乘法公式-----完全平方公式
8.3乘法公式1---完全平方公式
课题：8.3 整式乘法（1）第一课时完全平方公式主备人：王刚喜审核人：杨明使用时间：2011年4月日年级班姓名：学习目标：1.通过探索完全平方公式的过程，培养自己观察、交流、归纳、验证等能力。
2.理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，会用公式计算。
3.体会数形结合的数学思想和方法。
学习重点：完全平方公式的理解和应用学习难点：公式的结构特征以及对公式中字母所表示广泛含义的理解和正确运用。
一、学前准备【回顾】1. 计算下列各式，你能发现什么规律？(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)= ；(2)(m+2)2= ；(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)= ；(4)(m-2)2= .规律：2.尝试归纳：-2)a(b(b=+2)a=【自学】1.研读教材P642. 完全平方公式用语言叙述是：【自学检测】1.计算：（1） (a +4)2 （2）( x －2)2二、探究活动【想一想】1.请你根据小学里学过的知识，用图中的字母表示出左图中白色部分和黑色部分面积的和。
()=+2b a + +2.请你根据小学里学过的知识，用图中的字母表 示出右图中黑色部分的面积。
()=-2b a - +【例题分析】例1. 用完全平方公式计算(1) ( 5 + 3p )2 (2) ( 2x - 7y )2(3) （-x + 2y ）2 (4) a 2- ( -2a - 5)2例3.填空题：（注意分析，找出a 、b ） ①()()2216=++x ； ②()()()22243=+-y x ③()()22=+-ab a ； ④()()225025=++ab a⑤()-+=⎪⎭⎫⎝⎛-2224116214yxy x⑥()()222bab a b a ++=+- ()()222bab a b a +-=-+例4．已知3=+y x ，2=xy ，求: ①22y x +；②yx11+【课堂自测】1.用完全平方公式计算(1)（1＋x ）2 （2） (y -4)2 （3）(2x y + x )22.下 面的计算是否正确？如有错误，请改正：(1) (x +y )2＝x 2+y 2; (2) (-m +n )2＝-m 2 +n 2；(3) (-a −1)2＝-a 2−2a −1. (4) 22211()1x x xx-=-+3. 一个正方形的边长为a c m 。
完全平方的四个公式
完全平方的公式
数学完全平方公式：
(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点
①项数：三项
②有两项是两个数的的`平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
整式乘法完全平方公式精品PPT课件
b
ab
a
(a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
差的完全平方公式： （a-b)2= a2-2ab+b2 .
问题4 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列
问题：
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a-b)2=a2-2ab+b2.
1.说一说积的次数和项数. 2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有
问题3 你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗?
设大正方形ABCD的面积为S.
S1
S2
S3
S4
S= (a+b)2 =S1+S2+S3+S4= a2+b2+2ab .
几何解释:
b
a
=
+
a
b
a2
ab
和的完全平方公式： （a+b)2= a2+2ab+b2 .
+
+
ab
b2
几何解释:
a−b
b
a−b (a−b)2 b(a−b)
当堂练习
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ A ） A．a2-4a+4 B．a2-2a+4
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 .
知识要点 完全平方公式
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 . 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个 公式叫做（乘法的）完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中间”
初中数学全套公式
初中数学全套公式初中数学是义务教育的基础学科，其公式和概念的学习是这门课程的核心部分。
以下是一套完整的初中数学公式，这些公式涵盖了初中数学的大部分内容，对于理解和应用数学概念具有重要意义。
一、代数公式1、乘法公式：(a+b)(a-b)=a²-b²2、完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²3、平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)4、立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)5、立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)6、两数和乘两数差：2(a+b)(a-b)=2a²-2b²7、两数平方和：a²+b²=(a+b)²-2ab8、两数和的平方：(a+b)²=a²+2ab+b²9、两数差的平方：(a-b)²=a²-2ab+b²10、幂的乘方：anbn=(ab)n11、积的乘方：anbn=(ab)n12、分式的约分：同时分子分母除以公因式。
13、提公因式法：一般地，如果想要提取一个多项式的公因式，我们把这个多项式的各项都含有的相同字母因式提到括号外面，将多项式化成积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
14、运用公式法：如果一个式子的值等于几个其他式子的值乘积，那么这个式子就叫公式的原式，这几个其他式子就叫这个公式的因式。
如果把一个公式的所有因式分解出来，那么它们就都叫这个公式的因式分解。
二、几何公式1、勾股定理：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
2、平行线间的距离公式：如果两条直线平行，那么一条直线上任意一点到另一条直线的距离相等。
3、三角形的面积公式：一个三角形的面积等于底边乘以高再除以2。
完全平方公式2
完全平方公式的使用： 完全平方公式的使用： 在做题过程中一定要注意符号问题和正确 认识a 表示的意义，它们可以是数、 认识a，b表示的意义，它们可以是数、也 可以是单项式还可以是多项式， 可以是单项式还可以是多项式，所以要记 得添括号。 得添括号。 解题技巧： 解题技巧： 在解题之前应注意观察思考， 在解题之前应注意观察思考，选择不同的 方法会有不同的效果，要学会优化选择。 方法会有不同的效果，要学会优化选择。
(a 解: (a+b+3) (a+b−3) −3 (a (a =[ (a+b) +3 ][ (a+b)− 3 ] =( a+b )2−( 3 )2 =a2 +2ab+b2 − 9.
温馨提示：将(a+b)看作一个 温馨提示： (a+b)看作一个 整体， 整体，解题中渗透了整体的 思想
合并同类项 平方差公式 单项式乘多项式.
观察 & 思考
解: (1) 方法一
完全平方公式
(x+3)2-x2 =x2＋6x+9-x2 6x+9=6x+9
(x+3)2-x2 =(x+3+x)(x+3=(x+3+x)(x+3-x) =(2x+3)·3=6x+9
学一学
三项能看成两项吗? ☾ 三项能看成b+3)(a-b-3) (1)(a-b+3)(a(2) (x-2)(x+2)-(x+1)(x-3) (x-2)(x+2)-(x+1)(x(3) (ab+1)2-(ab-1)2 (ab(4) (2x-y)2-4(x-y)(x+2y) (2x- 4(x-
整式的乘法公式
整式的乘法公式一、整式乘法的基本概念。
1. 单项式乘单项式。
- 法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
- 例如：3x^2y· 4xy^2=(3×4)(x^2· x)(y· y^2)=12x^2 + 1y^1+2=12x^3y^3。
2. 单项式乘多项式。
- 法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
- 例如：a(b + c)=ab+ac，具体计算如2x(x^2 - 3x+1)=2x· x^2-2x·3x + 2x·1 = 2x^3-6x^2 + 2x。
3. 多项式乘多项式。
- 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
- 例如：(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd。
计算(x + 2)(x - 3)=x· x+x·(-3)+2· x+2×(-3)=x^2-3x + 2x-6=x^2 - x - 6。
二、乘法公式。
1. 平方差公式。
- 公式：(a + b)(a - b)=a^2 - b^2。
- 推导：(a + b)(a - b)=a· a - a· b+b· a - b· b=a^2 - b^2。
- 应用示例：计算(3x+2y)(3x - 2y)=(3x)^2-(2y)^2 = 9x^2 - 4y^2。
2. 完全平方公式。
- 完全平方和公式：(a + b)^2=a^2+2ab + b^2。
- 推导：(a + b)^2=(a + b)(a + b)=a· a+a· b+b· a + b· b=a^2+2ab + b^2。
- 应用示例：(x + 3)^2=x^2+2× x×3+3^2=x^2 + 6x+9。
北师大版七年级下册数学《第一章 整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!
北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。
为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
（1）完全平方公式
（1）完全平方公式（1）完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a ，b 可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式1. 下列运算正确的是( ) A ．326a a a ⋅= B ．3226()ab a b =C ．222()a b a b -=-D ．532a a -=答案：B2. 已知2()8m n -=，2()2m n +=，则22m n +=( ) A ．10 B ．6C ．5D ．3答案：C3. 当3a =，2b =时，222a ab b ++的值是( ) A ．5 B ．13C ．21D ．25答案：D4. 若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=，则下列式子一定成立的是( ) A ．0x y z ++= B ．20x y z +-=C ．20y z x +-=D ．20z x y +-=答案：D5. 若a 、b 是正数，1a b -=，2ab =，则a b +=( )A ．3-B ．3C ．3±D ．9答案：B6. 下列运算正确的是( ) A ．22232x x x -= B ．22(2)2a a -=-C ．222()a b a b +=+D ．2(1)21a a --=--答案：A7. 若a 满足22(38383)38383a -=-⨯，则a 值为( ) A ．83 B ．383C ．683D ．766答案：C8. 下列各式中，与2(1)x -相等的是( ) A ．21x - B ．221x x -+C ．221x x --D ．21x +答案：B9. 下列计算正确的是( )A．23325x x x += B．222()a b a b -=- C．326()x x -= D．2363412x x x ⋅=答案：C10. 若3a b +=，则222426a ab b ++-的值是( ) A ．12 B ．6C ．3D ．0答案：A11. 已知2225x y +=，7x y +=，且x y >，那么x y -的值等于( ) A ．1± B ．7±C ．1D ．1-答案：C12. 小明做题一向粗心，下面计算，他只做对了一题，此题是( ) A ．336a a a +=B ．257a a a ⋅=C ．326(2)2a a =D ．222()a b a ab b -=-+答案：B13. 某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a 、b ，都有a b +≥成立．某同学在做一个面积为36002cm ，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述规律，求得用来作对角线用的竹条至少需要准备x cm ．则x 的值是( )A ．B ．C ．120D ．60答案：C14. 当2x =-时，代数式221x x -+-的值等于( ) A ．9 B ．9-C ．1D ．1-答案：B15. 已知3a b +=，339a b +=，则ab 等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：B16. 设22(53)(53)a b a b A +=-+，则A =( ) A ．30ab B ．15abC ．60abD ．12ab答案：C17. 若7m n +=，12mn =，则22m mn n -+的值是( ) A ．11 B ．13C ．37D ．61答案：B18. 运算结果为222mn m n --的是( ) A ．2()m n - B ．2()m n --C ．2()m n -+D ．2()m n +答案：B19. 已知2()8a b +=，2()12a b -=，则ab 的值为( ) A ．1B ．1-C ．4D ．4-答案：B20. 已知7x y +=，8xy =-，下列各式计算结果正确的是( ) A ．2()91x y -= B ．2265x y += C ．22511x y += D ．22567x y -=答案：B21. 不论x 、y 为什么实数，代数式22247x y x y ++-+的值( ) A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数答案：A22. 若156x =，144y =，则 221122x xy y ++的值是( ) A ．150 B ．45000 C ．450 D ．90000答案：B23. 不论m ，n 为何有理数，22248m n m n +--+的值总是( ) A ．负数 B ．0 C ．正数 D ．非负数答案：C24. 已知代数式2221a a -+-，无论a 取任何值，它的值一定是( ) A ．正数 B ．非正数 C ．非负数 D ．负数答案：D25. 已知实数x 满足13x x +=，则221x x+的值为____________。
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《乘法公式--完全平方公式》教学设计
教学目标：
探索完全平方公式的过程，进一步发展推理能力；在变式中，拓
展提高；通过积极参与数学学习活动，培养学生自主探究能力，勇于
创新的精神和合作学习的习惯；
教学重点与难点：
重点是正确理解完全平方公式2)(b a ±=222b ab a +±，并初步运用。
难点是完全平方公式的运用。
教学过程：
一、创设情境，探求新知
前面学习了平方差公式，同学们对平方差公式的结构特点、运用
以及学习公式的意义有了初步的认识。
今天，我们继续学习、研究另
一种“乘法公式”——完全平方公式。
问题1（投影显示图形）一块边长为a 米的正方形实验田，因需
要将其边长增加10米。
形成四块实验田。
问 ：你能用不同的形式表
示实验田的总面积,并进行比较吗？
（活动：教师巡视，检查学生的解题情况）
探索：直接求：2)10(+a 间接求：22101010+++a a a
(选取一中等学生和一后进生学生把答案写在黑板上)
得出结论： (a +10)2=a 2+2 10a+102
猜一猜： (a +b )2 =？
从而引出课题：完全平方公式。
∙
二. 探索新知
1.推导验证两数和的完全平方公式
（1）乘法公式
(a +b )2 =(a +b ) (a +b )
= a 2+ab +ab +b 2
=a 2+2ab +b 2
（2）图形法
结论：(a +b )2=a 2+2ab +b 2
2.两数差的完全平方公式
（1）乘法公式
( a －b )2 =(a －b ) (a －b )
= a 2－ab －ab +b 2
=a 2－2ab +b 2
（2）两数和的完全平方公式
(a －b )2 =a 2－2ab +b 2
（3）图形法(学生自己探索)
结论：(a －b )2=a 2－2ab +b 2
（3）归纳总结
完全平方公式：
(a +b )2=a 2+2a b +b
2 []2
)(b a -+=2
2)(2b b a a +-∙∙+=
(a−b)2=a2 −2a b+b2
两数和（差）的平方等于等于这两数的平方和，加上（减去）这两数乘积的两倍.
三、动动手
1、练习
下列各式的计算，错在哪里？请你改改
(1) (a+b)2 =a2+b2
(2)(a-b)2 =a2-b2
(3) (2a−1)2＝2a2−2a+1
2、公式中字母含义的理解
（1）公式中的字母a，b可以表示负数吗?单项式吗？可以表示多项式吗？
（2）（x+2y)
2是哪两个数的和的平方？
(3)（2x-5y)
2是哪两个数的差的平方？
四、应用新知，体验成功
例1.用完全平方公式计算(x+3)
2
注意：()2=()2+2()()+ ()2
变式1：计算(3+x)2，(x-3)2
变式2：计算(2x-3y)2，(-2x-3y)2
解:(3+x)2
=(x+3)2 2
23
2
3x
x+
∙
∙
+
=
2
6
9x
x+
+
=
(x -3)2 =(3-x )2
(2x -3y )2 =(3y -2x )2
(-2x -3y )2
=(2x +3y )2
（四个学生到黑板上板演变式题，答错了，由学生纠正，老师再点评，点评时，老师反复引导学生分清题目中哪部分相当于公式中的a ，哪部分相当于公式中的b ）
注意：①平方是整体项平方，如2x ，3y 。
②2倍项的符号：同号得加，异号得减。
③完全平方展开都是三项。
练习1：运用完全平方公式计算：
（1） (a +5)2 （2）(y-2)2
（3）(7-2y )2 （4）(4x +3y )2
（5）(-2m-5n)2 . （6）(7ab-2)2
例2运用完全平方公式计算：
（1）1012 （2）982
解：（1）原式=(100+1)2= 1002+2×100×1+12=10201
22332+∙∙-=
x x 9
62+-=x x 2
2)3(322)2(y y x x +∙∙-=2
29124y xy x +-=22)3(3)2(2)2(y y x x +∙-∙--=2
29124y xy x ++=
（2）原式=(100-2)2= 1002-2×100×2+22=9604 练习2：运用完全平方公式计算
（1）912 （2）21
10
五、本课小结
本节课你有什么收获？还有什么问题吗？
六、作业及课外提升
1、作业：p35 1、
2、3题（家庭）； p37 2、3题（课堂） 练习册p36 1-9题
2、思考题：
计算)(c b a ++2、2)(c b a -+、2)(c b a --，观察有什么规律？ 感兴趣的同学还可计算3)(b a +、4)(b a +，你又能发现什么规律？。