万有引力场中高斯定理应用举例
高斯定理在万有引力场中的应用
与静电场相似 , 任何物体的周围空间都存在引力场 , 万有引力是通过引力场来传递的 。在静电场中 , 我
们用电场强度来描述电场中某点性质 , 同样 , 在引力场中 , 我们可以把场中每点的 F / m 定义为该点的引力
※
场强度 , 用Eg 表示 , 即
※
Eg
=
F m
(1)
※
其中 m 为试探质点质量 , F 为试探质点在某点受到的引力 , Eg 即为该点的引力场强度 , 简称引力场强 。
16
(湖南人文科技学院 物理与信息工程系 , 湖南 娄底 417000)
摘 要 :通过类比万有引力场和静电场 , 给出了引力场强度的概念 , 在此基础上 , 将静电 场中的高斯 定理推广 到万有引 力场中 , 并利用它分析了两个具体问题 , 说明了利用高斯定理可以简化具有对称性的引力场的相关 计算 。
场中任一闭合面的引力场通量等于该曲面内所有物体的质量和乘以 4πG 的负值 , 即 :
可以看出 ,(6)式同静电场的高斯定理
∑ ※
※
Eg·d S =-4πG mi
S
i =1
(6)
∑ S
※
E·dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
※
S
=
1 ε0
qi
i
(7)
非常相似 ,(6)式中的常数 4πG 相当于(7)式中的常数 ε10 ,(6)式中的 mi 相当于(7)式中的 qi 。 下面举例说明 :当质量分布具有某些特殊的对称性 , 从而使相应的引力场分布也具有一定的对称性
过 P 点作一半径为 r , 高为 l 的同轴闭合圆柱面 , 则通过此闭合面的引力场通量
= 侧 + 上底 + 下底 =-Eg2πrl +0 +0 =-Eg2πrl 上式不论 P 点在柱面外(r > R)或在柱面内(r < R)都适用 。
高斯定理与环路定理在万有引力场中的推广
《高斯定理与环路定理在万有引力场中的推广》读后感课本中从电场到磁场，我们学习或是解题过程中总是免不了要运用到高斯定理和静电环路定理作为解题的第一步骤。
因此我们知道了电磁学中的高斯定理和静电环路定理是反应静电场基本性质的两个定理，利用这两个定理可以解决很多电荷具有对称分布的静电学问。
本篇文章则利用了类比的科学研究方法，将静电场中的高斯定理和静电环路定理推广到了经典万有引力场中。
进一步引入引力场强度，引力势能，引力场强通量，说明了万有引力场是一种有源场，并引入引力环流的概念，说明了，万有引力场也是一种无旋场。
文章中通过大量的计算，公式的推导，结合利用牛顿万有引力定律和微积分，万有引力势能导出第一、第二字宙速度，用万有引力场中的高斯定理等求解相关的问题来证明了其类比假设的正确性。
最值得注意的就是其中的类比方法，有时在学习或是生活中适当地掺入类比的思想，不仅可以全面提高分析问题和解决问题的能力，或许还会受到其他更多的意想不到的效果。
电磁学中的高斯定理和静电环路定理是反应静电场基本性质的两个定理，利用这两个定理可以解决很多电荷具有对称分布的静电学问题。
高斯定理的定义：通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的所有电荷量的代数和与电常数之比。
高斯定理的说明：高斯定理反映了静电场是有源场这一特性，它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。
环路定理静电场环路定理：在静电场中,场强沿任意闭合路径的线积分等于0. 与静电场力作功和路径无关是一致的.这种力场也叫保守力场或势场.安培环路定理：在稳恒磁场中，磁感强度H沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和。
万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。
引力场：引力场中的某点的是该点位置的矢量函数，对于多个质点产生的引力场，引力场强满足叠加原理万有引力场中高斯定理:万有引力场中的高斯定理，与静电场中的高斯定理具有相似的形式万有引力场中的环路定理：即引力场强在闭合回路上的积分为零，称为万有引力场中的环路定理引力势能：在量值上等于将物体。
引力场与高斯定理
g gds g ds g 4r 2 s s 2 g 4r 4Gm M r3 M g G 2 r 3 G 3 r R R
Mm F mg G 2 r1
Mm F' G 2 r2
F' G m1m2 r22
F‘
因为r1<r2,所以F>F’,总的来说当质点在赤道平面以 上或一下时受到的合外力总是指向地心的。所以小 球将做以地心为平衡位置的简谐振动。
在任一闭合面的引力场通量：
g 4G m
i 1
质量M均匀分布在半径为R的球体上 1.当在球外时：过P点作半径为r(r>R)与球体同心的球面。 过此面的
g gds g ds g 4r
s s
2
g 4r r
r
2.当在球体内时：作半径为r(r<R)与球体同心的球面.
引力场与高斯定理
库仑定律：
q0 q F 4 0 r 2
万有引力定律：
m1m2 F G 2 r
比较库仑定律和万有引力定律的表达式会发现：两者都服从平方反比定律。其 1
中
4 0
和万有引力定律中的G相当，都是常量，而q和m相当。
因此我们可以将 静电场的研究方法及有关概念引入到引力场中
F
引力场的高斯定理
把引力场中的F/m定义 为点的引力强度 F 所以 g m 故质量为m的质点在引 力场中某点的引力场 强
m g G 3 r r
静电场的高斯定理： 半径为r的球面s，一位于球心的点电荷q 场 强E 电荷在球面内：
可以推导在相似条件下的引力场通量：
g
m ds gds G 2 ds Gm 2 4Gm s s sr r
引力场中高斯定理的应用
引力场中高斯定理的应用
王宁;孙彩霞;齐玉红
【期刊名称】《山东轻工业学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2010(024)004
【摘要】本文用类比的方法将静电场中的高斯定理的形式推广到万有引力场中,从而引出万有引力场中的"高斯定理".通过万有引力场中的"高斯定理",将某些质量分布具有对称性的物体引起的引力场强的计算得到简化.
【总页数】3页(P78-80)
【作者】王宁;孙彩霞;齐玉红
【作者单位】黄河科技学院实验中心,河南,郑州,450006;黄河科技学院数理部,河南,郑州,450006;郑州大学,河南,郑州,450006
【正文语种】中文
【中图分类】O314
【相关文献】
1.高斯定理与环路定理在万有引力场中的推广 [J], 陈国云;骆成洪;辛勇;黄国庆;文小庆;赵书毅
2.高斯定理在万有引力场中的应用 [J], 唐淑红
3.引力场的高斯定理及应用 [J], 魏益焕
4.引力场中的高斯定理在计算煤矸石重量方面的应用 [J], 李颢
5.高斯定理在万有引力场中的推广及应用 [J], 谢谦;唐卫斌;刘俊
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万有引力场的高斯定理
万有引力场的高斯定理在大一上学期学习力学，在学到简谐运动那一章时，胡老师曾举个一个例子，是摘自老版本大学物理学的一道书上例题，题目是这样的：将地球看做一个半径为R 的均匀球体，密度为ρ，假定沿直径开一条通道，若有质量为m 的质点沿通道做无摩擦运动，证明此运动为简谐运动。
（题目示意图如下）例题图当时做这道题时不知道如何列出质点的受力方程，后来老师直接讲到质点的受力大小仅与质点所在圆面内包围的质量有关，而与外部的质量无关。
列出受力大小公式，经过化简发现受到的万有引力大小是一个和质点所在面的半径r 成正比的○1，即质点在地球内部受到了一个线性回复力的作用，方向和质点相对于平衡位置（地心）的位移方向相反，即质点做的是简谐运动。
具体的解题公式和过程不再写出，这些不是本文章的重点。
场景转换到大一下学期（现在），在老师讲到电磁学中静电场的高斯定理时，惊奇的发现：∑⎰⎰==Φ)(01cos 内S iE q dSE εθ数和Σq 除以ε0，与闭合面外的电荷无关。
这就是著名的电场中的高斯定理的表述。
54页至59页，这里不再抄写证明。
高斯提出了电通量的概念，并根据库仑定律推导出来，使很多电场问题步骤和思路大大简化，并提炼出了这个公式。
学到这里时我就突然想到了本文最开始的那道有关万有引力的题目，并且想到牛顿的万有引力定律公式——221r m m GF =万和库仑定律公式——221c r q q k=F 有着十分相似的形式，既然库仑定律能够推导出电场的高斯定理，那么高斯定理应该在万有引力场中同样适用。
在这里先给几个定义和公式：万有引力强度，用g表示，定义式为2r m 中万G m F g == ，但正方向为从内到外，与g实际方向相反。
对于球状质点系，通过单位表面积的引力通量是：-g r4r 4*g -S 22==Φ=Φππ万d 1， 万有引力通量，⎰⎰∆-=ΦSS gcos θ万（注意负号）2， 仿照041πε=k ，令041g G π=，这里的0g 姑且命名为真空介万常数，呵呵，根据真空介电常数改的，大小约为1.193*10^9。
引力场中的高斯定理
引力场中的高斯定理引力和静电力都是有势力，相应的引力势和静电势都满足三维空间里最简单的二阶（偏微分）方程——拉普拉斯方程.用ψ代表引力势或者静电势场，它在三维空间里所满足的拉普拉斯方程采取如下的形式：（∂2/∂x2+∂2/∂y2+∂2/∂z2）ψ(x,y,z)=0.由于相应的静电力和引力等于势的微分（的负值），它的大小便与半径r成反比了，即ψ（r）∝1/r,F(r)=- dψ/dr∝1/r2由于万有引力定律与Coulomb,s law本质是一样的，因此引力场中也存在高斯定理，并且与万有引力定律等价.Ⅰ、预备知识引力场场强：引力场场强是一个向量，其大小等于1千克的质点在该处所受引力的大小，方向与该质点在该处所受引力的方向一致.引力线：如果在引力场中出一些曲线，使这些曲线上每一点的切线方向和该点的引力场强方向一致，那么所有这样可以作出的曲线叫做引力线.引力线数密度：在引力场中任一点取一小面元ΔS与该点的场强方向垂直，设穿过ΔS 的引力线有ΔN根，则比值ΔN/ΔS叫做该点的引力线数密度，它的意义是通过该点单位垂直截面的引力线根数，规定引力场场强E∝ΔN/ΔS.引力线性质：引力线其自无穷远点，止与该质点，引力线在宇宙中处处存在.一个质点的任何两条引力线不会相交，不形成闭合线.引力通量：通过一面元ΔS的引力通量为该点场强的大小E与ΔS在垂直于场强方向的投影面积ΔS′=ΔScosθ的乘积.Ⅱ、通过一个任意闭合曲面S的引力通量φ=4πG∑m，与闭合曲面外的引力质量无关.证明：（1）通过包括质点m的同心球面的引力通量都等于4πGm.以质点m所在处为中心以任意半径r作一球面.根据万有引力定律,在球面上各点场强大小一样E=G m /r2,场强的方向沿半径向外呈辐射状.在球面上任意取一面元dS，其外法线向量n也是沿着半径方向向外的，即n和E间夹角θ=0，所以通过dS的引力通量为dφ=EcosθdS=EdS= G m /r2dS,通过整个闭合球面的引力通量为φ=dS= G m /r2×4πr2=4πGm.（2）通过包围质点的任意闭合曲面S的引力通量都等于4πGm在闭合面S内以质点m所在处O为中心作一任意半径的球面S′，根据（1）通过此球面的事情感兴趣,要勤奋地工作!”。
电场的高斯定理及其应用
电场的高斯定理及其应用1. 高斯定理的背景高斯定理，也称为高斯电场定理，是电磁学中的基本定律之一。
它描述了电场通过任意闭合曲面的电通量与该闭合曲面内部的总电荷之间的关系。
这个定理是由德国数学家和物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初期提出的。
高斯定理在电磁学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
2. 高斯定理的数学表述高斯定理的数学表述如下：对于任意闭合曲面S，电场通过S的电通量（记作ΦE）与曲面S内部的总电荷（记作q）之间存在以下关系：ΦE = ∫∫S E·dA = q / ε₀其中，E是电场强度，dA是曲面元素的面积向量，ε₀是真空的电介质常数（也称为电常数），其值约为8.85×10^-12 C2/N·m2。
3. 高斯定理的物理意义高斯定理的物理意义可以从两个方面来理解：（1）电场线与闭合曲面的关系：高斯定理说明，对于任意闭合曲面S，电场线通过S的电通量等于曲面S内部的总电荷。
这意味着，无论曲面S如何选择，只要它是闭合的，电场线穿过它的总通量都与曲面内部的电荷有关，而与曲面的形状和位置无关。
（2）电场的分布与电荷的关系：高斯定理表明，电场是通过闭合曲面的电通量的度量，而电通量与曲面内部的总电荷成正比。
这意味着，电场的强度和分布与曲面内部的电荷量有关，而与曲面的具体形状和位置无关。
4. 高斯定理的应用高斯定理在电场分析和计算中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用例子：（1）计算静电场中的电荷分布：通过高斯定理，可以计算静电场中某个闭合曲面内的电荷分布。
只需测量通过该曲面的电通量，然后根据电通量与电荷的关系，可以确定曲面内部的电荷量。
（2）设计电容器和绝缘材料：在电容器和绝缘材料的设计中，高斯定理可以用来分析电场的分布和电荷的积累。
通过合理选择闭合曲面的形状和位置，可以优化电场分布，提高电容器的性能和绝缘材料的可靠性。
（3）研究电磁波的传播：在研究电磁波的传播过程中，高斯定理可以用来分析电磁波在不同介质中的电场分布和电荷的变化。
高斯定理在万有引力场中的应用
高斯定理在万有引力场中的应用
高斯定理是物理学界以及数学界较为重要的定理之一，它可以被广泛地用于万有引力场的研究中。
首先，我们需要了解高斯定理的核心部分——高斯梯度定理：它指出了引力场的数学表示和图像的梯度的空间表示之间的联系，即：万有引力场的空间表示有一个正定的悬赏函数，和任意点的梯度之间存在明确的联系，此外，这个悬赏函数的倒数是一个完全定义的单值函数，接下来，我们就可以用这个悬赏函数来求出万有引力场的强度以及各种有关物理量。
另一方面，万有引力场对空间上某点上发生的结构变化也有着重要的影响，它可以通过高斯梯度定理来计算这种变化。
高斯梯度定理中，梯度是一个十分重要的概念，它是三维空间中某点处的万有引力场变化速率。
对此，高斯定理可以让我们通过知道梯度 at 点 P 的方向和大小来推断出空间上某个点处的引力场的强度和变化情况，也就是我们可以根据某点的梯度来计算出空间上的点的引力场的强度以及计算出不同空间上的点之间的引力场是否在变化。
至此，我们可以看出，高斯定理在万有引力场的有效应用中发挥了重要作用，它提供了万有引力场变化情况的推断，可以让我们很快的分析出物体之间的引力场变化情况，这样使我们可以进一步研究万有引力场，更好的理解它。
此外，高斯定理也有许多其它的应用，例如他可以用于空气动力学，静电学以及地学等领域。
(整理)高斯定理的应用
简析高斯定理在电场中的应用高斯定理是物理学中电学部分的重要定理之一，在简化计算具有对称性的电场中有着重要应用，例如均匀带电的平面、直线、圆柱体、球面、球体等的电场的计算. 如果不理解高斯定理，不熟练掌握高斯定理的应用技巧，就会感到高斯定理深不可测. 下面，笔者就几年来的教学体会对高斯定理及其在电场中的应用作以简要分析.三、高斯定理在电场中的应用［例题1］设一块均匀带正电无限大平面，电荷密度为σ=9.3×10-8C/m 2，放置在真空中，求空间任一点的场强.解：根据电荷的分布情况，可作如下判断：(1)电荷均匀分布在均匀带电无限大平面上，我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心，沿各个方向在空间向外的直线，因此空间任一点的场强只在与平面垂直向外的方向上(如果带负电荷，电场方向相反)，其他方向上的电场相互抵消；(2)在平行于带电平面的某一平面上各点的场强相等；(3)带电面右半空间的场强与左半空间的场强，对带电平面是对称的.为了计算右方一点A 的场强，在左取它的对称点B ，以AB 为轴线作一圆柱，如图-3所示. 对圆柱表面用高斯定理，图-3⎰∑=+=⋅=se e e q ds E 0εφφφ两个底面侧面 (1) 0=侧e φ (2) ES e 2=两个底面φ (3)圆柱内的电荷量为∑=S q σ (4)把(2)、(3)、(4)代入(1)得02εσ=E =1281085.82103.9--⨯⨯⨯V/m=5.25×103V/m［例题2］设有一根无限长块均匀带正电直线，电荷线密度为λ=5.0×10-9C/m ，放置在真空中，求空间距直线1m 处任一点的场强.解：根据电荷的分布情况，可作如下判断：(1)电荷均匀分布在无限长块均匀直线上，我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心，沿各个方向在空间向外的直线，因此空间任一点的场强只在与直线垂直向外的方向上存在(如果带负电荷，电场方向相反)，其他方向上的电场相互抵消；(2)以直线为轴线的圆柱面上各点的场强数值相等，方向垂直于柱面(如图-4).图-4根据场强的分布，我们以直线为轴作长为l ，半径为r 的圆柱体.把圆柱体的表面作为高斯面，对圆柱表面用高斯定理：⎰∑=+=⋅=se e e q ds E 0εφφφ两个底面侧面 (1)r l E E S e πφ2==侧侧 (2)0=两个底面e φ (3) 圆柱内的电荷量为∑=l q λ (4)把(2)、(3)、(4)代入(1)得r E 02πελ==11085.814.32100.5129⨯⨯⨯⨯⨯--V/m=89.96 V/m ［例题3］设有一半径为R 的均匀带正电球面，电荷为q ，放置在真空中，求空间任一点的场强. 解：由于电荷均匀分布在球面上,因此,空间任一点P 的的场强具有对称性,方向由球心O 到P 的径矢方向(如果带负电荷，电场方向相反)，在与带电球面同心的球面上各点E 的大小相等.根据场强的分布，我们取一半径为r 且与带电球面同系同心的球面为为高斯面，如图-5所示.图-5若R r <，高斯面2S 在球壳内，对球面2S 用高斯定理得 ⎰∑=⋅=⋅=se q rEds E 024επφ球内因为球壳内无电荷，∑=0q ，所以0=球内E若R r >，高斯面1S 在球壳外，对球面1S 用高斯定理得∑=q q ，故有24επqE R =204rq E πε=由此可知，均匀带电球面内的场强为零，球面外的场强与电荷集中在球心的点电荷所产生的场强相同.四、高斯定理在电场中的一般应用步骤: (1) 判断电场的分布特点；(2) 合理作出高斯面，使电场在其中对称分布；(3) 找出电场在高斯面内的垂直面积⊥S ； (4) 分析高斯面内的电荷量q ； (5) 应用高斯定理求解(⎰∑=⋅=ss e qds E 0)(εφ内).我们知道，用电场的叠加原理也可以计算连续分布的电荷所产生的场强，但是高斯定理以其简单明了的步骤最终赢得读者的喜爱.第四讲：高斯定理的应用高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电场强度。
引力的高斯定理
引力的高斯定理赵旋物理系201011141030 众所周知，我们学习过的电场力的高斯定理：EdS=q/ε0.对于与电场力极其相似的万有引力，也会不会有相同于高斯定理的表现其有源性的公式呢？我们知道，电场力是有源的；同样，万有引力也是有源的。
所以，我们完全可以根据电场力的高斯定理，仿造出万有引力的高斯定理。
首先，由于万有引力F=GMmR2∙e n,所以定义F=m∙E′或者E′=Fm，对于两质点间的万有引力即是定义E′=GMmR2。
为了更好地类比引力高斯定理，我们在定义q′=m.这时万有引力的公式变为：F=q′∙E′.又根据点电荷之间电场力的表达式：F=14πε0∙q1q2R2,按照F=GMmR2∙e n可得到ε0′=14πG.到此我们将万有引力公式完完全全地改为了：F=10∙q1′q2′其中，q′=m，ε0′=14πG。
这就是一个跟电场力完全相同的万有引力公式。
然后根据电场力的高斯定理：EdS=q/ε0可以得出万有引力的高斯定理：E′dS=q′/ε0′将其还原为万有引力我们通常使用的量即是：F∙dS=4πG∙M.公式的意义在于表示对于某一区域引力场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的物体质量成正比，与曲面内质量的分布情况无关，与封闭曲面外的质量亦无关。
对于引力高斯定理的证明，由于我们在之前已经把万有引力的所有重要的公式都换成了跟电场力很是相似的公式，所以对引力高斯定理进行证明的时候，只需要对照电场力高斯定理就可以了，在证明的时候只需把E、q、ε0分别换成E′、q′、ε0′就可以了。
步骤基本完全相似……于此同时，与电场力有关的所有定理几乎都可以移植到万有引力。
比如会有万有引力的环路定理：E′∙dl=0.等等……。
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= Gm0 ρ r 2
dy
(13)
dF 的 x,y 分量分别为： dFx = dF sin θ = Gm0 ρ
sin θ dy r2 cos θ dy r2
(14) (15)
dFy = dF cos θ = Gm0 ρ
图1
结合图中几何关系,对以上两式积分可得: Fx = Gm0 ρ 方向沿 x 轴负向; Fy = Gm0 ρ
侧面
ds = −g ∙ 2πrl
பைடு நூலகம்
(20)
高斯面内包围的质量 mi = ρl,由引力场的高斯定理得到：
图2
−g ∙ 2πrl = −4πGρl g=
2G ρ l
(21)
方向垂直于细竿沿着径向指向细杆。于是高斯面上质量为m0 的质点受到的引力大小为： Fx =
2Gm 0 ρ a
(22)
方向垂直细杆沿着径向指向细杆。 这和方法(1)得到的结果相同。比较两种方法可知:应用引力场中的高斯定理大大简化了 繁琐的运算。
`赤峰学院本科学年论文
利用牛顿万有引力定律和微积分求解问题
1.如图 1,有一质量分布均匀的无限长细杆,其单位长度上的质量为ρ,细杆外距离细杆 为 a 处有一质量为m0 的质点。求质点受到的细杆的万有引力。 解： 建立如图所示的坐标系,在 y 轴上选取长度为 dy 的质量微元 dm,则 dm=ρdy,质点m0 受到该质量微元 dm 的引力大小为 dF = G
cos θ dy r2 sin θ dy r2
=
Gm 0 ρ a
(cos θ1 − cos θ2 )
(16)
=
Gm 0 ρ a
(sin θ2 − sin θ1 )
(17)
方向沿 y 轴负向;当a ≪ L L 为细杆的长度 时,细杆可视为无限长,这时有θ1 = 0，θ2 = π。于 是有： Fy = 0，Fx =
2Gm 0 ρ a
(18)
1
`赤峰学院本科学年论文
2Gm 0 ρ a
因此无限长质量分布均匀的细杆对它附近的质点的引力大小 F= 径向指向细杆。
方向垂直于细杆沿着
用万有引力场中的高斯定理求解上述问题
由于空间的各向同性以及细杆质量分布的轴对称性可知:细杆周围的引力场强的分布也具有 轴对称性,它表现在:离开细杆距离相等的点 g 大小相等,这些点 g 方向垂直于细杆沿着径向指 向细杆。作如图 2 所示圆柱形高斯面并计算其引力场强通量 Φg =
2
s
g ∙ ds =
上底
g ∙ ds +
下底
g ∙ ds +
侧面
g ∙ ds（19）
圆柱面的上下底面由于 g 的方向与 dS 方向处处垂直,故通量为 0。在圆柱的侧面,g 的 方向与 dS 方向处处夹 180 度角,且侧面上各点的 g 大小相等。因此 Φg =
s
g ∙ ds =
侧面
g ∙ ds = −g ∙