2016中考数学考点突破23 圆的基本性质

圆的基本性质
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．(2015·兰州)如图，已知经过原点的⊙P 与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 是劣弧OB 上一点，则∠ACB＝( B )
A ．80°
B ．90°
C ．100°
D ．无法确定
,第1题图) ,第2题图)
2．(2015·淮安)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠A＝70°，则∠C 的度数是( B )
A ．100°
B ．110°
C ．120°
D ．130°
3．(2015·黔南州)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 且相交于点E ，则下列结论中不成立的是( D )
A ．∠A ＝∠D
B .CB ︵＝BD ︵
C ．∠ACB ＝90°
D ．∠COB ＝3∠D
,第3题图) ,第5题图)
4．(2015·襄阳)点O 是△ABC 的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC 的度数为( C ) A ．40° B ．100°
C ．40°或140°
D ．40°或100°
5．(2014·孝感)如图，在半径为6 cm 的⊙O 中，点A 是劣弧BC ︵的中点，点D 是优弧BC
︵
上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC ＝6 3 cm ；③sin ∠AOB ＝3
2
；④
四边形ABOC 是菱形．其中正确的序号是( B )
A ．①③
B ．①②③④
C ．②③④
D ．①③④
二、填空题(每小题6分，共30分)
6．(2015·黔西南)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD ⊥AB 于点E ，已知
CD ＝4，AE ＝1，则⊙O 的半径为__5
2
__．
,第6题图) ,第7题图)
7．(2015·六盘水)如图所示，A ，B ，C 三点均在⊙O 上，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝__40__°.
8．(2015·山西)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，点C 为BD ︵
的中点．若∠A＝40°，则∠B ＝__70__度．
,第8题图) ,第9题图)
9．(2015·淄博)如图，在⊙O 中，AB ︵＝CD ︵
，∠DCB ＝28°，则∠ABC＝__28__度． 10．(2015·义乌)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，点P 在以点C 为圆心，5为半径的圆上，连接PA ，PB.若PB ＝4，则PA 的长为__3或73__．
三、解答题(共40分)
11．(8分)(2014·湖州)已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D(如图)．
(1)求证：AC ＝BD ；
(2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．
(1)证明：过O 作OE⊥AB 于点E ，则CE ＝DE ，AE ＝BE ，∴BE －DE ＝AE －CE ，即AC ＝BD
(2)解：由(1)知，OE ⊥AB 且OE⊥CD，连接OC ，OA ，∵OE ＝6，∴CE ＝OC 2－OE 2＝82－6
2
＝27，AE ＝OA 2－OE 2＝102－62
＝8，∴AC ＝AE －CE ＝8－27
12．(8分)(2015·滨州)如图，⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 的长为5，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D.
(1)求BC ︵
的长； (2)求弦BD 的长．
解：(1)连接OC ，OD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB＝90°，在Rt △ABC 中，∵
cos ∠BAC ＝AC AB ＝510＝1
2
，∴∠BAC ＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC＝2×60°＝120°，∴BC ︵的长＝
120×π×（10÷2）180＝10
3π (2)∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD ＝∠BCD，∴∠AOD ＝∠BOD ，∴
AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠BAD＝45°，在Rt △ABD 中，BD ＝AB×sin 45°＝10×2
2
＝5 2 13．(8分)(2015·佛山)如图，⊙O 的内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别交于点E ，
F.
(1)若∠E＝∠F 时，求证：∠ADC＝∠ABC； (2)若∠E＝∠F＝42°时，求∠A 的度数；
(3)若∠E＝α，∠F ＝β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A 的大小．
解：(1)∠E＝∠F，∵∠DCE ＝∠BCF，∴∠ADC ＝∠E ＋∠DCE ，∠ABC ＝∠F＋∠BCF，∴∠ADC ＝∠ABC (2)由(1)知∠ADC＝∠ABC，∵∠EDC ＝∠ABC，∴∠EDC ＝∠ADC，∴∠ADC ＝90°，∴∠A ＝90°－42°＝48°
(3)连接EF ，如图，∵四边形ABCD 为圆的内接四边形，∴∠ECD ＝∠A，∵∠ECD ＝∠1＋∠2，∴∠A ＝∠1＋∠2，∵∠A ＋∠1＋∠2＋∠E＋∠F＝180°，∴2∠A ＋α＋β＝180°，
∴∠A ＝90°－α＋β
2
14．(8分)(2015·烟台)如图，以△ABC 的一边AB 为直径的半圆与其他两边AC ，BC 的
交点分别为D ，E ，且DE ︵＝BE ︵
.
(1)试判断△ABC 的形状，并说明理由；
(2)已知半圆的半径为5，BC ＝12，求sin ∠ABD 的值．
解：(1)△ABC 为等腰三角形．理由如下：连结AE ，∵DE ︵＝BE ︵
，∴∠DAE ＝∠BAE，即AE 平分∠BAC，∵AB 为直径，∴∠AEB ＝90°，∴AE ⊥BC ，∴△ABC 为等腰三角形 (2)∵△ABC
为等腰三角形，AE ⊥BC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝1
2
×12＝6，在Rt △ABE 中，∵AB ＝10，BE ＝6，∴
AE ＝102－62
＝8，∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°，∴12AE·BC＝12BD·AC，∴BD ＝8×1210＝485
，
在Rt △ABD 中，∵AB ＝10，BD ＝485，∴AD ＝AB 2－BD 2
＝145，∴sin ∠ABD ＝AD AB ＝14
510＝725
15．(8分)(2015·永州)如图，已知△ABC 内接于⊙O，且AB ＝AC ，直径AD 交BC 于点E ，F 是OE 上的一点，使CF∥BD.
(1)求证：BE ＝CE ；
(2)试判断四边形BFCD 的形状，并说明理由； (3)若BC ＝8，AD ＝10，求CD 的长．
(1)证明：∵AD 是直径，∴∠ABD ＝∠ACD＝90°，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，⎩
⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，
AD ＝AD ，∴
Rt △ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠CAD，∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE (2)四边形BFCD 是菱形．证明：
∵AD 是直径，AB ＝AC ，∴AD ⊥BC ，BE ＝CE ，∵CF ∥BD ，∴∠FCE ＝∠DBE，在△BED 和△CEF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠FCE＝∠DBE，BE ＝CE ，∠BED ＝∠CEF＝90°，∴△BED ≌△CEF ，∴CF ＝BD ，∴四边形BFCD 是平行四边形，
∵∠BAD ＝∠CAD，∴BD ＝CD ，∴四边形BFCD 是菱形 (3)解：∵AD 是直径，AD ⊥BC ，BE ＝
CE ，∴CE 2＝DE·AE，设DE ＝x ，∵BC ＝8，AD ＝10，∴42
＝x(10－x)，解得x ＝2或8(舍)，在Rt △CED 中，CD ＝CE 2
＋DE 2
＝42
＋22
＝2 5。