比值法解决万有引力问题
万有引力做题技巧
万有引力做题技巧万有引力是物理学上的一个基本概念，应用广泛，涉及的题目类型也比较多。
下面是一些关于万有引力题目的解题技巧：1.熟悉万有引力公式：万有引力公式是解决相关题目的基础，要掌握和熟悉它。
公式表达为F=G*((m1*m2)/r^2)，其中F表示引力大小，G是万有引力常量，m1和m2分别表示物体1和物体2的质量，r表示二者之间的距离。
通过这个公式可以计算两个物体之间的吸引力的大小。
2.注意各个变量之间的数值关系：在计算过程中，要注意质量的单位是千克，距离的单位是米，万有引力常量的值是6.67×10^11N·m^2/kg^2。
根据题目给出的信息，将相应的数值代入公式中进行计算。
3.注意万有引力的方向：万有引力是一个向心力，方向始终指向物体之间的中心点。
在计算过程中，方向的表示可以采用正负号来表示，一般来说，吸引力的方向是负数，斥力的方向是正数。
4.多利用牛顿第二定律和万有引力定律的结合：在解决一些复杂问题的时候，可以将牛顿第二定律和万有引力定律结合使用，从而可以解决动态问题。
通过牛顿第二定律可以得到物体的加速度，然后再根据加速度计算物体所受到的引力大小。
5.理解引力的影响因素：万有引力的大小受到质量和距离的影响。
质量越大，引力越大；距离越远，引力越小。
在解题过程中，根据题目给出的条件，分析计算引力的大小和方向变化。
6.注意引力和其他力的叠加：在实际问题中，物体通常同时受到多个力的作用，要注意计算引力和其他力的叠加效应。
可以将这些力的合力用向量的方式表示，然后进行合力的计算。
7.实践和思考：做题时多做一些练习题，积累经验，熟能生巧。
在解题过程中，要善于思考，分析问题，理清推理思路，尝试运用不同的解题方法，提高解题能力。
上述是关于万有引力做题的一些基本技巧，希望对你有所帮助。
在解题过程中，要理解物理概念，掌握基本公式，并结合具体问题进行分析和推理，才能更好地解决问题。
高中物理【万有引力定律】教学课件
[天文观测] 已知自由落体加速度 g＝9.8 m/s2，月地中心间距 r 月地＝3.8×108 m，月球公转周期 T 月＝2.36×106 s，可求得月球绕地球做匀速圆周运动的加速 度 a 月＝T4π月22·r 月地≈2.7×10－3 m/s2，ag月≈6102。
(3)检验结果：地球对月球的引力、地球对地面上物体的引力、太阳与行星 间的引力，遵从_相__同__的规律。
答案：D
主题探究一 对万有引力定律的理解 [问题驱动] 如图 7.2-2 所示，图 7.2-2 甲为两个靠近的人，图 7.2-2 乙为行星围着太阳 运行，他们都是有质量的。
图 7.2-2
(1)任意两个物体之间都存在引力吗？ (2)为什么通常两个人之间感受不到引力？而太阳对行星(或地球对月球、人 造卫星)的引力可以使行星(或月球、人造卫星)围绕太阳(地球)运转？ (3)当两个人之间的距离很近时，即 r→0 时，由公式 F＝GMr2m可知两个人 之间的万有引力变得无穷大，对吗？(5)行星与太阳间的引力： m太mF∝mr2，F∝m
太，可得
F∝mr太2m，可写成
F＝
_G___r_2 __。
2．判断
(1)行星与太阳间的引力大小相等，方向相反。
(√ )
(2)太阳对行星的引力与行星的质量成正比。
(√ )
(3)在推导太阳与行星的引力公式时，用到了牛顿第二定律和牛顿第三定律。 (√ )
三、万有引力定律 1．填一填 (1)内容：自然界中任何两个物体都相互_吸__引__，引力的方向在它们的_连__线__
上，引力的大小与物体的质量 m1 和 m2 的_乘__积__成正比、与它们之间距 离 r 的_二__次__方__成反比。 (2)公式：F＝Gmr1m2 2。 (3)引力常量：式中 G 叫作_引__力__常__量____，大小为 6.67×10－11_N__·m__2_/k_g_2_， 它是由英国物理学家_卡__文__迪__什__在实验室里首先测出的，该实验同时也 验证了万有引力定律。
第5章 第1讲 万有引力定律及应用 2023年高考物理一轮复习(新高考新教材)
自主命题卷全国卷考情分析2021·山东卷·T5万有引力定律2021·湖南卷·T7人造卫星宇宙速度2021·河北卷·T4人造卫星2021·浙江1月选考·T7人造卫星2020·山东卷·T7万有引力定律2020·浙江1月选考·T9人造卫星2020·天津卷·T2人造卫星2021·全国甲卷·T18万有引力定律2021·全国乙卷·T18万有引力定律2020·全国卷Ⅰ·T15万有引力定律2020·全国卷Ⅱ·T15人造卫星2020·全国卷Ⅲ·T16人造卫星2019·全国卷Ⅱ·T14万有引力定律2018·全国卷Ⅰ·T20双星模型试题情境生活实践类地球不同纬度重力加速度的比较学习探究类开普勒第三定律的应用，利用“重力加速度法”、“环绕法”计算天体的质量和密度，卫星运动参量的分析与计算，人造卫星，宇宙速度，天体的“追及”问题，卫星的变轨和对接问题，双星或多星模型第1讲万有引力定律及应用目标要求 1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题.2.掌握计算天体质量和密度的方法．考点一开普勒定律定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等a 3T 2＝k ，k 是一个与行星无关的常量1．围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点．( √ ) 2．行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大．( × )1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．2.由开普勒第二定律可得12Δl 1r 1＝12Δl 2r 2，12v 1·Δt ·r 1＝12v 2·Δt ·r 2，解得v 1v 2＝r 2r 1，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．3．开普勒第三定律a 3T 2＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k 值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．例1 (多选)如图所示，两质量相等的卫星A 、B 绕地球做匀速圆周运动，用R 、T 、E k 、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有( )A ．T A >TB B ．E k A >E k BC ．S A ＝S B D.R A 3T A 2＝R B 3T B2 答案 AD解析 根据开普勒第三定律知，A 、D 正确；由GMm R 2＝m v 2R 和E k ＝12m v 2可得E k ＝GMm2R ，因R A >R B ，m A ＝m B ，则E k A <E k B ，B 错误；根据开普勒第二定律知，同一轨道上的卫星绕地球做匀速圆周运动，与地心连线在单位时间内扫过的面积相等，对于卫星A 、B ，S A 不等于S B ，C 错误．例2 某行星沿椭圆轨道绕太阳运行，如图所示，在这颗行星的轨道上有a 、b 、c 、d 四个对称点．若行星运动周期为T ，则该行星( )A ．从a 到b 的运动时间等于从c 到d 的运动时间B ．从d 经a 到b 的运动时间等于从b 经c 到d 的运动时间C ．a 到b 的时间t ab >T4D ．c 到d 的时间t cd >T4答案 D解析 据开普勒第二定律可知，行星在近日点的速度最大，在远日点的速度最小，行星由a 到b 运动时的平均速率大于由c 到d 运动时的平均速率，而弧长ab 等于弧长cd ，故从a 到b 的运动时间小于从c 到d 的运动时间，同理可知，从d 经a 到b 的运动时间小于从b 经c 到d 的运动时间，A 、B 错误；从a 经b 到c 的时间和从c 经d 到a 的时间均为T 2，可得t ab ＝t da <T 4；t bc ＝t cd >T4，C 错误，D 正确．例3 (2021·安徽六安市示范高中教学质检)国产科幻巨作《流浪地球》开创了中国科幻电影的新纪元，引起了人们对地球如何离开太阳系的热烈讨论．其中有一种思路是不断加速地球使其围绕太阳做半长轴逐渐增大的椭圆轨道运动，最终离开太阳系．假如其中某一过程地球刚好围绕太阳做椭圆轨道运动，地球到太阳的最近距离仍为R ，最远距离为7R (R 为加速前地球与太阳间的距离)，则在该轨道上地球公转周期将变为( ) A ．8年 B ．6年 C ．4年 D ．2年 答案 A解析 由开普勒第三定律得：R3T 2＝(R ＋7R2)3T 12，解得T 1＝8年，选项A 正确．考点二 万有引力定律1．内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比． 2．表达式F ＝G m 1m 2r 2，G 为引力常量，通常取G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，由英国物理学家卡文迪什测定．3．适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离．1．只有天体之间才存在万有引力．( × )2．只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F ＝G m 1m 2r 2计算物体间的万有引力．( × )3．地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心．( √ ) 4．两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．( × )1．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg ，二是提供物体随地球自转的向心力F 向，如图所示．(1)在赤道上：G MmR 2＝mg 1＋mω2R .(2)在两极上：G MmR2＝mg 0.(3)在一般位置：万有引力G MmR2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和．越靠近两极，向心力越小，g 值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR2＝mg .2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)(1)地球表面附近的重力加速度g (不考虑地球自转)：mg ＝G Mm R 2，得g ＝GMR 2.(2)地球上空的重力加速度g ′地球上空距离地球中心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′，mg ′＝GMm (R ＋h )2，得g ′＝GM(R ＋h )2.所以gg ′＝(R ＋h )2R 2.3．万有引力的“两点理解”和“两个推论” (1)两点理解①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力． ②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力． (2)星体内部万有引力的两个推论①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F 引＝0.②推论2：在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m )受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M ′)对它的万有引力，即F ＝G M ′mr 2.考向1 万有引力定律的理解和简单计算例4 (2019·全国卷Ⅱ·14)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h 表示探测器与地球表面的距离，F 表示它所受的地球引力，能够描述F 随h 变化关系的图像是( )答案 D解析 在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律F ＝G Mm(R ＋h )2，可知随着h 的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小，但不是均匀减小的，故能够描述F 随h 变化关系的图像是D.考向2 不同天体表面引力的比较与计算例5 (2020·全国卷Ⅰ·15)火星的质量约为地球质量的110，半径约为地球半径的12，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( ) A ．0.2 B ．0.4 C ．2.0 D ．2.5 答案 B解析 万有引力表达式为F ＝G Mmr 2，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为F 火引F 地引＝M 火r 地2M 地r 火2＝0.4，选项B 正确．考向3 重力和万有引力的关系例6 一火箭从地面由静止开始以5 m/s 2的加速度竖直向上匀加速运动，火箭中有一质量为1.6 kg 的科考仪器，在上升到距地面某一高度时科考仪器的视重为9 N ，则此时火箭离地球表面的距离为地球半径的(地球表面处的重力加速度g 取10 m/s 2)( ) A.12倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．4倍 答案 C解析 在上升到距地面某一高度时，根据牛顿第二定律可得F N －mg ′＝ma ，解得g ′＝ 1016 m/s 2＝g 16，因为G Mr 2＝g ′，可得r ＝4R ，则此时火箭离地球表面的距离为地球半径R 的3倍，选C.例7 某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g 1，“极点”处的重力加速度为g 2，若已知自转周期为T ，则该天体的半径为( ) A.4π2g 1T2 B.4π2g 2T 2 C.(g 2－g 1)T 24π2D.(g 1＋g 2)T 24π2答案 C解析 在“极点”处：mg 2＝GMm R 2；在其表面“赤道”处：GMm R 2－mg 1＝m (2πT)2R ；解得：R ＝(g 2－g 1)T 24π2，故选C.考向4 地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算例8 假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d ，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( ) A ．1－dRB ．1＋dRC.⎝⎛⎭⎫R －d R 2D.⎝⎛⎭⎫R R －d 2答案 A解析 如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零．设地面处的重力加速度为g ，地球质量为M ，地球表面的物体m 受到的重力近似等于万有引力，故mg ＝G Mm R 2，又M ＝ρ·43πR 3，故g ＝43πρGR ；设矿井底部的重力加速度为g ′，图中阴影部分所示球体的半径r ＝R －d ，则g ′＝43πρG (R －d )，联立解得g ′g ＝1－dR，A 正确． 考点三 天体质量和密度的计算应用万有引力定律估算天体的质量、密度 (1)利用天体表面重力加速度已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R .①由G Mm R 2＝mg ，得天体质量M ＝gR 2G .②天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g4πGR.(2)利用运行天体(以已知周期为例)测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T . ①由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得M ＝4π2r 3GT2.②若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3.③若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．考向1 利用“重力加速度法”计算天体质量和密度例9 宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h 处下落，经时间t 落到月球表面．已知引力常量为G ，月球的半径为R .求：(不考虑月球自转的影响) (1)月球表面的自由落体加速度大小g 月； (2)月球的质量M ； (3)月球的密度ρ.答案 (1)2h t 2 (2)2hR 2Gt 2 (3)3h2πRGt 2解析 (1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h ＝12g 月t 2月球表面的自由落体加速度大小g 月＝2ht 2(2)不考虑月球自转的影响，有G MmR 2＝mg 月得月球的质量M ＝2hR 2Gt2(3)月球的密度ρ＝M V ＝2hR 2Gt 24π3R 3＝3h2πRGt 2.考向2 利用“环绕法”计算天体质量和密度例10 (多选)已知引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径R ，地球上一个昼夜的时间T 1(地球自转周期)，一年的时间T 2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离L 2.你能计算出( ) A ．地球的质量m 地＝gR 2GB ．太阳的质量m 太＝4π2L 23GT 22C ．月球的质量m 月＝4π2L 13GT 12D ．太阳的平均密度ρ＝3πGT 22答案 AB解析 对地球表面的一个物体m 0来说，应有m 0g ＝Gm 地m 0R 2，所以地球质量m 地＝gR 2G ，故A项正确；地球绕太阳运动，有Gm 太m 地L 22＝m 地4π2L 2T 22，则m 太＝4π2L 23GT 22，故B 项正确；同理，月球绕地球运动，能求出地球质量，无法求出月球的质量，故C 项错误；由于不知道太阳的半径，不能求出太阳的平均密度，故D 项错误．例11 (2021·全国乙卷·18)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示．科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞．这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖．若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M ，可以推测出该黑洞质量约为( )A ．4×104MB ．4×106MC ．4×108MD ．4×1010M答案 B课时精练1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( ) A ．太阳位于木星运行轨道的中心B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 答案 C解析 由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行椭圆轨道的一个焦点上，故A 错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，故B 错误；根据开普勒第三定律(周期定律)知，太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，故C 正确；对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，故D 错误．2.(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经M 、Q 到N 的运动过程中( )A ．从P 到M 所用的时间等于T 04B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大C ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功 答案 CD解析 根据开普勒第二定律，行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，所以从P 到M 所用的时间小于从M 到Q 所用的时间，而从P 到Q 所用的时间为T 02，所以从P 到M 所用的时间小于T 04，选项A 错误；从Q 到N 阶段，只有万有引力对海王星做功，机械能保持不变，选项B 错误；从P 到Q 阶段，海王星从近日点运动至远日点，速率逐渐减小，选项C正确；从M 到Q 阶段，万有引力做负功，从Q 到N 阶段，万有引力做正功，选项D 正确． 3．2020年7月23日，我国第一个火星探测器“天问一号”成功升空，飞行约7个月抵达火星，已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g ，则火星表面的重力加速度为( ) A ．0.2g B ．0.4g C ．2g D ．4g 答案 B解析 根据地球表面的物体受到的万有引力近似等于重力，有G Mm R 2＝mg 得g ＝GMR 2；同理，火星表面的重力加速度为g ′＝GM ′R ′2＝G ×0.1×M (0.5×R )2＝0.4×GMR 2＝0.4g ，故选B.4．(2017·北京卷·17)利用引力常量G 和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( ) A ．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B ．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C ．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D ．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 答案 D解析 因为不考虑地球的自转，所以地球表面物体所受的万有引力等于重力，即GM 地mR 2＝mg ，得M 地＝gR 2G ，所以根据A 中给出的条件可求出地球的质量；根据GM 地m 卫R 2＝m 卫v 2R 和T ＝2πRv ，得M 地＝v 3T 2πG ，所以根据B 中给出的条件可求出地球的质量；根据GM 地m 月r 2＝m 月4π2T 2r ，得M地＝4π2r 3GT 2，所以根据C 中给出的条件可求出地球的质量；根据GM 太m 地r 02＝m 地4π2T 2r 0，得M 太＝4π2r 03GT 2，所以根据D 中给出的条件可求出太阳的质量，但不能求出地球质量，故选D. 5．(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t 小球落回原处．若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原处．已知该星球的半径与地球半径之比为R 星∶R 地＝1∶4，地球表面重力加速度为g ，设该星球表面附近的重力加速度为g ′，空气阻力不计．则( ) A ．g ′∶g ＝1∶5 B ．g ′∶g ＝5∶2 C ．M 星∶M 地＝1∶20 D ．M 星∶M 地＝1∶80答案 AD解析 设初速度为v 0，由对称性可知竖直上抛的小球在空中运动的时间t ＝2v 0g ，因此得g ′g ＝t 5t ＝15，选项A 正确，B 错误；由G Mm R 2＝mg 得M ＝gR 2G ，则M 星M 地＝g ′R 星2gR 地2＝15×⎝⎛⎭⎫142＝180，选项C 错误，D 正确．6.(2018·浙江4月选考·9)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径为1.2×106 km.已知引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，则土星的质量约为( )A ．5×1017 kgB ．5×1026 kgC ．7×1033 kgD ．4×1036 kg答案 B解析 根据“泰坦”的运动情况，由万有引力提供向心力，则G Mm r 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ，化简得到M ＝4π2r 3GT2，代入数据得M ≈5×1026 kg ，故选B.7．假设某探测器在着陆火星前贴近火星表面运行一周用时为T ，已知火星的半径为R 1，地球的半径为R 2，地球的质量为M ，地球表面的重力加速度为g ，引力常量为G ，则火星的质量为( )A.4π2R 13M gR 22T 2B.gR 22T 2M 4π2R 13C.gR 12GD.gR 22G 答案 A解析 对绕地球表面运动的物体，由牛顿第二定律可知： G MmR 22＝mg 对绕火星表面做匀速圆周运动的物体有： GM 火m R 12＝m (2πT)2R 1 结合两个公式可解得：M 火＝4π2R 13M gR 22T 2，故A 对．8．若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶7.已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R ，不考虑气体阻力．由此可知，该行星的半径约为( ) A.12R B.72R C ．2R D.72R 答案 C解析 由平抛运动规律：x ＝v 0t ，h ＝12gt 2，得x ＝v 02hg，两种情况下，抛出的速率相同，高度相同，故g 行g 地＝74；由G Mm R 02＝mg ，可得g ＝GMR 02，故g 行g 地＝M 行R 行2M 地R 2＝74，解得R 行＝2R ，选项C正确．9．(2020·山东卷·7改编)质量为m 的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t 0、速度由v 0减速到零的过程．已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g ，忽略火星大气阻力．若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为( ) A ．m ⎝⎛⎭⎫0.4g －v 0t 0B ．m ⎝⎛⎭⎫0.4g ＋v 0t 0C ．m ⎝⎛⎭⎫0.2g －v 0t 0D ．m ⎝⎛⎭⎫0.2g ＋v 0t 0答案 B解析 着陆器向下做匀减速直线运动时的加速度大小a ＝v 0t 0.在天体表面附近，有mg ＝G mMR 2，则g 火g ＝M 火M 地·(R 地R 火)2，整理得g 火＝0.4g ，由牛顿第二定律知，着陆器减速运动时有F －mg 火＝ma ，则制动力F ＝m (0.4g ＋v 0t 0)，选项B 正确．10．将一质量为m 的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg 0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg .假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R ，已知引力常量为G ，则由以上信息可得出( ) A ．g 0小于g B ．地球的质量为gR 2GC ．地球自转的角速度为ω＝g 0－gRD ．地球的平均密度为3g4πGR答案 C解析 设地球的质量为M ，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度等于地球自转的角速度，轨道半径等于地球半径，物体在赤道上的重力和物体随地球自转的向心力是万有引力的分力．有G Mm R 2－mg ＝mω2R ，物体在两极受到的重力等于万有引力G MmR 2＝mg 0，所以g 0＞g ，故A 错误；在两极mg 0＝G Mm R 2，解得M ＝g 0R 2G ，故B 错误；由G MmR 2－mg ＝mω2R ，mg 0＝G MmR2，解得ω＝g 0－g R ，故C 正确；地球的平均密度ρ＝M V ＝g 0R 2G 43πR 3＝3g 04πGR，故D 错误． 11．(2021·全国甲卷·18)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s 的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m ．已知火星半径约为3.4×106 m ，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s 2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( ) A ．6×105 m B ．6×106 m C ．6×107 m D ．6×108 m答案 C解析 忽略火星自转，设火星半径为R ， 则火星表面处有GMmR 2＝mg ①可知GM ＝gR 2设与周期为1.8×105 s 的椭圆形停泊轨道周期相同的圆形轨道半径为r ，由万有引力提供向心力可知 GMm r 2＝m 4π2T2r ② 设近火点到火星中心的距离为R 1＝R ＋d 1③ 设远火点到火星中心的距离为R 2＝R ＋d 2④ 由开普勒第三定律可知r3T 2＝(R 1＋R 22)3T 2⑤联立①②③④⑤可得d 2≈6×107 m ，故选C.12．若地球半径为R ，把地球看作质量分布均匀的球体．“蛟龙号”下潜深度为d ，“天宫一号”轨道距离地面高度为h ，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度大小之比为(质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零)( ) A.R －d R ＋hB.(R －d )2(R ＋h )2 C.(R －d )(R ＋h )2R 3D.(R －d )(R ＋h )R 2答案 C解析 设地球的密度为ρ，则在地球表面，物体受到的重力和地球的万有引力大小相等，有g ＝G M R 2.由于地球的质量为M ＝ρ·43πR 3，所以重力加速度的表达式可写成g ＝GMR 2＝G ·ρ43πR 3R 2＝43πGρR .质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d 的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R －d )的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度g ′＝43πGρ(R －d )，所以有g ′g ＝R －d R .根据万有引力提供向心力有G Mm(R ＋h )2＝ma ，“天宫一号”所在处的重力加速度为a ＝GM (R ＋h )2，所以a g ＝R 2(R ＋h )2，g ′a ＝(R －d )(R ＋h )2R 3，故C 正确，A 、B 、D 错误．。
万有引力定律
万有引力定律编辑本词条由“科普中国”百科科学词条编写与应用工作项目审核。
[1] 万有引力定律是艾萨克·牛顿在1687年于《自然哲学的数学原理》上发表的。
牛顿的普适的万有引力定律表示如下：任意两个质点有通过连心线方向上的力相互吸引。
该引力大小与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。
中文名万有引力定律外文名Law of universal gravitation 表达式F=(G×M₁×M₂)/R²提出者艾萨克·牛顿提出时间1687年应用学科数学、自然哲学、物理学、自然学等适用领域范围物理学、自然学等推理依据编辑伽利略在1632年实际上已经提出离心力和向心力的初步想法。
布里阿德在1645年提出了引力平方比关系的思想.牛顿在1665～1666年的手稿中，用自己的方式证明了离心力定律，但向心力这个词可能首先出现在《论运动》的第一个手稿中。
一般人认为离心力定律是惠更斯在1673年发表的《摆钟》一书中提出来的。
根据1684年8月～10月的《论回转物体的运动》一文手稿中，牛顿很可能在这个手稿中第一次提出向心力及其定义。
万有引力与相作用的物体的质量乘积成正比，是发现引力平方反比定律过渡到发现万有引力定律的必要阶段.·牛顿从1665年至1685年，花了整整20年的时间，才沿着离心力—向心力—重力—万有引力概念的演化顺序，终于提出“万有引力”这个概念和词汇。
·牛顿在《自然哲学的数学原理》第三卷中写道：“最后，如果由实验和天文学观测，普遍显示出地球周围的一切天体被地球重力所吸引，并且其重力与它们各自含有的物质之量成比例，则月球同样按照物质之量被地球重力所吸引。
另一方面，它显示出，我们的海洋被月球重力所吸引；并且一切行星相互被重力所吸引，彗星同样被太阳的重力所吸引。
由于这个规则，我们必须普遍承认，一切物体，不论是什么，都被赋与了相互的引力（gravitation）的原理。
关于万有引力定律问题的两种解题思路
解题篇经典题突破方法高考理化 2020年9月利用万有引力定律解题时经常需要结合匀速圆周运动、牛顿运动定律、能量守恒定律等物理规律，因此涉及的物理量、公式比较多，极易出错"在高中阶段 学习万有引力定律时经常会用到三个近似，即将地球的形状近似为球体，将行星的公转轨道近似为圆形，认为重力和万 有引力在大小上近似相等"这种近似方法是解题的前提，再结合以下两种解题思路，问题就简单易解了"思路一：利用黄金代换公式GM — gR 2求解GM 星一g 星R 2,解得M 星2hvR 黄金代换公式是由G 甘一mg 推导得到的，适用于物体在中心天体表面、物体在中心天体的近表面、物体距中心天体表面的高度为H 三种情况°! ! 地球半径与火星半径之比 为2 : 1,地球质量与火星质量之比为9 : 1 o 已知一位航天员在地球表面处的 质量为60 kg,求该航天员在火星表面处的质量和重力° (取g — 9.8 m/s 2 &解析：质量是物体本身的一种特有属性，它不会随物体位置的改变而改变,因此航天员在火星表面处的质量仍为60 kg °航天员在火星表面处的重力g R 2得釜G 火— mg 火—，由 GM R 火1 M*，乂有R地2 M 地GM 火1地4R 2GM 地9，解得G 火4g mg 地一261 N■北京师大附中平谷第一分校赵秋丽 关于万有引力定律问题的两种解题思路G72—评：虽然题目中没有给出此星球表面处的重力加速度，但是可以利用平抛运动在水平方向和竖直方向上的分运动间接求出g ,从而求出行星的质量#思路二：根据F 万一F 向求解当物体没有与中心天体接触且绕中心天体做匀速圆周运动时，需要一个指向圆心的合力，这个力由万有引力提供°常用的关系式有GMm — ma — m C —C r2 4兀2m e c — m -- r&2之比! # 地球的两颗人造卫星质量m 1 : m 2— 1 : 2,轨道半径之比r 2 — 1 : 2 ,求：(1) 线速度大小之比3]: 5。
万有引力定律及其应用
第一单元 万有引力定律及其应用基础知识一.开普勒运动定律(1)开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上．(2)开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等．(3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等． 二.万有引力定律(1)内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比． (2)公式：F ＝G221rm m ,其中2211/1067.6kg m N G ⋅⨯=-，称为为有引力恒量。
(3)适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r 应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体,r 是两球心间的距离．注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G 的物理意义是：G 在数值上等于质量均为1千克的两个质点相距1米时相互作用的万有引力．三、万有引力和重力重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F 向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g 随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大．通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即m 2g ＝G221rm m ,g=GM/r 2常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高度的增大而减小，即g h =GM/（r+h ）2，比较得g h =（hr r +）2·g在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F 向和m 2g 刚好在一条直线上，则有F ＝F 向＋m 2g ， 所以m 2g=F 一F 向＝G221rm m －m 2R ω自2因地球目转角速度很小G221rm m » m 2R ω自2,所以m 2g= G221rm m假设地球自转加快，即ω自变大，由m 2g ＝G 221rm m －m 2R ω自2知物体的重力将变小，当G221rm m =m 2R ω自2时，m 2g=0，此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度ω自＝13G m R，比现在地球自转角速度要大得多.四.天体表面重力加速度问题设天体表面重力加速度为g,天体半径为R ，由mg=2M m G R得g=2M GR,由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为21212212g R M g R M =*五．天体质量和密度的计算原理：天体对它的卫星（或行星）的引力就是卫星绕天体做匀速圆周运动的向心力． G2rmM =m224Tπr ，由此可得：M=2324GTr π；ρ=VM =334RM π=3223RGTr π（R 为行星的半径）由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r 及运行周期T ，就可以算出天体的质量M ．若知道行星的半径则可得行星的密度例题：某物体在地面上受到的重力为160 N ，将它放置在卫星中，在卫星以加速度a ＝½g 随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为90 N 时，求此时卫星距地球表面有多远？（地球半径R ＝6.4×103km,g 取10m/s 2） 解析：设此时火箭上升到离地球表面的高度为h ，火箭上物体受到的支持力为N,物体受到的重力为mg /，据牛顿第二定律．N －mg /=ma ……①在h 高处mg /＝()2h RMmG+……② 在地球表面处mg=2RMm G……③把②③代入①得()ma R h mgRN++=22 ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1ma N mgR h =1.92×104km.说明:在本问题中，牢记基本思路,一是万有引力提供向心力，二是重力约等于万有引力．2、讨论天体运动规律的基本思路基本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。
万有引力定律
万有引力定律及其应用1. 万有引力定律○1内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。
○2表达式：221r m m G F = ○3万有引力定律是两个具有质量的物体间的相互作用力，是宇宙中物体间的一种基本作用形式。
公式中的r 应理解为相互作用的两个物体质心间的距离；对于均匀的球体，r 是两球心间的距离；对地表附近的物体，r 是物体和地心间的距离。
G 称作引力常量：G ＝6.67×10-11N ·m 2/kg 2（不要求记住）○4适用条件： 1、严格地说，万有引力定律的公式只适用于计算质点间的相互作用。
当两个物体间的距离比物体本身大得多时，也可用于近似计算两物体间的万有引力。
2、质量均匀的球体间的相互作用，也可用于万有引力定律公式来计算，式中的r 是两个球体球心间的距离。
3、一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用计算，式中的是球体球心到质点的距离。
2. 三种宇宙速度（1）第一宇宙速度（环绕速度）:v1= 7.9 km/s ,是人造地球卫星的最小发射速度.（2）第二宇宙速度（脱离速度）:v2= 11.2 km/s ,使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.（3）第三宇宙速度（逃逸速度）:v3= 16.7 km/s ,使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.3万有引力定律在天体运动中的应用1.在处理天体的运动问题时,通常把天体的运动看成是匀速圆周 运动,其所需要的向心力由 万有引力 提供.其基本关系式为:在天体表面,忽略自转的情况下有:2. 卫星的绕行速度、角速度、周期与轨道半径r 的关系r f m r Tm r m r v m r Mm G 22222)π2()π2(====ωmg R Mm G =23.体质量M、密度ρ的估算方法点拨1.分析天体运动类问题的一条主线就是F万=F向,抓住黄金代换GM= gR22.近地卫星的线速度即第一宇宙速度,是卫星绕地球做圆周运动的最大速度,也是发射卫星的最小速度.3.因卫星上物体的重力用来提供绕地球做圆周运动的向心力,所以均处于完全失重状态,与重力有关的仪器不能使用,与重力有关的实验不能进行.4.卫星变轨时,离心运动后速度变小 ,向心运动后速度变大 .5.确定天体表面重力加速度的方法有:①测重力法;②单摆法;③平抛（或竖直上抛）物体法;④近地卫星环绕法.【典型题解】类型一万有引力定律及其应用例1（2009·南京模拟）图1所示是我国的“探月工程”向月球发射一颗绕月探测卫星“嫦娥一号”的过程简图.“嫦娥一号”进入月球轨道后,在距离月球表面高为h的轨道上绕月球做匀速圆周运动.（1）若已知月球半径为R 月,月球表面的重力加速度为g 月,则“嫦娥一号”环绕月球运行的周期为多少?（2）若已知R 月= R 地/4,g 月= g 地/6,则近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的多少倍？解析 （1）设“嫦娥一号”环绕月球运行的周期是T,根据牛顿第二定律得（2）对于靠近天体表面的行星或卫星有类型二 中心天体质量、密度的计算例2 把地球绕太阳公转看作匀速率圆周运动，轨道平均半径约为1.5×108 km,已知万有引力常量G=6.67×10-11 N ·m2/kg2,则可估算出太阳的质量大约是多少?（结果取一位有效数字）解析 题干给出地球轨道半径r=1.5×108 km,虽没直接给出地球运转周期数值，但日常知识告诉我们：地球绕太阳公转一周为365天，周期T=365×24×3 600 s=3.2×107 s.万有引力提供向心力 ,故太阳质量r Tm r Mm G 22)π2(例3美国“勇气”号火星车在火星表面成功登陆，登陆时间选择在6万年来火星距地球最近的一次，火星与地球之间的距离仅有5 580万千米，火星车在登陆前绕火星做圆周运动，距火星表面高度为H，火星半径为R，绕行N圈的时间为t.求：（1）若地球、火星绕太阳公转为匀速圆周运动，其周期分别为T地、T火，试比较它的大小；（2）求火星的平均密度（用R、H、N、t、万有引力常量G表示）；（3）火星车登陆后不断地向地球发送所拍摄的照片，地球上接收到的第一张照片大约是火星车多少秒前拍摄的.解析（1）设环绕天体质量为m,中心天体质量为M，类型三卫星变轨问题例3 （2009·山东卷·18）2008年9月25日至28日,我国成功实施了“神舟”七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱.飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟.下列判断正确的是（）A.飞船变轨前后的机械能相等B.飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态C.飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度D.飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度解析由于变轨过程中需点火加速，所以变轨后飞船的机械能增大，选项A错误；宇航员出舱前后均与飞船一起做匀速圆周运动，万有引力提供了做圆周运动的向心力，因此出舱前后航天员都处于失重状态，选项B正确；飞船在圆轨道上运行的周期为90分钟，而同步卫星的周期为24小时，所以飞船在圆轨道上运动的角速度大于同步卫星的角速度，选项C 正确.只要在同一点受到的万有引力相同，由牛顿第二定律得a=,即加速度相同，选项D 错误.答案 BC例4“嫦娥一号”探月卫星发动机关闭，轨道控制结束，卫星进入地月转移轨道.图2中MN 之间的一段曲线表示转移轨道的一部分，P 是轨道上的一点，直线AB 过P 点且和两边轨道相切.下列说法中正确的是（BCD ）A.卫星在此段轨道上，动能一直减小B.卫星经过P 点时动能最小C.卫星经过P 点时速度方向由P 向BD.卫星经过P 点时加速度为零解题归纳 卫星的变轨问题应结合离心运动和向心运动去分析，因为变轨的过程中不满足稳定运行的条件F 向=F 万，而是在原轨道上因为速度减小做向心运动而下降，速度增大做离心运动而升高，但是一旦变轨成功后又要稳定运行，这时又满足F 向=F 万，进而按规律分析即可，在这里要注意，因为原轨道上的速度减小做向心运动轨道降低了，但是降低后在低轨道运行的速度要比原高轨道的速度大.（2009·上海十校联考）2008年9月25日我国成功发射了“神舟七号”飞船，关于“神舟七号”飞船的运动，下列说法中正确的是 （CD ）A.点火后飞船开始做直线运动时，如果认为火箭所受的空气阻力不随速度变化，同时认为推力F （向后喷气获得）和重力加速度g 不变，则火箭做匀加速直线运动B.入轨后，飞船内的航天员处于平衡状态C.入轨后，飞船内的航天员仍受到地球的引力作用，但该引力小于航天员在地面时受到的地球对他的引力D.返回地面将要着陆时，返回舱会开启反推火箭， 这个阶段航天员处于超重状态类型四 万有引力与航天科技例4（2009·天津卷·12）2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A ”的质量与太阳质量的倍数关系.研究发现，有一星体S2绕人马座A 做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50×102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A 就处在该椭圆的一个焦点上.观测得到S2星的运动周期为15.2年.（1）若将S2星的运动轨道视为半径r=9.50×102天文单位的圆轨道，试估算人马座A 的质量MA 是太阳质量MS 的多少倍（结果保留一位有效数字）；（2）黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚.由于引力的作用，黑洞表面处质量为22rGM mr GMmm 的粒子具有的势能为Ep=- （设粒子在离黑洞无限远处的势能为零），式中M 、R 分别表示黑洞的质量和半径.已知引力常量G=6.7×10-11N ·m2/kg2，光速c=3.0×108 m/s ，太阳质量MS=2.0×1030 kg ，太阳半径RS=7.0×108 m ，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A 的半径RA 与太阳半径RS 之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）.解析 （1）S2星绕人马座A 做圆周运动的向心力由人马座A 对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为mS2，角速度为ω，周期为T ，则rE=1天文单位 ⑤代入数据可得 =4×106 ⑥（2）引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时粒子的势能为零，“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零.根据能量守恒定律，粒子在黑洞表面处的能量也小于零，则有例5（2009·四川卷·15）据报道，2009年4月29 日，美国亚利桑那州一天文观测机构发现一颗与太 阳系其他行星逆向运行的小行星，代号为2009HC82.该小行星绕太阳一周的时间为3.39年， 直径2~3千米，其轨道平面与地球轨道平面呈 155°的倾斜.假定该小行星与地球均以太阳为中心 做匀速圆周运动，则小行星和地球绕太阳运动的速度大小的比值为 （ ）22r m M G S A备考作业1.（2009·安徽卷·15）2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙—2251”卫星和美国的“铱—33”卫星在西伯利亚上空约805 km处发生碰撞.这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件.碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境.假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是（）A.甲的运行周期一定比乙的长B.甲距地面的高度一定比乙的高C.甲的向心力一定比乙的小D.甲的加速度一定比乙的大解析根据万有引力提供向心力有由于v甲>v乙，所以甲离地面的高度小于乙离地面的高度，甲的周期小于乙的周期，甲的向心加速度比乙的大.由于甲、乙质量未知，所受向心力大小无法判断.综上所述正确选项为D项.2.（2009·上海市高三物理质量抽查卷）某探月卫星经过多次变轨，最后成为一颗月球卫星.设该卫星的轨道为圆形，且贴近月球表面，则该近月卫星的运行速度率约为（已知月球的质量约为地球质量的1/81,月球半径约为地球半径的1/4，近地地球卫星的速率为7.9 km/s）（）A.1.8 km/sB.0.4 km/sC.11 km/sD.36 km/s3.（2009·徐州三检）卫星甲、乙、丙在如图4所示的三个椭圆轨道上绕地球运行，卫星甲与卫星乙的运行轨道在P点相切.不计大气阻力，以下说法正确的是（）A.卫星甲运行时的周期最大B.卫星乙运行时的机械能最大C.卫星丙的加速度始终大于卫星乙的加速度D.卫星甲、乙分别经过P点时的速度相等4.（2009·苏锡常镇学情调查二）我国发射的“亚洲一号”地球同步通信卫星的质量为1.24 t,在某一确定的轨道上运行.下列说法正确的是（）A.“亚洲一号”卫星定点在北京正上方太空，所以我国可以利用它进行电视转播B.“亚洲一号”卫星的轨道平面一定与赤道平面重合C.若要发射一颗质量为2.48 t的地球同步通信卫星，则该卫星的轨道半径将比“亚洲一号”卫星轨道半径小D.若要发射一颗质量为2.48 t的地球同步通信卫星，则该卫星的轨道半径和“亚洲一号”卫星轨道半径一样大解析同步卫星一定在赤道上方，周期24 h，且高度一定，所以本题应选择B、D.答案 BD5.（2009·长春调研）如图5所示，从地球表面发射一颗卫星，先让其进入椭圆轨道Ⅰ运动，A、B分别为椭圆轨道的近地点和远地点，卫星在远地点B变轨后沿圆轨道Ⅱ运动，下列说法中正确的是（）A.卫星沿轨道Ⅱ运动的周期大于沿轨道Ⅰ运动的周期B.卫星在轨道Ⅱ上C点的速度大于在轨道Ⅰ上A点的速度C.卫星在轨道Ⅱ上的机械能大于在轨道Ⅰ上的机械能D.卫星在轨道Ⅱ上C点的加速度大于在轨道Ⅰ上A点的加速度6.（2009·苏北四市联考）为纪念伽利略将望远镜用于天文观测400周年，2009年被定为以“探索我的宇宙”为主题的国际天文年.我国发射的“嫦娥一号”卫星绕月球经过一年多的运行，完成了既定任务，于2009年3月1日16时13分成功撞月.如图6为“嫦娥一号”卫星撞月的模拟图，卫星在控制点1开始进入撞月轨道.假设卫星绕月球作圆周运动的轨道半径为R ，周期为T ，引力常量为G.根据题中信息，以下说法正确的是（ ）A.可以求出月球的质量B.可以求出月球对“嫦娥一号”卫星的引力C.“嫦娥一号”卫星在控制点1处应减速D.“嫦娥一号”在地面的发射速度大于11.2 km/s7.（2009·天津模拟）2007年10月24日18时29分,图7星箭成功分离之后,“嫦娥一号”卫星进入半径为205 km 的圆轨道上绕地球做圆周运动,卫星在这个轨道上“奔跑”一圈半后,于25日下午进行第一次变轨,变轨后,卫星轨道半径将抬高到离地球约600 km 的地方,如图7所示.已知地球半径为R,表面重力加速度为g,质量为m 的“嫦娥一号”卫星在地球上空的万有引力势能为Ep=（以无穷远处引力势能为零）,r 表示物体到地心的距离.（1）质量为m 的“嫦娥一号”卫星以速率v 在某一圆轨道上绕地球做圆周运动,求此时卫星距地球地面高度h1.（2）要使“嫦娥一号”卫星上升,从离地面高度h1再增加h的轨道上做匀速圆周运动,卫星发动机至少要做多少功?rm gR28.（2009·上海卢湾区）牛顿在1684年提出这样一些理论：当被水平抛出物体的速度达到一定数值v1时，它会沿着一个圆形轨道围绕地球飞行而不落地，这个速度称为环绕速度；当抛射的速度增大到另一个临界值v2时，物体的运动轨道将成为抛物线，它将飞离地球的引力范围，这里的v2我们称其为逃离速度，对地球来讲逃离速度为11.2 km/s.法国数学家兼天文学家拉普拉斯于1796年曾预言：“一个密度如地球而直径约为太阳250倍的发光恒星，由于其引力作用，将不允许任何物体（包括光）离开它.由于这个原因，宇宙中有些天体不会被我们看见.”这种奇怪的天体也就是爱因斯坦在广义相对论中预言的“黑洞（black hole）”.已知对任何密度均匀的球形天体，v2恒为v1的2倍，万有引力恒量为G，地球的半径约为6 400 km,太阳半径为地球半径的109倍，光速c=3.0×108 m/s.请根据牛顿理论求：（1）求质量为M，半径为R的星体逃离速度v2的大小；（2）如果有一黑洞，其质量为地球的10倍，则其半径满足什么条件？（3）若宇宙中一颗发光恒星，直径为太阳的248倍，密度和地球相同，试通过计算分析，该恒星能否被我们看见.。
高中物理必修二---太阳与行星间的引力 第3节 万有引力定律
第2节 太阳与行星间的引力 第3节 万有引力定律 1．知道行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力来源． 2．知道太阳与行星间引力的方向和表达式，知道牛顿运动定律在推导太阳与行星间引力时的作用，知道万有引力定律的适用范围．(难点) 3．理解万有引力定律，会用万有引力定律解决简单的引力计算问题，并且了解引力常量G 的测定在科学历史上的重大意义．(重点)一、太阳与行星间的引力1．太阳对行星的引力：设行星质量为m ，行星到太阳中心的距离为r ，则太阳对行星的引力：F ∝m r2． 2．行星对太阳的引力：太阳与行星的地位相同，因此行星对太阳的引力和太阳对行星的引力规律相同(设太阳质量为M )，即F ′∝M r2． 3．太阳与行星间的引力：根据牛顿第三定律F ＝F ′，又由于F ∝m r 2、F ′∝M r 2，则有F ∝Mm r2，写成等式F ＝G Mm r2，式中G 为比例系数，与太阳、行星都没有关系． 二、月—地检验1．猜想：维持月球绕地球运动的力与使物体下落的力是同一种力，遵从“平方反比”的规律．2．推理：物体在月球轨道上运动时的加速度大约是它在地面附近下落时的加速度的1602． 3．结论：计算结果与预期符合得很好．这表明：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律．三、万有引力定律1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比．2．表达式：F ＝G m 1m 2r2． 3．引力常量G ：由英国物理学家卡文迪许测量得出，常取G ＝6．67×10－11N ·m 2/kg 2．判一判 (1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力．( )(2)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量．( )(3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量．( )(4)海王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的．( )(5)在地面上发射人造卫星的最小速度是7.9 km/s.( )(6)在地面上发射火星探测器的速度应为11.2 km/s<v <16.7 km/s.( )提示：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√做一做 在牛顿的月－地检验中有以下两点：(1)由天文观测数据可知，月球绕地球运行周期为27．32天，月球与地球间相距3．84×108 m ，由此可计算出加速度a ＝0．002 7 m/s 2；(2)地球表面的重力加速度为9．8 m/s 2，月球的向心加速度与地球表面重力加速度之比为1∶3 630，而地球半径(6．4×106 m)和月球与地球间距离的比值为1∶60．这个比值的平方1∶3 600与上面的加速度比值非常接近．以上结果说明( )A ．地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质的力B ．地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力不是同一种性质的力C ．地面物体所受地球的引力只与物体质量有关，即G ＝mgD ．月球所受地球的引力除与月球质量有关外，还与地球质量有关提示：选A ．通过完全独立的途径得出相同的结果，证明了地球表面上的物体所受地球的引力和月球所受地球的引力是同一种性质的力，故选项A 正确．想一想 如何通过天文观测计算月球绕地球转动时的向心加速度呢？提示：通过天文观测我们可以获得月球与地球之间的距离以及月球的公转周期，所以我们可以利用a n ＝4π2T2r 计算月球绕地球运动时的向心加速度．对天体间引力的理解1．太阳与行星间的引力是相互的，沿两个星体连线方向，指向施力星体．2．公式中G 为比例系数，与行星和太阳均没有关系．3．太阳与行星间的引力规律也适用于行星和卫星间．4．该引力规律普遍适用于任何有质量的物体之间．与行星绕太阳运动一样，地球卫星之所以能绕地球运动也同样是因为它受到地球的引力，假设有一颗人造地球卫星，质量为m ，绕地球运动的周期为T ，轨道半径为r ，则应有F ＝4π2mr T2．由此有人得出结论：地球对卫星的引力F 应与r 成正比，你认为该结论是否正确？若不正确错在何处？[解析]不正确．F与r成正比，是建立在周期T不变的前提下的，由开普勒第三定律，人造地球卫星的轨道半径r发生变化时，周期T也在变化，所以不能说F与r成正比．[答案]见解析求解天体间或实际物体间的引力问题时，限于具体条件，有些物理量不便直接测量或直接求解，此时可利用等效的方法间接求解，或通过舍去次要因素、抓住主要因素的方法建立简化模型，或通过相关公式的类比应用消去某些未知量．(多选)下列说法正确的是( )A．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了F＝mv2r，这个关系式实际上是牛顿第二定律的公式，是可以在实验室中得到验证的B．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了v＝2πrT，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由速度的定义式得到的C．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了r3T2＝k，这个关系式实际上是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到验证的D．在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式都是可以在实验室中得到验证的解析：选AB.物理公式或规律，都是在满足一定条件下建立的．有些是通过实验获得，并能在实验室进行验证的，如本题中选项A、B.但有些则无法在实验室证明，如开普勒的三大定律，是根据行星运动的观察结果而总结归纳出来的规律，每一条都是经验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的，故开普勒的三大定律都是在实验室无法验证的定律．公式F＝GMmr2来源于开普勒定律，无法得到验证．故本题正确选项是A、B.对万有引力定律的理解内容自然界中任何两个物体都互相吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比公式F＝Gm1m2r2，其中G＝6．67×10－11N·m2/kg2，称为引力常量，m1、m2分别为两个物体的质量，r为它们之间的距离适用条件(1)严格地说，万有引力定律只适用于质点间的相互作用(2)万有引力定律也适用于计算两个质量分布均匀的球体间的相互作用，其中r是两个球体球心间的距离(3)计算一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为球心与质点间的距离(4)两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中r为两物体质心间的距离特性 普遍性万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力 相互性两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律 宏观性 在地面上的一般物体之间，由于质量比较小，物体间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间，或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，与所在空间的性质无关，与周围是否存在其他物体无关命题视角1 对万有引力定律的理解对于质量为m 1和质量为m 2的两个物体间的万有引力的表达式F ＝G m 1m 2r2，下列说法中正确的是( )A ．两物体所受引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力B ．当两物体间的距离r 趋于0时，万有引力无穷大C ．当有第三个物体放入这两个物体之间时，这两个物体间的万有引力将不变D ．两个物体所受的引力性质可能相同，也可能不同[解析] 物体间的万有引力是一对相互作用力，始终等大反向，故选项A 错误．当物体间距离趋于0时，物体就不能看成质点，因此万有引力定律不再适用，物体间的万有引力不会变得无穷大，选项B 错误．物体间万有引力的大小只与两物体的质量m 1、m 2和物体间的距离r 有关，与是否存在其他物体无关，故选项C 正确．物体间的万有引力是一对同种性质的力，选项D 错误．[答案] C命题视角2 引力常量的测定正是由于卡文迪许测定了引力常量G ，才使得万有引力定律在天文学的发展上起了重要的作用．此实验不仅证明了万有引力的存在，更使得万有引力定律有了真正的实用价值．例如，可以用测定地球表面物体重力加速度的方法测定地球的质量，也正是由于这一应用，使卡文迪许被人们称为是“能称出地球质量的人”．若重力加速度g 取9．8 m/s 2，则还需要知道哪些物理量就能运用所学知识得出地球的质量，并具体估算一下地球质量大约为多少？[解析] 由地球表面物体重力近似等于万有引力得mg ＝G mM R 2，即M ＝gR 2G，因此，要求出地球质量，还要知道引力常量G ，地球半径R .将G ＝6.67×10－11 N ·m 2/kg 2，R ＝6.40×106m 代入可得M ≈6.02×1024 kg.[答案] 引力常量G ，地球半径R 6.02×1024 kg引力常量测定的意义(1)卡文迪许利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性．(2)引力常量的确定使万有引力定律能够进行定量的计算，显示出真正的实用价值．(3)卡文迪许扭秤实验是物理学上非常著名和重要的实验，扭秤实验巧妙地利用等效法合理地将微小量进行放大，开创了测量弱力的新时代．【通关练习】1．(2020·江西上饶期中)下面有关万有引力的说法不正确的是( )A ．F ＝G m 1m 2r2中的G 是比例常数，其值是牛顿通过扭秤实验测得的 B ．地面附近自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的都是地球引力C ．苹果落到地面上，说明地球对苹果有引力，苹果对地球也有引力D ．万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的解析：选A.G 是比例常数，其值是卡文迪许通过扭秤实验测得的，A 错误；由万有引力定律可知，地面附近自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的都是地球引力，B 正确；地球吸引苹果的力与苹果吸引地球的力是相互作用力，因此地球对苹果有引力，苹果对地球也有引力，C 正确；万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的，D 正确．2．(多选)关于引力常量，下列说法正确的是( )A ．引力常量是两个质量为1 kg 的质点相距1 m 时的相互吸引力B ．牛顿发现了万有引力定律，测出了引力常量的值C ．引力常量的测定，证明了万有引力的存在D ．引力常量的测定，使人们可以测出天体的质量解析：选CD.引力常量的大小等于两个质量为1 kg 的质点相距1 m 时的万有引力的数值，而引力常量不能说是两质点间的吸引力，选项A 错误；牛顿发现了万有引力，但他并未测出引力常量，引力常量是卡文迪许巧妙地利用扭秤装置在实验室中第一次比较精确地测出的，所以选项B 错误；引力常量的测出，不仅证明了万有引力的存在，而且也使人们可以测出天体的质量，这也是测出引力常量的意义所在，选项C 、D 正确．万有引力定律的应用1．重力与万有引力的关系在地球表面上的物体所受的万有引力F 可以分解成重力mg 和随地球转动做圆周运动所需要的向心力F ′，如图所示．其中F ＝G Mm R2，而F ′＝mω2r ．从图中可以看出： (1)当物体在赤道上时，F 、mg 、F ′三力同向，此时F ′为最大值F ′max ＝mω2R ，重力为最小值，G min ＝F －F ′＝G Mm R2－mω2R ． (2)当物体在两极时，F ′＝0，F ＝mg ，此时重力等于万有引力，重力为最大值，G max ＝G Mm R 2． 当物体由赤道向两极移动的过程中，向心力逐渐减小，重力逐渐增大，只有物体在两极时物体所受的万有引力才等于重力．(3)在高空中(如绕地球转动的卫星)，重力等于万有引力，即mg ′＝G Mm （R ＋h ）2．由此可知，离地面的高度h 越高，所在处的重力加速度g ′就越小．(4)在地球表面，重力加速度随地理纬度的增加而增大；在地球上空，重力加速度随距地面高度的增大而减小．总之，除在两极外，都不能说重力等于地球对物体的万有引力，但由于分力F ′远小于引力F ，所以在忽略地球自转的问题中，通常认为重力等于万有引力，即mg ＝GMm R2． 2．对重力加速度的“再认识”(1)天体表面的重力加速度在天体表面处，万有引力等于或近似等于重力，则G Mm R 2＝mg ，所以g ＝GM R2(R 为星球半径，M 为星球质量)．由此推得，两个不同天体表面重力加速度的关系为g 1g 2＝R 22R 21·M 1M 2． (2)某高度处的重力加速度若设离天体表面高h 处的重力加速度为g h ，则G Mm （R ＋h ）2＝mg h ，所以g h ＝GM （R ＋h ）2．可见，随高度的增加重力加速度逐渐减小．由以上分析可推得，天体表面和某高度处的重力加速度的关系为g h g ＝R 2（R ＋h ）2． 命题视角1 万有引力的大小计算两艘轮船，质量都是1．0×104 t ，相距10 km ，它们之间的万有引力是多大？这个力与轮船所受重力的比值是多少？(g 取10 m/s 2)[解析] 轮船之间的万有引力F ＝G m 1m 2r 2＝6.67×10－11×1.0×107×1.0×107（10×103）2N ＝6.67×10－5 N.轮船的重力G ＝mg ＝1.0×107×10 N ＝1.0×108 N. 两轮船间的万有引力与轮船所受重力的比值为 F G ＝ 6.67×10－13. [答案] 6.67×10－5 N 6.67×10－13命题视角2 “填补法”在引力求解中的应用有一质量为M 、半径为R 的密度均匀球体，在距离球心O为2R 的地方有一质量为m 的质点，现在从M 中挖去一半径为R 2的球体，如图所示，求剩下部分对m 的万有引力F 为多大？[思路点拨] 挖去一球体后，剩余部分不再是质量分布均匀的球体，不能直接利用万有引力定律公式求解．可先将挖去部分补上来求引力，求出完整球体对质点的引力F 1，再求出被挖去部分对质点的引力F 2，则剩余部分对质点的引力为F ＝F 1－F 2．[解析] 完整球质量M ＝ρ×43πR 3 挖去的小球质量M ′＝ρ×43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18ρ×43πR 3＝M 8由万有引力定律得F 1＝G Mm （2R ）2＝G Mm 4R 2 F 2＝G M ′m r ′2＝G M 8m ⎝⎛⎭⎫3R 22＝G Mm 18R 2 故F ＝F 1－F 2＝G Mm 4R 2－G Mm 18R 2＝7GMm 36R 2. [答案] 7GMm 36R 2命题视角3 天体重力加速度的相关问题火星半径是地球半径的12，火星质量大约是地球质量的19，那么地球表面上质量为50 kg 的宇航员．(1)在火星表面上受到的重力是多少？(2)若宇航员在地球表面能跳1．5 m 高，那他在火星表面能跳多高？(在地球表面的重力加速度g 取10 m/s 2)[思路点拨] 本题涉及星球表面重力加速度的求法，应先求火星表面的重力加速度，再求宇航员在火星表面所受的重力；然后再利用竖直上抛运动规律求上升的高度．[解析] (1)在地球表面有mg ＝G Mm R 2，得g ＝G M R2同理可知，在火星表面上有g ′＝G M ′R ′2 即g ′＝G ⎝⎛⎭⎫19M ⎝⎛⎭⎫12R 2＝4GM 9R 2＝49g ＝409 m/s 2 宇航员在火星表面上受到的重力G ′＝mg ′＝50×409N ＝222.2 N. (2)在地球表面宇航员跳起的高度H ＝v 202g在火星表面宇航员跳起的高度h ＝v 202g ′综上可知，h ＝g g ′H ＝10409×1.5 m ＝3.375 m. [答案] (1)222.2 N (2)3.375 m1．涉及重力与引力关系时应注意的问题(1)由物体所受的重力近似等于地球对物体的引力可知，地球表面的重力加速度g ＝GM R2，即GM ＝gR 2，这是一个常用的“黄金代换式”．(2)重力是万有引力的一个分力，故受力分析时不能重复分析，即分析万有引力时就不必再分析重力．(3)对相对于地面的运动，通常只分析重力；对随地球的自转运动或卫星问题只分析万有引力．(4)除非专门研究随地球自转问题，计算时都可认为重力与万有引力相等．2．运用万有引力定律分析求解相关综合问题时，首先必须明确问题涉及哪些知识内容，需要运用哪些物理规律，并注意把握以下几点：(1)无论问题是涉及运动学规律，还是动力学规律，联系的桥梁都是重力加速度g ，要注意重力加速度的变化，特别是明确星球表面上g 0＝G M R 2，高度h 处g ＝G M （R ＋h ）2，即g 随h 增加而减小．(2)在地球上运用的运动学规律和动力学规律，在其他星球上仍然适用，只是重力加速度g 不同．3．应用挖补法时应注意的两个问题(1)找到原来物体所受的万有引力、挖去部分所受的万有引力与剩余部分所受的万有引力之间的联系．(2)所挖去的部分为规则球体，剩余部分不再为球体时适合应用挖补法．若所挖去部分不是规则球体，则不适合应用挖补法． 【通关练习】 1．宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m ，距地面高度为h ，地球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，则飞船所在处的重力加速度大小为( )A ．0B ．GM （R ＋h ）2C ．GMm （R ＋h ）2D ．GM h2 解析：选B.由G Mm （R ＋h ）2＝mg 得，g ＝GM （R ＋h ）2，故B 项正确． 2．假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d ．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )A ．1－d RB ．1＋d RC ．⎝⎛⎭⎫R －d R 2D ．⎝⎛⎭⎫R R －d 2解析：选A.如图所示，根据“质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零”可知，地面处的球壳对地面与矿井底部之间的环形部分的引力为零．设地面处的重力加速度为g ，地球质量为M ，由地球表面的物体m 1受到的重力近似等于万有引力，可得m 1g ＝G Mm 1R 2，即g ＝GM R2；再将矿井底部所在的球壳包围的球体取出来进行研究，设矿井底部处的重力加速度为g ′，取出的球体的质量为M ′，半径r ＝R －d ，同理可得矿井底部处的物体m 2受到的重力m 2g ′＝G M ′m 2r 2，即g ′＝GM ′r2，又M ＝ρV ＝ρ·43πR 3，M ′＝ρV ′＝ρ·43π(R －d )3，联立解得g ′g ＝1－d R，选项A 正确．[随堂检测]1．万有引力定律首次揭示了自然界中物体间一种基本相互作用的规律．以下说法正确的是( )A ．物体的重力不是地球对物体的万有引力引起的B ．人造地球卫星离地球越远，受到地球的万有引力越大C ．人造地球卫星绕地球运动的向心力由地球对它的万有引力提供D ．宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用解析：选C.物体的重力是由地球的万有引力产生的，万有引力的大小与质量的乘积成正比，与距离的二次方成反比，选项A 、B 错误；人造地球卫星绕地球运动的向心力是由万有引力提供的，选项C 正确；宇宙飞船内的宇航员处于失重状态，是因为宇航员受到的万有引力全部提供了宇航员做圆周运动所需的向心力，选项D 错误．2．一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力大小的( )A ．0．25B ．0．5C ．2倍D ．4倍解析：选C.根据万有引力定律得：宇航员在地球上所受的万有引力F 1＝GM 地m R 2地，在星球上所受的万有引力F 2＝GM 星m R 2星，所以F 2F 1＝M 星R 2地M 地R 2星＝12×22＝2，故C 正确． 3．某行星可看成一个均匀的球体，密度为ρ，若在其赤道上随行星一起转动的物体对行星表面的压力恰好为零，则该行星的自转周期为(引力常量为G )( )A ．4πG 3B ．3πG 4C ． 3πρGD ． πρG解析：选C.根据G Mm r2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ，可得T ＝2πr 3GM ，将M ＝43πr 3ρ代入，可得T ＝3πρG ，故选项C 正确． 4．如图所示，一个质量为M 的匀质实心球，半径为R ．如果从球的正中心挖去一个直径为R 的球，放在相距为d 的地方．求两球之间的引力是多大．解析：根据匀质球的质量与其半径的关系M ＝ρ×43πR 3∝R 3，两部分的质量分别为m ＝M 8，M ′＝7M 8根据万有引力定律，这时两球之间的引力为F ＝G M ′m d 2＝7GM 264d 2． 答案：7GM 264d 25．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t ，小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原处．(取地球表面重力加速度g ＝10 m/s 2，空气阻力不计)(1)求该星球表面附近的重力加速度g ′的大小；(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R 星∶R 地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M 星∶M 地．解析：(1)设竖直上抛小球初速度为v 0，则 v 0＝12gt ＝12g ′×5t ，所以g ′＝15g ＝2 m/s 2．(2)设小球的质量为m ， 则mg ＝G M 地m R 2地，mg ′＝G M 星m R 2星所以M 星∶M 地＝g ′R 2星gR 2地＝15×116＝180．答案：(1)2 m/s 2 (2)1∶80[课时作业] 【A 组 基础过关】1．地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( ) A ．物体在赤道处受的地球引力等于两极处，而重力小于两极处 B ．赤道处的角速度比南纬30°大C ．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大D ．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力解析：选A.由F ＝G MmR 2可知，若将地球看成球形，则物体在地球表面任何位置受到地球的引力都相等，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转的向心力．在赤道上，向心力最大，重力最小，A 对；地表各处的角速度均等于地球自转的角速度，B 错；地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C 错；地面上物体随地球自转的向心力是万有引力与地面支持力的合力，D 错．2．如图所示，两球的半径小于R ，两球质量均匀分布，质量分别为m 1、m 2，则两球间的万有引力大小为( )A ．G m 1m 2R 21B ．G m 1m 2R 22C ．G m 1m 2（R 1＋R 2）2D ．G m 1m 2（R 1＋R 2＋R ）2解析：选D.由万有引力定律公式中“r ”的含义知：r 应为两球心之间的距离，故D 正确． 3．(多选)甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是( )A ．甲的运行周期大于乙的运行周期B ．乙的速度大于第一宇宙速度C ．甲的加速度小于乙的加速度D ．甲在运行时能经过北极的正上方 答案：AC4．(多选)质量为m 的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M ，月球半径为R ，月球表面重力加速度为g ，引力常量为G ，不考虑月球自转的影响，则航天器的( )A ．线速度v ＝GMRB ．角速度ω＝gRC ．运行周期T ＝2πRgD ．向心加速度a ＝GmR2解析：选AC.根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力和万有引力等于重力得出：G MmR 2＝m v 2R ，得v ＝GMR，故A 正确；根据mg ＝mω2R ，得ω＝gR，故B 错误；根据mg ＝m 4π2T 2R ，得T ＝2πR g ，故C 正确；根据万有引力提供向心力得G Mm R 2＝ma ，a ＝GM R2，故D 错误．5．两颗行星的质量分别为m 1和m 2，它们绕太阳运行的轨道半径分别是r 1和r 2，若它们只受太阳引力的作用，那么这两颗行星的向心加速度之比为( )A ．1B ．m 2r 1m 1r 2C ．m 1r 2m 2r 1D ．r 22r 21解析：选D.设行星m 1、m 2的向心力分别为F 1、F 2，由太阳与行星之间的作用规律可得：F 1∝m 1r 21，F 2∝m 2r 22，而a 1＝F 1m 1，a 2＝F 2m 2，故a 1a 2＝r 22r 21，D 正确．6．两个质量均为m 的星体，其连线的垂直平分线为MN ，O 为两星体连线的中点，如图所示，一个质量也为m 的物体从O 沿OM 方向运动，则它受到的万有引力大小变化情况是( )A ．一直增大B ．一直减小C ．先减小，后增大D ．先增大，后减小解析：选D.m 在O 点时，所受万有引力的合力为0，运动到无限远时，万有引力为0，在距O 点不远的任一点，万有引力都不为0，因此D 正确．7．设地球表面重力加速度为g 0，物体在距离地心4R (R 是地球的半径)处，由于地球对物体的万有引力的作用而产生的加速度为g ，则gg 0为( )A ．1B ．19C ．14D ．116解析：选D.地球表面处的重力加速度和在离地心高4R 处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有地面上：G MmR2＝mg 0①离地心4R 处：G Mm（4R ）2＝mg ②由①②两式得g g 0＝⎝⎛⎭⎫R 4R 2＝116．【B 组 素养提升】8．2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h 表示探测器与地球表面的距离，F 表示它所受的地球引力，能够描述F 随h 变化关系的图象是( )解析：选D.在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律，可知随着h 的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小但并不是均匀减小的，故能够描述F 随h 变化关系的图象是D.9．某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的一半，若从地球表面高h 处平抛一物体，射程为60 m ，则在该星球上，从同样高度以同样的初速度平抛同一物体，射程应为( )A ．10 mB ．15 mC ．90 mD ．360 m解析：选A.由平抛运动公式可知，射程x ＝v 0t ＝v 02h g ，即v 0、h 相同的条件下x ∝1g.。
高中物理【万有引力定律及其应用】知识点、规律总结
万有引力的三种计算思路 [素养必备]
1．用万有引力定律计算质点间的万有引力 公式 F＝Gmr1m2 2适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算．当两物体 为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r 为两球心的距离， 引力的方向沿两球心的连线．
14
2．推论法计算万有引力 推论Ⅰ：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的有引力的合力为零． 推论Ⅱ：如图所示，在匀质球体内部距离球心 r 处的质点(m)受到的万有引力等于球 体内半径为 r 的同心球体(M′)对它的引力，即 F＝GMr′2m.
考点一 开普勒行星运动定律
自主学习
1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．
2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动． 3．开普勒第三定律Ta32＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体 k 值
不同．
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考点二 万有引力定律的理解
多维探究
1．万有引力与重力的关系
5
三、经典时空观和相对论时空观 1．经典时空观 (1)物体的质量不随__速__度__的__变__化__而变化． (2)同一过程的位移和对应的时间在所有参考系中测量结果_相__同___． (3)适用条件：宏观物体、_低__速___运动．
6
2．相对论时空观 (1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而__增__加__，用公式表示为 m＝ m1－0 vc22. (2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考 系中是_不__同___的． (3)光速不变原理：不管在哪个惯性系中，测得的真空中的光速都是__不__变__的．
7
1．面积定律是对同一个行星而言的，不同的行星相等时间内扫过的面积不等．由 面积定律可知，行星在近日点的速度比它在远日点的速度大．
万有引力定律是怎样发现的
万有引力定律是怎样发现的摘要本文概括了牛顿发现万有引力定律的全过程。
从牛顿用几何法证明引力平方反比定律时起，通过发现运动第二定律，证明了万有引力与质量的比例关系之后，才发现的。
牛顿从1665年至1685年，花了整整20年的漫长时间，才得出万有引力定律。
关键词：艾萨克•牛顿万有引力定律引力平方反比定律万有引力定律的发现过程从牛顿用几何法证明引力平方反比定律时起，通过发现运动第二定律，证明了万有引力与质量的比例关系之后，才发现的，中间包括地月检验等验证阶段。
这个发现过程与哈累的关心、督促和帮助分不开的。
哈雷是数学家和著名的天文学家，早年毕业与牛津大学的皇后学院。
中学时代就在伦敦研究过磁针变化（1672）。
1675年从事行星和恒星的精测图表工作。
1676年11月至1678年11月去美国的圣•海伦纳（St Helena）,在增补已有的南天星表之后，带回一副完整的星表目录。
1679年当选皇家学会会员。
1680年去巴黎，并在那里遇到卡西尼的天文学家，目睹了1681年彗星出现的情况，并进行观测。
1684年初，他根据开普勒第三定律，得出向心力必定与距离的平方成反比。
为了从几何上加以证明，他在1月的一个星期三，在雷恩的家中与雷恩和胡克聚会。
他们讨论了行星运动问题，如分析行星运动为什么必须考虑引力对切向运动的影响和怎样才能得出引力平方反比关系等。
这后一个问题在当时他们三个都是了解的。
但是，谈到从这个关系怎样才能推导出轨道的形状时，哈雷问胡克，胡克说他能证明，但只有别人都证明不了时他才去做。
当时，哈雷说他愿意提供价值40先令的一本书作为奖励，奖励在两个月内能得出结果的人，可是却无人能解决这个问题。
于是，1684年8月哈雷到剑桥去拜访牛顿。
根据史料，当时牛顿说他在5年前已经证明了这个问题，但是没有找到这份手稿，在8-10月间写出了证明手稿，这就是《论运动》一文手稿。
在这个手稿中，牛顿用几何法和极限概念，证明了椭圆轨道上的引力平方反比定律。
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1地球赤道上的重力加速度为g,物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上
的物体飘起来，则地球的转速应为原来的（）
A ag B aag C aag D ag
2某行星的质量为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重力为600N的人在这个行星的表
面重力将变为960N，由此可推测该行星的半径与地球的半径之比为()
A0.5 B2 C3.2 D4
3月球的半径约为地球的半径的41，月球的表面处的重力加速度约为地球表面处的重
力加速度的61，则（ ）
A月球平均密度约为地球平均密度的32
B环月卫星的最小周期小于环地卫星的最小周期
C环月卫星的第一宇宙速度大于环地卫星的第一宇宙速度
D地球质量约为月球质量的16倍
E如果地球的自转角速度大到赤道上的物体都浮了起来，那么地球的一天时间为1.4h。
那么月球的自转角速度大到赤道上的物体都浮了起来，那么月球的“一天“时间为约1.7h。
F环月卫星的周期可能是1h。
G月球到地心的距离51108.3rkm，则同步卫星离地面42106.3r km。
4设在地球上和天体上以相同的初速度竖直上抛一物体的上升的最大高度之比为k（均不
计阻力），且已知地球和天体的半径之比也为k，则地球的质量与此天体的质量之比为（）
A1 Bk C2k D1/k
5一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量为地球的一半，它的直径也为地球的一
半，那么宇航员在星球表面所受到的万有引力的大小是在地球表面所受到的万有引力的大小
的（ ）倍。
Ａ０．２５ Ｂ０．５ Ｃ２．０ Ｄ４．０
12地球赤道上的物体，由于地球自转产生的向心加速度a=3.37 m/s2，赤道上的重力加速
度g取9.77 m/s2，试问：
（1）质量为m的物体在赤道上所受地球的万有引力为多大？
（2）要使在赤道上的物体由于地球的自转完全失去重力（完全失重），地球自转的角速度
应加快到实际角速度的多少倍？
金星的半径是地球的0..95倍，质量为地球的0.82倍，金星表面的重力加速度是多大？金
星的第一宇宙速度是多大？
某人测定一个凹形里面的半径，在汽车通过凹形路面的最低点时，它注意到车上速度计
的示数为72km/h，悬挂着质量为1kg砝码的弹簧测力计的示数为11.8N，由此估算凹形面
的半径为多少？
一物体在地球表面重16N，它在以的加速度极速上升的火箭中的视重为9N,则此火箭离
地球表面为地球半径的＿＿倍。
一物体在地球表面受到的重力为270N，当物体离地面的高度h=＿＿R时，受地球的引
力减至30N。
某物体在地面上受到的阻力位160N，将它放置在卫星中，在卫星已的加速度随火箭
向上加速上升的过程中，当物体与卫星中支持物的相互挤压力为90N时，卫星距地球表
面有多远？
一物体在地球表面受到地球对它的引力为800N，为使该物体受地球的引力减至50N，
物体离地面的高度h=＿＿R。
假设地球和火星都是球体，火星的质量火M与地球的质量地M之比为pMM地火/ ，
火星的半径火R与地球的半径 地R之比为qRR地火/，试求它们表面处的重力加速度之
比。
月球的半径约为地球的半径的8.31，月球的质量约为地球的质量的811，（１/８１，１
／３．８）
（１）月球的表面处的重力加速度与地球表面处的重力加速度之比是多少？
（２）在月球的表面和地球的表面以同样的初速度竖直上抛一物体，上升的最大高度之比
是多少？
（３）在距月球和地球表面相同高度处，分别以相同的受到平抛一物体时，物体的水平射
程之比是多少？