第1讲 模型全等-手拉手与夹半角—提高班

八年级数学
成长手册
【导入】C 为线段AE 上一动点（点C 不与点A 、E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC
和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ 证明以下八个结论： ①AD =BE ②PQ //AE ③AP =BQ ④60∠=︒AOB ⑤PCQ △为等边三角形 ⑥OC 平分AOE ∠ ⑦OA OB OC =+ ⑧OE OC OD =+
O
Q
P
E
D C
B
A
全等模型—手拉手与夹半角
模块一 “手拉手”模型
【例1】平面上三个正三角形ACF ，ABD ，BCE 两两共只有一个顶点，求证：EC=DF ，ED=CF ．
F
E
D B
C
A
【巩固】已知：如图，ABC ∆、CDE ∆、EHK ∆都是等边三角形，且A 、D 、K 共线，AD DK =．求证：HBD ∆也是等边三角形．
E
K
H
C
D
B
A
【例2】如图，在△ABC 外面作正方形ABEF 与ACGH ，AD 为△ABC 的高，其反向延长线交FH 于M ，
求证：(1)BH CF =； (2)MF MH =
M E
F
H
G
D C
B
A
【巩固】（1）如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?
（2）如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？
【例3】已知，在ABC ∆中，ACB ∠为锐角，D 是射线BC 上一动点(D 与C 不重合)，以AD 为一边向右侧作等边ADE ∆(C 与E 不重合)，连接CE ．
（1）若ABC ∆为等边三角形，当点D 在线段BC 上时(如图1所示)，则直线BD 与直线CE 所夹锐角为__________度；
（2）若ABC ∆为等边三角形，当点D 在线段BC 的延长线上时(如图2所示)，你在⑴中得到的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）若ABC ∆不是等边三角形，且BC AC >(如图3所示)．试探究当点D 在线段BC 上时， ACB ∠满足什么条件时，能使（1）中的结论成立，并说明理由．
图1
F
E
D C
B
A
图2
B
C
D
F
A
E
图3
B
C
F
A
，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜【巩固】在Rt△ABC中，AB BC
边AC上，将三角板绕点O旋转．
（1）当点O为AC中点时，
①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想
线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；
②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，
判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
【导入】（1）已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交线段CB DC 、于点M N 、.求证BM DN MN +=.
N
M
D C
B
A
（2）已知：正方形ABCD 中，，M N 、分别是线段BC 、CD 边上一点，且BM DN MN +=.求证45MAN ∠=︒.
N
M
D C
B
A
【例1】如图，在四边形ABCD 中，180∠+∠=︒B ADC ，AB AD =，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且1
2
EAF BAD =∠∠，求证：EF BE FD =-
模块二 “夹半角”模型
【巩固】 等边ABC ∆的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M N D ，
，为ABC ∆外一点，且60MDN ∠=︒，120BDC ∠=︒，BD CD =，探究：当点M N ，
分别在直线AB AC ，上移动时，BM BN MN ，
，之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系． （1）如图①，当点M N ，
在边AB AC ，上，且DM DN =时，BM NC MN ，，之间的数量关系式_________；此时
Q
L
=__________ （2）如图②，当点M N ，
在边AB AC ，上，且DM DN ≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
图①
M N
D C
B
A
图②
M
N
D C
B
A
【2016-2017青山区月考】如图1，Rt ABC ∆≌Rt EDF ∆，ACB F ∠=∠=90°，30A E ∠=∠=． EDF ∆绕着边AB 的中点D 旋转，DE ，DF 分别交线段AC 于点M ，K ．
（1）观察：①如图2、图3，当0CDF ∠=或60时，AM CK + ______MK （填“＞”，“＜”或“＝”）．
②如图4，当∠CDF ＝30时，AM CK + ______MK （只填“＞”或“＜”）．
（2）猜想：如图1，当0＜∠CDF ＜60时，AM CK + ______MK ，证明你所得到的结论．
K
M
F D
C
B
A
E
(F,K)
M
E
D
B
A
C
图1 图2
(M)
K
E
F
D
B A C
M K E
F D
B A
C
图3 图4
【题1】如图，正方形EFGH 的顶点E 在正方形ABCD 的中心，且两个正方形的边长都为4，则阴影部分面积为 ( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
H G
F E D C
B
A
【题2】如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE ∆的面积．
E
O D
C
B
A
【题3】如图，已知等边△ABC ，P 在AC 延长线上一点，以P A 为边作等边△APE ，EC 延长线交BP 于M ，连结AM ，求证：BP = CE ；
【题4】已知：如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D 为AB 边上一点，求∠EAC 的度数．
A
B
C
P
M
E
【题5】如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，△ABC 的三点坐标分别为A （0，5），B （-5，0），C （2，0），BD ⊥AC 于D 且交y 轴于E ，连接CE ． （1）求△ABC 的面积； （2）求
AE
OE
的值及△ACE 的面积．
【题5】E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：
AH AB =．
C
H
F E
D B
A
【题6】条件：正方形ABCD ，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，45MAN ∠=︒．
结论：MN DN BM =-
A
B
M
C H
N
D
【题7】如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（2，2），点A为y轴正半轴上一动点，过B点作BC ⊥AB交x轴的正半轴于点C。

（1）求证：BA=BC；
（2）当点A运动时，OA+OC的值是否发生变化，若不变，求其值；若发生变化，求变化范围
【题8】在△ABC中，∠ACB为锐角，动点D（异于点B）在射线BC上，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．
（1）若AB=AC，∠BAC=90°那么
①如图一，当点D在线段BC上时，线段CF与BD之间的位置、大小关系是_________ （直接写出结论）
②如图二，当点D在线段BC的延长上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．
（2）若AB≠AC，∠BAC≠90°．点D在线段BC上，那么当∠ACB等于多少度时？线段CF与BD之间的位置关系仍然成立．请画出相应图形，并说明理由．。