向量，求证：()A m n Am An +=+．合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年第一学期期中联考高三年级数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）命题学校：一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知p ：201x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，q ：{}0B x x a =-<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A.()2,∞+ B.2,+∞C.(),1∞- D.−∞,1【答案】D 【解析】【分析】解不等式确定集合A ，然后由必要不充分条件得B 是A 的真子集可得结论．【详解】∵{|(2)(1)0A x x x =--≥且1}x ≠{|2x x =≥或1}x <，{}B x x a =<，又p 是q 的必要不充分条件，∴B A ，∴1a ≤，故选：D .【点睛】结论点睛：本题考查由必要不充分条件求参数，一般可根据如下规则判断：命题p 对应集合A ，命题q 对应的集合B ，则（1）p 是q 的充分条件⇔A B ⊆；（2）p 是q 的必要条件⇔A B ⊇；（3）p 是q 的充分必要条件⇔A B =；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件⇔集合,A B 之间没有包含关系．2.已知集合{A xy ==∣，{}Z2sin B y y x =∈=∣，则A B = （）A.{}012，， B.{}12，C.{}01，D.{}1【答案】D 【解析】【分析】根据偶次根下大于等于零，结合对数函数的单调性，可得集合A ；根据三角函数的性质可得集合B ，结合交集的运算可得答案.【详解】由题意()0.5log 210x -≥且210x ->，故0211x <-≤，解得112x <≤，故112A ⎛⎤= ⎥⎝⎦，；由1sin 1x -≤≤得22sin 2x -≤≤，故{}2,1,0,1,2B =--；综上{}1A B ⋂=.故选：D.3.已知155222log 5555ca b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，则（）A.a b c <<B.b a c<< C.c b a<< D.a c b<<【答案】C 【解析】【分析】化对数式为指数式判断1a >，判断(01)b ∈，，化指数式为对数式判断0c <，则答案可求.【详解】由52log 5a =，得205551a =>=；由1525b =，得50125()b ⎛⎫= ⎪⎝⎭∈，；由255c⎛⎫= ⎪⎝⎭，得25log 50c =<.∴c b a <<.故选：C .【点睛】本题考查指数式、对数式中的大小比较，一般可利用中介值01，和函数单调性进行大小比较，是基础题.4.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x x =+，则当0x <时有（）A.2()f x x x =+B.2()f x x x =-+C.2()f x x x =-D.2()f x x x=--【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性，设0x <，则0x ->，()()2()f x x x -=-+-，再变形可得函数解析式.【详解】解：设0x <，则0x ->，因为当0x ≥时，2()f x x x=+()()22()f x x x x x∴-=-+-=-又函数()y f x =是R 上的奇函数()()f x f x =--∴2()f x x x∴=-+故当0x <时有2()f x x x =-+故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于基础题.5.已知()443sincos ,0,π225θθθ-=∈，则221sin2cos cos sin θθθθ++=-（）A.2635-B.325-C.314-D.1728-【答案】A 【解析】【分析】先由平方差公式化简已知条件并结合二倍角的余弦公式得cos θ，进而得sin θ，从而结合二倍角正弦公式即可计算求解.【详解】因为()443sincos ,0,π225θθθ-=∈，所以()22223,0,πsincos sin +cos 52222θθθθθ⎛⎫⎛⎫=∈- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()223sincos cos cos ,0,π22522θθθθθθ⎛⎫-=-=-=∈+ ⎪⎝⎭，即3cos 5θ=-，所以由()0,πθ∈得4sin 5θ==，所以22222243121sin212sin cos 26355cos cos cos sin cos sin 3553455θθθθθθθθθ⎛⎫+⨯⨯- ⎪++⎛⎫⎝⎭+=+==-- ⎪--⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.6.若函数()()2lg 2f x mx mx =-+的定义域为R ，则实数m 取值范围是（）A.[)0,8 B.()8,+∞ C.()0,8 D.()(),08,-∞⋃+∞【答案】A 【解析】【分析】分析可知，220mx mx -+>在上恒成立，分0m =、0m ≠两种情况讨论，在0m =时，直接验证即可；在0m ≠时，可得出0Δ0m >⎧⎨<⎩，综合可解得实数m 的取值范围.【详解】由题意，函数()()2lg 2f x mx mx =-+的定义域为，等价于220mx mx -+>在上恒成立，若0m =，则2220mx mx -+=>在上恒成立，满足条件；若0m ≠，则2Δ80m m m >⎧⎨=-<⎩，解得08m <<.综上，实数m 的取值范围是[)0,8，故选：A ．7.已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()e xf x y =（）A.在区间(1,2)-上是减函数B.在区间31,22⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数C.在区间(0,2)上是减函数 D.在区间(1,1)-上是减函数【答案】B 【解析】【分析】求出函数y 的导数，结合图象求出函数的单调区间即可求解．【详解】因为()()e xf x f x y '-'=，由图象知，3122x -<<时，()()0f x f x '-<，又e 0x >，所以当3122x -<<时，0'<y ，即()e xf x y =在31,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，当132x <<时，()()0f x f x '->，又e 0x >，所以当132x <<时，0'>y ，即()e xf x y =在1,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以选项A 、C 和D 错误，选项B 正确，故选：B ．8.定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<，满足()()()'1f b f a f x b a-=-，()()()'2f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是在区间[],a b 上的一个双中值函数，已知函数()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数，则实数t 的取值范围是A.36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B.26,55⎛⎫⎪⎝⎭C.23,55⎛⎫⎪⎝⎭D.61,5⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【详解】()()322612,355f x x x f x x x =-∴=-' ，∵函数()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数，∴区间[]0,t 上存在12120x x x x t ，（＜＜＜），满足()()21206()()5f t f f x f x t t t ''--＝＝，∴方程22126355x x t t -=-在区间[]0,t 有两个不相等的解，令221263055g x x x t t x t =--+≤ （），（＜），则()()222212612()05520560056205t t tg t t g t t t ⎧⎛⎫∆---+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪<<⎪⎪⎪-+⎨⎪⎪-⎪⎪⎪⎪⎩＝＞＝＞＝＞，解得63 55t ＜＜，∴实数t 的取值范围是36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选:A．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9.已知奇函数()f x 的定义域为R ，若()()2f x f x =-，则（）A.()00f =B.()f x 的图象关于直线2x =对称C.()()4f x f x =-+D.()f x 的一个周期为4【答案】AD 【解析】【分析】由奇函数可得()00f =，再根据函数的周期性与对称性分别判断.【详解】由函数()f x 为奇函数，则()00f =，A 选项正确；又()()2f x f x =-，即()()11f x f x +=-，则函数()f x 关于直线1x =对称，B 选项错误；由()()2f x f x =-可知()()24f x f x -=+，即()()4f x f x =+，函数()f x 的一个周期为4，C 选项错误，D 选项正确；故选：AD.10.函数()f x 满足()()f x f x '<，则正确的是（）A.(3)e (2)f f <B.e (0)(1)f f <C.2e (1)(1)f f ->D.e (1)(2)f f <【答案】AC 【解析】【分析】根据给定条件，构造函数()()ex f x g x =，利用导数探讨单调，再比较大小即得.【详解】依题意，令函数()()e x f x g x =，求导得()()()0exf x f xg x '-=<，函数()g x 在R 上递减，对于A ，(3)(2)g g <，32(3)(2)e ef f <，则(3)e (2)f f <，A 正确；对于B ，(1)(0)g g <，(1)(0)e f f <，则(1)e (0)f f <，B 错误；对于C ，(1)(1)g g <-，(1)e (1)ef f <-，则2e (1)(1)f f ->，C 正确；对于D ，(2)(1)g g <，2(2)(1)e ef f <，则e (1)(2)f f >，D 错误.故选：AC11.已知0,0,21x y x y >>+=，则（）A.42x y +的最小值为 B.22log log x y +的最大值为3-C.y x xy --的最小值为1- D.22221x y x y +++的最小值为16【答案】ABD 【解析】【分析】根据指数运算，结合基本不等式即可判断A ；结合对数运算，利用基本不等式可判断B ；将y x xy --化为关于x 的二次函数，结合二次函数性质可判断是C ；通过变量代换，令2,1m x n y =+=+，得到26m n +=，根据“1”的巧用，将22221x y x y +++变形后，利用基本不等式，即可判断D..【详解】对于A ，由于0,0,21x y x y >>+=，故24222x y x y +=+≥==当且仅当2x y =，结合21x y +=，即11,42x y ==时，等号成立，即42x y +的最小值为，A 正确；对于B ，由于0,0x y >>，21x y +=≥18xy ≤，当且仅当11,42x y ==时，等号成立，故()22221log log log log 38x y xy +=≤=-，即22log log x y +的最大值为3-，B 正确；对于C ，又0,0,21x y x y >>+=，得12y x =-，故2(12)(12)241y x xy x x x x x x --=----=-+由于102102x x <<∴<<，而2241y x x =-+对称轴为1x =，则2241y x x =-+在1(0)2,上单调递减，在1(0)2,上无最值，C 错误；对于D ，令2,1m x n y =+=+，则|2,1x m y n =-=-，故22222288218121021x y m m n n m n x y m n m n-+-++=+=+++-++，由于0,0x y >>，故2,1m n >>，22(2)(1)256m n x y x y +=+++=++=，则()8118118212521717)6666n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当82n m m n =，结合26m n +=，即126,55m n ==时，等号成立，所以8125121061066m n m n +++-≥+-=，即22221x y x y +++的最小值为16，D 正确，故选：ABD【点睛】难点点睛：本题考查了基本不等式的应用，主要是求最值问题，难点是选项D 的判断，解答时要通过变量代换，令2,1m x n y =+=+，得到26m n +=，根据“1”的巧用，将22221x y x y +++变形后，利用基本不等式，即可求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()f x 对任意x 满足()()324f x f x x --=，则()f x =______.【答案】1x +【解析】【分析】采用方程组法消去()2f x -，得出()f x 的解析式即可.【详解】因为()()324f x f x x --=①，以2x -代替x 得：()()()3242,f x f x x --=-②，3+⨯②①得：()()888,1f x x f x x =+=+.故答案为：1x +.13.若函数()()2ln 2f x x x =++，则使得()()211f x f x +<-成立的x 的取值范围是______.【答案】()2,0-【解析】【分析】由题知函数为偶函数且在[0,)+∞单调递增，由此抽象出不等式，解出即可【详解】由函数的定义域为R ,()()()()()22ln 2ln 2f x x x x x f x -=-++-=++=所以函数()f x 为偶函数当[0,)x ∈+∞时，2y x =与()ln 2y x =+为单调递增函数所以()f x 在[0,)x ∈+∞单调递增所以()()()()211211f x f x fx f x +<-⇔+<-所以()()22211211x x x x +<-⇔+<-解得：20x -<<故答案为：()2,0-14.已知点A 是函数2ln y x =图象上的动点，点B 是函数22xy =图象上的动点，过B 点作x 轴的垂线，垂足为M ，则AB BM +的最小值为______．【答案】512【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式可将问题转化为F 到2ln y x =上一点A 的最小距离即可，根据点点距离公式，得()2214ln 2ln 4f x x x x =+-+，利用导数求解最小值即可.【详解】由于22x y =是焦点在y 轴上的抛物线，故设其焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则12BM BF =-,所以1122AB BM AB BF AF +=+-≥-,故求F 到2ln y x =上一点A 的最小距离即可，设(),2ln A x x ，则22222112ln 4ln 2ln 24AF x x x x x ⎛⎫=+-=+-+ ⎪⎝⎭，记()2214ln 2ln 4f x x x x =+-+，则()28ln 228ln 22x x x f x x x x x+-=+-'=由于函数()228ln 2g x x x =+-在0,+∞单调递增，且()1,10x g ==，故当∈0,1时()()0,0g x f x <∴<'，因此()f x 在0,1单调递减，当∈1,+∞时()()0,0g x f x >∴>'，因此()f x 在1,+∞单调递增，故()()min 514f x f ==，因此min52AF=，故15122AB BM AF -+≥-≥，故答案为：512-四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数π3()6sin(62cos f x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）若函数()y f x a =-在π5π[,]1212x ∈存在零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）π，()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）[]0,3【解析】【分析】（1）化简函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意转化为方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，以π26x -为整体，结合正弦函数图象运算求解.【小问1详解】对于函数π3313()6cos sin 6cos sin cos 62222f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()231cos 231πcos 3cos 2332cos 23sin 222226x f x x x x x x x x ⎫+⎛⎫=-+=-⨯+=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，令πππ2π22π,Z 262k x k k -+£-£+Î，则ππππ,Z 63k xk k -+＃+，∴函数()f x 的单调递增区间为()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】令()0y f x a =-=，即π3sin 206x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵()y f x a =-在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦存在零点，则方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，若π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则π2π20,63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，可得πsin 2[0,1]6x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴013a≤≤，得03a ≤≤故实数a 的取值范围是[]0,3．16.已知函数()()ln R mf x x m x=+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1m =时，证明：当1x ≥时，()e e 0xxf x x --+≤.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；（2）构造函数()()e e xg x xf x x =--+，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得()0g x ≤，从而得证.【小问1详解】因为()ln mf x x x=+的定义域为()0,∞+，所以()221m x mf x x x x -'=-=，当0m ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，令()0f x '=，得x m =，当()0,x m ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，当(),x m ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增，综上，当0m ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，()f x 在()0,m 上单调递减，在(),m +∞上单调递增.【小问2详解】当1m =时，()1ln f x x x=+，令()()e e ln e e 1xxg x xf x x x x x =--+=--++，则()ln e xg x x =-'，令()()ln e xh x g x x '==-，则()1e x h x x='-，因为1x ≥，所以11,e e 1x x≤≥>，所以当1x ≥时，()h x '1e 0xx=-<恒成立，所以()h x 在[)1,+∞上单调递减，即()ln e xg x x =-'在[)1,+∞上单调递减，所以()()1e 0g x g '≤-'=<，所以()g x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10g x g ≤=，即()e e 0xxf x x --+≤.【点睛】结论点睛：恒成立问题：（1）()0f x >恒成立()min 0f x ⇔>；()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<．（2）()f x a >恒成立()min f x a ⇔>；()f x a <恒成立()max f x a ⇔<．（3）()()f x g x >恒成立()()min 0f x g x ⇔->⎡⎤⎣⎦；()()f x g x <恒成立()()max 0f x g x ⇔-<⎡⎤⎣⎦；（4）1x M ∀∈，2x N ∀∈，()()()()1212min max f x g x f x g x >⇔>．17.在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知sinCa b=+．（1）求角B 的值；（2）若2a =，求ABC V 的周长的取值范围．【答案】（1）π6（2）(32++【解析】【分析】（1）根据正弦定理得到222a c b +-=，再利用余弦定理求出π6B =；（2）根据正弦定理得到13sin cos ,sin sin A Ab c A A+==，从而得到1tan b c A +=++，求出ππ,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A ，得到10,tan 3A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，(1b c +∈+，从而求出周长的取值范围.【小问1详解】sinC a b =+，由正弦定理得：ca b =+，即222a c b +-=，由余弦定理得：222cos 222a cb B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π6B =；【小问2详解】锐角ABC V 中，2a =，π6B =，由正弦定理得：2πsin sin sin 6b cAC ==，故π2sin 12sin cos 6,sin sin sin sin A C A A b c A A A A⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====，则11cos 11cos sin tan tan A A A b c AA A+++++===1tan A =+因为锐角ABC V 中，π6B =，则π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ0,62C A ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，解得：ππ,32⎛⎫∈⎪⎝⎭A ，故)tan A ∈+∞，10,tan 3A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，(11,13tan A ⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭，故(1b c +∈+，(32a b c ++∈++所以三角形周长的取值范围是(32++.【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值18.已知函数()22ln 2x f x x ax =+-，a ∈R .（1）若3a =，求()f x 的极值；（2）设函数()f x 在x t =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0,+∞上的单调增函数，求t 的值；（3）函数()f x 的图象上是否存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线重合，若存在则求出a 的取值范围，若不存在则说明理由.【答案】（1）()f x 的极大值为()512f =-，极小值为()22ln 24f =-（2（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）令()0f x '=，列极值表，即可求得()f x 的极值；（2）求出切线方程，设()()()h x f x g x =-，转化为()0h x '≥在()0,∞+恒成立，再由基本不等式成立可得答案；（3）假设存在符合题意的直线，设两个切点分别为()()11,t f t ，()()22,t f t ，分别代入切线方程和()f x 整理得22112122ln022t t t -+=，设212t m =，转化为12ln 0m m m -+=，设()12ln m m m m ϕ=-+，由导数判断出单调性可得答案.【小问1详解】当3a =时，()212ln 32f x x x x =+-，则()()()1223x x f x x x x--=='+-，令()0f x '=，解得：=1或=2，列表如下：x()01，1()12，2()2+∞，()f x '+-+()f x 单调递增极大单调递减极小单调递增值值由表可知，当=1时，()f x 的极大值为()512f =-，当=2时，()f x 的极小值为()22ln 24f =-；【小问2详解】因为()2f x x a x'=+-，所以()2'=+-f t t a t ，所以x t =处切线方程为()()2212ln 02y t a x t t t at t t ⎛⎫=+--++->⎪⎝⎭，整理得：()2212ln 22y g x t a x t t ⎛⎫==+-+--⎪⎝⎭，设()()()h x f x g x =-，则：()()()221212ln 2ln 222h x f x g x x x t x t t t ⎛⎫=-=+-+-++ ⎪⎝⎭，由题意可知，()220h x x t x t ⎛⎫=+-+≥ ⎪⎝⎭'在()0+∞，恒成立.因为()222h x x t t x t t ⎛⎫⎛⎫=+-+≥+ ⎪ ⎝⎭⎝'⎪⎭，当且仅当x =时，等号成立，所以应有20t t ⎛⎫+≥⎪⎝⎭，而0t >，2t t +≥，所以只有2t t=即t =时，2+=t t即20t t ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭成立，所以t =.【小问3详解】由（2）可知，曲线=op 在()0x t t =>处切线方程为：2212ln 22y t a x t t t ⎛⎫=+-+-- ⎪⎝⎭，假设存在符合题意的直线，设两个切点分别为()()11,t f t ，()()22,t f t ，则：121222112222112ln 22ln 222t a t a t t t t t t ⎧+-=+-⎪⎪⎨⎪--=--⎪⎩①②，由①式可得：122t t =，代入②式，则：2112111222ln 2ln 2t t t t -=-，整理得：22112122ln 022t t t -+=，设212t m =，则12ln 0m m m -+=，设()12ln m m m m ϕ=-+，则()()22212110m m m m mϕ--=--=≤'，所以()m ϕ单调递减，因为()10ϕ=，所以()0m ϕ=的解为1t =.即2112t =，解得1t =，此时2112t t t ===，所以不存在符合题意的两点，使得函数的图象在这两点处的切线重合.【点睛】本题考查导数与函数的单调性与极值，切线问题，转化与化归能力，准确计算是关键，第三问转化为函数与方程的关系是难点，是较难的题目.19.在平面直角坐标系xOy 中，利用公式x ax by y cx dy =+⎧⎨=+''⎩①（其中a ，b ，c ，d 为常数），将点s 变换为点(),P x y '''的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a ，b ，c ，d 组成的正方形数表a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭唯一确定，我们将a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A ，B ，…表示．（1）在平面直角坐标系xOy 中，将点()3,4P 绕原点O 按逆时针旋转3π得到点P '（到原点距离不变），求点P '的坐标；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将点s 绕原点O 按逆时针旋转α角得到点(),P x y '''（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；（3）向量(),OP x y = （称为行向量形式），也可以写成x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：x a b x y c d y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则称x y '⎛⎫ ⎪'⎝⎭是二阶矩阵a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭与向量x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的乘积，设A 是一个二阶矩阵，m ，n 是平面上的任意两个向量，求证：()A m n Am An +=+ ．【答案】（1）333,222P ⎛'-+ ⎝⎭（2）cos sin sin cos x x y y x y αααα=-'=+'⎧⎨⎩，cos sin sin cos αααα-⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义得到旋转之前的cos θ和sin θ，再由两角和的正弦、余弦公式得到点P '的坐标；（2）利用三角函数的定义得到旋转之前的cos θ和sin θ，再由两角和的正弦、余弦公式得到点P '的坐标，再根据变换公式的定义得到变换公式及与之对应的二阶矩阵；（3）根据定义分别计算()A m n + 、 Am 、 An ，证明()A m n Am An +=+ 即可.【小问1详解】可求得5OP OP ='=，设POx θ∠=，则3cos 5θ=，4sin 5θ=，设点(),P x y '''，3POx πθ∠=+，故135cos 5cos sin 3222x πθθθ⎛⎫⎛⎫'=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15sin 5sin cos 23222y πθθθ⎛⎫⎛⎫'=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以3222P ⎛'-+ ⎝⎭.【小问2详解】设OP OP r ='=，POx θ∠=，则cos x r θ=，sin y r θ=，P Ox θα∠'=+，故()cos cos cos sin sin cos sin x r r r x y θαθαθααα'=+=-=-()sin sin cos cos sin sin cos y r r r x y θαθαθααα'=+=+=+所以坐标变换公式为cos sin sin cos x x y y x y αααα=-'=+'⎧⎨⎩，该变换所对应的二阶矩阵为cos sin sin cos αααα-⎛⎫ ⎪⎝⎭【小问3详解】设矩阵a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，向量11x m y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，22x n y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则1212x x m n y y +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭ ．()()()()()121212121212a x x b y y x x a b A m n c x x d y y y y c d ⎛⎫++++⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，对应变换公式为：()()()()12121212x a x x b y y y c x x d y y ⎧=+++⎪⎨=+++''⎪⎩，111111x ax by a b Am y cx dy c d +⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222222x ax by a b An y cx dy c d +⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以()()()()1212112212121122a x x b y y ax by ax by Am An c x x d y y cx dy cx dy ⎛⎫+++++⎛⎫⎛⎫+==+= ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故对应变换公式同样为()()()()12121212x a x x b y y y c x x d y y ⎧=+++⎪⎨=+++''⎪⎩所以()A m n Am An +=+ 得证.【点睛】方法点睛：利用三角函数的定义解题：（1）角α的顶点与坐标原点重合；（2）角的始边与x 轴正半轴重合；在角α的终边上任取一点(,)P x y ，该点到原点的距离r =则：sin y r α=；cos x r α=；tan y x α=.。

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高三期中考试数学试题分析及
我校学生答题情况分析
（数学）
质量始于教育，终于教育，学校教育教学的高质量是学校追求的目标，也是学校生命力和竞争力所在，为了更好的提高高三文科数学的教学质量，进一步促进文科数学的教学，现就期中考试的试题和我校学生的文科数学在期中考试中的情况作以下分析和报告。

一、试题特点：
1、全面考查基础，突出主干知识
对数列、三角函数与概率、立体几何、解析几何、函数与导数等主干知识进行了重点考查，同时覆盖了集合、复数、程序框图、三视图、线性规划、向量等内容，有利于引导学生注重基础知识、基本慨念，抓住和突破重点知识的复习。

2、以能力立意，突出逻辑思维能力
以能力立意，多角度、多层次考查学生的数学能力，如第10题、第12题考查空间想象能力，第14题、15题考查运算能力，第12题、第16题考查逻辑思维能力，第18题考查数据处理能力。

3、注重数学本质，突出思想方法
第5题、第6题、第8题、第12题、第14题考查了数形结合思想，第21题考查了分类讨论思想及函数与方程的思想，第17题、第19题等考查了化归与转化思想。

4、弘扬数学文化
选取体现中国古代优秀数学文化，并与中学数学内容紧密的素材编拟试题，如第9题背景来源于我国古代数学名著《数书九章》，让学生感受到我国古代数学的领先和优秀，体现了数学文化内涵整体育人的功能。

二、知识点分布：
三、抽样分析：
以599班为例选择题、填空题知识点得分人均分统计分析
以599班为例主观题知识点人均分、得分率统计分析
以599班为例知识主要缺漏点情况分析
1、圆锥曲线共计17分，人均只有3.304分，得分主要在求曲线的方程，而其他能力非常欠缺，难得分
2、数列共计12分，人均2.018分，主要问题是已知Sn求通项不会，n=1及n>1的情况不会讨论和处理，思维不严谨
3、向量的数量积的计算以及三角函数求值的符号问题
4、线性规划不去分析可行域，不画图直接代点
5、立体几何缺乏空间想象能力，不会作简单的辅助线，求体积不会转换
6、导数及其应用忽视定义域，分类讨论掌握不好
7、极坐标和参数方程中直线参数方程中的t的几何意义不明确
8、不等式不知怎样去绝对值，求解集时不知何时求交集，何时求并集，对于不等式性质掌握不熟练，难应用
四、学校及各班各项数据统计分析（见附表1、2、3、4）
附表1
附表2
附表3
附表4
五、提高文科数学成绩的几点应对措施
文科数学我校名列湘潭市第四，比兄弟学校差0.61分，我们的高分学生不多，特别是592—600班只有3个上120分，还有班平人均分最低分比最高的少12分，及格人数最少的班级仅2人等，明确了差距，在后阶段的教学中应注意不求速度、狠抓基础，稳打稳扎，从常规出发，讲究通性通法，每天上课要有明确的目标，要思考让学生掌握什么，不能纯粹的讲几个题。

怎样提高文科数学的成绩我们必须进行认真的思考和探究，下面是我的几点不成熟的应对措施：
1）协助任课教师查找高分不高、及格人数偏少的各种原因，找学生分析心理状态、学习和复习状态、身体状态、考试状态，作好各方面的调整以迎取以后模拟考试和高考的胜利。

2）针对学生基础差的问题，将学生欠缺的知识点进行点对点的训练、落实到知识点和人，如C599不等式考点有26人得零分，我将26人集合到办公室谈话，找出根源，给出相关试题重新训练，一个个过关，相信他们这样必定会有所提高。

3）针对教师传授方面的问题，重新思考，找出不足点，重新传授，加强训练。

如立体几何的计算问题，数列求通项和前n项的和，向量计算，线性规划等问题进行专项训练。

4）针对学生的答卷，面批面改时给每人写上一句评语，指出其知识点得欠缺和其他问题，要求学生写好试题分析，纠正好错题，对临界生及优生更应加强督促。

湘乡一中高三文科数学组胡彩玲。