利用线性规划求最值
线性规划最值问题
线性规划最值问题什么是线性规划线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类最值问题。
在线性规划中，我们试图找到一组变量的值，使得目标函数取得最大（或最小）值，同时满足一组线性等式或不等式约束条件。
线性规划问题的一般形式线性规划问题可以用下列一般形式来表示：$$\max (或 \min) c^T x$$$$s.t.\quad Ax \leq b$$其中，$x$是变量向量，$c$是目标函数系数向量，$A$是约束条件系数矩阵，$b$是约束条件右侧常数向量。
求解线性规划最值问题的步骤求解线性规划最值问题的一般步骤如下：1. 确定目标函数：根据问题要求确定目标函数的系数向量$c$和优化目标（最大化或最小化）。
2. 设置约束条件：根据问题要求确定约束条件的系数矩阵$A$和右侧常数向量$b$。
3. 求解最值：应用线性规划算法，求解线性规划问题，找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量向量$x$。
4. 解释结果：将最值代入目标函数，得到最终的最值结果，并解释其含义。
线性规划最值问题的应用线性规划最值问题在实际应用中具有广泛的应用，例如：- 产品混合问题：决定不同产品的生产数量，以最大化收益或最小化成本。
- 运输问题：确定不同货物在不同运输路线上的分配方案，以最小化运输成本。
- 资源分配问题：决定资源的最优分配，以最大化效益或实现平衡。
总结线性规划最值问题是一种在实际应用中常见的问题求解方法。
通过确定目标函数和约束条件，并应用线性规划算法，我们可以找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量向量。
该方法可以应用于多个领域，帮助优化决策和资源分配。
线性规划求最值问题
(2)若z=2x-y,求z的最值.
Zmax 2 5 2 8,
x
Zmin 2 1 4.4 2.4.
y
(3)若z=x2+y2,求z的最值.
( x 2 y 2 )min 12 12 2, ( x y )max 52 22 29,
2 2
5
C
注意： 目标函数化为斜截式后， 分析斜率大小；z的系数符号。
x 0 1. x , y满足 x 2 y 3 2 x y 3
求z=x-y的最值
解：z x y化为y x z， 与直线y x平行,纵截距为-z
直线过点 A 时z值最大; 过点 B 时z值最小.
4 2 2 1 1 10
x 4 y ≤ 3, 例1.已知x、y满足 3 x 5 y ≤ 25. x ≥ 1. y
C
x-4y+3=0
A B
1 x=1 5
3x+5y-25=0
O
x
x 4 y ≤ 3, 例1.已知x、y满足 3 x 5 y ≤ 25. x ≥ 1.
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重， 相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
线性目标函数最优解的求解方法
线性目标函数最优解的求解方法线性规划中寻求最优解是解析几何的重点，也是难点。
现就如何利用可行域寻求最优解的常见方法作些探讨.一、 平移直线法平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等.例1变量x 、y 满足下列条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0,0............2432...........3692..............122y x ③y x ②y x ①y x 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是（ ）A ． ( 4.5 ,3 )B ． ( 3,6 )C ． ( 9, 2 )D ． ( 6, 4 ) 解析：作出约束条件的可行域（如图），由z=3x+2y 知223zx y +-=,于是作一系列与直线x y 23-=平行的直线，当直线223zx y +-=过图中的B 点时，2z取得最小值。
于是由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+6336922432y x y x y x ，从而知当⎩⎨⎧==63y x 时，z=3x+2y 取得最小值。
故选B 。
评析：解决线性规划中的最值问题的关键是：作出可行域，找出最优解。
二、代入检验法通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性.于是在有关选择题的线性规划中的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解。
例2，已知x 、y 满足约束条件：⎩⎨⎧≤+≤+3623242y x y x ，则Z=10x+15y 的最大值为（）A 195B 200C 210D 220解：解程组⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+963623242y x y x y x 从而代入Z=10x+15y 可得Z max =195,故选A 。
评析：代入检验法在涉及最优解为近似解或整格解的问题时，是一种行之有效的方法，具有其它方法不可替代的作用.三、 比较斜率法 平移法的缺陷在于，当可行域的顶点数较多时，不易直观地判断出哪个或哪几个顶点的坐标是最优解.这时若进一步考虑直线斜率的大小，则可以确定出最优解.例3 某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t 需耗A 种矿石10t 、B 种矿石5t 、煤4t ；生产乙种产品1t 需耗A 种矿石4t 、B 种矿石4t 、煤9t.每1t 甲种产品的利润是600元，每1t 乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300t 、B 种矿石不超过200t 、煤不超过360t .甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t ），能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为xt 、yt ，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,0360942004515025y x y x y x y x 且Z=600x+1000y 作出约束条件所表示的平面区域（如左图），即可行域. 作直线l ：600x+1000y=0,即直线l ：3x+5y=0.因为94534525-<-<-<-，即k EN <k MN <k l <k FN ，所以把直线l 向上方移至m 的位置，直线经过可行域上的点M ，此时Z=600x+1000y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+3609420045x x y x 得M 的坐标x=29360=12.3，y=291000=34.5，代入计算得Z max =291216000． 答：应生产甲产品约12.3t,乙产品34.5t ，能使利润总额达到最大.评析：这是高中新教材第二册上册第七章，“简单的线性规划”一节中的例3（P62～63）,确定了直线斜率的大小，实质是确定了直线在向上平移的过程中，在经过可行域X 围内时，即可确定最优解。
线性规划求最值
线性规划求最值线性规划（Linear Programming）是一种优化问题的数学方法，通过建立线性模型来求解最大或最小值。
线性规划的目标是在给定的限制条件下，找到一个最优解，使得目标函数取得最大（或最小）值。
线性规划的数学模型可以表示为：目标函数：max（min）Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂…aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ ≤ bₙ其中x₁, x₂, …, xₙ为决策变量，c₁, c₂, …, cₙ为目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, …, a₈ₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, …,bₙ为约束条件的常数。
解线性规划问题的过程可以分为以下几个步骤：1. 建立数学模型：根据实际问题，确定目标函数以及约束条件。
2. 线性规划的几何表示：将目标函数和约束条件用图形表示，目标函数是一个线性函数，而约束条件则是一组线性不等式。
3. 求解可行解：通过图形方法，找到目标函数与所有约束条件的交点，得到一组可行解。
4. 求解最优解：在可行解中，通过计算目标函数在每个可行解点的函数值，找到使目标函数取得最大（或最小）值的可行解，即为最优解。
5. 检验最优解的可行性：将最优解代入到原始线性规划问题中，检验是否满足所有约束条件。
如果不满足，则需要重新调整模型。
线性规划在实际应用中广泛使用，例如生产计划、资源分配、运输调度等领域。
通过线性规划，可以有效地进行决策，并找到最优解，提高效率，节约资源。
然而，线性规划也有一些局限性，如对问题的要求较高，不能解决非线性的问题等。
总之，线性规划是一种数学方法，通过建立线性模型，在给定的约束条件下求解最大或最小值，可以在各种实际问题中应用，并得到最优解。
通过线性规划，可以优化决策，提高效率，实现最大化利益。
不等式简单的线性规划问题利用简单的线性规划求最值
线性规划问题的应用
生产计划
如何安排各种资源（如人力、原材 料、设备等）以生产出最大利润或 最小成本的产品。
货物运输
如何安排车辆或船只运输货物，使 得运输成本最低或运输时间最短。
资源分配
如何将有限的资源分配给不同的项 目或任务，以获得最大的效益。
配料问题
如何在满足一定质量要求的条件下 ，使用最少的原料或以最小的成本 配制出所需的产品。
引入人工变量
对于不等式约束条件，可以引入人工变量来扩展变量的维度，将不等式约束条件 转换为等式约束条件。
不等式约束条件下线性规划问题的求解方法
将不等式约束条件加入目标函数中
将不等式约束条件加入目标函数中，并求解目标函数的最小值或最大值。
利用线性规划求解
对于不等式约束条件下线性规划问题，可以利用线性规划的求解方法，如单 纯形法、椭球法等来求解目标函数的最小值或最大值。
数据科学
1. 研究大数据分析中的优化问题；2. 探索高效的数据处理和特征提取方法；3. 提高数据 分析和处理的精度和效率。
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迭代法
通过不断迭代，逼近最优解。
优化问题的实际应用
资源分配问题
如何分配有限资源，使得产出最大化或成本最小 化。
运输问题
如何制定最优运输计划，使得运输成本最低且满 足需求。
选址问题
如何在多个候选地点中选择最优地点，使得某项 业务运营成本最低或收益最大。
06
总结与展望
不等式简单的线性规问题求解方法的优缺点
05
利用简单的线性规划解决优化问题
优化问题的定义与分类
定义
优化问题是在一定约束条件下，寻求一个或多个自变量取何值时，使得目标 函数取得极值（极大值或极小值）。
线性规划求最值问题
线性规划求最值问题角度(一) 截距型1．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]2．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．角度(二) 求非线性目标函数的最值 一、距离型3．(2018·太原模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，则z ＝x 2＋y 2的取值范围为( )A ．[1,13]B ．[1,4]二、斜率型4．(2018·成都一诊)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x －2y －2≤0，x －1≥0，则y －1x 的最小值为________．变式训练1、若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx 的最大值为________．[题型技法] 常见的2种非线性目标函数及其意义(1)点到点的距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，表示区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方；(2)斜率型：形如z ＝y －bx －a ，表示区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率．角度(三) 线性规划中的参数问题5．(2018·郑州质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为________．变式训练2.(2018·惠州调研)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a 的值为________．[题型技法] 求解线性规划中含参问题的基本方法(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围．(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．作业：1．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z 1＝4x －3y ，求z 1的最大值； (2)设z 2＝yx ，求z 2的最小值； (3)设z 3＝x 2＋y 2，求z 3的取值范围．。
陕西省榆林市一中2025届高考数学模拟考试试卷理含解析
陕西省榆林市一中2025届高考数学模拟考试试卷理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若（）与互为共轭复数，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【详解】，又与互为共轭复数，，，则.故选A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础的计算题．2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先分别求出集合A和B，利用交集定义能求出A∩B．【详解】∵集合，∴A＝{x|}，B＝{x|x＜﹣1或x＞2}，∴A∩B＝{x|}．故选：C．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集、不等式性质等基础学问，考查运算求解实力，考查函数与方程思想，是基础题．3.的部分图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】推断函数的奇偶性以及对称性，结合函数值的符号是否一样进行解除即可．【详解】f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，解除A，D，f（π）＝lnπ﹣cosπ＝lnπ+1＞0，解除C，故选：B．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和推断，利用函数的对称性以及特别值的符号进行解除是解决本题的关键．4.已知向量，满意，，，则（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】依据向量点积运算得到，再得到.【详解】依据题意得又，故选:A．【点睛】这个题目考查了向量的点积运算以及向量的模长的计算，题目较为简洁基础.5.以双曲线的焦点为顶点，且渐近线相互垂直的双曲线的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又由双曲线的渐近线相互垂直，所以，进而可求解双曲线的方程，得到答案。
【详解】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又因为双曲线的渐近线相互垂直，所以，则该双曲线的方程为.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简洁的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简洁的几何性质，合理、精确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题。
初探与线性规划有关的最值问题的求法
米【 Ｅ，１０ ９ １ － ６ 收稿 ｌ ２ ０ － ０ １ ￣ 【 作者简介】 刘颖 （９ ８５ ）女 ， １ ７ ．一 ， 安徽宿州人 ， 现为宿城一 中数学教师。
７ ２
第 １ 卷 ・ ３期 ３ 第
宿 州 教 育 学 院 学 报
ｄＯＵ ｎ ｏ ｚｈ ｕ Ｅ ｃａ ｉ ｎｓ １ ｔ ｒ ａ１ ｆ Ｓｕ ｏ ｄｕ ｔ Ｉ ｔ Ｏｎ ｔｕ ｅ
、
截距 型
例 ｌ已知 实数 ｘｙ满足线 性约束 条件 ， ｛ｘ３－２ ０求 Ｚ ４ 一 ｙ的最大 值和最 小值 。 ４一ｙ １＜ ， ＝ ｘ ３ ￣
＋ ｙ ＞０ ２ －３￣
例２ 若实数ｘ 满足ｆ一 ｙ ５ ：＋ ， ｙ ‘ （２≤ 则ｚｘｙ ） 一
ｌ ２ ｙ￣ ｘ，
Ｉ２ ７０ ｘｙ ￣ －＋＞
由 ｄ ２２ １ － －１＋ － １ －
．
ｚ 雌 即为可行域中的 ＝
Ｘ—ｌ
点 与点 Ｐ １一 ） （ 、 ２ 连线 的斜 率
・
． ．
２ １ 年 ６月 第 １ ００ ３卷 ・ ３期 第
宿 州教 育 学 院 学报
初探与线性规划有关 的最值 问题 的求法
刘 颖 （ 城 一 中数 学组 宿
【 摘
安徽 ・ 宿州
２４０ ３ ０ ０）
要】 线性规 划 的基本 思想 ， 是在 一 定的约 束条件 下 ， 过数 形结合 求函数 的最值 。本文 将从线性 规 通
为 最小 ． ｍ ｘ 一 ｂ １ ； ・ ａ＝ ３ ＝ ２ ． Ｚ
（ 或可用 由图知 ， 圆心 为 Ａ 中点亦得 点 Ａ坐标 ） Ｏ 所 以 Ｚ ｘ ｙ的最 大值为 ６ ＝＋ 。
点评 ：对 于非线 性约 束条 件 中常 出现 的非 一次
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利用线性规划求最值
陕西宁强县天津高级中学 李红伟
简单线性规划是高中数学教学的新内容之一，是解决一些在线性约束条件下的线性目标函数的最值（最大值或最小值）的问题。
简单线性规划的基本思想即在一定的约束条件下，通过数形结合的思想求函数的最值。
解决问题时主要是借助平面图形，运用这一思想能够较快的解决一些二次函数的最值问题。
现对高中数学中目标函数常见类型的最值问题做一探讨。
一、线性约束条件下线性目标函数的最值（即截距型：c by ax z ++=）
例1．已知实数y x ,满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥+-≥-+,2,
01,03x y x y x 若y x z +=2，求z 的最大值和最小值。
解析：不等式组 ⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥+-≥-+,2,
01,03x y x y x 表示的平面区域如图所示。
图中阴影部分即为可行域。
图示—1
由⎩⎨
⎧=+-=-+,01,03x y x 得⎩⎨⎧==,2,1y x )2,1(A ∴ 由⎩⎨⎧=-+=,
03,2y x x 得⎩⎨⎧==,
1,2y x )1,2(B ∴ 由⎩⎨⎧=+-=,01,2y x x 得⎩⎨⎧==,3,2y x )3,2(M ∴ y x z +=2，z x y +-=∴2， 即z
表示直线z x y +-=2在y 轴的截距. 当直线z x y +-=2经过可行域内的点)3,2(M 时，直线在
y 轴的截距最大，z 也最大，此时7322m a x =+⨯=Z . 当直线z x y +-=2经过可行域内的点)2,1(A 时，直线在y 轴的截距最小，z 也最小，此时4212min =+⨯=Z .
所以，Z 的最大值为7，Z 最小值为4.
这类问题的解决，关键在于能够正确理解目标函数的几何意义——目标函数的“截距”。
二、线性约束条件下非线性目标函数的最值
1．距离型：22)()(b y a x z -+-= 即z 几何意义为可行域内的动点）
（y x ,与定点),(b a 的距离的平方。
例2．同例1，若22y x z +=，求z 的最大值和最小值。
解析：因为目标函数z 表示可行域内的动点）
（y x ,到定点）（0,0的距离的平方的最大值与最小值。
因此，过原点）（0,0作直线l 垂直直线03=-+
y x ，垂足为N ，则直线直线l 的方程为x y =， 由⎩⎨⎧=-+=,03,y x x y 得⎪⎩⎪⎨⎧==,2
3,23y x ∴ )23,23(N
且点)2
3,23(
N 在线段AB 上，也在可行域内。
此时可行域内的点M 到原点的距离最大，点N 到原点的距离最小。
又13=OM , 29
=ON , 即132
922≤+≤y x ， ∴ 132922≤+≤y x ，
所以，Z 的最大值为13，Z 最小值为
29. 2．斜率型：a
x b y z --= 即z 的几何意义为可行域内的动点）（y x ,与定点),(b a 连线的斜率。
例3．同例1，若x
y z =，求z 的最大值和最小值。
解析：因为目标函数00--=
x y z 表示可行域内的动点）（y x ,与定点）（0,0连线的斜率。
因此过定点）
（0,0作直线l ：zx y = ，则有 OA l OB k k k ≤≤ , 2=OA k , 21=
OB k , ∴221≤≤l k , 即 221≤≤z .
所以, z 的最大值为2, z 最小值为2
1. 这类问题的解决，关键在于能够正确理解非线性目标函数所表示的几何意义，并利用图形及非线性目标函数所表示的几何意义求出最优解及目标函数的最大值或最小值。
利用线性规划思想去理解高中数学中一些求最值问题，实际上是对数学形结合思想的提升，利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图解决最值问题。
简单线性规划只能解决一些二元线性约束下条件下的二元函数的最值问题，但它的思想可以延伸到其他的数学最值问题的求解过程中，是从一个新的角度对求最值问题的理解，对于学生最优化思想的形成是非常有益的。