第13讲 函数模型及其应用(原卷版)
第13讲函数模型及其应用思维导图
知识梳理
1．几种常见的函数模型
题型归纳题型1 用函数图象刻画变化过程
【例1-1】（2020•徐汇区二模）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长20%，经过x 年，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则()y f x 的图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【例1-2】（2019秋•琼山区校级期末）两个学校1W 、2W 开展节能活动，活动开始后两学校的用电量1()W t 、2()W t 与时间t （天)的关系如图所示，则一定有( )
A ．1W 比2W 节能效果好
B ．1W 的用电量在[0，0]t 上的平均变化率比2W 的用电量在[0，0]t 上的平均变化率大
C ．两学校节能效果一样好
D ．1W 与2W 自节能以来用电量总是一样大
【跟踪训练1-1】（2019秋•武昌区期末）在2h 内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q 随时间t 变化的图象是( )
A．B．
C．D．
【跟踪训练1-2】（2020•来宾模拟）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是()
A．B．
C．D．
【名师指导】
判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
题型2 应用所给函数模型解决实际问题
【例2-1】（2020•山东）基本再生数
R与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个
感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用
指数模型：()rt I t e =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+．有学者基于已有数据估计出0 3.28R =，6T =．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为( )(20.69)ln ≈ A ．1.2天
B ．1.8天
C ．2.5天
D ．3.5天
【例2-2】（2020•新课标Ⅲ）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()(I t t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)
()1t K I t e --=
+，其中K
为最大确诊病例数．当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为( )(193)ln ≈ A ．60
B ．63
C ．66
D ．69
【跟踪训练2-1】（2020春•海淀区校级期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为 4.8 1.5lgE M =+，1976年7月28日我国唐山发生的里氏7.8级地震与2008年5月12日我国汶川发生的里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为( ) A ．0.310
B ．0.3
C ． 1.3lg
D ．0.310-
【跟踪训练2-2】（2020•梅州二模）某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C)︒满足函数关系(kx b y e e +=为自然对数的底数，k ，b 为常数），若该食品在0C ︒的保鲜时间是384小时，在22C ︒的保鲜时间是24小时，则该食品在33C ︒的保鲜时间是 ． 【名师指导】
求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．
题型3 构建函数模型解决实际问题
【例3-1】（2020春•内江期末）某公司生产某种产品，其年产量为x 万件时利润为()R x 万元，当035x <时，年利润为21()202502R x x x =-++，当35x >时，年利润为1800()5202R x x x
=--+．
（1）若公司生产量在035x 且年利润不低于400万时，求生产量x 的范围； （2）求公司年利润()R x 的最大值．
【例3-2】一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的1
4，已知到今年为止，森林剩
余面积为原来的
22
. (1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
【例3-3】某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固
性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 平方米，且高度不低于 3 米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________米．
【例3-4】（2019秋•济南期末）济南新旧动能转换先行区，承载着济南从“大明湖时代”迈向“黄河时代”的梦想，肩负着山东省新旧动能转换先行先试的重任，是全国新旧动能转换的先行区．先行区将以“结构优化、质量提升”为目标，通过开放平台汇聚创新要素，坚持绿色循环保障持续发展，建设现代绿色智慧新城．2019年某智能机器人制造企业有意落户先行区，对市场进行了可行性分析，如果全年固定成本共需2000（万元），每年生产机器人x （ 百个），需另投人成本C （x ）（万元），且C(x)={10x 2+200x ，0＜x ＜40601x +10000
x −4500，x ≥40，由市场调研知，每个机器人售价6万元，且全年生产的机器人当年能全部销售完．
（1）求年利润L （x ）（万元）关于年产量x （ 百个）的函数关系式；（利润＝销售额﹣成本） （2）该企业决定：当企业年最大利润超过2000（万元）时，才选择落户新旧动能转换先行区．请问该企业能否落户先行区，并说明理由．
【跟踪训练3-1】（2020春•东营区校级月考）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．若两颗星的星等与亮度满足1122
32E
m m lg E -=．其中星等为k m ，星的亮度为(1,2)k E k =．
（1）若1210000E E =，则21m m -= ；
（2）若太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.5-，则太阳与天狼星的亮度的比值为 ．
【跟踪训练3-2】（2019秋•平谷区期末）某餐厅经营盒饭生意，每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每盒盒饭的成本为15元，销售单价与日均销售量的关系如表： 单价/元 16 17 18 19 20 21 22 日销售量/
盒
480
440
400
360
320
280
240
根据以上数据，当这个餐厅每盒盒饭定价______元时，利润最大（ ） A ．16.5
B ．19.5
C ．21.5
D ．22
【跟踪训练3-3】（2019秋•临沂期末）某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t （单位：分钟）满足5≤t ≤20，t ∈N ．经测算，该路无人驾驶公交车载客量p （t ）与发车时间间隔t 满足：p(t)={60−(t −10)2，5≤t ＜10，60，10≤t ≤20，
其中t ∈N ． （1）求p （5），并说明p （5）的实际意义； （2）若该路公交车每分钟的净收益y =
6p(1)+24
t
−10（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．
【名师指导】
建模解决实际问题的三个步骤。
函数模型及应用教案
函数模型及应用教案函数模型是基于数学函数的一种建模方法，通过将现实问题抽象为数学函数的形式来描述、分析和解决问题。
函数模型的应用非常广泛，涉及到许多领域，包括物理、经济、生物等。
一、函数模型的基本概念1. 函数的定义：函数是一个映射关系，将输入映射到唯一的输出，通常用f(x)表示。
2. 自变量和因变量：函数的自变量是输入值，通常用x表示；函数的因变量是输出值，通常用y表示。
3. 函数图像：函数图像是函数在坐标系中的几何表示，可以通过计算和绘制得到。
4. 函数的性质：函数可以有多个性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
二、函数模型的应用1. 物理学中的应用：物理学中许多自然现象都可以用函数模型来描述，如运动学中的位移函数、速度函数和加速度函数，力学中的万有引力函数等。
2. 经济学中的应用：经济学中常常用函数模型来描述供求关系、成本函数、效用函数等，以便分析经济现象和制定经济政策。
3. 生物学中的应用：生物学中常常用函数模型来描述生物体的生长、代谢和进化过程，以便研究和预测生物现象。
4. 工程学中的应用：工程学中常常用函数模型来描述电路、信号处理、控制系统等，以便分析和设计工程系统。
5. 数据分析中的应用：数据分析中常常用函数模型来描述数据的分布和趋势，以便预测和优化数据。
三、函数模型的教学内容1. 函数的基本概念和性质：教学内容包括函数的定义、自变量和因变量的概念、函数图像的绘制和函数的性质分析等。
2. 函数的分类和常见函数模型：教学内容包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等的定义、图像和性质分析等。
3. 函数的应用实例分析：教学内容包括物理、经济、生物、工程等领域的函数模型实例分析，以及数据分析中的函数模型应用实例。
4. 函数模型的建立和求解：教学内容包括根据实际问题建立函数模型、利用函数模型求解问题等。
四、函数模型的教学方法1. 理论讲解：通过讲解基本概念、定理和性质，帮助学生理解函数模型的基本原理和方法。
函数模型及其应用(课件)
基础知识梳理
(2)对数函数 ＝logax(a＞1)与 对数函数y＝ 对数函数 ＞ 与 幂函数y＝ 幂函数 ＝xn(n＞0) ＞ 对数函数y＝ 对数函数 ＝logax(a＞1)的增 ＞ 的增 长速度，不论a与 值的大小如何总 长速度，不论 与n值的大小如何总 会 慢于 y＝xn的增长速度，因而在 ＝ 的增长速度， 定义域内总存在一个实数x 定义域内总存在一个实数 0，使x ＜ ＞x0时有 logax＜xn .
(2)方案 的每分钟收费就是 B(n＋1)－fB(n)(n＞ 方案B的每分钟收费就是 方案 的每分钟收费就是f ＋ － ＞ 500，n∈N*)， ， ∈ ， 3 因为 fB(n＋1)－fB(n)＝ (n＋1) ＋ － ＝ ＋ 10
3 3 ＋18－ n－18＝ ＝0.3. － － ＝ 10 10
所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元． 所以方案 从 分钟以后，每分钟收费 元 分钟以后
未考虑2－ 未考虑 －2x>0且1－ 且 － 2x>0.
题型三
指数函数、 指数函数、对数函数模型
例3 2009年10月1日，某城市现有人口总数 年 月 日 某城市现有人口总数100万， 万 如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题： 如果年自然增长率为 ，试解答下列问题： (1)写出该城市人口总数 万人 与年数 年)的函数关 写出该城市人口总数y(万人 与年数x(年 的函数关 写出该城市人口总数 万人)与年数 系式； 系式； (2)计算 年后该城市人口总数 精确到 万人 ． 计算10年后该城市人口总数 精确到0.1万人 计算 年后该城市人口总数(精确到 万人)． (1.01210＝1.127) 年后、 【思路点拨】 先写出 年后、2 思路点拨】 先写出1年后 年后、 年后的人口总数 写出y与 的 年后的人口总数→写出 年后、3年后的人口总数 写出 与x的 函数关系→计算求解 作答． 计算求解→作答 函数关系 计算求解 作答．
函数模型及其应用复习课件
an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。该公式可用于求解等比数列中任意一 项的值。
等比数列求和公式
Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中Sn为前n项和，q≠1。当q=1时，Sn=n*a1。这些公式可用于 计算等比数列前n项的和。
数列求和与通项公式求解方法
指数与对数互化
01
指数式与对数式的互化
指数式y=a^x可以转化为对数式x=log_a(y)，对数式y=log_a(x)可以转
化为指数式a^y=x。
02
指数方程与对数方程的解法
解指数方程时，可以通过两边取对数的方法将方程转化为对数方程；解
对数方程时，可以通过换底公式将方程转化为指数方程。
03
指数函数与对数函数的复合
三角函数图像与变换
三角函数的基本图像 （正弦函数、余弦函 数、正切函数等）
复合三角函数的图像 与性质
图像的平移、伸缩、 对称等变换
三角函数在实际问题中应用
01
02
03
04
利用三角函数模型解决周期性 问题（如振动、波动等）
利用三角函数模型解决最值问 题（如角度最大、距离最短等
）
利用三角函数模型解决与角度 有关的问题（如方向角、仰角
一次函数
形如$y = kx + b$（$k neq 0$）的函数。图像是一条直线。
指数函数
形如$y = a^x$（$a > 0, a neq 1$）的函数。图像是一条 指数曲线。
三角函数
如正弦函数、余弦函数、正切 函数等。图像是周期性的波形 曲线。
函数运算与变换
四则运算
包括函数的加法、减法、乘法和 除法。通过这些运算可以构造更 复杂的函数模型。
函数模型及其应用 (共29张PPT)
第13讲 函数模型及其应用
第13讲 函数模型及其应用【考点解读】1. 了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义；2. 能建立简单的数学模型，利用这些知识解决应用问题.【知识扫描】1、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？事实上，要顺利地建立函数模型，首先要深刻理解基本函数的图象和性质,熟练掌握基本函数和常用函数的特点,并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识.一般而言，有以下8种函数模型： ①一次函数模型:f(x)=kx b +(k 、b 为常数,k ≠0);②反比例函数模型：f(x)=xk +b(k 、b 为常数,k ≠0); ③二次函数模型：f(x)=2ax bx c ++(a 、b 、c 为常数，a ≠0)，二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见的;④指数型函数模型：f(x)=xka b +(k 、a 、b 为常数，k ≠0,a>0且a ≠1); ⑤对数型函数模型：f(x)=log a m x n +(m 、n 、a 为常数,m ≠0,a>0且a ≠1); ⑥幂函数型模型：f(x)=nax b +(a 、b 、n 为常数,a ≠0,n ≠0); ⑦“勾”函数模型：f(x)=x+kx(k 为常数,k>0)，这种函数模型应用十分广泛,因其图象是一个“勾号”,故我们把它称之为“勾”函数模型,⑧分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛.2、求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示是：【考计点拨】牛刀小试1．建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。
函数模型及其应用 知识点总结及典例
函数模型及应用一．知识梳理1．解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.二、典例解析【例1】某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【变式训练2】某集团公司在2000年斥巨资分三期兴建垃圾资源化处理工厂，如下表：如果每期的投次从第二年开始见效，且不考虑存贷款利息，设2000年以后的x年的总收益为f(x)（单位：千万元），试求f（x）的表达式，并预测到哪一年能收回全部投资款。
巩固练习 A 组1．在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，每吨为800元；购买2 000吨，每吨为700元．一客户购买400吨，单价应该是( )A ．820元B ．840元C ．860元D ．880元2．2()f x x =,()2x g x =,2()log h x x =,当(4,)x ∈+∞时,三个函数增长速度比较,下列选项中正确的是（ ）A. ()f x >()g x >()h xB. ()g x >()f x >()h xC. ()g x >()h x >()f xD. ()f x >()h x >()g x 2．某人2003年1月1日到银行存入一年期存款a 元，若按年利率为x ，并按复利计算，到2008年1月1日可取回款（ ）.A. a (1+x )5元B. a (1+x )6元C. a (1+x 5)元D. a (1+x 6)元 某工厂生产总值月平均增长率为p ，则年平均增长率为（）.A. pB. 12pC. (1+p )12D. (1+p )12－13．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3B ．4C ．6D ．12 4．电视台播出的一档节目中有这样一道抢答题:小蜥蜴体长15 cm,体重15 g,已知小蜥蜴的体积与体长的立方成正比,问:当小蜥蜴长到体长为20 cm 时,它的体重大约是( )A.20 gB.25 gC.35 gD.40 g5．进货单价为80元的商品400个，按90元一个可以全部卖出，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少20个，问售价多少元时获得的利润最大？( )A ．85B ．90C ．95D ．1005．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为_ _____台．6．在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过节20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重(040)x x <≤克的函数，其表达式为()f x = .7．(2010年浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是______．8．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠； ③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款__ ______ 元．9．如图K3－8－1(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y 与乘客量x 之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图K3－8－1(2)(3)所示．图K3－8－1给出以下说法：(1) 图(2)的建议是：提高成本，并提高票价；(2) 图(2)的建议是：降低成本，并保持票价不变； (3) 图(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变； (4) 图(3)的建议是：提高票价，并降低成本． 其中所有说法正确的序号是_______．10．某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品.已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P 和Q(万元),且它们与投入资金x(万元)的关系是P=42,Q x ax (a>0).若不管资金如何投放,经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不小于5万元,求 a 的最小值B 组1．为了得到函数y ＝3×3x 的图象，可以把函数y ＝3x的图象( ) A ．向左平移3个单位长度 B ．向右平移3个单位长度 C ．向左平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度 2．函数y ＝ln(1－x )的大致图象为( )3．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是( )A BC D4．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－xC ．坐标原点对称D ．直线y ＝x5.一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图2—1所示，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（ ）A ．气温最高时，用电量最多B ．气温最低时，用电量最少C ．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加D ．当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加6.函数()y f x =与()y g x =的图像如下图：则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（ ）y=f(x)oyxy=g(x)o yxoyxo yxoyxo yxA B C D7．关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是_ _． 8．已知下列曲线：以下编号为①②③④的四个方程：①x －y ＝0；②|x |－|y |＝0；③x －|y |＝0；④|x |－y ＝0.请按曲线A 、B 、C 、D 的顺序，依次写出与之对应的方程的编号_ _______． 9 作函数()11f x x =-的简图 10.使2log ()1x x -<+成立的x 德取值范围是 。
讲函数模型及其应用课件
土木工程、航空航天工程等，通过建立数学模型，可以模拟和分析各种
工程系统的性能和行为。
函数模型在人工智能领域的应用
机器学习 机器学习是人工智能领域的一个重要分支，函数模型在机 器学习中扮演着重要的角色，如线性回归、逻辑回归、支 持向量机等算法都是基于函数模型的。
深度学习 深度学习是机器学习的一种，它通过建立复杂的神经网络 模型来模拟人类的学习过程，神经网络的训练和优化过程 实际上就是求解一系列的函数模型。
函数模型可以用来描述自然规律 和现象，例如气候变化、生态平
衡、物种繁衍等。
科学研究
在自然科学领域中，函数模型广 泛应用于各种科学实验和研究中，
例如物理学、化学、生物学等。
预测和预防
通过建立函数模型，科学家可以 预测自然灾害和环境变化，并采
取相应的预防措施。
工程领域中的应用
机械设计
在机械设计中，函数模型可以用来描述力学、热 学等物理现象，例如压力、温度等。
函数模型的优化与改进
参数调整
根据实际需求和数据反馈，调整 模型中的参数以优化模型性能。
模型融合
将多个模型进行融合，综合多个模 型的优点，提高模型的预测精度。
模型泛化
通过增加数据集、改进模型结构等 方式，提高模型对未知数据的预测 能力。
04
函数模型的实际应用案例
经济领域中的应用
描述经济现象
投资决策分析
三角函数模型的应用
三角函数模型在物理学中有广 泛应用，如描述简谐振动、交 流电等周期性变化的现象。
在解决几何问题时，三角函数 也常被用于计算角度、长度等 量，如正弦定理、余弦定理等。
三角函数模型还可以用于信号 处理、图像处理等领域，如傅 里叶变换等。
函数函数模型及其应用课件
学生需要掌握如何调整和优化函数模型的参数，以提高模型的预测准确性和泛化能力。
学习函数模型的重要性
提高数据处理和分析能力
函数模型是数据处理和分析的重要工具，通过学习函数模 型，学生可以更好地理解和处理数据，提高数据处理和分 析能力。
解决实际问题
函数模型可以应用于各种实际问题，如预测股票价格、识 别垃圾邮件、推荐商品等。通过学习函数模型，学生可以 更好地解决实际问题，提高实际应用能力。
多项式拟合
多项式插值
利用多项式对数据进行插值，得到更 加平滑的曲线。
将数据拟合为多项式曲线，以便于分 析和可视化。
04
复杂函数模型及其应用
三角函数模型
总结词
利用正弦、余弦、正切等函数形式描述周期现象，解决实际 问题。
详细描述
三角函数模型是描述周期现象的重要工具，通过对正弦、余 弦、正切等函数形式的组合和变换，可以精确地描述许多自 然现象，如振动、波动等。在物理、工程、天文等领域中具 有广泛的应用。
对数函数模型
对数回归
通过最小二乘法等统计方 法，建立因变量与自变量 之间的对数关系模型。
对数变换
将非线性关系转换为线性 关系，以便于分析和建模 。
对数生长
描述变量随时间呈对数增 长的情况，如细菌繁殖等 。
多项式函数模型
多项式回归
通过最小二乘法等统计方法，建立因 变量与自变量之间的多项式关系模型 。
工程领域中的应用
建筑设计
函数模型可以用来进行建筑设计，通过建立建筑物的结构模型和荷 载模型，可以分析建筑物的稳定性和安全性。
机械设计
函数模型可以用来进行机械设计，通过建立机械系统的运动模型和 动力学模型，可以分析机械系统的性能和优化设计。
13 函数模型及其应用(解析版)
函数模型及其应用1．（2020春•南郑区校级期中）某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为x千米时，运费与仓储费之和最小，最小为y万元．则x和y分别是（）A．2和10B．2和20C．2√2和20D．√2和10【分析】设运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x，y2=k2x，由已知求出比例系数，再得出运费与仓储费之和，利用基本不等式可求最值．【解答】解：工厂和仓库之间的距离为x千米，设运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x，y2=k2 x．∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为y＝5x+20x≥2√5x⋅20x=20，当且仅当5x=20x，即x＝2时，运费与仓储费之和最小为20万元．故选：B．2．（2020•衡阳模拟）2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如表：购票人数1～5051～100100以上门票叫个13元/人11元/人9元/人两个旅游团队计划游览该景点，若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成一个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为（）A．20B．30C．35D．40【分析】设两个旅游团队的人数分部为a，b，由990不能被13整除，得两个旅游团队人数之和a+b≥51，然后结合门票价格和人数之间的关系，分类建立方程组进行求解即可．【解答】解：设两个旅游团队的人数分部为a，b，∵990不能被13整除，∴两个旅游人数之和：a+b≥51，若51≤a+b≤100，则11 （a+b）＝990得：a+b＝90，①由共需支付门票费为1290元可知，11a +13b ＝1290，② 联立①②解得：b ＝150，a ＝﹣60，不符合题意； 若a +b ＞100，则9 （a +b ）＝990，得a +b ＝110，③ 由共需支付门票费为1290元可知，1≤a ≤50，51≤b ≤100， 得11a +13b ＝1290，④联立③④解得：a ＝70人，b ＝40人．∴这两个旅游团队的人数之差为70﹣40＝30人． 故选：B ．3．（2020春•雨花区校级月考）某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的关系是R ＝R （x ）={400x −12x 2，0≤x ≤40080000，x ＞400，则总利润最大时，年产量是（ ） A ．100B ．150C ．200D ．300【分析】由题意得总成本函数为C （x ）＝20000+100x ，则总利润P （x ）＝R （x ）﹣C （x ）={300x −x 22−20000，0≤x ≤40060000−100x ，x ＞400，分段求函数P （x ）的最大值，再比较即可求解．【解答】解：由题意得，总成本函数为C （x ）＝20000+100x ，总利润P （x ）＝R （x ）﹣C （x ）={300x −x 22−20000，0≤x ≤40060000−100x ，x ＞400，当0≤x ≤400时，P （x ）=−12x 2+300x −20000，当x =−3002×(−12)=300时，P （x ）的值最大，最大值为25000，当x ＞400时，P （x ）＝﹣100x +60000，∴P （x ）＜P （400）＝20000， 综上所述，当x ＝300时，总利润最大， 故选：D ．4．（2019秋•自贡期末）某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x （单位：元）与日销售量y （单位：件）之间有如表所示的关系．x … 30 40 45 50 … y…603015…销售单价为x 元时，才能获得最大日销售利润p ，则x 、p 分别为（ ） A ．35，225B ．40，300C ．45，350D ．45，400【分析】由表格可知，x 与y 满足一次函数关系，设y ＝ax +b ，（a ≠0），把点（30，60），和点（40，30）代入可求出{a =−3b =150，所以y ＝﹣3x +150 （x ≥30），所以销售利润p ＝y （x ﹣30）＝﹣3x 2+240x ﹣4500，（x ≥30），再利用二次函数的性质即可求出销售利润p 的最大值．【解答】解：由表格可知，x 与y 满足一次函数关系，设y ＝ax +b ，（a ≠0）， 把点（30，60），和点（40，30）代入得：{30a +b =6040a +b =30，解得：{a =−3b =150，∴y ＝﹣3x +150 （x ≥30），∴销售利润p ＝y （x ﹣30）＝﹣3x 2+240x ﹣4500，（x ≥30）， ∴当x ＝40时，销售利润p 的值最大，最大值为：300， 故选：B ．5．（2019秋•黄山期末）2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点﹣专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：级数一级 二级 三级 每月应纳税所得额x元（含税） x ≤30003000＜x ≤1200012000＜x ≤25000税率31020现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（ ） A ．1800B ．1000C ．790D ．560【分析】由题意可得：李某该月应纳税所得额（含税）＝18000﹣5000﹣2000﹣1000＝10000（元），所以依据新的个税政策的税率，他该月应交纳的个税金额为：3000×3%+（10000﹣3000）×10%＝790（元）， 【解答】解：由题意可得：李某该月应纳税所得额（含税）＝18000﹣5000﹣2000﹣1000＝10000（元）， 所以依据新的个税政策的税率，他该月应交纳的个税金额为：3000×3%+（10000﹣3000）×10%＝790（元），故选：C．6．（2019秋•菏泽期末）甲打算从A地出发至B地，现有两种方案：第一种：在前一半路程用速度v1，在后一半路程用速度v2（v1≠v2），平均速度为v；第二种：在前一半时间用速度v1，在后一半时间用速度v2（v1≠v2），平均速度为v′；则v，v′的大小关系为（）A．v＞v′B．v＜v′C．v=v′D．无法确定【分析】第一种，设出总路程为2s，由平均速度的公式可得v，第二种，设总时间为2t，求得平均速度v′，再由作差法，结合完全平方公式可判断大小关系．【解答】解：第一种：设总路程为2s，则v=2ssv1+s v2=2v1v2v1+v2，第二种：设时间为2t，则v′=v1t+v2t2t=v1+v22，v′−v=v1+v22−2v1v2v1+v2=(v1+v2)2−4v1v22(v1+v2)=(v1−v2)22(v1+v2)＞0，∴v′＞v，故选：B．7．（2019秋•阳泉期末）随着社会发展对环保的要求，越来越多的燃油汽车被电动汽车取代，为了了解某品牌的电动汽车的节能情况，对某一辆电动汽车“行车数据”的两次记录如表：记录时间累计里程（单位：公里）平均耗电量（单位：kW•h/公里）剩余续航里程（单位：公里）2020年1月1日50000.1253802020年1月2日51000.126246（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量=累计耗电量累计里程剩余续航里程=剩余电量平均耗电量）下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是（）A．等于12.5B．12.5到12.6之间C．等于12.6D．大于12.6【分析】根据累计耗电量的计算公式，即可求解．【解答】解：由题意可得：5100×0.126﹣5000×0.125＝642.6﹣625＝17.6，所以对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计为17.6， 故选：D ．8．（2019秋•聊城期末）为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方法如下：每户每月用电量 电价 不超过230度的部分 0.5元/度 超过230度但不超过400度的部分0.6元/度 超过400度的部分0.8元/度若某户居民本月交纳的电费为380元，则此户居民本月用电量为（ ） A ．475度B ．575度C ．595.25度D ．603.75度【分析】先判断出此居民本月用电量超过400度，设此户居民本月用电量为x 度，则：230×0.5+（400﹣230）×0.6+（x ﹣400）×0.8＝380，即可求出x 的值． 【解答】解：∵230×0.5+（400﹣230）×0.6＜380， ∴此居民本月用电量超过400度，设此户居民本月用电量为x 度，则：230×0.5+（400﹣230）×0.6+（x ﹣400）×0.8＝380， 解得：x ＝603.75， 故选：D ．9．（2020春•房山区期末）某小区有居民1000户，去年12月份总用水量为8000吨．今年开展节约用水活动，有800户安装了节水龙头，这些用户每户每月节约用水x 吨，使得今年1月份该小区居民用水总量低于6000吨．则x 满足的关系式为 ．【分析】由已知求出1户居民去年12月份的用水量，然后求出今年1月份该小区居民用水总量，再由题意可得（8﹣x ）×800+8×200＜6000，化简得答案． 【解答】解：1000户居民去年12月份总用水量为8000吨， 则1户居民去年12月份的用水量为80001000=8吨．1户居民安装了节水龙头后一个月的用水量为（8﹣x ）吨， 则今年1月份该小区居民用水总量为（8﹣x ）×800+8×200． ∴（8﹣x ）×800+8×200＜6000，解得x ＞52． ∴x 满足的关系式为x ＞52．故答案为：x ＞52．10．（2019秋•密云区期末）密云某商场举办春节优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券．一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下： 优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%； 优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%．如果顾客需要先用掉优惠券1，并且使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是 元．【分析】设他购买的商品的标价可以是x 元，得到当x ＞100时顾客使用三种不同优惠券的优惠额，由题意列不等式组求解．【解答】解：设他购买的商品的标价可以是x 元， 则当x ＞100时，优惠券1的优惠金额为y =x10， 优惠券2的优惠金额为y ＝20，优惠券3的优惠金额为y =950(x −100)． 要使顾客先用掉优惠券1，并且使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，则{x10＞20x 10＞950(x −100)，解得200＜x ＜225． 顾客购买的商品的标价在（200，225）内时，满足题意． 故建议他购买的商品的标价可以是201元． 故答案为：201．11．（2020•威海一模）为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为2400m 2的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为28m 2，月租费为x 万元；每间肉食水产店面的建造面积为20m 2，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为 种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则x 的最大值为 万元．【分析】①设建造蔬菜水果类店面a 间，则建造肉食水产店面（80﹣a ）间，构造不等式求出a 的范围即可；②根据月租费构造不等式，根据a 的范围求出x 的最大值．【解答】解：①设建造蔬菜水果类店面a 间，则建造肉食水产店面（80﹣a ）间， 由题意可知：2400×80%≤28a +20（80﹣a ）≤2400×85%， 解得：40≤a ≤55．又a ∈N +，故建造方案有16种． ②由题意可知：ax+0.8(80−a)80≥0.9x 恒成立，整理可得：x ≤0.8a−64a−72=0.8− 6.4a−72恒成立， 又40≤a ≤55， 故x ≤0.8−6.4−32=1． 即x 的最大值为1． 故答案为：16，1．12．（2020•咸阳二模）为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y （mg /m 3）与时间t （h ）的函数关系为y ={kt ，0＜t ＜121kt，t ≥12，（如图所示）实验表明，当药物释放量y ＜0.75（mg /m 3）对人体无害． （1）k ＝ ；（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过 分钟人方可进入房间．【分析】（1）把点（12，1）代入函数解析式，即可求出k 的值；（2）当t ≥12时，y =12t ，令y ＜0.75得，t ＞23，所以在消毒后至少经过 23小时，即40分钟人方可进入房间．【解答】解：（1）由图象可知，当t =12时，y ＝1，∴2k=1，∴k ＝2；（2）由（1）可知：y ={2t ，0＜t ＜1212t ，t ≥12， 当t ≥12时，y =12t ，令y ＜0.75得，t ＞23， ∴t ＞23，∴在消毒后至少经过 23小时，即40分钟人方可进入房间，故答案为：2，40．13．（2019秋•泰安期末）某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x 百件，需另投入成本c （x ）（单位：万元），当年产量不足30百件时，c （x ）＝10x 2+100x ；当年产量不小于30百件时，c （x ）＝501x +10000x−4500；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完．（1）求年利润y （万元）关于年产量x （百件）的函数关系式； （2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？ 【分析】（1）根据题意，分段求函数解析式即可；（2）利用二次函数的性质结合基本不等式，分段求函数的最大值，再比较即可． 【解答】解：（1）当0＜x ＜30时，y ＝500x ﹣10x 2﹣100x ﹣2500＝﹣10x 2+400x ﹣2500； 当x ≥30时，y =500x −501x −10000x +4500−2500=2000−(x +10000x)； ∴y ={−10x 2+400x −2500，0＜x ＜302000−(x +1x )，x ≥30； （2）当0＜x ＜30时，y ＝﹣10（x ﹣20）2+1500，∴当x ＝20时，y max ＝1500； 当x ≥30时，y =2000−(x +10000x )≤2000−2√x ⋅10000x=2000−200=1800， 当且仅当x =10000x，即x ＝100时，y max ＝1800＞1500， ∴年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元．。
讲函数模型及其应用课件
一次函数模型在社会科学中的应 用
在社会科学中，一次函数模型可以用来描 述人口增长、城市化率等社会现象。
二次函数模型的应用
二次函数模型在经济学中的应用
通过建立二次函数模型，可以描述和分析经济现象，例如需求与价格 的关系、供给与价格的关系等。
总结词
生物学中，函数模型被用来描述和分析生物体的生理特征和行为，如种群动态、基因表 达等。
详细描述
在生物学中，函数模型被用来描述和分析生物体的生理特征和行为，例如种群动态、基 因表达等。通过建立函数模型，生物学家可以对生物数据进行数学分析和预测，从而更
好地理解生物系统的运行规律和演化趋势。
计算机科学中的函数模型应用
三角函数模型在社会科学 中的应用
在社会科学中，三角函数模型 可以用来描述社会现象的周期 性变化，例如人口普查、就业 率变化等。
指数函数与对数函数模型的应用
指数函数与对数函数在经济学中的应用
在经济学中，指数函数和对数函数被广泛应用于描述增长和衰减过程 ，例如复利计算、人口增长预测等。
指数函数与对数函数在物理学中的应用
总结词
计算机科学中，函数模型被用来描述和 分析计算机系统和算法的性能和行为。
VS
详细描述
在计算机科学中，函数模型被用来描述和 分析计算机系统和算法的性能和行为。通 过建立函数模型，计算机科学家可以对计 算机系统和算法进行数学分析和优化，从 而提高计算机系统的效率和性能。
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三角函数模型在物理学中 的应用
在物理学中，三角函数模型可 以用来描述周期性运动，例如 简谐振动、交流电等。
三角函数模型在工程学中 的应用