高一人教版新课标同步测试数学(期中)
2023-2024学年高一(上)期中数学试卷(带解析)
2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。
2024-2025学年上期高一年级期中考试数学试题
2024-2025学年上期高一年级期中考试数学试题（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上相应的位置。
2.作答时，全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
3.考试结束后，只交答题卡，试卷由考生带走。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．若集合,集合,,则A ∪(C U B )=（ ）A ．B ．C ．D ．2．“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知，，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数，（ ）A ．B ．C ．D ．15．函数的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．6．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函{}1,2,3,4U ={}1,2A ={}2,3B ={}2{}1,3{}1,2,4{}1,2,302x <<13x -<<0a b >>d c <0ac bd >>ac bd >a c b d +>+0a cb d +>+>211,1()1,11x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪+⎩((2))f f =15-151-()()01f x x =-2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()2,11,3∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭()2,11,3∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭s t数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t 为（ ）年．A ．7B ．8C ．9D ．107．已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数f (x )={1, x ∈Q0, x ∈C R Q 被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，以下关于狄利克雷函数的四个结论中，正确的个数是( )个.①函数偶函数；②函数的值域是；③若且为有理数，则对任意的恒成立；④在图象上存在不同的三个点，，，使得∆ABC 为等边角形. A ．1B ．2C ．3D ．4二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的有（ ）A ．命题“，”的否定是“，”B ．若，则C ．命题“，”是假命题D ．函数是偶函数，且在上单调递减.10．下列选项中正确的有（ ）A ．已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为B ．与表示同一函数C ．函数的值域为224098s t t =-+-()()4f x x x =+()()2230f a f a +-<a ()3,0-()3,1-()1,1-()1,3-R Q ()f x ()f x ()f x {}0,10T ≠T ()()f x T f x +=x R ∈()f x A B C 1x ∀>20x x ->1x ∃≤20x x -≤a b >22ac bc ≥Z x ∀∈20x >21y x =()0,∞+()f x ()()98f f x x =+()f x ()34f x x =--||()x f x x =1,0()1,0x g x x >⎧=⎨-≤⎩()2f x x =+(,4]-∞D ．定义在上的函数满足，则11．下列命题中正确的是（ ）A ．若，，，则B ．已知，，，则的最小值是C ．若，则的最小值为4D ．若，，，则的最小值为三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12．已知集合，若，则实数13．已知函数，则的单调增区间为14．若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P .已知函数具有性质P ，则不等式的解集为 .四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知集合，．(1)当时，求，，A ∩(C R B )； (2)若，求实数m 的取值范围．16．已知关于x 的不等式的解集为．(1)求m ，n 的值；(2)正实数a ，b 满足，求的最小值．R ()f x 2()()1f x f x x --=+()13x f x =+0a >0b >21a b +=ab 0a >0b >32a b +=12a b a b+++20ab >4441a b ab ++0a >0b >31132a b a b+=++2+a b 165{}21,2,1A a a a =---1A -∈a =()2f x x x x =-+()f x (,0)(0,)-∞+∞ ()f x ()f x 1x 2(0,)x ∈+∞12x x ≠x f x x f x x x -<-211212()()0()f x ()f x 2(4)(2)2f x f x x --<+{}27|A x x =-<<{}|121B x m x m =+≤≤-4m =A B ⋂A B A B B = 2200x mx --<{}2|x x n -<<2na mb +=115a b+17．已知幂函数为偶函数．(1)求的解析式； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围．18．已知函数.(1)证明：函数是奇函数；(2)用定义证明：函数在上是增函数；(3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围.19．已知函数(1)证明：，并求函数的值域；(2)已知为非零实数，记函数的最大值为.①求；②求满足的所有实数.()()2157m f x m m x -=-+()f x ()()3g x f x ax =--[]1,3a ()31x f x x x =++()f x ()f x ()0,∞+x ()()2310f ax ax f ax ++-≥x a ()()f x g x ==()()222f x g x =+()f x a ()()()x x h f g x a =-()m a ()m a ()1m a m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭a。
2022-2023学年全国高中高一下数学人教A版期中试卷(含解析)
2022-2023学年全国高一下数学期中试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知为虚数单位，且，则复数的虚部为( )A.B.C.D.2. 已知集合，，则( )A.B.C.D.3.设关于的方程有解；关于的不等式对于恒成立，则是的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件i (1−i)z =i 3z −i 12−1212i 12A ={x|−2+7x +4>0}x 2B ={x|x ≥1}A ∪B =(−,+∞)12[1,4)[1,+∞)(−,1)∪(1,+∞)12p :x −−a =04x 2x q :x (x +a −2)>0log 2∀x >0p q =−1|x +a|4. 若函数在上有三个零点，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.5. 已知，且，则 A.B.C.D.6. 若，，，则的形状是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形7. 若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）A.B.C.D.8. 若 满足， ，则 的最大值为（）A.B.y =−1|x +a|1+e x x ∈[−5,+∞)a (2,4−]e −5(2,3−]e −5(1,2−]e −5(1,3−]e −5cos α=23−<α<0π2=tan(−α−π)sin(2π−α)cos(−α)tan(π+α)()−5–√2235–√35–√2A(1,−2,1)B(4,2,3)C(6,−1,4)△ABC f(x)(0,+∞)f(3)=0xf(x)<0{x |−3<x <0或x >3}{x |x <−3或0<x <3}{x |x <−3或x >3}{x |−3<x <0或0<x <3},,a →b →c →||=||=2|=2a →b →c →(−)⋅(−)a →b →c →b →101253–√C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是( )A.B.C.D.10. 设向量，，则（ ）A.B.C.D.与的夹角为11. 已知函数则下列结论正确的是( )A.是偶函数B.C.是增函数D.的值域为12. 如图，已知点为正六边形的中心，下列结论正确的是( )53–√62–√a >0b >0a +b =4a b ≤2ab −−√+≤2a −√b √≤1+a 2b 218+≥11a 1b =(2,0)a →=(1,1)b →||a →=||b →(−)//a →b →b→(−)⊥a →b →b→a →b →π4f (x)={+1，x ≥0，x 2cos x ，x <0，f (x)f (f (−π))=132f (x)f (x)[−1,+∞)O ABCDEF −→−−→−A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 设是定义在上的周期为的函数，当）时， 则________.14. 函数的最大值为________．15. 直角三角形中，，，，点是三角形外接圆上任意一点，则的最大值为________．16. 设 且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且求；若，，求的周长． 18. 已知，复数.若为纯虚数，求的值；在复平面内，若对应的点位于第二象限，求的取值范围.19. 中，角，，的对边分别为，，， ．求的大小；若，且， ，求的面积．=CB −→−EF−→−++=OA −→−OC −→−OB −→−0→⋅=⋅OA −→−FA −→−ED −→−BC−→−|+|=|−|OF −→−OD −→−OC −→−OB −→−f (x)R 3x ∈[−2,1f (x)={|x|,(−2≤x ≤0)x −1,(0<x <1)f (f ())=214y =x +cos x sin 2ABC AB =3AC =4BC =5M ABC ⋅AB −→−AM −→−f (x)={(−3x +1)，x <0，log 2x 22−|2−x|，x ≥0，x f (x)=m(m ∈R)x 1x 2x 3x 1x 2x 3△ABC A B C a b c c =a cos B +b sin A.3–√3(1)A (2)BC =2sin B +sin C ≥3–√△ABC a ∈R z =a −i 1+i(1)z a (2)z ¯¯¯a △ABC A B C a b c a cos C +c cos A =−2b cos B (1)B (2)a =3+=2BA −→−BC −→−BD −→−=∣∣∣BD −→−∣∣∣37−−√2△ABC f (x)=(0)+−(f (0)−1)xf ′x 220. 已知函数．求函数的解析式；若函数在上单调递增，求的取值范围．21. 随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔（单位：分钟）满足： ， ，平均每趟地铁的载客人数()（单位：人）与发车时间间隔近似地满足下列函数关系：其中 .若平均每趟地铁的裁客人数不超过人，试求发车时间间隔的值；若平均每趟地铁每分钟的净收益为 (单位：元），问当发车时间间隔 为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益 22. 如图，与在同一个平面内，，，.求；若，且的面积为，求的长．f (x)=(0)+−(f (0)−1)xf ′e x x 2(1)f (x)(2)g(x)=f (x)−mx [1,2]m t 4≤t ≤15t ∈N p t t p(t)={1800−15(9−t ,4≤t <9,)21800,9≤t ≤15,t ∈N (1)1500t (2)Q =−1006p(t)−7920t t .△ABC △ACD ∠CAD =π4AB =BC 2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√(1)∠ACB (2)AB =2−23–√△ACD 3CD参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】复数的基本概念复数代数形式的乘除运算【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案．【解答】解：由，得，复数的虚部为．故选．2.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法并集及其运算【解析】化简集合，根据并集的定义即可得解.【解答】(1−i)z ==−ii 3z ==−i 1−i −i (1+i)(1−i)(1+i)==−i 1−i +12(−1)21212∴z −12B A {x|−<x <4}1解：因为，，所以，故选.3.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：若成立，则，所以，若成立，则成立，所以对恒成立，所以.则，所以是的必要不充分条件.故选.4.【答案】A【考点】由函数零点求参数取值范围问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由得，若函数在上有三个零点，A ={x|−2+7x +4>0}x 2={x|−<x <4}12B ={x|x ≥1}A ∪B ={x|x >−}12A p a =−=−4x 2x (−)2x 12214a ≥−14q x +a −2>1a >3−x ∀x >0a ≥3q ⇒p,p ≠q p q B y =−1=0|x +a|1+e x|x +a|=1+e x y =−1|x +a|1+e xx ∈[−5,+∞)y =|x +a|f(x)=1+x则函数与的图象在时有三个交点，从而与的图象在 时，有个交点，与 的图象有个交点，将 代入得，由，得曲线 的斜率为的切线方程为： ，由条件知 故 .故选.5.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】根据的值及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，进而求出的值，原式利用诱导公式化简，约分后将的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵ ，且，∴,，则原式.故选.6.【答案】A【考点】向量在几何中的应用平面向量数量积的运算【解析】求出各边对应的向量，求出各边对应向量的数量积，判断数量积的正负，得出各角为锐角．【解答】y =|x +a|f(x)=1+e x x ≥−5y =−x −a(x ≤−a)y =f(x)x ≥−51y =x +a(x ≥−a)y =f(x)2(−5,1+)e −5y =−x −a a =4−e −5(x)==1,x =0f ′e x y =f(x)1y −2=x,y =x +2a >2.a ∈(2,4−]e −5A cos ααsin αtan αtan αcos α=23−<α<0π2sin α=−=−1−αcos 2−−−−−−−−√5–√3tan α==sin αcos α−5–√2==tan α=−−tan α(−sin α)cos αtan α5–√2A (3,4,2)，=(5,1,3)，=(2,−3,1)−→−−→−−→−解：，，得为锐角；，得为锐角；，得为锐角；所以为锐角三角形.故选.7.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】易判断在上的单调性及图象所过特殊点，作出的草图，根据图象可解不等式．【解答】解：∵在上是奇函数，且在上是增函数，∴在上也是增函数，由，得，即，由，得，故或解得或，∴的解集为：，故选．8.【答案】B【考点】平面向量数量积的运算【解析】先化简，根据式子分析即可得到答案。
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
人教版高一数学上学期期中考试试题及详细答案解析全文
人教版高一数学上学期期中考试数学试题（满分150分时间120分钟）一、单选题（12小题，每题5分）。
1.已知集合(){}{}0222>==-==x ,y x B ,x x lg y x A x,是实数集，则（）A.B.C.D.以上都不对2.下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（）A.2xy = B.xy -=2C.2-=x y D.3xy -=3.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.2xy =和()2x y =B.()12-=x lg y 和()()11-++=x lg x lg y C.2x log y a =和xlog y a 2= D.x y =和xa alog y =4.已知3110220230...c ,b ,.log a ===，则c ,b ,a 的大小关系是（）A.cb a << B.b ac << C.bc a << D.ac b <<5.在同一直角坐标系中，函数()()()x log x g ,x x x f a a=≥=0的图像可能是（）A. B. C. D.6.若132=log x ，则x x 93+的值为（）A.3B.C.6D.7.函数()x x x f 31+-=的单调递增区间是（）A.B.C.D.8.某同学求函数()62-+=x x ln x f 零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：则方程062=-+x x ln 的近似解（精确度0.1）可取为（）A.2.52B.2.625C.2.66D.2.759.函数()xx lg x f 1-=的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,10)C.(10,100)D.(100，＋∞)10.已知函数()2211xxx f -+=，则有()A.()x f 是奇函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 B.()x f 是奇函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛1C.()x f 是偶函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 D.()x f 是偶函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛111.如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系，大致是（）A. B. C. D.12.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=0621100x ,x x x ,x lg x f ，若a ，b ，c 均不相等，且()()()c f b f a f ==，则abc的取值范围是A.（1，10）B.(5，6)C.(10，12)D.(20，24)二、填空题（4小题，每题5分）13.若对数函数()x f 与幂函数()x g 的图象相交于一点（2，4）,则()()=+44g f ________.14.对于函数f (x )的定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③()()02121>--x x x f x f .当f (x )＝e x 时，上述结论中正确结论的序号是______.15.已知3102==b,lg a ，用a,b 表示=306log _____________.16.设全集{}654321,,,,,U =,用U 的子集可表示由10,组成的6位字符串,如：{}42表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000．（1）若，则M C U 表示6位字符串为_____________．（2）若,集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合的个数为____个．三、解答题。
2022-2023学年人教A版(2019)高一上数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一上数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知，且，则在方向上的投影为（ ）A.B.C.D.2. 直线的倾斜角为( )A.B.C.D.3. 的外接圆的圆心为，半径为，若，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）A.B.C.D.4. 若直线与平行，则的值为（ ）A.|a|=3|b|=3(2a −b)⊥(a +4b)2a −b a 73142037x −y −3=03–√150∘120∘60∘30∘△ABC O 1+=2AB −→−AC −→−AO −→−=|OA |−→−−−|AC |−→−−−BA −→−BC −→−323–√23−3–√2:ax +y −1=0l 1:3x +(a +2)y +1=0l 2a 1B.C.D.或5. 已知定点、，且 动点满足 则点的轨迹为（ ）A.双曲线B.双曲线一支C.两条射线D.一条射线6. 已知圆：和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为( )A.B.C.D.7. 设是圆＝上任意一点，则的最小值为（ ）A.B.C.D.8. 过点作斜率为的直线与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（ ）A.B.C.−3−121−3A B |AB|=2P |PA|−|PB|=2P C (x −3+(y −4=1)2)2A(−m ，0)B(m ，0)(m >0)C P ∠APB =90∘m 4567P(x,y)+(y +4x 2)24(x −1+(y −1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√+226−−√−226−−√56M(−1,1)12C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2A B M AB C 2–√2123–√2–√D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 如图直角梯形，，，＝＝，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且＝．则（ ）A.平面平面B.C.二面角的大小为D.与平面所成角的正切值为10. 对于直线：和圆：，下列结论中正确的是（ ）A.当时，与相交B.，与相交C.存在，使得与相切D.如果与相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值11. 已知椭圆的左、右焦点为，，过点的直线交椭圆于，两点.A.的最小值为B.的最大值为C.的周长可以为D.若，则点横坐标的取值范围为12. 如图，在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，上的动点（点不与点，重合），若，则下列说法正确的是( )3–√3ABCD AB //CD AB ⊥BC BC CD =AB 122E AB DE △ADE A P PC 23–√PED ⊥EBCDPC ⊥EDP −DC −B π4PC PED 2–√l (t +2)x +(2t −3)y −5t −3=0C +=9(x −1)2(y +1)2t =−2l C ∀t ∈R l C t ∈R l C l C C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2(−1,0)F 1(1,0)F 2F 1C A B |AB|2b 2a|AB|2a△ABF 24A(1，)y 1B (−3,−1)1ABCD −A 1B 1C 1D 1P M N CC 1CB CD P C C 1CP =CM =CNA.存在点，使得点到平面的距离为B.用过，，三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形C.平面D.用平行于平面的平面去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 如图所示，在平行六面体中， ，若，则________.14. 已知圆与圆相切，则实数的值为________．15. 已知点，，为球的球面上的三点，且＝，＝，若球的表面积为，则点到平面的距离为________．16. 已知直线过椭圆的左焦点，与椭圆交于两点．直线过原点与平行，且与椭圆交于两点，则________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）P A 1PMN 43P M D 1B //D 1PMNPMN α32–√ABCD −A 1B 1C 1D 1∩=F A 1C 1B 1D 1=x +y +z AF −→−AB −→−AD −→−AA 1−→−x +y +z =：+=1C 1x 2y 2：(x +4+(y −a =25C 2)2)2a A B C O ∠BAC 60∘BC 3O 48πO ABC MN +=1x 22y 2F M ，N PQ O MN PQ P ，Q =|PQ|2|MN|17. 如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底表示以下向量：（1）；（2）；（3）；（4）．18. 已知圆，动圆与圆外切，且与直线相切．求动圆圆心的轨迹的方程；过中的轨迹上的点作两条直线分别与轨迹相交于，两点，试探究：当直线，的斜率存在且倾角互补时，直线的斜率是否为定值？若是，求出这个值，若不是，请说明理由．19. 已知正方形的中心为点 ，一条边所在的直线的方程是，求正方形其他三边所在直线的方程.20. 在四棱锥中，底面是矩形，平面，是等腰三角形，，是的一个三等分点（靠近点），与的延长线交于点，连结.（）求证：平面平面；（）求二面角的正切值.21. 已知椭圆，是椭圆的右焦点，焦距为，离心率．求椭圆的方程；椭圆的左顶点为，右顶点为，是椭圆位于轴上方部分的一个动点，以点为圆心，过点的圆与轴的右交点为，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线，交直线于点．求的值．22. 已知椭圆：的右顶点为，斜率为的直线交于，两点．当时，，且的面积为．（为坐标原点）ABCD −A 1B 1C 1D 1P CA 1M CD 1N C 1D 1Q CA 1CQ :Q =4:1A 1=a ，=b ，=c AB −→−AD −→−AA 1−→−{a,b,c}AP −→−AM −→−AN −→−AQ −→−M :+=(x +1)2y 214N M x =12(1)N C (2)(1)C P (−1,2)C A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2PA PB AB M(0,1)x −y −2=0P −ABCD ABCD PA ⊥ABCD △PAD AB =2AD E AB A CE DA F PF 1PCD ⊥PAD 2A −PE −F C:+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b2F 2e =12(1)C (2)C A B M x F M x T B x l AM N F FE ⊥MT l E |BE||EN|E +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2A k (k ≠0)l E A B k =3–√2|AB|=7–√△OAB ab 2O (1)求椭圆的方程；设为的右焦点，垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求的值．(1)E (2)F E l l M y H BF ⊥HF |MA|=|MO|k参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直空间向量的数量积运算【解析】本题考查向量的数量积与投影．【解答】解：由可得，因为，所以．故在方向上的投影为．故选．2.【答案】D【考点】直线的倾斜角直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】(2a −b)⊥(a +4b)(2a −b)⋅(a +4b)=2+7a ⋅b −4=0a 2b 2|a|=3|b|=3a ⋅b =−22a −b a ===(2a −b)⋅a |a|2−a ⋅b a 2|a|18+23203C【解答】解：∵直线方程为，∴斜率为，∴倾斜角为.故选.3.【答案】A【考点】向量的投影【解析】利用向量加法的几何意义 得出是以为直角的直角三角形．由题意画出图形，借助图形求出向量在向量方向上的投影．【解答】解：由于由向量加法的几何意义，为边中点，因为的外接圆的圆心为，半径为，所以，三角形应该是以边为斜边的直角三角形，斜边，直角边，所以则向量在向量方向上的投影为，故选．4.【答案】A【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】x −y −3=03–√k ==tan 3–√330∘30∘D △ABC A BA −→−BC −→−+=2AB −→−AC −→−AO −→−O BC △ABC O 1====1|OA |−→−−−|OC |−→−−−|OB |−→−−−|AC |−→−−−BC BC =2AO =2AB =3–√∠ABC =30∘BA −→−BC −→−|BA |cos 30=×=3–√3–√232A此题暂无解答5.【答案】D【考点】轨迹方程【解析】结合双曲线定义分析可得答案.【解答】解：因为点P 满足到两定点距离之差为常数2，且为线段定长AB=2，所以P 的轨迹为一条射线.故选D.6.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据圆心到的距离为，可得圆上的点到点的距离的最大值为．再由，可得，可得，从而得到答案．【解答】解：圆：的圆心为，半径为，∵圆心到的距离为，∴圆上的点到点的距离的最大值为．再由可得，以为直径的圆和圆有交点，可得，故有.故选．7.C O(0,0)5C O 6∠APB =90∘PO =AB =m 12m ≤6C (x −3+(y −4=1)2)2C(3，4)1C O(0，0)5C O 6∠APB =90∘AB C PO =AB =m 12m ≤6C【答案】B【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】设，可得所求式为、两点间的距离．运动点得当在圆上且在线段上时，达到最小值，由此利用两点的距离公式加以计算，即可得出本题答案．【解答】圆＝的圆心是，半径为＝．设，可得，∵是圆＝上任意一点，∴运动点，可得当点在圆与线段的交点时，达到最小值．∵，∴的最小值为．8.【答案】A【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题椭圆的离心率【解析】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可求出椭圆的离心率．【解答】解：设，，则 ①， ②，∵是线段的中点，∴，，∵直线的方程是，∴，①②两式相减可得：，M(1,1)P M P P CM |PM |+(y +4x 2)24C(0,−4)r 2M(1,1)|PM |=+(x −1)2(y −1)2−−−−−−−−−−−−−−−√P(x,y)+(y +4x 2)24P P C CM |PM ||CM |==(0−1+(−4−1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−√26−−√|PM ||CM |−r =−226−−√M AB 12C A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2+=1x 21a 2y 21b 2+=1x 22a 2y 22b 2M AB =−1+x 1x 22=1+y 1y 22AB y =(x +1)+112−=(−)y 1y 212x 1x 2+=0−x 21x 22a 2−y 21y 22b 2=0(+)(−)(+)(−)∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,C【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直直线与平面所成的角【解析】在中，四边形是边长为的正方形，＝，推导出，，从而平面，进而平面平面；在中，由，，得与不垂直，从而与不垂直；在中，推导出平面，，从而 平面，进而是二面角的平面角，进而求出二面角的大小为；在中，与平面所成角的正切值为．【解答】直角梯形，，，＝＝，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且＝．在中，四边形是边长为的正方形，＝，∴，，∴＝，∴，∵＝，∴平面，∵平面，∴平面平面，故正确；在中，∵，，∴与不垂直，∴与不垂直，故错误；在中，∵，，＝，∴平面，∵，∴平面，∴是二面角的平面角，+=0(+)(−)x 1x 2x 1x 2a 2(+)(−)y 1y 2y 1y 2b 2−2+2=0−x 1x 2a 2−y 1y 2b 2−2+2=0−x 1x 2a 2(−)12x 1x 2b 2−+=02a 21b 2a =b 2–√c ==b −a 2b 2−−−−−−√e ==c a 2–√2A A EBCD 2PE 2PE ⊥DE PE ⊥CE PE ⊥EBCD PED ⊥EBCD B DE //BC BC ⊥PB BC PC PC ED C BE ⊥PDE BE //CD CD ⊥PDE ∠PDE P −DC −B P −DC −B π4D PC PED tan ∠CPD ===CD PD 222–√2–√2ABCD AB //CD AB ⊥BC BC CD =AB 122E AB DE △ADE A P PC 23–√A EBCD 2PE 2PE ⊥DE CE ==2+2222−−−−−−√2–√P +C E 2E 2PC 2PE ⊥CE DE ∩CE E PE ⊥EBCD PE ⊂PED PED ⊥EBCD A B DE //BC BC ⊥PB BC PC PC ED B C BE ⊥PE BE ⊥DE PE ∩DE E BE ⊥PDE BE //CD CD ⊥PDE ∠PDE P −DC −B PDE =π∵平面，＝，∴，∴二面角的大小为，故正确；在中，∵平面，∴是与平面所成角，，∴与平面所成角的正切值为，故错误．10.【答案】A,B,D【考点】直线与圆的位置关系【解析】由直线恒经过圆内一定点，可知正确，错误；如果与相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值，最长弦为圆的直径，最短弦为与垂直的弦，故正确.【解答】解：对于直线：，可化为，由可得∴直线恒经过定点，∵在圆：内部，∴直线与圆相交，故正确，错误；如果与相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值，最长弦为圆的直径，最短弦为与垂直的弦，故正确.故选.11.【答案】A,B,D【考点】椭圆的定义和性质直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析PE ⊥BCD PE DE ∠PDE =π4P −DC −B π4C D CD ⊥PDE ∠CPD PC PED PD ===2P −C C 2D 2−−−−−−−−−−√(2−3–√)222−−−−−−−−−−√2–√PC PED tan ∠CPD ===CD PD 222–√2–√2D AB C l C CP D l (t +2)x +(2t −3)y −5t −3=0(x +2y −5)t +(2x −3y −3)=0{x +2y −5=0，2x −3y −3=0，{x =3，y =1，P (3,1)P (3,1)C +=9(x −1)2(y +1)2l C AB C l C CP D ABD【解答】解：当垂直于轴时，||最小，把代入中，，∴，，故选项正确；当，为椭圆的左、右顶点时，的最大值为，故选项正确；△的周长为，，.∵，且，不成立，故选项错误；易知，直线的方程为，联立可得，根据根与系数的关系可得，，可得，，∴．故选项正确．故选．12.【答案】A,B,D【考点】在实际问题中建立三角函数模型直线与平面平行的判定直线与平面垂直的判定棱柱的结构特征平面的基本性质及推论【解析】由题意，根据线面平行的判定，线面垂直的判定，空间中的距离，平面的基本性质分别对选项判断即可.【解答】解：如图，连接，，，，，，，，，，，AB x AB x =−1+=1x 2a 2y 2b 2+=11a 2y 2b 2y =±b 2a |AB|=2b 2a A A B |AB|2a B ABF 24a 4a =4a =1c =1a >c C =y 1b 2a AB y =(x +1)b 22a y =(x +1)，b 22a +=1，x 2a 2y 2b 2(+3)+2(−1)x −3−1=0a 2x 2a 2a 21⋅=−=−3+x B 3+1a 2+3a 28+3a 2>1a 24<+3a 20<<28+3a 2−3<<−1x B D ABD AC DB C A 1BC 1D A 1C B 1DC 1A 1C 1PD 1AD 1AM∵平面，平面，∴，又∵，，∴平面，平面，∴，又∵，∴，∴，同理，，，又，∴平面，又正方体的棱长为，∴，∴存在点，使得点到平面的距离为，故正确；连接，，，设过，，的截面为，则平面，平面，∵平面平面，且与它们都相交，∴平面与平面的交线与平行．平面，平面，即过，，的平面截正方体得到的图形为四边形，∵，且，∴四边形一定为梯形，故正确；∵，，，∴，∵，且平面，∴与平面相交，故错误；要使得到的截面为六边形，则平面截正方体得到的六边形的每个顶点分别为对应边的中点，∴正六边形的边长与相等，即为，∴截面六边形的周长为，故正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】A ⊥A 1ABCD DB ⊂ABCD A ⊥A 1DB DB ⊥AC A ∩AC =A A 1DB ⊥AC A 1C ⊂A 1AC A 1C ⊥DB A 1CP =CM =CN MN//DB C ⊥MN A 1MP//BC 1C ⊥MP A 1MP ∩MN =M C ⊥A 1MPN ABCD −A 1B 1C 1D 11C =>A 13–√43P A 1MPN 43A P D 1A D 1AM P M D ββ∩CD =P D 1C 1D 1β∩BC =PM C 1B 1A D//A 1D 1BCC 1B 1ββA D A 1D 1PM ∴β∩A D =A A 1D 1D 1∴β∩ABCD =AM P M D PMAD 1A//B//MP D 1C 1MP ≠A D 1PMAD 1B MP//BC 1NP//DC 1MN//DB △MPN ∽△B D C 1DB ∩B =B D 1MN ⊂MPN BD 1MPN C αMP =+()122()122−−−−−−−−−−−−√2–√26×=32–√22–√D ABD 2空间向量的加减法空间向量的基本定理及其意义【解析】在平行六面体中把向量用，，表示，然后利用向量相等，得到，，即可得解．【解答】解：因为，又，所以，，则．故答案为：．14.【答案】或【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】根据题意，由圆的标准方程分析两圆的圆心与半径，分两圆外切与内切两种情况讨论，求出的值，综合即可得答案．【解答】根据题意：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，若两圆相切，分种情况讨论：当两圆外切时，有，解可得，当两圆内切时，有，解可得，综合可得：实数的值为或；15.AF −→−AB −→−AD −→−AA 1−→−x =y =12z =1=++AF −→−AB −→−BB 1−→−F B 1−→−=++AB −→−BB 1−→−12B 1D 1−→−−=++(−)AB −→−BB 1−→−12A 1D 1−→−−A 1B 1−→−−=++−AB −→−BB 1−→−12AD −→−12AB −→−=++12AB −→−12AD −→−AA 1−→−=x +y +z AF −→−AB −→−AD −→−AA 1−→−x =y =12z =1x +y +z =220±25–√a ：+=1C 1x 2y 2(0,0)1：(x +4+(y −a =25C 2)2)2(−4,a)52(−4+=(1+5)2a 2)2a =±25–√(−4+=(1−5)2a 2)2a =0a 0±25–√【考点】点、线、面间的距离计算【解析】由正弦定理求出平面外接球圆的半径，求出球的半径，利用勾股定理求解，可得答案．【解答】球的表面积＝＝，解得＝，在中，点，，为球的球面上的三点，且＝，＝，外接圆的半径为：，＝＝，＝，球心到平面的距离＝＝．，16.【答案】【考点】椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得的左焦点为．当直线的斜率不存在时，则，则，则；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则的方程为，设，，联立整理得，则，，．因为过与平行， 所以直线的方程为，设，3ABC O S 4πR 248πR 2△ABC A B C O ∠BAC 60∘BC 3r 2r 2r ABC d 322–√+=1x 22y 2F(−1,0)MN |MN|==2b 2a 2–√|PQ|=2b =2==2|PQ|2|MN|42–√2–√MN MN K MN y =k(x +1)M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2 y =k(x +1)，+=1，x 22y 2(2+1)+4x +2−2=0k 2x 2k 2k 2+=−x 1x 24k 22+1k 2=x 1x 22−2k 22+1k 2|MN|=⋅1+k 2−−−−−√(+−4x 1x 2)2x 1x 2−−−−−−−−−−−−−−−√=2(1+)2–√k 22+1k 2PQ O MN PQ y =kx P(,)x 3y 3Q(,)x 4y 4 y =kx ，联立解得，，则．又，则，∴．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：如图所示，；（2）；（3）；（4）．【考点】空间向量的基本定理及其意义【解析】利用向量的平行四边形法则和向量的共线定理即可得出．【解答】解：如图所示，；（2）；（3）；3344y =kx ，+=1，x 22y 2=x 221+2k 2=y 22k 21+2k 2|OP =+=+==|2x 2y 221+2k 22k 21+2k 22+2k 21+2k 22(1+)k 21+2k 2|PQ|=2|OP||PQ =4|OP =|2|28(1+)k 21+2k 2=2|PQ|2|MN|2–√22–√(1)=(+)=(++)=(++)AP −→−12AC −→−AA 1−→−12AB −→−AD −→−AA 1−→−12a →b →c →=(+)=(+2+)=(+2+)AM −→−12AC −→−AD 1−→−12AB −→−AD −→−AA 1−→−12a →b →c →=(+)=[(++)+(+)]AN −→−12AC 1−→−AD 1−→−12AB −→−AD −→−AA 1−→−AD −→−AA 1−→−=(+2+2)=++12AB −→−AD −→−AA 1−→−12a →b →c →=+=+=+(−)AQ −→−AC −→−CQ −→−AC −→−45CA 1−→−AC −→−45AA 1−→−AC −→−=+=(+)+=++15AC −→−45AA 1−→−15AB −→−AD −→−45AA 1−→−15a →15b →45c →(1)=(+)=(++)=(++)AP −→−12AC −→−AA 1−→−12AB −→−AD −→−AA 1−→−12a →b →c →=(+)=(+2+)=(+2+)AM −→−12AC −→−AD 1−→−12AB −→−AD −→−AA 1−→−12a →b →c →=(+)=[(++)+(+)]AN −→−12AC 1−→−AD 1−→−12AB −→−AD −→−AA 1−→−AD −→−AA 1−→−=(+2+2)=++12AB −→−AD −→−AA 1−→−12a →b →c →+=+=+(−)−→−−→−−→−−→−4−→−−→−4−→−−→−（4）．18.【答案】解：设动圆的半径为，可知圆的半径为，因为动圆与相切，所以点到直线的距离，因为动圆与圆相外切，所以，因为表示点到直线的距离，所以到直线的距离等于到的距离，由抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线，所以的方程为.由题知：两式相减得，所以，设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以直线，则由得，所以，所以；同理，；所以，故直线的斜率为定值.【考点】轨迹方程圆与圆的位置关系及其判定直线与圆的位置关系圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】=+=+=+(−)AQ −→−AC −→−CQ −→−AC −→−45CA 1−→−AC −→−45AA 1−→−AC −→−=+=(+)+=++15AC −→−45AA 1−→−15AB −→−AD −→−45AA 1−→−15a →15b →45c →(1)N r M 12N x =12N x =12d =r N M |MN|=r +12d +12N x =1N x =1N M(−1,0)N C C =−4x y 2(2){=−4，y 21x 1=−4，y 22x 2(−)((+)=−4(−)y 1y 2y 1y 2x 1x 2==k AB −y 1y 2−x 1x 2−4+y 1y 2PA k PB −k PA ：y −2=k(x +1){=−4x ，y 2y −2=k(x +1)，k +4y −4k −8=0y 2+2=y 1−4k =−−2y 14k =−2y 24k ===1k AB −4+y 1y 2−4(−−2)+(−2)4k 4kAB 1此题暂无解析【解答】解：设动圆的半径为，可知圆的半径为，因为动圆与相切，所以点到直线的距离，因为动圆与圆相外切，所以，因为表示点到直线的距离，所以到直线的距离等于到的距离，由抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线，所以的方程为.由题知：两式相减得，所以，设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以直线，则由得，所以，所以；同理，；所以，故直线的斜率为定值.19.【答案】解：设与直线平行的直线，，则点到和的距离相等，，或，时，与重合，故舍去，∴.与垂直的边所在直线方程为，则点到和的距离相等，(1)N r M 12N x =12N x =12d =r N M |MN|=r +12d +12N x =1N x =1N M(−1,0)N C C =−4x y 2(2){=−4，y21x 1=−4，y 22x 2(−)((+)=−4(−)y 1y 2y 1y 2x 1x 2==k AB −y 1y 2−x 1x 2−4+y1y 2PA k PB −k PA ：y −2=k(x +1){=−4x ，y 2y −2=k(x +1)，k +4y −4k−8=0y 2+2=y 1−4k =−−2y 14k =−2y 24k ===1k AB −4+y 1y 2−4(−−2)+(−2)4k 4k AB 1：x −y −2=0l1：x −y +=0l 3c 1M(0,1)l 1l 3∴=|0−1−2|2–√|0−1+|c 12–√∴|−1|=3⇒=4c 1c 1−2∵=−2c1l 3l 1：x −y +4=0l 3：x −y −2=0l 1：x +y +m =0l 2M(0,1)l 1l 2=|0−1−2||0+1+m|，或，∴和垂直的两条边所在的直线方程为，.综上所述：，，.【考点】点到直线的距离公式两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：设与直线平行的直线，，则点到和的距离相等，，或，时，与重合，故舍去，∴.与垂直的边所在直线方程为，则点到和的距离相等，，或，∴和垂直的两条边所在的直线方程为，.综上所述：，，.20.【答案】解：（）∵平面，∴.又∵底面是矩形,∴.又∵，∴平面.又∵平面，∴平面平面.（）解法一：（几何法）过点作，垂足为点，连结.∴=|0−1−2|2–√|0+1+m|2–√∴|m +1|=3⇒m =−42l 1：x +y +2=0l 2：x +y −4=0l 4：x −y +4=0l 3：x +y +2=0l 2：x +y −4=0l 4：x −y −2=0l 1：x −y +=0l 3c 1M(0,1)l 1l 3∴=|0−1−2|2–√|0−1+|c 12–√∴|−1|=3⇒=4c 1c 1−2∵=−2c 1l 3l 1：x −y +4=0l 3：x −y −2=0l 1：x +y +m =0l 2M(0,1)l 1l 2∴=|0−1−2|2–√|0+1+m|2–√∴|m +1|=3⇒m =−42l 1：x +y +2=0l 2：x +y −4=0l 4：x −y +4=0l 3：x +y +2=0l 2：x +y −4=0l 41PA ⊥ABCD PA ⊥CD ABCD AD ⊥CD PA ∩AD =A CD ⊥PAD CD ⊂PCD PCD ⊥PAD 2A AM ⊥PE M FM PA =AD =3AB =2AD =6，BC =3不妨设，则.∵平面，∴.又∵底面是矩形，∴.又∵，∴平面，∴.又∵，∴平面，∴.∴就是二面角的平面角.在中，由勾股定理得，由等面积法，得.又由平行线分线段成比例定理，得.∴，∴.∴.∴二面角的正切值为.PA =AD =3AB =2AD =6，BC =3PA ⊥ABCD PA ⊥AF ABCD AB ⊥AF PA ∩AB =A AF ⊥PAB AF ⊥PE AM ∩AF =A PE ⊥AFM PE ⊥FM ∠AMF A −PE −F Rt △PAE PE ===P +A A 2E 2−−−−−−−−−−√+3222−−−−−−√13−−√AM ===PE ⋅AF PE 3×213−−√613−−√13−−√==AF FD AE DC 13=AF AD 12AF =AD =1232tan ∠AMF ===AF AM 32613−−√1313−−√4A −PE −F 13−−√4，−→−−→−−→−解法二：（向量法）以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，则.又由平行线分线段成比例定理，得，∴，∴.∴点.则.设平面的法向量为，则由得得令，得平面的一个法向量为.又易知平面的一个法向量为，设二面角的大小为，则，∴，∴二面角的正切值为.【考点】平面与平面垂直的判定二面角的平面角及求法【解析】A ，，AF −→−AB −→−AP −→−x ，y ，z PA =AD =3AE =2==AF FD AE DC 13=AF AD 12AF =AD =1232P(0，0，3)，E(0，2，0)，F =(，0，0)32=(0,2，−3)，=(，0，−3)PE −→−PF −→−32PEF =(x ，y ，z)n → ⋅=(x ，y ，z)⋅(0，2，−3)=0，n →PE −→−⋅=(x ，y ，z)⋅(，0，−3)=0，n →PF −→−32{2y −3z =0,x −3z =0，32{y =z,32x =2z ，z =1PEF =(2，，1)n →32PEA ==(，0，0)m →AF −→−32A −PE −F θcos θ===⋅n →m →||||n →m →(2，，1)⋅(，0，0)3232×29−−√232429−−√tan θ==(−29−−√)242−−−−−−−−−−√413−−√4A −PE −F 13−−√4此题暂无解析【解答】解：（）∵平面，∴.又∵底面是矩形,∴.又∵，∴平面.又∵平面，∴平面平面.（）解法一：（几何法）过点作，垂足为点，连结.不妨设，则.∵平面，∴.又∵底面是矩形，∴.又∵，∴平面，∴.又∵，∴平面，∴.∴就是二面角的平面角.在中，由勾股定理得，由等面积法，得.又由平行线分线段成比例定理，得.∴，1PA ⊥ABCD PA ⊥CD ABCD AD ⊥CD PA ∩AD =A CD ⊥PAD CD ⊂PCD PCD ⊥PAD 2A AM ⊥PE M FM PA =AD =3AB =2AD =6，BC =3PA ⊥ABCD PA ⊥AF ABCD AB ⊥AF PA ∩AB =A AF ⊥PAB AF ⊥PE AM ∩AF =A PE ⊥AFM PE ⊥FM ∠AMF A −PE −F Rt △PAE PE ===P +A A 2E 2−−−−−−−−−−√+3222−−−−−−√13−−√AM ===PE ⋅AF PE 3×213−−√613−−√13−−√==AF FD AE DC 13=AF AD 12F =AD =13∴.∴.∴二面角的正切值为.解法二：（向量法）以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，则.又由平行线分线段成比例定理，得，∴，∴.∴点.则.设平面的法向量为，则由得得令，得平面的一个法向量为.又易知平面的一个法向量为，AF =AD =1232tan ∠AMF ===AF AM 32613−−√1313−−√4A −PE −F 13−−√4A ，，AF −→−AB −→−AP −→−x ，y ，z PA =AD =3AE =2==AF FD AE DC 13=AF AD 12AF =AD =1232P(0，0，3)，E(0，2，0)，F =(，0，0)32=(0,2，−3)，=(，0，−3)PE −→−PF −→−32PEF =(x ，y ，z)n → ⋅=(x ，y ，z)⋅(0，2，−3)=0，n →PE −→−⋅=(x ，y ，z)⋅(，0，−3)=0，n →PF −→−32{2y −3z =0,x −3z =0，32{y =z,32x =2z ，z =1PEF =(2，，1)n →32PEA ==(，0，0)m →AF −→−32A −PE −F θ设二面角的大小为，则，∴，∴二面角的正切值为.21.【答案】解：由椭圆的焦距为，知，又，则，故，故椭圆的标准方程为．由可知，因为直线，由题意可知平分，所以点到直线的距离．设直线为，则．设．由 得，所以，所以．①当轴时，，此时，所以．因为平分，所以，可得，所以．②当不与轴垂直时，此时．所以直线的方程为．因为点在直线的右侧，所以，所以点到直线的距离，所以，所以，所以．综上，．【考点】椭圆的标准方程2A −PE −F θcos θ===⋅n →m →||||n →m →(2，，1)⋅(，0，0)3232×29−−√232429−−√tan θ==(−29−−√)242−−−−−−−−−−√413−−√4A −PE −F 13−−√4(1)2c =1e =12a =2=−=3b 2a 2c 2C +=1x 24y 23(2)(1)A (−2,0)FE ⊥MT EF ∠MFB E MF d =|BE|AM y =k (x +2)(k >0)N (2,4k)E (2,t),M (,)x 0y 0 y=k (x +2)，+=1x 24y 23(4+3)+16x +16−12=0k 2x 2k 2k 2Δ>0,−2=−x 016k 24+3k 2=,=x 0−8+6k 24+3k 2y 012k4+3k 2MF ⊥x =1x 0k =12N (2,2)EF ∠MFB ∠EFB =π4E (2,1)=1|BE||EN|MF x k ≠,==12k MF y 0−1x 04k 1−4k 2MF 4kx +(4−1)y −4k =0k 2E MF 8k +(4−1)t −4k >0k 2E MF d ==|8k +(4−1)t −4k|k 216+k 2(4−1)k 22−−−−−−−−−−−−−−√8k +(4−1)t −4kk 216+k 2(4−1)k 22−−−−−−−−−−−−−−√=t 8k +(4−1)t −4k k 216+k 2(4−1)k 22−−−−−−−−−−−−−−√t =2k =1|BE||EN|=1|BE||EN|圆锥曲线中的定点与定值问题点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由椭圆的焦距为，知，又，则，故，故椭圆的标准方程为．由可知，因为直线，由题意可知平分，所以点到直线的距离．设直线为，则．设．由 得，所以，所以．①当轴时，，此时，所以．因为平分，所以，可得，所以．②当不与轴垂直时，此时．所以直线的方程为．因为点在直线的右侧，所以，所以点到直线的距离，所以，所以，所以．综上，．22.【答案】解：由当时，的面积为，可知此时为椭圆的下顶点．所以，，得，，所以椭圆的方程为．设，直线的方程为，(1)2c =1e =12a =2=−=3b 2a 2c 2C +=1x 24y 23(2)(1)A (−2,0)FE ⊥MT EF ∠MFB E MF d =|BE|AM y =k (x +2)(k >0)N (2,4k)E (2,t),M (,)x 0y 0 y =k (x +2)，+=1x 24y 23(4+3)+16x +16−12=0k 2x 2k 2k 2Δ>0,−2=−x 016k 24+3k 2=,=x 0−8+6k 24+3k 2y 012k4+3k 2MF ⊥x =1x 0k =12N (2,2)EF ∠MFB ∠EFB =π4E (2,1)=1|BE||EN|MF x k ≠,==12k MF y 0−1x 04k 1−4k 2MF 4kx +(4−1)y −4k =0k 2E MF 8k +(4−1)t −4k >0k 2E MF d ==|8k +(4−1)t −4k|k 216+k 2(4−1)k 22−−−−−−−−−−−−−−√8k +(4−1)t −4kk 216+k 2(4−1)k 22−−−−−−−−−−−−−−√=t 8k +(4−1)t −4k k 216+k 2(4−1)k 22−−−−−−−−−−−−−−√t =2k =1|BE||EN|=1|BE||EN|(1)k =3–√2△OAB ab 2Bk ==b a 3–√2|AB|==+a 2b 2−−−−−−√7–√=4a 2=3b 2E +=1x 24y 23(2)B (,)x B y B l y =k(x −2) =1,22由方程组 消去，整理得，解得或，由题意得，从而.因为，所以的坐标为，因此直线的方程为，则的坐标为．由得．由知，则，，所以，解得或，所以直线的斜率或．【考点】圆锥曲线的综合问题直线与椭圆的位置关系椭圆的标准方程【解析】无【解答】解：由当时，的面积为，可知此时为椭圆的下顶点．所以，，得，，所以椭圆的方程为．设，直线的方程为，由方程组 消去，整理得，解得或，由题意得，从而. +=1,x 24y 23y =k (x −2),y (4+3)−16x +16−12=0k 2x 2k 2k 2x =2x =8−6k 24+3k 2=x B 8−6k 24+3k 2=y B −12k 4+3k 2|MA|=|MO|M (1,−k)MH y =−x +−k 1k 1k H (0,−k)1k BF ⊥HF ⋅=0BF −→−HF −→−(1)F (1,0)=(−1,−k)FH −→−1k =(,)BF −→−9−4k 24+3k 212k 4+3k 2+(−k)=04−9k 24+3k 212k 4+3k 21k k =−6–√4k =6–√4l k =−6–√4k =6–√4(1)k =3–√2△OAB ab 2B k ==b a 3–√2|AB|==+a 2b 2−−−−−−√7–√=4a 2=3b 2E +=1x 24y 23(2)B (,)x B y B l y =k(x −2) +=1,x 24y 23y =k (x −2),y (4+3)−16x +16−12=0k 2x 2k 2k 2x =2x =8−6k 24+3k 2=x B 8−6k 24+3k 2=y B −12k 4+3k 2|MA|=|MO|因为，所以的坐标为，因此直线的方程为，则的坐标为．由得．由知，则，，所以，解得或，所以直线的斜率或．|MA|=|MO|M (1,−k)MH y =−x +−k 1k 1k H (0,−k)1k BF ⊥HF ⋅=0BF −→−HF −→−(1)F (1,0)=(−1,−k)FH −→−1k =(,)BF −→−9−4k 24+3k 212k 4+3k 2+(−k)=04−9k 24+3k 212k 4+3k 21k k =−6–√4k =6–√4l k =−6–√4k =6–√4。
2022-2023学年人教A版高一下数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 设复数，则在复平面内所对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 若，则( )A.B.C.D.3. 外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为，，则实数的值（ ）A.B.C.D.z =(1−i)21−2i z sin(x +)=π613sin(2x −)=π6−7979−42–√942–√9△ABC O H =m(++)OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−m 122134(a +b =+ab )224. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为 A.B.C.D.5. 已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为( )A.B.C.D.6. 如图，在中，，点在线段上，，，则（ ）A.B.C.D.7. 已知角的终边经过点，则( )△ABC A B C a b c (a +b =+ab )2c 2B =30∘a =4△ABC ()63–√43–√33–√4OABC //O ′A ′B ′C ′∠=O ′A ′B ′90∘=1O ′A ′=2B ′C ′OABC 32–√232–√42–√52–√△ABC ∠BAC =2π3D BC AD ⊥AC =BD CD 14sin C =7–√1421−−√147–√721−−√7αP (sin ,cos )18∘18∘sin(α−)=12∘1A.B.C.D.8. 点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）A.已知平面向量满足，且则是等边三角形B.若，则点为的垂心C.若，则点为的外心D.若，则点为的内心二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知，，则下列说法正确的有( )A.若为实数，则B.的共轭复数是C.的最小值是D.满足的复数在复平面上的对应点的集合是以为圆心，以为半径的圆10. 已知向量，， 则（ ）A.B.向量在向量上的投影向量是 C.D.与向量方向相同的单位向量是123–√2−12−3–√2O △ABC ⋅⋅OA −→−OB −→−OC −→−||=||=||OA −→−OB −→−OC −→−++=OA −→−OB −→−OC −→−0→△ABC ⋅−=⋅−=0OA −→− AC −→−||AC −→−AB −→−||AB −→−OB −→− BC −→−||BC −→−BA −→−|BA| O △ABC (+)⋅=(+)⋅=0OA −→−OB −→−AB −→−OB −→−OC −→−BC −→−O △ABC ⋅=⋅=⋅OA −→−OB −→−OB −→−OC −→−OC −→−OA −→−O △ABC =2+3i z 1=m −i (m ∈R)z 2z 1z 2m =−23⋅z 1z 2(2m +3)−(3m −2)i|−|z 1z 24|z −|=1z 1z Z (−2,−3)1=(2,1)a →=(−3,1)b →(+)⊥a →b →a→a →b →−10−−√2a →|+2|=5a →b →a →(,)25–√55–√511. 在直角三角形中，，，为线段的中点，如图，将沿翻折，得到三棱锥（点为点翻折到的位置），在翻折过程中，下列说法正确的是()A.的外接圆半径为B.存在某一位置，使得C.存在某一位置，使得D.若，则此时三棱锥的外接球的体积为12. 已知声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数或余弦函数，而纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列说法正确的是( )A.是的一个周期B.在上有个零点C.的最大值为D.在上是增函数卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知，若，则________． 14. 已知三棱锥中，平面， ，异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为________，三棱锥的外接球的表面积为________．ABC ∠B =π2AC =2BC =4D AC △ABD BD P −BCD P A △PBD 2PD ⊥BDPB ⊥CDPD ⊥DC P −BCD π323y =A sin ωt f (x)=2sin x −sin 3x πf (x)f (x)[0,2π]7f (x)3f (x)[,]π6π2f (x)=sin(x +)π3cosα=(0<α<)35π2f (2α−)=π12S −ABC SA ⊥ABC AB =BC =CA =2SC AB 2–√4S −ABC S −ABC ∈[0,]3π15. 函数，的单调递减区间是________．16. 已知外接圆的圆心为，其面积，，为的三边长），，则外接圆的半径为________；的值为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知.化简.若，求的值.18. 已知复数的共轭复数为，且满足．求；若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 19. 如图，为圆柱的底面直径，，为圆柱的两条母线，点，，分别为，，的中点，，，垂足为．证明：平面；求三棱锥的体积． 20. 已知向量，，.若，试研究函数在上的单调性；当时，求函数的值域．21. 设是锐角三角形，，，分别是内角，，所对边长，并且.求角的值；若的面积等于求，．y =sin(−x)π6x ∈[0,]3π2△ABC O S =abc(a 112b c △ABC 2OA −→−+3AB −→−+3AC −→−=0→△ABC cos A f(x)=+(x ≠，k ∈Z)sin(x +π)tan(x −π)sin(x −)cos(x +)3π2π2cos(x +3π)kπ2(1)f(x)(2)f(α)=13sin2αz z¯¯¯(1−2i)z =4−3i (1)z¯¯¯(2)(m ∈R)(z +mi)2m AB AA 1BB 1C C 1D AB A 1B 1 AA 1A =2AC =2A 1CM ⊥BD M (1)CM ⊥BDC 1(2)A −BMC =(cos(x −),cos(x −))a →2–√π4π4=(sin x,m ⋅cos(x −))b →3π4f (x)=⋅a →b →(1)m =−1f (x)[,]π83π4(2)m =2f (x)△ABC a b c A B C sin(A +B)+sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B(1)C (2)△ABC 6，c =2，3–√7–√a b (x)=sin ωx +co −–√22. 已知函数，．Ⅰ若＝，求的单调递增区间；Ⅱ若，求的最小正周期的表达式并指出的最大值．f(x)=sin ωx +co −123–√s 2ωx 23–√2ω>0()ω1f(x)()f()=1π3f(x)T T参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值二倍角的余弦公式【解析】根据 ，利用诱导公式转化为，再利用二倍角公式求解．【解答】解：因为，所以．故选．sin(x +)=π613sin(2x −)=−cos(2x +)π6π3sin(x +)=π613sin(2x −)=−cos[+(2x −)]π6π2π6=−cos(2x +)=2(x +)−1π3sin 2π6=2×−1=−()13279A3.【答案】C【考点】向量的加法及其几何意义【解析】利用向量的运算法则、数量积与垂直的关系即可得出．【解答】解：如图所示：∵，，∴，∴，取边的中点，连接，则，∴，．又，∴．∴，∴，又不恒为，∴必有，解得．故选．4.【答案】B【考点】余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，即，所以，因为，=−OH −→−AH −→−AO −→−=m(++)OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−−=m(++)AH −→−AO −→−OA −→−OB −→−OC −→−=(m −1)+m(+AH −→−OA −→−OB −→−OC)−→−BC D OD OD ⊥BC +=2OB −→−OC −→−OD −→−⋅=0OD −→−BC −→−AH ⊥BC ⋅=0AH −→−BC −→−⋅=(m −1)⋅+2m ⋅AH −→−BC −→−OA −→−BC −→OD −→−BC −→0=(m −1)⋅OA −→−BC ¯¯¯¯¯¯¯⋅OA −→−BC −→−0m −1=0m =1C (a +b =+ab )2c 2+−=−ab a 2b 2c 2cos C ==−+−a 2b 2c 22ab 12C ∈(0,)180∘C =–√所以，.又因为，所以，所以，所以的面积.故选.5.【答案】B【考点】斜二测画法画直观图【解析】由斜二测画法的直观图，得出原图形为直角梯形，由此计算原图形的面积．【解答】解：由斜二测画法的直观图知，，，，；∴，所以原图形中， ，，，，，所以梯形的面积为．故选．6.【答案】B【考点】正弦定理弦切互化【解析】此题暂无解析C =120∘sin C =3–√2B =30∘A =B =30∘a =b =4△ABC S =ab sin C =4123–√B //B ′C ′O ′A ′⊥A ′B ′B ′C ′=1O ′A ′=2B ′C ′=O ′C ′2–√OABC BC//OA OC ⊥OA OA =1BC =2OC =2=2×=2O ′C ′2–√2–√OABC S =×(1+2)×2=3122–√2–√B【解答】解：在中， ，解得，所以．故选．7.【答案】B【考点】两角和与差的正弦公式两角和与差的余弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】利用任意角的三角函数解得,再利用角的变换展开化简得解.【解答】解：由题设得，，，.故选.8.【答案】A,C【考点】三角形五心向量的线性运算性质及几何意义【解析】△ABD ==BDsin π6AD sin B sin C ⋅CDsin(−C)π3tan C =3–√5sin C =21−−√14B sin α,cos αα−=α−(−)12∘30∘12∘|OP|==1+sin 218∘cos 218∘−−−−−−−−−−−−−−√sin α=cos 18∘cos α=sin 18∘sin(α−)12∘=sin[α−(−)]30∘18∘=sin αcos(−)−30∘18∘cos αsin(−)30∘18∘=sin α[cos +sin ]−3–√218∘1218∘cos α[cos −sin ]1218∘3–√218∘=+3–√2cos 218∘3–√2sin 218∘=3–√2B直接利用向量的线性运算及向量的数量积，三角形的内心、外心，重心，垂心的应用，向量垂直的充要条件，单位向量的应用判断、、、的结论．【解答】解：选项，平面向量满足，且，， ，即，，的夹角为，同理的夹角也为，是等边三角形，故正确；选项，向量，分别表示在边和上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当，即时，点在的平分线上，同理由，知点在的平分线上，故为的内心而不一定是垂心，故错误；选项，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B,C【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念复数的模【解析】无A B C D A ，，OA −→−OB −→−OC −→−||=||=|=r (r >0)OA −→−OB −→−OC −→−++=OA −→−OB −→−OC −→−0→∴+=−OA −→−OB −→−OC −→−∴|+2⋅+|=|OA −→−|2OA −→−OB −→−OB −→−|2OC −→−|2+2⋅cos(,)+=r 2r 2OA −→−OB −→−r 2r 2∴cos(,)=−OA −→−OB −→−12∴，OA −→−OB −→−120∘⋅OA −→−OC −→−120∘∴△ABC A B AC −→−|AC|AB −→−|AB|AC AB AC −→−′AB −→−BC −→−⋅−=0OA −→− AC −→−||AC −→−AB −→−|AB|⊥OA −→−BC −→−O ∠BAC ⋅−=0OB −→− BC −→−||BC −→−BA −→−|A B →O ∠ABC O △ABC B C +OA −→−OB −→−,OA −→−OB −→−A ，C【解答】解：令，得，则有解得，故选项正确；，其共轭复数是，故选项正确；，当时，等号成立，即的最小值为，故选项正确；令，由，得，即，故满足的复数在复平面上的对应点的集合是以为圆心，以为半径的圆，故选项错误.故选．10.【答案】A,C,D【考点】向量的投影向量的数量积判断向量的共线与垂直平面向量的坐标运算单位向量向量模长的计算【解析】可求出，从而得出选项正确；可求出在上的投影是，从而判断选项错误；可得出，进而判断选项正确；根据向量可求出与向量方向相同的单位向量，从而判断选项正确．【解答】解：∵ ，，∴，，即正确；向量在向量上的投影向量是，即错误；=a(a ∈R)z 1z 2=2+3i =a z 1=am −ai z 2{2=am,3=−a,m =−23A ⋅=(2+3i)(m −i)=(2m +3)+(3m −2)i z 1z 2=(2m +3)−(3m −2)i ⋅z 1z 2¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯B |−|=|(2−m)+4i|=≥=4z 1z 2(2−m +16)2−−−−−−−−−−−√16−−√m =2|−|z 1z 24C z =x +yi |z −|=1z 1|(x −2)+(y −3)i|==1(x −2+(y −3)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√(x −2+(y −3=1)2)2|z −|=1z 1z Z (2,3)1D ABC (+)⋅=0a →b →a →A a →b →−12b →B +2=(−4,3)a →b →C a →a →D +=(−1,2)a →b →=(2,1)a →(+)⋅=−2+2=0a →b →a →(+)⊥a →b →a →A a →b →⋅=⋅=−⋅a →b →∣∣∣b →∣∣∣2b →−3×2+1×1+(−3)212b →12b →B 2=(−4,3)→∵ ，∴，即正确；与向量方向相同的单位向量 ，即正确．故选.11.【答案】A,D【考点】正弦定理空间中直线与直线之间的位置关系柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：在翻折过程中，，，，易知，由正弦定理得（为的外接圆半径），即，故正确；在翻折过程中，，故错误；若，取中点，连接，，由于为正三角形，则，又，故平面，则，又为中点，，则为正三角形，易知，则，与已知矛盾，故错误；若，则在三棱锥中，，由知，，取的中点，连接，，+2=(−4,3)a →b →|+2|=5a →b →C a →=(,)a →||a →25–√55–√5D ACD △PBD ≅△ABD PD =DC =BC =2PB =23–√∠PDB =120∘2r ==4PBsin ∠PDB r △PBD r =2A ∠PDB =120∘B PB ⊥CD CD M BM PM △BCD BM ⊥CD BM ∩PB =B CD ⊥PBM PM ⊥CD M CD PD =CD =2△PCD BM =PM =3–√BM +PM =2=PB 3–√C PD ⊥DC P −BCD PC =22–√P =B +P B 2C 2C 2∠ACB =π2PB E DE CE E =PB =1则，且，，所以，所以，所以平面．设外接球的半径为，根据几何体可知，外接球的球心在直线上，则，即，解得，所以三棱锥的外接球的体积为，故正确．故选．12.【答案】B,C,D【考点】正弦函数的单调性函数的零点正弦函数的周期性函数奇偶性的判断两角和与差的正弦公式【解析】根据三角函数的周期性判断答案，三角函数的零点判断答案，根据三角函数的最值判断答案，根据三角函数的单调性判断答案．【解答】解：，∵的周期为，的周期为，的周期为，故错误；，∵，当时，，即或，∴在上有个零点，故正确；，∵，令，，∴，，，令，解得，当和时，，单调递增，∴当，即时，取得最大值，，∴，故正确；DE ⊥PB DE =1CE =PB =123–√D +C =C E 2E 2D 2DE ⊥CE DE ⊥PBC R O DE O +B =O E 2E 2B 2+=(R −1)2()3–√2R 2R =2P −BCD π=π43R 3323D AD A B C D A y =sin x 2πy =sin 3x π23∴f (x)=2sin x −sin 3x 2πA B f (x)=2sin x −sin 3x =−sin x +4x sin 3=−sin x(cos 2x −1)x ∈[0,2π]−sin x (cos 2x −1)=0sin x =0cos 2x =1f (x)[0,2π]7B C f (x)=2sin x −sin 3x =−sin x +4x sin 3t =sin x t ∈[−1,1]g(t)=4−t t 3t ∈[−1,1](t)=12−1g ′t 2(t)=0g ′t =±3–√6t ∈[−1,−]3–√6[,1]3–√6(t)>0g ′g(t)t =1t =sin x =1g(t)g(1)=3f(x =f(1)=−1+4=3)max C ,]ππ，∵在上为增函数，∴在上为减函数.∵，在上为减函数，∴在上为增函数，即在上是增函数，故正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】三角函数的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，则.故答案为：.14.【答案】,【考点】maxD y =sin x [,]π6π2y =−sin x [,]π6π2x ∈[,]π6π2y =cos 2x [,π]π3f (x)=2sin x −sin 3x =−sin x +4x sin 3=−sin x(cos 2x −1)[,]π6π2f (x)[,]π6π2D BCD 172–√50cosα=(0<α<)35π2sin α==1−αcos 2−−−−−−−−√45f (2α−)=sin(2α+)π12π4=sin 2αcos +cos 2αsin π4π4=2sin αcos αcos +sin (2α−1)π4π4cos 2=2×××+×(2×−1)45352–√22–√2925=172–√50172–√5023–√3π283柱体、锥体、台体的体积计算异面直线及其所成的角球的表面积和体积球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，过点作的平行线且满足，为中点，易得四边形为平行四边形，则异面直线与夹角即为，设，则由题可得，，，满足勾股定理，则，又余弦值为，即，解得，所以体积为.去底面正三角形中点，过点作直线面，则球心必在线上，过点作，故，设，则，解得，故表面积为.故答案为：；.15.C AB AE =CDE AECD SC AB ∠SCD SA =x SC =4+x 2−−−−−√SD =3+x 2−−−−−√CD =1∠SDC =90∘2–√4=CD SC 2–√4x =2×2××2×=13123–√23–√3ABC N N ⊥ABC O O OM ⊥SA OM =AN =23–√3SO =R 2=2−R 2()23–√32−−−−−−−−−−−−√R =21−−√34π=πR 228323–√3π283【答案】【考点】正弦函数的单调性【解析】函数，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递减区间；即可求的单调递减区间．【解答】由函数，令，得：，∵，当＝时，可得单调递减区间为．16.【答案】,【考点】正弦定理余弦定理【解析】根据，由正弦定理，可得外接圆的半径为；由，可得，结合，可知，由，则，即可得解.【解答】解：因为，[0,π]23y =sin(−x)=−sin(x −)π6π6x ∈[0,]3π2y =sin(−x)=−sin(x −)π6π6−+2kπ≤x −≤+2kππ2π6π2k ∈Z−+2kπ≤x ≤+2kππ32π3x ∈[0,]3π2k 0[0,π]233−23S =abc =bc sin A 11212=2R a sin A△ABC 32+3+3=OA −→−AB −→−AC −→−0→3+3=4OB −→−OC −→−OA −→−===R =3∣∣∣OB −→−∣∣∣∣∣∣OC −→−∣∣∣∣∣∣OA −→−∣∣∣cos ∠BOC =−19∠BOC =2∠A A ∈(0,)π2cos A =22–√3S =abc =bc sin A 11212=sin A 1所以，由正弦定理，可得，所以外接圆的半径为；设的中点为，根据题意可得，∴，，三点共线，∴，且，，根据勾股定理可得，，∴，根据余弦定理可得故答案为：；.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：.∵，即，∴，整理得，则，即.【考点】三角函数的化简求值运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析a =sin A 16=2R asin A R =3△ABC 3BC D =−(+OA −→−32AB −→−)=−3AC −→−AD −→−A O D AB =AC AD =1DO =2BD =5–√AB =6–√BC =25–√cos A ==−.6+6−202×6233−23(1)f(x)=+sin(x +π)tan(x −π)sin(x −)cos(x +)3π2π2cos(x +3π)=+−sinx tanx cosx(−sinx)−cosx=−sinx ⋅+sinxcosx sinx =sinx −cosx (2)f(α)=13sin α−cos α=13(sin α−cos α=)2()132α−2sin αcos α+α=sin 2cos 2192sin αcos α=89sin 2α=89解：.∵，即，∴，整理得，则，即.18.【答案】解：因为，所以，所以.，因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以得，所以的取值范围为.【考点】复数代数形式的乘除运算共轭复数复数的基本概念复数的运算复数的代数表示法及其几何意义复数及其指数形式、三角形式【解析】此题暂无解析(1)f(x)=+sin(x +π)tan(x −π)sin(x −)cos(x +)3π2π2cos(x +3π)=+−sin x tan x cosx(−sinx)−cosx=−sinx ⋅+sinxcos x sin x =sinx −cosx (2)f(α)=13sin α−cos α=13(sin α−cos α=)2()132α−2sin αcos α+α=sin 2cos 2192sin αcos α=89sin 2α=89(1)(1−2i)z =4−3i z =4−3i 1−2i =(4−3i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=4+8i −3i +65==2+i10+5i 5=2−i z ¯¯¯(2)=(z +mi)2(2+i +mi)2=[2+(1+m)i]2=4−+4(1+m)i (1+m)2(z +mi)2{4−<0，(1+m)24(1+m)>0,m >1m (1,+∞)解：因为，所以，所以. ，因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以得，所以的取值范围为.19.【答案】证明：由题得，，又，，所以平面，又平面，所以．又，，点是的中点，所以，，则．又，所以平面，又平面，所以 ，又因为，，所以平面．解：由题得，所以，由知平面，又平面，所以，所以，易知，所以，所以 ．所以．【考点】直线与平面垂直的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】证明：由题得，，(1)(1−2i)z =4−3i z =4−3i 1−2i =(4−3i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=4+8i −3i +65==2+i 10+5i 5=2−i z¯¯¯(2)=(z +mi)2(2+i +mi)2=[2+(1+m)i]2=4−+4(1+m)i (1+m)2(z +mi)2{4−<0，(1+m)24(1+m)>0,m >1m (1,+∞)(1)AC =BC ==A 1C 1B 1C 1AC ⊥BC A ⊥BC A 1A ∩AC =A A 1BC ⊥CD C 1D ⊂C 1CD C 1BC ⊥D C 1A =2AC A 1A ⊥AC A 1D AA 1∠D =A 1C 145∘∠ADC =45∘D ⊥DC C 1BC ∩CD =C D ⊥C 1BCD CM ⊂BCD D ⊥CM C 1CM ⊥BD D ∩BD =D C 1CM ⊥BDC 1(2)BC =AD =1CD =2–√(1)BC ⊥CD C 1CD ⊂CD C 1BC ⊥CD BD ==B +C C 2D 2−−−−−−−−−−√3–√△BCM ∽△BDC =BM BC BC BD BM ===BD BC 2BD 3–√313===×S △ABC ×AD V A−BMC V M−ABC 13V D−ABC 1313=×××1×1×1=131312118(1)AC =BC ==A 1C 1B 1C 1AC ⊥BC A ⊥BC A A ∩AC =A A又，，所以平面，又平面，所以．又，，点是的中点，所以，，则．又，所以平面，又平面，所以 ，又因为，，所以平面．解：由题得，所以，由知平面，又平面，所以，所以，易知，所以，所以 ．所以．20.【答案】解：时，，，，∴，时，为增函数；，时，为减函数.当时， ，∴函数的值域为.A ⊥BC A 1A ∩AC =A A 1BC ⊥CD C 1D ⊂C 1CD C 1BC ⊥D C 1A =2AC A 1A ⊥AC A 1D AA 1∠D =A 1C 145∘∠ADC =45∘D ⊥DC C 1BC ∩CD =C D ⊥C 1BCD CM ⊂BCD D ⊥CM C 1CM ⊥BD D ∩BD =D C 1CM ⊥BDC 1(2)BC =AD =1CD =2–√(1)BC ⊥CD C 1CD ⊂CD C 1BC ⊥CD BD ==B +C C 2D 2−−−−−−−−−−√3–√△BCM ∽△BDC =BM BC BC BD BM ===BD BC 2BD 3–√313===×S △ABC ×AD V A−BMC V M−ABC 13V D−ABC 1313=×××1×1×1=131312118(1)m =−1f(x)=⋅a →b →=cos(x −)sin x −(x −x)2–√π412sin 2cos 2=x +sin x cos x −x +x sin 212sin 212cos 2=sin 2x +1212∵x ∈[,]π83π4∴2x ∈[,]π43π22x ∈[,]π4π2x ∈[,]π8π4f(x)2x ∈[,]π23π2x ∈[,]π43π4f(x)(2)m =2f(x)=cos(x −)sin x +(x −x)2–√π4sin 2cos 2=x +sin x cos x +x −x sin 2sin 2cos 2=sin 2x −cos 2x +121−cos 2x 2=sin 2x −cos 2x +123212=sin(2x +φ)+(tan φ=−3)10−−√212f(x)[,]1−10−−√21+10−−√2【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式平面向量数量积的运算正弦函数的单调性函数的值域及其求法【解析】本题考查平面向量与三角函数的综合，体现了数学运算、逻辑推理、直观抽象等数学素养．本题考查平面向量与三角函数的综合，体现了数学运算、逻辑推理、直观抽象等数学素养．【解答】解：时，，，，∴，时，为增函数；，时，为减函数.当时， ，∴函数的值域为.21.【答案】(1)(2)(1)m =−1f(x)=⋅a →b →=cos(x −)sin x −(x −x)2–√π412sin 2cos 2=x +sin x cos x −x +x sin 212sin 212cos 2=sin 2x +1212∵x ∈[,]π83π4∴2x ∈[,]π43π22x ∈[,]π4π2x ∈[,]π8π4f(x)2x ∈[,]π23π2x ∈[,]π43π4f(x)(2)m =2f(x)=cos(x −)sin x +(x −x)2–√π4sin 2cos 2=x +sin x cos x +x −x sin 2sin 2cos 2=sin 2x −cos 2x +121−cos 2x 2=sin 2x −cos 2x +123212=sin(2x +φ)+(tan φ=−3)10−−√212f(x)[,]1−10−−√21+10−−√2(+B)sin(−B)解：因为，所以，所以 ，所以，所以，所以，所以，又为锐角，所以 .因为的面积等于，所以 ①.由知，所以 ②．由余弦定理知，将代人，可得 ③，由③②，得 ，所以.所以解此方程得或【考点】余弦定理正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以，所以 ，(1)sin(A +B)+sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B sin C +sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B (sin C +sin B)(sin C −sin B)=sin(+B)π3sin(−B)π3C −B =(cos B +sin B)(cos B sin 2sin 23–√2123–√2−sin B)12C −B =B −B sin 2sin 234cos 214sin 2C =B +B =sin 234cos 234sin 234sin C =±3–√2C C =π3(2)△ABC 63–√ab sin C =6123–√(1)C =π3ab =24=+−2ab cos C c 2a 2b 2c =27–√+=52a 2b 2+×2=100(a +b)2a +b =10{a +b =10，ab =24，{a =6，b =4{a =4，b =6.(1)sin(A +B)+sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B sin C +sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B (sin C +sin B)(sin C −sin B)=sin(+B)π3sin(−B)π3−B =(cos B +sin B)(cos B –√–√所以，所以，所以，所以，又为锐角，所以 .因为的面积等于，所以 ①.由知，所以 ②．由余弦定理知，将代人，可得 ③，由③②，得 ，所以.所以解此方程得或22.【答案】（本小题满分（1）当＝时，．令．解得．所以的单调递增区间是．（2）由．因为，所以．则，．解得．C −B =(cos B +sin B)(cos B sin 2sin 23–√2123–√2−sin B)12C −B =B −B sin 2sin 234cos 214sin 2C =B +B =sin 234cos 234sin 234sin C =±3–√2C C =π3(2)△ABC 63–√ab sin C =6123–√(1)C =π3ab =24=+−2ab cos C c 2a 2b 2c =27–√+=52a 2b 2+×2=100(a +b)2a +b =10{a +b =10，ab =24，{a =6，b =4{a =4，b =6.1ω1f(x)=sin x +co −=sin x +cos x =sin(x +)123–√s 2x 23–√2123–√2π32kπ−≤x +≤2kπ+,k ∈Z π2π3π22kπ−≤x ≤2kπ+,k ∈Z 5π6π6f(x)[2kπ−,2kπ+],k ∈Z5π6π6f(x)=sin ωx +co −=sin ωx +cos ωx =sin(ωx +)123–√s 2ωx 23–√2123–√2π3f()=1π3sin(+)=1πω3π3+=2nπ+πω3π3π2n ∈Z ω=6n +12=2π又因为函数的最小正周期，且，所以当时，的最大值为． 【考点】三角函数的周期性三角函数中的恒等变换应用正弦函数的单调性【解析】Ⅰ当＝时，利用两角和与差以及二倍角公式化简函数的解析式，然后求解函数的单调区间．Ⅱ化简函数的解析式为：．通过，求出．然后求解的最大值．【解答】（本小题满分（1）当＝时，．令．解得．所以的单调递增区间是．（2）由．因为，所以．则，．解得．又因为函数的最小正周期，且，所以当时，的最大值为． f(x)T =2πωω>0ω=12T 4π()ω1()f(x)=sin(ωx +)π3f()=1π3ω=6n +12T 1ω1f(x)=sin x +co −=sin x +cos x =sin(x +)123–√s 2x 23–√2123–√2π32kπ−≤x +≤2kπ+,k ∈Z π2π3π22kπ−≤x ≤2kπ+,k ∈Z 5π6π6f(x)[2kπ−,2kπ+],k ∈Z 5π6π6f(x)=sin ωx +co −=sin ωx +cos ωx =sin(ωx +)123–√s 2ωx 23–√2123–√2π3f()=1π3sin(+)=1πω3π3+=2nπ+πω3π3π2n ∈Z ω=6n +12f(x)T =2πωω>0ω=12T 4π。
2024-2025学年高一上学期期中模拟考试数学试题01(人教A版2019必修第一册)含解析
2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷01
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第三章。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
或C或D
由图知：()040f x x >⇒-<<.故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
的取值范围为．
16．（15分）
17．（15分）
18．（17分）
19．（17分）。