广东省东莞市2020-2021学年第一学期高一七校联考数学试题

x
x
…………………9 分
当且仅当 x = 200 ，即 x = 10 2 (4,50) 时取等号，
x
…………………10 分
y
= 18400
+
400
x
+
200 x
18400
+
400
20
2 = 18400 + 8000
2
………………11 分
所以当 x = 10 2 时，总造价最低为18400 + 8000 2 元.
则中间区域的长为 x − 4(m) ，宽为 200 − 4(m) ， x (4,50) …………………4 分
x
则
y
=
100
(
x
−
4)
200 x
−
4
+
200
200
−
(
x
−
4
)
200 x
−
4
…………………6 分
整理得
y
=
18400
+
400
x
+
200 x
，
x
(
4,
50)
…………………7 分
（2） x + 200 2 x 200 = 20 2
14．不等式 x2 + 3x − 4 0 的解集．是 _____________．
15．已知函数
f
(x)
=
l o ga
x −1 +1且 x +1
f
(5)
=
7, 则
f
(−5) =___________
16．
设函数
−x2 + 2ax − 7,
f
(
x)
=
a
x−1
,
x 3是定义在 R 上的增函数，则实数 a 的的取值范围是_____ x3
2020-2021 学年第一学期东莞市七校联考试题
高一数学
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知 A={-1，0，1}，B={x|x2<1}，则 A∩B 等于（ ）
A．{-1，0，1}
B．
C．{0}
D．{0，1}
2．“ lg x 0 ”是 “ x 2 ”的（ ）
B．（1，2）
C．（2，3）
6．函数
f
(x) = ex
− e−x x2
的图像大致为
（
）
D．（3，4）
7．已知
a
=
(
1 2
)
1 2
，
b
=
(
1 2
1
)3
，
c
=
log2
3
，则
a，b，c
的大小关系为（
）
A． a b c
B． c b a
C． a c b
D． b c a
8．
中国的 5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式： C
t = 2时， log2 x = 2, x = 4， t = 4 时， log2 x = 4, x = 16 因此函数 f (x) 的零点为 x = 4 和 x = 16
（3） f (x) = (log2 x)2 − 6log2 x + 8 = t2 − 6t + 8 = (t − 3)2 −1
由(1)得 0 t 5，所以 t = 3 时， f (x) 有最小值 −1
选择题：
1、C 2． A 3．D 4．D 5．B 6． B 7．A 8． B
9．AD 10．BC 11．BC 12．BD
填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．_ (1, 4]_． 14．_ (−4,1) _
15．__ −5 _．
16．[3, +) ．
解答题
17．解：（1）若 m = 3 ，则 B = x | 3 x 5
（3）由（2）可知， x [t, +) 时，不等式 f (x) 3 恒成立， 5
……………7 分 ……………8 分 ……………9 分 ……………10 分 ……………11 分 ……………12 分
……………1 分 ……………3 分 ……………4 分 ……………5 分
……………6 分 ……………7 分 ……………8 分 ……………9 分
所以当 t = 0 时, f (x) = 8 ，当 t = 5 时, f (x) = 3 ，
因此,函数 f (x) 的值域为[−1,8]
21．解（1）函数
f
(x)
=
a
−
2
2 x+
1
（
a
R
）为奇函数，
所以
f
(−x)
=
−
f
(x)
，即 a
−
2 2−x +1
=
−a
+
2， 2x +1
所以 2a
=
2+ 2x +1
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．命题“ x R ， x2 + 2x + 2 0 ”的否定是（ ）
A． x R ， x2 + 2x + 2 0
B． x R ， x2 + 2x + 2 0
C． x R ， x2 + 2x + 2 0
D． x R ， x2 + 2x + 2 0
(x)
=
x2
−
x,
x
0
（1）画出函数 f (x) 的图象，写出 f (x) 的单调区间，并指出每个区间的单调性；
（2）若关于 x 的不等式[ f (x)]2 − (a + 2) f (x) + 2a 0 恰有 3 个整数解，求实数 a 的取值范围．
2020-2021 学年第一学期东莞市七校联考答案 高一数学
A． y = x2
B． y = lg10x
C． y = 3 x3
D． y = x2 x
11．下列函数中，即是奇函数，又是 R 上的增函数的是（ ）
A． y = 3x
B． y = x x C． y = x3
D． y = x2
12．已知函数
f
(x)
=
−x2
− 2x, x
m ，如果函数
f
(x)
恰有两个零点，那么实数 m
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题 10 分）设 m 为实数，集合 A = x | −1 x 4 ， B = x | m x m + 2 .
（1）若 m = 3 ，求 A B ， CR (A B) ； （2）若 A B = ，求实数 m 的取值范围．
地面硬化以方便后期放置各类健身
器材，硬化造价为 100 元/ m2 ．设矩形的长为 x (m) ．
（1）将总造价 y （元）表示为长度 x (m) 的函数，并求出定义域；
（2）当 x (m) 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价．
20．（本小题 12 分）已知函数 t = log2 x ， f (x) = (log2 x)2 − 6log2 x + 8 （1）求函数 t = log2 x 在区间[1, 32]上的最大值与最小值； （2）求函数 f (x) 的零点； （3）求函数 f (x) 在区间[1, 32]上的值域．
…………………12 分
20．解:（1）因为对数函数 t = log2 x 是增函数，在区间[1, 32]上，
x = 1时， t 有最小值 log2 1 = 0 ， x = 32 时， t 有最大值 log2 32 = 5
……………4 分
（2）令 f (x) = (log2 x)2 − 6log2 x + 8 = t2 − 6t + 8 = 0 ，解得 t = 2 或 t = 4 ……………5 分
4
44 4
…………12 分
（如果结果没有全对，算出式子中的 3 和 1 ，对一个给 1 分，能化出 2 lg 5 + 2 lg 2 给 1 分，能得出 44
2(lg 5 + lg 2) = 2 再给 1 分）
19．解：（1）因为矩形的长为 x (m) ，则矩形的宽为 200 (m) ，
x
…………………1 分
= W log2 1+
S N
.它表示：在
受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 C 取决于信道带宽 W、信道内信号的平均功率 S、信道内部的高斯噪声
功率 N 的大小。其中 S 叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的 1 可以忽略不计。按照香农公式，若不 N
改变带宽 W，而将信噪比 S 从 1000 提升至 8000，则 C 大约增加了( lg 2 0.3010 ， lg 3 0.4771 )（ ） N
21．（本小题
12
分）已知函数
f
(x)
=
a
−
2
2 x+
1
（
a
R
）为奇函数．
（1）求 a 的值；
（2）判断函数 f (x) 的单调性，并用定义证明； （3）若对任意 x [t, +) ，不等式 f (x) 3 恒成立，求实数 t 的最小值．
5
−x2 + x, x 0
22．（本小题
12
分）已知函数
f
…………………1 分