2020届贵州省贵阳市高三8月月考数学(理)试题(解析版)

2020届贵州省贵阳市高三8月月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知函数()lg(1)f x x =-的定义域为M ，函数1

()g x x

=

的定义域为N ，则M N =（ ）

A ．{}

1x x ≤ B ．{1x x ≤且0}x ≠ C ．{1}x x > D ．{1x x <且0}x ≠

【答案】D

【解析】根据对数型和分式型函数定义域的要求求出集合M 和集合N ，根据交集定义求得结果. 【详解】

由题意得：{}{}

101M x x x x =->=<；{}

0N x x =≠

{1M N x x ∴?=<且}0x ≠

本题正确选项：D 【点睛】

本题考查集合运算中的交集运算，涉及到函数定义域的求解，关键是能够明确对数型和分式型函数定义域的要求，属于基础题. 2．若复数2(1i

z i i

=-是虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．1i + B ．1i -

C ．1i -+

D ．1i --

【答案】D

【解析】根据复数除法运算法则可化简复数得1i z =-+，由共轭复数定义可得结果. 【详解】

()()()

2121111i i i

z i i i i +===-+--+ 1z i ∴=--

本题正确选项：D 【点睛】

本题考查共轭复数的求解，关键是能够利用复数的除法运算法则化简复数，属于基础题.

3．二项式6

1

)x

的展开式中的常数项为（ ）

【答案】C

【解析】根据二项式定理写出二项展开式通项，令x 幂指数为零，可求得2r =，代入展开式通项可求得常数项. 【详解】

二项式6

1x ???

展开式通项为：()636216611r

r

r

r r

r

r T C C x x --+??=?

?-=- ???

令

6302

r -=得：2r = ∴常数项为：()22

6115C -= 本题正确选项：C 【点睛】

本题考查利用二项式定理求解指定项的系数的问题，关键是能够熟练掌握二项展开式的通项公式.

4．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽利用不断倍增圆内接正多边形边数的方法求出圆周率的近似值，首创“割圆术”.利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的程序框

图，则输出的n 值为（ ）（参考数据：7.50.1305,150.2

s i n

s i n ≈≈）

A ．6

B ．12

C ．24

D ．48

【答案】C

【解析】根据程序框图运行程序，直到满足 3.10s ≥时输出结果即可. 【详解】

按照程序框图运行程序，输入6n = 则33

3sin 60s ==

，不满足 3.10s ≥，循环；

24n =，12sin15 3.1056s =≈，满足 3.10s ≥，输出结果：24n =

本题正确选项：C 【点睛】

本题考查根据程序框图循环结构计算输出结果，关键是能够准确判断是否满足输出条件，属于基础题.

5．已知实数,x y 满足约束条件241y x y x y ≤??

+≥??-≤?

，则3z x y =+的最小值为（ ）

A ．11

B ．9

C ．8

D ．3

【答案】C

【解析】根据约束条件画出可行域，将问题转化为求解3y x z =-+在y 轴截距的最小值；通过平移直线3y x =-可知当直线过A 时，截距取最小值；求出A 点坐标后代入即可得到所求结果. 【详解】

由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：

当3z x y =+取最小值时，3y x z =-+在y 轴截距最小

由3y x =-平移可知，当3y x z =-+过图中A 点时，在y 轴截距最小

由2

4y x y =??+=?

得：()2,2A m i n 3228z ∴=?+=

本题正确选项：C 【点睛】

本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将问题转化为求解直线在y 轴截距的最值，属于常考题型.

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】当4

3

m =

时，可得直线方程，通过点到直线距离公式可求出圆心到直线距离等于半径，可知直线与圆相切，充分条件成立；当直线与圆相切时，利用圆心到直线距离等于半径构造方程可求得0m =或4

3

，必要条件不成立，从而得到结果. 【详解】

由圆的方程知，圆心坐标为()0,0，半径2r = 当4

3m =

时，直线为：410

03

3

x y -+

=，即34100x y -+= ∴

圆心到直线距离2d r =

==

∴当43

m =时，直线与圆相切，则充分条件成立

当直线与圆相切时，圆心到直线距离2d ==，解得：0m =或4

3

则必要条件不成立 综上，“4

3

m =

”是“直线420x my m -+-=与圆224x y +=相切”的充分不必要条件 本题正确选项：A 【点睛】

本题考查充分条件与必要条件的判定，关键是能够掌握直线与圆位置关系的判定方法，明确当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径.

7．某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7：50～8：30，课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为（ ） A ．

1

5

B ．

14

C ．

13

D ．

12

【答案】B

【解析】确定第二节课的上课时间和时长，从而得到听课时间不少于20分钟所需的达到教室的时间，根据几何概型概率公式求得结果. 【详解】

若听第二节课的时间不少于20分钟，则需在8:509:00之间到达教室，时长10分钟

∴听第二节课的时间不少于20分钟的概率为：101404

p =

= 本题正确选项：B 【点睛】

本题考查几何概型概率问题的求解，属于基础题. 8．在ABC ?中，5sin 13A =，3

cos 5

B =，则cos

C =（ ） A ．

5665

B ．33

65- C ．5665

或1665-

D ．16

65

-

【答案】D

【解析】根据B 的范围和同角三角函数关系求得sin B ，由大边对大角关系可知A 为锐角，从而得到cos A ；利用诱导公式和两角和差余弦公式可求得结果. 【详解】

()0,B π∈，3

cos 5B =

4s i n 5

B ∴= sin sin A B < A ∴为锐角，又5

sin 13A = 12cos 13

A ∴= A

B

C π++=

()1235416

cos cos cos cos sin sin 13513565

C A B A B A B ∴=-+=-+=-

?+?=- 本题正确选项：D 【点睛】

本题考查三角形中三角函数值的求解，涉及到同角三角函数关系、三角形中大边对大角的关系、诱导公式和两角和差余弦公式的应用；易错点是忽略角所处的范围，造成求解三角函数值时符号发生错误.

9．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）

A ．

2

3

B ．

43

C ．

13

D ．

16

果. 【详解】

由三视图可得几何体如下图所示的三棱锥：

可知AB BC ⊥，22AB BC ==，三棱锥的高2h =

1112

3323

P ABC ABC V S h AB BC h -?∴=?=???=

本题正确选项：A 【点睛】

本题考查三棱锥体积的求解，关键是能够根据三视图准确还原几何体，属于常考题型. 10．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a ++

+=（ ）

A ．12

B ．10

C ．8

D ．32log 5+

【答案】B

【解析】由等比数列的性质可得：564756218a a a a a a +==，所以569a a =.

1102938479a a a a a a a a ====?=.

则5313231031103log log log log ()5log 910a a a a a +++===，

故选：B.

11．定义

1

n

i

i n

u =∑为n 个正数123,,,n u u u u ???

的“快乐数”.若已知正项数列{}n a 的前n 项的“快乐数”为1

31n +，则数列136(2)(2)n n a a +????++??

的前2019项和为（ ）

A ．

20182019

B ．

2019

2020

C ．

2019

2018

D ．

2019

1010

【解析】根据“快乐数”定义可得数列{}n a 的前n 项和2

3n S n n =+；利用n a 与n S 关系

可求得数列{}n a 的通项公式，从而得到

()()()1361

221n n a a n n +=+++，采用裂项相消

法可求得结果. 【详解】

设n S 为数列{}n a 的前n 项和 由“快乐数”定义可知：

131

n n S n =+，即2

3n S n n =+ 当1n =时，114a S ==

当2n ≥且n *∈N 时，162n n n a S S n -=-=-

经验证可知14a =满足62n a n =- ()

62n a n n N *

∴=-∈

()()()()13636111

2266611

n n a a n n n n n n +∴

===-++?+++

∴数列()()13622n n a a +??????++????

的前2019项和为：

111112019

1223201920202020

-+-+???+-=

本题正确选项：B 【点睛】

本题考查根据n S 求解数列的通项公式、裂项相消法求解数列的前n 项和；关键是能够准确理解“快乐数”的定义，得到n S ；从而利用n a 与n S 的关系求解出数列的通项公式. 12．已知点1F 是抛物线2:2C x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，设其中一个切点为A ，若点A 恰好在以12,F F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A

1 B

．1

C

1

D

【答案】C

【解析】由抛物线方程得到12,F F 坐标；设切点2001,

2A x x p ??

?，利用导数和两点连线

斜率公式构造方程可解出0x ，利用抛物线焦半径公式求得1AF ，勾股定理求出2AF ；

由双曲线定义可知)

2112AF AF p a -==，又焦距122F F c p ==，可求得离

心率. 【详解】

由题意得：10,2p F ?? ???，20,2p F ?

?- ??

?

由22x py =得：212y x p =

，则1y x p

'= 设2001,2A x x p ??

???，则切线斜率200011220

p

x p k x p x +==-，解得：0x p =± 由抛物线对称性可知，0x p =±所得结果一致 当0x p =时，,

2p A p ?

? ???

由抛物线定义可知：122

p p

AF p =

+=

2AF ∴== A 在双曲线上

)

2112AF AF p a ∴-=

=

又122F F c p == ∴双曲线离心率：

212c e a

===

本题正确选项：C 【点睛】

本题考查双曲线离心率的求解，涉及到抛物线焦半径公式的应用、过某一点曲线切线的求解、双曲线定义的应用等知识；关键是能够利用导数和两点连线斜率公式求解出切点坐标，从而得到所需的焦半径的长度.

二、填空题

13．已知a ，b 均为单位向量，若23a b -=，则a 与b 的夹角为__________． 【答案】

3

π 【解析】由23a b -=，根据向量的运算化简得到1

2

a b ?=，再由向量的夹角公式，

由题意知，a ，b 均为单位向量，且23a b -=， 则2

22

22(2)441443a b

a b a a b b a b -=-=-?+=-?+=，解得1

2

a b ?=

， 所以1cos ,2a b a b a b

?=

=

?，因为,[0,]a b π∈，所以,3

a b π=， 所以则a 与b 的夹角为3

π． 【点睛】

本题主要考查了向量的运算，以及向量的夹角公式的应用，其中解答中根据向量的基本运算，求得1

2

a b ?=

，再利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 14．若2

()21

x

f x a =-+是奇函数，则a =_______. 【答案】1

【解析】根据奇函数在0x =处有意义时()00f =可构造方程，解方程求得结果. 【详解】

()f x 为奇函数且在0x =处有意义 ()010f a ∴=-=，解得：1a =

本题正确结果：1 【点睛】

本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，常采用特殊值的方式来进行求解，

属于基础题. 15．数式

1

1111++

+???

中省略号“…”代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式x ，则x ，则

210t t --=，取正值得1

2

t =

.

用类似方法可得

=________.

【答案】4

【解析】根据类比的方式，设原式t =，构造方程2t =，解出t 的值即可. 【详解】

令原式t =，则2t +=，解得：4t = 4

??=

本题考查类比推理的应用，关键是能够准确理解已知中的式子的形式，属于基础题. 16．在四面体ABCD

中，若AB CD ==

AC BD ==3AD BC ==，则

四面体ABCD 的外接球的表面积为_______. 【答案】10π

【解析】根据四面体对棱长度相等可知其为长方体切割所得，各棱为长方体各个面的对角线，可知四面体外接球即为长方体外接球；根据长方体外接球半径为体对角线长度一半，求得体对角线长度即可得到外接球半径，代入球的表面积公式即可求得结果. 【详解】

由题意可知，四面体ABCD 是由下方图形中的长方体切割得到，,,,A B C D 为长方体的四个顶点，则四面体ABCD 的外接球即为长方体的外接球

设长方体长、宽、高分别为,,a b c

则2222

22659a c b c a b ?+=?+=??+=?

22210a b c ∴++=

长方体外接球半径为体对角线长度一半，即R =

∴四面体ABCD 外接球表面积：2410S R ππ==

本题正确结果：10π 【点睛】

本题考查多面体外接球表面积的求解问题，关键是能够根据四面体对棱相等的特征，将其变为长方体的一个部分，从而将问题转化为长方体外接球表面积的求解问题.

三、解答题

17．ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos cos cos b B a C c A =+.

（2）若2b =，求ABC ?面积的最大值.

【答案】（1）

3

π

；（2【解析】（1）利用正弦定理将边化角，结合诱导公式可化简边角关系式，求得1

cos 2

B =

，根据()0,B π∈可求得结果；（2）利用余弦定理可得224a c ac +-=，利用基本不等式可求得()max 4ac =，代入三角形面积公式可求得结果. 【详解】

（1）由正弦定理得：()2sin cos sin cos sin cos sin B B A C C A A C =+=+

A B C π++= ()s i n s i n A C B ∴+=，又()0,B π∈ s i n 0

B ∴≠ 2cos 1B ∴=，即1

cos 2

B =

由()0,B π∈得：3

B π

=

（2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：224a c ac +-=

又222a c ac +≥（当且仅当a c =时取等号） 2242a c ac ac ac ac ∴=+-≥-= 即()max 4ac =

∴三角形面积S 的最大值为：1

4sin 2

B ?=【点睛】

本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理解三角形、三角形面积公式应用、基本不等式求积的最大值、诱导公式的应用等知识，属于常考题型.

18．2013年以来精准扶贫政策的落实，使我国扶贫工作有了新进展，贫困发生率由2012年底的10.2%下降到2018年底的1.4%，

创造了人类减贫史上的的中国奇迹.“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例，2012年至2018年我国贫困发生率的数据如下表：

（1）从表中所给的7个贫困发生率数据中任选两个，求两个都低于5%的概率； （2）设年份代码2015x t =-，利用线性回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率y 与年份代码x 的相关情况，并预测2019年贫困发生率.

附：回归直线???y

bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ()()()

1

1

2

2

2

1

1

,???n n

i

i

i i

i i n

n

i i

i i x x y y x y nx y b

a

y bx x x x

nx ==-==---=

=---∑∑∑∑(?b 的值保留到小数点后三位） 【答案】（1）

1

7

；（2）回归直线为：? 1.425 5.8y

x =-+；2012年至2018年贫困发生率逐年下降，平均每年下降1.425%；2019年的贫困发生率预计为0.1%

【解析】（1）分别计算出总体事件个数和符合题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式求得结果；（2）根据表中数据计算出最小二乘法所需数据，根据最小二乘法求得回归直线；根据回归直线斜率可得贫困发生率与年份的关系；代入4x =求得2019年的预估值. 【详解】

（1）由数据表可知，贫困发生率低于5%的年份有3个

从7个贫困发生率中任选两个共有：2

721C =种情况

选中的两个贫困发生率低于5%的情况共有：2

33C =种情况

∴所求概率为：31217

p =

= （2）由题意得：3210123

07

x ---++++=

=； 10.28.57.2 5.7 4.5 3.1 1.4 5.85

y ++++++==；

7

1310.228.57.20 4.52 3.13 1.439.9i i

i x y

==-?-?-+++?+?=-∑；

7

21

941014928i

i x

==++++++=∑

39.9

? 1.42528

b

-∴==-，? 5.8a = ∴线性回归直线为：? 1.425 5.8y

x =-+ 1.4250-< 2012∴年至2018年贫困发生率逐年下降，平均每年下降1.425%

2019∴年的贫困发生率预计为0.1%

【点睛】

本题考查古典概型概率问题的求解、最小二乘法求解回归直线、利用回归直线求解预估值的问题，对于学生的计算和求解能力有一定要求，属于常考题型.

19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，,60PA PD DAB =∠=.

（1）证明：AD PB ⊥；

（2）若2PB AB PA =

==，求直线PB 与平面PDC 所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】（1）取AD 中点E ，连接PE ，BE ，易知ABD ?为等边三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可证得AD BE ⊥，AD PE ⊥；由线面垂直判定定理可知AD ⊥平面PBE ；根据线面垂直的性质可证得结论；（2）以E 为原点建立空间直角坐标系，首先求得平面PDC 的法向量，根据直线与平面所成角的向量求法求得结果. 【详解】

（1）证明：取AD 中点E ，连接PE ，BE ，BD

四边形ABCD 为菱形 AD AB ∴=

又60DAB ∠= ABD ∴?为等边三角形，又E 为AD 中点 A D B E

∴⊥ PA AD =，E 为AD 中点 AD PE ∴⊥

,BE PE ?平面PBE ，BE PE E ?= AD ∴⊥平面PBE

又PB ?平面PBE A D P B

∴⊥ （2）以E 为原点，可建立如下图所示空间直角坐标系：

由题意知：2AD AB ==，1AE =

，PE ==

，

BE ==

则(P

，()

B

，()1,0,0D -

，()C -

(PB ∴=

，(

DP =

，()DC =-

设平面PDC 的法向量(),,n x y z =

3030

DP n x z DC

n x ??=+=?∴??=-+=??，令x =1y =，1z =- (

)

3,1,1n ∴=-

设直线PB 与平面PDC 所成角为

θ

23sin 6PB n PB n

θ?∴=

=

=?

即直线PB 与平面PDC 所成角的正弦值为：【点睛】

本题考查立体几何中的线线垂直关系的证明、直线与平面所成角的求解，涉及到线面垂直判定与性质定理的应用、空间向量法求解立体几何中的线面夹角问题等知识；

证明线线垂直关系的常用方法是通过线面垂直关系，根据线面垂直性质证得结论.

20．己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2

，12,F F

分别是椭圈C 的左、

右焦点，椭圆C 的焦点1F 到双曲线2

212x y -=. (1)求椭圆C 的方程；

(2)直线():0l y kx m k =+<与椭圆C 交于,A B 两点，以线段AB 为直径的圆经过点

【答案】(1)2

212x y +=；(2)112

y x =-+.

【解析】（1）利用焦点1F

到双曲线渐近线距离为

3

可求得c ；根据离心率可求得a ；由222b a c =-求得2b 后即可得到所求方程；（2）由原点到直线l 距离可得

()22

415

m k =

+；将直线方程与椭圆方程联立，整理得到韦达定理的形式；根据圆的性质可知220AF BF ?=，由向量坐标运算可整理得23410m km +-=，从而构造出方程组，结合k 0<求得结果. 【详解】

（1）由题意知，()1,0F c -，()2,0F c

双曲线方程知，其渐近线方程为：2

y x =±

∴焦点1F

到双曲线渐近线距离：3d =

=，解得：1c =

由椭圆离心率c e a =

=

得：a = 2221b a c ∴=-=

∴椭圆C 的方程为：2

212

x y +=

（2）原点O

5

=

，整理得：()2

2415m k =+

设()11,A x y ，()22,B x y

由2

212x y y kx m ?+=???=+?

得：()222124220k x kmx m +++-= 则(

)()2

2

2

2

16412220k m k

m

?=-+->，即：22210k m -+>

122

412km x x k ∴+=-+，212222

12m x x k -=

+ 以AB 为直径的圆过点2F 220AF BF ∴?=

又()21,0F ()2111,AF x y ∴=--，()2221,BF x y =--

()()()()()221212*********AF BF x x y y x x x x kx m kx m ∴?=--+=-+++++

()()()()()()2

22

2

2

12122

2

221411111

1212m k km km k x x km x x m

m k k -+-=++-+++=

-++++

22

341

012m km k

+-=+ 即：23410m km +-=

由()

2224153410

m k m km ?=+???+-=?且k 0<得：121k m ?

=-???=?，满足22210k m ?=-+>

∴直线l 方程为：1

12

y x =-

+ 【点睛】

本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、点到直线距离公式的应用、垂直关系的向量表示等知识；解决此类问题的常用方法是将直线与圆锥曲线方程联立，整理得到一元二次方程，进而利用韦达定理表示出已知中的等量关系，得到所需的方程.

21．已知(),()1(x f x e g x x e ==+为自然对数的底数). (1)求证()()f x g x ≥恒成立；

(2)设m 是正整数，对任意正整数n ，21

11(1)(1)(1)333

n m ++???+<，求m 的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 2.

【解析】（1）令()()()F x f x g x =-，通过导数可得()F x 单调性，从而得到

()()min

00F x F ==，进而证得结论；（2）根据（1）的结论可得1

3113

n

n e +≤，通过放

缩可得211

1

33

32111111333n n e ++???+??????++???+≤ ??? ???????；利用等比数列求和公式可证得21111

3332

n ++???+<，可知若不等式恒成立，只需12m e ≥，从而得到结果. 【详解】

（1）令()()()1x

F x f x g x e x =-=--，则()1x

F x e '=-

∴当(),0x ∈-∞时，()0F x '<；当()0,x ∈+∞时，()0F x '>

()()0min 0010F x F e ∴==--=，即()()()0F x f x g x =-≥恒成立 ()()f x g x ∴≥恒成立

（2）由（1）知：1

3113

n

n e +≤

221

1

11

1

13333332111111333n n n e e e e

++???+??????∴++???+≤????= ??? ???????

又21111111

1

133********

13

n

n n

???- ?????++???+=

=?-<

???- 11112322111111333n n e e ?

?

?- ???

??????∴++???+≤< ??? ???????

又2111

111333n m ??????

+

+???+< ???

???????

恒成立 12m e ∴≥ m 为正整数 m ∴的最小值为：2

【点睛】

本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到不等关系的证明、恒成立问题的求解等知识；解决问题的关键是能够对不等号左侧的式子根据所证函数不等关系的结论进行合理的放缩，结合等比数列求和公式求得结果.

22．已知直线l

的参数方程为12(12x t y t ?=????=??

为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；

（2）设点1

(,0)2

P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB +的值. 【答案】（1）直线l

普通方程：210x --=，曲线C 直角坐标方程：

()

2

211x y -+=；

（2

【解析】（1）消去直线l 参数方程中的参数t 即可得到其普通方程；将曲线C 极坐标方

直线l 参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，根据参数t 的几何意义可知

12PA PB t t +=-，利用韦达定理求得结果.

【详解】

（1）由直线l 参数方程消去t 可得普通方程为：210x --=

曲线C 极坐标方程可化为：2

2cos ρρθ=

则曲线C 的直角坐标方程为：2

2

2x y x +=，即()2

211x y -+=

（2）将直线l 参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理可得：2304

t -=

设,A B 两点对应的参数分别为：12,t t ，则12t t +=

，1234t t =-

122

PA PB t t ∴+=-=

=

=

【点睛】

本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义的应用；求解距离之和的关键是能够明确直线参数方程中参数t 的几何意义，利用韦达定理来进行求解.

23．设函数()15,f x x x x R =++-∈. （1）求不等式()10f x ≤的解集；

（2）如果关于x 的不等式2

()(7)f x a x ≥--在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.

【答案】（1）{}|37x x -≤≤；（2）(],9-∞.

【解析】（1）分别在1x ≤-、15x -<<、5x ≥三种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果；（2）将不等式变为()()2

7a f x x ≤+-，令

()()()2

7g x f x x =+-，可得到分段函数()g x 的解析式，分别在每一段上求解出

()g x 的最小值，从而得到()g x 在R 上的最小值，进而利用()min a g x ≤得到结果.

【详解】

（1）当1x ≤-时，()154210f x x x x =--+-=-≤，解得：31x -≤≤- 当15x -<<时，()15610f x x x =++-=≤，恒成立

当5x ≥时，()152410f x x x x =++-=-≤，解得：57x ≤≤ 综上所述，不等式()10f x ≤的解集为：{}

37x x -≤≤ （2）由()()2

7f x a x ≥--得：()()2

7a f x x ≤+-

由（1）知：()42,16,1524,5x x f x x x x -≤-??

=-<

令()()()

22

221653,171455,151245,5x x x g x f x x x x x x x x ?-+≤-?

=+-=-+-<

当1x ≤-时，()()min 170g x g =-= 当15x -<<时，()()510g x g >= 当5x ≥时，()()min 69g x g == 综上所述，当x ∈R 时，()min 9g x =

()a g x ≤恒成立 ()m i n

a g x ∴≤ (],9a ∴∈-∞ 【点睛】

本题考查分类讨论求解绝对值不等式、含绝对值不等式的恒成立问题的求解；求解本题恒成立问题的关键是能够通过分离变量构造出新的函数，将问题转化为变量与函数最值之间的比较，进而通过分类讨论得到函数的解析式，分段求解出函数的最值.