数学建模期末试卷A及答案

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．（ 分）叙述数学建模的基本步骤，并简要说明每一步的基本要求。

☎✆模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息。

☎✆模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做出必要的、合理的假设，使问题的主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。

☎✆模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题化为数学问题，注意要尽量采用简单的数学工具。

✆模型求解：利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要作出进一步的简化或假设。

☎✆模型分析：对所得到的解答进行分析，特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定。

☎✆模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际，如果不够理想，应该修改、补充假设，或重新建模，不断完善。

☎✆模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改进和完善。

．（ 分）试建立不允许缺货的生产销售存贮模型。

设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k r <。

在每个生产周期T 内，开始一段时间（00T t ≤≤）
边生产边销售，后一段时间（T t T ≤≤0）只销售不
生产，存贮量)(t q 的变化如图所示。

设每次生产开工
费为1c ，每件产品单位时间的存贮费为2c ，以总费用最小为准则确定最优周期T ，并讨论k r <<和k r ≈的情况。

单位时间总费用k T r k r c T c T c 2)()(21-+=，使)(T c 达到最小的最优周期
)(2T 21*r k r c k c -＝。

当k r <<时，r c c 21*2T ＝，相当于不考虑生产的情况；当k r ≈时，∞→*T ，因为产量被售量抵消，无法形成贮存量。

．（ 分）设)(t x 表示时刻t 的人口，试解释阻滞增长（☹☐♑♓♦♦♓♍）模型
⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(x x x x x r dt dx m
中涉及的所有变量、参数，并用尽可能简洁的语言表述清楚该模型的建模思想。

t ——时刻；
)(t x ——t 时刻的人口数量；
r ——人口的固有增长率；
m x ——自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量；
0x ——初始时刻的人口数量
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用。

且阻滞作用随人口数量增加而变大，从而人口增长率)(x r 是人口数量)(t x 的的减函数。

假设)(x r 为)(t x 的线性函数：
)0,0()(>>-=s r sx r x r ，
其中，r 称为人口的固有增长率，表示人口很少时（理论上是0=x ）的增长率。

当m x x =时人口不再增长，即增长率0)(=m x r ，代入有m x r s =，从而有
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=m x x r x r 1)(， 根据 ♋●♦♒◆♦人口模型，有
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
-
=
)0(
)
1(
x
x
x
x
x
r
dt
dx
m
．（ 分）已知 个城市❖ ，❖ ，… ❖ 之间有一个公路网（如图所示），
每条公路为图中的边，边上的权数表示通过该公路所需的时间．
（ ）设你处在城市❖ ，那么从❖ 到其他各城市，应选择什么路径使所需的时间最短？
☎ ✆0
v到其它各点的最短路如下图：
各点的父点如下：
❖ ❖ ❖ ❖ ❖ ❖ ❖ ❖
❖ ❖ ❖ ❖ ❖ ❖ ❖ ❖
各点的最短路径及最短路长分别为：
❖  
❖ →❖  
❖ →❖  
❖ →❖ →❖  
❖ →❖ →❖ →❖  
❖ →❖  
❖ →❖ →❖  
❖ →❖ →→❖ →❖  
☎✆最小生成树如下图：
．（ 分）有 个苹果，其中有一个与其它的 个不同，或者比它们轻，或者比它们重，试用没有砝码的天平称量三次，找出这个苹果，并说明它的轻重情况。

先把苹果编号 ～ 把 ～ 和 ～ 放在天平两边
（ ）两边持平：就在 ～ 中 再把 和 放在天平两边 再平就在 或 中 若 和 不平，则在 或 中；
（ ）两边不平 假设 重 轻 则进行第二次称量 和 ；若平了就在 中且是轻的 再称 与 即可；若 重 轻则在 中且是重的 再称 与 即可；若 轻 重 则坏的是 。

某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价 元 个，椅子销售价格 元 个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。

生产一个桌子需要木工 小时，油漆工 小时。

生产一个椅子需要木工 小时，油漆工 小时。

该厂每个月可用木工工时为 小时，油漆工工时为 小时。

问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？（建立模型不计算）☎’✆
∙解：（ ）确定决策变量：⌧生产桌子的数量∙ ⌧生产椅子的数量∙
（ ）确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大
∙❍♋⌧∙⌧⌧∙
（ ）确定约束条件：∙
⌧⌧（木工工时限制） ∙⌧⌧（油漆工工时限制）∙
（ ）建立的数学模型为：∙
❍♋⌧∙⌧⌧∙
♦♦∙⌧⌧∙⌧∙⌧∙
⌧∙⌧∙。