八种经典线性规划例题(超实用)
1、线性规划经典例题
线性规划题型一：已知可行域问题()()()()()20,1218,12.16,14.16,14.52),),2,4(),4,3(),2,1(1-----=--C B A y x z ABCD y x P C B A ABCD 的取值范围是的内部，则行四边形在平（点的三个顶点为、已知平行四边形()的最大值等于则动点，设内（含边界）的为，点且的正方形，是边长为、如图，四边形βαβαβα+∈+=∆=,,212R BCD P OD OABC （注意：P 在三角形ABC 内，实际上描述的就是可行域问题。
）题型二：最优解是否唯一（含参）的取值范围是）取得最小值，则，在点（仅若目标函数满足约束条件已知实数省联考）年、（a ay x z y x y x y x y x 432,1122,2620161+=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-()1-2.12.212.1-21.,02202202,20152或或或或的值为唯一，则实数取得最大值的最优解不若满足约束条件武汉调研）、（D C B A a ax y z y x y x y x y x -=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+题型三：目标函数含参=⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-++=k z y x y x y x y x y kx z ，则实数的最大值为若满足，其中实数浙江卷）设、（12,04204202,20131 ()3.2.2.3.4,020,20152--=+=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-D C B A a y ax z y y x y x y x ，则为的最大值若满足约束条件，山东高考）已知、（题型四：可行域含参()()()2.1.21.41.12,331,0.20131D C B A a y x z x a y y x x y x a =+=⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥>，则的最小值是若满足约束条件，已知高等学校全国统一考试、()3.25.2.1.42,02,2015(2D C B A b y x z b x y x y y x y x 的值为，则实数为的最小值且满足实数河南省郑州市二模）若、+=⎪⎩⎪⎨⎧+-≥≥≥- 题型五：一个很容出错的问题（多解检验）()3-5.35.3.5.7,1,,2014(1或或，则的最小值为且满足全国文科卷）设、D C B A a ay x z y x a y x y x --=+=⎩⎨⎧-≤-≥+ 题型六：快速确定可行域()[]()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=++23,21.23,21.3,1.3,1.1321100212D C B A a b b ax x 的取值范围是）上，则，）上，另一个根在（，的一个根在（、已知一元二次方程。
线性规划典型例题
例1：生产计划问题某工厂明年根据合同，每个季度末向销售公司提供产品，有关信息如下表。
若当季生产的产品过多，季末有积余，则一个季度每积压一吨产品需支付存贮费O.2万元。
现该厂考虑明年的最佳生产方案，使该厂在完成合同的情况下，全年的生产费用最低。
试建立模型。
解：法1 设每个季度分别生产x1,x2,x3,x4则要满足每个季度的需求x4≥26x1+ x2≥40x1+ x2+ x3≥70x1+ x2+ x3+ x4=80考虑到每个季度的生产能力 0≤x1≤300≤x2≤400≤x3≤200≤x4≤10每个季度的费用为：此季度生产费用+上季度储存费用第一季度15.0x1第二季度14 x2 0.2(x1-20)第三季度15.3x3+0.2(x1+ x2-40)第四季度14.8x4+0.2(x1+ x2+ x3-70)工厂一年的费用即为这四个季度费用之和,得目标函数；minf=15.6 x1+14.4 x2+15.5 x3+14.8 x4-26s.t．x1+ x2≥40x1+ x2+ x3≥70x1+ x2+ x3+ x4=8020≤x1≤30 0≤x2≤40 0≤x3≤20 0≤x4≤10。
法2：设第i季度生产而用于第j季度末交货的产品数量为xij吨根据合同要求有：xll=20x12+x22=20x13+x23+x33=30x14+x24+x34+x44=10又根据每季度的生产能力有：xll+x12+x13+x14≤30x22+x23+x24≤40x33+x34≤20x44≤10第i季度生产的用于第j季度交货的每吨产品的费用cij=dj+0.2(j-i)，于是，有线性规划模型。
minf=15.Oxll+15.2x12+15.4xl3+15.6xl4+14x22+14.2x23+14.4x24+15.3 x33+15.5x34+14.8x44s．t． xll=20，x12+x22=20，x13+x23+x13=30，x14+x24+x34+x44=10，x1l+x12+x13+x14≤30，x22+x23+x24≤40，x33+x34≤20，x44≤10，xij≥0， i=1，…，4;j=1，…，4，j≥i。
线性规划例题集锦
A
B
O1
5
x=1
2x+y=0
3x+5y-25=0
x
(2)若z=2x-y,求z的最值.
解：画出可行域如图：
画直线2x-y=0并平移得点A使Z最大，点 C使Z最小。
x 4y 3 0
由
可得A为（5,2）
3x 5y 25 0
4
A
2
6
4
2
O
2
4x
R
2
B
x3
此类问题转化为可行域内的点到定点的斜率.
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x y 6 0
例3 已知 x, y 满足不等式 x y 0 ,
y
6
x 3
x y 0
4
A
求：(1). z x2 y2最大值和最小值;
2
(2). z x2 2x y2最大值和最小值;
6
4
2
O
2
解: (1) z x2 y2 表示可行域内任一点
x
因为kQA 2 , kQB 0,
z 所以 的范围为 ( , 2][0, ).
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(2).z y 2 表示可行域内任一点与定点
x 1
R（-1,-2）连线的斜率,
因为
kRA
5 2
,
kRB
1 2
,
z 所以 的范围为( , 5][ 1 , ). 22
点评：
x y6 0
C
y
6
x y 0
（x,y)到原点的距离的由平图方可，得点A使Z
最大，点B 使Z最小。
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于寻觅最优解决方案。
在实际生活和工作中，线性规划问题时常浮现，通过对问题进行建模和求解，可以得到最优的决策方案。
本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出详细的答案解析。
一、生产规划问题1.1 生产规划问题描述：某工厂生产两种产品A和B，产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
每天工厂有8小时的生产时间，产品A每单位需要2小时，产品B每单位需要3小时。
问工厂每天应该生产多少单位的产品A 和产品B，才干使利润最大化？1.2 生产规划问题答案：设产品A的生产单位为x，产品B的生产单位为y，则目标函数为Max Z=100x+150y，约束条件为2x+3y≤8，x≥0，y≥0。
通过线性规划方法求解，得出最优解为x=2，y=2，最大利润为400元。
二、资源分配问题2.1 资源分配问题描述：某公司有两个项目需要投资，项目A每万元投资可获得利润2万元，项目B每万元投资可获得利润3万元。
公司总共有100万元的投资额度，问如何分配投资额度才干使利润最大化？2.2 资源分配问题答案：设投资项目A的金额为x万元，投资项目B的金额为y万元，则目标函数为Max Z=2x+3y，约束条件为x+y≤100，x≥0，y≥0。
通过线性规划方法求解，得出最优解为x=40，y=60，最大利润为240万元。
三、运输问题3.1 运输问题描述：某公司有两个仓库和三个销售点，每一个销售点的需求量分别为100、150、200，每一个仓库的库存量分别为80、120。
仓库到销售点的运输成本如下表所示，问如何安排运输方案使得总成本最小？3.2 运输问题答案：设从仓库i到销售点j的运输量为xij，则目标函数为Min Z=∑(i,j) cij*xij，约束条件为每一个销售点的需求量得到满足，每一个仓库的库存量不超出。
通过线性规划方法求解，得出最优的运输方案，使得总成本最小。
四、投资组合问题4.1 投资组合问题描述：某投资者有三种投资标的可选择，预期收益率和风险如下表所示。
最新八种 经典线性规划例题(超实用)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，45D、解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选 C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230 230x y mx y m-++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3，选 C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
【教学随笔】线性规划典型题例解析
线性规划典型题例归类解析简单的线性规划”是在学习了直线方程的基础上， 介绍直线方程的一个简单应用,考中占有一席之地，既有考查线性规划自身理论系统知识的试题， 究实际应用问题的试题，同时也有与其它知识相结合的交汇性试题 题型进行分类解析.一、求约束条件下的平面区域的面积r x+y — 2>0例1在平面直角坐标系中，不等式组 \ x — y+2 >0,表示的平面区域的面积是I x < 2(A)4W(B)4(C)2 羽(D)2分析：先根据约束条件作出平面区域，然后根据区域的图形特征求面积 解：由条件作图可知可行域为△ABC ,求出各个交点坐标为 A(2 ,4)、0)、C(0, 2)，贝y S^ABC = 1|AB | • |OB| = 14-2 = 4，故选择 B.面积；如果平行区域不是一个三角形，可将区域划分为几个易求面积三角 形.二、求解与约束条件下与平面区域相关的距离问题I X A 1例2已知1 x — y+1 w 0 ，则X 2+ y 2的最小值是 ___________ .[2x — y — 2 w 0分析：先根据约束条件作出平面区域， 然后根据X 2+ y 2(平面区域内的点到原点的距离的平方)的几何意义进行求解.〔X > 1解：由$ X — y+1w 0 ，画出可行域，求得交点A(1 , 2), B(3 , 4)，则[2x- y — 2w 0 由图观察知，平面区域内的点到原点距离最小的点为 A 点，而|OA| = 0T P =^/5，所以X 2+ y 2的最小值是5.点评：解答本题的关键就是要明确的几何意义 面区域内的点到原点距离的平方.三、求解与约束条件下的平面区域相关的斜率问题「y A 0例3实数X, y 满足不等式组S X — yA0 ,、2x — y — 2 A 0 分析：因为表达式 巳与斜率的坐标公式类似,x+ 1 来解决.解：满足已知不等式的可行域如图所示， 视(x ,y)为坐标平面可行域内y — 1的点，贝y u= --表示动点(x , y)与定点(一1, 1)连线的斜率，A. I I由条件求得各交点的坐标 0(0, 0) , A(2 , 2)、B(1 , 0),11在咼也有考查利用线性规划研 .下面就线性规划的常x 2+y 2,即X 2+ y 2表示平因此可转化为斜率问题u = 2的取值范围.x+ 1由斜率公式得 k pA= R k op=— 1，所以一1W uw T.3 3点评：此类题型在确定斜率的取值范围时遵循： 如果垂直于x 轴的直线满足条件， 则所求的斜率在两条边界直线的斜率之外； 如果垂直于x 轴的直线不满足条件， 则所求的斜率在两条边界直线的斜率之间，注意“等号”是否可取 . 四、求解约束条件下的线性目标函数的最值问题 例4在约束条件 r y+x < s { y+2x w 4 下，当3W s< 5时，目标函数z= 3x + 2y 的最大值的变化I x> 0, y > 0 范围是( A.[6 , 分析： ) 15]由于约束条件中含有参数B.[7 , 15]C.[6 , 8]D.[7 , 8]s,因此可行域是一个动态的区域，因此 y+2x=4 杪 在确定最大值时要注意分类 . X E(0,4)x=4 — s -r '，所以各交点坐标分别为 A(0 , 2), B(0 , y=2s — 4s), E(0 , 4), x+y=sy+2x=4，得s), C(4 — s, 2s — 4), D(0 ,(1) 当3w SV 4时可行域是四边形 OACD ，此时，目标函数在 C 点取得 ^G(4 -S ,23-4) 最大值 z = 3(4— s) + 2(2s — 4) = s + 4，所以 7w zv 8; (2) 当4w sw 5时可行域是△ OAE，此时，目标函数在 E 点取得最大值 4= 8，所以 Z max = 8，故选 D. 点评：对参数的处理是解答本题的一个关键， 进行分类讨论的标准是根据由约束条件所 形成的可行域的不同形状.在解答过程中要注意将目标函数 z 转化为关于s 的函数进行求解. 五、 求解在约束条件下目标函数中参数的问题 例5已知变量x, y 满足约束条件1 w x + yw 4,— 2w x — yw 2.若目标函数 中a> 0)仅在点(3 , 1)处取得最大值，贝y a 的取值范围为 ____________ . 解析：变量x, y 满足约束条件1 w x+ yw 4, — 2w x — yw 2在坐标系中 画出可行域，如图为四边形 ABCD ，其中A(3 , 1), k AD = 1, k AB =— 1, 由目标函数z= ax+y (其中a> 0)得y=— ax+z,则z 表示斜率为一a 的直线系中的截距的大小，若仅在点 A(3 , 1)处取得最大值，则直线 y=—ax+ z 应在直线x + y= 4与直线x = 3之间，直线斜率应小于 k AB =— 1, 即卩' —av — 1，所以a 的取值范围为(1 ,+s ).点评：本题的目标函数对应的直线的斜率是变化的， 一般求解目标函数 的最值时要将目标函数对应的直线的斜率与线性约束条件下的对应的直线的斜率进行比较， 若目标函数对应的直线过两条直线的交点， 且位于两直线之间，则其对应的斜率也就在两个 相交直线的斜率之间.另外解答本题的一个关健是挖掘出— a 与z 的几何意义. 六、 求平面区域的约束条件 例6双曲线x 2— y 2= 4的两条渐近线与直线 不等式组是( ) j x — y>0 (A) S x + y 》0 \ 0w xw 3 x — y > 0 (B) S x + y w 00< x w 3 z= 3X0+2X z= ax+ y(其 z^ax+y * \ 盘 y= (3-1)x=3围成一个三角形区域，表示该区域的 K+y=l \ Xx+yMx — yw 0 j x — y w 0 (C) x + yw 0 (D 门 x + y >0 _ 0w xw 3 I 0w xw 3 然后确定各边界所在的直线方程， 再 分析：本题要从根据题设条件作出平面区域入手， 确定其所对应的代数式的符号 . 解：双曲线x 2— y 2= 4的两条渐近线方程为 y =± x,与直线x = 3围成 一个三角形区域，如图所示， 在区域内取点 A(1 , 0),代入代数式：x — y 、x + y 、x 得x — y = 1, xr X — y > 0+ y = 1, x= 1,则该区域的约束条件为 \ X + y > 0，故选A.I 0w Xw 3点评：本题是一道逆向思维性题， 其难点主要是确定各边界所在的直线方程 Ax +By+ C =0对应的代数式 Ax + By+ C 的符号，一般根据平面区域的一个特殊点的坐标代入 Ax+ By+ C 即可确定.另外要注意边界所在直线的虚实 .七、求解可行域内的最优整数解问题直线90x + 100y = t 中的截距最大，但不是整数解.整数解X = 1与X = 2两条直线上，而离点 M 较近的两个点为（1 ,「X = 1代入z= 90x + 100y 比较可知当｛ C 时，z = 90x + 100取得最大值390.,=3点评：在求使目标函数的最优整数解时，如果使目标函数取得最值的点 M （X 0, y 。
高中数学线性规划练习题及讲解
高中数学线性规划练习题及讲解线性规划是高中数学中的一个重要概念，它涉及到资源的最优分配问题。
以下是一些线性规划的练习题，以及对这些题目的简要讲解。
### 练习题1：资源分配问题某工厂生产两种产品A和B，每生产一件产品A需要3小时的机器时间和2小时的人工时间，每生产一件产品B需要2小时的机器时间和4小时的人工时间。
工厂每天有机器时间100小时和人工时间80小时。
如果产品A的利润是每件50元，产品B的利润是每件80元，工厂应该如何安排生产以获得最大利润？### 解题思路：1. 首先，确定目标函数，即利润最大化。
设生产产品A的数量为x，产品B的数量为y。
2. 目标函数为：\( P = 50x + 80y \)。
3. 根据资源限制，列出约束条件：- 机器时间：\( 3x + 2y \leq 100 \)- 人工时间：\( 2x + 4y \leq 80 \)- 非负条件：\( x \geq 0, y \geq 0 \)4. 画出可行域，找到可行域的顶点。
5. 计算每个顶点的目标函数值，选择最大的一个。
### 练习题2：成本最小化问题一家公司需要生产两种产品，产品1和产品2。
产品1的原材料成本是每单位10元，产品2的原材料成本是每单位15元。
公司每月有原材料预算3000元。
如果公司希望生产的产品总价值达到最大，应该如何分配生产？### 解题思路：1. 设产品1生产x单位，产品2生产y单位。
2. 目标函数为产品总价值最大化，但题目要求成本最小化，所以实际上是求成本最小化条件下的产品组合。
3. 约束条件为原材料成本：\( 10x + 15y \leq 3000 \)4. 非负条件：\( x \geq 0, y \geq 0 \)5. 画出可行域，找到顶点。
6. 根据实际情况，可能需要考虑产品1和产品2的市场价格，以确定最大价值。
### 练习题3：运输问题一个农场有三种作物A、B和C，需要运输到三个市场X、Y和Z。
线性规划经典例题
线性规划经典例题 Prepared on 22 November 2020线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（ ）A 、4B 、1C 、5D 、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）A 、9个B 、10个C 、13个D 、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)x y x y x y x y x y x y x y xy+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（ ）A 、－3B 、3C 、－1D 、1解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ）A 、13，1B 、13，2C 、13，45D 、13，255解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ）A 、（-3,6）B 、（0,6）C 、（0,3）D 、（-3,3） 解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩,故0＜m ＜3，选C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
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线性规划常见题型及解法
由已知条件写出约束条件，并作出可行
域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之
外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围
例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）
A 、[2,6]
B 、[2,5]
C 、[3,6]
D 、（3,5]
解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将
l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选 A
二、求可行域的面积
例2、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≤⎩
表示的平面区域的面积为 （ ）
A 、4
B 、1
C 、5
D 、无穷大
解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC
的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选 B
三、求可行域中整点个数
例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个
解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)
2(0,0)
2(0,0)2
(0,0)
x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪
⎨
-+≤≥⎪⎪--≤⎩
作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整
点个数为13个，选 D
四、求线性目标函数中参数的
取值范围
例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧
⎪
-+≤⎨⎪≤⎩
，使z=x+ay(a>0)
取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1
解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay (a>0)取得最小值的最优解
有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选 D
五、求非线性目标函数的最值
例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩
，则z=x 2+y 2
的最大值和最小值分别是（ ）
A 、13，1
B 、13，2
C 、13，4
5
D 、5
解：如图，作出可行域,x 2+y 2
是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即
|AO|2
=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为
4
5
，选 C 六、求约束条件中参数的取值范围
例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3）
解：|2x －y ＋m|＜3等价于230
230x y m x y m -++>⎧⎨
-+-<⎩
由右图可知33
30
m m +>⎧⎨
-<⎩ ,故0＜m ＜3，选 C
七·比值问题
当目标函数形如y a
z x b
-=
-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
例 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，
则 y
x 的取值范围是（ ）.
（A ）[95，6] （B ）（－∞，9
5]∪[6，＋∞）
（C ）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D ）[3，6] 解析 y x
是可行域内的点M （x ，y ）与原点O
（0，0）连线的斜率，当直线OM 过点（52，92）时，y
x 取得
最小值95；当直线OM 过点（1，6）时，y
x
取得最大值6. 答案A。