储蓄问题——数学建模
银行储蓄问题
《数学建模与计算》问题银行储蓄问题1. 具体问题某储蓄所每天的营业时间是上午9：00到下午5：00.根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如下：到下午5：00工作，但中午12：00到下午2：00之间必须安排一小时的午餐时间。
储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬40元。
问该储蓄所应该如何雇佣全时和半时两类服务员?如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？2. 解决方法这道题是典型的运筹学线性规划问题。
设X是全时服务员数量，设y1-y5分别是从9：00am-5:00pm每隔四小时半时服务员数量，故z=min{100*X+40(y1+y2+y3+y4+y5)},z为储蓄所雇佣服务员的每天总费用的功能函数。
1．在全时和半时服务员同时雇佣的情况：雇用总费用，全时服务员数量与半时服务员数量满足下列函数关系：z=100*X+40*(y1+y2+y3+y4+y5);y1+y2+y3+y4+y5<=3;X+y1>=4;X+y1+y2>=3;X+y1+y2+y3>=4;x1+y1+y2+y3+y4>=6;x2+y2+y3+y4+y5>=5;x1+x2=X;X+y3+y4+y5>=6;X+y4+y5>=8;X+y5>=8;X,y1,y2,y3,y4,y5都为整数.2．不能雇佣半时服务员时的情况：雇用总费用，全时服务员数量与半时服务员数量满足下列函数关系：z=100*X;X>=4;X>=3;X>=4;x1>=6;x2>=5;x1+x2=X;X>=8;3．半时服务员数量没有限制时的情况：雇用总费用，全时服务员数量与半时服务员数量满足下列函数关系：z=100*X+40*(y1+y2+y3+y4+y5);X+y1>=4;X+y1+y2>=3;X+y1+y2+y3>=4;x1+y1+y2+y3+y4>=6;x2+y2+y3+y4+y5>=5;x1+x2=X;X+y3+y4+y5>=6;X+y4+y5>=8;X+y5>=8;3. 程序代码1．全时和半时服务员同时雇佣时LINGO代码：model:min=100*X+40*(y1+y2+y3+y4+y5);y1+y2+y3+y4+y5<=3;X+y1>=4;X+y1+y2>=3;X+y1+y2+y3>=4;x1+y1+y2+y3+y4>=6;x2+y2+y3+y4+y5>=5;x1+x2=X;X+y3+y4+y5>=6;X+y4+y5>=8;X+y5>=8;@gin(x1);@gin(x2);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);end2．不能雇佣半时服务员时LINGO代码：model:min=100*X;X>=4;X>=3;X>=4;x1>=6;x2>=5;x1+x2=X;X>=8;@gin(x1);@gin(x2);end3．半时服务员数量没有限制时LINGO代码：model:min=100*X+40*(y1+y2+y3+y4+y5);y1+y2+y3+y4+y5<=3;X+y1>=4;X+y1+y2>=3;X+y1+y2+y3>=4;x1+y1+y2+y3+y4>=6;x2+y2+y3+y4+y5>=5;x1+x2=X;X+y3+y4+y5>=6;X+y4+y5>=8;X+y5>=8;@gin(x1);@gin(x2);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);end4. 结果分析1.对问题所给之对数据，在全时和半时服务员同时雇佣的情况下计算显示如下：Global optimal solution found.Objective value: 820.0000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 11Variable Value Reduced CostX 7.000000 0.000000Y1 0.000000 40.00000Y2 0.000000 40.00000Y3 0.000000 40.00000Y4 2.000000 40.00000Y5 1.000000 40.00000X1 5.000000 100.0000X2 2.000000 100.0000Row Slack or Surplus Dual Price1 820.0000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 3.000000 0.0000004 4.000000 0.0000005 3.000000 0.0000006 1.000000 0.0000007 0.000000 0.0000008 0.000000 100.00009 4.000000 0.00000010 2.000000 0.00000011 0.000000 0.000000结果说明：在全时服务员数量X=7,半时服务员总数为3(y1+y2+y3+y4+Y5=3)时，储蓄所雇佣服务员的每天总费用z最少为820元。
数学建模研究——存贮问题
关于数学建模课程综合性教学内容的设计与研究胡京爽(青岛理工大学理学院，青岛 266033)1、引言数学建模课程的教学方法应当是丰富多彩的，主要的教学方法一般都是案例式教学，通过剖析各种各样的建模案例，让学生体会学习数学建模的实际过程，积累经验。
但是案例式教学内容不应当太过分散，不能完全就是一个一个案例讲解，而是应当从众多的案例中总结出蕴含在其中的某些共性和可遵循的规律，这种共性规律对于启发学生在解决类似问题时将会起到重要的作用。
存贮模型从最简单的微积分优化模型，到具有随机需求、随机供货以及多供应商的数学规划模型，通过详细解剖分析这些模型的特点，能让学生体会到从简单到复杂的循序渐进的建模过程；人口模型则是微分（常微和偏微）方程、差分方程、随机微分方程模型的综合体现，能够体现出利用客观的平衡规律，对同一个背景下的问题可以从不同的角度进行分析，用不同的数学理论与方法进行描述和求解的过程；0-1变量方法的使用则体现了数学建模方法中具有一定普遍意义的专门方法，用这种方法可以解决一系列的问题。
本文探讨的是在教学过程中，在学生掌握了一些基本的数学建模知识的基础上，如何设计教学内容，体现出数学模型方法的渐进性、灵活多样性、层次性、统一性等规律，让学生得到良好的建模实战训练，全面提高学生数学建模的综合素质和能力。
下面介绍三个实例，可以选为数学建模教学的参考案例。
2 教学案例及分析2.1 系列存贮优化模型存贮模型是一类重要的数学模型。
要根据市场需求量状况、存贮费用、订购费用、供货方的生产能力和供货时间、缺货的损失代价等，综合分析，确定使得费用最小或者使得盈利最大的计划。
该类模型类型丰富，层次分明，多种模型体现了有机的统一。
其数学理论方法涉及到简单的优化分析、综合的规划分析、随机优化分析等，特别是在计算离散数量的和时，用到了将离散和转换成定积分计算、并进而转换成计算几何图形面积的方法，在目标函数的构建上，利用平均值作为优化目标的建模方法等。
数学建模——存储模型
数学建模——存储模型存储模型摘要本文建立的是在产品需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限的条件下的存贮模型。
在不允许缺货和允许缺货的这两种情况下，为了简化模型的建立，我们采用了连续的变量来更加合理地来描述问题。
模型的求解是一个以每天的平均费用作为目标函数来求解的优化模型。
本文主要是通过数学中的微积分知识，借助Matlab程序实现，来求目标函数的极值问题，从而求得总费用最小的方案。
首先，在模型一中我们提出了不允许缺货的优化模型，即综合考虑在产品需求稳定不变、生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货以及确定生产周期和产量的情况下，使总费用最小的模型。
这个模型中，通过对得到的目标函数进行分析求解，可以得出经济订货批量公式（EQQ公式），验证了模型一的准确性。
其次，模型二中考虑当缺货的损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费时，提出了允许缺货的贮存模型。
根据贮存量函数和周期之间的关系，得到适用于模型二的目标函数。
此外，在模型二的求解中，当函数中的变量都各自趋于某一定值时，可以近似认为不允许缺货模型是缺货模型的特例。
总而言之，本文中的存贮模型是在总费用中增加购买货物本身的费用时，重新确定最优订货周期和订货批量的优化模型，并且证明了在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样，充分考虑了模型的优化。
关键词：不允许缺货；允许缺货；订货周期；订货批量；matlab程序一、问题重述在我们的周边有一家配件厂，据我们得知，该厂为装配线生产若干种部件时因更换要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费。
现已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。
如果生产能力远大于需求，试求在以下两种情况下来安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。
（1）不允许出现缺货（2）允许出现缺货二、问题分析在第（1）问时，我们不如先来试算一下以下几种情况的结果：若每天生产一次，每次100件，则我们可知，此时无贮存费，生产准备费5000元，每天费用为5000元；若10天生产一次，每次1000件，则我们可知，此时贮存费为900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用为950元；若50天生产一次，每次5000件，则我们可知，此时贮存费为4900+4800+…+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用为2550元；从以上的计算看，生产周期短、产量少，会使贮存费小，准备费大；而周期长、产量多，会使贮存费大，准备费小。
确定性存储问题数学模型
第三节确定性存储问题数学模型对于工厂来说，任务是把进来的原料加工成产品，并把它销售出去。
要生产就要库存一定量的原材料，要销售也需要库存一定量的产品。
库存材料和产品就有存储费的问题，而需求又有确定型和随机型等情况。
如何确定一个最优的生产周期，使得在单位时间内所花费的生产费用最少。
这是摆在工厂管理者面前的现实问题。
我们这节讨论确定性需求存储问题的数学建模。
一、仓库只库存产品的简单情况记k为工厂生产线运转时产品的生产速率，r为商品的销售速率，Q为库存量。
仓库的库存以这样的方式变化：开始时边生产边销售，库存量以速率k－r增加，到时刻t只销售不生产，Q以速率r减少，而到时刻T，Q减少到零，如此为一个周期。
Q与t的关系如图2.3.1所示。
再记c为每开动一次生产线的成本，s为单位时间Q每件产品的存储费，W为单位时间总费用。
则问题可做如下描述：确定周期T，使单位时间的总费用W最小。
图2.3.1 库存量Q与时间t关系图（情况1）我们作如下分析：由假设条件知，单位时间成本为c/T，单位时间库存费为sA/T，其中A为三角形OPT的面积，即Ak rT t =-2又有k t = rT , 所以单位时间总费用为 W c T sA T c T s k r TT t s k r kT r c T sr k r kT=+=+-=-=+-()()()222记B sr k r k=-()2则W c T BT =+ (2.3.1)为求最小总费用点，令dW dT= 0, 得－c /T 2 +B = 0从而有T min = c b / (2.3.2)代入式(2.3.1)得W min = 2bc (2.3.3) 式(2.3.2)表明，最优周期与生产成本的平方根成正比，与存储费的平方根成反比。
这样一个结论是经过建立数学模型并进行分析计算才得出来的。
计算出来的这个最优 周期T 往往不易在实际生 产过程中操作实施，这就 需要作一点微调（或者说 做一点摄动），那么会对W 产生多大的影响呢？我 们简单分析一下这种敏感性。
储蓄问题——数学建模
储蓄问题模型建模人：王旭辉老年人退休后办理活期存款账户分析摘要本文考虑的是储蓄问题。
本题影响储蓄的因素主要有初始存款额、月利率、每月提款额与存取时间。
我在模型中因为月利率与月存款额都是固定的，所以只考虑初始存款额和存取时间对本题要求的账户余额以及初始存款进行分析解决。
根据此模型得到初始存款在月利率%5.0、每月提款额为1000元情况下初始存款N月后账户余额数。
老人退休办理活期存款账户对自身养老是很有必要的，因此活期存款储蓄问题能反应储蓄的现实，符合存款人的迫切需求，分析结果更实用。
本文从第n月后账余额与初始存款的关系入手，得出了问题——相邻两个月账户余额关系式；账户余额涉及到初始存款额和存取时间，由多个相邻账户余额关系式观察得出账户余额与初始存款和存取时间的关系式，其中用到求等比数列的前n项和公式q-1q1aS n1 n）（-⨯=。
根据n月后账户余额公式利用MATLAB软件对问题二提出的三种初始存款分析出一年内的账户余额变化趋势，画散点图加以直观表示；问题三同样根据n月后账户余额公式求解出初始存款额以保证20年用尽存款。
通过对以上模型的分析与求解，得到了较为合理的预测结果。
关键词储蓄问题账户余额初始存款 MATLAB 散点图一、问题的提出老人退休后办理活期存款账户，便于每月提取固定数额的提款，直到提尽为止，这对老人养老是个必要的保障，为长远考虑就必须在退休后办理活期存款账户并存入一笔存款并保证在存款用尽之前，在计划的年数间都能每月提款。
现给出月利率为%5.0，每月提款额为1000元，需要我们利用所给数据和问题建立第n 月后账户余额与初始存款的数学模型，并由此对老年人活期存款问题进行分析解决。
二、问题分析本题是关于老年人办理活期存款账户问题。
我们首先从相邻两个月账户余额关系式入手，得出相邻两个月账户余额关系式，并利用此关系式建立存款n 月后账户余额与初始存款和存取时间的数学模型——200000)200000(005.1y +-⨯=c n n 。
【9A文】数学建模—存储模型
存储模型摘要本文建立的是在产品需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限的条件下的存贮模型。
在不允许缺货和允许缺货的这两种情况下，为了简化模型的建立，我们采用了连续的变量来更加合理地来描述问题。
模型的求解是一个以每天的平均费用作为目标函数来求解的优化模型。
本文主要是通过数学中的微积分知识，借助Matlab程序实现，来求目标函数的极值问题，从而求得总费用最小的方案。
首先，在模型一中我们提出了不允许缺货的优化模型，即综合考虑在产品需求稳定不变、生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货以及确定生产周期和产量的情况下，使总费用最小的模型。
这个模型中，通过对得到的目标函数进行分析求解，可以得出经济订货批量公式（EQQ公式），验证了模型一的准确性。
其次，模型二中考虑当缺货的损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费时，提出了允许缺货的贮存模型。
根据贮存量函数和周期之间的关系，得到适用于模型二的目标函数。
此外，在模型二的求解中，当函数中的变量都各自趋于某一定值时，可以近似认为不允许缺货模型是缺货模型的特例。
总而言之，本文中的存贮模型是在总费用中增加购买货物本身的费用时，重新确定最优订货周期和订货批量的优化模型，并且证明了在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样，充分考虑了模型的优化。
关键词：不允许缺货；允许缺货；订货周期；订货批量；matlab程序一、问题重述在我们的周边有一家配件厂，据我们得知，该厂为装配线生产若干种部件时因更换要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费。
现已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。
如果生产能力远大于需求，试求在以下两种情况下来安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。
（1）不允许出现缺货（2）允许出现缺货二、问题分析在第（1）问时，我们不如先来试算一下以下几种情况的结果：若每天生产一次，每次100件，则我们可知，此时无贮存费，生产准备费5000元，每天费用为5000元；若10天生产一次，每次1000件，则我们可知，此时贮存费为900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用为950元；若50天生产一次，每次5000件，则我们可知，此时贮存费为4900+4800+…+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用为2550元；从以上的计算看，生产周期短、产量少，会使贮存费小，准备费大；而周期长、产量多，会使贮存费大，准备费小。
存贮问题建模
数学建模
模型结果分析
❖如果缺货损失非常大，以至于可以忽略存储费c2 ， 则一般不允许缺货。
❖从数学角度，即令 c3 ，则
T*
2c1 c2r
c2 c3 c3
T0*
2c1 c2r
Q*
2c1r c2
c3 c2 c3
Q0*
2c1r c2
❖ 不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例
数学建模
模型结果分析
数学建模
问题分析与模型假设
问题分析 ❖ 最佳以进企货业周的期总取支决出于最企小业为的目利标润来或决损定失进的货大周小期。 ❖ 只有产品的存储与缺货信息，没有明确的销售信息。 模型假设 ❖ 1）进货周期为T，最大存储量为Q，产品销售速度
为r，每周期进货费为c1，单位时间单位产品存储费 为c2、缺货损失费为c3； ❖ 2）销售至T1 (<T)时库存不足，出现缺货，但所缺货 物将在下周期订货时补足； ❖ 3）时刻t（0<t<T）时货物存储量为q(t)。
模型求解
❖根据二元函数极值必要条件，令 C 0, C 0
T
Q
❖解得最优解 T * 2c1 c2 c3 , Q* 2c1r c3
c2r c3
c2 c2 c3
❖于是每周期的最优订货量 R* rT * 2rc1 c2 c3
c2 c3
❖ 易见，T与进货费c1成正比，与存储费c2、缺货损失 费c3及销售速度r成反比，这些均与一般常识吻合。
q
存
Q0
储
r
量
A
匀
O
T0
t
图1.9 不允许缺货时的货物存储量 q(t)
速 减 少
数学建模
模型建立与求解
数学建模存贮论部分
货单位发货期间，每天发货量为10件。试求：
（1）最佳订货批量及最大缺货量；
（2）年最小费用。
解：本题属于“允许缺货、补充需要一段时间”的存贮模型
由题设可知：
R76件天， P10件天， C1133.7050元件天
2021/6/16
C23205元 0 件天， C35元 0
23
271050(13.7525)
1( t
t1
(
0
P
R
)u
du
t
R(
t1
t
u
)
du
)
1 t
(
1 2
Pt12
1 2
Rt2 Rt t1 )
t1Rt P
1
Rt
R2
t
2
2P
其中t1 t1
2021/6/16
3
于是单位时间内总的平均费用为
C(t)C31C1(RR2)t
t2
P
求t的取值，使 C (t) 达到最小。
模型求解
ddC (tt)C t231 2C1(RR P2)
Ru J(u)(PR)(t2u)
, ,
0ut1 t1ut2
0
, t2ut
于是 [ 0 , t ]时间内的平均缺货量为
1 t 0 tJ ( u )d 1 u t 0 t1 R u d u t t 1 2 (P R )t2 ( u )d 0 u
2021/6/16
19
1 t[1 2Rt1 21 2(PR)(t2t1)2]
货物的价值（成本）。
该模型的存贮状态图为
Q
A
2021/6/16
0 B
t1 t
T
5存储模型
即最优生产周期为17天，生产时间为3.4天，生产 批量为56件。
四、模型三
模型三——允许缺货，生产时间很短。模型一、 二是在不允许缺货的情况下推导出来的，模型三是 允许缺货，并将缺货损失定量化来加以分析。
这里除假设允许缺货，其余条件与模型一相同，
设单位时间每缺一件的损失为 c3 。
一、存贮问题的基本要素
一般的存贮问题通常包含下面5个基本要素。
（一）需求
需求是存贮系统的输出，需求量可以通过供 销渠道获得，它可以是确定的，如自动生产线上 每个班组对某种零件的需求量；它也可以是随机 的，如市场每天对某种商品的销售量。
（二）补充（订货或生产）
补充是存贮系统的输入，存贮物品的补充可以 由工厂生产获得，也可以通过订货得到。从订货到 货物入库，通常需要一段时间，称为滞后时间。由 于滞后时间的存在，管理者为了能及时补充，就必 须提前订货，所提前的时间称为提前时间。滞后时 间可以是随机的，也可以是确定的。
假设每隔T天订货Q，而货物在 t T1 时用完，有 一段时间，即T T1 长时间地缺货（这时需求速度仍
为 r ）（如图），则在T时刻的订货量 Q rT1
T时间内的存贮量 T1
t
(rT1
rx)dx
12rT12
；存贮费
1 2
rT12c2
T时间内的缺货量为
T
(rT1 rx)dx
则缺货损失费为
时间内的需求 rT ，即订货量 Q rT ，每次订货费
为 c1 ，货物单价为 k ，则订货费为 c1 krT
T时间内的存贮 量（如图）为
T
0
(rT
rt)dt
数学建模存储问题论文
摘要本文主要探讨解决订货与存储问题，属于典型的存贮问题，并建立模型以得到最优订货方案。
所谓最优订货方案是指在满足市场需求并充分发挥存货功能的基础上使存货成本最低。
模型以存货成本最低为目标，建立起其与相关变量之间的函数关系得到目标函数。
进而，通过MATAL程序实现，并得出目标函数最优解，即最优订货方案。
关键词：经济批量订货；订货成本，成本利率解决订货与存储问题的最优方案设计（一）．问题的重述太原某食品加工厂每星期食用油的消耗量为80桶，每桶食用油的价格是250元。
在每次采购中的固定费用为580元，该费用与采购数量的大小无关，订购的食用油可以即时送达。
工厂财务成本的利率以每年15%计算，保存每桶食用油的库存成本为每星期11元。
根据题目要求，需要解决以下几个问题：（1）目前的方案是每次采购够用两个星期的食用油，计算这种方案下的平均成本。
（2计算最优订货量及相应的平均成本。
（3）若食用油供应商为推出促销价格：当食用油的一次购买量大于500桶时，为220元/桶，计算最优订货量及相应的平均成本。
（二）．问题的分析（1）计算以两周为周期的采购方案下的平均成本。
（2）通过典型的存贮模型来求出最优订货量及相应的平均成本。
（3）在典型的存贮模型中改进来建立批量采购模型，计算最优订货量及相应的平均成本。
（三）．模型建立与求解模型一：不允许缺货，补充时间极短。
为了便于分析和描述，对模型作如下假设：（1）需求是连续的，即单位时间（每周）的需求量是常数R；（2）不补充可以瞬时实现，及补充时间近似为零；（3）单位储存费用为C1，由于不允许缺货，故单位缺货C2为无穷大，订货固定费为C3，货物单价为K.订货费采用t-循环策略。
设订货周期为t ，订货时贮存已用尽，每次订货量为Q 。
则每次订货量Q 满足T 实间的需求，则Q=Rt 。
那么订货费为3C KRt +，t 时间内的平均订货费为：3C KRt t+ 由于需求是连续均匀的，故时间t 内的平均存贮费量为：0112t RTdT Rt t =⎰ 因此，t 时间内的平均存贮费为11C 2Rt 由于不允许缺货，故不考略缺货费用。
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储蓄问题模型建模人：王旭辉
老年人退休后办理活期存款账户分析
摘要本文考虑的是储蓄问题。
本题影响储蓄的因素主要有初始存款额、月利率、每月提款额与存取时间。
我在模型中因为月利率与月存款额都是固定的，所以只考虑初始存款额和存取时间对本题要求的账户余额以及初始存款进行分析解决。
根据此模型得到初始存款在月利率%
5.0、每月提款额为1000元情况下初始存款N月后账户余额数。
老人退休办理活期存款账户对自身养老是很有必要的，因此活期存款储蓄问题能反应储蓄的现实，符合存款人的迫切需求，分析结果更实用。
本文从第n月后账余额与初始存款的关系入手，得出了问题——相邻两个月账户余额关系式；账户余额涉及到初始存款额和存取时间，由多个相邻账户余额关系式观察得出账户余额与初始存款和存取时间的关系式，其中用到求等比数列的前n项和公
式
q-1q
1
a
S n
1 n
）（-
⨯
=。
根据n月后账户余额公式利用MATLAB软件对问题二提出的三种
初始存款分析出一年内的账户余额变化趋势，画散点图加以直观表示；问题三同样根据n月后账户余额公式求解出初始存款额以保证20年用尽存款。
通过对以上模型的分析与求解，得到了较为合理的预测结果。
关键词储蓄问题账户余额初始存款 MATLAB 散点图
一、问题的提出
老人退休后办理活期存款账户，便于每月提取固定数额的提款，直到提尽为止，这对老人养老是个必要的保障，为长远考虑就必须在退休后办理活期存款账户并存入一笔存款并保证在存款用尽之前，在计划的年数间都能每月提款。
现给出月利率为%5.0，每月提款额为1000元，需要我们利用所给数据和问题建立第n 月后账户余额与初始存款的数学模型，并由此对老年人活期存款问题进行分析解决。
二、问题分析
本题是关于老年人办理活期存款账户问题。
我们首先从相邻两个月账户余额关系式入手，得出相邻两个月账户余额关系式，并利用此关系式建立存款n 月后账户余额与初始存款和存取时间的数学模型——
200000)200000(005.1y +-⨯=c n n 。
根据题意利用MATLAB 软件求解出假设三种初始存款为19、20、21万时一年内账户余额的变化趋势。
问题三要求初始存款为多少正好保证20年提尽存款额，20年我们从初始存款存入到提尽共240个月，只需根据所建模型求出初始存款对问题进行解决。
三、模型假设
1、存款期限内月利率不变，月提款额不变；
2、利息按复利计算；
3、问题二所求为初始存款后第一年账户余额变化趋势。
四、符号说明
在以下式子中，c 表示初始存款总额，n y 表示第n 月后账户余额；
五、模型的建立与求解
账户余额与初始存款和第几月取款有关。
问题一：相邻两个月账户余额关系式确定 初始存款后第一月至第3月账户余额分别为：
1000%)5.01(1000%)5.01(1000%)5.01(1000
%)5.01(1000%)5.01(1000
%)5.01(1000%)5.01(2332121-+-+-+=-+-+=-+=-+=c y c y y c y
相邻两个月账户余额关系式：1000%)5.01(1-+⨯=-n n y y
问题二：
根据相邻两个月账户余额关系式得第n 月账户余额与初始存款的关系为：
[]
200000
)200000(005.1200000)200000(005.1%)5.01(200000200000%)5.01(%)
5.01(1%)5.01(111000%)5.01(1000
%)5.01(1000%)5.01(1000%)5.01(1000%)5.01(21+-=+-=+-++=+-+-⨯⨯
-+=-+--+-+-+=--c y c c c c y n n n n n n
n
n n n n
根据所建模型关系式，利用MATLAB 软件计算得： 月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 帐户余额 1.8995 1.899 1.8985 1.898 1.8975 1.
89
7 1.8964 1.89
59
1.8954
1.8949
1.8944
1.8938
当初始存款为19万时，一年内账户余额（数值为5^10⨯元）的变化趋势：
当初始存款为20万时，一年内账户余额的变化趋势：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
帐户
余额
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
当初始存款为21万时，一年内账户余额的变化趋势：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
帐户余额2.1
005
2.
10
1
2.1
015
2.
10
2
2.1
025
2.
10
3
2.1
036
2.10
41
2.10
46
2.10
51
2.10
56
2.10
62
问题三：求初始存款为多少才能保证20年用尽存款，根据账户余额与初始存款和取款时间的数学模型——200000)200000(005.1y +-⨯=c n n , 求c 的值，带入数值得：
200000)200000(005.1y 240240+-⨯=c
根据问题20年用尽存款
y 240=
所以得200000200000005.1c 005.1240240-⨯= 经求解得139581c =元
六、模型评价
该模型自己运用自己所掌握的现有知识经认真分析解决，感觉能较准确的解决本题有关储蓄问题所提到的问题。
由于自己所掌握知识有限，现没想到本模型的改进之处，希望自己在今后的生活中多多学习相关内容，以利于对数学模型有更清楚的认识并能运用数学模型解决现实生活中所存在的诸多问题。
七、参考文献
【1】宋叶志 贾东永 ，MATLAB 数值分析与应用，北京，机械工业出版社，2009年7月
八、附录
用MATLAB解问题二过程如下：
>> n=1:1:12;
>> c=190000;
>> y=1.005.^n*(c-200000)+200000
y =
1.0e+005 *
Columns 1 through 8
1.8995 1.8990 1.8985 1.8980 1.8975 1.8970 1.8964 1.8959 Columns 9 through 12
1.8954 1.8949 1.8944 1.8938
>> plot(n,y,'*')
>> title('初始存款为19万时一年内账户余额的变化趋势图')
>> xlabel('x-第n个月')
>> ylabel('y-账户余额')
>> n=1:1:12;
>> c=200000;
>> y=1.005.^n*(c-200000)+200000
y =
Columns 1 through 7
200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000
Columns 8 through 12
200000 200000 200000 200000 200000
>> plot(n,y,'s')
>> title('初始存款为20万时一年内账户余额的变化趋势图') >> xlabel('x-第n个月'); ylabel('y-账户余额')
>> n=1:1:12;c=210000;
>> y=1.005.^n*(c-200000)+200000
y =
1.0e+005 *
Columns 1 through 8
2.1005 2.1010 2.1015 2.1020 2.1025 2.1030 2.1036 2.1041 Columns 9 through 12
2.1046 2.1051 2.1056 2.1062
>> plot(n,y,'h')
>> title('初始存款为21万时一年内账户余额的变化趋势图')
xlabel('x-第n个月'); ylabel('y-账户余额')。