理论力学课后习题答案 第5章 点的复合运动分析)
第05章习题答案
容易求得： va b ，方向竖直向上
四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛
点的合成运动习题解答
5.5 瓦特离心调节器以角速度 10 rad s 绕铅垂轴转动，由于机器负荷的变化， 调 速 器 的 重 球 在 图 示 平 面 内 以 角 速 度 1 1.2 r a d s 向 外 张 开 。 如 球 柄 长
va ve2 vr2 306 cm s
四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛
点的合成运动习题解答
5.6 裁纸板机构的简图如图所示。纸板 ABCD 放在传送带上(图中未画出传送带)， 并以匀速度 v1 0.05 m s 随传送带一起运动。裁纸刀固定在刀架上，刀架 K 以匀 速度 v2 0.13 m s 沿固定导杆 EF 运动，试问导杆 EF 的安装角 应取何值才能使 切割下的纸板成为矩形。
四川大学建筑与环境学院力学科学与工程系515如图所示半径为cm12的半圆环可在水平面上滑动ab为固定铅垂直杆小环m套在半圆环与直杆上某瞬时半圆环平动的速度cm30以小圆环m为动点半圆环为动系速度矢量图如下速度合成矢量图加速度合成矢量图1030tancm10060cos30cos我在沙滩上写上你的名字却被浪花带走了
魏 魏 魏
泳 泳 泳
涛 涛 涛
解： 以 AB 上的销子 K 为动点， OC 为动系，速度矢量图如下。
40 cos 30 ve 40 va cos30 cos 2 30 K 的速度即为齿条 AB 之速度，也就是齿轮上(与齿条)接触点之速度，所以 齿轮角速度 v 4 1 a 2.67 rad s 2 R cos 30 ve lOK
魏 魏 魏
泳 泳 泳
涛 涛 涛
理论力学5—点的运动学描述和刚体的基本运动
M
o j R
j
M
旋轮线
y
M
A
o j R C
x
解：取坐标系Axy 如图所示, 并设M点所在的一 个最低位置为原点A, 则当轮子转过一个角度后, M点坐标为
x AC - OM sin j R(wt - sin wt )
y OC - OM cos j R(1 - cos wt )
这是旋轮线的参数方程。
运动学
引 言
运动学是研究物体运动的几何性质的 科学。也就是从几何学方面来研究物 体的机械运动。运动学的内容包括: 运动方程、轨迹、速度和加速度。
物体运动的描述是相对的。将观察者所在 的物体称为参考体，固连在参考体上的坐 标系称为参考坐标系。只有明确参考系来 描述物体的运动才有意义。 时间概念要明确: 瞬时t 和 时间间隔Δt
O x
A
vB
aA
A2
rB
B
B1 aB
B2
y
结论：当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同； 在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。
因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体 内任一点的运动。 同时要注意：刚体平移时，刚体上的点既可以 作直线运动，也可以作曲线运动。
5.3 刚体绕定轴转动
O (-)
M
s
这就是弧坐标形式的点的运动方程。
5.1.3 自然坐标法 2 自然轴系
M1
t1
t t '1
5.1.3 自然坐标法
即以点M为原点，以切线、主法线和副法 线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M 的自然坐标系，这三个轴称为自然坐标轴。且 三个方向单位矢量满足右手法则，即
b t n
理论力学第五章 点的运动
【例5.1】 已知点的运动方程为 x r cost y r sin t 其中：r、ω是常数。求动点的运动轨迹、速度与加速度。
目录
第五章 点的运动\描述点运动的直角坐标表示法
【解】 为求动点的运动轨迹，将运动方程平方后相加，消去t得 x2 y2 r 2
这说明动点的运动轨迹是以O为圆心、r为半径的一个圆。当 ωt=0时，x=r, y=0，动点位于x轴上，当ωt=π/2时，x=0, y=r，动点位 于y轴上。 y v 动点的速度在坐标轴上的投影为 M r v x r sin t t v y r cost x O 因此速度的大小为
z M k O r z
a
v x y
i
j y
上式表明，动点的加速度在各坐标轴上的投影分别等于动点相 应的位置坐标对时间t的二阶导数。 目录
第五章 点的运动\描述点运动的直角坐标表示法 加速度的大小及方向余弦为
2 2 2 d x d y d z 2 2 2 2 2 2 a ax a y az ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) dt dt dt ay ax az cosa , i cosa , j cosa , k a a a
x x(t ) y y (t )
当动点始终沿一直线运动时，如取该直线为坐标轴Ox，则动点 的运动方程为
x x(t )
目录
第五章 点的运动\描述点运动的直角坐标表示法
5.2.2 用直角坐标表示点的速度
如图所示，若以O点为坐标原点建立 Oxyz直角坐标系，则动点的位置矢量r 可表示为
第五章 点的运动\描述点运动的弧坐标表示法
dr τ ds 式中：—沿轨迹切向指向弧坐标正向的单位矢量。此外，
《理论力学》第五章 点的运动
动点的速度等于它的矢 径对于时间的一阶导数
r－动点 对于点O的
矢径或位置矢
矢径r的矢端线是 点的运动轨迹
单位
§5-2 点的运动的直角坐标表示法
点的运动方程
即 x xt y yt z zt
r xi y j zk
M v
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
4. M点的加速度
I
a x r sin t
2
a y r 2 cos t
( a, x )
2
; ( a, y )
例1：图示机构中A、B两滑块可分别沿互相垂直的两 直槽滑动。已知BA=a，AM＝b，＝t+(, 为常 y 量)，求点M的运动轨迹、速度和加速度。 M
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F2=(y、z)
y
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x
F1=(x、y)
z
例
一人在路灯下由灯柱起以匀速 u 沿直线背离灯
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点的直线运动
点的曲线运动
点的合成运动
刚体的平行移动 刚体的定轴转动 刚体的平面运动 刚体的定点运动 刚体的一般运动
刚体的基本 运动形式
刚体的运动
第五章
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
点的运动
轨迹或路径：点在空间所占据的位置随时 间连续变化而形成的曲线 直线 轨 迹 曲线 矢量法
d v d( ve ) d v d e a e v dt ds dt dt
理论力学(第7版)第五章 点的运动学
运 动 规 律
[例5-1 ] 已知点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m， z=4t m。 求：点运动轨迹的曲率半径 。
解：
vx x 8 cos 4t , ax 32 sin 4t x
r r t
—以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。 ——动点M的运动轨迹
3
二.点的速度
dr v r dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。
三.加速度
dv d 2r a r 2 dt dt
dv v2 a a a n a a n n n dt
17
5-3 自然法 曲率(1 / ) ：
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
d lim| | t 0 S dS 1
由于a , an均在密切面内，全加速a必在密切面内。 度
— 与 弧 坐 标 的 正 向 一 致 n — 指 向 曲 线 内 凹 一 侧 b — 与 , n 构 成 右 手 系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 13 线而变动的游动坐标系。
(动画自然坐标轴的几何性质)
曲线在P点的密切面形成
5-3 自然法
二.点的速度
当t 0时，r MM' S
v y y 8 sin 4t , a y 32 cos 4t y
v z z 4, a z 0 z
2 2 2 2 v v x v 2 v z 80 m s , a a x a 2 a z 32m s 2 y y
理论力学 第五章 点的运动学(合)
[讨论] （1） d v 与 d v 有何不同? 就直线和曲线分别说明。
dt dt
d v = a ——点的加速度矢。 dt
对直线、曲线都一样。
d v ——速度大小对时间的变化率 dt 在直线中为加速度大小： d v = a
dt
在曲线中为切向加速度大小： d v dt
=
at
36
第五章 点的运动学
（2）点作曲线运动, 画出下列情况下加速度的大致方向。 ① M1点作匀速运动； ② M2点作加速运动； ③ M3点作减速运动。
（2）速度
vx = x& = rω (1− cosωt)
vy = y& = rω sin ωt
v=
v
2 x
+
v
2 y
= rω
2
− 2 cosωt
=
2rω
sin
ωt
2
（3）切向、法向加速度
at = v&
= rω 2 cos ωt
2
an
=
rω 2
sin
ωt
2
思考：如何求点M的法向加速度？
30
第五章 点的运动学
dt dt
dt
dt
=
d2 x dt2 i
+ d2 y dt2
j
+
d2 dt
z
2
k
解析表达式： a = a x i + a y j + a z k
ax
=
d vx dt
=
d2 x d t2
=
v& x
=
&x&
ay
=
d vy dt
理论力学第五章点运动学
d2s dt 2
—
切向加速度
an
v2
1
ds 2 dt
—
法向加速度
a at2 an2
曲线匀速运动
at 0, v v0 常数, s s0 v0t
曲线匀变速运动
at
常数 ,
v
v0
att
,
s
s0
v0t
1 2
at
t
2
例5-4 列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀 加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到 达54km/h。求列车起点和未点的加速度。
第五章 点的运动学
§5-1 矢量法
运动方程 r r t
速度
dr v r
dt
单位 m/s
加速度
dv d2 r
a
v r
dt dt 2
单位 m/s2
矢端曲线
速度方向为： 矢径矢端曲线切线
加速度方向为： 速度矢端曲线切线
§5-2 直角坐标法
运动方程
x x(t) y y(t) z z(t)
vx x l a sin t
vy y (l a) cost v vx2 vy2 (l a)2 2 sin2 t (l a)2 2 cos2 t
l2 a2 2al cos 2t
cos(v, i ) vx (l a)sint
x (OC CM ) cos (l a) cost
y AM sin (l a)sin t
消去t, 得轨迹
(l
x
2
a）2
(l
理论力学简明教程第五章答案
第五张 刚体力学平动中见彼此,转动中见分高低.运动美会让你感受到制造的乐趣.走过这遭,或许会有曾经沧海难为水的感叹.别忘了,坐标变换将为你迷津救渡,同时亦会略显身手.【要点分析与总结】1 刚体的运动（1）刚体内的任一点的速度、加速度（A 为基点）A r υυω'=+⨯()()A d r a a r dtωωω'⨯'=++⨯⨯ （2）刚体内的瞬心S ：()21s A A r r ωυω=+⨯〈析〉ω为基点转动的矢量和，12ωωω=++A r r r '=+dr dtυ=*A A A dr dr d r r r dt dt dt υωυω''''=+=++⨯=+⨯ ()A d r d d a dt dt dtωυυ'⨯==++()r ωω'⨯⨯ 值得注意的是：有转动时r '与r ω'⨯的微分，引入了r ω'⨯与()r ωω'⨯⨯项。
2 刚体的动量，角动量，动能 （1）动量：c P m υ=（2）角动量： x x xx xy xz i i i y yxyy yz y zx zyzz z z L J J J L r m L J J J J J J J L ωυωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪=⨯===-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑式中：转动惯量()()()222222xx yy zz J y z dmJ z x dm J x y dm ⎧=+⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎩⎰⎰⎰惯量积xx yy zz J xydm J yzdm J zxdm ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩⎰⎰⎰且c c cL r m L υ'=⨯+* l e 方向（以l 为轴）的转动惯量：(),,l l J e J e J ααβγβγ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭222222xx yy zz yz zx xy J J J J J J αβγβγγααβ=++---（,,αβγ别离为l e 与,,x y z 轴夹角的余弦） * 惯量主轴惯量主轴能够是对称轴或对称面的法线若X 轴为惯量主轴，那么含X 的惯量积为0，即: 0==xy xz J J 若,,x y z 轴均为惯量主轴，那么:xx yy zz L J i J j J k =++ 〈析〉成立的坐标轴轴应尽可能的是惯量主轴，如此会降低解题繁度。
理论力学 第五章 点的运动学(合)
⋅
τ
+v⋅dτ dt
z 切向加速度 at
第一项反映速度大小随时间的变化率，方向沿切线 方向。
at
=
dvτ
dt
=
d2 sτ
dt2
at
=
dv dt
=
d2 s dt2
25
第五章 点的运动学
z 法向加速度 an ——反映速度方向随时间的变化率
an
=
v
dτ
dt
= v lim Δτ
Δt→0 Δt
方向沿主法线正向。
s
O
正方向：坐标原点O的某一侧为正向。
弧坐标 s ：沿轨迹从O到点M的弧长。
M
(+)
B
弧坐标表示的运动方程 s = f (t) = s(t)
21
二、自然轴系
第五章 点的运动学
切线：单位矢量 τ ，指向与弧坐标正向一致。
主法线：单位矢量 n，正向指向凹侧。
副法线：单位矢量 b ，且满足 b = τ × n 。
⑦ at ≡ 0, an = 常数 （匀速曲线运动）
⑧ at = 常数，an = 常数 （匀变速曲线运动）
38
第五章 点的运动学
（4）判断下列运动是否可能出现？若能出现，则判断是 什么运动?
(加速曲线运动) (不可能) (匀速曲线运动) (不可能)
(不可能)
(减速曲线运动) (不可能)
39
第五章 点的运动学
xB = r sin( ωt + θ )
vB = rω cos( ω t + θ )
a B = − rω 2 sin( ω t + θ ) = −ω2xB
运动图线
哈工大理论力学第五章 点的运动学
dvz d 2 z az 2 dt dt
例 5-1 已知：椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其端点C 与规
尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺A，B 两端分别在相互
垂直的滑槽中运动， OC AC BC l , MC a, ωt 求：① M 点的运动方程； ② 轨迹；
ax (l a ) cos t cos(a , i ) a l 2 a 2 2al cos 2t ay (l a ) sin t cos( a , j ) a l 2 a 2 2al cos 2t
例5-2
已知：正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速转动， 它与水平线间的夹角为 t ,其中 为t = 0时的夹角， 为一常数。动杆上A，B两点间距离为b。
速度 矢径矢端曲线切线
加速度 速度矢端曲线切线
§5-2 直角坐标法
运动方程
x x(t ) y y (t ) z z (t )
直角坐标与矢径坐标之间的关系
r (t ) x t i y (t ) j z (t )k
速度
dr dx dy dz v i j k vx i v y j vz k dt dt dt dt
③ 速度；
④ 加速度。
解： 点M作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。
运动方程
x (OC CM ) cos (l a) cos t
y AM sin (l a) sin t
消去t, 得轨迹
x2 y2 1 2 2 (l Biblioteka a） (l a )速度
l a sin t vx x (l a) cost vy y v vx 2 v y 2 (l a) 2 2 sin 2 t (l a) 2 2 cos 2 t
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第5章 点的复合运动分析 5－1 曲柄OA在图示瞬时以ω0绕轴O转动，并带动直角曲杆O1BC在图示平面内运动。若d为已知，试求曲杆O1BC的角速度。 解：1、运动分析：动点：A，动系：曲杆O1BC，牵连运动：定轴转动，相对运动：直线，绝对运动：圆周运动。 2、速度分析：reavvv
0a2lv；0ea2lvv
01e1AOvBCO（顺时针）
5－2 图示曲柄滑杆机构中、滑杆上有圆弧滑道，其半径cm10R，圆心O1在导杆BC上。曲柄长cm10OA，以匀角速rad/s4πω绕O轴转动。当机构在图示位置时，曲柄与水平线交角30φ。求此时滑杆CB的速度。 解：1、运动分析：动点：A，动系：BC，牵连运动：平移，相对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动。 2、速度分析：reavvv
401aAOv
cm/s；
12640aevvvBC
cm/s
5－3 图示刨床的加速机构由两平行轴O和O1、曲柄OA和滑道摇杆O1B组成。曲柄OA的末端与滑块铰接，滑块可沿摇杆O1B上的滑道滑动。已知曲柄OA长r并以等角速度
转动，两轴间的距离是OO1 = d。试求滑块滑道中的相对运动方程，以及摇杆的转动方程。 解：分析几何关系：A点坐标 dtrxcoscos1
（1）
trxsinsin1 （2） （1）、（2）两式求平方，相加，再开方，得： 1．相对运动方程
trdrdtrdtrdtrxcos2sincos2cos22222221
将（1）、（2）式相除，得： 2．摇杆转动方程：
dtrtrcossintan
dtrtrcossinarctan
5－4 曲柄摇杆机构如图所示。已知：曲柄O1A以匀角速度ω1绕轴O1转动，O1A = R，O1O2 =b ，O2O = L。试求当O1A水平位置时，杆BC的速度。 解：1、A点：动点：A，动系：杆O2A，牵连运动：定轴转动，相对运动：直线，绝对运动：圆周运动。
1aRvA；221222aeRbRRbRvvAA
L
ω1 O1 A
B
O2 C O
vAe
vBe
vAa
vBa
vBr
vAr
习题5-4图
C l l 0
O
A va
vr
ve
习题5-1图
O
习题5-2图
va vr
ve
习题5-3图 (d) C
CaB
a
τea
ra
nea
(c) C
e
O
r
B
(e) Ar
O
ear
2、B点：动点：B，动系：杆O2A，牵连运动：定轴转动，相对运动：直线，绝对运动：直线。
221222eeRbbLRAOBOvvAB
21222
eabLRbRbvvvBBBC
5－5 如图示，小环M套在两个半径为r的圆环上，令圆环O固定，圆环O绕其圆周上一点A以匀角速度转动，求当A、O、O位于同一直线时小环M的速度。 解：1、运动分析：动点：M，动系：圆环O，牵连运动：定轴转动，相对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动。 2、速度分析：reavvv
rv3e
rvvvM30tan
ea
5－6 图a、b所示两种情形下，物块B均以速度Bυ、加速度aB沿水平直线向左作平移，从而推动杆OA绕点O作定轴转动，OA = r，= 40°。试问若应用点的复合运动方法求解杆OA的角速度与角加速度，其计算方案与步骤应当怎样？将两种情况下的速度与加速度分量标注在图上，并写出计算表达式。 解：（a）： 1、运动分析：动点：C（B上）；动系：OA；绝对运动：直线；相对运动：直线；牵连运动：定轴转动。 2、v分析（图c）
revvvB （1） sineBvv
OCvOCvB
OA
sin
e （2）
cosrBvv
3、a分析（图d）
CrteneaaaaaB（3） （3）向aC向投影，得
CtesinaaaB
其中OCvvaBOA2sin22rC CtesinaaaB
OCaOAt
e
（b）： 1、运动分析：动点：A（OA上）；动系：B；绝对运动：圆周运动；相对运动：直线；牵连运动：平移。 2、v分析（图e）
reavvv
OO
习题5—5图
ve
va
vr
习题5—6图 tea (f) Ae
a
O5
τaa
r
a
naa
(a) mr2o30
A
C
re
o15
O
a (b)
τra
τea
o15
nea
naa
A
nra
C
O
τaa
Ca
sin
a
Bvv
sinarvOA
vB
OA
3、a分析（图f） retanaaaaa 上式向ae向投影，得 etanasincosaaa
222anasinr
v
rv
aB
sin/)cos(nataaaaB
raOAaOAtat
a
5－7 图示圆环绕O点以角速度= 4 rad/s、角加速度α= 2 rad/s2转动。圆环上的套管A在图示瞬时相对圆环有速度5m/s，速度数值的增长率8m/s2。试求套管A的绝对速度和加速度。 解：1、运动分析：动点：A，动系：圆环，牵连运动：定轴转动，相对运动：圆周运动，绝对运动：平面曲线。 2、速度：（图a） 15cos2215cos2rOA 15cos16415cos4eOAv
5rvm/s
3.2015cos2re2r2eavvvvvm/s 3、加速度：（图b）
Ctrnrtenenataaaaaaaa 15sin15cos15costrCnrnenaaaaaa （1）
15sin15sin15cosnrCtrtetaaaaaa （2）
15cos884054222515cos64415cos4tetrrC22rnr22neOAaavarva
OAa
代入（1） 46.11015sin815cos5.116naam/s2 代入（2） 04.2915sin5.5215cos16taam/s2
114)()(2ta2naaaaam/s2
5－8 图示偏心凸轮的偏心距OC = e，轮半径r =e3。凸轮以匀角速0绕O轴转动。设某瞬时OC与CA成直角。试求此瞬时从动杆AB的速度和加速度。 解：1．动点：A（AB上），动系：轮O，绝对运动：直线，相对运动：圆周，牵连运动：定轴转动。
习题5—7图 习题5—8图
taa
ta
te
tra