14【苏教版高考数学导航(第1轮)理数】第83讲 含有绝对值的不等式PPT课件
绝对值不等式(共12张PPT)
• 对于不等式 |ax＋b|＜c (c＞0)，乃基本不等式 的推广，应用整体思想，视ax＋b为一个整体， 可迅速地将原不等式转化为－c＜ax＋b＜c．
第2页，共12页。
• 例1 解不等式 |3x－4|≥x＋2 • 解绝对值不等式，重在去绝对值符号，回绕
此来展开思路，不难产生如下想法． • 思考一：讨论3x－4的符号去绝对值符号； • 思考二：讨论x＋2的符号； • 思考三：直接去绝对值符号． • 原不等式可化为 • 3x－4≤－(x＋2) 或 3x－4≥x＋2 • 解得 x≤1/2 或 x≥3．
• 解得 x＜－2 或 x＞3
• 因此 ∁U A＝{x | －2≤x≤3 }． • ∵ ∁U A∩B＝B，∴ B ∁U A • 当c≤0时，B＝，显然B是A的子集．
• 当c＞0时，由 |x＋1|＜c 得 －c＜x＋1＜c，故 －c－1＜x＜c－1．
∵AB，∴c－－c－1≤1≥3 －2
解得 c≤1． ∴ 0＜c≤1．
例 解关于x的不等式 a|x－1|＞2＋a
• 当a＜0时，x∈R． 当c≤0时，B＝ ，显然B是A的子集．
观察：|x－3|－|x＋1|＜1的点应位于点的右侧，故不等式的解集为 {x | x＞1/2}． 当a＝1时，y＝a，此时函数 y＝(1－a)x－a＝－1为常函数，
• 当a＝0时，x∈R且x≠0。 1) 函数y＝|x－3|－|x＋1|的值域为____．
Ⅲ)
x＞3 (x－3)－(x＋1)＜1
I）
的解集为空集；Ⅱ）的解为
1 2
＜x≤3；Ⅲ）的解为 x＞3
综上所述，原不等式的解集为{x | x＞12 }． 另解: 注意到式子|x－3|－|x＋1|表示数轴上坐标为x的一点到坐标 为3的点的距离与到坐标为－1的点的距离的差．
(江苏专用)高考数学大一轮复习 第十四章 选考部分 14.4 坐标系与参数方程 第1课时 绝对值不等
第1课时绝对值不等式1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集：不等式a>0a＝0a<0|x|<a (－a，a)∅∅|x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．1．(2015·某某改编)解不等式|x－1|－|x－5|<2的解集．解①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4，③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为(－∞，4)．2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，某某数a的取值X围．解∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.3．若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，某某数a 的取值X 围．解 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5； 当－2≤x <12时，5≥y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值X 围为[－1，12].题型一 绝对值不等式的解法例1 (2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值X 围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <2.(2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值X 围为(2，＋∞)． 思维升华 解绝对值不等式的基本方法有(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．(1)(2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的表达式及图象，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <13或1<x <3或x >5.题型二 利用绝对值不等式求最值例2 (1)对任意x ，y ∈R ，求|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值． (2)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，求|x －2y ＋1|的最大值． 解 (1)∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1， |y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥1＋2＝3. ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.(2)|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.思维升华 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种 (1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥|a |－|b |. (3)利用零点分区间法．(1)若关于x 的不等式|2 014－x |＋|2 015－x |≤d 有解，求d 的取值X 围．(2)(2016·某某二模)不等式|x ＋1x|≥|a －2|＋sin y 对一切非零实数x ，y 均成立，某某数a 的取值X 围．解 (1)∵|2 014－x |＋|2 015－x |≥|2 014－x －2 015＋x |＝1， ∴关于x 的不等式|2 014－x |＋|2 015－x |≤d 有解时，d ≥1. (2)∵x ＋1x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴|x ＋1x|∈[2，＋∞)，其最小值为2.又∵sin y 的最大值为1，故不等式|x ＋1x|≥|a －2|＋sin y 恒成立时，有|a －2|≤1，解得a ∈[1,3]． 题型三 绝对值不等式的综合应用例3 (2016·全国甲卷)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12， M 为不等式f (x )<2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1，所以－1<x ≤－12；当－12<x <12时，f (x )<2；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1，所以－12<x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明 由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决． (2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．(2016·全国丙卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值X 围． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ， 当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解． 当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值X 围是[2，＋∞).1．在实数X 围内，求不等式||x －2|－1|≤1的解集． 解 由||x －2|－1|≤1得－1≤|x －2|－1≤1，解⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥0，|x －2|≤2得0≤x ≤4.∴不等式的解集为[0,4]．2．不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，某某数a 的取值X 围． 解 由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2，所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.3．(2016·某某模拟)对于任意实数a ，b ，已知|a －b |≤1，|2a －1|≤1，且恒有|4a －3b ＋2|≤m ，某某数m 的取值X 围． 解 因为|a －b |≤1，|2a －1|≤1， 所以|3a －3b |≤3，|a －12|≤12，所以|4a －3b ＋2|＝|(3a －3b )＋(a －12)＋52|≤|3a －3b |＋|a －12|＋52≤3＋12＋52＝6，即|4a －3b ＋2|的最大值为6， 所以m ≥|4a －3b ＋2|max ＝6.4．已知f (x )＝|x －3|，g (x )＝－|x －7|＋m ，若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求m 的取值X 围．解 由题意，可得不等式|x －3|＋|x －7|－m >0恒成立，即(|x －3|＋|x －7|)min >m ，由于x 轴上的点到点(3,0)和点(7,0)的距离之和的最小值为4，所以要使不等式恒成立，则m <4. 5．(2016·某某模拟)求不等式|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1的解集．解 ①当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <10，∴x <－3.②当－3≤x <12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <－25，∴－3≤x <－25.③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)<x2＋1，解得x >2，∴x >2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25或x >2.6．(2016·某某模拟)已知关于x 的不等式|2x －m |≤1的整数解有且仅有一个值为2，求关于x 的不等式|x －1|＋|x －3|≥m 的解集． 解 由不等式|2x －m |≤1，可得m －12≤x ≤m ＋12，∵不等式的整数解为2， ∴m －12≤2≤m ＋12，解得3≤m ≤5.再由不等式仅有一个整数解2，∴m ＝4. 本题即解不等式|x －1|＋|x －3|≥4， 当x <1时，不等式等价于1－x ＋3－x ≥4， 解得x ≤0，不等式解集为{x |x ≤0}．当1≤x ≤3时，不等式等价于x －1＋3－x ≥4， 解得x ∈∅，不等式解集为∅.当x >3时，不等式等价于x －1＋x －3≥4， 解得x ≥4，不等式解集为{x |x ≥4}．综上，原不等式解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)． 7．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )＞2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．解 (1)方法一 令2x ＋1＝0，x －4＝0分别得x ＝－12，x ＝4.原不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12－x －5＞2或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ＜43x －3＞2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x ＋5＞2.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7，或x ＞53. 方法二 f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ＜－12，3x －3， －12≤x ＜4，x ＋5， x ≥4.画出f (x )的图象，如图所示．求得y ＝2与f (x )图象的交点为(－7,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2. 由图象知f (x )＞2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7，或x ＞53. (2)由(1)的方法二知：f (x )min ＝－92.8．(2016·某某模拟)已知函数f (x )＝|x ＋3|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≥|a －4|有解，求a 的取值X 围． 解 (1)f (x )＝|x ＋3|－|x －2|≥3，当x ≥2时，有x ＋3－(x －2)≥3，解得x ≥2； 当x ≤－3时，－x －3＋(x －2)≥3，解得x ∈∅； 当－3<x <2时，有2x ＋1≥3，解得1≤x <2. 综上，f (x )≥3的解集为{x |x ≥1}． (2)由绝对值不等式的性质可得，||x ＋3|－|x －2||≤|(x ＋3)－(x －2)|＝5， 则有－5≤|x ＋3|－|x －2|≤5. 若f (x )≥|a －4|有解，则|a －4|≤5， 解得－1≤a ≤9.所以a 的取值X 围是[－1,9]． 9．(2016·某某模拟)已知a 和b 是任意非零实数． (1)求|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值；(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，某某数x 的取值X 围． 解 (1)∵|2a ＋b |＋|2a －b ||a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝|4a ||a |＝4， ∴|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4.(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，即|2＋x |＋|2－x |≤|2a ＋b |＋|2a －b ||a |恒成立，故|2＋x |＋|2－x |≤⎝⎛⎭⎪⎫|2a ＋b |＋|2a －b ||a |min.由(1)可知，|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4，∴x 的取值X 围即为不等式|2＋x |＋|2－x |≤4的解集． 解不等式得－2≤x ≤2， 故实数x 的取值X 围为[－2,2]．10．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值X 围． 解 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0，∴原不等式的解集是{x |0<x <2}．(2)∵a >－1，则－a 2<12，∴f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋1－a ， x <－a2，a ＋1， －a 2≤x <12，4x ＋a －1， x ≥12.当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝a ＋1， 即a ＋1≤x ＋3在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12上恒成立． ∴a ＋1≤－a 2＋3，即a ≤43，∴a 的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，43.。
绝对值不等式PPT课件
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个
地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第
10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施
工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生
活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工
队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于
何处？ ·
当 c 0 时, x R
课堂练习一： 试解下列不等式：
(1) | 3 2x |≥ 7
(2) | x2 3 x | 4
解:∵| 3 2x |≥ 7 ∴ 2 x 3 ≥ 7
∴ 2x 3≥ 7或2x 3 ≤ 7 ∴ x ≥ 5或x ≤ 2
∴原不等式的解集为,2 5, .
(1, 4)
(3) | 3x 2 | 1
·
·
10
x
20
分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两 个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数 的最小值，可用绝对值三角不等式求解。
绝对值不等式的解法
1:形如|x|<a和|x|>a (a>0)的含绝对值的不等式的解集
① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}
分类讨论3０的当-思(xX想<--1．2)时+(，X+原2)不≥等5式同解于
X<-2
X≤-3
-(X-1)-(X+2) ≥5
综合上述知不等式的解为x 2或x -3
例 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
解 原不等式化为|x-1|+|x+2|-5 ≥0
高三数学一轮复习 第14篇 第1节 含绝对值的不等式及其解法课件 理
精选ppt
1
最新考纲 1.理解绝对值的几何意义,并能利用含 绝对值不等式的几何意义证明以下不等 式:①|a+b|≤|a|+|b|;②|a-b|≤ |a-c|+|c-b|.
2.会利用绝对值的几何 意义求解以下类型的不 等式: |ax+b|≤c;|ax+b|≥ c;|x-a|+|x-b|≥c.
精选ppt
7
基础自测
1.|2x-1|>3的解集为( B )
(A)(-∞,-2)∪(1,+∞)
(B)(-∞,-1)∪(2,+∞)
(C)(-2,1)
(D)(-1,2)
解析:由|2x-1|>3得2x-1<-3或2x-1>3,
解得x<-1或x>2.
故选B.
精选ppt
8
2.不等式1<|x+1|<3的解集为( D ) (A)(0,2) (B)(-2,0)∪(2,4) (C)(-4,0) (D)(-4,-2)∪(0,2) 解析:原不等式等价于1<x+1<3或-3<x+1<-1, 解之得0<x<2或-4<x<-2, 故应选D.
(3)c=0,则|ax+b|≤c 可转化为 ax+b=0,然后根据 a,b 的取值求解即 可;|ax+b|≥c 的解集为 R.
精选ppt
10
4.(2014高考广东卷)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为
.
解析:本题考查绝对值不等式的解法.|x-1|+|x+2|≥5的几何意义是数
含绝对值的不等式PPT课件
的温度范围是（
）．
A．18℃～20℃ B．20℃～22℃ C．18℃～21℃ D．18℃～22℃
2．求下列不等式的解集:
（1）3 x 1
3．求不等式
1
|
；（2） − 1 ⩽ 2 ；（3）| 3x 2 | 1 ；（4） x +1| ≥ 3 ．
2
+ ≥ (b > 0)
4．求不等式 x < 5 的解集．
2
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
如图所示是某矿泉水的标签，显示该矿泉水的pH值（25℃）为
7.3 ± 0.5，该矿泉水pH值的取值范围是什么？
设该矿泉水的pH值（25℃）为x，则x的取值范围可表示为
x 7.3 ≤ 0.5
设
就是
t x 7.3
.
，那么不等式 x 7.3 ≤ 0.5 可化为得 | t | ≤ 0.5 ，也
变量的代数式，即用单一字表示一个代数式，从而将一些数学问题化
难为易、化繁为简．
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例2 求不等式 | 2 x 3 | ≤1 的解集．
解 不等式 | 2 x 3 | ≤1 ，也就是 1 ≤ 2 x 3 ≤1 ，于是 2 ≤ 2x ≤ 4 ，
0.5 ≤ t ≤ 0.5
，由此解得
0.5 ≤ x 7.3 ≤ 0.5
，即 6.8 ≤ x ≤ 7.8
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
一般地，形如 + < 和 + > ( > 0）的不等式可以通
过 “变量替换”的方法求解．
高考苏教版数学理大一轮复习课件14.4.1不等式的基本性质、含有绝对值的不等式
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
②利用“零点分段法”求解，体现了分类 讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解， 体现了函数与方程的思想．
解含有绝对值不等式时， 脱去 绝对值符号的方法主要有： 公 式法、分段讨论法、平方法、 几何法等． 这几种方法应用时 各有利弊， 在解只含有一个绝 对值的不等式时， 用公式法较 为简便； 但若不等式含有多个 绝对值时， 则应采用分段讨论 法； 应用平方法时， 要注意只 有在不等式两边均为正的情 况下才能施行． 因此， 我们在 去绝对值符号时， 用何种方法 需视具体情况而定．
思维启迪 解析 探究提高
＋1.
题型分类·深度剖析
题型一
【例1】
含绝对值不等式的解法
x 解不等式|x＋3|－|2x－1|< 2
思维启迪 解析 探究提高
利用零点分段法求解．
＋1.
题型分类·深度剖析
题型一 含绝对值不等式的解法
探究提高 思维启迪 解析 x 【例1】 解不等式|x＋3|－|2x－1|< 2 x 解 ①当x<－3时，原不等式化为－(x＋ 3)－(1－2x)< ＋1，解得 由于出现的结果有限，每次每 2 ＋1. 颗只能有四种结果，且每种结 x<10，∴x<－3.
解含有绝对值不等式时， 脱去 绝对值符号的方法主要有： 公 式法、分段讨论法、平方法、 几何法等． 这几种方法应用时 各有利弊， 在解只含有一个绝 对值的不等式时， 用公式法较 为简便； 但若不等式含有多个 绝对值时， 则应采用分段讨论 法； 应用平方法时， 要注意只 有在不等式两边均为正的情 况下才能施行． 因此， 我们在 去绝对值符号时， 用何种方法 需视具体情况而定．
高考数学大一轮复习 第一节 绝对值不等式课件 理 苏教版
1．绝对值三角不等式 (1)定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤ |a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立． (2)定理 2：如果 a，b，c 是实数，则|a－c|≤ |a－b|＋|b－c|， 当且仅当 (a－b)(b－c)≥0 时，等号成立．
第一页，共30页。
第十一页，共30页。
1.不等式|x－2|－|x－1|>0的解集为________． 解析：原不等式等价于|x－2|>|x－1|，则(x－2)2>(x－1)2， 解得x<32. 答案：－∞，32
第十二页，共30页。
2．(2014·西安质检)若关于x的不等式|x－a|<1的解集为(1,3)，则 实数a的值为________． 解析：原不等式可化为a－1<x<a＋1，又知其解集为 (1,3)，所以通过对比可得a＝2. 答案：2
解析：法一：根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上 对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于|PA|－|PB|>k恒 成立．∵|AB|＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.故当k<－3时，原不 等式恒成立．
第六页，共30页。
法二：令y＝|x＋1|－|x－2|，则y＝
－2x－3，1，x≤－－1<1，x<2 3，x≥2，
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集； (2)设a＞－1，且当x∈－a2，12时，f(x)≤g(x)，求a的取值 范围． [解] (1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化 为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则
第二十一页，共30页。
第十九页，共30页。
即x1<－1x，＋2－x≥2 或1x≤ －x1<＋22，－x≥2 或xx≥ －21， ＋x－2≥2， 解得x≤12或x≥52， 故x的取值范围是－∞，12∪52，＋∞.
14.【苏教版高考数学导航(第1轮)理数】第83讲 含有绝对值的不等式
ab ab abab 又因为 2 ， a a
则有2≥f(x).
故解不等式|x-1|+|x-2|≤2，得
1 5 所以实数x的取值范围为 , . 2 2
1 5 x . 2 2
选题感悟：本题把函数、含有绝对值的不 等式等知识融为一体，综合性强，体现了 高考在知识的交汇处立意的命题特点，是 高考的热点题型，也是高考试题中的亮点.
【解析】(1)当|a+b|=0时，显然成立； (2)当|a+b|≠0时，
ab 1 a b 1 1 1 ab a 1 a b a 1 a 1 1 1 1 a b ab b 1 a b ab
b
1 b
所以原不等式成立.
x 0 1.解不等式组 3 x 2 x 3 x 2 x
1.解含有绝对值的不等式的关键在于去掉 绝对值符号，处理的方法通常是利用绝对 值的定义与几何意义或平方等方法.对含 多个绝对值符号的不等式一般利用“零点 分段”法，分类讨论.
2.解带参数的含有绝对值的不等式的关键是去掉 绝对值符号，“转化”为其他类型的不等式， 如转化为一元一次、一元二次不等式等再进行 分类讨论，讨论要不重不漏.也可用数形结合， 构造函数，构造向量来解. 3.证明含绝对值的不等式是本节的难点，也是高 考的热点，方法较多，关键在于观察所证不等 式的特点，实施相应的证法.传统的证明方法， 即分析法、综合法、比较法依然有效.也可用图 象法、函数方法、构造向量等方法证明.
综上所述, 当a≥1时，原不等式的解集
a 为{x｜x 1 a };
当 0< a <1时，原不等式的解集为
a a x {x｜ }. 1 a 1 a
(1)｜f(x)｜<g(x) -g(x)<f(x)<g(x)； (2)｜f(x)｜>g(x) f(x)>g(x)或f(x)< -g(x)； (3)带参数的含有绝对值的不等式是高 考的热点和难点问题，要求处理好如 何去绝对值符号和解一元一次(或一元 二次)不等式的问题. 此题也可用图解 法.作出函数 y=｜x -a｜, y=ax (a>0)的 图象，联立方程组求交点，结合图象 得解集，读者不妨一试.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【变式练习2】解关于x的不等式： x|x-a|≥2a2.
【
解
析
】
原
不
等
式
等
价
于
x2
x ax
a
2a
2
①
或
x2
x ax
a
2a2
②
由
①
得
x2
xa ax2a2
， 0
此
不
等
式
组
无
解
；
由
②
得
(
x
x 2 a )( x
a
a)
0
,
【 解 析 】 当 a 0时 ， x 0;
【解析】原不等式等价于 –ax < x –a < ax,
即
(1 a )x a
(1
a
)
x
a
.
当a=1时，x
>
1 2
.
当0< a <1时， a x a ;
1a 1a
当a >1时，x a .
1 a
综上所述, 当a≥1时，原不等式的解集
为{x｜x
a 1 a
};
当 0< a <1时，原不等式的解集为
第83讲
不含参数的绝对值不 等式的解法
【例1】解不等式 |2x+1|+|x -2|＞4.
【解析】当x≤
1 2
时，
原不等式可化为-2x -1+2 -x>4，
解得 x< -1;
当 1 < x≤2时，原不等式可化为
2
2x+1+2 -x>4,
所以 x >1.
又 1 < x≤2 , 所以 1< x≤2；
当
a
0时
，
x
x 2a或
a x
a
,即
x
2a 2a或 x
a
,即
x
a;
综 上 ， 当 a 0时 ， x | x－ a | 2 a 2的 解 集 是
{ x | x 2 a}；
当 a 0时 ， x | x－ a | 2 a 2的 解 集 是 { x | x － a}．
与含参数的绝对值 不等式有关的问题
{x｜
a 1a
x a 1a
}.
(1)｜f(x)｜<g(x) -g(x)<f(x)<g(x)； (2)｜f(x)｜>g(x) f(x)>g(x)或f(x)< -g(x)； (3)带参数的含有绝对值的不等式是高
考的热点和难点问题，要求处理好如 何去绝对值符号和解一元一次(或一元 二次)不等式的问题. 此题也可用图解 法.作出函数 y=｜x -a｜, y=ax (a>0)的
【变式练习3】已知关于x的不等式| ax1|
| axa|1a 0． 1当a＝1时，求此不等式的解集； 2若此不等式的解集为R，求实数a的取值
范围．
【 解 析 】1 当 a 1时 ， 得 2 | x 1 | 1， 所 以 | x - 1 | 1 ，
2
即x 3或x 1.
2
2
所 以 不 等 式 的 解 集 为 ( ，1 ] [ 3 ， + )． 22
所以原不等式x的 解3或集x是 2{ x|2≤x≤4 或 x= -3}.
方法2：原不等式
x30 (x3)x29x3
x 3
x
3或
x
2
x = -3或 2≤x≤4.
3 x 4
所以原不等式的解集是{x|2≤x≤4 或 x= -3}.
含有参数的绝对值不 等式的解法
【例2】解关于 x 的不等式｜x -a｜< ax(a>0).
【 例 4】 已 知 0, |xa|, |yb|， 求 证 ： |2x3y2a3b| 5.
【解析】因为 |x -a|<ξ, |y -b|<ξ, 所以|2x+3y -2a -3b|=|(2x -2a)+(3y -3b)| =|2(x-a)+3(y-b)| ≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b| <2ξ+3ξ =5ξ. 所以|2x+3y -2a -3b|<5ξ.
2 因 为 | a x 1 | | a x a | | a 1 | ，
所 以 原 不 等 式 的 解 集 为 R 等 价 于 | a－1 | 1 .
所 以 a 2或 a 0.
因 为 a 0， 所 以 a 2.
故 实 数 a的 取 值 范 围 是 [ 2， ＋ )．
含有绝对值不等式 的证明
【例3】已知函数f(x)＝|x-a|. (1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求 实数a的值； (2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切 实数x恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】1由f x 3得 | x a | 3，解得a 3 x
a 3，
又已知不等式f x 3的解集为{x | 1 x 5}，
2
当 x >2时，原不等式可化为 2x+1+x -2 >4,
所以 x > 5 .
3
又 x>2 , 所以 x>2. 综上，得原不等式的解集为
{x|x＜-1 或 x >1}.
解含绝对值的不等式，需先去掉绝对值
符号. 含多个绝对值的不等式可利用零
点分段法去掉绝对值符号求解. 如本题
中，令 2x+1=0，x -2=0，得两个零点
x1=
1 2
，x2=2. 故分 x≤
，1 2
1＜x≤2 和
2
x＞2三种情况.
【解析】方法1：
原不等式
(1)
x x
2 2
9 9
0 x
3
或(2)
x 9
29 x2
0 x
3
不等式(1)
x 3或x 3 3 x 4
x= -3 或 3≤x≤4；
不等式(2)
2≤x＜3.
3 x 3
【解析】(1)当|a+b|=0时，显然成立； (2)当|a+b|≠0时，
ab
1 ab
1 1
1
1 1
ab 1 1 a b
ab
ab
a
b
1 a b 1 a b
ab
1 a 1 b 所以原不等式成立.
所以 aa3351，解得a＝2.
2当a 2时，f x | x 2 | . 设g x f x f (x 5)，
2x1 (x3)
于是gx | x2| | x3|5 (3 x2)，
2x1 (x 2)
所以gx＝| x－2|＋| x＋3|的图象如右图所示，
所以gx 5，故m5.
本题主要考查绝对值的意义、绝对值 不等式的解法等基础知识，考查运算 求解能力．不等式恒成立问题一般转 化为函数最值问题，再利用函数图象 求最值．
理解和掌握含有绝对值的不等式的两 个性质：|a+b|≤|a|+|b| (a , b∈R , ab>0时 等号成立)；|a -c|≤|a-b|+|b-c| (a , b∈R , (a-b)(b-c)≥0时等号成立)，能解决一些 证明和求最值的问题.
【变式练习4】求证：不等式
ab a b
1ab 1a 1b