二次互反律
数学竞赛二次剩余及其应用讲义
二次剩余及其应用一、二次剩余的定义：正整数m>1，n∈Z，(m,n)=1，若存在x∈Z，使得x2≡n(mod m)，则称n为模m的二次剩余。
否则，称为二次非剩余。
勒让德(Legendre)符号：设p为奇素数，a∈Z且(a,p)=1，定义：(ap )={1，若a为p的二次剩余−1，若a为p的二次非剩余，称为勒让德符号。
当a≡b(mod p)时，显然(ap )=(bp)。
例1、证明具有下列形式的素数有无穷多个.（1）8k+3（2）8k+5（3）8k+7例2、求有序整数对(a,b)的个数，使得x2+ax+b=167y有整数解(x,y)，其中1≤a、b≤2004.二、 与素数的二次剩余相关的定理：定理1、设p 为奇素数，模p 的缩系中有p−12个二次剩余，有有p−12个二次非剩余。
且12、22、⋯、(p−12)2即为其p−12个二次剩余。
定理2、设p 为奇素数，a ∈Z 且(a,p )=1，则(p −1)!≡−(ap)ap−1(mod p)。
定理3（欧拉(Euler)判别条件）、设p 为奇素数，a ∈Z 且(a,p )=1，a p−1则≡(ap)(mod p)。
定理4、设p 为奇素数，则(−1p )≡(−1)p−1(mod p)。
即当p ≡1(mod 4)时，-1为p 的二次剩余；当p ≡3(mod 4)时，-1为p 的二次非剩余。
例3、 已知pqr 均为素数，n 为正整数，p n +q n =r 2，求证：n=1.例4、 若p 为奇素数，证明：当且仅当p ≡1(mod 4)时，p 可以表示成两个非零完全平方数之和，且表示方法唯一.三、二次互反律定理5(高斯(Gause)引理)、设p 为奇素数，a ∈Z 且(a,p )=1，若a 、2a 、⋯、p−12a 关于模p 的最小正余数中有μ个大于p 2，则(ap )=(−1)μ。
定理6、设p 为奇素数，(2p )=(−1)p 2−1。
即当p ≡±1(mod 8)时，2为p 的二次剩余；当p ≡±3(mod 8)时，2为p 的二次非剩余。
二次互反律证明
二次互反律证明从初等的表面现象到代数数论中一些深刻的结论和猜想，依次介绍了二次倒数定律的几个相关证明(提纲)。
挖一个要填的洞。
0 二次互反律首先定义勒让德符号。
对于质数 p ，如果存在整数 x ，使得m\equiv x^2\pmod p ，则称 m 是 p 的二次剩余，反之则称其为非二次剩余（ m\in\mathbb Z,p\nmid m ）。
注意，0既不是二次剩余，也不是非二次剩余。
勒让德符号定义为：\left(\frac{m}{p}\right)=\left\{\begin{aligned}+1&&m\t ext{ 是二次剩余}\\-1&&m \text{ 不是二次剩余}\\0&&m=0\end{aligned}\right.\\显然，勒让德符号是 \mathbb Z_p^\times\to\mathbb Z_2 的一个同态。
接下来，二次互反律说的就是，对于奇质数 p,q\left(\frac pq\right)\left(\frac qp\right)=(-1)^{\frac{p-1}2\frac{q-1}2}.\\另外还有两个辅助定理： \left(\frac{-1}p\right)=(-1)^{\frac{p-1}2} ，以及 \left(\frac2p\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}} 。
I 爱森斯坦的三角函数证明（此处参考 @rainbow zyop 的证明过程）首先证明\left(\dfrac{q}{p}\right)=\prod_{\alpha =1}^{\frac{p-1}2}\frac{\sin{2\pi\alpha q/p}}{\sin{2\pi\alpha /p}}\\这一点可以通过将分子代换成 \sin{2\pi\alphaq/p}=\pm\sin{2\pi\alpha'/p},\,\alpha'\in\{1,2,\dots,\frac{p-1}{2}\} ，然后由高斯引理计算符号得。
米勒张角定理
米勒张角定理米勒-张角定理（Miller-Rabin Primality Test）是一种用于检测一个数是否为质数的概率性算法。
这个定理由Gary Miller和Michael O. Rabin在1984年提出，是基于费尔马小定理（Fermat's Little Theorem）和二次互反律（Quadratic Reciprocity Law）的推论而来。
米勒-张角定理给出的结果是一个概率，即存在一个小于等于1/4^n的几率，判断错误，其中n是所测试的数的位数。
首先，我们需要了解几个基本概念。
一个数p被称为质数，当且仅当它只能被1和它本身整除。
而合数则是指除了1和它本身外还能被其他数整除的整数。
素数的性质一直是数论的重要研究方向，而米勒-张角定理提供了一种快速判断一个数是否为质数的方法。
米勒-张角定理的核心思想是基于费尔马小定理，该定理表述为：当p是质数时，对于任意整数a，都有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
其中，a是任意一个小于p的整数。
如果对于某个数a，不满足这个等式，则可以判定p为合数。
而米勒-张角定理的进一步推论是，对于一个合数，存在绝大多数的a都无法满足费尔马小定理，只有一小部分的a满足费尔马小定理。
然而，在费尔马小定理中，存在某些合数，它们被称为卡迈克尔数（Carmichael Numbers），对于这些数，费尔马小定理仍然成立，但它们并不是质数。
因此，米勒-张角定理的主要目的是找到一种方法来区分这些特殊的合数。
米勒-张角定理通过引入二次互反律解决了这个问题。
二次互反律表述为：如果p是一个奇质数，a是一个小于p的整数并且gcd(a, p) = 1（即a和p互质），则以下两种情况中的至少一种成立：1. a^((p-1)/2) ≡ 1 (mod p)2. 存在一个整数t，使a^(2^t *(p-1)/2) ≡ -1 (mod p)根据这个定理，在测试一个数p是否为质数时，我们随机选择一个数a，并通过判断以上两种情况中是否至少有一种成立来得出判断结果。
信息安全数学基础第四章-信安第四章第3-4节2
q1
同理,三角形OBC内的整点个数为
k 1
pk q
.
19
因为直线 y q x上无整点, 故矩形OABC内的整点 p
个数为
p1 qh q1 pk
h1
p
k 1
q
从而
p1 qh q1 pk
h1
p
k 1
q
p1q1
p1 q1. 22
至此,二次互反律得证.
20
设p是奇素数,
若p
|
b,
则
ab2 p
a p
.
推论2
若a
b
(mod
p), 则
a
p
b p
.
4
定理3 设p是奇素数,
2
p2 1
(i)
p
(1)
8
(ii) 若(a, 2 p) 1, 则
p1
a p
2
(1) k1
ak
p
5
推论 设p是奇素数,则
2 p
2 5
52 1
(1) 8
1
所以
137 227
1
因而原同余式无解.
9
练习：判断同余式 1）x2 429(mod 563)，2）x2 3766(mod 5987) 其中5987是素数。
10
例4 判断同余式 x2 1 (mod 365) 是否有解, 有解时,求出其解数.
解 365=5 73,原同余式等价于同余式组
.
因p, q都是奇素数, 且( p, q) 1, 由4.3定理3有
16
p1
q1
q p
2
(1) h1
qh
p
,
高斯、爱森斯坦和二次互反律的“第三个”证明 -- 一幕小戏剧
译者简介：
谢国芳，浙江绍兴人，独立语言学者和数学研究者，复旦大学物理系本科毕业，曾获李政道奖学金赴美就读于哥伦比亚大学物理系研究生院攻读理论物理，后来兴趣转向语言学和外语学习，回国从事独立的语言学和外语学习方法研究，创立了“外语解密学习法”，近年来也进行独立的数学和数学史研究，致力于外语文化和大众数学普及工作，通晓英、法、德、西、俄、日、韩等多国外语。
著有《解密英语——学外语从零点到绝顶的最速路经》、《日语汉字读音规律揭秘》、《破解韩国语单词的奥秘》等，建有以传播外语和数学知识与文化为宗旨的网站“语数之光”。
已发表的数学和物理论文有：。
二次互反律
二次互反律在数论中，特别是在同余理论里，二次互反律是一个用于判别二次剩余，即二次同余方程()q p x mod 2≡之整数解的存在性的定律。
二次互反律揭示了方程()q p x mod 2≡可解和 ()q p x mod 2≡可解的简单关系。
运用二次互反律可以将模数较大的二次剩余判别问题转为模数较小的判别问题，并最后归结为较少的几个情况，从而在实际上解决了二次剩余的判别问题。
然而，二次互反律只能提供二次剩余的存在性，对于二次同余方程的具体求解并没有实际帮助。
二次互反律常用勒让德符号表述：对于两个奇素数p 和q ，其中是勒让德符号。
但是对于更一般的雅可比符号和希尔伯特符号也有对应的二次互反律。
欧拉和勒让德都曾经提出过二次互反律的猜想。
但第一个严格的证明是由高斯在1796年作出的，随后他又发现了另外七个不同的证明[1]。
在《算数研究》一书和相关论文中，高斯将其称为“基石”。
私下里高斯把二次互反律誉为算术理论中的宝石，是一个黄金定律[2]。
高斯之后雅可比、柯西、刘维尔、克罗内克、弗洛贝尼乌斯等也相继给出了新的证明。
至今，二次互反律已有超过200个不同的的证明。
二次互反律可以推广到更高次的情况，如三次互反律等等。
相关术语一个整数a 是模整数n 的二次剩余，是指它与某个整数的平方关于模n 同余。
直观来说，是指二次同余方程()n a x mod 2≡有整数解。
如果这样的整数解不存在，则称a 是模整数n 的二次非剩余。
术语中的“二次”一词是为了表示平方同余，在不至于混淆的行文中，可以略掉。
当模数是质数时，通常将0的情况区别讨论，因此有：在模为质数时，二次剩余与二次非剩余的个数是相等的。
在模为质数时，剩余与剩余、非剩余与非剩余的乘积都是剩余，剩余与非剩余的乘积是非剩余。
几个简单情况有了上节的关于乘积的性质，可以发现：研究一个合数是否是模某个质数p 的剩余，只需将这个合数进行质因数分解，研究其每个质因数是不是模p 的剩余即可。
高斯二次互反律
高斯二次互反律主講：李宗儒在正式介紹高斯二次互反律之前，我們先簡單的介紹一下同餘方程式同餘方程式給定正整數m 及n 次整系數多項式1110()...n n n n f x a x a x a x a --=++++我們討論這樣的問題：求出所有的整數x ，使同餘式()0f x ≡ (mod m ) (1)成立，這就是所謂的解同餘方程式。
而上式稱為模m 的同餘方程式。
若(1)式在x=c 時同餘式成立，稱c 是(1)式的解。
顯然，這時剩餘類 c (mod m ) 中的任意整數也都是解，我們把這些解看作是相同的，並說剩餘類 c (mod m ) 是(1)中的一個解，我們把它記為x c ≡ (mod m )當12,c c 均為(1)式的解，且模m 不同餘，我們就稱它是同餘方程式(1)的不同解，所有模m 兩兩不同餘的解的個數，稱為是同餘方程式(1)的解數。
模為質數的二次同餘方程在此節，由於2p =的情形是顯然的，所以下面我們假定p 是奇質數。
假設p 不整除a ，二次同餘方程的一般形式是20ax bx c ++≡ (mod p ) (2)但是因為p 不整除a ，所以p 不整除4a ，所以(2)的解跟()240a ax bx c ++≡ (mod p ) (3)的解相同，上式可以改為()2224ax b b ac +≡- (mod p) (4)透過變數變換，我們可以得到下列式子224y b ac ≡- (mod p ) (5)(4)與(5)是等價的，也就是說，兩者同時無解或有解。
若有解，對於(5)的每個解0y y ≡ (mod p )，通過變數變換2y ax b =+(因為這是x 的一次同餘方程，(,2)1p a =，所以解數為1)，我們可以解出一個0x x ≡ (mod p )，由以上的討論可知，我們只要討論形如2x d ≡ (mod p ) (6)的同餘方程式，很容易的，當p 整除d 時，(6)僅有一解0x ≡(mod p )。
二次互反律
二次互反律在数论中，特别是在同余理论里，二次互反律是一个用于判别二次剩余，即二次同余方程()q p x mod 2≡之整数解的存在性的定律。
二次互反律揭示了方程()q p x mod 2≡可解和 ()q p x mod 2≡可解的简单关系。
运用二次互反律可以将模数较大的二次剩余判别问题转为模数较小的判别问题，并最后归结为较少的几个情况，从而在实际上解决了二次剩余的判别问题。
然而，二次互反律只能提供二次剩余的存在性，对于二次同余方程的具体求解并没有实际帮助。
二次互反律常用勒让德符号表述：对于两个奇素数p 和q ，其中是勒让德符号。
但是对于更一般的雅可比符号和希尔伯特符号也有对应的二次互反律。
欧拉和勒让德都曾经提出过二次互反律的猜想。
但第一个严格的证明是由高斯在1796年作出的，随后他又发现了另外七个不同的证明[1]。
在《算数研究》一书和相关论文中，高斯将其称为“基石”。
私下里高斯把二次互反律誉为算术理论中的宝石，是一个黄金定律[2]。
高斯之后雅可比、柯西、刘维尔、克罗内克、弗洛贝尼乌斯等也相继给出了新的证明。
至今，二次互反律已有超过200个不同的的证明。
二次互反律可以推广到更高次的情况，如三次互反律等等。
相关术语一个整数a 是模整数n 的二次剩余，是指它与某个整数的平方关于模n 同余。
直观来说，是指二次同余方程()n a x mod 2≡有整数解。
如果这样的整数解不存在，则称a 是模整数n 的二次非剩余。
术语中的“二次”一词是为了表示平方同余，在不至于混淆的行文中，可以略掉。
当模数是质数时，通常将0的情况区别讨论，因此有：在模为质数时，二次剩余与二次非剩余的个数是相等的。
在模为质数时，剩余与剩余、非剩余与非剩余的乘积都是剩余，剩余与非剩余的乘积是非剩余。
几个简单情况有了上节的关于乘积的性质，可以发现：研究一个合数是否是模某个质数p 的剩余，只需将这个合数进行质因数分解，研究其每个质因数是不是模p 的剩余即可。
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高斯二次互反律
主讲：李宗儒
在正式介绍高斯二次互反律之前，我们先简单的介绍一下同余方程式
同余方程式
给定正整数m 及n 次整系数多项式
1110()...n n n n f x a x a x a x a --=++++
我们讨论这样的问题：求出所有的整数x ，使同余式
()0f x ≡ (mod m ) (1)
成立，这就是所谓的解同余方程式。
而上式称为模m 的同余方程式。
若(1)式在x=c 时同余式成立，称c 是(1)式的解。
显然，这时剩余类 c (mod m ) 中的任意整数也都是解，我们把这些解看作是相同的，并说剩余类 c (mod m ) 是(1)中的一个解，我们把它记为
x c ≡ (mod m )
当12,c c 均为(1)式的解，且模m 不同余，我们就称它是同余方程式(1)的不同解，所有模m 两两不同余的解的个数，称为是同余方程式(1)的解数。
模为质数的二次同余方程
在此节，由于2p =的情形是显然的，所以下面我们假定p 是奇质数。
假设p 不整除a ，二次同余方程的一般形式是
20ax bx c ++≡ (mod p ) (2)
但是因为p 不整除a ，所以p 不整除4a ，所以(2)的解跟
()240a ax bx c ++≡ (mod p ) (3)
的解相同，上式可以改为
()2224ax b b ac +≡- (mod p) (4)
透过变量变换，我们可以得到下列式子
224y b ac ≡- (mod p ) (5)
(4)与(5)是等价的，也就是说，两者同时无解或有解。
若有解，对于(5)的每个解0y y ≡ (mod p )，通过变数变换2y ax b =+(因为这是x 的一次同余方程，(,2)1p a =，所以解数为1)，我们可以解出一个0x x ≡ (mod p )，由以上的讨论可
知，我们只要讨论形如
2x d ≡ (mod p ) (6)
的同余方程式，很容易的，当p 整除d 时，(6)仅有一解0x ≡(mod p )。
所以，我们只讨论p 不整除d 的情形。
定义1
设质数2p >，d 是整数，且p 不整除d ，如果同余方程式(6)有解，则称d 是模p 的二次剩余，若无解，则称d 是模p 的二次非剩余。
定理1
在模p 的一个完全剩余系中，恰有12p -个模p 的二次剩余，12
p -个模p 的二次非剩余，此外，若d 是模p 的二次剩余，则同余方程式(6)的解数为二。
定理2
设质数2p >且p 不整除d ，其中d 是整数。
那么d 是模p 的二次剩余的充要条件是 (1)21p d -≡ (mod p )；d 是模p 的二次非剩余的充要条件是 (1)21p d -≡- (mod p )
为了接下来的讨论方便，我们引进一个表示模p 的二次剩余、二次非剩余的符号 ─ Legendre 符号
定义2
设质数2p >，定义整数变量d 的函数
引理1
(1) d p d p p ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(2) (1)2p d d p -⎛⎫= ⎪⎝⎭
(mod p ) (3) dc d c p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(4) 21d p ⎛⎫= ⎪⎝⎭
若p 不整除d (5) 11p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()(1)211p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
(6) 同余方程式2x d ≡ (mod p )的解数是1d p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
引理2
设质数2p >且p 不整除d ，再设12p j ≤<，j t jd ≡，0j t p <<，以n 表示这(1)2p -个j t 中大于2p 的j t 的个数，那么有
(1)n d p ⎛⎫≡- ⎪⎝⎭
定理3
我们有 2(1)82(1)p p -⎛⎫=- ⎪⎝⎭
定理4
设质数2p >且p 不整除d ，且当(,2)1d p =，有
(1)T d p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中 (1)1p j jd T p -=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
∑ 定理5
在定理四中，若d 也是奇质数，则有
(1)2(1)(1)p q q p p q -⋅-⎛⎫⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
这就是有名的高斯二次互反律。