经典线性规划例题

线性规划常见题型及解法
由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围
例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）
A 、[2,6]
B 、[2,5]
C 、[3,6]
D 、（3,5]
解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将
l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A
二、求可行域的面积
例2、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≤⎩
表示的平面区域的面积为 （ ）
A 、4
B 、1
C 、5
D 、无穷大
解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC
的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B
例3．.在平面直角坐标系中，已知集合
，则集合
表示的平面区域的面积为 10
{}
(2,2)|(,)B x y x y x y A =+-∈2(,)|00x y A x y x y ⎧-≤⎫⎧⎪⎪⎪=≥⎨⎨⎬
⎪⎪⎪
≤⎩⎩
⎭xoy x y O
2
2 x=2
y =2 x + y =2
B
A
2x + y – 6= 0 = 5
x ＋y – 3 = 0
O
y
x
A B
C M y =2
例4．在平面直角坐标系中，不等式组表示的区域为M ，
表示的区域为N ，若，则M 与N 公共部分面积的最大值为
解：因为先根据题意中的条件画出约束条件所表示的图形，再结合图形求公共部分的面积为f （t ）即可，
注意将公共部分的面积分解成两个图形面积之差，那么可知公共部分的面积为
2AOE BOC FOE 111
S S S S EO 1t (2(t 1))2
22
∆∆
∆=--=
⨯---+，借助于二次函数得到最大值56
三、求可行域中整点个数
例5、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）
A 、9个
B 、10个
C 、13个
D 、14个
解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)
2(0,0)2
(0,0)
x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪
⎨
-+≤≥⎪⎪--≤⎩
作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D
四、求线性目标函数中参数的取值范围
例6、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪
-+≤⎨⎪≤⎩
，使z=x+ay(a>0)
取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1
解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得
最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D 边形OACB (含边界)，若)5
4
,32(是该目标函数z
例7．如图，目标函数z ＝ax －y 的可行域为四＝ax －y 的最优解，则a 的取值范围是( A )
12t <<1t x t ≤≤+02030y x y x y ≥⎧⎪
-≥⎨⎪+-≤⎩x
y
O x + y = 5
x – y + 5 = 0
O y
x x=3
A ． )10
3
,512(-- B ．)12
5,310(--
C ．)5
12,103( D ．)10
3,512(-
五、求非线性目标函数的最值
例8、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ）
A 、13，1
B 、13，2
C 、13，45
D 、13，25
5
解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为
4
5
，选C 例9．已知函数f(x)的定义域为[－3，＋≦)，且f(6)＝2。

f ′(x)为f(x)的导函数，f ′(x)的图象如图所示．若正数a ，b 满足f(2a ＋b)<2，则
3
2
b a +-的取值范围是( )
A. 3(,)2-∞-∪(3，＋≦)
B. 9(,3)
2
-
C. 9(,)2-∞-∪(3，＋≦)
D. 3(,3)2
-
解：如图所示：f ′（x ）≥0在[-3，+≦）上恒成立≨函数f （x ）在[-3，0）是减函数，（0，+≦）上是增函数，又≧f （2a+b ）＜2=f （6）
≨2a+b>0,2a+b<6,画出平面区域令t=3
2
b a +-,表示过定点（2，-3）的直线的斜率,如图所示：t ∈（-≦，-32）∪（3，+
≦）故选A
A. 3
(,)2-∞-∪(3，＋≦) B. 9(,3)
2
-
C. 9(,)2-∞-∪(3，＋≦)
D. 3(,3)2
-
2x + y - 2= 0 = 5
x – 2y + 4 = 0 3x – y – 3 = 0
O
y
x
A
六、求约束条件中参数的取值范围
例10、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3）
解：|2x －y ＋m|＜3等价于230
230
x y m x y m -++>⎧⎨
-+-<⎩
由右图可知33
30m m +>⎧⎨-<⎩
,故0＜m ＜3，选C
七〃比值问题
当目标函数形如y a
z x b
-=
-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

例11. 已知变量x ，y 满足约束条件⎩
⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则 y
x 的取值范围是（ ）.
（A ）[95，6] （B ）（－≦，9
5]∪[6，＋≦）
（C ）（－≦，3]∪[6，＋≦） （D ）[3，6] 解析 y x
是可行域内的点M （x ，y ）与原点O
（0，0）连线的斜率，当直线OM 过点（52，92）时，y
x 取得
最小值95；当直线OM 过点（1，6）时，y
x
取得最大值6. 答案A
例12．已知,x y 满足20
3010
y x x y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪--≤⎩
，则264x y x +--的取值范围是
171,7⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
O
2x – y = 0 y 2x – y + 3 = 0。