水力学 第二章

p = h
何一种容重为
可写成 h =
p

对于任一点的静水压强

p 可以用上式化为对任
的液柱高度。
如：水柱、汞柱等
第二章 水静力学
三、静水压强的图示
1、方法 由 pabs = p0 h 压强与水深成线性关系。 因而，在任一平面的作用面上，其压强分布为一

直线。只要算出作用面最上和最下两个点的压强后 ，即可定出整个压强的分布线。 2、原则 ⑴、每一点处的压强垂直于该点处的作用面。 ⑵、静水压强的大小随着距自由面的深度而增加 另外：对实际工程有用的是相对压强的图示。如欲 绘制绝对压强分布图，则将常量
Z
A(x,y,z) M dz N dy dx O X Y
第二章 水静力学 Z
A点的压强为一函数p（x,y,z)
M
A(x,y,z) N
M点的压强？
坐标 M ( x 1 dx , y, z ) 2
dz dy
O Y
dx
泰勒级数展开式为：
X
p 1 1 pM = p x dx, y, z = px, y, z dx x 2 2 1 p 1 1 p 1 dx dx 2 n 2 x 2 n! x 2
相对压强
相对压强的负值 （真空） 绝对压强
Pa
Pabs>Pa
Pabs<Pa
0
第二章 水静力学 2、压强的单位 ⑴、应力表示。如：牛顿/米2 （N/m2)； 千牛顿/米2 (KN/m2);等。 ⑵、工程大气压表示。 如： 一个工程大气压=98 KN/m2=9.8 N/cm2 =9.8×104Pa ⑶、用液柱高度表示。
质量力决定的。
第二章 水静力学
由于密度 可视为常数，式子 Xdx Ydy Zdz ) （
也是函数U（x,y,z)的全微分即：
dU = Xdx Ydy Zdz
则函数U（x,y,z)的全微分为：
dU = U U U dx dy dz x y z
由此得：
X=
U U U ,Y = ,Z = x y z
§2-3重力作用下静水压强的 分布规律 Z P
0
重力在坐标轴上的投影分别为： X=0、Y=0、Z= -g 代入液体平衡方程
0 X Y
dp = Xdx Ydy Zdz
得
dp = gdz = dz
积分得：
p = z c
或
z
p

=c
第二章 水静力学
p = z c z
则：位于测压管中的水位高 度将低于容器内液面高度。 P0
Pa
即 hA<h 那么，真空高度为：
hB h A hA
pA = p0 h = pa hA
pa p0 = h hA = hB
hB = h hA
ZA
hB =
pa p0

第二章 水静力学 在水力学上，把任一点的相对压强高度（即测压管高 度）与该点基准面以上的位置之和称为测压管水头。
DP p= 平均压强 DA
单位：N/m2 （Pa）
DP p = lim DA 0 DA
二、静水压强的特性
点压强
第一特性：静水压强垂直于作用面，并指 向作用面。
第二章 水静力学
证明：取一处于静止或相对平衡的某一液体
Ⅰ A τ N P
P
N
B
Ⅱ Pn
静水压强的方向与作用面的内法线方向重合， 静水压强是一种 压应力
，且沿半径方向指向圆弧
的圆心。
注：
以上讨论的是P>0的例子 对于P<0的情况，可同样绘制。 只是要把静水压强的箭头倒转过来即可，并且 负的静水压强上大下小，也可以把相对压强改 成绝对压强再按上述方法绘制
第二章 水静力学
Pa
四、测压管高度，测压 管水头及真空度
一个密闭容器，P0>Pa
则：在水力学中，hA高度
dz dy
dx
X
1 (p 2 1 (p 2
p dx)dydz x p dx) dydz x
第二章 水静力学
Z
另外作用在微小六面体上的质 量力在X轴向的分量为：
A(x,y,z) N
M
dz dy
X dxdydz
O Y
dx
X
根据平衡条件上述各力在X轴上的投影应为 零，即：
1 p 1 p dx)dydz X dxdydz = 0 (p dx)dydz ( p 2 x 2 x
上图中A点的测压管水头为：
zA
pA

水力学基本方程式可写成：
z
p

=c
可见，在静止液体中，各点的测压管水头不变。
第二章 水静力学
§2-5重力和惯性力联合作用下 液体的相对平衡
p

=c
0
Z
P
0
即为重力作用下的水静力学基本方程式 Y 上式表明： p 在静止液体中，任何一点的（ z ）总
X
是一个常数，对液体内任意两点，上式可写成：

z1
代入得： c
p1

= z2
p2
在液体自由表面上， z
= p0
= 0, p = p0

因此：公式
p = z c
可写成：
p = p0 z
p0 附加上即可。
第二章 水静力学
pa
D A
例1
ABC 即为相对压强 分布图 ABED 即为绝对压 强分布图 h
E
C
B
pa
h
A
例2
叠加后余下的红色 梯形区域即为静水 压强分布图 h1
h2
B
h1 h2
第二章 水静力学
例3
为一折面的静 水压强分布图
为两种 1
的液体
p1 = h1 p1 = h1
的压强为相对压强。用P表示。也叫计算压强 或称表压，用公式表示：
p = pabs pa = p0 h pa 如果自由表面压强 p0 与当地大气压强 pa 相等
则
p = h
也称静水超压强或重量压强
第二章 水静力学 绝对压强永远为正值，最小值为零。 相对压强可正可负，当Pabs<Pa时，相对压强P<0,工 程上把负的相对压强叫做“真空” 几种压强的关系可表示为： P Pa Pa 0 Pabs Pabs
h1
h2
p2 = h2
例4
和
A
2
作用于平面AC
1
h2
h1
先做 DB = p1 = 1h1 再做
D
B
C
EC = 1h1 2 h2 h1
2
E
则ADEC即为所求压强分 布图
2 h2 h1 1h1
第二章 水静力学
例5
右图为一弧形闸门 各点的压强只能逐点计算 h
第二章 水静力学
按照平衡条件，所有作用于微 小四面体上 的外力在各坐标轴 上投影的代数和应分别为零
Z
D Px A
Pn Py C
Px Pn cos(n, x) F x = 0 P P cos(n, y) F P P cos(n, z) F
y n z n y z
O B Y
Pz X
与从该点到液体自由表面的单位面积上的液柱重量之和。 应用上式，便可以求出静止液体中任一点的静水压强
第二章 水静力学
二、压强的表示方法和单位
1、压强的表示方法： ⑴绝对压强：数值是以“完全真空”为零（基 准）算起的。用Pabs表示。 也称为静水全压强 ⑵相对压强：在实际工作中，一般建筑物表面
均作用着大气压强，这种以当地大气压强为零算起
即为测压管高度。 这种测量压强的管子叫测压管。 在容器内有 p A = p0 h
P0
hA
h
A
ZA
pA = pa hA 因此 p0 h = pa hA p A pa p hA = =
在右管中有
所以：测压管高度hA表示A点的的相对压强（计算压强）
第二章 水静力学 若 P0<Pa
2 2 n n
运用泰勒级数将p(x,y,z)展开，并忽略二阶以上 微量
第二章 水静力学
则：M点压强为：
Z
A(x,y,z) N M
p
M
O N点压强为： Y dx p 1 p pN = P 2 x = p + 2 x dx 六面体左右两面的表面力为：
dx p 1 p = P ( )= p dx 2 x 2 x
dp = ( Xdx Ydy Zdz) = 0 Xdx Ydy Zdz = 0
式中dx、dy、dz可设想为液体质点在等压面上的任 意微小位移 ds在相应坐标轴上的投影。 质量力作的微功为零，而质量力和ds都不为零， 所以等压面与质量力必然正交。
第二章 水静力学
一、水静力学基本方程
Z
D Px A
Pn Py C
O B Y
Pz X
第二章 水静力学
四面体的体积D V为
D V= 6 Dx Dy Dz 1
Z
D
Px A
Pn Py
C O B
Y Pz X
总质量力在三个坐标方向的投影为 1 Fx = 6 Dx Dy Dz X 1 Fy = 6 Dx Dy Dz Y 1 = Dx Dy Dz Z Fz 6
整理得：
同理，在x,y方向上可得：
1 p = X 0 x
第二章 水静力学
1 p = 0 X x 1 p = 0 Y y 1 p = 0 Z z