2011届上海市静安区高三数学一模答案
2011年高三一模考静安区
静安区2011学年第一学期高三年级教学质量检测2012.1语文学科试卷1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须写在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
2．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应注意不能错位。
3．考试时间150分钟。
试卷满分150分。
一阅读 80分(一) 阅读下文，完成1-6题。
（18分)①在所谓文学边缘化的时代，韩寒，这个戏谑、调侃的高中辍学青年，这个以赛车手为职业的业余作家，像这个戏剧性时代的一个戏剧性神话：他的博客点击率，已经超过4.5亿人次；在2009年，他被多家媒体选为“年度人物”；在2010年，他被《时代周刊》选为“全球最具影响力100人”，被《外交政策》选为“全球百大思想家”。
有人据此认为，。
②和郭敬明相比，韩寒展示了“80后写作”另一种可能性。
在韩寒戏谑、尖刻的追问中，郭敬明营造的“幻城．．”⑴烟消云散，逐渐展现出冰冷的真相——“80后”一代依然生活在历史之中。
如果说，郭敬明的写作是“小时代”写作，那么韩寒的写作则是对抗“小时代”的“大时代”写作，通过对于一系列热点新闻事件反讽式的解读，重新建立历史与个人的关联，自由、公正等一系列“大词”，以及在“90年代”的范畴里被视为妨害“日常生活”的政治言说，在韩寒的杂文中被再次激活。
对于“80后”一代，韩寒的写作提醒了一点，个人的体验与命运，终究和具体的历史情境相关——而这是郭敬明高度抽象化的写作所努力抹去的。
③韩寒提供了一种新的“形式”来回应作为“内容”的当下中国。
“80后”是在“80年代”历史终结后开始写作的。
韩寒式的“大时代”写作，是“大时代”终结之后的“大时代”写作，以往回应“大时代”的艺术形式，比如充满悲剧意味的“呐喊”，已然被历史所摧毁，我们所面对的不过是伟大的遗骸。
韩寒有意或无意地体悟到这一点，“大时代”终结之后的“大时代”写作，是一场文化游击战，不再是“子夜”时分的“呐喊”，而是历史尽头的“故事新编”，在囚笼高中语文第1页共8页般的历史内部——这是王小波作品中的核心意象——的戏仿、消解与颠覆。
上海市静安区高三数学上学期期末教学质量检测(一模)试题(含解析)
上海市静安区高三数学上学期期末教学质量检测（一模）试题（含解析）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分44分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．计算：= ．考点：极限及其运算．专题：导数的概念及应用．分析：利用数列极限的运算法则即可得出．解答：解：原式==．故答案为：．点评：本题考查了数列极限的运算法则，属于基础题．2．已知集合M={y|y=2x，x≥0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N=（0，2）．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用交集的定义和对数函数的性质求解．解答：解：∵集合M={y|y=2x，x≥0}={y|y≥0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}={x|2x﹣x2＞0}={x|0＜x＜2}，∴M∩N=（0，2）．故答案为：（0，2）．点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意对数函数的性质的合理运用．3．设（1﹣x）8=a0+a1x+…+a7x7+a8x8，则|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|= 256 ．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由题意可得（1+x）8=|a0|+|a1|x+…+|a7|x7+|a8|x8，在此等式中，令x=1，可得|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|的值．解答：解：由题意可得（1+x）8=|a0|+|a1|x+…+|a7|x7+|a8|x8，在此等式中，令x=1，可得|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|=28=256，故答案为：256．点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．4．已知等差数列{a n}的首项为3，公差为4，则该数列的前n项和S n= 2n2+n ．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意代入等差数列的求和公式可得．解答：解：由题意可得a1=3，公差d=4，∴S n=na1+ d=3n+2n（n﹣1）=2n2+n故答案为：2n2+n．点评：本题考查等差数列的求和公式，属基础题．5．不等式1﹣＜0的解集是（，4）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：原不等式即为或，分别解出它们，再求交集即可．解答：解：不等式1﹣＜0即为＜0，即为或，即有x∈∅或＜x＜4，则解集为（，4）．故答案为：（，4）．点评：本题考查分式不等式的解法，考查转化为一次不等式组求解，考查运算能力，属于基础题．6．一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有45 种不同结果（用数值作答）．考点：组合及组合数公式．专题：概率与统计．分析：由题意可得共有种不同结果．解答：解：一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有=45种不同结果．故答案为：45．点评：本题考查了组合数的计算公式，属于基础题．7．（4分）理：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，PA=1，底面ABCD是正方形，PC与底面ABCD所成角的大小为，则该四棱锥的体积是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的性质得出Rt△PAC中，PA=1，∠PCA=，AC=，运用体积公式求解即可．解答：解：∵PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PC与底面ABCD所成角的大小为，∴Rt△PAC中，PA=1，∠PCA=，AC=，∵底面ABCD是正方形，∴AB=，V=×1=故答案为：；点评：本题考查了空间直线平面的几何性质，夹角，体积计算问题，属于中档题．8．不等式的解集是（，4）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：不等式即为或，分别求出它们，再求并集即可．解答：解：不等式即为或，即x∈∅或＜x＜4，则解集为（，4）．故答案为：（，4）．点评：本题考查分式不等式的解法，考查转化为一次不等式组求解，考查运算能力，属于基础题．9．文：已知数列{a n}的通项公式a n=22﹣n+2n+1（其中n∈N*），则该数列的前n项和S n=．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：首先把数列的通项公式进行转换，进一步利用等比数列的前n项和公式进行求解．解答：解：数列数列{a n}的通项公式：整理得：则：+2（21+22+…+2n）=4•+2==故答案为：点评：本题考查的知识要点：数列通项公式的应用，等比数列前n项和的应用．属于基础题型．10．（4分）已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，，若，则t= ﹣2 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用平面向量的数量积的定义和向量垂直的条件即为数量积为0，计算即可得到t．解答：解：两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，则=||•||•cos30°==，由，若，则•（t+（1﹣t））=0，即t+（1﹣t）=0，即有t+1﹣t=0，解得，t=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于基础题．11．已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是3π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：根据已知中圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，计算出圆锥母线的长度，进而可得该圆锥的侧面积．解答：解：∵圆锥底面的半径r=1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，故圆锥的母线l满足：，解得：l=3，∴该圆锥的侧面积S=πrl=3π．故答案为：3π点评：本题考查的知识点是旋转体，圆锥的侧面积，其中根据，求出圆锥的母线长度，是解答的关键．12．（4分）已知f（x）=x|x﹣1|+1，f（2x）=（其中x＞0），则x= ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得，由此能求出．解答：解：∵f（x）=x|x﹣1|+1，f（2x）=（其中x＞0），∴，∴，∵x＞0，∴（2x）2﹣2x﹣=0，解得2x=，∴．故答案为：．点评：本题考查函数值的求法及应用，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．13．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边在射线y=﹣2x （x≤0）上，则sin2α=．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由题意根据任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，进而确定出sin2α的值．解答：解：根据题意得：tanα=﹣2，sinα=，cosα=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=﹣2××=．故答案为：．点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握公式是解本题的关键．14．（4分）理：已知△ABC的顶点A（2，6）、B（7，1）、C（﹣1，﹣3），则△ABC的内角∠BAC 的大小是arccos．（结果用反三角函数值表示）考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由三点坐标，利用两点间的距离公式求出a，b，c的值，利用余弦定理求出cos∠BAC 的值，即可确定出∠BAC的度数．解答：解：∵△ABC的顶点A（2，6）、B（7，1）、C（﹣1，﹣3），∴|AB|=c==5，|AC|=b==3，|BC|=a==4，∴cos∠BAC===，则∠BAC=arccos，故答案为：arccos点评：此题考查了余弦定理，两点间的距离公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．15．（4分）若α，β是一二次方程2x2+x+3=0的两根，则= ﹣．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由已知结合韦达定理，可得α+β=﹣，α•β=，进而根据=代入可得答案．解答：解：∵α，β是一二次方程2x2+x+3=0的两根，∴α+β=﹣，α•β=，∴===﹣，故答案为：﹣点评：本题考查的知识点是根与系数的关系（韦达定理），难度不大，属于基础题．16．已知两条直线的方程分别为l1：x﹣y+1=0和l2：2x﹣y+2=0，则这两条直线的夹角大小为arctan（结果用反三角函数值表示）．考点：两直线的夹角与到角问题．专题：直线与圆．分析：这两条直线的斜率分别为1和2，设这两条直线的夹角大小为θ，再利用两条直线的夹角公式求得这两条直线的夹角大小．解答：解：这两条直线的斜率分别为1和2，设这两条直线的夹角大小为θ，则由tanθ=||=||=，∴θ=arctan，故答案为：．点评：本题主要考查两条直线的夹角公式的应用，反正切函数，属于基础题．17．（4分）（2012•绍兴一模）已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，α，β∈（﹣，）则α+β=﹣．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：此题运用根与系数的关系求出tanα+tanβ的值和tanαtanβ的值，根据两角和与差的正切公式即可求出α+β，但一定要注意α，β的范围解答：解：tanα，tanβ是方程的两根，tanα+tanβ=﹣3，tanαtanβ=4，tan（α+β）==又∵α、β∈（﹣，），∴α+β∈（﹣π，π）．又∵tanα+tanβ=﹣3，tanα•tanβ=4，∴α、β同为负角，∴α+β=﹣．故答案为﹣点评：此题考查根与系数的关系和两角和的正切，解题时一定要注意α，β的角度范围，这是本题容易出错的地方18．直线l经过点P（﹣2，1）且点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，则直线l的方程是或．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣2，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l；kx﹣y+2k+1=0，则=1，由此能求出直线l的方程．解答：解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣2，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l；y﹣1=k（x+2），即kx﹣y+2k+1=0，∵点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，∴=1，解得k=，∴直线l的方程为：或．故答案为：或．点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．19．（4分）已知实数x、y满足|x|≥|y|+1，则的取值范围是[﹣2，2] ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出满足条件的平面区域，设z=，则y=zx+2，将问题转化为求直线的斜率的范围，通过图象求出答案．解答：解：画出满足条件|x|≥|y|+1的平面区域，如图示：，设z=，则y=zx+2，当直线过（﹣1，0）时，z最小为：﹣2，当直线过（1，0）时，z最大为：2，∴﹣2≤z≤2，故答案为：[﹣2，2]．点评：本题考查了线性规划问题，考查了数形结合思想，考查了转化思想，是一道中档题．21．一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围是0＜S＜2 ．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：设等比数列的公比为q，则q＜0，由题意可得S==，可得＜0，从而可求S的范围解答：解：设等比数列的公比为q，则q＜0∵S==∴＜0∴0＜S＜2故答案为：0＜S＜2点评：本题主要考查了无穷等比数列的各项和公式的应用，属于基础试题22．（4分）理：两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛，每两名参赛选手之间都比赛一次，胜者得1分，和棋各得0.5分，输者得0分，即每场比赛双方的得分之和是1分．两名高一年级的学生共得8分，且每名高二年级的学生都得相同分数，则有7或14 名高二年级的学生参加比赛．（结果用数值作答）考点：组合及组合数公式．专题：概率与统计．分析：设高二学生有n名．则共比赛场，每名高二年级的学生都得相同分数为k．可得．化为n2+（3﹣2k）n﹣14=0，通过对﹣14分解质因数，利用根与系数的关系即可得出．解答：解：设高二学生有n名．则共比赛场，每名高二年级的学生都得相同分数为k．∴．化为n2+（3﹣2k）n﹣14=0，∵﹣14=﹣2×7=2×（﹣7）=﹣1×14=1×（﹣14）．当2k﹣3=7﹣2时，可得k=4，此时n=7，当2k﹣3=14﹣1时，可得k=8，此时n=14．而2k﹣3=2﹣7或2k﹣3=1﹣14，k＜0，舍去．综上可得：n=7或14．故答案为：7或14．点评：本题考查了组合的计算公式、分类讨论思想方法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．23．（5分）在下列幂函数中，是偶函数且在（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=x﹣2B．C．D．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由幂函数的奇偶性和单调性，以及定义，对选项加以判断，即可得到是偶函数且在（0，+∞）上是增函数的函数．解答：解：对于A．有f（﹣x）=f（x），是偶函数，但在（0，+∞）上递减，则A不满足；对于B．定义域为[0，+∞），不关于原点对称，不具奇偶性，则B不满足；对于C．有f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数，则C不满足；对于D．定义域R关于原点对称，f（﹣x）=f（x），则为偶函数，且在（0，+∞）上递增，则D满足．故选D．点评：本题考查幂函数的性质，考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义和性质，属于基础题和易错题．24．（5分）已知直线l1：3x﹣（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2=0，记．D=0是两条直线l1与直线l2平行的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据3（2k﹣3）+（k+2）k=0得出k=﹣9或k=1，分别判断当k=1时，直线l1：x﹣y+2=0，直线l2：x﹣y+2=0，l1l2重合，当k=9时，直线l1：3x+7y+6=0，直线l2：﹣9x﹣21y+2=0，l1∥l2，根据充分必要条件的定义判断即可．解答：解：∵直线l1：3x﹣（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2=0，记．∴3（2k﹣3）+（k+2）k=0k2+8k﹣9=0，k=﹣9或k=1，当k=1时，直线l1：x﹣y+2=0，直线l2：x﹣y+2=0，∴l1l2重合，当k=9时，直线l1：3x+7y+6=0，直线l2：﹣9x﹣21y+2=0，∴l1∥l2，根据充分必要条件的定义得出：D=0是两条直线l1与直线l2平行的必要不充分条件．故选：B点评：本题考查了直线与直线平面的平行条件，充分必要条件的定义，属于中档题．25．（5分）已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是（）A．M B．N C．P D．Q考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由图可知：z=3+i．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：由图可知：z=3+i．∴复数====2﹣i表示的点是Q（2，﹣1）．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．26．（5分）到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（）A．1个B．4个C．7个D．8个考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：对于四点不共面时，画出对应的几何体，根据几何体和在平面两侧的点的个数分两类，结合图形进行解．解答：解：当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图：①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有四个，②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有7个，故选：C点评：本题考查了空间四点问题，当不共面时构成三棱锥，由几何体的特征再分类讨论进行判断，考查了分类讨论思想和空间想象能力．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.27．（14分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足．（1）求∠B的大小；（2）若b=，△ABC的面积S△ABC=，求a+c的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由正弦定理列出关系式，结合已知等式求出sinB的值，即可确定出B的度数；（2）由三角形面积公式列出关系式，把已知面积与sinB的值代入求出ac的值，再利用余弦定理列出关系式，即可确定出a+c的值．解答：解：（1）由正弦定理：=，得==，∴sinB=，又由B为锐角，得B=；（2）∵S△ABC=acsinB=，sinB=，∴ac=3，根据余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB=7+3=10，∴（a+c）2=a2+c2+2ac=16，则a+c=4．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．28．（14分）上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定．（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费y（元）与行车里程x（公里）之间的函数关系式y=f（x）．考点：函数解析式的求解及常用方法；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意可知，这8公里内的前3公里的收费是14元，超过3公里而10公里以内每公里按2.4元计价，则8﹣3=5公里的收费是5×2.4=12元，两者相加即是小明应付的车费；（2）分三种情况：前3公里、超过3公里而10公里以内、大于10公里，分别写出函数的表达式，最后用分段函数表示．解答：解：（1）由题意可知，起步（3公里以内）价是14元，则这8公里内的前3公里的收费是14元，超过3公里而10公里以内每公里按2.4元计价，则8﹣3=5公里的收费是5×2.4=12元，总共收费14+12=26（元）故他应付出出租车费26元．（2）3公里以内价是14元，即0＜x≤3时，y=14（元）；大于3公里而不超过10公里时，即3＜x≤10时，收费y=14+（x﹣3）2.4=2.4x+6.8（元）；大于10公里时，即x＞10时，收费y=14+7×2.4+（x﹣10）3.6=3.6x﹣5.2（元）．∴y=点评：本题考点是分段函数的应用，分段模型是解决实际问题的很重要的函数模型，其特点是在不同的自变量取值范围内，函数解析式不同．29．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为面ADD1A1的对角线AD1的中点．PM⊥平面ABCD交AD与M，MN⊥BD于N．（1）求异面直线PN与A1C1所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥P﹣BMN的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）判断出∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角，在△PMN中，∠PMN为直角，，求解得出异面直线PN与A1C1所成角的大小为．（2）BN=，运用，求解得出体积．解答：解：（1）∵点P为面ADD1A1的对角线AD1的中点，且PM⊥平面ABCD，∴PM为△ADD1的中位线，得PM=1，又∵MN⊥BD，∴，∵在底面ABCD中，MN⊥BD，AC⊥BD，∴MN∥AC，又∵A1C1∥AC，∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角，在△PMN中，∠PMN为直角，，∴．即异面直线PN与A1C1所成角的大小为．（2），，点评：本题考查了空间直线的夹角问题，空间几何体的体积计算，属于中档题．30．（14分）理：如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点P为面ADD1A1的对角线AD1上的动点（不包括端点）．PM⊥平面ABCD交AD于点M，MN⊥BD于点N．（1）设AP=x，将PN长表示为x的函数；（2）当PN最小时，求异面直线PN与A1C1所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）考点：异面直线及其所成的角；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；函数的性质及应用；空间角．分析：（1）求出PM，AM，运用余弦定理，求得PN；（2）求出PN的最小值，由于MN∥AC，又A1C1∥AC，∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角的平面角，通过解直角三角形PMN，即可得到．解答：解：（1）在△APM中，，；其中；在△MND中，，在△PMN中，，；（2）当时，PN最小，此时．因为在底面ABCD中，MN⊥BD，AC⊥BD，所以MN∥AC，又A1C1∥AC，∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角的平面角，在△PMN中，∠PMN为直角，，所以，异面直线PN与A1C1所成角的大小．点评：本题考查空间异面直线所成的角的求法，考查二次函数的性质和运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．31．（16分）已知函数（其中a＞1）．（1）判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（3）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上恒满足|F（x）﹣G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上是分离的．试判断函数y=f﹣1（x）与g（x）=a x在闭区间[1，2]上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由．考点：函数奇偶性的性质；反函数．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数奇偶性的定义进行判断；（2）根据反函数的定义，反解x，主要x的取值范围；（3）根据两函数在闭区间上分离的概念课求得解答：解：（1）∵，∴函数y=f（x）的定义域为R，（1分）又∵，∴函数y=f（x）是奇函数．（4分）（2）由，且当x→﹣∞时，，当x→+∞时，，得的值域为实数集．解得，x∈R．（8分）（3）在区间[1，2]上恒成立，即，即a x+a﹣x＞4在区间[1，2]上恒成立，（11分）令a x=t，∵a＞1，∴t∈[a，a2]，在t∈[a，a2]上单调递增，∴，解得，∴．（16分）点评：本题主要考查函数的奇偶性、反函数以及新概念的题目、32．（16分）在数列{a n}中，已知a2=1，前n项和为S n，且．（其中n∈N*）（1）文：求a1；理：求数列{a n}的通项公式；（2）文：求数列{a n}的通项公式；理：求；（3）设，问是否存在正整数p、q（其中1＜p＜q），使得b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；否则，说明理由．考点：数列的求和；极限及其运算．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用递推关系式求数列的通项公式，对首项进行验证．（2）利用（1）的结论直接求出极限．（3）首先假设存在p和q，进一步进行关系验证求出具体的值．解答：解：文（1）因为，令n=2，得，所以a1=0，当n≥2时，，，推得，又a2=1，a3=2a2=3，所以a n+1=n当n=1，2时也成立，所以a n=n﹣1．（2）直接利用（1）的结论：解得：=（3）文理相同：假设存在正整数p、q，使得b1，b p、b q成等比数列，则lgb1，lgb p、lgb q成等差数列，故，（1）由于右边大于，则，即．考查数列的单调性，因为，所以数列为单调递减数列．当p=2时，，代入（1）式得，解得q=3；当p≥3时，（舍）．综上得：满足条件的正整数组（p，q）为（2，3）．点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式求数列的通项公式，极限的应用，存在性问题的应用．属于中等题型．。
2011年上海静安区数学一模试卷
静安区2011年第一学期期末质量抽测初三数学试卷（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．3．本次测试可使用科学计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．如图，下列角中为俯角的是 （A ）∠1； （B ）∠2； （C ）∠3；（D ）∠4．2．在Rt △ABC 中，90=∠C °，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列等式中不一定成立的是（A ）B a b tan =； （B ）B c a cos =； （C ）Aac sin =； （D ）A b a cos =．3．如果二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，那么下列判断中， 不正确的是 （A ）a >0； （B ）b <0； （C ）c >0；（D ）abc >0．4．将二次函数2x y =的图像向右平移1个单位，所得图像所表示的函数解析式为 （A ）12+=x y ； （B ）12-=x y ； （C ）2)1(+=x y ； （D ）2)1(-=x y ． 5．如果AB 是非零向量，那么下列等式正确的是 （A=； （B ）AB =BA ；（C ）AB +BA =0；（D=0．6．已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 和BC 上，且DE ∥BC ，DF ∥AC ，那么下列比例式中，正确的是 （A ）BC DE EC AE =； （B ）FBCFEC AE =； （C ）BCDEAC DF =； （D ）BCFCAC EC =．（第3题图）水平线 视线视线1 23 4铅垂线（第1题图）二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知点P 在线段AB 上，AP =4PB ，那么PB ︰AB = ▲ ．8．如果在比例尺为1︰1 000 000的地图上，A 、B 两地的图上距离是3.4厘米，那么A 、B 两地的实际距离是 ▲ 千米．9．已知在△ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =2，那么cos B = ▲ ． 10．已知抛物线2)3(x a y +=有最高点，那么a 的取值范围是 ▲ ．11．如果二次函数43)2(22-++-=m x x m y 的图像经过原点，那么m = ▲ ． 12．请写出一个对称轴是直线x =2的抛物线的表达式，这个表达式可以是 ▲ ． 13．已知在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，点G 为重心，那么GA = ▲ ．14．如果两个相似三角形的面积之比是9∶25，其中小三角形一边上的中线长是12cm ，那么大三角形对应边上的中线长是 ▲ cm ．15．已知在平行四边形ABCD 中，点M 、N 分别是边DC 、BC 的中点，a AB =，b AD =，那么MN 关于a 、b 的分解式是 ▲ ．16．已知抛物线x x y 62+=，点A （2，m ）与点B （n ，4）关于该抛物线的对称轴对称，那么m +n 的值等于 ▲ ．17．如果在坡度为1︰3的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距 离）是6米，那么斜坡上相邻两树间的坡面距离AB 等于 ▲ 米． （结果保留根号）18．在Rt △ABC 中，∠C =90°，BD 是△ABC 的角平分线，将△BCD 沿着直线BD 折叠，点C 落在点C 1处，如果AB =5，AC =4，那么sin ∠ADC 1的值是 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）如图，已知两个不平行的向量a 、b ．先化简，再求作：)223()27(b a b a+-+．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）20．（本题满分10分）ba（第19题图）(第17题图)已知二次函数c bx ax y ++=2的图像经过点（-1，3）、（1，3）和（2，6），求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的顶点坐标和对称轴．21．（本题满分10分）已知：如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，M 是边BC 的 中点，DE ⊥AM ，垂足为E ． 求：线段DE 的长．22．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2千米，点B 位于点A 北偏东60°方向且与点A 相距10千米处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A 正北方向的点D 处． （1）求观测点B 到航线l 的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米 /小时）．1.73，sin760.97°≈，cos760.24°≈，tan76 4.01°≈）23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE ∥BC ，点F 在边 AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF =∠ABE ． 求证：（1）△DEF ∽△BDE ；（2）EF DB DF DG ⋅=⋅．24．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）已知在平面直角坐标系xOy 中，二次函数)0(2>+-=b c bx x y 的图像经过点A （-1，b ），与y 轴相北东C DBEAl （第22题图）C（第23题图）A BCDME（第21题图）交于点B ，且∠ABO 的余切值为3．（1）求点B 的坐标； （2）求这个函数的解析式；（3）如果这个函数图像的顶点为C ，求证：∠ACB =∠ABO ．25．（本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =11，BC =13，AB =12．动点P 、Q 分别在边AD 和BC 上，且BQ =2DP ．线段PQ 与BD 相交于点E ，过点E 作EF ∥BC ，交CD 于点F ，射线PF 交BC 的延长线于点G ，设DP =x ．（1）求CFDF的值． （2）当点P 运动时，试探究四边形EFGQ 的面积 是否会发生变化？如果发生变化，请用x 的代数式 表示四边形EFGQ 的面积S ；如果不发生变化，请 求出这个四边形的面积S ．（3）当△PQG 是以线段PQ 为腰的等腰三角形时， 求x 的值．静安区2011年第一学期期末质量抽测试卷（第25题图）ABQCGFEPD初三数学参考答案及评分说明一、选择题：1．C ； 2．D ； 3．C ； 4．D ； 5．A ； 6．B ． 二、填空题： 7．1∶5； 8．34； 9．13132； 10．a <-3； 11．-2；12．2)2(-=x y 等； 13．2；14．20；15．b a 2121-； 16．-4；17．102； 18．54． 三、解答题：19．解：b a b a b a -=+-+2)223()27(．…………………………………………………（4分）图略．……………………………………………………………………………………（5分） 结论．……………………………………………………………………………………（1分）20．解：根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧++=++=+-=.246,3,3c b a c b a c b a …………………………………………………（2分）解得⎪⎩⎪⎨⎧===.2,0,1c b a ………………………………………………………………………（3分）∴所求二次函数的解析式为22+=x y ，………………………………………（1分）顶点坐标为（0，2），……………………………………………………………（2分） 对称轴为直线x =0．………………………………………………………………（2分）21．解：在矩形ABCD 中，∵M 是边BC 的中点，BC =6，AB =4，∴AM =5．………………………………（2分） ∵AD ∥BC ，∴∠DAE =∠AMB ．…………………………………………………（2分） ∵∠DEA =∠B ，∴△DAE ∽△AMB ．……………………………………………（2分）∴AM AB AD DE =，即546=DE ．……………………………………………………（2分）∴524=DE ．………………………………………………………………………（2分） 22．解：（1）作BH ⊥l ，垂足为点H ，则线段BH 的长度就是点B 到航线l 的距离．根据题意，得∠ADE =90°，∠A =60°，∴∠AED =30°．…………………（1分）又∵AD =2，∴AE =4，32=DE ．……………………………………………（1分） ∵AB =10，∴BE =6．………………………………………………………………（1分） ∵∠BEH =∠AED =30°，∴BH =3，33=EH ．………………………………（1分） （2）在Rt △BCH 中，∵∠CBH =76°，∴BHCH=︒76tan ． ∴03.1201.4376tan 3=⨯≈︒=CH ．……………………………………………（2分） 又∵35=DH ，∴CD =CH -DH =3.38．………………………………………（2分）∴6.4056.4012138.3≈===tCD v ．………………………………………………（2分） 答：该轮船航行的速度约为每小时40.6千米．注：如果由于使用计算器而产生的误差，也可被认可．23．证明：（1）∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ．…………………………………………（1分）∵DE ∥BC ，∴∠ABC +∠BDE =180°，∠ACB +∠CED =180°．……………（1分） ∴∠BDE =∠CED ．………………………………………………………………（1分） ∵∠EDF =∠ABE ，∴△DEF ∽△BDE ．………………………………………（2分）（2）由△DEF ∽△BDE ，得EFDEDE DB =．………………………………………（1分） ∴EF DB DE ⋅=2．………………………………………………………………（1分） 由△DEF ∽△BDE ，得∠BED =∠DFE ．………………………………………（1分） ∵∠GDE =∠EDF ，∴△GDE ∽△EDF ．………………………………………（1分） ∴DFDEDE DG =．……………………………………………………………………（1分） ∴DF DG DE ⋅=2．………………………………………………………………（1分）∴EF DB DF DG ⋅=⋅．…………………………………………………………（1分）24．解：（1）根据题意，得b =1+b +c ．……………………………………………………（1分）∴c = -1．…………………………………………………………………………（1分） ∴B （0，-1）．……………………………………………………………………（1分） （2）过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为点H ．∵∠ABO 的余切值为3，∴3cot ==∠AHBHABO ．……………………………（1分） 而AH =1，∴BH =3．∵BO =1，∴HO =2．………………………………………………………………（1分） ∴b =2．……………………………………………………………………………（1分） ∴所求函数的解析式为122--=x x y ．………………………………………（1分） （3）由2)1(1222--=--=x x x y ，得顶点C 的坐标为（1，-2）．…………（1分） ∴52=AC ，10=AB ，2=BC ，5=AO ，BO =1．…………………（1分）∴2===BOBCAO AB AB AC ．………………………………………………………（1分） ∴△ABC ∽△AOB ．………………………………………………………………（1分） ∴∠ACB =∠ABO ． ………………………………………………………………（1分）25．解：（1）在梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴BQDPBE DE =．……………………………………………………（1分） ∵EF ∥BC ，∴CFDFBE DE =．……………………………………………………（1分） 又∵BQ =2DP ，∴21=CF DF ．……………………………………………………（1分） （2）不发生变化．…………………………………………………………………（1分）在△BCD 中， ∵EF ∥BC ，∴31==DB DE BC EF ． 而BC =13，∴313=EF ．…………………………………………………………（1分） 又∵PD ∥CG ，∴21==CF DF CG PD ． ∴CG =2PD ．∴CG =BQ ，即QG =BC =13．……………………………………………………（1分） 作EM ⊥BC ，垂足为点M ．可求得EM =8．……………………………………………………………………（1分）∴32088)13313(21=⨯+⨯=S ．…………………………………………………（1分） （3）作PH ⊥BC ，垂足为点H ． （i ）当PQ =PG 时，213==GH QH ．…………………………………………………………………（1分）∴x x -=+112132．………………………………………………………………（1分）解得23=x ．………………………………………………………………………（1分）（ii ）当PQ =GQ 时，1312)311(22=+-=x PQ ．……………………………………………………（1分） 解得2=x 或316=x ．……………………………………………………………（2分） 综上所述，当△PQG 是以PQ 为腰的等腰三角形时，x 的值为23、2或316．。
数学_2011年上海市普陀区高考数学一模试卷(文科)_(含答案)
2011年上海市普陀区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1. 设平面向量a →=(1,1)，b →=(0,−4)，则b →⋅a →=________．2. 已知函数f(x)＝2+log a x ，(a >0且a ≠1)，若f(x)的反函数f −1(x)的图象经过点(3, 4)，则a ＝________．3. 已知集合{A =x|lgx ≤0}，{B =x|2x ≤1}，则A ∪B =________．4. 若数列{a n }对任意的n ∈N ∗都有a n+1=a n +a 1，且a 3=6，则a 20=________．5. 若直线l 的一个法向量为n →=(√3,1)，则直线l 的倾斜角为________．6. 已知sinθ=a ，其中θ是第四象限角，则sin2θ=________．7. 已知一个球的半径为R ，一个平面截该球所得小圆的半径为r ，该小圆圆心到球心的距离为d ，则d 关于r 的函数解析式为________．8. 抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆2x 2+4y 2=16的一个焦点，则此抛物线的焦点到其准线的距离为________．9. 若arcsin2x =π3，则x =________． 10. 某种电子产品的采购商指导价为每台200元，若一次采购数量达到一定量，还可享受折扣．图为某位采购商根据折扣情况设计的算法程序框图，则该程序运行时，在输入一个正整数X 之后，输出的变量S 表示的实际意义是________；若一次采购85台该电子产品，则S =________元．11. 方程为x 2+y 2+4x =x −y +1的曲线上任意两点之间距离的最大值为________．12. 高一数学课本中，两角和的正弦公式是在确定了两角差的余弦公式后推导的．即sin(α+β)=________=sinαcosβ+cosαsinβ．（填入推导的步骤）13. 已知数列{a n }的前n 项和S n =−n 2+kn(k ∈R, n ∈N ∗)，则lim n →∞na n S n=________． 14. 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的四面体的以下判断中，所有正确的结论是________（写出所有正确结论的编号）①能构成每个面都是等边三角形的四面体；②能构成每个面都是直角三角形的四面体；③能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15. “x≠0”是“x<0”的（）A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件16. 如图，直角三角形OAB的直角顶点O是空间坐标系O−xyz的原点，点A在Ox轴正半轴上，|OA|=1；点B在Oz轴正半轴上，|OB|=2．我们称△OAB绕Oz轴逆时针旋转π2后得到的旋转体为四分之一圆锥体．以下关于此四分之一圆锥体的三视图的表述错误的是（）A 该四分之一圆锥体主视图和左视图的图形是全等的直角三角形B 该四分之一圆锥体俯视图的图形是一个圆心角为π2的扇形 C 该四分之一圆锥体主视图、左视图和俯视图的图形都是扇形 D 该四分之一圆锥体主视图的图形面积大于俯视图的图形面积17. 双曲线x216−y29=1上到定点(5, 0)的距离是6的点的个数是（）A 0个B 2个C 3个D 4个18. 若对于任意角θ，都有asinθ−bcosθ=1(ab≠0)，则下列不等式中恒成立的是（）A 1a2+1b2≤1 B a2+b2≤1 C 1a2+1b2≥1 D a2+b2≥1三、解答题（共5小题，满分74分）19. 如图，PD⊥平面ABCD，ABCD是边长为2的正方形，PD=1．求异面直线PA与BD所成角的大小．20. 为了贯彻节能减排的理念，国家制定了家电能耗的节能标准．以某品牌的节能型冰箱为例，该节能型冰箱使用一天（24小时）耗电仅0.81度，比普通冰箱约节省电能50%，达到国家一级标准．经测算，每消耗100度电相当于向大气层排放78.5千克二氧化碳，而一棵大树在60年的生命周期内共可以吸收1吨二氧化碳．（1）一台节能型冰箱在一个月（按30天不间断使用计算）中比普通冰箱相当于少向大气层排放多少千克的二氧化碳（精确到0.1千克）？（2）某小城市数千户居民现使用的都是普通冰箱．在“家电下乡”补贴政策支持下，若每月月初都有150户居民“以旧换新”换购节能型冰箱，那么至少多少个月后（每月按30天不间断使用计算），该市所有新增的节能型冰箱少排放的二氧化碳的量可超过150棵大树在60年生命周期内共吸收的二氧化碳的量？21. 已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c．（1）若当∠A=θ时，cosA+2cos(B+C2)取到最大值，求θ的值；（2）设∠A的对边长a=1，当cosA+2cos(B+C2)取到最大值时，求△ABC面积的最大值．22. 设a 为非零实数，偶函数f(x)=x 2+a|x −m|+1，x ∈R ．（1）求实数m 的值；（2）试确定函数f(x)的单调区间（不需证明）；（3）若函数f(x)在区间(−3, −2)上存在零点，试求实数a 的取值范围．23. 已知A 1(x 1, y 1)，A 2(x 2, y 2)，…，A n (x n , y n )是直线l:y =kx +b 上的n 个不同的点（n ∈N ∗，k 、b 均为非零常数），其中数列{x n }为等差数列．（1）求证：数列{y n }是等差数列；（2）若点P 是直线l 上一点，且OP →=a 1OA 1→+a 2OA 2→，求证：a 1+a 2=1；（3）设a 1+a 2+...+a n =1，且当i +j =n +1时，恒有a i =a j (i 和j 都是不大于n 的正整数，且i ≠j)．试探索：在直线l 上是否存在这样的点P ，使得OP →=a 1OA 1→+a 2OA 2→+⋯+a n OA n →成立？请说明你的理由．2011年上海市普陀区高考数学一模试卷（文科）答案1. −42. 43. (−∞, 1]4. 405. 2π36. 2a√1−a 2（或−2√a 2−a 4）7. d =√R 2−r 2，r ∈(0, R)8. 49. √3410. 表示一次采购共需花费的金额,1530011. √1412. cos[π2−(α+β)]=cos(π2−α)cosβ+sin(π2−α)sinβ13. 214. ①②③15. B16. C17. B18. D19. 解：如图，延长DA 至E ，CB 至F ，使得DA =AE ，CB =BF ． 连接AF ，PF ，EF ，DF ．因为ABCD 是正方形，所以AD // BF ，且AD =BF ，所以AF // BD ．故∠PAF （或其补角）的大小即为异面直线PA 与BD 所成角的大小． 又正方形边长为2，PD =1， 故PA =√5，AF =2√2，DF =√CF 2+CD 2=2√5．所以，PF =√PD 2+DF 2=√21．于是，cos∠PAF =PA 2+AF 2−PF 22PA⋅AF =5+8−212⋅√5⋅2√2=−√105， 所以异面直线PA 与BD 所成角的大小为arccos √105． 20. 解：（1）由于节能型冰箱比普通冰箱约节省电能50%，故一台节能型冰箱一天（24小时）消耗的0.81度电相当于比普通冰箱少消耗的电能，所以一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱少消耗电能：0.81×30=24.3（度）；设一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱少排放x 千克二氧化碳，则x24.3=78.5100 x =24.3×78.5100=19.0755≈19.1（千克）；故一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱少向大气层排放约19.1千克的二氧化碳．（2）设个n 月后(n ∈N ∗)，这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过150棵大树在60年生命周期内所吸收的二氧化碳的量，依题意，有19.0775×150×n(n+1)2>150×1000∴ n(n +1)>104.8，因为n ∈N ∗，所以解得n ≥10；所以，至少经过10个月后，这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过150棵大树在60年生命周期内共吸收的二氧化碳的量．21. 解：（1）∵B+C 2=π−A 2， 则cosA +2cos(B+C2)=cosA +2sin(A 2) =1−2sin 2A 2+2sin A 2=−2(sin A 2−12)2+32易得当sin a 2=12，即A =π3时，cosA +2cos(B+C 2)取到最大值，故θ=π3，（2）由（1）的结论S =12bcsinA =√34bc 又∵ a =1，即A =π3由余弦定理可得bc ≤1即S ≤√34故△ABC 面积的最大值√3422. 解：（1）∵ f(x)是偶函数，∴ f(−x)=f(x)在R 上恒成立，即(−x)2+|−x −m|+1=x 2+|x −m|+1，化简整理，得mx =0在R 上恒成立，∴ m =0．（2）由已知，可得f(x)=x 2+a|x|+1，则当a >0时，递增区间为(0, +∞)，递减区间为(−∞, 0)当a <0时，递增区间为[a 2, 0]和[−a 2, +∞)递减区间(−∞, a 2)和(0, a 2) （3）当a >0时，在区间(−3, −2)上f(x)>0恒成立，不满足要求； 当a <0时，若函数f(x)在(−3, −2)上只有一个零点则f(−2)⋅f(−3)<0即(5+2a)⋅(10+3a)<0解得：−103<a <−52 23. 解：（1）证：设等差数列{x n }的公差为d ，∵ y n+1−y n =(kx n+1+b)−(kx n +b)=k(x n+1−x n )=kd ，∴ y n+1−y n 为定值，即数列{y n }是等差数列；（2）证：因为P 、A 1和A 2都是直线l 上一点，故有A 1P →=λPA 2→(λ≠−1)， 于是，OP →=OA 1→+A 1P →=OA 1→+λPA 2→=OA 1→+λ(OA 2→−OP →)，∴ (1+λ)OP →=OA 1→+λOA 2→∴ OP →=11+λOA 1→+λ1+λOA 2→， 令a 1=11+λ，a 2=λ1+λ，则有a 1+a 2=1；（3）假设存在点P(x, y)，满足要求OP →=a 1OA 1→+a 2OA 2→+⋯+a n OA n →， 则有x =a 1x 1+a 2x 2+a 3x 3+...+a n x n ，又当i +j =n +1时，恒有a i =a j ，则又有x=a n x1+a n−1x2+...+a2x n−1+a1x n，∴ 2x=a1(x1+x n)+a2(x2+x n−1)+a3(x3+x n−2)+...+a n(x n+x1)，又∵ 数列{x n}为等差数列；于是x1+x n=x2+x n−1=x3+x n−2=...=x n+x1∴ 2x=(a1+a2+a3+...+a n)(x1+x n)=x1+x n故x=x1+x n2，同理y=y1+y n2，且点P(x1+x n2, y1+y n2)在直线上（是A1、A n的中点），即存在点P(x1+x n2, y1+y n2)满足要求．。
2011届静安区一模数学
静安区2010学年第一学期期末教学质量检测高三年级数学试卷（文理合卷）（本试卷满分150分 考试时间120分钟） 2011.1学生注意：1． 本试卷包括试题纸和答题纸两部分．2． 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3． 可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 设为虚数单位，计算=+ii1 . 2．（理） 幂函数的图象过点，则的值______________. 2．（文）幂函数的图象过点，则其解析式 . 3. 的展开式中常数项是_________．（用数字作答） 4. 若 ，则 ．5. 若直线平行，则_____．6.已知，那么 .7.（理）若实数x 满足对任意正数，均有，则x 的取值范围是 . 7.（文） 若实数x 满足对任意正数，均有，则x 的取值范围是 .8. 已知椭圆的右顶点为，过其焦点且垂直长轴的弦长为1．则椭圆方程为 .9．若直线与抛物线仅有一个公共点，则实数 .10.如图，若框图所给的程序运行的输出结果为，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是 ．11.（理）已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合，则满足的集合A 的个数是 .（用数字作答）11.（文） 已知全集U ={1，2，3，4，5}，集合，则满足的集合A 的个数是 .（用数字作答） 12.（理）已知向量=（1，0），=（0，1），向量满足（，则||的最大值是 . 12.（文）在△ABC 中，∠C=90°，，，则k 的值是 . 13．已知函数，若对任意的，都有，则的最小值为 .14. 设双曲线的左、右焦点分别为、，，若以为斜边的等腰直角三角形的直角边的中点在双曲线上，则等于 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 15．右图给出了某种豆类生长枝数(枝)与时间(月)的散点图，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是………………………………………………………………( ) (A)； (B)； (C)； (D)．16. 下列命题中正确的命题是……………………………（ ） （A ）若存在，当时，有，则说函数在区间上是增函数； （B ）若存在（，当时，有，则说函数在区间上是增函数； （C ）函数的定义域为，若对任意的，都有，则函数在上一定是减函数；（D ）若对任意，当时，有0)()(2121>--x x x f x f ，则说函数在区间上是增函数。
上海市区高考数学一模试卷解析版
高考数学一模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知x∈R，则“x＞0”是“x＞1”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2.下列函数中，值域为（0，+∞）的是（）A. y=2xB.C. y=ln xD. y=cos x3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点P是棱CC1的中点，设直线AB为a，直线A1D1为b，对于下列两个命题：①过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；②过点P有且只有一条直线l与a、b都成45°角，以下判断正确的是（）A. ①为真命题，②为真命题B. ①为真命题，②为假命题C. ①为假命题，②为真命题D. ①为假命题，②为假命题4.某港口某天0时至24时的水深y（米）随时间x（时）变化曲线近似满足如下函数模型：y=0.5sin（ωπx+）+3.24（ω＞0），若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（）A. 16时B. 17时C. 18时D. 19时二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知A={1，2，3，4，5}，B={2，4，6，8}，则A∩B= ______ ．6.方程2x=3的解为______．7.行列式的值为______．8.计算=______．9.若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的母线长为______．10.已知向量=（，），=（，），则∠BAC=______．11.2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有______种．12.已知点（-2，y）在角α终边上，且tan（π-α）=2，则sinα=______．13.近年来，人们支付方式发生巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯，某企业为了解该企业员工A、B两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况，发现样本中A、B 两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了A、B两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如表：支付金额（元）（0，1000]（1000，2000]大于2000支付方式使用A18人29人23人使用B10人24人21人依据以上数据估算：若从该公司随机抽取名员工，则该员工在该月、两种支付方式都使用过的概率为______．14.已知非零向量、、两两不平行，且∥，∥，设，x，y∈R，则x+2y=______．15.已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1-a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N*），记数列{a n}的前n项和为S n，若对所有满足条件的{a n}，S10的最大值为M，最小值为m，则M+m=______．16.已知函数f（x）=|x++a|，若对任意实数a，关于x的不等式f（x）≥m在区间上总有解，则实数m的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.如图，底面为矩形的直棱柱ABCD-A1B1C1D1满足：AA1=4，AD=3，CD=2．（1）求直线A1C与平面AA1D1D所成的角θ的大小；（2）设M、N分别为棱BB1、CD上的动点，求证：三棱锥N-A1AM的体积V为定值，并求出该值．18.在复平面内复数z1、z2所对应的点为Z1、Z2，O为坐标原点，i是虚数单位．（1）z1=1+2i，z2=3-4i，计算z1•z2与；（2）设z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R），求证：|•|≤|z1•z2|，并指出向量、满足什么条件时该不等式取等号．19.如图，某城市有一矩形街心广场ABCD，如图，其中AB=4百米，BC=3百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN种植荷花，其中点M在BC边上，点N在AB边上，要求∠MDN=．（1）若AN=CM=2百米，判断△DMN是否符合要求，并说明理由；（2）设∠CDM=θ，写出△DMN面积的S关于θ的表达式，并求S的最小值．20.已知数列{a n}各项均为正数，S n为其前n项的和，且a n、S n、a n2（n∈N*）成等差数列．（1）写出a1、a2、a3的值，并猜想数列{a n}的通项公式a n；（2）证明（1）中的猜想；（3）设b n=ta n-1（t＞0），T n为数列{b n}的前n项和，若对于任意n∈N*，都有T n∈{b m|m∈N*}，求实数t的值．21.已知函数f（x）=x|x-a|，其中a为常数．（1）当a=1时，解不等式f（x）＜2；（2）已知g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g（x）=f（x），若a ＜0，且，求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数；（3）若在[0，2]上存在n个不同的点x i（i=1，2，…，n，n≥3），x1＜x2＜…＜x n，使得|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（x n-1）-f（x n）|=8，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由题意可知，x∈R，{x|x＞0}⫌{x|x＞1}∴“x＞0”是“x＞1”的必要不充分条件．故选：B．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断，是基础题．2.【答案】A【解析】解：选项A的值域为（0，+∞），选项B的值域为[0，+∞），选项C的值域为R，选项D的值域为[-1，1]．故选：A．由指数函数，幂函数，对数函数及余弦函数的性质直接得解．本题考查常见函数的值域，属于简单题．3.【答案】B【解析】解：直线AB与A1D1是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取BB1的中点Q，则PQ∥A1D1，且PQ=A1D1，设A1Q与AB交于E，则点A1、D1、Q、E、P共面，直线EP必与A1D1相交于某点F，则过P点有且只有一条直线EF与a、b都相交，故①为真命题；分别平移a，b，使a与b均经过P，则有两条互相垂直的直线与a，b都成45°角，故②为假命题．∴①为真命题，②为假命题．故选：B．作出过P与两直线相交的直线l判断①；通过平移直线a，b，结合异面直线所成角的概念判断②．本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，是中档题．4.【答案】D【解析】解：由题意可知，x=0时，y=y=0.5sin（ωπx+）+3.24=3.75，由五点法作图可知：如果当x=16时，函数取得最小值可得：16ωπ+=，可得ω=，此时函数y=0.5sin（x+）+3.24，函数的周期为：T==≈14，该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，满足，如果当x=19时，函数取得最小值可得：19ωπ+=，可得ω=，此时函数y=0.5sin（x+）+3.24，函数的周期为：T==，x=24时，y=0.5sin（×24+）+3.24＞3，如图：该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，不满足，故选：D．本题是单选题，利用回代验证法，结合五点法作图以及函数的最值的位置，判断即可．本题考查三角函数的模型以及应用，三角函数的周期的判断与函数的最值的求法，考查转化思想以及数形结合思想的应用，是难题．5.【答案】{2，4}【解析】解：∵A={1，2，3，4，5}，B={2，4，6，8}，∴A∩B={2，4}．故答案为：{2，4}找出A与B的公共元素，即可确定出交集．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．6.【答案】x=log23【解析】解：∵2x=3，∴指数式化为对数式得：x=log23，故答案为：x=log23．把指数式化为对数式即可求出方程的解．本题主要考查了指数式与对数式的互化，是基础题．7.【答案】5【解析】解：=2×2-1×（-1）=5，故答案为：5．直接代行列式公式可求．本题考查行列式．属于基础题．8.【答案】2【解析】解：===2．故答案为：2．直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．本题考查数列的极限的求法，运算法则的应用，是基础题．9.【答案】2【解析】解：∵圆锥的底面积为π，∴圆锥的底面半径为r，满足πr2=π，解得r=1又∵圆锥的侧面积为2π，∴设圆锥的母线长为l，可得πrl=2π，π•1•l=2π，解之得l=2故答案为：2根据圆面积公式算出底面半径r=1，再由圆锥侧面积公式建立关于母线l的方程，解之即可得到该圆锥的母线长．本题给出圆锥的底面圆面积和侧面积，求它的母线长，着重考查了圆的面积公式和圆锥侧面积公式等知识，属于基础题．10.【答案】【解析】解：向量=（，），=（，），则cos∠BAC===，∴∠BAC=，故答案为：．由题意利用两个向量的夹角公式，求得∠BAC的值．本题主要考查两个向量的夹角公式，属于基础题．11.【答案】72【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①，将3位男生排成一排，有A33=6种情况，②，3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有A42=12种情况，则2位女生不相邻的排法有6×12=72种；故答案为：72根据题意，分2步进行分析：①，将3位男生排成一排，②，3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．12.【答案】【解析】解：由题意可得，tan，∵tan（π-α）=-tanα=2，∴tanα=-2=-，解可得，y=4，∴sinα==．故答案为：．结合三角函数的定义及诱导公式可求y，然后即可求解．本题考查三角函数定义及同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考查．13.【答案】【解析】解：依题意，使用过A种支付方式的人数为：18+29+23=70，使用过B种支付方式的人数为：10+24+21=55，又两种支付方式都没用过的有5人，所以两种支付方式都用过的有（70+55）-（100-5）=30，所以该员工在该月A、B两种支付方式都使用过的概率P==．故答案为：．根据题意，计算出两种支付方式都使用过的人数，即可得到该员工在该月A、B两种支付方式都使用过的概率．本题考查了古典概型的概率，主要考查计算能力，属于基础题．14.【答案】-3【解析】解：因为非零向量、、两两不平行，且∥，∥，∴=m（+）⇒=-；=n（+）⇒=-；∴⇒；∵，x，y∈R．∴x=y=-1；∴x+2y=-3．故答案为：-3．先根据向量共线把用和表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．15.【答案】1078【解析】解：因为数列{a n}满足：a1=1，a n+1-a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N*），∴a2-a1∈{a1}⇒a2-a1=a1=1⇒a2=2；a3-a2∈{a1，a2}⇒a3-a2=1或者a3-a2=2⇒a3=3或者a3=4；a4-a3∈{a1，a2，a3}⇒a4-a3=1，a4-a3=2，a4-a3=3，a4-a3=4⇒a4最小为4，a4最大为8；所以，数列S10的最大值为M时是首项为1，公比为2的等比数列的前十项和；M==1023；S10取最小值m时，是首项为1，公差为1的等差数列的前十项和；m=10×1+=55；∴M+m=1078．故答案为：1078．根据数列的递推关系，求出数列的前四项的最大，最小值，得出何时和最大，何时和最小，进而求得结论．本题考查了数列的递推关系式，等比数列以及等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．本题的关键在于观察出数列的规律．16.【答案】（-∞，]【解析】解：由题意，y=x+在区间上的图象如下图所示：根据题意，对任意实数a，关于x的不等式f（x）≥m在区间上总有解，则只要找到其中一个实数a，使得函数f（x）=|x++a|的最大值最小即可，如图，函数y=x+向下平移到一定才程度时，函数f（x）=|x++a|的最大值最小．此时只有当f（1）=f（3）时，才能保证函数f（x）的最大值最小．设函数y=x+图象向下平移了t个单位，（t＞0）．∴-t=-（2-t），解得t=．∴此时函数f（x）的最大值为-=．根据绝对值函数的特点，可知实数m的取值范围为：（-∞，]．故答案为：（-∞，]．本题要根据数形结合法将函数y=x+的图象向下平移到一定的程度，使得函数f（x）=|x++a|的最大值最小．再算出具体平移了多少单位，即可得到实数m的取值范围．本题主要考查了数形结合法的应用，平移的知识，绝对值函数的特点，以及简单的计算能力．本题属中档题．17.【答案】解：（1）由直棱柱知A1A⊥ABCD，所以A1A⊥CD又因为AD⊥CD，所以直线CD⊥平面A1ADD1，所以∠CA1D即直线A1C与平面AA1D1D的所成角θ，由题意A1D=5，CD=2，所以所以直线A1C与平面AA1D1D的所成角．（2）记点N到平面A1AM的距离为d，三角形A1AM的面积为，则，由已知d=3，，所以V=4为定值．【解析】（1）说明∠CA1D即直线A1C与平面AA1D1D的所成角θ，通过求解三角形，推出结果即可．（2）记点N到平面A1AM的距离为d，三角形A1AM的面积为，利用，求解即可．本题考查几何体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．18.【答案】解：（1）z1•z2=（1+2i）•（3-4i）=11+2i，∵，，∴；（2）证明：，，∴，，z1•z2=（ac-bd）+（ad+bc）i，，∴=（ac-bd）2+（ad+bc）2-（ac+bd）2=（ad）2+2ad•bc+（bc）2-4ad•bc=（ad-bc）2≥0，∴，当ad=bc时取“=”，此时．【解析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出z1•z2=11+2i，可知，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）容易求出z1•z2=（ac-bd）+（ad+bc）i，从而求出，并可求出，然后作差即可判断出，进而得出，并且可得出ad=bc时取等号．本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．19.【答案】解：（1）由题意某城市有一矩形街心广场ABCD，如图，其中AB=4百米，BC=3百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN种植荷花，其中点M在BC边上，点N在AB边上，要求∠MDN=．AN=CM=2百米，可得BN=2，BM=1，所以，，，所以，所以，△DMN不符合要求，（2）∠CDM=θ，，所以，，，=，所以，S的最小值为．【解析】（1）通过求解三角形的边长，利用余弦定理求解∠MDN，判断△DMN是否符合要求，即可．（2）∠CDM=θ，，求出，利用两角和与差的三角函数求解最值即可．本题考查三角形的解法与实际应用，余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：（1）由已知，由2a1=a1+a12所以a1=1，同理可得，a2=2，a3=3，猜想a n=n，（2）证明：当n=1时，显然成立；当n≥2时，，所以得（a n+a n-1）（a n-a n-1-1）=0，因为，所以a n-a n-1=1，数列{a n}为等差数列，又由（1）a1=1，a2=2，所以；（3）解：由（2）知b m=mt-1，．若b m=T n，则，因为m，n都是整数，所以对于任意n∈N*，都是整数，进而是整数所以，此时，因为n的任意性，不妨设b m=T2，则m=3-k＞0，所以k=1或2，①当k=1时，对于任意n∈N*，，②当k=2时，对于任意n∈N*，，所以实数t取值的集合为．【解析】（1）代入，求出a1、a2、a3，猜想出即可；（2）利用等差数列的定义证明即可；（3）由（2）知b m=mt-1，，因为m，n都是整数，所以对于任意n∈N*，都是整数，进而是整数所以，此时，因为n的任意性，不妨设b m=T2，求出即可．考查数列的递推公式，等差数列的通项公式，含参问题的数列前n项和公式的应用，中档题．21.【答案】解：（1）解不等式x|x-1|＜2，当x≥1时，x2-x-2＜0，所以1≤x＜2，当x＜1时，x2-x+2＞0，所以x＜1，综上，该不等式的解集为（-∞，2）；（2）当0≤x≤1时，g（x）=x|x-a|，因为g（x）是以2为周期的偶函数，所以，由g（）=，且a＜0，得a=-2，所以当0≤x≤1时，g（x）=x（x+2）所以当1≤x≤2时，g（x）=g（-x）=g（2-x）=（2-x）（4-x）∈[0，3]．所以函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数为．（3）①当a≤0时，在[0，2]上f（x）=x（x-a），是[0，2]上的增函数，所以|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（x n-1）-f（x n）|=f（x n）-f（x1）≤f（2）所以f（2）=2（2-a）≥8，得a≤-2；②当a≥4时，在[0，2]上f（x）=x（a-x），是[0，2]上的增函数，所以|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（x n-1）-f（x n）|=f（x n）-f（x1）≤f（2）所以f（2）=2（a-2）≥8，得a≥6；③当0＜a＜4时，f（x）在[0，2]上不单调，所以|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（x n-1）-f（x n）|≤2f（x）max，f （2）=2|2-a|＜4，在[0，2]上，．|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（x n-1）-f（x n）|≤2f（x）max＜8，不满足．综上，a的取值范围为（-∞，-2]∪[6，+∞）．③当2≤a＜4时，则，所以f（x）在上单调递增，在上单调递减，于是|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（x n-1）-f（x n）|令，解得a≤-4或a≥4，不符合题意；④当0＜a＜2时，f（x）分别在、[a，2]上单调递增，在上单调递减，|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（x n-1）-f（x n）|令，解得或，不符合题意．综上，所求实数a的取值范围为（-∞，-2]∪[6，+∞）．【解析】（1）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．（2）利用函数的周期和函数的关系式的应用求出函数的反函数．（3）利用绝对值不等式的应用和函数的性质的应用，利用分类讨论思想的应用求出结果．本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法及应用，函数的性质的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．。
上海市静安区高考数学一模试卷 Word版含解析
2017年上海市静安区高考数学一模试卷一、填空题本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则a的取值范围是．2．函数的最小正周期为．3．若复数z为纯虚数，且满足（2﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为．4．二项式展开式中x的系数为．5．用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．6．已知α为锐角，且，则sinα=．7．根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为p毫克/100毫升，且满足关系式（r为常数）．若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过小时方可驾车．（精确到小时）8．已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，满足f（x7）+f（x8）=0，则x2017的值为．9．直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，点M是三角形ABC外接圆上任意一点，则的最大值为．10．已知f（x）=a x﹣b（（a＞0且且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，若对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，则的最小值为．二、选择题本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c（）A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能12．在无穷等比数列{a n}中，，则a1的取值范围是（）A．B．C．（0，1）D．13．某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．336种B．320种C．192种D．144种14．已知椭圆C1，抛物线C2焦点均在x轴上，C1的中心和C2顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则C1的左焦点到C2的准线之间的距离为（）A．B．C．1 D．215．已知y=g（x）与y=h（x）都是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，，h（x）=klog2x（x＞0），若y=g （x）﹣h（x）恰有4个零点，则正实数k的取值范围是（）A．B．C．D．三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB=a，AA1=2a，E，F分别是棱AD，CD 的中点．（1）求异面直线BC1与EF所成角的大小；（2）求四面体CA1EF的体积．17．设双曲线C：，F1，F2为其左右两个焦点．（1）设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求的取值范围；（2）若动点P与双曲线C的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为，求动点P的轨迹方程．18．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南θ角方向，300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．（1）问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由；（2）城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？19．设集合M a={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f （x）}．（1）若f（x）=2x﹣x2，试判断f（x）是否为M1中的元素，并说明理由；（2）若，且g（x）∈M a，求a的取值范围；（3）若（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．20．由n（n≥2）个不同的数构成的数列a1，a2，…a n中，若1≤i＜j≤n时，a j ＜a i（即后面的项a j小于前面项a i），则称a i与a j构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数．如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列的逆序数为4．（1）计算数列的逆序数；（2）计算数列（1≤n≤k，n∈N*）的逆序数；，…a1的逆序数．（3）已知数列a1，a2，…a n的逆序数为a，求a n，a n﹣12017年上海市静安区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则a的取值范围是（0，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义求出a的范围即可．【解答】解：若“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则a的取值范围是（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．2．函数的最小正周期为π．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得f（x）的最小正周期．【解答】解：函数=1﹣3•=1﹣•（1+sin2x）=﹣﹣sin2x的最小正周期为=π，故答案为：π．3．若复数z为纯虚数，且满足（2﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（2﹣i）z=a+i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，由复数z为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：由（2﹣i）z=a+i，得==，∵复数z为纯虚数，∴，解得a=．则实数a的值为：．故答案为：．4．二项式展开式中x的系数为10．【考点】二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式即可求得答案．【解答】解：设二项式展开式的通项为T r+1，则T r+1=x2（5﹣r）•x﹣r=•x10﹣3r，令10﹣3r=1得r=3，∴二项式展开式中x的系数为=10．故答案为：10．5．用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知求出圆锥的底面半径，进一步求得高，代入圆锥体积公式得答案．【解答】解：半径为1米的半圆的周长为=π，则制作成圆锥的底面周长为π，母线长为1，设圆锥的底面半径为r，则2πr=π，即r=．∴圆锥的高为h=．∴V=×=（立方米）．故答案为：．6．已知α为锐角，且，则sinα=．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由α为锐角求出α+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α+）的值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵α为锐角，∴α+∈（，），∵cos（α+）=，∴sin（α+）==，则sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣×=．故答案为：7．根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为p毫克/100毫升，且满足关系式（r为常数）．若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过8小时方可驾车．（精确到小时）【考点】函数模型的选择与应用．【分析】先求出e r=，再利用89•e xr＜20，即可得出结论．【解答】解：由题意，61=89•e2r，∴e r=，∵89•e xr＜20，∴x≥8，故答案为8．8．已知奇函数f （x ）是定义在R 上的增函数，数列{x n }是一个公差为2的等差数列，满足f （x 7）+f （x 8）=0，则x 2017的值为 4019 ． 【考点】数列与函数的综合．【分析】设设x 7=x ，则x 8=x +2，则f （x ）+f （x +2）=0，结合奇函数关于原点的对称性可知，f （x +1）=0=f （0），x 7=﹣1．设数列{x n }通项x n =x 7+2（n ﹣7）．得到通项x n =2n ﹣15．由此能求出x 2011的值． 【解答】解：设x 7=x ，则x 8=x +2， ∵f （x 7）+f （x 8）=0， ∴f （x ）+f （x +2）=0，结合奇函数关于原点的对称性可知， ∴f （x +1）=0=f （0）， 即x +1=0． ∴x=﹣1，设数列{x n }通项x n =x 7+2（n ﹣7）=2n ﹣15 ∴x 2017=2×2017﹣15=4019． 故答案为：40199．直角三角形ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，点M 是三角形ABC 外接圆上任意一点，则的最大值为 12 ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】建立坐标系，设M （），则=（），，【解答】解：如图建立平面直角坐标系，A （0，0），B （3，0），C （0.4），三角形ABC 外接圆（x ﹣）2+（y ﹣2）2=，设M （），则 =（），，，故答案为：12．10．已知f（x）=a x﹣b（（a＞0且且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，若对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，则的最小值为4．【考点】基本不等式．【分析】根据对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，求出a，b的关系，可求的最小值．【解答】解：f（x）=a x﹣b，g（x）=x+1，那么：f（x）•g（x）≤0，即（a x﹣b）（x+1）≤0．对任意实数x均成立，可得a x﹣b=0，x+1=0，故得ab=1．那么：=4，当且仅当x=y=时取等号．故的最小值为4．故答案为：4．二、选择题本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c（）A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的定义即可得出，若直线a、b、c满足a⊥b、b⊥c，则a∥c，或a与c相交，或a与c异面．【解答】解：如图所示：a⊥b，b⊥c，a与c可以相交，异面直线，也可能平行．从而若直线a、b、c满足a⊥b、b⊥c，则a∥c，或a与c相交，或a与c异面．故选D．12．在无穷等比数列{a n}中，，则a1的取值范围是（）A．B．C．（0，1）D．【考点】数列的极限．【分析】利用无穷等比数列和的极限，列出方程，推出a1的取值范围．【解答】解：在无穷等比数列{a n}中，，可知|q|＜1，则=，a1=∈（0，）∪（，1）．故选：D．13．某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．336种B．320种C．192种D．144种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21•C43•A44=192种情况；若甲乙两人都参加，有C22•C42•A44=144种情况，则不同的发言顺序种数192+144=336种，故选：A．14．已知椭圆C1，抛物线C2焦点均在x轴上，C1的中心和C2顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则C1的左焦点到C2的准线之间的距离为（）A．B．C．1 D．2【考点】抛物线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】由表可知：抛物线C2焦点在x轴的正半轴，设抛物线C2：y2=2px（p＞0），则有=2p（x≠0），将（3，﹣2），（4，﹣4）在C2上，代入求得2p=4，即可求得抛物线方程，求得准线方程，设椭圆C1：（a＞b＞0），把点（﹣2，0），（，），即可求得椭圆方程，求得焦点坐标，即可求得C1的左焦点到C2的准线之间的距离．【解答】解：由表可知：抛物线C2焦点在x轴的正半轴，设抛物线C2：y2=2px（p＞0），则有=2p（x≠0），据此验证四个点知（3，﹣2），（4，﹣4）在C2上，代入求得2p=4，∴抛物线C2的标准方程为y2=4x．则焦点坐标为（1，0），准线方程为：x=﹣1，设椭圆C1：（a＞b＞0），把点（﹣2，0），（，）代入得，，解得：，∴C1的标准方程为+y2=1；由c==，左焦点（，0），C的左焦点到C2的准线之间的距离﹣1，1故选B．15．已知y=g（x）与y=h（x）都是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，，h（x）=klog2x（x＞0），若y=g （x）﹣h（x）恰有4个零点，则正实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】问题转化为g（x）和h（x）有4个交点，画出函数g（x），h（x）的图象，结合图象得到关于k的不等式组，解出即可．【解答】解：若y=g（x）﹣h（x）恰有4个零点，即g（x）和h（x）有4个交点，画出函数g（x），h（x）的图象，如图示：，结合图象得：，解得：＜k＜log32，故选：C．三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB=a，AA1=2a，E，F分别是棱AD，CD 的中点．（1）求异面直线BC1与EF所成角的大小；（2）求四面体CA1EF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）连接A1C1，由E，F分别是棱AD，CD的中点，可得EF∥AC，进一步得到EF∥A1C1，可知∠A1C1B为异面直线BC1与EF所成角．然后求解直角三角形得答案；（2）直接利用等体积法把四面体CA1EF的体积转化为三棱锥A1﹣EFC的体积求解．【解答】解：（1）连接A1C1，∵E，F分别是棱AD，CD的中点，∴EF∥AC，则EF∥A1C1，∴∠A1C1B为异面直线BC1与EF所成角．在△A1C1B中，由AB=a，AA1=2a，得，，∴cos∠A1C1B=，∴异面直线BC1与EF所成角的大小为；（2）．17．设双曲线C：，F1，F2为其左右两个焦点．（1）设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求的取值范围；（2）若动点P与双曲线C的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为，求动点P的轨迹方程．【考点】直线与双曲线的位置关系．【分析】（1）设M（x，y），，左焦点，通过利用二次函数的性质求出对称轴，求出的取值范围．（2）写出P点轨迹为椭圆，利用，|PF1|+|PF2|=2a，结合余弦定理，以及基本不等式求解椭圆方程即可．【解答】解：（1）设M（x，y），，左焦点，=…=（）对称轴，…（2）由椭圆定义得：P点轨迹为椭圆，，|PF1|+|PF2|=2a=…由基本不等式得，当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立，b2=4所求动点P的轨迹方程为…18．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南θ角方向，300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．（1）问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由；（2）城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？【考点】圆方程的综合应用．【分析】（1）建立直角坐标系，…，则城市A（0，0），当前台风中心，设t小时后台风中心P的坐标为（x，y），由题意建立方程组，能求出10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A．（2）t小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心，60+10t为半径的圆，由此利用圆的性质能求出结果．【解答】解：（1）如图建立直角坐标系，…则城市A（0，0），当前台风中心，设t小时后台风中心P的坐标为（x，y），则，此时台风的半径为60+10t，10小时后，|PA|≈184.4km，台风的半径为r=160km，∵r＜|PA|，…∴10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A．…（2）由（1）知t小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心，60+10t为半径的圆，若城市A受到台风侵袭，则，∴300t2﹣10800t+86400≤0，即t2﹣36t+288≤0，…解得12≤t≤24…∴该城市受台风侵袭的持续时间为12小时．…19．设集合M a={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f （x）}．（1）若f（x）=2x﹣x2，试判断f（x）是否为M1中的元素，并说明理由；（2）若，且g（x）∈M a，求a的取值范围；（3）若（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）利用f（1）=f（0）=1，判断f（x）∉M1．（2）f（x+a）﹣f（x）＞0，化简，通过判别式小于0，求出a的范围即可．（3）由f（x+a）﹣f（x）＞0，推出，得到对任意x∈[1，+∞）都成立，然后分离变量，通过当﹣1＜k≤0时，当0＜k＜1时，分别求解最小值即可．【解答】解：（1）∵f（1）=f（0）=1，∴f（x）∉M1．…（2）由…∴，…故a＞1．…（3）由，…即：∴对任意x∈[1，+∞）都成立∴…当﹣1＜k≤0时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；…当0＜k＜1时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；…当1≤k＜3时，．…综上：…20．由n（n≥2）个不同的数构成的数列a1，a2，…a n中，若1≤i＜j≤n时，a j ＜a i（即后面的项a j小于前面项a i），则称a i与a j构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数．如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列的逆序数为4．（1）计算数列的逆序数；（2）计算数列（1≤n≤k，n∈N*）的逆序数；，…a1的逆序数．（3）已知数列a1，a2，…a n的逆序数为a，求a n，a n﹣1【考点】数列的求和．【分析】（1）由{a n}为单调递减数列，可得逆序数为99+98+ (1)（2）当n为奇数时，a1＞a3＞…＞a2n＞0．当n为偶数时：0＞a2＞a4＞…＞a2n．可﹣1得逆序数．（3）在数列a1，a2，…a n中，若a1与后面n﹣1个数构成p1个逆序对，则有（n，…a1中，逆序数为（n﹣1）﹣p1+﹣1）﹣p1不构成逆序对，可得在数列a n，a n﹣1（n﹣2）﹣p2+…+（n﹣n）﹣p n．【解答】解：（1）∵{a n}为单调递减数列，∴逆序数为．（2）当n为奇数时，a1＞a3＞…＞a2n＞0．﹣1当n为偶数时：∴0＞a2＞a4＞…＞a2n．当k为奇数时，逆序数为；当k为偶数时，逆序数为．（3）在数列a1，a2，…a n中，若a1与后面n﹣1个数构成p1个逆序对，则有（n﹣1）﹣p1不构成逆序对，所以在数列a n，a n，…a1中，﹣1逆序数为．2017年1月13日。
上海市静安区高三数学上学期期末教学质量检测(一模)试题 理(含解析)
上海市静安区高三数学上学期期末教学质量检测（一模）试题 理（含解析）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{}0,2>==x x y y M ，{})2lg(2x x y x N -==，则=N M . 答案：)2,0(考点：集合的描述法备考建议：强调，对集合描述法要区分集合的代表元。
2．设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则=++++8710a a a a . 答案：25628=考点：二项式定理解法：将1x =-代入式子中备考建议：让学生理解，二项式题型中的赋值法，并补充一些通过某一项系数判断二项式次数的题型。
3．不等式01271<--x 的解集是 . 答案：)4,21(考点：分式不等式的解法备考建议：分式不等式建议通分后再解不等式，易错点是：不等式性质中，若要两边同乘除，要注意所乘所除数的正负性。
4．如图，在四棱锥ABCD P -中，已知⊥PA 底面ABCD ，1=PA ，底面ABCD 是正方形，PC 与底面ABCD 所成角的大小为6π，则该四棱锥的体积是 . 答案：12考点：锥体体积的求法备考建议：让学生熟练掌握各简单几何体面积与体积的公式。
5．已知数列{}n a 的通项公式1222+-+=n nn a （其中*N n ∈），则该数列的前n 项和=n S . 答案：)212(4n n-考点：数列分组求和，等比数列求和。
备考建议：此类题型要让学生观察数列通项公式的结构，从而选择正确的求和方法。
同时，也可带领回忆一下倒序相加、错位相减、裂项相消的常用求和方法及其适用情况。
AB CDP6．已知两个向量a ，b 的夹角为30°，3=a ，b 为单位向量，b t a t c )1(-+=, 若c b ⋅=0，则t = .答案： 2考点：向量的数量积：解法：由于b 与c 、a 、b 的数量积都有联系，故等式两边同乘上一个b 。
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2011届上海市静安区高三数学一模 解答（文理合） 2011.11. i -1； 2．（文）21x （理）16； 3. 15； 4. -4； 5. -1； 6.22112111221121+-+=+-+++n n n n n ； 7. （文）（理）]1,1[-；8.2214yx +=9．0，21； 10. k ≤ 10；或k ＜11；或k=10；11. （文）10； （理）56；12. （文）3， （理）2； 13． 2π；14. 53+=2210+。
15． D ；16. D ；17． B ； 18． C 19．解（1）当1=a 时，⎩⎨⎧-<--≥+=++=11112|1|)(x x x ax x x f ，………………3分简图如右图所示.……………………………………………3分（2）⎩⎨⎧-<---≥++=++=11)1(11)1(|1|)(x x a x x a ax x x f ，……3分当⎩⎨⎧>->+0101a a 或⎩⎨⎧<-<+0101a a ，………………………………3分即1>a 或1-<a 时，)(x f 在R 上分别是增函数和减函数。
所以，当1>a 或1-<a 时，函数)(x f 在R 上具有单调性. ……………………………………………………2分20．解：（1）11cos 2cos 3)1cos 2(2cos 2cos 1)(222-=--=-+--=x x x x x x f …………3分32cos 0cos 0cos 2cos32==⇒=-⇒x x x x 或 …………………………………………………2分Z k k x k x ∈±=+=⇒,32arccos2,2πππ …………………………………………………………2分（2）因为：34)31(cos 31cos 2cos 3)(22--=--=x x x x f ，……………………………………4分所以，当1cos -=x 时，4)(max =x f ；…………………………………………………………………2分 当31cos =x 时，34)(min -=x f …………………………………………………………………………2分21．解：（1）|2|lg )(2++=a x x h ，…………2分 ；x a x g )1()(+=；……………………………2分 （2）由函数)(x f 在区间),)1[(2+∞+a 上是增函数得2)1(21+≤+-a a ，解得123-≥-≤a a 或，…………………………………………………………………………………………2分由函数)(x g 是减函数得01<+a ，解得1-<a ，………………………………………………………1分 再由命题P 、Q 有且仅有一个是真命题，得a 的取值范围是),23()1,23(),1[+∞-=--⋃+∞-.……3分（3）)2lg(26|2|lg 224)2(+++=++++=a a a a f ,……………………………………………………2分 因为在),23(+∞-∈a 上递增，所以2lg 3)223lg()23(26)2(-=+-+-⋅+>f ，即：∈)2(f ),2lg 3(+∞-.………………………………………………………………………………………3分22．解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且⎩⎨⎧=++=++721712q d q d解得2d =，2q =． …………………………………………………………………………2分所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q--==．…………………………………………2分 （2）因为020*******≥-=-=n a c n n 5.1005≥⇔n ，所以，当10051≤≤n 时，0<n c ，当1006≥n 时，0>n c .……………………………………………………………………………………2分 所以当1005=n 时，n A 取得最小值. ……………………………………………………2分 （文）（3）1212n n na nb --=．122135232112222n n n n n S ----=+++++① ………………………2分3252321223222n n n n n S ----=+++++②②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++- …………………………………………………2分 221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭ 1111212221212n n n ----=+⨯-- ……………………………3分 12362n n -+=-．……………………………………………………………………………………………1分 （理）（3）)11()11)(11(12121na a a n K +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++≤等价于min )(n F K ≤，其中)11()11)(11(121)(21n a a a n n F +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=；……………………………………2分因为:⇔>+-++++⋅⋅⋅⋅⋅++=-+0]121)1211(321)[11()11)(11()()1(21n n n a a a n F n F n⇔+>++⋅+121)1222321n n n n 1232221)1222321+⋅+>+⇔>++⋅+n n n n n n38448422++>++⇔n n n n 34>⇔显然成立，所以)(n F 是递增的。
……………4分从而332)1()(min ==≤F n F K . …………………………………………………………2分 或因为：1)1(2)1(21)1(4)1(2)12)(32(22)()1(2=++>-++=+++=+n n n n n n n n F n F ，所以：)(n F 是递增的。
………………………4分； 从而332)1()(min ==≤F n F K .………………………………2分23．（文）解：（1）设P （a ,0）,则)1,(a PA -= ,)2,3(a PQ -=,由题意得PQ PA ⊥，所以02)3)((=+--a a ， …………………………………………………………………………2分解得1,2=a ，所以点P 应取在（2，0）或（1，0）； …………………………………2分 （2）l 不能过点R （3，3）；因为若l 过点R ，设P （a ,0）, …………………………2分 则)1,(a PA -= ,)3,3(a PR -=,由题意得PRPA ⊥，所以03)3)((=+--a a ，即0332=+-a a ，……………………………………………………………………………2分因为0349<⨯-=∆，所以点P 取不到，从而l 不能过点R （3，3）. ……………2分 （3）设直线l 可以经过点B （x ，y ），P （a ，0），………………………………………1分 则0),1,(),,(=∙-=-=PA BP a PA y a x PB 02=+-⇒y ax a ，2=+-y ax a 有解042≥-⇒y x 即42xy ≤，………………………………………3分所以，直线l 可以经过的点B 的集合是}4|),{(2xy y x ≤，即直线l移动的区域是抛物线42xy =及以下部分。
…………………2分简图如右…………………………………………………………2分 23.（理）解：（1）由ax a x a x a x y 4)()(22=--+=⊗=…………………………2分可知：)0,0(42≥≥=y x ax y ，所以轨迹C 为抛物线)0,0(42≥≥=y x ax y 在第一象限内的部分，包括原点；………………………………………………………………………………………………2分 （2）y y x x P d ⊗+⊗=21)(1224421yx +=22yx +=，…………………………………………2分22)(421)(a x P d -=||a x -=， ………………………………………………………………………2分分别表示P 点到原点和到直线a x =的距离；……………………………………………………………2分 （3）设若存在为),(111y x A ),(222y x A ，则由)()(1211A d a A d =且)()(2221A d a A d =得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+||||2222112121a x a y x a x a y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧+-=++-=+)2(4)2(422222222121121a ax x a ax x a ax x a ax x ， 即⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++--0)24()1(0)24()1(3222231221a x a a x a a x a a x a ， 所以0)24()1(32221=++--a x a a x a x x 是方程、的两个根.………………………………………2分 要使21,A A 存在，必须⎪⎩⎪⎨⎧>>+>∆0002121x x x x ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-+>--+011240)1(4)24(32322a a a aa a a a a ，所以必须1>a .…………2分 当1>a 时，由于=+-+--=++-=--22322121211241)())((aa a a aa aa x x a x x a x a x015124223323<--=--+--=a aa a a a aa ，即异号与a x a x --21 (2)分或设322)24()1()(a x a a x a x f ++--=，由=)(a f 322)24()1(a a a a a a ++--0524233223<-=+---=a a a a a a 得a 介于21x x 、之间，即异号与a x a x --21.……………………………………………2分所以)()(2111A d A d +=|)||(|21a x a x a -+-=|)()(|21a x a x a --- =14)1()42(3222---+a aa a a a =4512+-a a a a 。
…………………………………………………………2分。