2020-2021学年广东省东莞市七校高一上学期12月联考数学试题
2021-2022学年广东省东莞市七校高三(上)联考数学试卷(12月份)(学生版+解析版)
2021-2022学年广东省东莞市七校高三（上）联考数学试卷（12月份）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3}B ．{0，1，2，3}C ．{1，2}D ．{1，2，3}2．（5分）已知z ＝1﹣i ，则z(z +2i)=（ ） A ．2+iB ．2﹣iC ．﹣2iD ．2i3．（5分）二项式(2x −√x)5展开式中，x 3的系数等于（ ） A ．10B ．﹣10C ．80D ．﹣804．（5分）6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有（ ） A ．30种B ．144种C ．5种D ．4种5．（5分）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（ ） A ．5√5π6B ．8√2π3 C ．20√5π3D ．64√2π36．（5分）若tan α＝3，则1+cos2αsin2α=（ ）A ．−12B ．13C ．±13D ．27．（5分）已知双曲线C 的离心率为√3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为4√2，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．68．（5分）已知函数f （x ）={lnxx，x ＞01−x 2，x ≤0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，则（ ）A ．1＜k ≤eB ．−1e＜k ＜0 C ．0＜k ＜1eD ．1e＜k ＜1二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．（5分）如图所示，在5×5的方格中，点O ，A ，B ，C 均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（ ）A ．OB →=OA →+OC →B ．|OA →|=|OC →|=12|OB →| C ．AC →=OB →−2OC →D ．OA →⋅OB →=OC →⋅OB →10．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称B ．函数f （x ）的图象关于x =π2直线对称 C ．函数f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增D ．y ＝1与图象y =f(x)(−π12≤x ≤23π12)的所有交点的横坐标之和为8π311．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 9＝S 17，则下列说法正确的是（ ） A ．a 8＝0B ．a 9＝0C ．a 1＝S 16D ．S 8＞S 1012．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的动点，下列说法正确的是（ ）A ．对任意点P ，DP ∥平面AB 1D 1B ．三棱锥P ﹣A 1DD 1的体积为16C ．线段DP 长度的最小值为√62D ．存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 13．（5分）若随机变量X ～B （n ，13），且E （X ）∈N *，写出一个符合条件的n ＝ ．14．（5分）已知函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，且g （1）＝3，则g （﹣1）＝ ．15．（5分）函数f(x)=1+12x +cosx 在(0，π2)上的单调递增区间是 ．16．（5分）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为 ．（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771）四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =n 2+3n ，n ∈N *． （1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{1a 2n−1⋅a 2n+1}的前n 项和T n ．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC +csinBcosA =12b ，且a ≥b ．（1）求角B 的值；（2）若A =π6，且△ABC 的面积为4√3，求BC 边上的中线AM 的长．19．（12分）某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为34，三步篮投中的概率为45，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次． （Ⅰ）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率； （Ⅱ）求该同学的总得分X 的分布列和数学期望．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD =√2，BC ＝2√2，P A ＝1． （1）求证：AB ⊥PC ；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M ﹣AC ﹣D 的大小为45°，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．21．（12分）设椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，椭圆的右焦点恰好是直线x +y −√3=0与x 轴的交点，椭圆的离心率为√32． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过定点N （﹣1，0）的直线与椭圆E 交于C ，D 两点（与点A ，B 不重合），证明：直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值． 22．（12分）已知f （x ）＝lnx +ax （a ∈R ）． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，若f （x ）≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立，证明：2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．2021-2022学年广东省东莞市七校高三（上）联考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3}B ．{0，1，2，3}C ．{1，2}D ．{1，2，3}【解答】解：∵集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{1，2}． 故选：C ．2．（5分）已知z ＝1﹣i ，则z(z +2i)=（ ） A ．2+iB ．2﹣iC ．﹣2iD ．2i【解答】解：∵z ＝1﹣i ，∴z(z +2i)=（1+i ）（1﹣i +2i ）＝（1+i ）2＝2i ． 故选：D ．3．（5分）二项式(2x −√x)5展开式中，x 3的系数等于（ ） A ．10B ．﹣10C ．80D ．﹣80【解答】解：由于二项式(2x −√x)5展开式的通项公式为T r +1＝C 5r •（2x ）5﹣r(−√x)r =（﹣1）r •25﹣r C 5r x 5−r2，令5−r2=3，解得r ＝4，∴展开式中x 3的系数是（﹣1）4•25﹣4C 54＝10．故选：A ．4．（5分）6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有（ ） A ．30种B ．144种C ．5种D ．4种【解答】解：这是不相邻问题，采用插空法，先排其余的3名同学，有A 33种排法，出现4个空，将甲、乙、丙插空，所以共有A 33A 43＝144种排法， 故选：B ．5．（5分）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（ ） A ．5√5π6B ．8√2π3C ．20√5π3D ．64√2π3【解答】解：圆柱的轴截面是边长为2的正方形，其外接圆的半径为√2， 则圆柱的外接球的半径为√2，可得该圆柱的外接球的体积为V =43π×(√2)3=8√2π3． 故选：B ．6．（5分）若tan α＝3，则1+cos2αsin2α=（ ）A ．−12B ．13C ．±13D ．2【解答】解：∵tan α＝3，则1+cos2αsin2α=2cos 2α2sinαcosα=cosαsinα=1tanα=13，故选：B ．7．（5分）已知双曲线C 的离心率为√3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为4√2，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．6【解答】解：由题意知，点P 在右支上，则|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝3|PF 2|， ∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，又e =ca =√3，∴|F 1F 2|=2c =2√3a ，则在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=9a 2+a 2−12a 22⋅3a⋅a =−13， ∴sin ∠F 1PF 2=2√23，故S △PF 1F 2=12⋅a ⋅3a ⋅2√23=4√2，解得a ＝2， ∴实轴长为2a ＝4， 故选：C ．8．（5分）已知函数f （x ）={lnxx，x ＞01−x 2，x ≤0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，则（ ）A ．1＜k ≤eB ．−1e＜k ＜0 C ．0＜k ＜1eD ．1e＜k ＜1【解答】解：当x ＞0时，f （x ）=lnx x ，∴f '（x ）=1−lnx x 2， 令f '（x ）＝0，得x ＝e ，∴当x ∈（0，e ）时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增； 当x ∈（e ，+∞）时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减， 又f （e ）=lne e =1e ，当x ≤0时，f （x ）＝1﹣x 2单调递增，画出函数f （x ）的图像，如图所示，∵函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，即方程f （x ）﹣k ＝0有三个不等实根， ∴函数y ＝f （x ）与y ＝k 有三个交点， 由图像可知，0＜k ＜1e， 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．（5分）如图所示，在5×5的方格中，点O ，A ，B ，C 均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（ ）A ．OB →=OA →+OC →B ．|OA →|=|OC →|=12|OB →| C ．AC →=OB →−2OC →D ．OA →⋅OB →=OC →⋅OB →【解答】解：由图知，四边形OABC 为菱形，选项A ，由平行四边形加法法则知，OB →=OA →+OC →，即A 正确；选项B ，|OA →|＝|OC →|=√17，|OB →|=√34，所以不满足|OA →|＝|OC →|=12|OB →|，即B 错误；选项C ，AC →=OC →−OA →=OC →−（OB →+BA →）=OC →−（OB →−OC →）=−OB →+2OC →，即C 错误；选项D ，因为四边形OABC 为菱形，所以∠AOB ＝∠COB ，且|OA →|＝|OC →|，由平面向量数量积的运算法则知，OA →•OB →=OC →•OB →成立，即D 正确． 故选：AD ．10．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称B ．函数f （x ）的图象关于x =π2直线对称 C ．函数f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增D ．y ＝1与图象y =f(x)(−π12≤x ≤23π12)的所有交点的横坐标之和为8π3【解答】解：根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象， 可得A ＝2，14×2πω=2π3−5π12，∴ω＝2．结合五点法作图，可得2×5π12+φ＝π，∴φ=π6，故f （x ）＝2sin （2x +π6）．令x =−π12，求得f （x ）＝0，可得函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称，故A 正确； 令x =π2，求得f （x ）＝﹣1，不是最值，故函数f （x ）的图象关不于x =π2直线对称，故B 错误；在区间[−π3，π6]上，2x +π6∈[−π2，π2]，函数f （x ）单调递增，故C 正确；当x∈[−π12，23π12]，2x+π6∈[0，4π]，直线y＝1与图象y=f(x)(−π12≤x≤23π12)的4个交点关于直线2x+π6=3π2对称．设这4个交点的横坐标分别为a、b、c、d，a＜b＜c＜d，则（2a+π6）+（2d+π6）＝2×3π2，（2b+π6）+（2c+π6）＝2×3π2，故所有交点的横坐标之和为a+b+c+d=8π3，故D正确，故选：ACD．11．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a9＝S17，则下列说法正确的是（）A．a8＝0B．a9＝0C．a1＝S16D．S8＞S10【解答】解：由{a n}是等比数列，得S17=172（a1+a17）＝17a9，又a9＝S17，得a9＝17a9，解得a9＝0，所以选项B正确；由于a8＝a9﹣d，且d≠0，所以a8≠0，选项A错误；由a9＝a1+8d＝0，得a1＝﹣8d，则S16＝16a1+16×152d＝16×（﹣8d）+15×8d＝﹣8d＝a1，所以选项C正确；若该数列a1＜0，d＞0，则当n≤8时，a n＜0，当n＝9时，a n＝0，当n≥10时，a n＞0，此时S8＜S10＝S8+a9+a10，选项D错误；故选：BC．12．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，下列说法正确的是（）A．对任意点P，DP∥平面AB1D1B ．三棱锥P ﹣A 1DD 1的体积为16C ．线段DP 长度的最小值为√62D ．存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3【解答】解：连接DB ，由BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1， 得四边形DD 1B 1B 为平行四边形，∴DB ∥D 1B 1，由DB ⊄平面AB 1D 1，D 1B 1⊂平面AB 1D 1， 得BD ∥平面AB 1D 1，同理DC 1∥平面AB 1D 1，又BD ∩DC 1＝D ，可得平面DBC 1∥平面AB 1D 1， ∴对任意点P ，DP ∥平面AB 1D 1，故A 正确； V P−A 1DD 1=V C 1−A 1DD 1=13×12×1×1×1=16，故B 正确； 当P 为BC 1中点时，DP ⊥BC 1，此时线段DP 长度的最小值为12+(√22)2=√62，故C正确；当P 在线段BC 1上运动时，DP 长度的最小值为√62，最大值为√2， 则PC 长度的范围为[√22，1]，而P 到平面ADD 1A 1的距离为定值1， 则DP 与平面ADD 1A 1所成角的正切值∈[√22，1]． 最大值小于√3，则不存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3，故D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 13．（5分）若随机变量X ～B （n ，13），且E （X ）∈N *，写出一个符合条件的n ＝ 3 ．【解答】解：令n ＝3时，则随机变量X ～B （3，13），E （X ）=3×13=1∈N ∗， 故n ＝3，符合题意． 故答案为：3．14．（5分）已知函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，且g （1）＝3，则g （﹣1）＝ 1 ．【解答】解：函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，则g （﹣x ）+g （x ）＝f （﹣x ）+2+f （x ）+2＝[f （﹣x ）+f （x ）]+4＝0+4＝4， 所以g （﹣1）＝4﹣g （1）＝4﹣3＝1． 故答案为：1．15．（5分）函数f(x)=1+12x +cosx 在(0，π2)上的单调递增区间是 (0，π6) ． 【解答】解：函数f(x)=1+12x +cosx ，可得f ′（x ）=12−sin x ，令12−sin x ＞0，因为x ∈(0，π2)，所以，解得x ∈(0，π6)， 故答案为：(0，π6)．16．（5分）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为 8 ．（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771） 【解答】解：第一次操作去掉的线段长度为13，第二次操作去掉的线段长度之和为23•13，第三次操作去掉的线段长度之和为23•23•13，……第n 次操作去掉的线段长度之和为(23)n−1•13，由题意知，(23)n−1•13≥160，则(23)n ≥130， 则nlg 23≥−lg 30＝﹣1﹣lg 3，所以n （lg 2﹣lg 3）≥﹣1﹣lg 3，即n ≤1+lg3lg3−lg2， 又lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771， 可得n ≤8，故n 的最大值为8． 故答案为：8．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =n 2+3n ，n ∈N *． （1）求{a n }的通项公式； （2）求数列{1a2n−1⋅a 2n+1}的前n 项和T n ．【解答】解：（1）当n ＝1时，2S 1＝4，∴a 1＝2，当n ≥2时，2S n−1=(n −1)2+3(n −1)，又2S n =n 2+3n ， 两式相减得2a n ＝2n +2，所以a n ＝n +1， 故{a n }的通项公式为a n =n +1(n ∈N ∗)． （2）由（1）知1a 2n−1a 2n+1=12n(2n+2)=14×1n(n+1)=14(1n−1n+1)，∴T n =14[(11−12)+(12−13)+⋅⋅⋅+(1n−1n+1)]=14(1−1n+1)=n 4n+4． 18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC +csinBcosA =12b ，且a ≥b ．（1）求角B 的值；（2）若A =π6，且△ABC 的面积为4√3，求BC 边上的中线AM 的长． 【解答】解：（1）因为a sin B cos C +c sin B cos A =12b ， 由正弦定理得sin A sin B cos C +sin C sin B cos A =12sin B ，因为sin B ≠0，整理得sin A cos C +sin C cos A =12，即sin （A +C ）=12，得sin B =12，又a ≥b ，所以0＜B ＜π2，可得B =π6．（2）由（1）知B =π6，若A =π6，可得C =2π3， 则S △ABC =12ab sin C =12a 2sin2π3=4√3，所以a ＝4，a ＝﹣4（舍），又在△AMC 中，AM 2＝AC 2+MC 2﹣2AC •MC cos 2π3，所以AM 2＝AC 2+（12AC ）2﹣2AC •12AC cos2π3=42+22﹣2×4×2×（−12）＝28，所以AM ＝2√7．19．（12分）某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为34，三步篮投中的概率为45，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次． （Ⅰ）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率； （Ⅱ）求该同学的总得分X 的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A ，“三步篮投中”为事件B ， “该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C ， 则P （A ）=34P （B ）=45所以P （C ）=34⋅C 21⋅45⋅15=625；（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2，3，4，所以P（X＝0）=(1−34)⋅C20⋅(45)0⋅(15)2=1100，P（X＝1）=(1−34)⋅C21⋅45⋅15=8100，P（X＝2）=34⋅C20⋅(45)0⋅(15)2+14⋅C22⋅(45)2=19100，P（X＝3）=34⋅C21⋅45⋅15=24100，P（X＝4）=34⋅C22⋅(45)2=48100，所以X的分布列为：X01234P11008100191002410048100故E（X）＝0×1100+1×8100+2×19100+3×24100+4×48100=3.1，则该同学得分的数学期望是3.1分．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD ＝CD=√2，BC＝2√2，P A＝1．（1）求证：AB⊥PC；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：由已知得四边形ABCD是直角梯形，由AD=CD=√2，BC=2√2，可得AB＝AC＝2，故△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，∵P A⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB，又P A∩AC＝A，∴AB⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴AB⊥PC．（2）解：取BC的中点E，连接AE，则AE⊥BC，建立如图所示的空间直角坐标系，A （0，0，0），C(√2，√2，0)，D(0，√2，0)，P （0，0，1）， B(√2，−√2，0)，PD →=(0，√2，−1)，AC →=(√2，√2，0)， 设PM →=tPD →(0≤t ≤1)， 则点M 为(0，√2t ，1−t)， 所以AM →=(0，√2t ，1−t)，设平面MAC 的法向量是n →=(x ，y ，z)， {AC →⋅n →=√2x +√2y =0AM →⋅n →=√2ty +(1−t)z =0， 令x ＝1，n →=(1，−1，√2t1−t )，又m →=(0，0，1)是平面ACD 的一个法向量，∴|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →||n →|=|√2t 1−t |√2+(√2t 1−t)=cos45°=√22，解得t =12，即点M 是线段PD 的中点．此时平面MAC 的一个法向量可取n →=(1，−1，√2)，BM →=(−√2，2√2，12)， 设BM 与平面MAC 所成的角为θ， 则sinθ=|cos〈n →，BM →〉|=|n →⋅BM →||n →|⋅|BM →|=2√69， ∴BM 与平面MAC 所成角的正弦值为2√69．21．（12分）设椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，椭圆的右焦点恰好是直线x +y −√3=0与x 轴的交点，椭圆的离心率为√32． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过定点N （﹣1，0）的直线与椭圆E 交于C ，D 两点（与点A ，B 不重合），证明：直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值． 【解答】解：（1）∵直线x +y −√3=0与x 轴的交点为(√3，0)，∴c =√3． 又∵e =ca =√32，∴a ＝2， ∴b 2＝a 2﹣c 2＝1． ∴椭圆E 的标准方程为x 24+y 2=1．（2）证明：由（1）可得A （﹣2，0），B （2，0）．由题知过点N （﹣1，0）的斜率不为0，故设直线的方程为x ＝my ﹣1， 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）．联立{x =my −1x 24+y 2=1，整理，得（4+m 2）y 2﹣2my ﹣3＝0，Δ＝4m 2+12（4+m 2）＞0，∴y 1+y 2=2m 4+m 2，y 1y 2=−34+m 2． 设直线AC 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，直线BD 的方程为y =y2x 2−2(x −2)， 联立两条直线方程，解得x =2⋅y 1(x 2−2)+y 2(x 1+2)y 2(x 1+2)−y 1(x 2−2)①， 将x 1＝my 1﹣1，x 2＝my 2﹣1代入①，得x =2⋅2my 1y 2+(y 1+y 2)−4y 1(y 1+y 2)+2y 1②， 将y 1+y 2=m 4+m 2，y 1y 2=−34+m 2代入②，得x ＝2.−4(m4+m 2+y 1)2(m 4+m 2+y 1)=−4，∴直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值﹣4． 22．（12分）已知f （x ）＝lnx +ax （a ∈R ）． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，若f （x ）≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立，证明：2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．【解答】解：（1）因为f ′（x ）=1x +a （x ＞0）， 当a ≥0时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当a ＜0时，若x ∈（0，−1a）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 若x ∈（−1a，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 综上，当a ≥0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当a ＜0时，f （x ）在（0，−1a ）上单调递增，f （x ）在（−1a ，+∞）上单调递减． （2）证明：因为lnx +x ≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立， 所以b ≥lnx +x ﹣k （x +1）在（0，+∞）上恒成立， 设g （x ）＝lnx +x ﹣k （x +1）， 所以g ′（x ）=1x +1﹣k （x ＞0），当k ≤1时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 此时b ≥g （x ）不恒成立， 当k ＞1时，若x ∈（0，1k−1）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，若x ∈（1k−1，+∞）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，所以g （x ）max ＝g （1k−1）＝ln1k−1+1k−1−k （1k−1+1）＝﹣ln （k ﹣1）﹣k ﹣1，所以b ≥﹣ln （k ﹣1）﹣k ﹣1， 又因为2k+b−2k−1=2+bk−1≥2+−ln(k−1)−k−1k−1=1−ln(k−1)+2k−1， 令t ＝k ﹣1＞0， h （t ）＝1−lnt+2t， 所以h ′（t ）=lnt+1t 2， 当t ∈（0，1e）时，h ′（t ）＜0，h （t ）单调递减， 当t ∈（1e ，+∞）时，h ′（t ）＞0，h （t ）单调递增，所以h （t ）min ＝h （1e）＝﹣e +1，所以2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．。
2024届广东省东莞市虎门中学等七校高三上学期联考数学试题及答案
东莞市2023-2024学年第一学期七校联考试卷高三数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1. 已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=（ ）A. ∅B. SC. TD. Z2. 在复平面内，复数z 对应点为()1,1-，则1iz=+（ ）A. 2 B. 1C. D.123. 对于定义域是R 的任意奇函数()f x ，都有（ ）A. ()()0f x f x -->B. ()()0f x f x --≤C. ()()0f x f x ⋅-≤ D. ()()0f x f x ⋅->4. 假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为10A ，10B ，10C ，则( )A. 101010A B C << B. 101010A C B <<C. 101010B A C << D. 101010C A B <<5. 函数()()e x x tf x -=在()2,3上单调递减，则t 的取值范围是（ ）A. [)6,+∞B. (],6-∞C. (],4∞- D. [)4,+∞6. 等边ABC 边长为2，13BD BC = ，则AD BC ⋅=（ ）A. 1B. 1- C.23D. 23-7. 已知正实数,a b 满足3a b ab +=，则4a b +的最小值为（ ）的A. 9B. 8C. 3D.838. 向量()0,1a = ，()2,3b =- ，则b 在a 上的投影向量为（ ）A ()2,0 B. ()0,2 C. ()3,0- D. ()0,3-二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9. 某学校一同学研究温差x （℃）与本校当天新增感冒人数y （人）的关系，该同学记录了5天的数据：x 568912y1720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程 2.6y x a=+，则（ ）A. 经验回归直线经过(8,25) B. 4.2a=C. 5x =时，残差为0.2- D. 若去掉样本点(8,25)，则样本的相关系数r 增大10. 已知函数()()πsin (ω0,)2f x x ωϕϕ=+><的部分图象如图所示，则（ ）A. ()f x 的图象可由曲线sin 2y x =向左平移π3个单位长度得到B ()πcos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. 2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心D. ()f x 在区间7π5π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增11. 如图，圆锥SO 的底面圆O 的直径4AC =，母线长为B 是圆O 上异于A ，C 的动点，则下..列结论正确的是（ ）A. SC 与底面所成角为45°B. 圆锥SO的表面积为C. SAB ∠的取值范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭D. 若点B 为弧AC 的中点，则二面角S BC O --的平面角大小为45°12. 已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化满足关系式00ln ln p p kh p -=，是海平面大气压强，410k -=.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为123,,p p p ，则（ ）A. 010.4p p e ≤B. 03p p <C. 23p p ≤D. 0.1832ep p ≤三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13. 已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则3a 的值为________．14. 已知tan 2α=，则()2sin π22cos 1αα+-值为______.15. 某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为14，15，16，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率的是________．16. 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠= ，P 为该球面上的动点，若三棱锥P OAB -体积的最大值为6，则球O 的表面积为________.四､解答题：本大题共6小题，第17题10分，18､19､20､21､22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17. ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若b =，ABC 的面积为ABC 的周长.18. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，112,AA AD DC BD ===和1B D 交于点,E F 为AB 的中点.（1）求证：//EF 平面11ADD A ；（2）求点A 到平面CEF 的距离.19. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()*233n n S a n =-∈N ．（1）求n a ；（2）若3211log n n nb a a -=+，记n T 为{}n b 的前n 项和，且满足150n T <，求n 的最大值．20. 某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻品种的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量x （单位：吨()t ）.并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.1000.05000100.001x α2.7063.8416.63510.828（1）求这400亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；（2）若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：试根据小概率值0.05α=的独立性检验分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？21. 适量的运动有助于增强自身体质，加快体内新陈代谢，有利于抵御疾病．某社区组织社区居民参加有奖投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为()01p p <<．（1）若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；（2）现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮相互独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的0p 作为p 的值；规则二：连续投篮3次，每投进一次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的0p 作为p 的值，若前次投进，则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1米，投进概率变为上次投.进概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．22. 已知函数()e xm f x x =+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12x x ≠，且()()122f x f x ==，证明：0e m <<，且122x x +<．东莞市2023-2024学年第一学期七校联考试卷高三数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1. 已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=（ ）A. ∅B. SC. TD. Z【答案】C 【解析】【分析】分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中Z n ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = .故选：C.2. 在复平面内，复数z 对应的点为()1,1-，则1iz=+（ ）A. 2B. 1C.D.12【答案】B 【解析】【分析】利用复数的几何意义及复数的除法法则，结合复数的模公式即可求解.【详解】因为复数z 在复平面内对应的点为()1,1-，所以1i z =-.所以()()()()212i i i 1i 1i 1i i 21i 1i 11i z -⨯----+====-+++⨯，所以11iz ==+.故选：B.3. 对于定义域是R 的任意奇函数()f x ，都有（ ）A. ()()0f x f x --> B. ()()0f x f x --≤C. ()()0f x f x ⋅-≤D. ()()0f x f x ⋅->【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 为奇函数，可得()()f x f x -=-，再对四个选项逐一判断即可得正确答案.【详解】∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，∴()()()()()2=0f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⋅-⋅-=-≤⎣⎦⎣⎦，又()0=0f ，∴()20f x -≤⎡⎤⎣⎦，故选：C【点睛】本题主要考查了奇函数的定义和性质，属于基础题.4. 假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为10A ，10B ，10C ，则( )A. 101010A B C << B. 101010A C B <<C. 101010B A C << D. 101010C A B <<【答案】B 【解析】【分析】设三种方案第n 天的回报分别为n a ，n b ，n c ，由条件可知{}n a 为常数列；{}n b 是首项为10，公差为10的等差数列；{}n c 是首项为0.4，公比为2的等比数列，然后求出投资10天三种投资方案的总收益为10A ，10B ，10C ，即可判断大小．【详解】解：设三种方案第n 天的回报分别为n a ，n b ，n c ，则40n a =，由条件可知{}n a 为常数列；{}n b 是首项为10，公差为10的等差数列；{}n c 是首项为0.4，公比为2的等比数列．设投资10天三种投资方案的总收益为10A ，10B ，10C ，则10400A =；101091010105502B ⨯=⨯+⨯=；10100.4(12)409.212C -==-，所以101010B C A >>．故选：B ．【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于根据生活中的数据，转化到数列中所需的基本量，公差，公比等，属于中档题.5. 函数()()e x x tf x -=在()2,3上单调递减，则t 的取值范围是（ ）A. [)6,+∞B. (],6-∞C. (],4∞- D. [)4,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性可得()y x x t =-的单调性，从而可求得t 的取值范围.【详解】因为函数e x y =在R 上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数()y x x t =-在()2,3上单调递减，则32t≥，解得6t ≥.故选：A6. 等边ABC 边长为2，13BD BC = ，则AD BC ⋅=（ ）A. 1B. 1- C.23D. 23-【答案】D 【解析】【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.【详解】如图所示，由ABC 是边长为2的等边三角形，且13BD BC = ，可得AD AB BD =+，所以()2222cos120233AD BC AB BD BC AB BC BD BC ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅⋅+⋅=-.故选：D.7. 已知正实数,a b 满足3a b ab +=，则4a b +的最小值为（ ）A. 9 B. 8C. 3D.83【答案】C 【解析】【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式进行求解即可【详解】由条件知113a b+=，1111414(4)553333a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当21a b ==时取等号.故选：C8. 向量()0,1a = ，()2,3b =- ，则b 在a上投影向量为（ ）A. ()2,0B. ()0,2 C. ()3,0- D. ()0,3-【答案】D 【解析】【分析】直接由投影向量公式求解即可.【详解】b 在a 上的投影向量为.()··30,3a b a a a a=-=-故选：D.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9. 某学校一同学研究温差x （℃）与本校当天新增感冒人数y （人）的关系，该同学记录了5天的数据：x568912的y 1720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程 2.6y x a=+，则（ ）A. 经验回归直线经过(8,25) B. 4.2a=C. 5x =时，残差为0.2- D. 若去掉样本点(8,25)，则样本相关系数r 增大【答案】ABC 【解析】【分析】计算样本中心点可得验证选项A ；由样本中心点计算 a验证选项B ；根据残差的定义计算验证选项C ；根据相关系数r 的分析验证选项D ．【详解】56891285x ++++==，1720252835255y ++++==，所以样本中心点为(8,25)，则A 正确；由ˆ2.6y x a=+，得ˆ 2.625 2.68 4.2a y x =-=-⨯=，则B 正确；由B 知，ˆ 2.6 4.2yx =+，当5x =时，ˆ 2.65 4.217.2y =⨯+=，则残差为1717.20.2-=-，则C 正确；由相关系数公式可知，去掉样本点(8,25)后，相关系数r 的公式中的分子、分母的大小都不变，故相关系数r 的大小不变，故D 不正确．故选：ABC ．10. 已知函数()()πsin (ω0,)2f x x ωϕϕ=+><的部分图象如图所示，则（ ）A. ()f x 的图象可由曲线sin 2y x =向左平移π3个单位长度得到B. ()πcos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的C. 2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心D. ()f x 在区间7π5π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】BC 【解析】【分析】根据函数的图象确定函数的表达式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即可结合选项逐一求解.【详解】由图可知：1πππ24126T T ω⎛⎫=--⇒=⇒= ⎪⎝⎭，又()f x 经过点π,112⎛⎫⎪⎝⎭，所以ππ22π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈,故π2π,Z 3k k ϕ=+∈，由于ππ,,23ϕϕ<∴=故()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，()f x 的图象可由曲线sin 2y x =向左平移π6个单位长度得到，故A 错误，对于B ，()ππππcos 2=sin 2=sin 26623f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确，对于C ， ()2πsin π03f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，故2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，故C 正确，对于D ，令πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，解得ππ,Z 5ππ1212k x k k +≤≤+∈-，故()f x 的其中两个单调递增区间为7π13π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，19π25π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故()f x 在7π5π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦不单调递增，故D 错误，故选:BC11. 如图，圆锥SO 的底面圆O 的直径4AC =，母线长为B 是圆O 上异于A ，C 的动点，则下列结论正确的是（ ）A. SC 与底面所成角为45°B. 圆锥SO 的表面积为C. SAB ∠的取值范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭D. 若点B 为弧AC 的中点，则二面角S BC O --的平面角大小为45°【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据SO ⊥面ABC ，由cos OCSCO SC<=判断；对于B ，由圆锥SO 的侧面积公式求解判断；对于C ，由π0,2ASB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭求解判断；对于D ，取BC 的中点D ，连接OD ，SD ，易得SDO ∠为二面角S BC O --的平面角求解判断.【详解】对于A ，因为SO ⊥面ABC ，所以SCO ∠是SC 与底面所成角，在Rt SOC △中，圆锥的母线长是，半径2r OC ==，则cos OC SCO SC ∠===，所以SCO ∠=45︒，则A 正确；对于B ，圆锥SO 的侧面积为rl π=，表面积为+4π，则B 错误；对于C ，当点B 与点A 重合时，0ASB ∠=为最小角，当点B 与点C 重合时π2ASB ∠=，达到最大值，又因为B 与A ，C 不重合，则π0,2ASB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，又2πSAB ASB ∠+∠=，可得ππ,42SAB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，则C 正确；对于D ，如图所示，，取BC 的中点D ，连接OD ，SD ，又O 为AC 的中点，则//OD AB ，因为AB BC ⊥，所以BC OD ⊥，又SO ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC ，所以BC SO ⊥，又SO OD O = ，BC ⊥面SOD ，故BC SD ⊥，所以SDO ∠为二面角S BC O --的平面角，因为点B 为弧AC的中点，所以AB =，12OD AB ==tan SO SDO OD∠==D 错误.故选：AC.12. 已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化满足关系式00ln ln p p kh p -=，是海平面大气压强，410k -=.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：平均海拔/m第一级阶梯4000≥第二级阶梯10002000~第三级阶梯2001000~若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为123,,p p p ，则（ ）A. 010.4p p e ≤B. 03p p <C. 23p p ≤D. 0.1832ep p ≤【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，列出不等式，根据对数函数的性质解对数不等式即可求解.【详解】设在第一级阶梯某处的海拔为1h ，则4011ln ln 10p p h --=，即41110lnp h p =.因为14000h ≥，所以40110ln4000p p ≥，解得010.4ep p ≤A 正确；由0ln ln p p kh -=，得0ekhp p =.当0h >时，0e 1khp p=>，即0p p >，所以03p p >，B 错误；设在第二级阶梯某处的海拔为2h ，在第三级阶梯某处的海拔为3h ，则40224033ln ln 10ln ln 10p p h p p h --⎧-=⎨-=⎩两式相减可得()43232ln 10p h h p -=-.因为[][]231000,2000,200,1000h h ∈∈，所以[]230,1800h h -∈，则4320ln1018000.18p p -≤≤⨯=，即0.18321e p p ≤≤，故0.18232e C,D p p p ≤≤，均正确.故选:ACD.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13. 已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则3a 的值为________．【答案】10【解析】【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接列式计算作答.【详解】依题意，2235C (1)10a =-=.故答案为：1014. 已知tan 2α=，则()2sin π22cos 1αα+-的值为______.【答案】43【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式、二倍角的正余弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.【详解】()222222sin π2sin22sin cos 2tan 4tan 2,2cos 1cos sin cos sin 1tan 3αααααααααααα+---=====----.故答案为:43.15. 某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为14，15，16，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是________．【答案】1537【解析】【分析】设小明迟到为事件A ，小明自驾为事件B ，由题可得()()(),,P A P B P AB ，后由条件概率公式可得答案.【详解】设小明迟到为事件A ，小明自驾为事件B ，则()11111137343536180P A =⨯+⨯+⨯=， ()1113412P AB =⨯=.则在小明迟到的条件下，他自驾去上班的概率为()()()115123737180P AB P B A P A ===.故答案为：153716. 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠= ，P 为该球面上的动点，若三棱锥P OAB -体积的最大值为6，则球O 的表面积为________.【答案】48π【解析】【分析】当PO ⊥平面OAB 时，三棱锥体积最大，设球O 的半径为R ，列方程求解即可.【详解】如图所示，当PO ⊥平面OAB 时，三棱锥的体积最大，设球O 的半径为R ，此时11sin 60632P OAB R V R R =⨯⨯⨯⨯⨯= －，故R =，则球O 的表面积为24π48πS R ==.故答案为：48π.四､解答题：本大题共6小题，第17题10分，18､19､20､21､22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17. ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若b =，ABC的面积为ABC 的周长.【答案】（1）3B π=；（2）6+的【解析】【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出1cos 2B =，进而求出B ；（2）根据余弦定理可得到()2312a b ab +-=，再根据三角形面积公式得到 8ab =，即可求出6a b +=，进而求出ABC 的周长.【详解】解：（1）cos cos 2cos a C c A b B += ，由正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，整理得：()sin 2sin cos sin A C B B B +==，∵在ABC 中，0B π<<，∴sin 0B ≠，即2cos 1B =，∴1cos 2B =，即3B π=；（2）由余弦定理得：(222122a c ac =+-⋅，∴()2312a c ac +-=，∵1sin 2S ac B ===，∴8ac =，∴()22412a c +-=，∴6a c +=，∴ABC 的周长为6+.18. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，112,AA AD DC BD ===和1B D 交于点,E F 为AB 的中点.（1）求证：//EF 平面11ADD A ；（2）求点A 到平面CEF 的距离.【答案】（1）证明见解析 （2）1【解析】【分析】（1）利用空间中直线与平面平行的判定定理，结合三角形中位线即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求平面法向量，再根据面面夹角的向量公式及点到面的距离公式运算求解．【小问1详解】如图，连接1AD ，11B D ，BD .因为长方体1111ABCD A B C D -中,1//BB 1DD 且11BB DD =，所以四边形11BB D D 为平行四边形.所以E 为1BD 的中点，在1ABD 中，因为E ，F 分别为1BD 和AB 的中点，所以//EF 1AD .因为EF ⊄平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以//EF 平面11ADD A .【小问2详解】如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为长方体中12A A AD ==,CD =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A，(0,C，B，F，1B，E .所以(1,CE =，(2,CF =，.设平面CEF 的法向量为111(,,)m x y z =，则0,0,m CE m CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111020x z x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令11x =，则1y =，11z =，可得m =.AF =，所以点A 到平面CEF 的距离为||1||AF m d m ⋅== .19. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()*233n n S a n =-∈N ．（1）求n a ；（2）若3211log n n nb a a -=+，记n T 为{}n b 的前n 项和，且满足150n T <，求n 的最大值．【答案】（1）3nn a = （2）12【解析】【分析】（1）利用n S 与n a 的关系计算即可；（2）利用等比数列、等差数列的求和公式及分组求和法求n T ，再由函数的单调性解不等式即可.【小问1详解】当1n =时，1112332S a a =-=，解得13a =，当2n ≥时，11233n n S a --=-，因为233n n S a =-，所以1122233n n n n n S S a a a ---==-，即13n n a a -=，所以()132nn a n a -=≥，所以，{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为3nn a =；【小问2详解】由题意知：1213n nb n =+-，所以()211112111331122313nn nn n T n ⎛⎫-⎪+-⎛⎫⎝⎭=+=-+ ⎪⎝⎭-，易知{}n T 在*n ∈N 上单调递增，而1213121311111441150,16911502323T T ⎛⎫⎛⎫=+-<=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以满足150n T <的n 的最大值为12．20. 某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻品种的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量x （单位：吨()t ）.并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.1000.0500.0100.001x α2.7063.8416.63510.828（1）求这400亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；（2）若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：亩产量超过0.7t亩产量不超过0.7t 合计河水灌溉18090270井水灌溉7060130合计250150400试根据小概率值0.05α=的独立性检验分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？【答案】（1）0.75（2）用河水灌溉是比井水灌溉好.【解析】【分析】（1）先根据频率之和为1求出b 的值，再根据公式求出平均值；（2）运用卡方公式进行求解.【小问1详解】由题：(0.752 1.252 1.75 2.25)0.1=1b ⨯+⨯+++⨯，解得=2b ，所以这400亩水稻平均亩产量的估计值为：(0.450.750.55 1.250.65 1.750.75 2.250.8520.95 1.25 1.050.75)0.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯0.75≈；【小问2详解】()()()()222()400(180607090) 6.154250*********n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯，因为6.154 3.841>，所以根据小概率值0.05α=的独立性检验分析，有95%的把握认为亩产量与所用灌溉水源相关,用河水灌溉是比井水灌溉好.21. 适量的运动有助于增强自身体质，加快体内新陈代谢，有利于抵御疾病．某社区组织社区居民参加有奖投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为()01p p <<．（1）若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；（2）现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮相互独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的0p 作为p 的值；规则二：连续投篮3次，每投进一次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的0p 作为p 的值，若前次投进，则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1米，投进概率变为上次投进概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．【答案】（1）最大值点023=p （2）小李应选规则一参加比赛．【解析】【分析】（1）先求出连续投篮6次，恰好投进4次的概率()f p 的解析式，再利用导数研究其单调性及其最值即可；（2）若选规则一,利用二项分布概念即可求出其数学期望；若选规则二，可分别求出离散型随机变量的各种情况概率，从而可求得其分布列，进而得出其数学期望，比较这两种规则下求得的数学期望，进而判断即可.【小问1详解】由题意得则()()()2446C 1,0,1f p p p p =-∈，则()()()()()24344366C 4121C 146f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦，令()0f p '=，得23p =，当20,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>，()f p 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，当2,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<，()f p 在区间2,13⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，所以()f p 的最大值点023=p ．【小问2详解】若选规则一，记X 为小李投进的次数，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6．的则2~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2643E X =⨯=，记Y 为小李所得鸡蛋的盒数，则2Y X =，()()28E Y E X ==．若选规则二，记Z 为小李投进的次数，则Z 的所有可能取值为0，1，2，3．记小李第k 次投进为事件()1,2,3k A k =，未投进为事件k A ，所以投进0次对应事件为123,,A A A ，其概率为()()1231255033627P Z P A A A ===⨯⨯=；投进1次对应事件为123123123A A A A A A A A A ++，其概率()2121121217133333333627P Z ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；投进2次对应事件为123123123A A A A A A A A A ++，其概率()2212111117133333333327P Z ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．投进3次对应事件为123A A A ，其概率()2228333327P Z ==⨯⨯=，所以Z 的分布列为Z 0123P527 727 727 827所以()577850123272727273E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=；记L 为小李所得鸡蛋的盒数，则4L Z =，()203E L =，因为()()E Y E L >，所以小李应选规则一参加比赛．22. 已知函数()e xm f x x =+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12x x ≠，且()()122f x f x ==，证明：0e m <<，且122x x +<．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，分0m ≤和0m >两种情况，得到函数的单调性；（2）变形为12,x x 是方程e (2)x m x =-的两个实数根，构造函数()e (2)xg x x =-，得到其单调性和极值最值情况，结合图象得到0e m <<，再构造差函数，证明出122x x +<.小问1详解】()f x 的定义域为R ，由题意，得e ()1e exx x m f x m'-=-=，x ∈R ，当0m ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在R 上单调递增；当0m >，且当(,ln )x m ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．综上，当0m ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0m >时，()f x 在区间(),ln m -∞上单调递减，在区间()ln ,m +∞上单调递增．【小问2详解】证明：由()()122f x f x ==，得1x ，2x 是方程2e xmx +=的两个实数根，即12,x x 是方程e (2)x m x =-的两个实数根．令()e (2)xg x x =-，则()e (1)xg x x '=-，所以当(),1x ∈-∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()1x ∈+∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()()max 1e g x g ==．因为当x →-∞时，()0g x →；当x →+∞时，()g x →-∞，()20g =，所以0e m <<．不妨设12x x <，因为1x ，2x 是方程e (2)x m x =-的两个实数根，则1212x x <<<．要证122x x +<，只需证122x x <-．因为11<x ，221x -<，【所以只需证()()122g x g x <-．因为()()12g x g x =，所以只需证()()222g x g x <-．今()()(2)h x g x g x =--，12x <<，则()22()()(2)e (1)e(1)(1)e e xxx xh x g x g x x x x --'''=+-=-+-=--22e e (1)0ex xx -=-⋅<在()1,2恒成立．所以()h x 在区间(1,2)上单调递减，所以()(1)0h x h <=，即当12x <<时，()(2)g x g x <-．所以()()222g x g x <-，即122x x +<成立．【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则先消去参数.。
广东省东莞市四校2023-2024学年高一上学期12月期中联考数学试题(含答案解析)
广东省东莞市四校2023-2024学年高一上学期12月期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题e．．．．二、多选题三、填空题四、双空题五、解答题参考答案：1．D【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系判断．【详解】由已知A 中含有元素0，1，2，因此{0}A ⊆，A 、B 均错，集合{0,1,1,2}-中比集合A 多一个元素1-，因此应有{0,1,1,2}A ⊆-，C 错，由空集是任何集合子集知D 正确．故选：D.【点睛】本题考查元素与集合，集合与集合之间的关系及表示方法，属于基础题．2．C【详解】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“[)30,,0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是[)30000,,0x x x ∃∈+∞+<，选C.考点：全称命题与存在性命题.3．B【分析】按充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】2211011x x x <⇔-<⇔-<<，故1x <是11x -<<的必要不充分条件，故选：B 4．C【解析】根据具体函数的定义域，先分别求每一个式子满足的定义域，再求交集即可【详解】由题可知，函数定义域应满足2010x x ->⎧⎨+>⎩，解得()1,2x ∈-故选：C【点睛】本题考查具体函数的定义域的求法，属于基础题5．B【解析】结合分段函数的分段条件，分别代入计算，即可求解.【详解】∵函数()()22,03,0x x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，∴()()()()209630021f f f f ====-=-.故选：B.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中结合分段函数的分段条件，分别任取12,R x x ∈且12x x <，则210x x ->()()()()()2121210f x f x f x f x f x x -=+-=-<，所以()()21f x f x <，所以()f x 在R 上为减函数.当[]3,3x ∈-时，()f x 单调递减，所以当3x =-时，()f x 有最大值为()3f -，因为()()()()32131236f f f f =+==-⨯=-，所以()()336f f -=-=，故()f x 在区间[]3,3-上的最大值为6.（3）由（2）知()f x 在区间[]1,1-上单调递减，所以()()()112f x f f ≤-=-=，因为()222f x m am <-+对所有的[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，即220m am ->对任意[]1,1a ∈-恒成立，令()22g a am m =-+，则()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩，即222020m m m m ⎧+>⎨-+>⎩，解得：2m >或2m <-.故m 的取值范围为()(),22,-∞-⋃+∞.。
2020年广东省东莞市中学高一数学文联考试卷含解析
2020年广东省东莞市中学高一数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5D．a≥5参考答案：A【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】先用配方法将二次函数变形，求出其对称轴，再由“在（﹣∞，4]上是减函数”，知对称轴必须在区间的右侧，求解即可得到结果．【解答】解：∵f（x）=x2+2（a﹣1）x+2=（x+a﹣1）2+2﹣（a﹣1）2其对称轴为：x=1﹣a∵函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数∴1﹣a≥4∴a≤﹣3故选A【点评】本题主要考查二次函数的单调性，解题时要先明确二次函数的对称轴和开口方向，这是研究二次函数单调性和最值的关键．2. 已知函数的周期为2，当，那么函数的图像与函数的图像的交点共有（）A.10个B.9个C.8个D.1个参考答案：A略3. 函数，若，则的值为 ( ）A．3 B．0 C．-1 D．-2参考答案：B4. 等差数列项的和等于（）A． B． C． D．参考答案：B5. 已知等差数列中，有，且该数列的前项和有最大值，则使得成立的的最大值为（）A．11 B．19 C． 20 D．21参考答案：B6. 若函数上是减函数，则实数a的取值范围是A． B． C． D．参考答案：A由题意知，对称轴x＝1－a≥4，∴a≤－3.7. （5分）如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m 的值为（）A．B．C．D．参考答案：D考点：平面向量的基本定理及其意义．分析：由已知中△ABC中，，P是BN上的一点，设后，我们易将表示为的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，m的方程组，解方程组后即可得到m的值解答：∵P是BN上的一点，设，由，则=====∴m=1﹣λ，解得λ=，m=故选D点评：本题考查的知识点是面向量的基本定理及其意义，其中根据面向量的基本定理构造关于λ，m的方程组，是解答本题的关键．8. 下列各式成立的是：A．B．C．D．参考答案：Ａ9. 若和分别是的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是A. B.C. D.参考答案：C略10. 设集合A和B都是坐标平面上的点集{（x，y）|x∈R，y∈R}，映射f：A→B把集合A 中的元素（x，y}映射成集合B中的元素（x+y，x﹣y），则在映射f下，象（2，1）的原象是( )A．（3，1）B．（，）C．（，﹣）D．（1，3）参考答案：B【考点】映射．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据映射的定义结合题意可得 x+y=2，x﹣y=1，解得x，y的值，即可求出原像（x，y）【解答】解：由映射的定义结合题意可得 x+y=2，x﹣y=1，解得 x=，y=，故像（2，1）的原像是（，），故选B．【点评】本题主要考查映射的定义，在映射f下，像和原像的定义，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若等差数列的首项，前三项的和为15，则通项公式参考答案：12. 已知函数，，若关于x的不等式恰有两个非负整数解，则实数a的取值范围是__________．参考答案：【分析】由题意可得f（x），g（x）的图象均过（﹣1，1），分别讨论a＞0，a＜0时，f（x）＞g （x）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围．【详解】由函数，可得，的图象均过，且的对称轴为，当时，对称轴大于0.由题意可得恰有0，1两个整数解，可得；当时，对称轴小于0.因为,由题意不等式恰有-3，-2两个整数解，不合题意，综上可得的范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，指数函数的图像的应用，属于中档题．13. 在平面直角坐标系中，菱形OABC的两个顶点为O，（0，0），A（1，1），且，则 .参考答案：114. 若，则参考答案：115. 在数列中，，，那么的通项公式是。
2021年广东省东莞市七校联考中考数学模拟试卷(解析版)
2021年广东省东莞市七校联考中考数学模拟试卷一．选择题（共10小题）.1．下列实数中，无理数是（）A．0B．﹣4C．D．2．2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.0000000099秒．数据“0.0000000099”用科学记数法表示为（）A．99×10﹣10B．9.9×10﹣10C．9.9×10﹣9D．0.99×10﹣83．在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（）A．95B．90C．85D．804．在平面直角坐标系中，点A关于原点的对称点A1（3，﹣2），则点A的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（2，﹣3）C．（3，2）D．（﹣3，﹣2）5．正多边形的内角和是1440°，则这个正多边形是（）A．正七边形B．正八边形C．正九边形D．正十边形6．若关于x的方程x2+6x﹣a＝0无实数根，则a的值可以是下列选项中的（）A．﹣10B．﹣9C．9D．107．不等式组的解集在数轴表示正确的是（）A．B．C．D．8．在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（）A．πB．πC．πD．π9．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长为（）A．18B．25C．32D．3610．如图，函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）、（m，0），且1＜m＜2，下列结论：①abc＜0；②0＜＜；③若点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b＝0．其中结论正确的有（）个A．1B．2C．3D．4二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11．计算：20210+＝．12．分式有意义的条件是．13．分解因式：1﹣16n2＝．14．若2m+n＝4，则代数式6﹣2m﹣n的值为．15．已知在半径为3的⊙O中，弦AB的长为4，那么圆心O到AB的距离为．16．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①OG＝AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．17．如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第6个图案中有根小棒．三．解答题（共8小题，满分62分）18．先化简，再求值：（）÷，其中x＝﹣1．19．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的点，且AD＝BE．求证：AE＝CD．20．某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．21．在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品30件，B种物品20件，共需680元；如果购买A种物品50件，B种物品40件，共需1240元．（1）求A、B两种防疫物品每件各多少元；（2）现要购买A、B两种防疫物品共300件，总费用不超过4000元，那么A种防疫物品最少购买多少件？22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△DPQ面积的最大值．23．如图，已知点P是⊙O外一点，直线PA与⊙O相切于点B，直线PO分别交⊙O于点C、D，∠PAO＝∠PDB，OA交BD于点E．（1）求证：OA∥BC；（2）当⊙O的半径为10，BC＝8时，求AE的长．24．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接BC，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，D为第一象限内抛物线上一点，过D做DT⊥x轴交x轴于T，交BC于点K，设D点横坐标为m，线段DK的长为d，求d与m之间的关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，D在对称轴右侧，Q、H为直线DT上一点，Q点纵坐标为4，H在第四象限内，且QD＝TH，过D作x轴的平行线交抛物线于点E，连接EQ 交抛物线于点R，连接RH，tan∠ERH＝2，求点D的坐标．25．如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A（6，0），C（0，2），将矩形OABC绕点O逆时针旋转得到矩形ODEF，使得点A的对应点D恰好落在对角线OB上，OE交BC于点G．（1）求证：△BGO是等腰三角形；（2）求点E的坐标；（3）如图2，矩形ODEF从点O出发，沿OB方向移动，得到矩形O′D′E′F′，当移动到点O′与点B重合时，停止运动，设矩形O'D'E′F′与△OBC重叠部分的面积为y，OO′＝x，求y关于x的函数关系式．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列实数中，无理数是（）A．0B．﹣4C．D．解：0，﹣4是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；无理数是．故选：C．2．2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.0000000099秒．数据“0.0000000099”用科学记数法表示为（）A．99×10﹣10B．9.9×10﹣10C．9.9×10﹣9D．0.99×10﹣8解：0.0000000099＝9.9×10﹣9，故选：C．3．在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（）A．95B．90C．85D．80解：数据90出现了两次，次数最多，所以这组数据的众数是90．故选：B．4．在平面直角坐标系中，点A关于原点的对称点A1（3，﹣2），则点A的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（2，﹣3）C．（3，2）D．（﹣3，﹣2）解：∵点A关于原点的对称点A1（3，﹣2），∴点A的坐标为（﹣3，2），故选：A．5．正多边形的内角和是1440°，则这个正多边形是（）A．正七边形B．正八边形C．正九边形D．正十边形解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）＝1440，解得：n＝10，∴这个正多边形是正十边形．故选：D．6．若关于x的方程x2+6x﹣a＝0无实数根，则a的值可以是下列选项中的（）A．﹣10B．﹣9C．9D．10解：∵关于x的方程x2+6x﹣a＝0无实数根，∴△＝62﹣4×1×（﹣a）＜0，解得：a＜﹣9，∴只有选项A符合，故选：A．7．不等式组的解集在数轴表示正确的是（）A．B．C．D．解：解不等式x+1≤3，得：x≤2，解不等式﹣2x﹣6＜﹣4，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，故选：C．8．在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（）A．πB．πC．πD．π解：弧长＝＝π，故选：A．9．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长为（）A．18B．25C．32D．36解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由折叠的性质得：∠AFE＝∠D＝90°，EF＝ED，AF＝AD，∴tan∠EFC＝＝，设CE＝3k，则CF＝4k，由勾股定理得DE＝EF＝＝5k，∴DC＝AB＝8k，∵∠AFB+∠BAF＝90°，∠AFB+∠EFC＝90°，∴∠BAF＝∠EFC，∴tan∠BAF＝＝tan∠EFC＝，∴BF＝6k，AF＝BC＝AD＝10k，在Rt△AFE中，由勾股定理得AE＝＝＝5k＝5，解得：k＝1，∴矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2（8k+10k）＝36（cm），故选：D．10．如图，函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）、（m，0），且1＜m＜2，下列结论：①abc＜0；②0＜＜；③若点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b＝0．其中结论正确的有（）个A．1B．2C．3D．4解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，∴①的结论错误；∵抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，∴0＜＜，故②的结论正确；∵点A（﹣2，y1）到对称轴的距离比点B（2，y2）到对称轴的距离远，∴y1＞y2，∴③的结论错误；∵抛物线过点（﹣1，0），（m，0），∴a﹣b+c＝0，am2+bm+c＝0，∴am2﹣a+bm+b＝0，a（m+1）（m﹣1）+b（m+1）＝0，∴a（m﹣1）+b＝0，∴④的结论正确；故选：B．二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11．计算：20210+＝﹣2．解：原式＝1+3﹣6＝﹣2．故答案为：﹣2．12．分式有意义的条件是x≠﹣1．解：要使分式有意义，必须x+1≠0，解得，x≠﹣1，故答案是：x≠﹣1．13．分解因式：1﹣16n2＝（1﹣4n）（1+4n）．解：1﹣16n2＝（1﹣4n）（1+4n）．故答案为：（1﹣4n）（1+4n）．14．若2m+n＝4，则代数式6﹣2m﹣n的值为2．解：∵2m+n＝4，∴6﹣2m﹣n＝6﹣（2m+n）＝6﹣4＝2，故答案为2．15．已知在半径为3的⊙O中，弦AB的长为4，那么圆心O到AB的距离为．解：作OC⊥AB于C，连接OA，如图，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×4＝2，在Rt△AOC中，OA＝5，∴OC＝＝＝，即圆心O到AB的距离为．故答案为：．16．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是①④．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①OG＝AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG＝CD＝AB，①正确；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，在△ABG和△DCO中，，∴△ABG≌△DCO（SAS），∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；∵OB＝OD，AG＝DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG∥AB，OG＝AB，∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，∴△GOD的面积＝△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，∴S四边形ODGF＝S△ABF；不正确；正确的是①④．故答案为：①④．17．如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第6个图案中有31根小棒．解：观察图形的变化可知：第1个图案中有6根小棒，即5×1+1＝6；第2个图案中有11根小棒，即5×2+1＝11；第3个图案中有16根小棒，即5×3+1＝16；…，则第6个图案中有：5×6+1＝31（根）小棒．故答案为：31．三．解答题（共8小题，满分62分）18．先化简，再求值：（）÷，其中x＝﹣1．解：原式＝•＝x+2，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+2＝1．19．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的点，且AD＝BE．求证：AE＝CD．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠ABE＝∠CAD＝180°﹣60°＝120°，在△ABE与△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AE＝CD．20．某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．解：（1）本次调查的学生总人数有：16÷20%＝80（人）；重视的人数有：80﹣4﹣36﹣16＝24（人），补全条形统计图如图：（2）画树状图如下：共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，∴恰好抽到同性别学生的概率为＝．21．在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品30件，B种物品20件，共需680元；如果购买A种物品50件，B种物品40件，共需1240元．（1）求A、B两种防疫物品每件各多少元；（2）现要购买A、B两种防疫物品共300件，总费用不超过4000元，那么A种防疫物品最少购买多少件？解：（1）设A种防疫物品x元/件，B种防疫物品y元/件，依题意得：，解得：．答：A种防疫物品12元/件，B种防疫物品16元/件．（2）设A种防疫物品购买m件，则B种防疫物品购买（300﹣m）件，依题意得：12m+16（300﹣m）≤4000，解得：m≥200．答：A种防疫物品最少购买200件．22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△DPQ面积的最大值．解：（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，，解得，，∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4，当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，∴点C（3，2），∵点C在反比例函数的图象上，∴k＝3×2＝6，∴反比例函数的关系式为y＝，答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y＝；（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，∴点P（n，），点Q（n，2n﹣4），∴PQ＝﹣（2n﹣4），∴S△PDQ＝n[﹣（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4，∵﹣1＜0，∴当n＝1时，S最大＝4，答：△DPQ面积的最大值是4．23．如图，已知点P是⊙O外一点，直线PA与⊙O相切于点B，直线PO分别交⊙O于点C、D，∠PAO＝∠PDB，OA交BD于点E．（1）求证：OA∥BC；（2）当⊙O的半径为10，BC＝8时，求AE的长．【解答】证明：（1）如图，连接OB，∵PA与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∴∠ABE+∠OBE＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵∠PAO＝∠PDB，∴∠PAO＝∠OBD，∴∠ABE+∠PAO＝90°，∴∠AEB＝90°，∵CD是直径，∴∠CBD＝90°，∴∠CBD＝∠AEB，∴OA∥BC；（2）∵CD＝2OD＝20，BC＝8∴BD＝＝＝4，∵OE⊥BD，∴BE＝DE＝2，∵∠BAE＝∠D，∠AEB＝∠CBD＝90°∴△ABE～△DCB，∴∴∴AE＝21．24．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接BC，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，D为第一象限内抛物线上一点，过D做DT⊥x轴交x轴于T，交BC于点K，设D点横坐标为m，线段DK的长为d，求d与m之间的关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，D在对称轴右侧，Q、H为直线DT上一点，Q点纵坐标为4，H在第四象限内，且QD＝TH，过D作x轴的平行线交抛物线于点E，连接EQ 交抛物线于点R，连接RH，tan∠ERH＝2，求点D的坐标．解：（1）对于y＝a（x+1）（x﹣3），令y＝a（x+1）（x﹣3）＝0，解得x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝﹣3a，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），∵OB＝OC＝3，∴﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）由点BC的坐标得：直线BC解析式为y＝﹣x+3，∴设D（m，﹣m2+2m+3），K（m，﹣m+3），∴d＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m（0＜m＜3）；（3）连接EH，∵QH平行y轴，Q点的纵坐标为4，QD＝TH，∴QT＝DH＝4，∴QD＝4﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣2m+1，∵ED＝2m﹣2，∴tan∠QED＝，∴tan∠EHD＝，∴∠QED＝∠EHD，∴∠QEH＝90°，过E作y轴平行线l，过R、H分别作直线l的垂线交l于M和N，连接EH，∵∠QEH＝90°，∴∠REM+∠HEN＝90°，∵∠EHN+∠HEN＝90°，∴∠REM＝∠EHN，∴Rt△RME∽Rt△ENH，∴＝tan∠ERH＝2，∵NH＝DE＝2m﹣2，∴ME＝m﹣1，∴RF＝﹣m2+3m+2，∵EN＝DH＝4，∴RM＝2，∴FT＝NH﹣MR＝2m﹣4，∴OF＝OT﹣OF＝4，∴R（4﹣m，﹣m2+3m+2），将R点代入抛物线表达式得：﹣m2+3m+2＝﹣（4﹣m）2+2（4﹣m）+3，解得：m＝，当x＝时，y＝﹣x2+2x+3＝，∴D（，）．25．如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A（6，0），C（0，2），将矩形OABC绕点O逆时针旋转得到矩形ODEF，使得点A的对应点D恰好落在对角线OB上，OE交BC于点G．（1）求证：△BGO是等腰三角形；（2）求点E的坐标；（3）如图2，矩形ODEF从点O出发，沿OB方向移动，得到矩形O′D′E′F′，当移动到点O′与点B重合时，停止运动，设矩形O'D'E′F′与△OBC重叠部分的面积为y，OO′＝x，求y关于x的函数关系式．解：（1）由题意知：tan∠CBO＝，∴∠CBO＝30°，∵AO∥BC，∴∠BOA＝∠CBO＝30°，∵∠GOB＝∠GBO＝30°，∴GO＝GB，∴△BGO是等腰三角形；（2）在Rt△BCO中，OC＝2，BC＝OA＝6，∴OB＝OE＝＝4，作EH⊥x轴于点H，∵∠BOA＝∠EOB＝30°，∴∠EOH＝∠BOA+∠EOB＝60°，在Rt△EOH中，OE＝4，∴OH＝2，EH＝6，故E点坐标为（2，6）；（3）OO′＝x，O′D′＝6，D'B＝4﹣x﹣6，令F'O'与CO交点为点M．，E'D'与CB交点为点N，S△OMO′＝x2，S△ND′B＝，S△OCB＝6，当0≤x﹣6，y＝6﹣x2﹣，当4﹣6＜x，y＝6﹣x2，当，y＝．。
2020-2021学年广东省高一上学期12月大联考数学试题 PDF版
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2020-2021学年广东省东莞市高一(上)期末数学复习卷2(解析版)
2020-2021学年广东省东莞市高一(上)期末数学复习卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,2，3，4，5}，B={x|x≤3}，则A∩B=()A. {3}B. {1,2}C. {2,3}D. {1,2，3}2.直线l:√3x−y−2=0的斜率为()A. 1B. √3C. −1D. −√33.下列函数中，既是奇函数，又在(0,+∞)单调递增的是()C. f(x)=x3D. f(x)=ln|x|A. f(x)=−2xB. f(x)=1x4.在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要清点箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三视图画了出来(如图)，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？这些正方体货箱的个数为()A. 6B. 7C. 8D. 95.设a=sin2，b=log0.3π，c=40.5，则()A. b<a<cB. a<b<cC. c<a<bD. b<c<a6.若函数y=log a x(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()A. B. C. D.7.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A. 2√2π3 B. 4√2π3 C. 2√2π D. 4√2π8. 如果函数f(x)=x 2+2(a −1)x +2在区间[2,+∞)上单调递增，那么实数a 的取值范围是( ) A. a ≥−1 B. a ≤−1 C. a ≥3 D. a ≤39. 过点P(3,4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )A. x −y +1=0B. x −y +1=0或4x −3y =0C. x +y −7=0D. x +y −7=0或4x −3y =010. 已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是( )A. 若m//n ，n ⊂α，则m//αB. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//βC. 若m ⊥α，n ⊥α，m ⊂β，n ⊂γ，则β//γD. 若m//α，n//α，则m ，n 平行、相交、异面均有可能11. 已知函数y =f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,+∞)上单调递减，若实数m 满足f(log 3m)≥f(1)，则m 的取值范围为( )A. (0,13]B. [3,+∞)C.D. [13,3] 12. 若函数y =f(x)(x ∈R)满足f(x +1)=−f(x)，且x ∈[−1,1]时f(x)=1−x 2，函数g(x)={lgx(x >0)−1x (x <0)，则函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在区间[−5,4]内的零点的个数为( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. log 216−log 24= ________．14.若两平行直线l1：x−2y+m=0(m>0)与l2：2x+ny−6=0之间的距离是√5，则m+n=______．15.已知f(x)=g(x)+2函数．g(x)是定义在R上的奇函数，若f(2019)=2019，则f(−2019)=_________．16.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的六个顶点都在球O上，底面ABC是直角三角形，且AB=BC=√10，侧棱AA1=4，则球O的体积为________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）)x+117.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=(12(1)求函数f(x)的解析式(2)画出函数的图象，根据图象写出函数f(x)的单调区间．18.(本小题满分12分)在△ABC中，三个顶点的坐标为A(−1,4)，B(−2,−1)，C(2,3)．(1)求AC边中线所在直线方程(2)求△ABC的面积．19.用水洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位的水，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设可洗掉蔬菜上残留农药量的12用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x)．(1)试规定f(0)的值，并解释其实际意义；(2)试根据假定，写出函数f(x)应满足的条件和具有的性质，并画出其大致图象；(3)设f(x)=1，现有a(a>0)单位的水，考虑以下两种方案清洗这堆蔬菜．1+x2方案一：用a单位的水清洗一次；方案二：把a单位的水平均分成2份后清洗两次．试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由20.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠ADC=120°，AD=1，PD=√2．(1)求证：AC⊥PB；(2)求点D到面PAC的距离．21.已知二次函数f(x)=x2+(a−2)x+4，a∈R．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)讨论函数f(x)在区间[1,4]上的单调性，并求函数在此区间上的最小值．22.已知函数f(x)=ax2+x−1+3a(a∈R)，(1)若a=1，求函数f(x)的零点；3(2)若函数f(x)在区间[−1,1]上恰有一个零点，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵A={1,2，3，4，5}，B={x|x≤3}；∴A∩B={1,2，3}．故选：D．进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：B解析：本题考查了直线斜率的求法，是基础题．把直线方程化为斜截式，从而求得直线的斜率．解：由√3x−y−2=0，得y=√3x−2．∴直线l：√3x−y−2=0的斜率为√3．故选：B．3.答案：C解析：解：A.f(x)=−2x在(0,+∞)上为减函数，不满足条件．B.f(x)在(0,+∞)上为减函数，不满足条件．C.f(x)=x3是奇函数，在(0,+∞)上是增函数，满足条件．D.f(x)=ln|x|是偶函数，不满足条件．故选：C．根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．4.答案：C。
广东省东莞市四校2023-2024学年高一上学期12月期中联考数学试题及答案
2023-2024学年上学期期中考试四校联考高一数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号､试室号､座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效考试时间：120分钟满分：150分.第I 卷（选择题共60分）一､单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，一个选项符合要求，选对得5分，错选得0分.）1.若集合{}0,1,2A =，则下列结论正确的是（ ） A.{}0A ∈ B.0A ∉ C.{}0,1,1,2A −⊆ D.A ∅⊆2.命题“[)30,,0x x x ∞∀∈++≥”的否定是（ ）A.()3,0,0x x x ∞∀∈−+< B.()3,0,0x x x ∞∀∈−+≥C.[)30000,,0x x x ∞∃∈++< D.[)30000,,0x x x ∞∃∈++≥3.设x R ∈，则“1x <”是“21x <”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.函数()lg 2y x =−的定义域为（ ） A.()1,2− B.(]1,2− C.[)1,2− D.[]1,2−5.设函数()()22,03,0x x x f x f x x −≤ = −>，则()9f 的值为（ ）A.-7B.-1C.0D.126.设0.80.70.713,,log 0.83ab c − ==，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.a b c <<B.b a c <<C.b c a <<D.c a b << 7.下列可能是函数21exx y −=的图象的是（ ）A. B.C. D.8.已知函数()()131,22,2xa x a x f x a x −++<=≥ 满足对任意的12x x ≠，都有()()12120f x f x x x −<−成立，则实数a 的取值范围为（ ）A.10,2B.11,32C.1,12D.1,13二､多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.）9.以下结论正确的是（ ）A.不等式a b +≥恒成立B.存在a ，使得不等式12a a+≤成立 C.若(),0,a b ∞∈+，则2b a a b+≥ D.若正实数,x y 满足21x y +=，则2110x y+≥ 10.已知0,0a b c d >><<，则下列不等式中错误的是（ ） A.11a b−<− B.2c cd <C.a c b d +<+D.a b d c< 11.函数()()21,(1)f x x g x x =+=+，用()M x 表示()(),f x g x 中的较大者，记为()()(){}max ,M x f x g x =，则下列说法正确的是（ ）A.()23M =B.()1,4x M x ∀≥≥C.()M x 有最大值D.()M x 最小值为012.已知函数()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数，当[]2,3x ∈时，()12f x x =−−，则下列选项正确的是（ ）A.()f x 在()3,2−−上为减函数B.()f x 的最大值是1C.()f x 的图象关于直线2x =−对称D.()f x 在()4,3−−上()0f x <第II 卷（非选择题共90分）三､填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13.不等式2280x x −++>的解集是__________.14.设全集U 是实数集,{2R M x x =<−∣或2},{13}x N x x >=<<∣，则图中阴影部分所表示的集合是__________.15.已知奇函数()f x 是定义在()1,1−上的减函数，则不等式()()1130f x f x −+−<的解集为__________. 16.定义：函数()f x 在区间[],a b 上的最大值与最小值的差为()f x 在区间[],a b 上的极差，记作(),d a b . ①若()222f x x x =−+，则()1,2d =__________.②若()mf x x x=+，且()()()1,221d f f ≠−，则实数m 的取值范围是__________.四､解答题（本大题共6小题，第17题10分，18､19､20､21､22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.）17.（本小题满分10分）已知集合{32},{121}A x x B x m x m =−<<=−<<+∣∣. （1）若2m =，求A B ∪；（2）若A B B ∩=，求实数m 的取值范围. 18.（本小题满分12分）已知幂函数()()2133m f x mm x +=−+为偶函数.（1）求幂函数()f x 的解析式； （2）若函数()()1f x g x x+=，根据定义证明()g x 在区间()1,∞+上单调递增.19.（本小题满分12分）已知()f x 为R 上的奇函数，当0x ≥时，()()12log 4f x x m =++. （1）求m 的值并求出()f x 在R 上的解析式； （2）若()1f a >，求a 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知函数()()22691f x x a a x a =−++++.（1）若0a >，且关于x 的不等式()0x <的解集是{}xm x n <<∣，求11m n+的最小值； （2）设关于x 的不等式()0f x <在[]0,1上恒成立，求a 的取值范围.21.（本小题满分12分）某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.已知该企业日加工处理量x （单位：吨）最少为70吨，最多为100吨.日加工处理总成本y （单位：元）与日加工处理量x 之间的函数关系可近似地表示为214032002y x x =++，且每加工处理1吨㕑余垃圾得到的化工产品的售价为110元. （1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨㕑余垃圾处于亏损还是盈利状态？（2）为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种： ①每日进行定额财政补贴，金额为2300元； ②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x 元.如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方案？为什么？ 22.（本小题满分12分）已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且()12f =−.（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断函数单调性，求()f x 在区间[]3,3−上的最大值；（3）若()222f x m am <−+对所有的][1,1,1,1x a ∈−∈− 恒成立，求实数m 的取值范围.2023-2024学年上学期期中考试四校联考高一数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCBABDCB二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 9 101112 答案BCABC BDBCD三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.()2,4− 14.{12}x x <≤∣ 15.102xx<<∣ 16.1，()1,4 四､解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题10分）解：（1）由题意{32},2,{15}A x x m B x x =−<<=∴=<< ∣∣， {35}A B x x ∴∪−<<∣（2）,A B B B A ∩=∴⊆ ，∴当B =∅，即121m m −≥+，即2m ≤−时满足题意；当B ≠∅，即2m >−时，13212m m −≥−+≤ ，即122m −<≤综上，实数m 的取值范围为12mm≤∣. 18.（本小题12分） 解：（1）因为()()2133m f x mm x +=−+是幂函数，所以2331m m −+=，解得1m =或2m =.当1m =时，()2f x x =为偶函数，满足题意；当2m =时，()3f x x =为奇函数，不满足题意.故()2f x x =.（2）由（1）得()2f x x =，故()()11f xg x x x x+==+. 任取211x x >>，则()()()12212121212112121111,x x g x g x x x x x x x x x x x x x −−=+−−=−+=−−因为211x x >>，所以21120,1x x x x −>>，所以12110x x −>， 所以()()210g x g x −>，即()()21g x g x >， 故()g x 在区间()1,∞+上单调递增. 19.（本小题12分）解：（1）由题可知()020f m =−+=，即2m =，经检验符合题意， 则0x ≥时，()()12log 42f x x =++ 当0x <时，则()()120,log 42x f x x −>−=−++， 又()f x 为奇函数，所以()()f x f x −=−， 所以()()()12log 42,0f x f x x x =−−=−−+−< 故()f x 在R 上的解析式为()()()1212log 42,0log 42,0x x f x x x ++≥ =−−+−<. （2）（法一）若()1f a >，则()120log 421a a ≥ ++> 或()120log 421a a <−−+−>解得4a <−，所以a 的取值范围为(),4∞−−.（法二）由函数性质可知()f x 在[)0,∞+上单调递减，则()f x 在R 上单调递减.又因为()124log 821f −=−−=，所以()1f a >，即()()4f a f >−， 所以当4a <−时，()1f a >，即a 的取值范围为(),4∞−−. 20.（本题12分）解：（1）因为0a >，且关于x 的不等式()0f x <的解集是{}xm x n <<∣， 所以x m =和x n =是方程()226910x a a x a −++++=的两根， 所以269,1m n a a mn a +=++=+，所以()()()22(1)4141169414448,111a a m n a a a m n mn a a a ++++++++====+++≥+=+++当且仅当1a =时等号成立， 所以11m n+的最小值为8. （2）因为关于x 的不等式()0f x <在[]0,1上恒成立，结合二次函数的图象和性质可得()()0010f f < < ，所以()21016910a a a a +< −++++<， 解得1a <−，所以a 的取值范围为(),1∞−−. 21.（本题12分）解：（1）由题意可知，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为[]320040,70,1002y x x x x=++∈又320040401202x x ++≥+=， 当且仅当32002x x=，即80x =，等号成立， 所以该企业日加工处理量为80吨时，日加工处理每吨厥余垃圾的平均成本最低. 因为110120<，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态. （2）若该企业采用第一种补贴方案，设该企业每日获利为1y 元，由题可得221111102300403200(70)155022y x x x x=+−++=−−+，因为[]70,100x ∈所以当70x =时，企业获利最大，最大利润为1550元， 若该企业采用第二种补贴方案，设该企业每日获利为2y 元，由题可得2221111030403200(100)180022y x x x x x=+−++=−−+，因为[]70,100x ∈所以当100x =时，企业获利最大，最大利润为1800元， 因为18001550>，所以选择第二种补贴方案. 22.（本题12分）解：（1）取0xy ==，则()()()0020,00f f f +=∴=， 取y x =−，则()()()()00f x x f x f x f −=+−==，()()f x f x ∴−=−对任意x R ∈恒成立，所以函数()f x 为奇函数；（2）任取12,x x R ∈且12x x <，则()()()()()212121210,0x x f x f x f x f x f x x −>−=+−=−<，()()21f x f x ∴<，故()f x 为R 上的减函数.[]3,3x ∴∈− ()()3f x f ∴<−，()()331236f f ==−×=− ， ()()336f f ∴−=−=，故()f x 在区间[]3,3−上的最大值为6； （3）()f x 在[]1,1−上的减函数，()()()112f x f f ∴≤−=−=，()222f x m am <−+ 对所有的][1,1,1,1x a ∈−∈− 恒成立，2222m am ∴−+>对任意[]1,1a ∈−恒成立，即220m am −>对任意[]1,1a ∈−恒成立，令()22g a am m =−+，则()()1010g g −> >，即222020m m m m +> −+> ， 解得：2m >或2m <−.∴实数m 的取值范围为()(),22,∞∞−−∪+.。
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2020-2021学年广东省东莞市七校高一上学期12月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A ={-1，0，1}，B ={x |x 2<1}，则A ∩B 等于（ ） A ．{-1，0，1}B ．∅C ．{0}D ．{0，1}2．“lg 0x <”是 “2x <”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．命题“x ∃∈R ，2220x x ++≤”的否定是（ ）A ．x ∃∉R ，2220x x ++≤B ．x ∃∈R ，2220x x ++>C ．x ∀∈R ，2220x x ++≤D ．x ∀∈R ，2220x x ++>4．设,a b ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若x y >，a b >，则a x b y ->-B ．若a b >，则11a b<C ．若x y >，a b >则ax by >D ．若||a b >，则22a b >5．函数()21log f x x x=-的零点所在区间是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）6．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 （ ）7．已知121()2a =，131()2b =，2log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<8． 中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小。
其中SN叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计。
按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至8000，则C大约增加了(lg 20.3010≈，lg30.4771≈)（ ）A ．10%B ．30%C ．60%D ．90%二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．已知集合A ={x |x ≥0}，集合B ={x |x >1}，则以下命题正确的是（ ）A ．x ∃∈A ，x ∉B B ．x B ∃∈，x A ∉C ．x ∀∈A ，x B ∈D ．x ∀∈B ，x A ∈10．下列函数和y x =是同一函数的是（ ）yA ．2y x =B ．lg10xy =C ．33y x =D ．2x y x=11．下列函数中，即是奇函数，又是R 上的增函数的是（ ）A ．x y 3=B ．x x y =C ．3x y =D ．2x y =12．已知函数22,()4,x x x mf x x x m⎧--≤=⎨->⎩，如果函数()f x 恰有两个零点，那么实数m 的取值范围可以是（ ） A ．2m <-B ．20m -≤<C ．04m ≤<D ．4m ≥.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数2(()log 1)4f x x x =--__________．（结果用集合或区间表示）14．不等式2340x x +-<的解集．是 _____________． 15．已知函数1()log 11ax f x x -=++且(5)7,f =则(5)f -=___________ 16． 设函数2127,3(),3x x f x x x ax a --≤+-⎧=⎨>⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 的的取值范围是_____四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题10分）设m 为实数，集合{}|14A x x =-≤≤，{}|2B x m x m =≤≤+.（1）若3m =，求A B ，()R C A B ；（2）若AB =∅，求实数m 的取值范围．18．（本小题12分）计算下列各式的值：（1）1222301832(9.6)4272-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）71log 443log 27lg 25lg 47++.19．（本小题12分）在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为2200m 的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m 宽的绿化，绿化造价为200元/2m ，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身 器材，硬化造价为100元/2m ．设矩形的长为()m x ．（1）将总造价y （元）表示为长度()m x 的函数，并求出定义域；（2）当()m x 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价．20．（本小题12分）已知函数2log t x =，222()(log )6log 8f x x x =-+（1）求函数2log t x =在区间[1,32]上的最大值与最小值； （2）求函数()f x 的零点；（3）求函数()f x 在区间[1,32]上的值域．21．（本小题12分）已知函数2()21x f x a =-+（a R ∈）为奇函数． （1）求a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）若对任意[,)x t ∈+∞，不等式3()5f x ≥恒成立，求实数t 的最小值．22．（本小题12分）已知函数22,0(),0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩（1）画出函数()f x 的图象，写出()f x 的单调区间，并指出每个区间的单调性；（2）若关于x 的不等式2[()](2)()20f x a f x a -++≤恰有3个整数解，求实数a 的取值范围．2020-2021学年第一学期东莞市七校联考答案高一数学选择题：1、C 2． A3．D4．D5．B6． B 7．A 8． B9．AD 10．BC 11．BC 12．BD填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．_(1,4]_． 14．_(4,1)-_ 15．__5-_． 16．[3,)+∞． 解答题17．解：（1）若3m =，则{}|35B x x =≤≤ …………………1分 ∴{}|15AB x x =-≤≤ …………………3分 又{}|34AB x x =≤≤ …………………5分∴{()|3R C A B x x ⋂=<或}4x >. …………………7分 (2) 因为AB =∅， 所以21m +<-或4m >， …………9分所以3m <-或4m >. …………10分 18．计算下列各式的值：（1）1222301832(9.6)4272-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）71log 43loglg 25lg 47++.解：（1）1222301832(9.6)4272-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2132329221433⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦34411=2992=--+；…………6分（如果结果没有全对，4个指数式的值，每算对一个给1分）（2）71log 434331log lg 25lg 47log 2lg 52lg 324++=+++()11lg5lg 2344332244++++=+==. …………12分 （如果结果没有全对，算出式子中的34和14，对一个给1分，能化出2lg52lg 2+给1分，能得出()lg5l 22g 2+=再给1分）19．解：（1）因为矩形的长为()xm ，则矩形的宽为()200m x， …………………1分 则中间区域的长为()4x m -，宽为()2004m x-， ()4,50x ∈ …………………4分 则()()2002001004420020044y x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+---⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ …………………6分 整理得20018400400y x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，()4,50x ∈ …………………7分 （2）200x x +≥= …………………9分 当且仅当200x x=，即()4,50x =时取等号， …………………10分200184004001840040018400y x x ⎛⎫=++≥+⨯=+ ⎪⎝⎭………………11分所以当x =时，总造价最低为18400+. …………………12分 20．解:（1）因为对数函数2log t x =是增函数，在区间[1,32]上，1x =时，t 有最小值2log 10=，32x =时，t 有最大值2log 325= ……………4分（2）令2222()(log )6log 8680f x x x t t =-+=-+=，解得2t =或4t = ……………5分2t =时，2log 2,4x x ==，4t =时，2log 4,16x x == ……………7分因此函数()f x 的零点为4x =和16x = ……………8分 （3）22222()(log )6log 868(3)1f x x x t t t =-+=-+=-- ……………9分由(1)得05t ≤≤，所以3t =时，()f x 有最小值1- ……………10分 所以当0t =时, ()8f x =，当5t =时, ()3f x =， ……………11分因此,函数()f x 的值域为[1,8]- ……………12分21．解（1）函数2()21x f x a =-+（a R ∈）为奇函数，所以()()f x f x -=-，即222121x x a a --=-+++， ……………1分所以22222(12)2222121211221x x x x x xx a -+=+=+⋅==+++++， ……………3分 解得1a =； ……………4分（2）2()1,21x f x x R =-∈+是增函数， ……………5分 证明：1212,,x x R x x ∀∈<且，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-212121212121x x x f x f =12212212x x +-+ ……………6分 =()()()21212121222x x x x ++-， ……………7分022,22,212121<-∴<∴<x x x x x x ，又()()0212121>++x x ， ……………8分()()021<-∴x f x f ，即()()21x f x f <，所以()x f 是增函数. ……………9分（3）由（2）可知，[,)x t ∈+∞时，不等式3()5f x ≥恒成立， 只需()f x 的最小值3()5f t ≥……………10分 即 231215t-≥+，等价于不等式22215t +≤，即215t +≥，解得2t ≥ ……………11分 所以，即实数t 的的最小值是2． ……………12分22．解：函数()f x 的图象如图所示， ……………3分()f x 在区间(,0)-∞和1(,)2+∞上单调递减，在区间1(0,)2上单调递增 ……………5分（2）由2[()](2)()20f x a f x a -++≤得[()][()2]0f x a f x --≤ ……………5分当2a >时，解得2()f x a ≤≤，当()2f x =时， 1x =-，结合图象可知，不等式的三个整数解为1,2,3x =---所以(3)(4)f a f -≤<-，所以1220a ≤<； ……………7分当2a =时，由2[()](2)()20f x a f x a -++≤解得()2f x =，此时方程有唯一解1x =-，不符合条件； ……………9分 当2a <时，解得()2a f x ≤≤，因为()2f x =时， 1x =-，由图象可知，不等式的三个整数解为1,0,1x =-,所以(1)(2)f a f ≥>，所以20a -<≤； ……………11分 所以a 的取值范围是20a -<≤或1220a ≤<， ……………12分。